Pieskares ir taisna līnija, kas iet caur kādu punktu uz līknes un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai (1. att.).

Vēl viena definīcija: šī ir sekanta ierobežojošā pozīcija pie Δ x→0.

Paskaidrojums: paņemiet taisnu līniju, kas krusto līkni divos punktos: A Un b(skat. attēlu). Šis ir sekants. Mēs to pagriezīsim pulksteņrādītāja virzienā, līdz tas atradīs tikai vienu kopīgu punktu ar līkni. Tas mums dos tangensu.

Stingra pieskares definīcija:

Funkcijas grafika pieskare f, atšķiras punktā xO, ir taisna līnija, kas iet caur punktu ( xO; f(xO)) un ar slīpumu f′( xO).

Slīpumam ir taisna formas līnija y =kx +b. Koeficients k un ir slīpumsšī taisnā līnija.

Slīpuma koeficients vienāds ar tangensu akūts leņķis, ko veido šī taisne ar abscisu asi:

k = iedegums α

Šeit leņķis α ir leņķis starp taisni y =kx +b un pozitīvais (tas ir, pretēji pulksteņrādītāja virzienam) x ass virziens. To sauc taisnas līnijas slīpuma leņķis(1. un 2. att.).

Ja slīpuma leņķis ir taisns y =kx +b akūts, tad slīpums ir pozitīvs skaitlis. Grafiks palielinās (1. att.).

Ja slīpuma leņķis ir taisns y =kx +b ir strups, tad slīpums ir negatīvs skaitlis. Grafiks samazinās (2. att.).

Ja taisne ir paralēla x asij, tad taisnes slīpuma leņķis ir nulle. Šajā gadījumā arī līnijas slīpums ir nulle (jo nulles pieskare ir nulle). Taisnes vienādojums izskatīsies šādi: y = b (3. att.).

Ja taisnes slīpuma leņķis ir 90º (π/2), tas ir, tas ir perpendikulārs abscisu asij, tad taisne tiek dota ar vienādību x =c, Kur c– kāds reāls skaitlis (4. att.).

Funkcijas grafika pieskares vienādojumsy = f(x) punktā xO:

Piemērs: atrodiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 punktā ar abscisu 2.

Risinājums.

Mēs sekojam algoritmam.

1) Pieskāriena punkts xO ir vienāds ar 2. Aprēķināt f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Atrast f′( x). Lai to izdarītu, mēs izmantojam iepriekšējā sadaļā aprakstītās diferenciācijas formulas. Saskaņā ar šīm formulām, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Līdzekļi:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Tagad, izmantojot iegūto vērtību f′( x), aprēķiniet f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Tātad mums ir visi nepieciešamie dati: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Aizstāj šos skaitļus pieskares vienādojumā un atrod gala risinājumu:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 = -7 + 4x = 4x - 7.

Atbilde: y = 4x – 7.

Norādījumi

Mēs nosakām līknes pieskares leņķisko koeficientu punktā M.
Līkne, kas attēlo funkcijas y = f(x) grafiku, ir nepārtraukta noteiktā punkta M apkārtnē (ieskaitot pašu punktu M).

Ja vērtība f‘(x0) neeksistē, tad vai nu nav pieskares, vai arī tā darbojas vertikāli. Ņemot to vērā, funkcijas atvasinājuma esamība punktā x0 ir saistīta ar nevertikālās pieskares pieskares esamību funkcijas grafikam punktā (x0, f(x0)). Šajā gadījumā pieskares leņķiskais koeficients būs vienāds ar f "(x0). Tādējādi kļūst skaidrs ģeometriskā nozīme atvasinājums – pieskares slīpuma aprēķins.

Atrodiet pieskares punkta abscisu vērtību, kas apzīmēta ar burtu “a”. Ja tas sakrīt ar doto pieskares punktu, tad "a" būs tā x-koordināta. Nosakiet vērtību funkcijas f(a), aizvietojot vienādojumā funkcijas abscisu vērtība.

Nosakiet vienādojuma pirmo atvasinājumu funkcijas f’(x) un aizstājiet tajā punkta “a” vērtību.

Ņem vispārējais vienādojums pieskares, kas definēta kā y = f(a) = f (a)(x – a), un aizstāj tajā atrastās vērtības a, f(a), f "(a). Rezultātā tiks atrasts grafa un pieskares risinājums.

Atrisiniet uzdevumu citādā veidā, ja dotais pieskares punkts nesakrīt ar pieskares punktu. Šajā gadījumā pieskares vienādojumā skaitļu vietā ir jāaizstāj ar “a”. Pēc tam burtu “x” un “y” vietā aizstājiet ar dotā punkta koordinātu vērtību. Atrisiniet iegūto vienādojumu, kurā “a” ir nezināmais. Pievienojiet iegūto vērtību pieskares vienādojumam.

Uzrakstiet vienādojumu pieskarei ar burtu “a”, ja problēmas formulējums norāda vienādojumu funkcijas un vienādojums paralēla līnija attiecībā pret vēlamo tangensu. Pēc tam mums ir nepieciešams atvasinājums funkcijas, uz koordinātu punktā “a”. Aizstājiet atbilstošo vērtību pieskares vienādojumā un atrisiniet funkciju.

Šajā rakstā mēs analizēsim visu veidu problēmas, lai atrastu

Atcerēsimies atvasinājuma ģeometriskā nozīme: ja funkcijas grafikam punktā ir uzzīmēta tangensa, tad pieskares slīpuma koeficients (vienāds ar leņķa tangensu starp pieskari un ass pozitīvo virzienu) ir vienāds ar funkcijas atvasinājumu. punktā.

Ņemsim patvaļīgu punktu pieskarei ar koordinātām:

Un apsveriet taisnleņķa trīsstūris :

Šajā trīsstūrī

No šejienes

Šis ir pieskares vienādojums, kas pievilkts funkcijas grafikam punktā.

Lai uzrakstītu pieskares vienādojumu, mums ir jāzina tikai funkcijas vienādojums un punkts, kurā pieskares novilkta. Tad mēs varam atrast un .

Ir trīs galvenie tangenšu vienādojumu problēmu veidi.

1. Dots kontaktpunkts

2. Ir dots pieskares slīpuma koeficients, tas ir, funkcijas atvasinājuma vērtība punktā.

3. Dotas tā punkta koordinātas, caur kuru tiek novilkta pieskares punkts, bet kurš nav pieskares punkts.

Apskatīsim katru uzdevumu veidu.

1. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā .

.

b) Atrodiet atvasinājuma vērtību punktā . Vispirms atradīsim funkcijas atvasinājumu

Aizstāsim atrastās vērtības pieskares vienādojumā:

Atvērsim iekavas vienādojuma labajā pusē. Mēs iegūstam:

Atbilde: .

2. Atrodiet to punktu abscisu, kuros funkcijas ir pieskares grafikam paralēli x asij.

Ja pieskare ir paralēla x asij, tātad leņķis starp pieskares un ass pozitīvo virzienu ir nulle, tātad pieskares leņķa tangensa ir nulle. Tas nozīmē, ka funkcijas atvasinājuma vērtība pieskares punktos ir nulle.

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

b) Pielīdzināsim atvasinājumu nullei un atradīsim vērtības, kurās pieskare ir paralēla asij:

Pielīdzinot katru koeficientu nullei, mēs iegūstam:

Atbilde: 0;3;5

3. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumus , paralēli tiešā veidā .

Pieskare ir paralēla taisnei. Šīs līnijas slīpums ir -1. Tā kā pieskare ir paralēla šai taisnei, tad arī pieskares slīpums ir -1. Tas ir mēs zinām pieskares slīpumu, un tādējādi atvasinātā vērtība pieskares punktā.

Šis ir otrā veida uzdevums, lai atrastu pieskares vienādojumu.

Tātad mums tiek dota funkcija un atvasinājuma vērtība pieskares punktā.

a) Atrodiet punktus, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar -1.

Pirmkārt, atradīsim atvasināto vienādojumu.

Pielīdzināsim atvasinājumu skaitlim -1.

Atradīsim funkcijas vērtību punktā.

(pēc nosacījuma)

.

b) Atrodiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā .

Atradīsim funkcijas vērtību punktā.

(pēc nosacījuma).

Aizstāsim šīs vērtības tangentes vienādojumā:

.

Atbilde:

4. Uzrakstiet līknes pieskares vienādojumu , iet caur punktu

Vispirms pārbaudīsim, vai punkts ir pieskares punkts. Ja punkts ir pieskares punkts, tad tas pieder funkcijas grafikam, un tā koordinātām jāatbilst funkcijas vienādojumam. Aizstāsim punkta koordinātas funkcijas vienādojumā.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} negatīvs skaitlis, vienādība nav patiesa, un punkts nepieder funkcijas un grafikam nav saskarsmes punkts.

Šis ir pēdējais uzdevuma veids, lai atrastu pieskares vienādojumu. Pirmkārt mums jāatrod pieskares punkta abscisa.

Atradīsim vērtību.

Ļaujiet būt kontaktpunktam. Punkts pieder pie funkcijas grafika pieskares. Ja šī punkta koordinātas aizstājam pieskares vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību:

.

Funkcijas vērtība punktā ir .

Atradīsim funkcijas atvasinājuma vērtību punktā.

Vispirms atradīsim funkcijas atvasinājumu. Šī .

Atvasinājums punktā ir vienāds ar .

Aizstāsim izteiksmes pieskares vienādojumam un ar to. Mēs iegūstam vienādojumu:

Atrisināsim šo vienādojumu.

Samaziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju par 2:

Savedīsim vienādojuma labo pusi pie kopsaucēja. Mēs iegūstam:

Vienkāršosim daļskaitļa skaitītāju un reizinām abas puses ar - šī izteiksme ir stingri lielāka par nulli.

Mēs iegūstam vienādojumu

Atrisināsim. Lai to izdarītu, izlīdzināsim abas daļas kvadrātā un pārejam pie sistēmas.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0) ) ))( )">!}

Atrisināsim pirmo vienādojumu.

Izlemsim kvadrātvienādojums, saņemam

Otrā sakne neatbilst nosacījumam title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Uzrakstīsim punktā līknes pieskares vienādojumu. Lai to izdarītu, vienādojumā aizstājiet vērtību – Mēs to jau ierakstījām.

Atbilde:
.

Ieslēgts mūsdienu skatuve izglītības attīstība, viens no tās galvenajiem uzdevumiem ir radoši domājošas personības veidošana. Radošuma spējas skolēnos var attīstīt tikai tad, ja viņi sistemātiski tiek iesaistīti pētnieciskās darbības pamatos. Pamatu audzēkņu radošo spēku, spēju un talantu izmantošanai veido pilnvērtīgas zināšanas un prasmes. Šajā sakarā sistēmas veidošanas problēma pamatzināšanas un prasmes katrai tēmai skolas kurss matemātikai nav maza nozīme. Tajā pašā laikā pilnvērtīgām prasmēm jābūt nevis atsevišķu uzdevumu didaktiskajam mērķim, bet gan rūpīgi pārdomātai to sistēmai. Plašākajā nozīmē sistēma tiek saprasta kā savstarpēji saistītu mijiedarbīgu elementu kopums, kam ir integritāte un stabila struktūra.

Apskatīsim paņēmienu, kā iemācīt studentiem uzrakstīt vienādojumu funkcijas grafika pieskarei. Būtībā visas pieskares vienādojuma atrašanas problēmas ir saistītas ar nepieciešamību no līniju kopas (saitas, saimes) izvēlēties tās, kas atbilst noteiktai prasībai - tās ir pieskares noteiktas funkcijas grafikam. Šajā gadījumā līniju kopu, no kurām tiek veikta atlase, var norādīt divos veidos:

a) punkts, kas atrodas uz xOy plaknes (centrālais līniju zīmulis);
b) leņķiskais koeficients (paralēlais taisnu staru kūlis).

Šajā sakarā, pētot tēmu “Funkcijas grafika pieskares”, lai izolētu sistēmas elementus, mēs identificējām divu veidu problēmas:

1) pieskares problēmas, punkts dots, caur kuru tas iet;
2) problēmas uz pieskares, ko dod tās slīpums.

Apmācība tangentes problēmu risināšanā tika veikta, izmantojot A.G. piedāvāto algoritmu. Mordkovičs. Viņa principiāla atšķirība no jau zināmajiem ir tas, ka pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a (nevis x0), un tāpēc pieskares vienādojums iegūst formu

y = f(a) + f "(a) (x - a)

(salīdziniet ar y = f(x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). metodiskā tehnika, mūsuprāt, ļauj studentiem ātri un viegli saprast, kur vispārējā pieskares vienādojumā ir ierakstītas pašreizējā punkta koordinātas un kur atrodas pieskares punkti.

Funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritms

1. Pieskares punkta abscisu apzīmē ar burtu a.
2. Atrodiet f(a).
3. Atrodiet f "(x) un f "(a).
4. Aizvietojiet atrastos skaitļus a, f(a), f "(a) vispārējā pieskares vienādojumā y = f(a) = f "(a)(x – a).

Šo algoritmu var sastādīt, pamatojoties uz studentu patstāvīgu darbību identificēšanu un to izpildes secību.

Prakse ir parādījusi, ka katras galvenās problēmas secīgs risinājums, izmantojot algoritmu, ļauj attīstīt prasmes rakstīt funkcijas grafika pieskares vienādojumu pa posmiem, un algoritma soļi kalpo kā atskaites punkti darbībām. . Šī pieeja atbilst teorijai pakāpeniska veidošanās garīgās darbības, ko izstrādājis P.Ya. Galperins un N.F. Taļizina.

Pirmā veida uzdevumos tika noteikti divi galvenie uzdevumi:

• pieskares iet caur punktu, kas atrodas uz līknes (1. uzdevums);
• tangenss iet caur punktu, kas neatrodas uz līknes (2. uzdevums).

1. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā M(3; – 2).

Risinājums. Punkts M(3; – 2) ir pieskares punkts, jo

1. a = 3 – pieskares punkta abscisa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2–4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – pieskares vienādojums.

2. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = – x 2 – 4x + 2 grafikam, kas iet caur punktu M(– 3; 6).

Risinājums. Punkts M(– 3; 6) nav pieskares punkts, jo f(– 3) 6 (2. att.).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – pieskares vienādojums.

Pieskares iet caur punktu M(– 3; 6), tāpēc tās koordinātes apmierina pieskares vienādojumu.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ja a = – 4, tad pieskares vienādojums ir y = 4x + 18.

Ja a = – 2, tad pieskares vienādojumam ir forma y = 6.

Otrajā veidā galvenie uzdevumi būs šādi:

• pieskare ir paralēla kādai taisnei (3. uzdevums);
• pieskare iet noteiktā leņķī pret doto taisni (4. uzdevums).

3. uzdevums. Uzrakstiet visu pieskares vienādojumus funkcijas y = x 3 grafikā – 3x 2 + 3, paralēli taisnei y = 9x + 1.

1. a – pieskares punkta abscisa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Bet, no otras puses, f "(a) = 9 (paralēlisma nosacījums). Tas nozīmē, ka jāatrisina vienādojums 3a 2 – 6a = 9. Tā saknes ir a = – 1, a = 3 (3. att.). ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – pieskares vienādojums;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – pieskares vienādojums.

4. uzdevums. Uzrakstiet funkcijas y = 0,5x 2 – 3x + 1 grafika pieskares vienādojumu, kas iet 45° leņķī pret taisni y = 0 (4. att.).

Risinājums. No nosacījuma f "(a) = tan 45° mēs atrodam a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – pieskares punkta abscisa.
2. f(4) = 8–12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – pieskares vienādojums.

Ir viegli parādīt, ka jebkuras citas problēmas risinājums ir vienas vai vairāku galveno problēmu atrisināšana. Apsveriet šādas divas problēmas kā piemēru.

1. Uzrakstiet parabolas y = 2x 2 – 5x – 2 pieskares vienādojumus, ja pieskares krustojas taisnā leņķī un viena no tām pieskaras parabolai punktā ar abscisu 3 (5. att.).

Risinājums. Tā kā pieskares punkta abscisa ir dota, risinājuma pirmā daļa tiek reducēta uz galveno problēmu 1.

1. a = 3 – vienas malas pieskares punkta abscisa taisnā leņķī.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – pirmās pieskares vienādojums.

Ļaujiet a ir pirmās pieskares slīpuma leņķis. Tā kā pieskares ir perpendikulāras, tad ir otrās pieskares slīpuma leņķis. No pirmās pieskares vienādojuma y = 7x – 20 iegūstam tg a = 7. Atradīsim

Tas nozīmē, ka otrās pieskares slīpums ir vienāds ar .

Tālākais risinājums ir 3. galvenais uzdevums.

Tad lai B(c; f(c)) ir otrās rindas pieskares punkts

1. – otrā pieskares punkta abscisa.
2.
3.
4.
– otrās pieskares vienādojums.

Piezīme. Pieskares leņķisko koeficientu var vieglāk atrast, ja studenti zina perpendikulāru taisnes koeficientu attiecību k 1 k 2 = – 1.

2. Uzrakstiet visu kopīgo pieskares vienādojumus funkciju grafikos

Risinājums. Problēma ir saistīta ar kopējo pieskares punktu abscisu atrašanu, tas ir, 1. galvenās problēmas atrisināšanu. vispārējs skats, vienādojumu sistēmas sastādīšana un tās sekojošais risinājums (6. att.).

1. Funkcijas y = x 2 + x + 1 grafikā esošā pieskares punkta abscisa ir a.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Pieskares punkta abscisei c, kas atrodas uz funkcijas grafika
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tā kā pieskares ir vispārīgas, tad

Tātad y = x + 1 un y = – 3x – 3 ir kopējās pieskares.

Aplūkojamo uzdevumu galvenais mērķis ir sagatavot studentus patstāvīgi atpazīt galvenās problēmas veidu, risinot sarežģītākas problēmas, kurām nepieciešamas noteiktas pētnieciskās prasmes (spēja analizēt, salīdzināt, vispārināt, izvirzīt hipotēzi u.c.). Šādi uzdevumi ietver jebkuru uzdevumu, kurā galvenais uzdevums ir iekļauts kā sastāvdaļa. Kā piemēru aplūkosim funkciju (apgriezti 1. uzdevumam) atrast funkciju no tās pieskares saimes.

3. Kādam b un c ir taisnes y = x un y = – 2x pieskares funkcijas y = x 2 + bx + c grafikam?

Pieņemsim, ka t ir taisnes y = x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c; p ir taisnes y = – 2x pieskares punkta abscisa ar parabolu y = x 2 + bx + c. Tad pieskares vienādojums y = x iegūs formā y = (2t + b)x + c – t 2 , bet pieskares vienādojums y = – 2x būs y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sastādām un atrisināsim vienādojumu sistēmu

Atbilde:

Ieejas līmenis

Funkcijas grafika pieskares vienādojums. Visaptveroša rokasgrāmata (2019)

Vai jūs jau zināt, kas ir atvasinājums? Ja nē, vispirms izlasi tēmu. Tātad jūs sakāt, ka zināt atvasinājumu. Tagad pārbaudīsim. Atrodiet funkcijas pieaugumu, ja argumenta pieaugums ir vienāds ar. Vai jums izdevās? Tam vajadzētu strādāt. Tagad atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā. Atbilde: . Vai tas izdevās? Ja jums rodas grūtības ar kādu no šiem piemēriem, es ļoti iesaku atgriezties pie tēmas un izpētīt to vēlreiz. Zinu, ka tēma ir ļoti liela, bet citādi nav jēgas iet tālāk. Apsveriet dažas funkcijas grafiku:

Grafikas līnijā atlasīsim noteiktu punktu. Ļaujiet tai abscisai, tad ordinātas ir vienādas. Tad mēs izvēlamies punktu ar abscisu tuvu punktam; tā ordināta ir:

Novelkam taisnu līniju caur šiem punktiem. To sauc par sekantu (tāpat kā ģeometrijā). Apzīmēsim taisnās līnijas slīpuma leņķi pret asi kā. Tāpat kā trigonometrijā, šo leņķi mēra no x ass pozitīvā virziena pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Kādas vērtības var būt leņķim? Neatkarīgi no tā, kā jūs noliekat šo taisno līniju, viena puse joprojām turēsies uz augšu. Tāpēc maksimālais iespējamais leņķis ir , bet minimālais iespējamais leņķis ir . Nozīmē,. Leņķis nav iekļauts, jo taisnās līnijas pozīcija šajā gadījumā precīzi sakrīt ar, un loģiskāk ir izvēlēties mazāku leņķi. Ņemsim tādu punktu attēlā, ka taisne ir paralēla abscisu asij un a ir ordinātu ass:

No attēla var redzēt, ka a. Tad pieauguma koeficients ir:

(jo tas ir taisnstūrveida).

Samazināsim tagad. Tad punkts tuvosies punktam. Kad tā kļūst bezgalīgi maza, attiecība kļūst vienāda ar funkcijas atvasinājumu punktā. Kas notiks ar sekantu? Punkts būs bezgalīgi tuvu punktam, lai tos varētu uzskatīt par vienu un to pašu punktu. Bet taisna līnija, kurai ir tikai viens kopīgs punkts ar līkni, ir nekas vairāk kā pieskares(šajā gadījumā šis nosacījums ir izpildīts tikai nelielā teritorijā - netālu no punkta, bet ar to pietiek). Viņi saka, ka šajā gadījumā sekants ņem robežpozīcija.

Sauksim sekanta slīpuma leņķi pret asi. Tad izrādās, ka atvasinājums

tas ir atvasinājums ir vienāds ar pieskares slīpuma leņķa tangensu funkcijas grafikam dotajā punktā.

Tā kā pieskare ir līnija, atcerēsimies līnijas vienādojumu:

Par ko ir atbildīgs koeficients? Taisnes slīpumam. To sauc šādi: slīpums. Ko tas nozīmē? Un tas, ka tas ir vienāds ar leņķa pieskari starp taisni un asi! Tātad notiek šādi:

Bet mēs ieguvām šo noteikumu, ņemot vērā pieaugošo funkciju. Kas mainīsies, ja funkcija samazinās? Apskatīsim:
Tagad leņķi ir stulbi. Un funkcijas pieaugums ir negatīvs. Apskatīsim vēlreiz: . No otras puses,. Mēs iegūstam: , tas ir, viss ir tāpat kā pagājušajā reizē. Atkal virzīsim punktu uz punktu, un sekants ieņems ierobežojošo pozīciju, tas ir, tas pārvērtīsies par pieskari funkcijas grafikam punktā. Tātad, formulēsim pēdējo noteikumu:
Funkcijas atvasinājums dotajā punktā ir vienāds ar pieskares slīpuma leņķa tangensu funkcijas grafikam šajā punktā vai (kas ir vienāda) ar šīs pieskares slīpumu:

Šis ir tas atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Labi, tas viss ir interesanti, bet kāpēc mums tas ir vajadzīgs? Šeit piemērs:
Attēlā parādīts funkcijas grafiks un tai pieskares abscisu punktā. Atrodiet funkcijas atvasinājuma vērtību punktā.
Risinājums.
Kā mēs nesen noskaidrojām, atvasinājuma vērtība pieskares punktā ir vienāda ar pieskares slīpumu, kas savukārt ir vienāds ar šīs pieskares slīpuma leņķa pieskari abscisu asij: . Tas nozīmē, ka, lai atrastu atvasinājuma vērtību, jāatrod pieskares leņķa tangenss. Attēlā esam atzīmējuši divus punktus, kas atrodas uz pieskares, kuru koordinātas mums ir zināmas. Tātad pabeigsim taisnleņķa trijstūra konstruēšanu, kas iet caur šiem punktiem, un atradīsim pieskares leņķa tangensu!

Pieskares slīpuma leņķis pret asi ir. Atradīsim šī leņķa tangensu: . Tādējādi funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar.
Atbilde:. Tagad izmēģiniet to pats:

Atbildes:

Zinot atvasinājuma ģeometriskā nozīme, mēs varam ļoti vienkārši izskaidrot noteikumu, ka atvasinājums vietējā maksimuma vai minimuma punktā ir vienāds ar nulli. Patiešām, grafika pieskare šajos punktos ir “horizontāla”, tas ir, paralēla x asij:

Kāds ir leņķis starp paralēlām līnijām? Protams, nulle! Un nulles tangenss arī ir nulle. Tātad atvasinājums ir vienāds ar nulli:

Vairāk par to lasiet tēmā “Funkciju monotonitāte. Ekstrēma punkti."

Tagad pievērsīsimies patvaļīgām pieskarēm. Pieņemsim, ka mums ir kāda funkcija, piemēram, . Mēs esam uzzīmējuši tā grafiku un kādā brīdī vēlamies tam uzzīmēt pieskari. Piemēram, kādā punktā. Mēs ņemam lineālu, pievienojam to grafikam un zīmējam:

Ko mēs zinām par šo līniju? Kas ir vissvarīgākais, kas jāzina par tieši uz koordinātu plakne? Tā kā taisne ir lineāras funkcijas attēls, būtu ļoti ērti zināt tās vienādojumu. Tas ir, vienādojuma koeficienti

Bet mēs jau zinām! Šis ir pieskares slīpums, kas ir vienāds ar funkcijas atvasinājumu šajā punktā:

Mūsu piemērā tas būs šādi:

Tagad atliek tikai to atrast. Tas ir tikpat vienkārši kā bumbieru lobīšana: galu galā - vērtība. Grafiski šī ir taisnes un ordinātu asi krustošanās koordināte (galu galā visos ass punktos):

Uzzīmēsim to (lai tas būtu taisnstūrveida). Pēc tam (līdz tādam pašam leņķim starp pieskari un x asi). Kas ir un ir līdzvērtīgi? Attēlā skaidri redzams, ka a. Tad mēs iegūstam:

Visas iegūtās formulas apvienojam taisnas līnijas vienādojumā:

Tagad izlemiet paši:

1. Atrast pieskares vienādojums uz funkciju kādā punktā.
2. Parabolas pieskare krusto asi leņķī. Atrodiet šīs tangensas vienādojumu.
3. Līnija ir paralēla funkcijas grafika pieskarei. Atrodiet pieskares punkta abscisu.
4. Līnija ir paralēla funkcijas grafika pieskarei. Atrodiet pieskares punkta abscisu.

Risinājumi un atbildes:

FUNKCIJAS GRAFIKA TANGENTES VIENĀDOJUMS. ĪSS APRAKSTS UN PAMATFORMULAS

Funkcijas atvasinājums noteiktā punktā ir vienāds ar funkcijas grafika pieskares tangensu šajā punktā vai šīs pieskares slīpumu:

Funkcijas grafika pieskares vienādojums punktā:

Algoritms pieskares vienādojuma atrašanai:

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Priekš kam?

Par veiksmīgu nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, uzņemšanai koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt pašlaik lasāmās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā - 299 rubļi.
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - 999 rubļi.

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Otrajā gadījumā mēs jums dosim simulators "6000 problēmas ar risinājumiem un atbildēm, katrai tēmai, visos sarežģītības līmeņos." Ar to noteikti pietiks, lai pieliktu roku problēmu risināšanā par jebkuru tēmu.

Patiesībā tas ir daudz vairāk nekā tikai simulators - visa apmācības programma. Ja nepieciešams, varat to izmantot arī BEZMAKSAS.

Piekļuve visiem tekstiem un programmām tiek nodrošināta VISU vietnes pastāvēšanas laiku.

Un noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!