Vienādojumu piemēri 5. Tiešsaistes vienādojumi

Vienādojums ar vienu nezināmo, kas pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu pievienošanas iegūst formu

cirvis + b = 0, kur a un b ir patvaļīgi skaitļi, tiek izsaukts lineārais vienādojums ar vienu nezināmo. Šodien mēs izdomāsim, kā atrisināt šos lineāros vienādojumus.

Piemēram, visi vienādojumi:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineārs.

Tiek saukta nezināmā vērtība, kas vienādojumu pārvērš patiesā vienādībā lēmumu vai vienādojuma sakne .

Piemēram, ja vienādojumā 3x + 7 = 13 nezināmā x vietā aizvietojam skaitli 2, iegūstam pareizo vienādību 3 2 +7 = 13. Tas nozīmē, ka vērtība x = 2 ir atrisinājums vai sakne. no vienādojuma.

Un vērtība x = 3 nepārvērš vienādojumu 3x + 7 = 13 par patiesu vienādību, jo 3 2 +7 ≠ 13. Tas nozīmē, ka vērtība x = 3 nav vienādojuma atrisinājums vai sakne.

Risinājums jebkuram lineārie vienādojumi reducējas līdz formas vienādojumu atrisināšanai

cirvis + b = 0.

Pārvietosim brīvo terminu no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi b priekšā uz pretējo, iegūstam

Ja a ≠ 0, tad x = ‒ b/a .

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 3x + 2 =11.

Pārvietosim 2 no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi 2 priekšā uz pretējo, iegūstam
3x = 11–2.

Tad veiksim atņemšanu
3x = 9.

Lai atrastu x, reizinājums ir jāsadala ar zināmu koeficientu, tas ir
x = 9:3.

Tas nozīmē, ka vērtība x = 3 ir vienādojuma atrisinājums vai sakne.

Atbilde: x = 3.

Ja a = 0 un b = 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = 0. Šim vienādojumam ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ir arī vienāds ar 0. Šī vienādojuma risinājums ir jebkurš skaitlis.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Izvērsīsim iekavas:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Šeit ir daži līdzīgi termini:
0x = 0.

Atbilde: x - jebkurš skaitlis.

Ja a = 0 un b ≠ 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = - b. Šim vienādojumam nav atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ≠ 0.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu x + 8 = x + 5.

Sagrupēsim terminus, kas satur nezināmus kreisajā pusē, un brīvos terminus labajā pusē:
x – x = 5 – 8.

Šeit ir daži līdzīgi termini:
0х = ‒ 3.

Atbilde: nav risinājumu.

Ieslēgts 1. attēls parādīta diagramma lineāra vienādojuma risināšanai

Izstrādāsim vispārīgu shēmu vienādojumu risināšanai ar vienu mainīgo. Apskatīsim 4. piemēra risinājumu.

4. piemērs. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums

1) Reiziniet visus vienādojuma nosacījumus ar saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, kas vienāds ar 12.

2) Pēc samazināšanas mēs iegūstam
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Lai atdalītu terminus, kas satur nezināmus un brīvus terminus, atveriet iekavas:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Sagrupēsim vienā daļā terminus, kas satur nezināmos, bet otrā - brīvos terminus:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Piedāvāsim līdzīgus terminus:
- 22x = - 154.

6) Sadaliet ar – 22, iegūstam
x = 7.

Kā redzat, vienādojuma sakne ir septiņi.

Vispār tādi vienādojumus var atrisināt, izmantojot šādu shēmu:

a) izveido vienādojumu tā veselā skaitļa formā;

b) atveriet kronšteinus;

c) grupē vienādojuma daļā vārdus, kas satur nezināmo, bet otrā – brīvos terminus;

d) atvest līdzīgus biedrus;

e) atrisiniet vienādojumu formā aх = b, kas iegūts pēc līdzīgu terminu piesaistīšanas.

Tomēr šī shēma nav nepieciešama katram vienādojumam. Risinot daudzus vienkāršākus vienādojumus, jāsāk nevis no pirmā, bet gan no otrā ( Piemērs. 2), trešais ( Piemērs. 1, 3) un pat no piektā posma, kā 5. piemērā.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2x = 1/4.

Atrodiet nezināmo x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Apskatīsim dažu lineāro vienādojumu risināšanu galvenajā valsts eksāmenā.

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Atbilde: - 0,125

7. piemērs. Atrisiniet vienādojumu – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Atbilde: 2.3

8. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9. piemērs. Atrodiet f(6), ja f (x + 2) = 3 7

Risinājums

Tā kā mums ir jāatrod f (6), un mēs zinām f (x + 2),
tad x + 2 = 6.

Mēs atrisinām lineāro vienādojumu x + 2 = 6,
mēs iegūstam x = 6 – 2, x = 4.

Ja x = 4, tad
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Atbilde: 27.

Ja jums joprojām ir jautājumi vai vēlaties izprast vienādojumu risināšanu pamatīgāk, pierakstieties uz manām nodarbībām GRAFIKSĀ. Es ar prieku jums palīdzēšu!

TutorOnline arī iesaka noskatīties jaunu video nodarbību no mūsu pasniedzējas Olgas Aleksandrovnas, kas palīdzēs izprast gan lineāros vienādojumus, gan citus.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Viena no svarīgākajām prasmēm, kad uzņemšana 5. klasē ir spēja atrisināt vienkāršus vienādojumus. Tā kā 5. klase vēl nav tik tālu no sākumskola, tad nav tik daudz vienādojumu veidu, ko skolēns var atrisināt. Mēs jūs iepazīstināsim ar visiem vienādojumu pamatveidiem, kas jums jāspēj atrisināt, ja vēlaties iestājies fizikas un matemātikas skolā.

1. veids: "sīpols"
Šie ir vienādojumi, ar kuriem jūs, visticamāk, saskarsities uzņemšana jebkurā skolā vai 5. klases pulciņš kā atsevišķs uzdevums. Tos ir viegli atšķirt no citiem: tajos mainīgais ir tikai vienu reizi. Piemēram, vai.
Tie tiek atrisināti ļoti vienkārši: jums vienkārši "jānokļūst" nezināmajā, pakāpeniski "noņemot" visu nevajadzīgo, kas to ieskauj - it kā mizot sīpolu - no tā arī nosaukums. Lai to atrisinātu, vienkārši atcerieties dažus noteikumus no otrās klases. Uzskaitīsim tos visus:

Papildinājums

termins1 + termins2 = summa
termins1 = summa - termins2
termins2 = summa - termins1

Atņemšana

minuend - subtrahend = atšķirība
minuend = apakšrinda + atšķirība
subtrahend = minuend - atšķirība

Reizināšana

faktors1 * faktors2 = produkts
faktors1 = produkts: faktors2
faktors2 = produkts: faktors1

Divīzija

dividende: dalītājs = koeficients
dividende = dalītājs * koeficients
dalītājs = dividende: koeficients

Apskatīsim piemēru, kā piemērot šos noteikumus.

Ņemiet vērā, ka mēs dalāmies uz un mēs saņemam . Šajā situācijā mēs zinām dalītāju un koeficientu. Lai atrastu dividendi, dalītājs jāreizina ar koeficientu:

Mēs esam kļuvuši mazliet tuvāki sev. Tagad mēs to redzam tiek pievienots un izrādās . Tas nozīmē, ka, lai atrastu vienu no terminiem, jums ir jāatņem zināmais termins no summas:

Un vēl viens “slānis” ir noņemts no nezināmā! Tagad mēs redzam situāciju ar zināma vērtība produkts () un viens zināms faktors ().

Tagad situācija ir "minuend - subtrahand = atšķirība"

Un pēdējais solis - slavens darbs() un viens no reizinātājiem ()

2. veids: vienādojumi ar iekavām
Šāda veida vienādojumi visbiežāk sastopami uzdevumos - 90% no visām problēmām uzņemšana 5. klasē. Atšķirībā no "sīpolu vienādojumi" mainīgais šeit var parādīties vairākas reizes, tāpēc to nav iespējams atrisināt, izmantojot iepriekšējās rindkopas metodes. Tipiski vienādojumi: vai
Galvenā grūtība ir pareizi atvērt kronšteinus. Kad tas ir izdarīts pareizi, jums vajadzētu samazināt līdzīgus terminus (skaitļus par skaitļiem, mainīgos par mainīgajiem), un pēc tam mēs iegūstam vienkāršāko "sīpolu vienādojums" ko varam atrisināt. Bet vispirms vispirms.

Paplašinot iekavas. Mēs sniegsim vairākus noteikumus, kas būtu jāizmanto šajā gadījumā. Bet, kā liecina prakse, skolēns sāk pareizi atvērt iekavas tikai pēc 70–80 pabeigtām problēmām. Pamatnoteikums ir šāds: jebkurš faktors, kas atrodas ārpus iekavām, ir jāreizina ar katru terminu iekavās. Un mīnusa zīme iekavas priekšā maina visu iekšpusē esošo izteicienu zīmi. Tātad, izpaušanas pamatnoteikumi:

Atvedot līdzīgu. Šeit viss ir daudz vienkāršāk: pārliekot terminus caur vienādības zīmi, jāpārliecinās, ka vienā pusē ir tikai termini ar nezināmo, bet otrā - tikai skaitļi. Pamatnoteikums ir šāds: katrs termins, kas tiek pārnests, maina savu zīmi - ja tas bija ar, tas kļūs ar un otrādi. Pēc veiksmīgas pārsūtīšanas ir nepieciešams saskaitīt kopējo nezināmo skaitu, kopējo skaitu vienādības otrā pusē nekā mainīgajiem un atrisināt vienkāršu "sīpolu vienādojums".

Vienādojums ir vienādojums, kurā ir nezināms termins - x. Ir jāatrod tā nozīme.

Nezināmo lielumu sauc par vienādojuma sakni. Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast tā sakni, un, lai to izdarītu, ir jāzina vienādojumu īpašības. Vienādojumi 5. klasei nav grūti, taču, ja iemācīsities tos pareizi atrisināt, turpmāk ar tiem nebūs problēmu.

Galvenā vienādojumu īpašība

Ja vienādojuma abas puses mainās par vienādu summu, tas joprojām ir tas pats vienādojums ar vienu un to pašu sakni. Atrisināsim dažus piemērus, lai labāk izprastu šo noteikumu.

Kā atrisināt vienādojumus: saskaitīšana vai atņemšana

Pieņemsim, ka mums ir formas vienādojums:

a + x = b - šeit a un b ir skaitļi, un x ir vienādojuma nezināmais elements.

Ja abām vienādojuma pusēm pievienosim (vai atņemsim no tām) vērtību c, tas nemainīsies:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

1. piemērs

Izmantosim šo īpašību, lai atrisinātu vienādojumu:

37+x=51

Atņemiet skaitli 37 no abām pusēm:

37+x-37=51-37

mēs iegūstam:

x=51-37.

Vienādojuma sakne ir x=14.

Ja mēs rūpīgi aplūkojam pēdējo vienādojumu, mēs varam redzēt, ka tas ir tāds pats kā pirmais. Mēs vienkārši pārvietojām terminu 37 no vienas vienādojuma puses uz otru, aizstājot plusu ar mīnusu.

Izrādās, ka jebkuru skaitli var pārnest no vienas vienādojuma daļas uz otru ar pretēju zīmi.

2. piemērs

37+x=37+22

Veiksim to pašu darbību, pārvietojot skaitli 37 no vienādojuma kreisās puses uz labo:

x=37-37+22

Tā kā 37-37=0, mēs to vienkārši samazinām un iegūstam:

x =22.

Identiski vienādojuma vārdi ar tādu pašu zīmi, kas atrodas dažādas daļas vienādojumus var samazināt (izsvītrot).

Reizināšanas un dalīšanas vienādojumi

Abas vienādības puses var arī reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu skaitli:

Ja vienādību a = b dala vai reizina ar c, tas nemainās:

a/c = b/c,
ac = bс.

3. piemērs

5x = 20

Sadalīsim abas vienādojuma puses ar 5:

5x/5 = 20/5.

Tā kā 5/5 = 1, mēs samazinām šos reizinātājus un dalītājus vienādojuma kreisajā pusē un iegūstam:

x = 20/5, x = 4

4. piemērs

5x = 5a

Ja abas vienādojuma puses dala ar 5, mēs iegūstam:

5x/5 = 5a/5.

5 kreisās un labās puses skaitītājā un saucējā tiek atcelti, kā rezultātā x = a. Tas nozīmē, ka identiski faktori vienādojumu kreisajā un labajā pusē tiek atcelti.

Atrisināsim citu piemēru: