Ar ko pieskare ir vienāda ar trigonometriju? Noteikumi trigonometrisko funkciju atrašanai: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss

Trigonometriskās funkcijas zīme ir atkarīga tikai no koordinātu kvadranta, kurā atrodas skaitliskais arguments. Iepriekšējā reizē mēs iemācījāmies pārvērst argumentus no radiāna mēra uz grādu mēru (skatiet nodarbību “ Radiāns un leņķa pakāpes mērs”) un pēc tam noteikt šo pašu koordinātu ceturksni. Tagad faktiski noteiksim sinusa, kosinusa un pieskares zīmi.

Leņķa α sinuss ir trigonometriskā apļa punkta ordināta (y koordināte), kas rodas, rādiusu pagriežot par leņķi α.

Leņķa α kosinuss ir trigonometriskā apļa punkta abscisa (x koordināte), kas rodas, rādiusu pagriežot par leņķi α.

Leņķa α tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība. Vai arī, kas ir tas pats, y koordinātas attiecība pret x koordinātu.

Apzīmējums: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Visas šīs definīcijas jums ir pazīstamas no vidusskolas algebras. Tomēr mūs neinteresē pašas definīcijas, bet gan sekas, kas rodas uz trigonometriskā apļa. Paskaties:

Zilā krāsa norāda OY ass (ordinātu ass) pozitīvo virzienu, sarkanā norāda OX ass (abscisu ass) pozitīvo virzienu. Uz šī "radara" ir zīmes trigonometriskās funkcijas kļūt acīmredzams. It īpaši:

sin α > 0, ja leņķis α atrodas I vai II koordinātu kvadrantā. Tas ir tāpēc, ka pēc definīcijas sinuss ir ordināta (y koordināte). Un y koordināta būs pozitīva tieši I un II koordinātu ceturtdaļās;
cos α > 0, ja leņķis α atrodas 1. vai 4. koordinātu kvadrantā. Jo tikai tur x koordināta (aka abscisa) būs lielāka par nulli;
tan α > 0, ja leņķis α atrodas I vai III koordinātu kvadrantā. Tas izriet no definīcijas: galu galā tan α = y : x, tāpēc tas ir pozitīvs tikai tad, ja x un y zīmes sakrīt. Tas notiek pirmajā koordinātu ceturksnī (šeit x > 0, y > 0) un trešajā koordinātu ceturksnī (x< 0, y < 0).

Skaidrības labad atsevišķos “radaros” atzīmēsim katras trigonometriskās funkcijas – sinusa, kosinusa un tangences – zīmes. Mēs iegūstam šādu attēlu:

Lūdzu, ņemiet vērā: savās diskusijās es nekad nerunāju par ceturto trigonometrisko funkciju - kotangentu. Fakts ir tāds, ka kotangentes zīmes sakrīt ar pieskares zīmēm - tur nav īpašu noteikumu.

Tagad es ierosinu apsvērt piemērus, kas ir līdzīgi problēmām B11 no izmēģinājuma vienotais valsts eksāmens matemātikā, kas notika 2011. gada 27. septembrī. Galu galā Labākais veids teorijas izpratne ir prakse. Vēlams daudz vingrināties. Protams, uzdevumu nosacījumi tika nedaudz mainīti.

Uzdevums. Nosakiet trigonometrisko funkciju un izteiksmju zīmes (pašu funkciju vērtības nav jāaprēķina):

grēks(3π/4);

cos(7π/6);

tg(5π/3);

sin (3π/4) cos (5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin (5π/6) cos (7π/4);

iedegums (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Rīcības plāns ir šāds: vispirms visus leņķus no radiāniem pārvēršam grādos (π → 180°), un tad skatāmies, kurā koordinātu ceturksnī atrodas iegūtais skaitlis. Zinot kvartālus, mēs varam viegli atrast zīmes - saskaņā ar tikko aprakstītajiem noteikumiem. Mums ir:

grēks (3π/4) = grēks (3 · 180°/4) = grēks 135°. Tā kā 135° ∈ , tas ir leņķis no II koordinātu kvadranta. Bet sinuss otrajā ceturksnī ir pozitīvs, tātad grēks (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Jo 210° ∈ , tas ir leņķis no trešā koordinātu kvadranta, kurā visi kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos(7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Kopš 300° ∈ esam IV ceturksnī, kur ņem tangensu negatīvas vērtības. Tāpēc iedegums (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = grēks (3 180°/4) cos (5 180°/6) = grēks 135° cos 150°. Tiksim galā ar sinusu: jo 135° ∈ , šis ir otrais ceturksnis, kurā sinusi ir pozitīvi, t.i. sin (3π/4) > 0. Tagad strādājam ar kosinusu: 150° ∈ - atkal otrais ceturksnis, tur kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Mēs skatāmies uz kosinusu: 120° ∈ ir II koordinātu ceturtdaļa, tātad cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Atkal mēs saņēmām produktu, kurā faktoriem ir dažādas zīmes. Tā kā “mīnus ar plus dod mīnusu”, mums ir: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Mēs strādājam ar sinusu: kopš 150° ∈ , mēs runājam par par II koordinātu kvartālu, kur sinusi ir pozitīvi. Tāpēc sin (5π/6) > 0. Tāpat 315° ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, tur esošie kosinusi ir pozitīvi. Tāpēc cos (7π/4) > 0. Ieguvām divu reizinājumu pozitīvi skaitļi- šāds izteiciens vienmēr ir pozitīvs. Secinām: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Bet leņķis 135° ∈ ir otrais ceturksnis, t.i. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Tā kā “mīnus ar plusu dod mīnusa zīmi”, mums ir: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Apskatām kotangences argumentu: 240° ∈ ir III koordinātu ceturtdaļa, tātad ctg (4π/3) > 0. Tāpat arī pieskarei mums ir: 30° ∈ ir I koordinātu ceturtdaļa, t.i. vienkāršākais leņķis. Tāpēc iedegums (π/6) > 0. Atkal mums ir divas pozitīvas izteiksmes - arī to produkts būs pozitīvs. Tāpēc bērnu gultiņa (4π/3) tg (π/6) > 0.

Visbeidzot, apskatīsim dažas sarežģītākas problēmas. Papildus trigonometriskās funkcijas zīmes noskaidrošanai, jums šeit būs jāveic neliela matemātika - tieši tā, kā tas tiek darīts reālos uzdevumos B11. Principā tās ir gandrīz reālas problēmas, kas faktiski parādās vienotajā valsts eksāmenā matemātikā.

Uzdevums. Atrast sin α, ja sin 2 α = 0,64 un α ∈ [π/2; π].

Tā kā sin 2 α = 0,64, mums ir: sin α = ±0,8. Atliek tikai izlemt: plus vai mīnus? Pēc nosacījuma leņķis α ∈ [π/2; π] ir II koordinātu ceturtdaļa, kur visi sinusi ir pozitīvi. Tāpēc grēks α = 0,8 - nenoteiktība ar zīmēm tiek novērsta.

Uzdevums. Atrast cos α, ja cos 2 α = 0,04 un α ∈ [π; 3π/2].

Mēs rīkojamies līdzīgi, t.i. ekstrakts Kvadrātsakne: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Pēc nosacījuma leņķis α ∈ [π; 3π/2], t.i. Runa ir par trešo koordinātu ceturksni. Visi tur esošie kosinusi ir negatīvi, tāpēc cos α = −0,2.

Uzdevums. Atrodiet sin α, ja sin 2 α = 0,25 un α ∈ .

Mums ir: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Vēlreiz skatāmies uz leņķi: α ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, kurā, kā zināms, sinuss būs negatīvs. Tādējādi secinām: sin α = −0,5.

Uzdevums. Atrodiet tan α, ja tan 2 α = 9 un α ∈ .

Viss ir vienāds, tikai pieskarei. Izvelciet kvadrātsakni: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Bet saskaņā ar nosacījumu leņķis α ∈ ir I koordinātu ceturtdaļa. Visas trigonometriskās funkcijas, t.sk. pieskares, ir pozitīvi, tāpēc iedegums α = 3. Tas arī viss!

Šis raksts satur sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabulas. Pirmkārt, mēs nodrošināsim trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabulu, tas ir, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grādu leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabulu ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radiāns). Pēc tam mēs sniegsim sinusu un kosinusu tabulu, kā arī V. M. Bradisa pieskares un kotangenšu tabulu un parādīsim, kā šīs tabulas izmantot, meklējot trigonometrisko funkciju vērtības.

Lapas navigācija.

Sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula 0, 30, 45, 60, 90, ... grādu leņķiem

Bibliogrāfija.

Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: ISBN 5-09-002727-7
Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izd. - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: ISBN 5-09-013651-3.
Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Bredis V. M.Četru ciparu matemātikas tabulas: Vispārējai izglītībai. mācību grāmata iestādes. - 2. izd. - M.: Bustards, 1999.- 96 lpp.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas, matemātikas nozares, galvenās kategorijas un ir nesaraujami saistīti ar leņķa definīciju. Šīs matemātiskās zinātnes apgūšanai nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī attīstīta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.

Jēdzieni trigonometrijā

Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms ir jāsaprot, kas ir taisnleņķa trijstūris un leņķis aplī un kāpēc ar tiem ir saistīti visi pamata trigonometriskie aprēķini. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnstūrveida. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā un astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nāca aprēķināt atbilstošās tā parametru attiecības.

Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trijstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.

Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra īpatnība sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.

Trijstūra leņķi

Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir mazāks par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.

Leņķa tangenss ir vērtība, kas vienāda ar vajadzīgā leņķa pretējās malas un blakus esošās malas attiecību jeb sinusu pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus malas attiecība pret pretējo pusi. Leņķa kotangensu var iegūt arī, dalot vienu ar pieskares vērtību.

Vienības aplis

Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis tiek konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākuma pozīciju nosaka pa X ass pozitīvo virzienu (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu abscisu asij, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmē ar burtu C), perpendikulu novelk X asij. (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G), un segments ir abscisu asi starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplī, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķis starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG ir definēts kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss, un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.

Turklāt, zinot šos datus, var noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α;sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa un kosinusa attiecību, varam noteikt, ka tan α = y/x un cot α = x/y. Apsverot leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, jūs varat aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.

Aprēķini un pamatformulas

Trigonometriskās funkcijas vērtības

Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.

Vienkāršākās trigonometriskās identitātes

Vienādojumi, kuros ietverta trigonometriskās funkcijas zīme nezināma vērtība, sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k - jebkurš vesels skaitlis:

sin x = 0, x = πk.
2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x = -1, x = π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

iedegums x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk.

Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:

bērnu gultiņa x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Samazināšanas formulas

Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, samazināt jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu līdz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.

Formulas leņķa sinusa funkciju samazināšanai izskatās šādi:

sin(900 — α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = grēks α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = grēks α.

Leņķa kosinusam:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:

no grēka uz cos;
no cos uz grēku;
no tg līdz ctg;
no ctg uz tg.

Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).

Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja tā sākotnēji bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats ar negatīvajām funkcijām.

Papildināšanas formulas

Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības, izmantojot to trigonometriskās funkcijas. Parasti leņķus apzīmē kā α un β.

Formulas izskatās šādi:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
iedegums(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.

Divkāršā un trīskāršā leņķa formulas

Divkāršā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Pāreja no summas uz produktu

Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Pāreja no produkta uz summu

Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Pakāpju samazināšanas formulas

Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universāla aizstāšana

Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.

sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), ar x = π + 2πn;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kur x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
gultiņa x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), ar x = π + 2πn.

Īpaši gadījumi

Īpaši vienšūņu gadījumi trigonometriskie vienādojumi ir doti zemāk (k ir jebkurš vesels skaitlis).

Sinusa koeficienti:

Sin x vērtība	x vērtība
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk

Kosinusa koeficienti:

cos x vērtība	x vērtība
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Pieskares koeficienti:

tg x vērtība	x vērtība
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangensa koeficienti:

ctg x vērtība	x vērtība
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teorēmas

Sinusu teorēma

Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkāršā sinusa teorēma: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.

Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.

Kosinusa teorēma

Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas ir pretējs malai a.

Pieskares teorēma

Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tiem pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangentes teorēma

Savieno trīsstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir leņķi pret tiem, r ir ierakstītā riņķa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, identitātes ir derīgas:

bērnu gultiņa A/2 = (p-a)/r;
bērnu gultiņa B/2 = (p-b)/r;
bērnu gultiņa C/2 = (p-c)/r.

Pieteikums

Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas nozares. cilvēka darbība- astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.

Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuru palīdzību var matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī, un atrast nepieciešamos lielumus caur identitātēm, teorēmām un noteikumiem.

Problēma 6.12. Tas pats jautājums, kas iepriekšējā uzdevumā, bet parastam piecstūrim (padoms: skatiet 3.5. uzdevumu).

Problēma 6.13. 4.8. uzdevumā tika teikts, ka kā aptuvenu maza leņķa α kosinusa vērtību varam ņemt skaitli 1, tas ir, kosinusa funkcijas vērtību pie nulles. Ko darīt, ja bez papildu piepūles mēs pieņemam 0 = sin 0 kā aptuvenu maza leņķa α sinusa vērtību? Kāpēc tas ir slikti?

Rīsi. 6.4. Punkts M pārvietojas pa cikloīdu.

Problēma 6.14. Aplūkosim riteni ar rādiusu 1, kas pieskaras x asi sākumam (6.4. att.). Pieņemsim, ka ritenis ripo pa x asi pozitīvā virzienā ar ātrumu 1 (tas ir, laikā t tā centrs nobīdās t pa labi).

a) Uzzīmējiet (aptuveni) līkni, kuru aprakstīs punkts M, pirmajā brīdī pieskaroties abscisu asij.

b) Atrodi, kāda būs punkta M abscisa un ordinātas pēc laika t pēc kustības sākuma.

6.1. Pieskares ass

Šajā sadaļā mēs definējām sinusu un kosinusu ģeometriski kā punkta ordinātu un abscisi, bet tangensu - algebriski kā sin t/ cos t. Tomēr pieskarei var piešķirt ģeometrisku nozīmi.

Lai to izdarītu, caur punktu ar koordinātām (1; 0) (trigonometriskā apļa sākumpunkts) novelciet trigonometriskā apļa pieskari - taisnu līniju, kas ir paralēla asij

Rīsi. 6.5. Pieskares ass.

ordināta Sauksim šo taisni par tangentes asi (6.5. att.). Šo nosaukumu pamato šādi: lai M ir punkts uz trigonometriskā apļa, kas atbilst skaitlim t. Turpināsim rādiusu SM, līdz tas krustojas ar pieskares asi. Tad izrādās, ka krustojuma punkta ordināta ir vienāda ar tg t.

Faktiski trīsstūri NOS un MP S attēlā. 6.5, protams

	bet līdzīgi. No šejienes



	kas arī tika teikts.									vai (0; -1), pēc tam tieši
	Ja punktam M ir koordinātas (0; 1)

Maija SM ir paralēla pieskares asij, un tangensu nevar noteikt, izmantojot mūsu metodi. Tas nav pārsteidzoši: šo punktu abscisa ir 0, tāpēc cos t = 0 attiecīgajām t vērtībām un tg t = sin t / cos t nav definēts.

6.2. Trigonometrisko funkciju pazīmes

Noskaidrosim, pie kurām t vērtībām sinusa, kosinusa un tangensa ir pozitīvas un pie kurām vērtībām tās ir negatīvas. Saskaņā ar definīciju, sin t ir tāda punkta ordināta uz trigonometriskā apļa, kas atbilst skaitlim t. Tāpēc sin t > 0, ja punkts t ir ieslēgts

Centrēts punktā A.
α - radiānos izteikts leņķis.

Definīcija
Sinuss (sin α) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar pretējās malas garuma attiecību |BC| līdz hipotenūzas garumam |AC|.

Kosinuss (cos α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| līdz hipotenūzas garumam |AC|.

Pieņemtie apzīmējumi

;
;
.

Sinusa funkcijas grafiks, y = sin x

Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x

Sinusa un kosinusa īpašības

Periodiskums

Funkcijas y = grēks x un y = cos x periodisks ar periodu 2π.

Paritāte

Sinusa funkcija ir nepāra. Kosinusa funkcija ir vienmērīga.

Definīcijas joma un vērtības, galējības, pieaugums, samazinājums

Sinusa un kosinusa funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā, tas ir, visiem x (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). To galvenās īpašības ir parādītas tabulā (n - vesels skaitlis).

	y = grēks x	y = cos x
Darbības joma un nepārtrauktība	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vērtību diapazons	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Pieaug
Dilstoša
Maxima, y = 1
Minimums, y = - 1
Nulles, y = 0
Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0	y = 0	y = 1

Pamatformulas

Sinusa un kosinusa kvadrātu summa

Formulas sinususam un kosinusam no summas un starpības

;
;

Formulas sinusu un kosinusu reizinājumam

Summu un starpības formulas

Sinusu izsaka caur kosinusu

;
;
;
.

Kosinusa izteikšana caur sinusu