Aprēķiniet ln no skaitļa. LN un LOG funkcijas naturālā logaritma aprēķināšanai programmā EXCEL

Dotas funkcijas ln x naturālā logaritma, grafa, definīcijas apgabala, vērtību kopas, pamatformulas, atvasinājuma, integrāļa, pakāpju rindas paplašināšanas un attēlojuma pamatīpašības, izmantojot kompleksos skaitļus.

Definīcija

Dabiskais logaritms ir funkcija y = ln x, eksponenciāla apgrieztā vērtība, x = e y, un ir skaitļa e bāzes logaritms: ln x = log e x.

Dabisko logaritmu plaši izmanto matemātikā, jo tā atvasinājumam ir visvienkāršākā forma: (ln x)′ = 1/x.

Pamatojoties uz definīcijas, naturālā logaritma bāze ir skaitlis e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funkcijas y = grafiks ln x.

Dabiskā logaritma grafiks (funkcijas y = ln x) iegūst no eksponenciālā grafika ar spoguļatstarošanos attiecībā pret taisni y = x.

Dabiskais logaritms ir definēts pie pozitīvas vērtības mainīgais x.

Tas monotoni palielinās savā definīcijas jomā. 0 Pie x →

naturālā logaritma robeža ir mīnus bezgalība (-∞).

Kā x → + ∞, naturālā logaritma robeža ir plus bezgalība (+ ∞). Lielam x logaritms palielinās diezgan lēni. Jebkura jaudas funkcija x a ar pozitīvu eksponentu a aug ātrāk nekā logaritms.

Dabiskā logaritma īpašības

Definīcijas joma, vērtību kopa, galējība, pieaugums, samazinājums

Dabiskais logaritms ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tam nav ekstrēmu. Galvenās naturālā logaritma īpašības ir parādītas tabulā.

ln x vērtības

ln 1 = 0

Dabisko logaritmu pamatformulas

Formulas, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:

Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas

Bāzes nomaiņas formula

Jebkuru logaritmu var izteikt naturālajos logaritmos, izmantojot bāzes aizstāšanas formulu:

Šo formulu pierādījumi ir sniegti sadaļā "Logaritms".

Apgrieztā funkcija

Dabiskā logaritma apgrieztā vērtība ir eksponents.

Ja, tad

Ja, tad.

Atvasinājums ln x
.
Dabiskā logaritma atvasinājums:
.
Moduļa x naturālā logaritma atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:

Formulu atvasināšana >>>

Integrāls
.
Integrāli aprēķina, integrējot pa daļām:

Tātad,

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
.
Apsveriet kompleksā mainīgā z funkciju: Izteiksim komplekso mainīgo z caur moduli r φ :
.
un arguments
.
Izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Arguments φ nav unikāli definēts. Ja tu ieliec
, kur n ir vesels skaitlis,
tas būs viens un tas pats skaitlis dažādiem n.

Tāpēc naturālais logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.

Jaudas sērijas paplašināšana

Kad notiek paplašināšana:

Izmantotā literatūra:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

Nepavisam nav slikti, vai ne? Kamēr matemātiķi meklē vārdus, lai sniegtu jums garu, mulsinošu definīciju, apskatīsim šo vienkāršo un skaidru definīciju tuvāk.

Skaitlis e nozīmē izaugsmi

Skaitlis e nozīmē nepārtrauktu izaugsmi. Kā redzējām iepriekšējā piemērā, piemērs ļauj mums saistīt procentus un laiku: 3 gadi pie 100% pieauguma ir tas pats, kas 1 gads ar 300%, pieņemot "saliktos procentus".

Jūs varat aizstāt jebkuru procentuālo un laika vērtību (50% uz 4 gadiem), bet labāk ir iestatīt procentuālo vērtību 100% ērtības labad (izrādās, ka 100% uz 2 gadiem). Pārejot uz 100%, mēs varam koncentrēties tikai uz laika komponentu:

e x = e procenti * laiks = e 1,0 * laiks = e laiks

Acīmredzot e x nozīmē:

cik daudz pieaugs mans ieguldījums pēc x laika vienībām (pieņemot 100% nepārtrauktu pieaugumu).
piemēram, pēc 3 laika intervāliem es saņemšu e 3 = 20,08 reizes vairāk “lietu”.

e x ir mērogošanas koeficients, kas parāda, līdz kādam līmenim mēs izaugsim x laika periodā.

Dabiskais logaritms nozīmē laiku

Dabiskais logaritms ir e inverss, kas ir izdomāts termins pretējai. Runājot par dīvainībām; latīņu valodā to sauc par logarithmus naturali, tāpēc arī saīsinājums ln.

Un ko nozīmē šī inversija vai pretējais?

e x ļauj mums aizstāt laiku un iegūt izaugsmi.
Ln(x) ļauj mums novērtēt izaugsmi vai ienākumus un uzzināt laiku, kas nepieciešams to radīšanai.

Piemēram:

e 3 ir vienāds ar 20.08. Pēc trim laika periodiem mums būs 20,08 reizes vairāk nekā sākām.
ln(08/20) būtu aptuveni 3. Ja jūs interesē izaugsme 20,08 reizes, jums būs nepieciešami 3 laika periodi (atkal, pieņemot 100% nepārtrauktu izaugsmi).

Joprojām lasāt? Dabiskais logaritms parāda laiku, kas nepieciešams, lai sasniegtu vēlamo līmeni.

Šis nestandarta logaritmiskais skaits

Vai esat izgājis cauri logaritmiem? dīvainas radības. Kā viņiem izdevās pārvērst reizināšanu par saskaitīšanu? Kā ar dalīšanu atņemšanā? Paskatīsimies.

Ar ko ln(1) ir vienāds? Intuitīvi rodas jautājums: cik ilgi man jāgaida, lai iegūtu 1x vairāk nekā man ir?

Nulle. Nulle. Nemaz. Jums tas vienreiz jau ir. Nav nepieciešams ilgs laiks, lai pārietu no 1. līmeņa uz 1. līmeni.

ln(1) = 0

Labi, kā ar daļējo vērtību? Cik ilgs laiks paies, līdz mums paliks 1/2 no pieejamā daudzuma? Mēs zinām, ka ar 100% nepārtrauktu izaugsmi ln(2) nozīmē laiku, kas nepieciešams, lai dubultotu. Ja mēs pagriezīsim laiku atpakaļ(t.i., nogaidiet negatīvu laiku), tad mēs iegūsim pusi no tā, kas mums ir.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Loģiski, vai ne? Ja atgriezīsimies (laiks atpakaļ) uz 0,693 sekundēm, mēs atradīsim pusi no pieejamās summas. Kopumā jūs varat apgriezt daļu un ņemt negatīva vērtība: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Tas nozīmē, ka, atgriežoties laikā līdz 1,09 reizēm, mēs atradīsim tikai trešo daļu no pašreizējā skaitļa.

Labi, kā ar negatīva skaitļa logaritmu? Cik ilgs laiks nepieciešams, lai “izaugtu” baktēriju kolonija no 1 līdz -3?

Tas nav iespējams! Jūs nevarat iegūt negatīvu baktēriju skaitu, vai ne? Jūs varat iegūt maksimālo (er...minimumu) nulli, taču no šiem mazajiem dzīvnieciņiem nekādā gadījumā nevar iegūt negatīvu skaitli. IN negatīvs skaitlis baktērijām vienkārši nav jēgas.

ln(negatīvs skaitlis) = nedefinēts

“Nedefinēts” nozīmē, ka nav laika, kas būtu jāgaida, lai iegūtu negatīvu vērtību.

Logaritmiskā reizināšana ir vienkārši jautra

Cik ilgi tas izaugs četrkārtīgi? Protams, jūs varat vienkārši paņemt ln(4). Bet tas ir pārāk vienkārši, mēs iesim citu ceļu.

Jūs varat domāt par četrkāršotu pieaugumu kā dubultošanu (nepieciešams ln(2) laika vienības) un pēc tam atkal dubultošanu (vajadzīgas vēl ln(2) laika vienības):

Laiks pieaugt 4 reizes = ln(4) = laiks dubultoties un pēc tam vēlreiz dubultot = ln(2) + ln(2)

Interesanti. Jebkuru pieauguma tempu, piemēram, 20, var uzskatīt par dubultošanos uzreiz pēc 10 reizes pieauguma. Vai pieaugums 4 reizes un pēc tam 5 reizes. Vai trīskāršot un pēc tam palielināt 6,666 reizes. Vai redzat modeli?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A un B logaritms ir log(A) + log(B). Šīm attiecībām uzreiz ir jēga, ja tās raugās no izaugsmes viedokļa.

Ja interesē 30x pieaugums, varat pagaidīt ln(30) vienā sēdē, vai gaidīt ln(3) trīskāršošanu un tad vēl ln(10) 10x. Gala rezultāts ir tāds pats, tāpēc, protams, laikam ir jāpaliek nemainīgam (un tā arī notiek).

Kā ar sadalīšanu? Konkrēti, ln(5/3) nozīmē: cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai izaugtu 5 reizes un pēc tam iegūtu 1/3 no tā?

Lieliski, pieaugums par 5 reizēm ir ln(5). Palielinājums 1/3 reizes prasīs -ln(3) laika vienības. Tātad,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Tas nozīmē: ļaujiet tam augt 5 reizes un pēc tam “atgriezties laikā” līdz vietai, kur paliek tikai trešdaļa no šī daudzuma, lai jūs iegūtu 5/3 pieaugumu. Kopumā izrādās

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Es ceru, ka dīvainā logaritmu aritmētika jums sāk saprast: pieauguma tempu reizināšana kļūst par pieauguma laika vienību pievienošanu, bet dalīšana kļūst par laika vienību atņemšanu. Nav nepieciešams iegaumēt noteikumus, mēģiniet tos saprast.

Dabiskā logaritma izmantošana patvaļīgai izaugsmei

Nu, protams," jūs sakāt, "tas viss ir labi, ja pieaugums ir 100%, bet kā ir ar 5%, ko es saņemu?"

Nav problēmu. "Laiks", ko mēs aprēķinām ar ln(), faktiski ir procentu likmes un laika kombinācija, tas pats X no e x vienādojuma. Mēs tikko nolēmām vienkāršības labad iestatīt procentuālo vērtību uz 100%, taču mēs varam brīvi izmantot jebkurus skaitļus.

Pieņemsim, ka mēs vēlamies sasniegt 30x pieaugumu: ņem ln(30) un iegūsti 3,4 Tas nozīmē:

e x = augstums
e 3,4 = 30

Acīmredzot šis vienādojums nozīmē "100% atdeve 3,4 gadu laikā nodrošina 30x pieaugumu." Mēs varam uzrakstīt šo vienādojumu šādi:

e x = e likme*laiks
e 100% * 3,4 gadi = 30

Mēs varam mainīt “likmes” un “laika” vērtības, ja vien likme * laiks paliek 3,4. Piemēram, ja mūs interesē 30x izaugsme, cik ilgi mums būs jāgaida ar 5% procentu likmi?

ln(30) = 3,4
likme * laiks = 3,4
0,05 * laiks = 3,4
laiks = 3,4 / 0,05 = 68 gadi

Es domāju šādi: "ln(30) = 3,4, tātad pie 100% pieauguma tas prasīs 3,4 gadus. Ja es dubultošu pieauguma tempu, nepieciešamais laiks tiks samazināts uz pusi."

100% uz 3,4 gadiem = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% 1,7 gadu laikā = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% uz 6,8 gadiem = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% virs 68 gadiem = 0,05 * 68 = 3,4.

Lieliski, vai ne? Dabisko logaritmu var izmantot ar jebkuru procentu likmi un laiku, jo to reizinājums paliek nemainīgs. Varat pārvietot mainīgās vērtības tik daudz, cik vēlaties.

Foršs piemērs: Septiņdesmit divu noteikums

Septiņdesmit divu noteikums ir matemātisks paņēmiens, kas ļauj novērtēt, cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai jūsu nauda dubultotos. Tagad mēs to secināsim (jā!), un turklāt mēģināsim izprast tā būtību.

Cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai dubultotu savu naudu par 100% katru gadu?

Hmm... Mēs izmantojām naturālo logaritmu nepārtrauktas izaugsmes gadījumam, un tagad jūs runājat par ikgadēju salikšanu? Vai šī formula nekļūtu nepiemērota šādam gadījumam? Jā, tā būs, bet reālajām procentu likmēm, piemēram, 5%, 6% vai pat 15%, starpība starp ikgadējo salikšanu un nepārtrauktu pieaugumu būs neliela. Tātad aptuvenā aplēse darbojas, um, aptuveni, tāpēc mēs izliksimies, ka mums ir pilnīgi nepārtraukts uzkrājums.

Tagad jautājums ir vienkāršs: cik ātri jūs varat dubultot ar 100% izaugsmi? ln(2) = 0,693. Nepieciešamas 0,693 laika vienības (mūsu gadījumā gadi), lai dubultotu mūsu summu ar nepārtrauktu pieaugumu par 100%.

Tātad, ja procentu likme nav 100%, bet teiksim 5% vai 10%?

Viegli! Tā kā likme * laiks = 0,693, mēs dubultosim summu:

likme * laiks = 0,693
laiks = 0,693 / likme

Izrādās, ja pieaugums ir 10%, lai dubultotos, būs nepieciešami 0,693 / 0,10 = 6,93 gadi.

Lai vienkāršotu aprēķinus, sareizināsim abas puses ar 100, tad varam teikt "10", nevis "0,10":

laiks līdz dubultošanai = 69,3 / likme, kur likme ir izteikta procentos.

Tagad ir pienācis laiks dubultot ar likmi 5%, 69,3 / 5 = 13,86 gadi. Tomēr 69,3 nav ērtākā dividende. Izvēlēsimies tuvu skaitli 72, ko ērti dalīt ar 2, 3, 4, 6, 8 un citiem skaitļiem.

laiks, lai dubultotu = 72 / likme

kas ir septiņdesmit divu noteikums. Viss ir nosegts.

Ja jums jāatrod laiks trīskāršot, varat izmantot ln(3) ~ 109.8 un iegūt

laiks līdz trīskāršam = 110 / likme

Kas ir cits noderīgs noteikums. "72. noteikums" attiecas uz augumu procentu likmes, populācijas pieaugums, baktēriju kultūras un viss, kas aug eksponenciāli.

Kas būs tālāk?

Es ceru, ka naturālais logaritms jums tagad ir jēgpilns — tas parāda laiku, kas nepieciešams, lai jebkurš skaitlis pieaugtu eksponenciāli. Es domāju, ka to sauc par dabisku, jo e ir universāls izaugsmes mērs, tāpēc to var uzskatīt universālā veidā noteikt, cik ilgs laiks nepieciešams augšanai.

Katru reizi, kad redzat ln(x), atcerieties "laiku, kas nepieciešams, lai pieaugtu X reizes". Gaidāmajā rakstā aprakstīšu e un ln kopā, lai gaisu piepildīs svaiga matemātikas smarža.

Papildinājums: e naturālais logaritms

Ātrā viktorīna: kas ir ln(e)?

matemātikas robots sacīs: tā kā tie ir definēti kā viens otra apgriezti, ir acīmredzams, ka ln(e) = 1.
saprotoša persona: ln(e) ir reižu skaits, kas nepieciešams, lai izaugtu "e" reizes (apmēram 2,718). Tomēr pats skaitlis e ir pieauguma mērs ar koeficientu 1, tāpēc ln(e) = 1.

Padomājiet skaidri.

2013. gada 9. septembris

Logaritms dotais skaitlis tiek saukts par eksponentu, uz kuru jāpaceļ cits skaitlis, jāizsauc pamats logaritms, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, 100. bāzes logaritms ir 2. Citiem vārdiem sakot, 10 ir jāliek kvadrātā, lai iegūtu 100 (10 2 = 100). Ja n- dots numurs, b– bāze un l– tad logaritms b l = n. Numurs n sauc arī par bāzes antilogaritmu b cipariem l. Piemēram, antilogaritms no 2 līdz 10. bāzei ir vienāds ar 100. To var uzrakstīt attiecību žurnāla formā. b n = l un antilog b l = n.

Logaritmu pamatīpašības:

Jebkurš pozitīvs skaitlis, izņemot vienotību, var kalpot par logaritmu pamatu, bet diemžēl izrādās, ja b Un n ir racionālie skaitļi, tad retos gadījumos ir šāds racionāls skaitlis l, Kas b l = n. Tomēr ir iespējams definēt iracionālu skaitli l, piemēram, tā, ka 10 l= 2; tas ir neracionāls skaitlis l var tuvināt ar jebkuru nepieciešamo precizitāti racionālie skaitļi. Izrādās, ka dotajā piemērā l ir aptuveni vienāds ar 0,3010, un šo 10 bāzes logaritma tuvinājumu no 2 var atrast četrciparu tabulās decimāllogaritmi. 10 bāzes logaritmi (vai 10 bāzes logaritmi) tiek tik bieži izmantoti aprēķinos, ka tos sauc parasts logaritmus un rakstīts kā log2 = 0,3010 vai log2 = 0,3010, izlaižot skaidru logaritma bāzes norādi. Logaritmi uz bāzi e, tiek izsaukts transcendentālais skaitlis, kas aptuveni vienāds ar 2,71828 dabisks logaritmi. Tie galvenokārt atrodami darbos par matemātiskā analīze un tās pielietojums dažādās zinātnēs. Arī naturālos logaritmus raksta, tieši nenorādot bāzi, bet izmantojot speciālo apzīmējumu ln: piemēram, ln2 = 0,6931, jo e 0,6931 = 2.

Izmantojot parasto logaritmu tabulas.

Skaitļa regulārais logaritms ir eksponents, līdz kuram jāpalielina 10, lai iegūtu doto skaitli. Tā kā 10 0 = 1, 10 1 = 10 un 10 2 = 100, mēs uzreiz iegūstam, ka log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 utt. veselu skaitļu pakāpju palielināšanai 10. Tāpat 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 un tāpēc log0,1 = –1, log0,01 = –2 utt. visiem veseliem skaitļiem negatīvās pilnvaras 10. Atlikušo skaitļu parastie logaritmi ir ietverti starp skaitļa 10 tuvāko veselo skaitļu pakāpju logaritmiem; log2 ir jābūt no 0 līdz 1, log20 jābūt no 1 līdz 2, un log0.2 jābūt no -1 līdz 0. Tādējādi logaritms sastāv no divām daļām, vesela skaitļa un decimālzīme, kas ietverts starp 0 un 1. Vesela skaitļa daļa tiek izsaukta raksturīga logaritmu un nosaka pats skaitlis, tiek izsaukta daļēja daļa mantisa un to var atrast no tabulām. Arī log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritms 2 ir 0,3010, tātad log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Līdzīgi log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Pēc atņemšanas iegūstam log0.2 = – 0.6990. Tomēr ērtāk ir attēlot log0.2 kā 0.3010 – 1 vai kā 9.3010 – 10; var formulēt un vispārējs noteikums: visiem skaitļiem, kas iegūti no dotā skaitļa, reizinot ar pakāpju 10, ir vienāda mantisa, kas vienāda ar dotā skaitļa mantisu. Lielākajā daļā tabulu ir norādītas skaitļu mantisas diapazonā no 1 līdz 10, jo visu pārējo skaitļu mantisas var iegūt no tabulā norādītajiem.

Lielākajā daļā tabulu logaritmi ir norādīti ar četrām vai piecām zīmēm aiz komata, lai gan ir septiņu ciparu tabulas un tabulas ar vēl vairāk zīmēm aiz komata. Vienkāršākais veids, kā iemācīties izmantot šādas tabulas, ir ar piemēriem. Lai atrastu log3.59, pirmkārt, atzīmējam, ka skaitlis 3.59 atrodas starp 10 0 un 10 1, tātad tā raksturlielums ir 0. Tabulā atrodam skaitli 35 (kreisajā pusē) un virzāmies pa rindu uz kolonna, kuras augšpusē ir skaitlis 9; šīs kolonnas un 35. rindas krustpunkts ir 5551, tātad log3,59 = 0,5551. Lai atrastu skaitļa mantisu ar četrinieku nozīmīgi skaitļi, ir nepieciešams izmantot interpolāciju. Dažās tabulās interpolāciju atvieglo proporcijas, kas norādītas pēdējās deviņās kolonnās katras tabulu lapas labajā pusē. Tagad atradīsim log736.4; skaitlis 736.4 atrodas starp 10 2 un 10 3, tāpēc tā logaritma raksturlielums ir 2. Tabulā atrodam rindu, no kuras pa kreisi ir 73 un kolonnu 6. Šīs rindas un šīs kolonnas krustpunktā ir skaitlis 8669. Starp lineārajām daļām atrodam 4. kolonnu 73. rindas un 4. ailes krustpunktā ir skaitlis 2. Saskaitot 2 ar 8669, iegūstam mantisu – tā ir vienāda ar 8671. Tādējādi log736.4. = 2,8671.

Dabiskie logaritmi.

Tabulas un rekvizīti naturālie logaritmi ir līdzīgas parasto logaritmu tabulām un īpašībām. Galvenā atšķirība starp abiem ir tāda, ka naturālā logaritma veselā skaitļa daļai nav nozīmes decimālpunkta pozīcijas noteikšanā, un tāpēc atšķirībai starp mantisu un raksturlielumu nav īpašas nozīmes. Skaitļu naturālie logaritmi 5,432; 54,32 un 543,2 ir attiecīgi vienādi ar 1,6923; 3,9949 un 6,2975. Attiecības starp šiem logaritmiem kļūs acīmredzamas, ja ņemsim vērā atšķirības starp tiem: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; pēdējais numurs nav nekas cits kā skaitļa 10 naturālais logaritms (rakstīts šādi: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; pēdējais cipars ir 2ln10. Bet 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Tādējādi pēc dotā skaitļa naturālā logaritma a jūs varat atrast skaitļu naturālos logaritmus, vienāds ar produktiem cipariem a jebkuram grādam n skaitļi 10 ja uz ln a pievieno ln10, kas reizināts ar n, t.i. ln( aґ10n) = žurnāls a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Piemēram, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Tāpēc naturālo logaritmu tabulas, tāpat kā parasto logaritmu tabulas, parasti satur tikai skaitļu logaritmus no 1 līdz 10. Naturālo logaritmu sistēmā var runāt par antilogaritmiem, bet biežāk runā par eksponenciālā funkcija vai par izstādes dalībnieku. Ja x= baļķis y, Tas y = e x, Un y sauc par eksponentu x(tipogrāfiskas ērtības labad viņi bieži raksta y= exp x). Eksponents spēlē skaitļa antilogaritma lomu x.

Izmantojot decimālo un naturālo logaritmu tabulas, varat izveidot logaritmu tabulas ar jebkuru bāzi, izņemot 10 un e. Ja log b a = x, Tas b x = a, un tāpēc piesakieties c b x=log c a vai xžurnāls c b=log c a, vai x=log c a/log c b=log b a. Tāpēc, izmantojot šo inversijas formulu no bāzes logaritma tabulas c Jūs varat veidot logaritmu tabulas jebkurā citā bāzē b. Reizinātājs 1/log c b sauca pārejas modulis no pamatnes c uz bāzi b. Nekas neliedz, piemēram, izmantot inversijas formulu vai pāriet no vienas logaritmu sistēmas uz citu, atrast naturālos logaritmus no parasto logaritmu tabulas vai veikt apgriezto pāreju. Piemēram, log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Skaitlis 0,4343, ar kuru jāreizina dotā skaitļa naturālais logaritms, lai iegūtu parasto logaritmu, ir modulis pārejai uz parasto logaritmu sistēmu.

Īpaši galdi.

Logaritmi sākotnēji tika izgudroti tā, lai, izmantojot to īpašības, reģistrētos ab=log a+log b un žurnālu a/b=log a– žurnāls b, pārvērst produktus par summām un koeficientus par atšķirībām. Citiem vārdiem sakot, ja log a un žurnālu b ir zināmi, tad, izmantojot saskaitīšanu un atņemšanu, mēs varam viegli atrast reizinājuma logaritmu un koeficientu. Tomēr astronomijā bieži tiek dotas log vērtības a un žurnālu b jāatrod žurnāls ( a + b) vai žurnāls( a – b). Protams, vispirms varēja atrast no logaritmu tabulām a Un b, pēc tam veiciet norādīto saskaitīšanu vai atņemšanu un, atkal pievēršoties tabulām, atrodiet vajadzīgos logaritmus, taču šādai procedūrai būtu jāatsaucas uz tabulām trīs reizes. Z. Leonelli 1802. gadā publicēja tabulas t.s. Gausa logaritmi– logaritmi summu un starpību saskaitīšanai – kas ļāva aprobežoties ar vienu pieeju tabulām.

1624. gadā I. Keplers ierosināja proporcionālo logaritmu tabulas, t.i. skaitļu logaritmi a/x, Kur a– kāda pozitīva nemainīga vērtība. Šīs tabulas galvenokārt izmanto astronomi un navigatori.

Proporcionālie logaritmi plkst a= 1 tiek izsaukti pēc logaritmiem un tiek izmantoti aprēķinos, kad jātiek galā ar produktiem un koeficientiem. Skaitļa kologaritms n vienāds ar logaritmu savstarpējais numurs; tie. colog n= log1/ n= – žurnāls n. Ja log2 = 0,3010, tad colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologaritmu izmantošanas priekšrocība ir tāda, ka, aprēķinot logaritma vērtību tādām izteiksmēm kā pq/caur moduli pozitīvo decimāldaļu žurnāla trīskāršā summa lpp+log q+cologs caur moduli ir vieglāk atrast nekā jauktās summas un starpības žurnāls lpp+log q– žurnāls caur moduli.

Stāsts.

Princips, kas ir jebkuras logaritmu sistēmas pamatā, ir zināms ļoti ilgu laiku, un to var izsekot senajā Babilonijas matemātikā (apmēram 2000. gadā pirms mūsu ēras). Tajos laikos, lai aprēķinātu saliktos procentus, tika izmantota interpolācija starp tabulu vērtībām ar veselu skaitļu pozitīvo veselo skaitļu pakāpēm. Daudz vēlāk Arhimēds (287–212 BC) izmantoja 108 jaudas, lai atrastu augšējo robežu smilšu graudu skaitam, kas nepieciešams, lai pilnībā aizpildītu toreiz zināmo Visumu. Arhimēds vērsa uzmanību uz eksponentu īpašību, kas ir logaritmu efektivitātes pamatā: pakāpju reizinājums atbilst eksponentu summai. Viduslaiku beigās un modernā laikmeta sākumā matemātiķi arvien vairāk sāka pievērsties ģeometriskās un aritmētiskās progresijas attiecībām. M. Stīfels savā esejā Veselo skaitļu aritmētika(1544) sniedza skaitļa 2 pozitīvo un negatīvo spēku tabulu:

Stīfels pamanīja, ka divu skaitļu summa pirmajā rindā (eksponentu rindā) ir vienāda ar divu eksponentu, kas atbilst divu atbilstošo skaitļu reizinājumam apakšējā rindā (eksponentu rindā). Saistībā ar šo tabulu Stīfels formulēja četrus noteikumus, kas ir līdzvērtīgi četriem mūsdienu likumiem darbībām ar eksponentiem vai četriem likumiem darbībām ar logaritmiem: summa augšējā rindā atbilst reizinājumam apakšējā rindā; atņemšana augšējā rindā atbilst dalīšanai apakšējā rindā; reizināšana augšējā rindā atbilst eksponenciālai kāpināšanai apakšējā rindā; sadalījums augšējā rindā atbilst sakņošanai apakšējā rindā.

Acīmredzot Stīfela likumiem līdzīgi noteikumi lika Dž.Neiperam savā darbā oficiāli ieviest pirmo logaritmu sistēmu. Apbrīnojamās logaritmu tabulas apraksts, publicēts 1614. gadā. Taču Napiera domas nodarbināja problēma par produktu konvertēšanu summās, kopš vairāk nekā desmit gadus pirms sava darba publicēšanas Napier saņēma ziņas no Dānijas, ka Tycho Brahe observatorijā viņa palīgiem ir metode, kas ļauj iespējams pārvērst produktus summās. Napier saņemtajā ziņojumā minētā metode bija balstīta uz izmantošanu trigonometriskās formulas veids

tāpēc Napera tabulas galvenokārt sastāvēja no logaritmiem trigonometriskās funkcijas. Lai gan bāzes jēdziens Napier piedāvātajā definīcijā nebija skaidri iekļauts, viņa sistēmā logaritmu sistēmas bāzei līdzvērtīgu lomu spēlēja skaitlis (1 – 10 –7)ґ10 7, aptuveni vienāds ar 1/ e.

Neatkarīgi no Napera un gandrīz vienlaikus ar viņu 1620. gadā J. Bürgi izgudroja un publicēja Prāgā diezgan līdzīgu logaritmu sistēmu. Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas tabulas. Tās bija antilogaritmu tabulas pret bāzi (1 + 10 –4) ґ10 4, diezgan labs skaitļa aptuvens e.

Napera sistēmā skaitļa 10 7 logaritms tika pieņemts kā nulle, un, skaitļiem samazinoties, logaritmi pieauga. Kad G. Brigss (1561–1631) viesojās Napierā, abi vienojās, ka ērtāk būtu par bāzi izmantot skaitli 10 un uzskatīt, ka logaritms viens ir nulle. Tad, skaitļiem palielinoties, to logaritmi pieaugs. Tātad mēs saņēmām moderna sistēma decimāllogaritmi, kuru tabulu Brigss publicēja savā darbā Logaritmiskā aritmētika(1620). Logaritmi uz bāzi e, lai gan ne tieši tos, ko ieviesa Naper, bieži sauc par Naper. Terminus "raksturīgs" un "mantisa" ierosināja Briggs.

Pirmie spēkā esošie logaritmi vēsturiski iemesli izmantoja tuvinājumus skaitļiem 1/ e Un e. Nedaudz vēlāk dabisko logaritmu ideja sāka saistīt ar hiperbolas apgabalu izpēti xy= 1 (1. att.). 17. gadsimtā tika parādīts, ka laukums, ko ierobežo šī līkne, ass x un ordinātas x= 1 un x = a(1. att. šis laukums ir klāts ar biezākiem un retākiem punktiem) palielinās aritmētiskā progresija, Kad a pieaug eksponenciāli. Tieši šī atkarība rodas noteikumos par darbībām ar eksponentiem un logaritmiem. Tas izraisīja Naperijas logaritmu nosaukšanu par “hiperboliskajiem logaritmiem”.

Logaritmiskā funkcija.

Bija laiks, kad logaritmi tika uzskatīti tikai par aprēķina līdzekli, bet 18. gadsimtā, galvenokārt pateicoties Eilera darbam, izveidojās logaritmiskās funkcijas jēdziens. Šādas funkcijas grafiks y= baļķis x, kuras ordinātas palielinās aritmētiskajā progresijā, bet abscises palielinās ģeometriskā progresijā, ir parādīta attēlā. 2, A. Apgrieztās jeb eksponenciālās (eksponenciālās) funkcijas grafiks y = e x, kuras ordinātas palielinās ģeometriskajā progresijā un kuru abscises palielinās aritmētiskajā progresijā, ir parādītas attiecīgi attēlā. 2, b. (Līknes y=log x Un y = 10x pēc formas līdzīgas līknēm y= baļķis x Un y = e x.) Ir piedāvātas arī alternatīvas logaritmiskās funkcijas definīcijas, piem.

kpi ; un, līdzīgi, skaitļa -1 naturālie logaritmi ir formas (2 k + 1)pi, Kur k– vesels skaitlis. Līdzīgi apgalvojumi attiecas uz vispārējiem logaritmiem vai citām logaritmu sistēmām. Turklāt logaritmu definīciju var vispārināt, izmantojot Eilera identitātes, lai iekļautu komplekso skaitļu kompleksos logaritmus.

Alternatīvu logaritmiskās funkcijas definīciju nodrošina funkcionālā analīze. Ja f(x) – reāla skaitļa nepārtraukta funkcija x, kam ir šādas trīs īpašības: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Tas f(x) ir definēts kā skaitļa logaritms x pamatojoties uz b. Šai definīcijai ir vairākas priekšrocības salīdzinājumā ar šī raksta sākumā sniegto definīciju.

Lietojumprogrammas.

Logaritmi sākotnēji tika izmantoti tikai aprēķinu vienkāršošanai, un šī lietojumprogramma joprojām ir viena no vissvarīgākajām. Produktu, koeficientu, pakāpju un sakņu aprēķināšanu atvieglo ne tikai publicēto logaritmu tabulu plašā pieejamība, bet arī t.s. slide rule - skaitļošanas rīks, kura darbības princips ir balstīts uz logaritmu īpašībām. Lineāls ir aprīkots ar logaritmiskiem svariem, t.i. attālums no skaitļa 1 līdz jebkuram skaitlim x izvēlēts vienāds ar baļķi x; Pārbīdot vienu skalu attiecībā pret otru, ir iespējams uzzīmēt logaritmu summas vai atšķirības, kas dod iespēju tieši no skalas nolasīt atbilstošo skaitļu reizinājumus vai koeficientus. Varat arī izmantot priekšrocības, ko sniedz skaitļu attēlošana logaritmiskā formā. logaritmisks papīrs grafiku zīmēšanai (papīrs ar logaritmiskām skalām, kas uzdrukātas uz abām koordinātu asīm). Ja funkcija izpilda formas jaudas likumu y = kxn, tad tā logaritmiskais grafiks izskatās kā taisna līnija, jo žurnāls y=log k + nžurnāls x– vienādojums lineārs attiecībā pret log y un žurnālu x. Gluži pretēji, ja kādas funkcionālās atkarības logaritmiskais grafiks izskatās kā taisna līnija, tad šī atkarība ir spēka likums. Daļēji žurnāla papīrs (kur Y asij ir logaritmiska skala, bet x asij ir vienota skala) ir noderīgs, ja nepieciešams identificēt eksponenciālas funkcijas. Formu vienādojumi y = kb rx rodas ikreiz, kad daudzums, piemēram, populācija, radioaktīvā materiāla daudzums vai bankas atlikums, samazinās vai palielinās proporcionāli pieejamajam šobrīd iedzīvotāju skaits, radioaktīvā viela vai naudu. Ja šādu atkarību uzzīmē uz daļēji logaritmiska papīra, grafiks izskatīsies kā taisna līnija.

Logaritmiskā funkcija rodas saistībā ar visdažādākajām dabas formām. Ziedi saulespuķu ziedkopās sakārtoti logaritmiskās spirālēs, gliemju čaumalas savītas Nautilus, ragi kalnu aitas un papagaiļa knābji. Visas šīs dabiskās formas var kalpot kā piemēri līknei, kas pazīstama kā logaritmiska spirāle, jo polāro koordinātu sistēmā tās vienādojums ir r = ae bq, vai ln caur moduli= baļķis a + bq. Šādu līkni apraksta kustīgs punkts, kura attālums no pola palielinās ģeometriskā progresijā, bet leņķis, ko raksturo tā rādiusa vektors, palielinās aritmētiskajā progresijā. Šādas līknes un līdz ar to arī logaritmiskās funkcijas visuresamību labi ilustrē fakts, ka tā notiek tik tālu un pilnīgi atšķirīgos apgabalos kā ekscentriskas izciļņa kontūra un dažu pret gaismu lidojošu kukaiņu trajektorija.

Dabiskā logaritma funkcijas grafiks. Palielinoties, funkcija lēnām tuvojas pozitīvai bezgalībai x un strauji tuvojas negatīvajai bezgalībai, kad x mēdz būt 0 (“lēns” un “ātrs”, salīdzinot ar jebkuru jaudas funkcija no x).

Dabiskais logaritms ir logaritms pret bāzi , Kur e (\displaystyle e)- iracionālā konstante, kas vienāda ar aptuveni 2,72. Tas ir apzīmēts kā ln ⁡ x (\displeja stils \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) vai dažreiz vienkārši log ⁡ x (\displaystyle \log x), ja bāze e (\displaystyle e) netiešs . Citiem vārdiem sakot, skaitļa dabiskais logaritms x- tas ir eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis e lai iegūtu x. Šo definīciju var attiecināt arī uz kompleksajiem skaitļiem.

ln⁡ e = 1 (\displeja stils \ln e=1), jo e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln⁡ 1 = 0 (\displeja stils \ln 1=0), jo e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Dabisko logaritmu var arī definēt ģeometriski jebkuram pozitīvam reālam skaitlim a kā laukums zem līknes y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) pa vidu [1; a ] (\displaystyle ). Šīs definīcijas vienkāršība, kas atbilst daudzām citām formulām, kas izmanto šo logaritmu, izskaidro nosaukuma "dabisks" izcelsmi.

Ja mēs uzskatām naturālo logaritmu par reāla mainīgā reālu funkciju, tad tā ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija, kas noved pie identitātēm:

e ln⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Tāpat kā visi logaritmi, dabiskais logaritms kartē reizināšanu ar saskaitīšanu:

ln⁡xy = ln⁡x + ln⁡y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Pozitīva skaitļa b logaritms bāzei a (a>0, a nav vienāds ar 1) ir tāds skaitlis c, ka a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Ņemiet vērā, ka nepozitīva skaitļa logaritms nav definēts. Turklāt logaritma bāzei jābūt pozitīvam skaitlim, kas nav vienāds ar 1. Piemēram, ja mēs kvadrātā -2, mēs iegūstam skaitli 4, bet tas nenozīmē, ka logaritms uz bāzi -2 no 4 ir vienāds ar 2.

Pamatlogaritmiskā identitāte

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ir svarīgi, lai šīs formulas labās un kreisās puses definīcijas apjoms būtu atšķirīgs. Kreisā puse ir definēta tikai b>0, a>0 un a ≠ 1. Labā puse ir definēta jebkuram b, un tā vispār nav atkarīga no a. Tādējādi pamata logaritmiskās “identitātes” pielietošana, risinot vienādojumus un nevienādības, var izraisīt OD izmaiņas.

Divas acīmredzamas logaritma definīcijas sekas

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Patiešām, paaugstinot skaitli a līdz pirmajai pakāpei, mēs iegūstam to pašu skaitli, un, palielinot to līdz nulles pakāpei, mēs iegūstam vienu.

Produkta logaritms un koeficienta logaritms

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vēlos brīdināt skolēnus no nepārdomātas šo formulu izmantošanas, risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības. Izmantojot tos “no kreisās uz labo”, ODZ sašaurinās, un, pārejot no logaritmu summas vai starpības uz reizinājuma vai koeficienta logaritmu, ODZ paplašinās.

Patiešām, izteiksme log a (f (x) g (x)) ir definēta divos gadījumos: kad abas funkcijas ir stingri pozitīvas vai ja f (x) un g (x) ir mazākas par nulli.

Pārveidojot šo izteiksmi summā log a f (x) + log a g (x), esam spiesti aprobežoties tikai ar gadījumu, kad f(x)>0 un g(x)>0. Ir apgabala sašaurināšanās pieņemamām vērtībām, un tas ir kategoriski nepieņemami, jo tas var novest pie risinājumu zaudēšanas. Līdzīga problēma pastāv formulai (6).

Pakāpi var izņemt no logaritma zīmes

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Un atkal es gribētu aicināt precizitāti. Apsveriet šādu piemēru:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Vienādības kreisā puse acīmredzami ir noteikta visām f(x) vērtībām, izņemot nulli. Labā puse ir paredzēta tikai f(x)>0! Izņemot grādu no logaritma, mēs atkal sašaurinām ODZ. Apgrieztā procedūra noved pie pieņemamo vērtību diapazona paplašināšanas. Visas šīs piezīmes attiecas ne tikai uz 2. jaudu, bet arī uz jebkuru vienmērīgu jaudu.

Formula pārejai uz jaunu pamatu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Retais gadījums, kad ODZ transformācijas laikā nemainās. Ja esat gudri izvēlējies bāzi c (pozitīvs un nav vienāds ar 1), formula pārejai uz jaunu bāzi ir pilnīgi droša.

Ja par jauno bāzi c izvēlamies skaitli b, iegūstam svarīgu īpašs gadījums formulas (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Daži vienkārši piemēri ar logaritmiem

Piemērs 1. Aprēķināt: log2 + log50.
Risinājums. log2 + log50 = log100 = 2. Mēs izmantojām logaritmu formulas (5) summu un decimāllogaritma definīciju.

Piemērs 2. Aprēķināt: lg125/lg5.
Risinājums. log125/log5 = log 5 125 = 3. Mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu bāzi (8).