Logaritmu reizinājums ar vienu bāzi. Logaritmu īpašības un to atrisinājumu piemēri

Pozitīva skaitļa b logaritms bāzei a (a>0, a nav vienāds ar 1) ir tāds skaitlis c, ka a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Ņemiet vērā, ka nepozitīva skaitļa logaritms nav definēts. Turklāt logaritma bāzei jābūt pozitīvam skaitlim, kas nav vienāds ar 1. Piemēram, ja mēs kvadrātā -2, mēs iegūstam skaitli 4, bet tas nenozīmē, ka logaritms no 4 ir vienāds ar bāzes -2 logaritmu. uz 2.

Pamatlogaritmiskā identitāte

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ir svarīgi, lai šīs formulas labās un kreisās puses definīcijas apjoms būtu atšķirīgs. Kreisā puse ir definēta tikai b>0, a>0 un a ≠ 1. Labā puse ir definēta jebkuram b, un tā vispār nav atkarīga no a. Tādējādi pamata logaritmiskās “identitātes” pielietošana, risinot vienādojumus un nevienādības, var izraisīt OD izmaiņas.

Divas acīmredzamas logaritma definīcijas sekas

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Patiešām, paaugstinot skaitli a līdz pirmajai pakāpei, mēs iegūstam to pašu skaitli, un, palielinot to līdz nulles pakāpei, mēs iegūstam vienu.

Produkta logaritms un koeficienta logaritms

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vēlos brīdināt skolēnus no nepārdomātas šo formulu izmantošanas, risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības. Izmantojot tos “no kreisās uz labo”, ODZ sašaurinās, un, pārejot no logaritmu summas vai starpības uz reizinājuma vai koeficienta logaritmu, ODZ paplašinās.

Patiešām, izteiksme log a (f (x) g (x)) ir definēta divos gadījumos: kad abas funkcijas ir stingri pozitīvas vai f (x) un g (x) ir mazākas par nulli.

Pārveidojot šo izteiksmi summā log a f (x) + log a g (x), esam spiesti aprobežoties tikai ar gadījumu, kad f(x)>0 un g(x)>0. Ir apgabala sašaurināšanās pieņemamām vērtībām, un tas ir kategoriski nepieņemami, jo tas var novest pie risinājumu zaudēšanas. Līdzīga problēma pastāv formulai (6).

Pakāpi var izņemt no logaritma zīmes

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Un vēlreiz es vēlos aicināt būt piesardzīgiem. Apsveriet šādu piemēru:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Vienādības kreisā puse acīmredzami ir noteikta visām f(x) vērtībām, izņemot nulli. Labā puse ir paredzēta tikai f(x)>0! Izņemot grādu no logaritma, mēs atkal sašaurinām ODZ. Apgrieztā procedūra noved pie pieņemamo vērtību diapazona paplašināšanas. Visas šīs piezīmes attiecas ne tikai uz 2. jaudu, bet arī uz jebkuru vienmērīgu jaudu.

Formula pārejai uz jaunu pamatu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Tas rets gadījums, kad ODZ transformācijas laikā nemainās. Ja esat gudri izvēlējies bāzi c (pozitīvs un nav vienāds ar 1), formula pārejai uz jaunu bāzi ir pilnīgi droša.

Ja par jauno bāzi c izvēlamies skaitli b, iegūstam svarīgu īpašs gadījums formulas (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Daži vienkārši piemēri ar logaritmiem

Piemērs 1. Aprēķināt: log2 + log50.
Risinājums. log2 + log50 = log100 = 2. Mēs izmantojām logaritmu formulas (5) summu un decimāllogaritma definīciju.

Piemērs 2. Aprēķināt: lg125/lg5.
Risinājums. log125/log5 = log 5 125 = 3. Mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu bāzi (8).

Ar logaritmiem saistīto formulu tabula

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

No tā definīcijas izriet. Un tātad skaitļa logaritms b pamatojoties uz A ir definēts kā eksponents, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīvi skaitļi).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x=log a b, ir līdzvērtīgs vienādojuma atrisināšanai a x = b. Piemēram, žurnāls 2 8 = 3 jo 8 = 2 3 . Logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b pamatojoties uz a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritmu tēma ir cieši saistīta ar tēmu par skaitļa pakāpēm.

Ar logaritmiem, tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat rīkoties saskaitīšanas, atņemšanas operācijas un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, ņemot vērā to, ka logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit tiek piemēroti savi īpašie noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana.

Ņemsim divus logaritmus ar vienādām bāzēm: piesakies x Un log a y. Pēc tam ir iespējams veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

žurnāls a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = piesakies x 1 + piesakies x 2 + piesakies x 3 + ... + log a x k.

No logaritma koeficienta teorēma Var iegūt vēl vienu logaritma īpašību. Ir vispārzināms, ka log a 1 = 0, tātad

žurnāls a 1 /b= baļķis a 1 - baļķis a b= - žurnāls a b.

Tas nozīmē, ka pastāv vienlīdzība:

log a 1 / b = - log a b.

Divu apgrieztu skaitļu logaritmi tā paša iemesla dēļ atšķirsies viens no otra tikai ar zīmi. Tātad:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

galvenās īpašības.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identisks pamatojums

Log6 4 + log6 9.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.

Logaritmu risināšanas piemēri

Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Pāreja uz jaunu pamatu

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Skatīt arī:

Logaritma pamatīpašības

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divreiz pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu.

Logaritmu pamatīpašības

Zinot šo noteikumu, jūs zināt un precīza vērtība izstādes dalībniekus un Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām

2.

3.

4. Kur .

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais punktsŠeit - identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmiskā izteiksme pat tad, ja tā atsevišķās daļas netiek skaitītas (skat. nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi ir balstīti uz šo faktu testiem. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu skaidrojumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.

Logaritma formulas. Logaritmu piemēri risinājumi.

Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, varam samazināt daļskaitli - saucējā paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas ir reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmes. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Skatīt arī:

Logaritms no b bāzes a apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast jaudu x (), pie kuras vienādība ir izpildīta

Logaritma pamatīpašības

Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata tiek atrisinātas gandrīz visas problēmas un piemēri, kas saistīti ar logaritmiem. Pārējās eksotiskās īpašības var iegūt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulu (3.4), jūs saskaraties diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.

Bieži sastopami logaritmu gadījumi

Daži no visizplatītākajiem logaritmiem ir tie, kuros bāze ir vienāda ar desmit, eksponenciāli vai divi.
Logaritmu līdz desmit bāzei parasti sauc par decimālo logaritmu un vienkārši apzīmē ar lg(x).

No ieraksta noprotams, ka pamatlietas ierakstā nav rakstītas. Piemēram

Dabiskais logaritms ir logaritms, kura bāze ir eksponents (apzīmē ar ln(x)).

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Un vēl viens svarīgs logaritms divu bāzei tiek apzīmēts ar

Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo

Integrāls vai antiderivatīvs logaritms nosaka atkarība

Ar doto materiālu jums pietiek, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu uzdevumu klasi. Lai palīdzētu jums saprast materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programma un universitātes.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām

2.
Pēc logaritmu starpības īpašības mums ir

3.
Izmantojot īpašības 3.5, mēs atrodam

4. Kur .

Šķietami sarežģīta izteiksme tiek vienkāršota, lai izveidotu, izmantojot vairākus noteikumus

Logaritma vērtību atrašana

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Risinājums. Aprēķiniem mēs attiecinām uz pēdējā termiņa 5 un 13 īpašībām

Mēs to ierakstām un sērojam

Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes

Logaritmi. Ieejas līmenis.

Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Risinājums: ņemsim mainīgā logaritmu, lai rakstītu logaritmu caur tā vārdu summu

Tas ir tikai sākums mūsu iepazīšanai ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas – iegūtās zināšanas jums drīz būs nepieciešamas, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, mēs paplašināsim jūsu zināšanas citam ne mazākam svarīga tēma- logaritmiskās nevienādības...

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur esošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - mēs saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, varam samazināt daļskaitli - saucējā paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Sāksim ar viena logaritma īpašības. Tās formulējums ir šāds: vienotības logaritms ir vienāds ar nulli, tas ir, log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Pierādījums nav grūts: tā kā a 0 =1 jebkuram a, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem a>0 un a≠1, tad no logaritma definīcijas uzreiz izriet pierādāmā vienādība log a 1=0.

Sniegsim aplūkojamās īpašības pielietojuma piemērus: log 3 1=0, log1=0 un .

Pāriesim pie nākamā īpašuma: skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritms ir vienāds ar vienu, tas ir, log a a=1 ja a>0, a≠1. Patiešām, tā kā a 1 =a jebkuram a, tad pēc definīcijas logaritma žurnāls a a=1.

Šīs logaritmu īpašības izmantošanas piemēri ir vienādības log 5 5=1, log 5.6 5.6 un lne=1.

Piemēram, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 un .

Divu pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms x un y vienāds ar produktušo skaitļu logaritmi: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Pierādīsim reizinājuma logaritma īpašību. Sakarā ar grāda īpašībām a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, un tā kā pēc galvenās logaritmiskās identitātes log a x =x un log a y =y, tad log a x ·a log a y =x · y. Tādējādi log a x+log a y =x·y, no kura pēc logaritma definīcijas izriet pierādāmā vienādība.

Parādīsim piemērus, kā izmantot reizinājuma logaritma īpašību: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 un .

Produkta logaritma īpašību var vispārināt ar pozitīvu skaitļu x 1 , x 2 , …, x n galīga skaita n reizinājumu kā log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šo vienlīdzību var pierādīt bez problēmām.

Piemēram, reizinājuma naturālo logaritmu var aizstāt ar summu trīs naturālie logaritmi skaitļi 4 , e un .

Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms x un y ir vienāds ar starpību starp šo skaitļu logaritmiem. Koeficienta logaritma īpašība atbilst formulai formā , kur a>0, a≠1, x un y ir daži pozitīvi skaitļi. Šīs formulas derīgums ir pierādīts, kā arī reizinājuma logaritma formula: kopš , tad pēc logaritma definīcijas.

Šeit ir piemērs, kā izmantot šo logaritma rekvizītu: .

Pāriesim pie jaudas logaritma īpašība. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta reizinājumu un šīs pakāpes bāzes moduļa logaritmu. Uzrakstīsim šo pakāpju logaritma īpašību kā formulu: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b un p ir tādi skaitļi, ka pakāpei b p ir jēga un b p >0.

Vispirms mēs pierādām šo īpašību pozitīvajam b. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj attēlot skaitli b kā log a b , tad b p =(a log a b) p , un iegūtā izteiksme jaudas īpašības dēļ ir vienāda ar p·log a b . Tātad nonākam pie vienādības b p =a p·log a b, no kuras pēc logaritma definīcijas secinām, ka log a b p =p·log a b.

Atliek pierādīt šo īpašību negatīvam b. Šeit mēs atzīmējam, ka izteiksmei log a b p negatīvam b ir jēga tikai pāra eksponentiem p (jo pakāpes b p vērtībai jābūt lielākai par nulli, pretējā gadījumā logaritmam nebūs jēgas), un šajā gadījumā b p =|b| lpp. Tad b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, no kurienes log a b p =p·log a |b| .

Piemēram, un ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Tas izriet no iepriekšējā īpašuma logaritma īpašība no saknes: n-tās saknes logaritms ir vienāds ar daļas 1/n reizinājumu ar radikālas izteiksmes logaritmu, tas ir, , kur a>0, a≠1, n – dabiskais skaitlis, lielāks par vienu, b>0.

Pierādījums balstās uz vienādību (sk.), kas ir spēkā jebkuram pozitīvam b, un pakāpju logaritma īpašību: .

Šeit ir šī īpašuma izmantošanas piemērs: .

Tagad pierādīsim formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi laipns . Lai to izdarītu, pietiek pierādīt vienādības log c b=log a b·log c a pamatotību. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj mums attēlot skaitli b kā log a b , tad log c b=log c a log a b . Atliek izmantot pakāpes logaritma īpašību: log c a log a b =log a b log c a. Tas pierāda vienādību log c b=log a b·log c a, kas nozīmē, ka ir pierādīta arī formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi.

Parādīsim dažus piemērus, kā izmantot šo logaritmu īpašību: un .

Formula pārejai uz jaunu bāzi ļauj pāriet uz darbu ar logaritmiem, kuriem ir “ērta” bāze. Piemēram, ar tās palīdzību jūs varat pāriet uz dabisko vai decimāllogaritmi lai pēc logaritmu tabulas varētu aprēķināt logaritma vērtību. Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi dažos gadījumos ļauj arī atrast noteiktā logaritma vērtību, ja ir zināmas dažu logaritmu vērtības ar citām bāzēm.

Bieži tiek izmantots īpašs formulas gadījums pārejai uz jaunu logaritma bāzi formas c=b . Tas parāda, ka log a b un log b a – . Piemēram, .

Bieži tiek izmantota arī formula , kas ir ērti logaritma vērtību atrašanai. Lai apstiprinātu savus vārdus, mēs parādīsim, kā to var izmantot, lai aprēķinātu formas logaritma vērtību. Mums ir . Lai pierādītu formulu pietiek ar formulu pārejai uz jaunu logaritma a bāzi: .

Atliek pierādīt logaritmu salīdzināšanas īpašības.

Pierādīsim, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem b 1 un b 2, b 1 log a b 2 un a>1 – nevienādības log a b 1

Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām logaritmu īpašībām. Aprobežosimies ar tās pirmās daļas pierādījumu, tas ir, mēs pierādīsim, ka, ja a 1 >1, a 2 >1 un a 1 1 ir patiess log a 1 b> log a 2 b . Pārējie apgalvojumi par šo logaritmu īpašību tiek pierādīti pēc līdzīga principa.

Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka 1 >1, 2 >1 un 1 1 ir patiess log a 1 b≤log a 2 b . Pamatojoties uz logaritmu īpašībām, šīs nevienādības var pārrakstīt kā Un attiecīgi, un no tiem izriet, ka attiecīgi log b a 1 ≤log b a 2 un log b a 1 ≥log b a 2. Tad atbilstoši pakāpju īpašībām ar vienādām bāzēm ir jāsaglabā vienādības b log b a 1 ≥b log b a 2 un b log b a 1 ≥b log b a 2, tas ir, a 1 ≥a 2 . Tātad mēs nonācām pie pretrunas ar nosacījumu a 1

Atsauces.

• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. un citi. Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).

Kas ir logaritms?

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Kas ir logaritms? Kā atrisināt logaritmus? Šie jautājumi mulsina daudzus absolventus. Tradicionāli logaritmu tēma tiek uzskatīta par sarežģītu, nesaprotamu un biedējošu. Īpaši vienādojumi ar logaritmiem.

Tā absolūti nav taisnība. Pilnīgi noteikti! Netici man? Labi. Tagad tikai 10–20 minūšu laikā jūs:

1. Tu sapratīsi kas ir logaritms.

2. Iemācīties atrisināt veselu eksponenciālo vienādojumu klasi. Pat ja jūs par viņiem neko neesat dzirdējuši.

3. Iemācieties aprēķināt vienkāršus logaritmus.

Turklāt, lai to izdarītu, jums būs jāzina tikai reizināšanas tabula un skaitļa palielināšana pakāpē...

Es jūtu, ka jums ir šaubas... Nu, labi, atzīmējiet laiku! Ejam!

Vispirms savā galvā atrisiniet šo vienādojumu:

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.