Kā iegūt skaitli no naturālā logaritma. Logaritms

Tas varētu būt, piemēram, kalkulators no pamata programmu komplekta operētājsistēma Windows. Saite tās palaišanai ir paslēpta OS galvenajā izvēlnē - atveriet to, noklikšķinot uz pogas "Sākt", pēc tam atveriet sadaļu "Programmas", dodieties uz apakšsadaļu "Standarta" un pēc tam uz "Utilītas". sadaļu un, visbeidzot, noklikšķiniet uz vienuma "Kalkulators" Tā vietā, lai izmantotu peli un pārvietotos pa izvēlnēm, varat izmantot tastatūru un programmas palaišanas dialoglodziņu - nospiediet taustiņu kombināciju WIN + R, ierakstiet calc (tas ir kalkulatora izpildāmā faila nosaukums) un nospiediet taustiņu Enter.

Pārslēdziet kalkulatora saskarni uz uzlaboto režīmu, kas ļauj veikt... Pēc noklusējuma tas tiek atvērts “parastajā” skatā, taču jums ir nepieciešama “inženierzinātne” vai “ ” (atkarībā no izmantotās OS versijas). Izvēlnē izvērsiet sadaļu “Skats” un atlasiet atbilstošo rindiņu.

Ievadiet argumentu, kura dabisko vērtību vēlaties novērtēt. To var izdarīt vai nu no tastatūras, vai arī noklikšķinot uz atbilstošām pogām kalkulatora saskarnē ekrānā.

Noklikšķiniet uz pogas ar nosaukumu ln — programma aprēķinās logaritmu līdz e bāzei un parādīs rezultātu.

Izmantojiet kādu no -kalkulatoriem kā alternatīvu vērtības aprēķinu naturālais logaritms. Piemēram, tas, kas atrodas plkst http://calc.org.ua. Tā saskarne ir ārkārtīgi vienkārša - ir viens ievades lauks, kurā jāievada skaitļa vērtība, kuras logaritms jums jāaprēķina. Starp pogām atrodiet to, kas saka ln, un noklikšķiniet uz tā. Šī kalkulatora skripts neprasa datu nosūtīšanu uz serveri un atbildi, tāpēc aprēķinu rezultātu saņemsiet gandrīz acumirklī. Vienīgā iezīme, kas jāņem vērā – atdalītājs starp daļskaitli un visa daļa Ievadītajam skaitlim šeit ir jābūt punktam, nevis .

termins " logaritms" cēlies no diviem grieķu vārdiem, no kuriem viens nozīmē "skaitlis", bet otrs nozīmē "attiecība". Tas apzīmē matemātisko darbību mainīga lieluma (eksponenta) aprēķināšanai, līdz kuram jāpaaugstina konstanta vērtība (bāze), lai iegūtu skaitli, kas norādīts zem zīmes. logaritms A. Ja bāze ir vienāda ar matemātisko konstanti, ko sauc par skaitli "e", tad logaritms sauc par "dabisku".

Jums būs nepieciešams

Interneta piekļuve, Microsoft Office Excel vai kalkulators.

Norādījumi

Izmantojiet daudzos internetā pieejamos kalkulatorus – tas, iespējams, ir vienkāršs veids, kā aprēķināt dabisko a. Jums nav jāmeklē atbilstošs pakalpojums, jo daudzi meklētājprogrammas un pašiem ir iebūvēti kalkulatori, diezgan piemēroti darbam ar logaritms ami. Piemēram, dodieties uz lielākās tiešsaistes meklētājprogrammas - Google - galveno lapu. Šeit nav nepieciešamas pogas, lai ievadītu vērtības vai atlasītu funkcijas, vienkārši ievadiet vajadzīgo matemātisko darbību vaicājuma ievades laukā. Teiksim, lai aprēķinātu logaritms un skaitli 457 bāzē “e”, ievadiet ln 457 – ar to pietiks, lai Google parādītu ar precizitāti līdz astoņām zīmēm aiz komata (6.12468339), pat nenospiežot pogu, lai nosūtītu pieprasījumu serverim.

Izmantojiet atbilstošo iebūvēto funkciju, ja nepieciešams aprēķināt dabas vērtību logaritms un rodas, strādājot ar datiem populārajā izklājlapu redaktorā Microsoft Office Excel. Šī funkcija šeit tiek izsaukta, izmantojot parasto apzīmējumu logaritms un ar lielajiem burtiem - LN. Atlasiet šūnu, kurā jāparāda aprēķina rezultāts, un ievadiet vienādības zīmi - šādi šajā izklājlapu redaktorā ierakstiem jāsākas šūnās, kas atrodas galvenās izvēlnes sadaļas "Visas programmas" apakšsadaļā "Standarta". Pārslēdziet kalkulatoru uz funkcionālāku režīmu, nospiežot īsinājumtaustiņu Alt + 2. Pēc tam ievadiet dabisko vērtību logaritms kuru vēlaties aprēķināt, un programmas saskarnē noklikšķiniet uz pogas, kas norādīta ar simboliem ln. Lietojumprogramma veiks aprēķinu un parādīs rezultātu.

Video par tēmu

Nepavisam nav slikti, vai ne? Kamēr matemātiķi meklē vārdus, lai sniegtu jums garu, mulsinošu definīciju, apskatīsim šo vienkāršo un skaidru definīciju tuvāk.

Skaitlis e nozīmē izaugsmi

Skaitlis e nozīmē nepārtrauktu izaugsmi. Kā redzējām iepriekšējā piemērā, piemērs ļauj mums saistīt procentus un laiku: 3 gadi pie 100% pieauguma ir tas pats, kas 1 gads ar 300%, pieņemot "saliktos procentus".

Jūs varat aizstāt jebkuru procentuālo un laika vērtību (50% uz 4 gadiem), bet labāk ir iestatīt procentuālo vērtību 100% ērtības labad (izrādās, ka 100% uz 2 gadiem). Pārejot uz 100%, mēs varam koncentrēties tikai uz laika komponentu:

e x = e procenti * laiks = e 1,0 * laiks = e laiks

Acīmredzot e x nozīmē:

cik daudz pieaugs mans ieguldījums pēc x laika vienībām (pieņemot 100% nepārtrauktu pieaugumu).
piemēram, pēc 3 laika intervāliem es saņemšu e 3 = 20,08 reizes vairāk “lietu”.

e x ir mērogošanas koeficients, kas parāda, līdz kādam līmenim mēs izaugsim x laika periodā.

Dabiskais logaritms nozīmē laiku

Dabiskais logaritms ir e inverss, kas ir izdomāts termins pretējai. Runājot par dīvainībām; latīņu valodā to sauc par logarithmus naturali, tāpēc arī saīsinājums ln.

Un ko nozīmē šī inversija vai pretējais?

e x ļauj mums aizstāt laiku un iegūt izaugsmi.
Ln(x) ļauj mums novērtēt izaugsmi vai ienākumus un uzzināt laiku, kas nepieciešams to radīšanai.

Piemēram:

e 3 ir vienāds ar 20.08. Pēc trim laika periodiem mums būs 20,08 reizes vairāk nekā sākām.
ln(08/20) būtu aptuveni 3. Ja jūs interesē izaugsme 20,08 reizes, jums būs nepieciešami 3 laika periodi (atkal, pieņemot 100% nepārtrauktu izaugsmi).

Joprojām lasāt? Dabiskais logaritms parāda laiku, kas nepieciešams, lai sasniegtu vēlamo līmeni.

Šis nestandarta logaritmiskais skaits

Vai esat izgājis cauri logaritmiem? dīvainas radības. Kā viņiem izdevās pārvērst reizināšanu par saskaitīšanu? Kā ar dalīšanu atņemšanā? Paskatīsimies.

Ar ko ln(1) ir vienāds? Intuitīvi rodas jautājums: cik ilgi man jāgaida, lai iegūtu 1x vairāk nekā man ir?

Nulle. Nulle. Nemaz. Jums tas vienreiz jau ir. Nav nepieciešams ilgs laiks, lai pārietu no 1. līmeņa uz 1. līmeni.

ln(1) = 0

Labi, kā ar daļējo vērtību? Cik ilgs laiks paies, līdz mums paliks 1/2 no pieejamā daudzuma? Mēs zinām, ka ar 100% nepārtrauktu izaugsmi ln(2) nozīmē laiku, kas nepieciešams, lai dubultotu. Ja mēs pagriezīsim laiku atpakaļ(t.i., nogaidiet negatīvu laiku), tad mēs iegūsim pusi no tā, kas mums ir.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Loģiski, vai ne? Ja atgriezīsimies (laiks atpakaļ) uz 0,693 sekundēm, mēs atradīsim pusi no pieejamās summas. Kopumā jūs varat apgriezt daļu un ņemt negatīva vērtība: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Tas nozīmē, ka, atgriežoties laikā līdz 1,09 reizēm, mēs atradīsim tikai trešo daļu no pašreizējā skaitļa.

Labi, kā ar negatīva skaitļa logaritmu? Cik ilgs laiks nepieciešams, lai “izaugtu” baktēriju kolonija no 1 līdz -3?

Tas nav iespējams! Jūs nevarat iegūt negatīvu baktēriju skaitu, vai ne? Jūs varat iegūt maksimālo (er...minimumu) nulli, taču no šiem mazajiem dzīvnieciņiem nekādā gadījumā nevar iegūt negatīvu skaitli. IN negatīvs skaitlis baktērijām vienkārši nav jēgas.

ln(negatīvs skaitlis) = nedefinēts

“Nedefinēts” nozīmē, ka nav laika, kas būtu jāgaida, lai iegūtu negatīvu vērtību.

Logaritmiskā reizināšana ir vienkārši jautra

Cik ilgi tas izaugs četrkārtīgi? Protams, jūs varat vienkārši paņemt ln(4). Bet tas ir pārāk vienkārši, mēs iesim citu ceļu.

Jūs varat domāt par četrkāršotu pieaugumu kā dubultošanu (nepieciešams ln(2) laika vienības) un pēc tam atkal dubultošanu (vajadzīgas vēl ln(2) laika vienības):

Laiks pieaugt 4 reizes = ln(4) = laiks dubultoties un pēc tam vēlreiz dubultot = ln(2) + ln(2)

Interesanti. Jebkuru pieauguma tempu, piemēram, 20, var uzskatīt par dubultošanos uzreiz pēc 10 reizes pieauguma. Vai pieaugums 4 reizes un pēc tam 5 reizes. Vai trīskāršot un pēc tam palielināt 6,666 reizes. Vai redzat modeli?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A un B logaritms ir log(A) + log(B). Šīm attiecībām uzreiz ir jēga, ja tās raugās no izaugsmes viedokļa.

Ja interesē 30x pieaugums, varat pagaidīt ln(30) vienā sēdē, vai gaidīt ln(3) trīskāršošanu un tad vēl ln(10) 10x. Gala rezultāts ir tāds pats, tāpēc, protams, laikam ir jāpaliek nemainīgam (un tā arī notiek).

Kā ar sadalīšanu? Konkrēti, ln(5/3) nozīmē: cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai izaugtu 5 reizes un pēc tam iegūtu 1/3 no tā?

Lieliski, pieaugums par 5 reizēm ir ln(5). Palielinājums 1/3 reizes prasīs -ln(3) laika vienības. Tātad,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Tas nozīmē: ļaujiet tam augt 5 reizes un pēc tam "atgriezieties laikā" līdz vietai, kur paliek tikai trešdaļa no šī daudzuma, lai jūs iegūtu 5/3 pieaugumu. Kopumā izrādās

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Es ceru, ka dīvainā logaritmu aritmētika jums sāk saprast: pieauguma tempu reizināšana kļūst par pieauguma laika vienību pievienošanu, bet dalīšana kļūst par laika vienību atņemšanu. Nav nepieciešams iegaumēt noteikumus, mēģiniet tos saprast.

Dabiskā logaritma izmantošana patvaļīgai izaugsmei

Nu, protams,” jūs sakāt, “tas viss ir labi, ja pieaugums ir 100%, bet kā ir ar tiem 5%, ko es saņemu?”

Nav problēmu. "Laiks", ko mēs aprēķinām ar ln(), faktiski ir procentu likmes un laika kombinācija, tas pats X no e x vienādojuma. Mēs tikko nolēmām vienkāršības labad iestatīt procentuālo vērtību uz 100%, taču mēs varam brīvi izmantot jebkurus skaitļus.

Pieņemsim, ka mēs vēlamies sasniegt 30x pieaugumu: ņem ln(30) un iegūst 3,4 Tas nozīmē:

e x = augstums
e 3,4 = 30

Acīmredzot šis vienādojums nozīmē "100% atdeve 3,4 gadu laikā nodrošina 30x pieaugumu." Mēs varam uzrakstīt šo vienādojumu šādi:

e x = e likme*laiks
e 100% * 3,4 gadi = 30

Mēs varam mainīt “likmes” un “laika” vērtības, kamēr likmes * laiks paliek 3,4. Piemēram, ja mūs interesē 30x izaugsme, cik ilgi mums būs jāgaida ar 5% procentu likmi?

ln(30) = 3,4
likme * laiks = 3,4
0,05 * laiks = 3,4
laiks = 3,4 / 0,05 = 68 gadi

Es domāju šādi: "ln(30) = 3,4, tātad pie 100% pieauguma tas prasīs 3,4 gadus. Ja es dubultošu pieauguma tempu, nepieciešamais laiks tiks samazināts uz pusi."

100% uz 3,4 gadiem = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% 1,7 gadu laikā = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% uz 6,8 gadiem = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% virs 68 gadiem = 0,05 * 68 = 3,4.

Lieliski, vai ne? Dabisko logaritmu var izmantot ar jebkuru procentu likmi un laiku, jo to reizinājums paliek nemainīgs. Varat pārvietot mainīgās vērtības tik daudz, cik vēlaties.

Foršs piemērs: Septiņdesmit divu noteikums

Septiņdesmit divu noteikums ir matemātisks paņēmiens, kas ļauj novērtēt, cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai jūsu nauda dubultotos. Tagad mēs to secināsim (jā!), un turklāt mēģināsim izprast tā būtību.

Cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai dubultotu savu naudu ar 100% procentu likmi, ko papildina katru gadu?

Hmm... Mēs izmantojām naturālo logaritmu nepārtrauktas izaugsmes gadījumam, un tagad jūs runājat par ikgadēju salikšanu? Vai šī formula nekļūtu nepiemērota šādam gadījumam? Jā, tā būs, bet reālajām procentu likmēm, piemēram, 5%, 6% vai pat 15%, starpība starp ikgadējo salikšanu un nepārtrauktu pieaugumu būs neliela. Tātad aptuvenā aplēse darbojas, um, aptuveni, tāpēc mēs izliksimies, ka mums ir pilnīgi nepārtraukts uzkrājums.

Tagad jautājums ir vienkāršs: cik ātri jūs varat dubultot ar 100% izaugsmi? ln(2) = 0,693. Lai dubultotu mūsu summu ar nepārtrauktu pieaugumu par 100%, ir nepieciešamas 0,693 laika vienības (mūsu gadījumā gadi).

Tātad, ja procentu likme nav 100%, bet teiksim 5% vai 10%?

Viegli! Tā kā likme * laiks = 0,693, mēs dubultosim summu:

likme * laiks = 0,693
laiks = 0,693 / likme

Izrādās, ja pieaugums ir 10%, lai dubultotos, būs nepieciešami 0,693 / 0,10 = 6,93 gadi.

Lai vienkāršotu aprēķinus, sareizināsim abas puses ar 100, tad varam teikt "10", nevis "0,10":

laiks līdz dubultošanai = 69,3 / likme, kur likme ir izteikta procentos.

Tagad ir pienācis laiks dubultot ar likmi 5%, 69,3 / 5 = 13,86 gadi. Tomēr 69,3 nav ērtākā dividende. Izvēlēsimies tuvu skaitli 72, ko ērti dalīt ar 2, 3, 4, 6, 8 un citiem skaitļiem.

laiks, lai dubultotu = 72 / likme

kas ir septiņdesmit divu noteikums. Viss ir nosegts.

Ja jums jāatrod laiks trīskāršot, varat izmantot ln(3) ~ 109.8 un iegūt

laiks līdz trīskāršībai = 110 / likme

Kas ir cits noderīgs noteikums. "72. noteikums" attiecas uz augumu procentu likmes, populācijas pieaugums, baktēriju kultūras un viss, kas aug eksponenciāli.

Kas būs tālāk?

Cerams, ka dabiskajam logaritmam tagad ir jēga — tas parāda laiku, kas nepieciešams, lai jebkurš skaitlis pieaugtu eksponenciāli. Es domāju, ka to sauc par dabisku, jo e ir universāls izaugsmes mērs, tāpēc to var uzskatīt universālā veidā noteikt, cik ilgs laiks nepieciešams augšanai.

Katru reizi, kad redzat ln(x), atcerieties "laiku, kas nepieciešams, lai pieaugtu X reizes". Gaidāmajā rakstā aprakstīšu e un ln kopā, lai gaisu piepildīs svaiga matemātikas smarža.

Papildinājums: e naturālais logaritms

Ātrā viktorīna: kas ir ln(e)?

matemātikas robots sacīs: tā kā tie ir definēti kā apgriezti viens otram, ir skaidrs, ka ln(e) = 1.
saprotoša persona: ln(e) ir reižu skaits, kas nepieciešams, lai izaugtu "e" reizes (apmēram 2,718). Tomēr pats skaitlis e ir pieauguma mērs ar koeficientu 1, tāpēc ln(e) = 1.

Padomājiet skaidri.

2013. gada 9. septembris

1.1. Eksponenta noteikšana veselam skaitļa eksponentam

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N reizes

1.2. Nulle grāds.

Pēc definīcijas ir vispāratzīts, ka jebkura skaitļa nulles pakāpe ir 1:

1.3. Negatīvā pakāpe.

X -N = 1/X N

1.4. Frakcionālais spēks, sakne.

X 1/N = N sakne no X.

Piemēram: X 1/2 = √X.

1.5. Formula spēku pievienošanai.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Pakāpju atņemšanas formula.

X (N-M) = X N/X M

1.7. Formula jaudu reizināšanai.

X N*M = (X N) M

1.8. Formula daļskaitļa paaugstināšanai līdz pakāpei.

(X/Y) N = X N/Y N

2. Skaitlis e.

Skaitļa e vērtība ir vienāda ar šādu robežu:

E = lim(1+1/N), kā N → ∞.

Ar 17 ciparu precizitāti skaitlis e ir 2,71828182845904512.

3. Eilera vienādība.

Šī vienlīdzība savieno piecus skaitļus, kuriem matemātikā ir īpaša loma: 0, 1, e, pi, iedomātā vienība.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponenciālā funkcija exp(x)

exp(x) = e x

5. Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Eksponenciālajai funkcijai ir ievērojama īpašība: funkcijas atvasinājums ir vienāds ar pašu eksponenciālo funkciju:

(exp(x))" = exp (x)

6. Logaritms.

6.1. Logaritma funkcijas definīcija

Ja x = b y, tad logaritms ir funkcija

Y = Log b(x).

Logaritms parāda, līdz kādai pakāpei jāpalielina skaitlis – logaritma bāze (b), lai iegūtu doto skaitli (X). Logaritma funkcija ir definēta, ja X ir lielāka par nulli.

Piemēram: žurnāls 10 (100) = 2.

6.2. Decimālais logaritms

Šis ir 10. bāzes logaritms:

Y = Log 10 (x) .

Apzīmē ar Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Lietošanas piemērs decimāllogaritms- decibels.

6.3. Decibels

Vienums ir izcelts atsevišķā lapā Decibels

6.4. Binārais logaritms

Šis ir 2. bāzes logaritms:

Y = žurnāls 2 (x).

Apzīmē ar Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Dabiskais logaritms

Šis ir logaritms bāzes e:

Y = Log e (x) .

Apzīmē ar Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Dabiskais logaritms ir eksponenciālās funkcijas exp(X) apgrieztā funkcija.

6.6. Raksturīgi punkti

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Produkta logaritma formula

Log a (x*y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. Koeficienta logaritma formula

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Jaudas formulas logaritms

Reģistrēt a (x y) = y* Reģistrēt a (x)

6.10. Formula konvertēšanai uz logaritmu ar citu bāzi

Žurnāls b (x) = (Žurnāls a (x))/Žurnāls a (b)

Piemērs:

2. baļķis (8) = 10. baļķis (8)/10. baļķis (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Dzīvē noderīgas formulas

Bieži vien ir problēmas ar tilpuma pārvēršanu laukumā vai garumā un apgrieztā problēma - laukuma pārvēršanu tilpumā. Piemēram, dēļi tiek pārdoti kubos (kubikmetros), un mums ir jāaprēķina, cik lielu sienas platību var pārklāt ar dēļiem, kas atrodas noteiktā tilpumā, skatiet dēļu aprēķinu, cik dēļu ir kubā. Vai arī, ja ir zināmi sienas izmēri, jums jāaprēķina ķieģeļu skaits, skatiet ķieģeļu aprēķinu.

Vietnes materiālus ir atļauts izmantot, ja ir instalēta aktīva saite uz avotu.

Dabiskais logaritms

Dabiskā logaritma funkcijas grafiks. Funkcija lēnām tuvojas pozitīvai bezgalībai, palielinoties x un strauji tuvojas negatīvajai bezgalībai, kad x mēdz būt 0 (“lēns” un “ātrs”, salīdzinot ar jebkuru jaudas funkcija no x).

Dabiskais logaritms ir logaritms pret bāzi , Kur e- iracionālā konstante, kas vienāda ar aptuveni 2,718281 828. Dabisko logaritmu parasti raksta kā ln( x), žurnāls e (x) vai dažreiz vienkārši piesakieties ( x), ja bāze e netieši.

Skaitļa naturālais logaritms x(rakstīts kā ln(x)) ir eksponents, līdz kuram skaitlis jāpalielina e lai iegūtu x. Piemēram, ln(7389...) ir vienāds ar 2, jo e 2 =7,389... . Paša skaitļa naturālais logaritms e (ln(e)) ir vienāds ar 1, jo e 1 = e, un naturālais logaritms ir 1 ( ln(1)) ir vienāds ar 0, jo e 0 = 1.

Dabisko logaritmu var definēt jebkuram pozitīvam reālam skaitlim a kā laukums zem līknes y = 1/x no 1 līdz a. Šīs definīcijas vienkāršība, kas atbilst daudzām citām formulām, kurās tiek izmantots naturālais logaritms, noveda pie nosaukuma "dabisks". Šo definīciju var attiecināt uz kompleksajiem skaitļiem, kā tas tiks apspriests turpmāk.

Ja mēs uzskatām naturālo logaritmu par reāla mainīgā reālu funkciju, tad tā ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija, kas noved pie identitātēm:

Tāpat kā visi logaritmi, dabiskais logaritms kartē reizināšanu ar saskaitīšanu:

Tādējādi logaritmiskā funkcija ir pozitīvo reālo skaitļu grupas izomorfisms attiecībā uz reizināšanu ar reālo skaitļu grupu attiecībā pret saskaitīšanu, ko var attēlot kā funkciju:

Logaritmu var definēt jebkurai pozitīvai bāzei, kas nav 1, nevis tikai e, bet citu bāzu logaritmi atšķiras no naturālā logaritma tikai ar nemainīgu koeficientu un parasti tiek definēti naturālā logaritma izteiksmē. Logaritmi ir noderīgi, lai atrisinātu vienādojumus, kuros kā eksponenti ir izmantoti nezināmie. Piemēram, logaritmus izmanto, lai atrastu sabrukšanas konstanti zināmam pussabrukšanas periodam vai lai atrastu sabrukšanas laiku, risinot radioaktivitātes problēmas. Tiem ir svarīga loma daudzās matemātikas un lietišķo zinātņu jomās, un tos izmanto finansēs, lai atrisinātu daudzas problēmas, tostarp, lai atrastu saliktos procentus.

Stāsts

Pirmo reizi naturālo logaritmu pieminēja Nikolass Merkators savā darbā Logaritmotehnika, publicēts 1668. gadā, lai gan matemātikas skolotājs Džons Spidels naturālo logaritmu tabulu sastādīja tālajā 1619. gadā. Iepriekš to sauca par hiperbolisko logaritmu, jo tas atbilst laukumam zem hiperbolas. Dažreiz to sauc par Napier logaritmu, lai gan šī termina sākotnējā nozīme bija nedaudz atšķirīga.

Apzīmēšanas konvencijas

Dabisko logaritmu parasti apzīmē ar “ln( x)", logaritms līdz 10. bāzei - izmantojot "lg( x)", un citi iemesli parasti ir skaidri norādīti ar simbolu "baļķis".

Daudzos darbos par diskrēto matemātiku, kibernētiku un datorzinātnēm autori izmanto apzīmējumu “log( x)" logaritmiem līdz 2. bāzei, taču šī vienošanās nav vispārpieņemta un ir jāprecizē vai nu izmantoto apzīmējumu sarakstā, vai (ja šāda saraksta nav) ar zemsvītras piezīmi vai komentāru, kad to pirmo reizi izmanto.

Iekavas ap logaritma argumentu (ja tas neizraisa kļūdainu formulas nolasīšanu) parasti tiek izlaistas, un, paaugstinot logaritmu līdz pakāpei, eksponents tiek piešķirts tieši logaritma zīmei: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Angloamerikāņu sistēma

Matemātiķi, statistiķi un daži inženieri parasti lieto terminu “dabiskais logaritms” vai “log( x)" vai "ln( x)", un, lai apzīmētu 10. bāzes logaritmu - "log 10 ( x)».

Daži inženieri, biologi un citi speciālisti vienmēr raksta “ln( x)" (vai reizēm "log e ( x)"), kad tie nozīmē naturālo logaritmu un apzīmējumu "log( x)" tie nozīmē log 10 ( x).

žurnāls e ir "dabisks" logaritms, jo tas notiek automātiski un ļoti bieži parādās matemātikā. Piemēram, apsveriet logaritmiskās funkcijas atvasinājuma problēmu:

Ja bāze b vienāds e, tad atvasinājums ir vienkārši 1/ x, un kad x= 1 šis atvasinājums ir vienāds ar 1. Vēl viens iemesls, kāpēc bāze e Pats dabiskākais logaritmā ir tas, ka to var definēt gluži vienkārši kā vienkāršu integrāli vai Teilora sēriju, ko nevar teikt par citiem logaritmiem.

Turpmākie dabiskuma pamatojumi nav saistīti ar notāciju. Piemēram, ir vairākas vienkāršas sērijas ar naturālajiem logaritmiem. Viņus sauca Pjetro Mengoli un Nikolass Merkators logaritms naturalis vairākas desmitgades, līdz Ņūtons un Leibnics izstrādāja diferenciālrēķinus un integrālrēķinus.

Definīcija

Formāli ln( a) var definēt kā laukumu zem diagrammas līknes 1/ x no 1 līdz a, t.i., kā integrālis:

Tas patiešām ir logaritms, jo tas atbilst logaritma pamatīpašībai:

To var pierādīt, pieņemot, ka:

Skaitliskā vērtība

Lai aprēķinātu skaitļa naturālā logaritma skaitlisko vērtību, varat izmantot tā Teilora sērijas paplašinājumu šādā formā:

Lai iegūtu labāks ātrums konverģenci, mēs varam izmantot šādu identitāti:

ar nosacījumu, ka y = (x−1)/(x+1) un x > 0.

Par ln( x), Kur x> 1, jo tuvāka vērtība x uz 1, tad ātrāks ātrums konverģence. Ar logaritmu saistītās identitātes var izmantot, lai sasniegtu mērķi:

Šīs metodes tika izmantotas vēl pirms kalkulatoru parādīšanās, kurām tika izmantotas skaitliskās tabulas un veiktas iepriekš aprakstītajām līdzīgas manipulācijas.

Augsta precizitāte

Lai aprēķinātu naturālo logaritmu ar liels skaits precizitātes skaitļi, Teilora sērija nav efektīva, jo tās konverģence ir lēna. Alternatīva ir izmantot Ņūtona metodi, lai invertētu eksponenciālā funkcijā, kuras rindas saplūst ātrāk.

Alternatīva ļoti augstai aprēķinu precizitātei ir formula:

Kur M apzīmē vidējo aritmētiski ģeometrisko 1 un 4/s, un

m izvēlēts tā lpp tiek sasniegtas precizitātes zīmes. (Lielākajā daļā gadījumu m ir pietiekama vērtība 8.) Faktiski, ja izmanto šo metodi, lai efektīvi aprēķinātu eksponenciālo funkciju, var izmantot Ņūtona apgriezto naturālo logaritmu. (Konstantes ln 2 un pi var iepriekš aprēķināt ar vēlamo precizitāti, izmantojot jebkuru no zināmajām strauji konverģentajām sērijām.)

Aprēķinu sarežģītība

Dabisko logaritmu skaitļošanas sarežģītība (izmantojot vidējo aritmētiski ģeometrisko) ir O( M(n)ln n). Šeit n ir precizitātes ciparu skaits, kam jānovērtē naturālais logaritms, un M(n) ir skaitļošanas sarežģītība, reizinot divus n- ciparu skaitļi.

Turpinājums frakcijas

Lai gan nav vienkāršu turpinātu daļskaitļu, lai attēlotu logaritmu, var izmantot vairākas vispārinātas turpinātas daļdaļas, tostarp:

Sarežģīti logaritmi

Eksponenciālo funkciju var paplašināt līdz funkcijai, kas dod formas komplekso skaitli e x par jebkuru patvaļīgu kompleksais skaitlis x, šajā gadījumā bezgalīga sērija ar kompleksu x. Šis eksponenciālā funkcija var apgriezt, veidojot sarežģītu logaritmu, kuram būs lielākā daļa parasto logaritmu īpašību. Tomēr ir divas grūtības: nav x, par kuru e x= 0, un izrādās, ka e 2πi = 1 = e 0 . Tā kā reizināšanas īpašība ir derīga sarežģītai eksponenciālai funkcijai, tad e z = e z+2nπi visiem kompleksiem z un vesels n.

Logaritmu nevar definēt visā kompleksajā plaknē, un pat tāpēc tas ir daudzvērtīgs — jebkuru sarežģītu logaritmu var aizstāt ar "ekvivalentu" logaritmu, pievienojot jebkuru veselu skaitļa 2 reizni. πi. Kompleksajam logaritmam var būt tikai viena vērtība kompleksās plaknes daļā. Piemēram, ln i = 1/2 πi vai 5/2 πi vai −3/2 πi utt., un lai gan i 4 = 1,4 log i var definēt kā 2 πi vai 10 πi vai –6 πi, un tā tālāk.

Skatīt arī

Džons Napier - logaritmu izgudrotājs

Piezīmes

Matemātika fizikālajai ķīmijai. - 3. - Academic Press, 2005. - 9. lpp. - ISBN 0-125-08347-5,Izvilkums no 9. lappuses
Dž.Dž.O.Konors un E.F. Robertsons Skaitlis e. MacTutor matemātikas vēstures arhīvs (2001. gada septembris). Arhivēts
Cajori Florian Matemātikas vēsture, 5. izd. - AMS grāmatnīca, 1991. - 152. lpp. - ISBN 0821821024
Flashmens, Mārtiņš Integrāļu novērtēšana, izmantojot polinomus. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2012. gada 12. februārī.

Tātad, mums ir divas pilnvaras. Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums būs jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

X logaritma bāze ir jauda, līdz kurai a jāpaaugstina, lai iegūtu x.

Apzīmējums: log a x = b, kur a ir bāze, x ir arguments, b ir tas, ar ko faktiski ir vienāds ar logaritmu.

Piemēram, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Ar tādu pašu panākumu žurnāls 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.

Darbību, lai atrastu skaitļa logaritmu noteiktai bāzei, sauc par logaritmizāciju. Tātad, pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	žurnāls 2 16 = 4	žurnāls 2 32 = 5	žurnāls 2 64 = 6

Diemžēl ne visus logaritmus var aprēķināt tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast žurnālu 2 5 . Cipars 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur segmentā. Tā kā 22< 5 < 2 3 , а чем vairāk grādu divi, jo lielāks skaitlis.

Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi jauc, kur ir pamats un kur arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu:

Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir spēks, kurā jāiebūvē bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Es saviem skolēniem pastāstu šo brīnišķīgo likumu jau pirmajā stundā – un nerodas apjukums.

Esam izdomājuši definīciju – atliek vien iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kurai tiek reducēta logaritma definīcija.
Pamatnei ir jāatšķiras no vienas, jo viena jebkurā pakāpē joprojām paliek viena. Tāpēc jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Tādus ierobežojumus sauc reģionā pieņemamām vērtībām (ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtība) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.

Tomēr tagad mēs tikai apsveram skaitliskās izteiksmes, kur nav nepieciešams zināt logaritma CVD. Visus ierobežojumus problēmu autori jau ir ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiskie vienādojumi un nevienādības, DL prasības kļūs obligātas. Galu galā pamats un arguments var saturēt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad apskatīsim vispārējo logaritmu aprēķināšanas shēmu. Tas sastāv no trim soļiem:

Izsakiet bāzi a un argumentu x kā pakāpju ar minimālo iespējamo bāzi, kas lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimāldaļām;
Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x = a b ;
Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Tas arī viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Tas pats ar decimāldaļas: ja jūs nekavējoties tos pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudz mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

Iedomāsimies bāzi un argumentu kā pieci pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

Mēs saņēmām atbildi: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Mēs saņēmām atbildi: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Mēs saņēmām atbildi: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14

Iedomāsimies bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nevar attēlot kā septiņu pakāpju, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek skaitīts;
Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā jūs varat būt pārliecināts, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Tas ir ļoti vienkārši — vienkārši iekļaujiet to galvenajos faktoros. Ja paplašināšanai ir vismaz divi dažādi faktori, skaitlis nav precīza jauda.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļi ir precīzas pilnvaras: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - precīza pakāpe, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nav precīza jauda, jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - precīza pakāpe;
35 = 7 · 5 - atkal nav precīza jauda;
14 = 7 · 2 - atkal nav precīza pakāpe;

Atzīmēsim arī to, ka mēs paši pirmskaitļi vienmēr ir precīzas savas pakāpes.

Decimālais logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un simbols.

X decimālais logaritms ir logaritms līdz 10. bāzei, t.i. Jauda, līdz kurai jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x.

Piemēram, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.

No šī brīža, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ziniet: tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pazīstams ar šo apzīmējumu, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāllogaritmiem.

Dabiskais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kam ir savs apzīmējums. Dažos veidos tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Runa ir par par naturālo logaritmu.

X naturālais logaritms ir logaritms uz bāzi e, t.i. jauda, līdz kurai jāpalielina skaitlis e, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x .

Daudzi jautās: kāds ir cipars e? Tas ir neracionāls skaitlis, tā precīza vērtība nav iespējams atrast un ierakstīt. Es sniegšu tikai pirmos skaitļus:
e = 2,718281828459...

Mēs neiedziļināsimies sīkāk par to, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir dabiskā logaritma bāze:
ln x = log e x

Tādējādi ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura naturālais logaritms racionāls skaitlis neracionāli. Izņemot, protams, vienotību: ln 1 = 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem.