0 naturālais logaritms ir. Kas ir logaritms

Nodarbība un prezentācija par tēmām: "Naturālie logaritmi. Naturālā logaritma bāze. Naturāla skaitļa logaritms"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.–11. klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.–11. klasei "Logaritmi"

Kas ir naturālais logaritms

Puiši, pēdējā nodarbībā uzzinājām jaunu, īpašu numuru - e.Šodien turpināsim strādāt ar šo numuru.
Mēs esam pētījuši logaritmus un zinām, ka logaritma bāze var būt daudz skaitļu, kas ir lielāki par 0. Šodien mēs apskatīsim arī logaritmu, kura bāze ir skaitlis e. Šādu logaritmu parasti sauc par naturālo logaritmu. Tam ir savs apzīmējums: $\ln(n)$ ir naturālais logaritms. Šis ieraksts ir līdzvērtīgs ierakstam: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas ir apgrieztas, tad naturālais logaritms ir funkcijas apgrieztā vērtība: $y=e^x$.
Apgrieztās funkcijas ir simetriskas attiecībā pret taisni $y=x$.
Uzzīmēsim naturālo logaritmu, attēlojot eksponenciālo funkciju attiecībā pret taisni $y=x$.

Ir vērts atzīmēt, ka funkcijas $y=e^x$ grafika pieskares slīpuma leņķis punktā (0;1) ir 45°. Tad arī naturālā logaritma grafika pieskares slīpuma leņķis punktā (1;0) būs vienāds ar 45°. Abas šīs pieskares būs paralēlas taisnei $y=x$. Diagrammēsim pieskares:

Funkcijas $y=\ln(x)$ īpašības

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nav ne pāra, ne nepāra.
3. Palielinās visā definīcijas jomā.
4. Nav ierobežots no augšas, nav ierobežots no apakšas.
5. Lielākā vērtība nē, zemākā vērtība Nē.
6. Nepārtraukts.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Izliekts uz augšu.
9. Atšķiras visur.

Augstākās matemātikas gaitā tas ir pierādīts apgrieztās funkcijas atvasinājums ir dotās funkcijas atvasinājuma apgrieztais.
Pierādījumos nav jāiedziļinās tam ir liela jēga, vienkārši uzrakstīsim formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Piemērs.
Aprēķiniet funkcijas atvasinājuma vērtību: $y=\ln(2x-7)$ punktā $x=4$.
Risinājums.
Kopumā mūsu funkciju attēlo funkcija $y=f(kx+m)$, mēs varam aprēķināt šādu funkciju atvasinājumus.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Aprēķināsim atvasinājuma vērtību vajadzīgajā punktā: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Atbilde: 2.

Piemērs.
Uzzīmējiet pieskares funkcijas $y=ln(x)$ grafikam punktā $х=е$.
Risinājums.
Mēs labi atceramies pieskares vienādojumu funkcijas grafikam punktā $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mēs secīgi aprēķinām nepieciešamās vērtības.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Pieskares vienādojums punktā $x=e$ ir funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Uzzīmēsim naturālo logaritmu un pieskares līniju.

Piemērs.
Pārbaudiet funkciju monotoniskumam un ekstrēmumam: $y=x^6-6*ln(x)$.
Risinājums.
Funkcijas $D(y)=(0;+∞)$ definīcijas apgabals.
Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Atvasinājums pastāv visiem x no definīcijas domēna, tad nav kritisko punktu. Atradīsim stacionārus punktus:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkts $x=-1$ nepieder definīcijas domēnam. Tad mums ir viens stacionārs punkts $x=1$. Atradīsim pieauguma un samazināšanas intervālus:

Punkts $x=1$ ir minimālais punkts, tad $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Atbilde: Funkcija samazinās segmentā (0;1], funkcija palielinās uz stara $)