Kvadrāts izliekta trapece skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli

Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Klasē es teicu, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.

Tas ir, noteiktais integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāds definē noteiktu līkni plaknē (to vienmēr var uzzīmēt, ja vēlas), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar laukumu atbilstošā izliektā trapece.

1. piemērs

Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmkārt un vissvarīgākais brīdis risinājumi - zīmēšana. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PA LABI.

Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: vispirms labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad– parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Izdevīgāk ir veidot funkciju grafikus punkts pa punktam, punktu pa punktam būvniecības tehniku ​​var atrast izziņas materiāls.

Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.

Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):

Izliektu trapeciņu neizšķilšu, te ir redzams, kāds ir laukums mēs runājam par. Risinājums turpinās šādi:

Segmentā atrodas funkcijas grafiks virs ass, Tāpēc:

Atbilde:

Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu , atsaukties uz lekciju Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi apskatīt zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā “ar aci” - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.

2. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , un ass

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem ass?

3. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.

Risinājums: izveidosim zīmējumu:

Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass, tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:

Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:

1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.

2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.

Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākās skolas problēmas Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem.

4. piemērs

Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinājums: Vispirms jums ir jāizveido zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:

Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .
Ja iespējams, šo metodi labāk neizmantot.

Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Punktu pēc punkta konstruēšanas tehnika dažādiem grafikiem ir detalizēti apskatīta palīdzībā Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.

Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:

Atkārtoju, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noskaidrotas “automātiski”.

Un tagad darba formula: Ja segmentā ir kāda nepārtraukta funkcija lielāks par vai vienāds ar kādu nepārtrauktu funkciju, tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu:

Šeit jums vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji runājot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.

Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no

Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:

Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Faktiski skolas formula līknes trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. vienkāršu piemēru Nr. 3) ir īpašs gadījums formulas . Tā kā asi ir norādīta ar vienādojumu un funkcijas grafiks atrodas zem ass, tad

Un tagad pāris piemēri savam risinājumam

5. piemērs

6. piemērs

Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .

Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums izdarīts pareizi, aprēķini pareizi, bet neuzmanības dēļ... tika atrasts nepareizās figūras laukums, tieši tā tavs pazemīgais kalps vairākas reizes izkūpēja. Šeit reāls gadījums no dzīves:

7. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .

Vispirms izveidosim zīmējumu:

Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas situācija, ka jāatrod ēnotās figūras laukums. zaļš!

Šis piemērs ir noderīgs arī tāpēc, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:

1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;

2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.

Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:

Atbilde:

8. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas,
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā un izveidosim punktu pa punktam zīmējumu:

No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: .
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir? Var būt ? Bet kur ir garantija, ka zīmējums tapis ar nevainojamu precizitāti, var izrādīties, ka... Vai sakne. Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?

Šādos gadījumos jums ir jāpavada papildu laiks un analītiski jānoskaidro integrācijas robežas.

Atradīsim taisnes un parabolas krustošanās punktus.
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:

Līdz ar to,.

Tālākais risinājums ir triviāls, galvenais, lai neapjuktu aizvietojumos un zīmēs, aprēķini šeit nav no tiem vienkāršākajiem.

Uz segmentu , saskaņā ar atbilstošo formulu:

Atbilde:

Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus grūtākus uzdevumus.

9. piemērs

Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , ,

Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā.

Lai zīmētu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi (un parasti ir noderīgi zināt visu elementāro funkciju grafiki), kā arī dažas sinusa vērtības, tās var atrast trigonometriskā tabula. Dažos gadījumos (kā šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.

Šeit nav nekādu problēmu ar integrācijas robežām, tās izriet tieši no nosacījuma: “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:

Segmentā funkcijas grafiks atrodas virs ass, tāpēc:

(1) Nodarbībā var redzēt, kā sinusus un kosinusus ir integrēti nepāra pakāpēs Integrāļi no trigonometriskās funkcijas . Tas ir tipisks paņēmiens, mēs nospiežam vienu sinusu.

(2) Mēs izmantojam galveno trigonometrisko identitāti formā

(3) Mainīsim mainīgo , tad:

Jaunas integrācijas jomas:

Ikviens, kurš patiešām slikti izturas ar aizstāšanu, lūdzu, paņemiet mācību. Aizstāšanas metode iekšā nenoteikts integrālis . Tiem, kas īsti nesaprot aizstāšanas algoritmu noteiktā integrālī, apmeklējiet lapu Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri.

Ir jāaprēķina izliektas trapeces laukums, ko ierobežo taisnas līnijas,
,
un līkni
.

Sadalīsim segmentu
dotmina elementārie segmenti, garums
segments
. Atjaunosim perpendikulus no posma dalīšanas punktiem līdz krustojumam ar līkni
, ļaujiet
. Rezultātā mēs iegūstam elementāras trapeces, to laukumu summa acīmredzami ir vienāda ar dotās līknes trapeces summu.

Noteiksim funkcijas lielāko un mazāko vērtību katrā elementārajā intervālā
, otrajā
un tā tālāk. Aprēķināsim summas

Pirmā summa apzīmē visu aprakstīto laukumu, otrā ir visu taisnstūru laukums, kas ierakstīts izliektā trapecē.

Ir skaidrs, ka pirmā summa dod aptuvenu trapeces laukuma vērtību “ar pārpalikumu”, otrā - “ar trūkumu”. Pirmo summu sauc par augšējo Darbu summu, otro – attiecīgi par apakšējo Darbu summu. Tādējādi izliektas trapeces laukums ir apmierina nevienlīdzību
. Ļaujiet mums uzzināt, kā Darboux summas uzvedas, palielinoties segmenta nodalījuma punktu skaitam
. Ļaujiet nodalījuma punktu skaitam palielināties par vienu un lai tas atrodas intervāla vidū
. Tagad cipars ir kā

ierakstītie un norobežotie taisnstūri palielināti par vienu. Apskatīsim, kā mainījās zemākā Darboux summa. Kvadrāta vietā
th ierakstīts taisnstūris, vienāds ar
iegūstam divu taisnstūru laukumu summu
, kopš garuma
mazāk nevar būt
funkcijas mazākā vērtība pie
. Citā pusē,
, tāpēc ka
vairāk nevar būt
lielākā funkcijas vērtība intervālā
. Tātad, pievienojot jaunus punktus, lai sadalītu segmentu, tiek palielināta apakšējās Darbu summas vērtība un samazināta augšējā Darbu summa. Šajā gadījumā apakšējā Darbu summa, palielinoties sadales punktu skaitam, nevar pārsniegt jebkuras augšējās summas vērtību, jo aprakstīto taisnstūru laukumu summa vienmēr ir vairāk nekā summa taisnstūru laukumi, kas ierakstīti izliektā trapecē.

Tādējādi zemāko Darbu summu secība palielinās līdz ar segmenta nodalījuma punktu skaitu un ir ierobežota no augšas saskaņā ar labi zināmo teorēmu, tai ir robeža. Šī robeža ir noteiktas izliektas trapeces laukums.

Līdzīgi, augšējo Darbu summu secība samazinās, palielinoties intervāla sadalīšanas punktu skaitam, un no apakšas to ierobežo jebkura apakšējā Darbo summa, kas nozīmē, ka tai ir arī robeža, un tā ir arī vienāda ar laukumu līknes trapecveida forma.

Tāpēc, lai aprēķinātu izliektas trapeces laukumu, pietiek ar to intervāla starpsienas, nosakiet apakšējo vai augšējo Darbu summu un pēc tam aprēķiniet
, vai
.

Tomēr šāds problēmas risinājums paredz jebkuru, patvaļīgi liels skaits starpsienas
, atrast lielāko vai mazāko funkcijas vērtību katrā elementārajā intervālā, kas ir ļoti darbietilpīgs uzdevums.

Vienkāršāku risinājumu iegūst, izmantojot Rīmaņa integrālsummu, kas ir

Kur
kāds katra elementārā intervāla punkts, tas ir
. Līdz ar to Rīmaņa integrālsumma ir visu iespējamo taisnstūru laukumu summa, un
. Kā parādīts iepriekš, augšējās un apakšējās Darboux summas robežas ir vienādas un vienādas ar izliektās trapeces laukumu. Izmantojot vienu no funkcijas robežas īpašībām (divu policiju noteikums), mēs iegūstam to jebkuram segmenta nodalījumam
un izvēloties punktus Izliektas trapeces laukumu var aprēķināt, izmantojot formulu
.

Piemērs1 . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 un x = 2

Konstruēsim figūru (skat. attēlu) Uzbūvējam taisni x + 2y – 4 = 0, izmantojot divus punktus A(4;0) un B(0;2). Izsakot y caur x, mēs iegūstam y = -0,5x + 2. Izmantojot formulu (1), kur f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, mēs atrodam

S = = [-0,25 = 11,25 kv. vienības

2. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 un y = 0.

Risinājums. Konstruēsim figūru.

Konstruēsim taisni x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruēsim taisni x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Atrisinot vienādojumu sistēmu, atradīsim līniju krustošanās punktu:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Lai aprēķinātu nepieciešamo laukumu, mēs sadalām trīsstūri AMC divos trīsstūros AMN un NMC, jo, kad x mainās no A uz N, laukums tiek ierobežots ar taisni, bet, kad x mainās no N uz C - ar taisni.

Trijstūrim AMN mums ir: ; y = 0,5x + 2, t.i., f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Trijstūrim NMC mums ir: y = - x + 5, t.i., f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Aprēķinot katra trīsstūra laukumu un saskaitot rezultātus, mēs atrodam:

kv. vienības

kv. vienības

9 + 4, 5 = 13,5 kv. vienības Pārbaudiet: = 0,5 AC = 0,5 kv. vienības

3. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Šajā gadījumā jums jāaprēķina izliektas trapeces laukums, ko ierobežo parabola y = x 2 , taisnas līnijas x = 2 un x = 3 un Vērša ass (skat. attēlu) Izmantojot formulu (1) mēs atrodam līknes trapeces laukumu

= = 6 kv. vienības

4. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = - x 2 + 4 un y = 0

Konstruēsim figūru. Nepieciešamais laukums ir norobežots starp parabolu y = - x 2 + 4 un Vērša ass.

Atradīsim parabolas krustošanās punktus ar Vērša asi. Pieņemot, ka y = 0, mēs atrodam x = Tā kā šis skaitlis ir simetrisks pret Oy asi, mēs aprēķinām figūras laukumu, kas atrodas pa labi no Oy ass, un dubultojam iegūto rezultātu: = +4x] kv. vienības 2 = 2 kv. vienības

5. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Šeit jums jāaprēķina līknes trapeces laukums, ko ierobežo parabolas augšējais zars 2 = x, Ox ass un taisnes x = 1 un x = 4 (skatīt attēlu)

Saskaņā ar formulu (1), kur f(x) = a = 1 un b = 4, mums ir = (= kv. vienības.

6. piemērs . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

Nepieciešamo laukumu ierobežo sinusoīda pusvilnis un Ox ass (sk. attēlu).

Mums ir - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienības

7. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = - 6x, y = 0 un x = 4.

Attēls atrodas zem Vērša ass (sk. attēlu).

Tāpēc mēs atrodam tā laukumu, izmantojot formulu (3)

= =

8. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = un x = 2. No punktiem izveidojiet y = līkni (skatiet attēlu). Tādējādi mēs atrodam figūras laukumu, izmantojot formulu (4)

9. piemērs .

X 2 + y 2 = r 2 .

Šeit jums jāaprēķina laukums, ko ieskauj aplis x 2 + y 2 = r 2 , t.i., apļa laukums ar rādiusu r ar centru sākuma punktā. Atradīsim šī apgabala ceturto daļu, ņemot integrācijas robežas no 0

pirms; mums ir: 1 = = [

Tāpēc 1 =

10. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 2 un y = 2x

Šis skaitlis ierobežots ar parabolu y=x 2 un taisne y = 2x (skat. attēlu) Lai noteiktu doto taisnes krustošanās punktus, risinām vienādojumu sistēmu: x 2 – 2x = 0 x = 0 un x = 2

Izmantojot formulu (5), lai atrastu apgabalu, mēs iegūstam

= }