Funkcijas grafika pieskare punktā. Pieskares vienādojums

Video nodarbība “Funkcijas grafika pieskares vienādojums” demonstrē izglītojošs materiāls apgūt tēmu. Video nodarbības laikā tiek aprakstīts teorētiskais materiāls, kas nepieciešams, lai formulētu funkcijas grafa pieskares vienādojuma jēdzienu dotajā punktā, algoritms šādas pieskares atrašanai un uzdevumu risināšanas piemēri, izmantojot pētīto teorētisko materiālu. .

Video pamācībā tiek izmantotas metodes, kas uzlabo materiāla skaidrību. Prezentācijā ir zīmējumi, diagrammas, svarīgi balss komentāri, animācija, izcelšana un citi rīki.

Video nodarbība sākas ar stundas tēmas izklāstu un kādas funkcijas y=f(x) grafika pieskares attēlu punktā M(a;f(a)). Ir zināms, ka slīpums grafam noteiktā punktā uzzīmētais tangenss ir vienāds ar funkcijas f΄(a) atvasinājumu noteiktā punktā. Arī no algebras kursa mēs zinām taisnes vienādojumu y=kx+m. Shematiski parādīts pieskares vienādojuma atrašanas punktā uzdevuma risinājums, kas reducējas līdz koeficientu k, m atrašanai. Zinot funkcijas grafikam piederoša punkta koordinātas, m var atrast, koordinātu vērtību aizstājot pieskares vienādojumā f(a)=ka+m. No tā atrodam m=f(a)-ka. Tādējādi, zinot atvasinājuma vērtību dotajā punktā un punkta koordinātas, mēs varam attēlot pieskares vienādojumu šādā veidā y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Tālāk ir parādīts pieskares vienādojuma sastādīšanas piemērs, ievērojot diagrammu. Dota funkcija y=x 2 , x=-2. Ņemot a=-2, mēs atrodam funkcijas vērtību dotajā punktā f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Nosakām funkcijas f΄(x)=2x atvasinājumu. Šajā brīdī atvasinājums ir vienāds ar f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Vienādojuma sastādīšanai tika atrasti visi koeficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, tātad pieskares vienādojums ir y=4+(-4)(x+2). Vienkāršojot vienādojumu, iegūstam y = -4-4x.

Nākamajā piemērā ir ieteikts izveidot vienādojumu pieskarei funkcijas y=tgx grafika sākumā. Noteiktā punktā a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Tātad pieskares vienādojums izskatās šādi: y=x.

Kā vispārinājums, vienādojuma pieskares sastādīšanas process funkcijas grafikam noteiktā punktā tiek formalizēts algoritma veidā, kas sastāv no 4 soļiem:

• Pieskares punkta abscisei ievadiet apzīmējumu a;
• f(a) tiek aprēķināts;
• nosaka f΄(x) un aprēķina f΄(a). Atrastās vērtības a, f(a), f΄(a) tiek aizvietotas tangenses vienādojuma formulā y=f(a)+f΄(a)(x-a).

1. piemērā aplūkota pieskares vienādojuma sastādīšana funkcijas y=1/x diagrammā punktā x=1. Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam algoritmu. Dotai funkcijai punktā a=1, funkcijas f(a)=-1 vērtība. Funkcijas f΄(x)=1/x 2 atvasinājums. Punktā a=1 atvasinājums f΄(a)= f΄(1)=1. Izmantojot iegūtos datus, sastāda pieskares vienādojumu y=-1+(x-1), vai y=x-2.

2. piemērā nepieciešams atrast funkcijas y=x 3 +3x 2 -2x-2 grafika pieskares vienādojumu. Galvenais nosacījums ir pieskares un taisnes y=-2x+1 paralēlisms. Vispirms atrodam pieskares leņķisko koeficientu, kas vienāds ar taisnes y=-2x+1 leņķisko koeficientu. Tā kā f΄(a)=-2 noteiktai līnijai, tad k=-2 vēlamajai tangensei. Atrodam funkcijas (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 atvasinājumu. Zinot, ka f΄(a)=-2, atrodam punkta 3a 2 koordinātes +6a-2=-2. Atrisinot vienādojumu, mēs iegūstam 1 =0 un 2 =-2. Izmantojot atrastās koordinātas, jūs varat atrast pieskares vienādojumu, izmantojot labi zināmu algoritmu. Funkcijas vērtību atrodam punktos f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Atvasinājuma vērtība punktā f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Aizvietojot atrastās vērtības pieskares vienādojumā, pirmajam punktam iegūstam a 1 =0 y=-2x-2, bet otrajam punktam a 2 =-2 pieskares vienādojumu y=-2x-22.

3. piemērā ir aprakstīts pieskares vienādojuma sastāvs, lai to zīmētu funkcijas y=√x grafika punktā (0;3). Risinājums tiek veikts, izmantojot labi zināmu algoritmu. Pieskares punktam ir koordinātes x=a, kur a>0. Funkcijas vērtība punktā f(a)=√x. Funkcijas atvasinājums f΄(х)=1/2√х, tātad dotajā punktā f΄(а)=1/2√а. Aizvietojot visas iegūtās vērtības tangentes vienādojumā, iegūstam y=√a+(x-a)/2√a. Pārveidojot vienādojumu, iegūstam y=x/2√а+√а/2. Zinot, ka pieskare iet caur punktu (0;3), mēs atrodam a vērtību. Mēs atrodam a no 3=√a/2. Tādējādi √a=6, a=36. Atrodam pieskares vienādojumu y=x/12+3. Attēlā parādīts aplūkojamās funkcijas grafiks un konstruētā vēlamā tangensa.

Studentiem tiek atgādināts aptuvenās vienādības Δy=≈f΄(x)Δxun f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ņemot x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, mēs iegūstam f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), tātad f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

4. piemērā ir jāatrod izteiksmes 2.003 6 aptuvenā vērtība. Tā kā ir jāatrod funkcijas f(x)=x 6 vērtība punktā x=2,003, varam izmantot labi zināmo formulu, ņemot f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x5. Atvasinājums punktā f΄(2)=192. Tāpēc 2,003 6 ≈65-192·0,003. Aprēķinot izteiksmi, mēs iegūstam 2,003 6 ≈64,576.

Video nodarbību “Funkcijas grafika pieskares vienādojums” ieteicams izmantot tradicionālajā matemātikas stundā skolā. Skolotājam, kurš māca attālināti, video materiāls palīdzēs skaidrāk izskaidrot tēmu. Videoklipu var ieteikt studentiem patstāvīgi pārskatīt, ja nepieciešams, lai padziļinātu izpratni par mācību priekšmetu.

TEKSTA DEKODĒŠANA:

Mēs zinām, ka, ja punkts M (a; f(a)) (em ar koordinātām a un ef no a) pieder funkcijas y = f (x) grafikam un ja šajā punktā ir iespējams uzzīmēt tangensu uz funkcijas grafiku, kas nav perpendikulāra abscisai asij, tad pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar f"(a) (eff pirmizrāde no a).

Ir dota funkcija y = f(x) un punkts M (a; f(a)), un ir arī zināms, ka eksistē f´(a). Izveidosim vienādojumu grafika pieskarei dotā funkcija V dots punkts. Šim vienādojumam, tāpat kā jebkuras taisnes vienādojumam, kas nav paralēla ordinātu asij, ir forma y = kx+m (y ir vienāds ar ka x plus em), tāpēc uzdevums ir atrast koeficienti k un m (ka un em)

Leņķa koeficients k= f"(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā taisne iet caur punktu M(a; f (a)). Tas nozīmē, ka, ja mēs aizvietojam koordinātas punktu M taisnes vienādojumā, iegūstam pareizo vienādību : f(a) = ka+m, no kurienes konstatējam, ka m = f(a) - ka.

Atliek atrastās koeficientu ki un m vērtības aizstāt taisnes vienādojumā:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y ir vienāds ar ef no plus ef pirmskaitļa no a, reizināts ar x mīnus a).

Esam ieguvuši vienādojumu funkcijas y = f(x) grafika pieskarei punktā x=a.

Ja, teiksim, y = x 2 un x = -2 (t.i., a = -2), tad f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, kas nozīmē f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (tad a ef ir vienāds ar četriem, ef no galvenās vērtības x ir vienāds ar diviem x, kas nozīmē ef pirmskaitli no vienāda mīnus četri)

Aizvietojot vienādojumā atrastās vērtības a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, iegūstam: y = 4+(-4)(x+2), t.i., y = -4x -4.

(E ir vienāds ar mīnus četri x mīnus četri)

Izveidosim vienādojumu funkcijas y = tanx grafika pieskarei (y ir vienāds ar tangensu x) sākuma punktā. Mums ir: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , kas nozīmē f"(0) = l. Aizvietojot vienādojumā atrastās vērtības a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, iegūstam: y=x.

Apkoposim mūsu darbības, lai atrastu funkcijas grafika pieskares vienādojumu punktā x, izmantojot algoritmu.

ALGORITMS FUNKCIJAS y = f(x) GRAFIKA TANGENTA IZSTRĀDĀŠANAI:

1) Apzīmējiet pieskares punkta abscisu ar burtu a.

2) Aprēķināt f(a).

3) Atrodiet f´(x) un aprēķiniet f´(a).

4) Aizvietojiet atrastos skaitļus a, f(a), f´(a) formulā y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Piemērs 1. Izveidojiet vienādojumu funkcijas y = - in grafika pieskarei

punkts x = 1.

Risinājums. Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to, ka in šajā piemērā

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Formulā aizvietojiet atrastos trīs skaitļus: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Iegūstam: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Atbilde: y = x-2.

Piemērs 2. Dota funkcija y = x 3 +3x 2 -2x-2. Pierakstiet funkcijas y = f(x) grafika pieskares vienādojumu, kas ir paralēla taisnei y = -2x +1.

Izmantojot pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemam vērā, ka šajā piemērā f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, bet pieskares punkta abscisa šeit nav norādīta.

Sāksim domāt šādi. Vēlamajai tangensei jābūt paralēlai taisnei y = -2x+1. Un paralēlām līnijām ir vienādi leņķiskie koeficienti. Tas nozīmē, ka pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar dotās taisnes leņķa koeficientu: k tangensa. = -2. Hok cas. = f"(a). Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f ´(a) = -2.

Atradīsim funkcijas atvasinājumu y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ = 3x 2 +6x-2;f"(a) = 3a 2 + 6a-2.

No vienādojuma f"(a) = -2, t.i. 3a 2 +6a-2=-2 mēs atrodam 1 =0, a 2 =-2. Tas nozīmē, ka ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 0, otra punktā ar abscisu -2.

Tagad jūs varat sekot algoritmam.

1) a 1 =0 un 2 =-2.

2) f(a 1) = 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Formulā aizstājot vērtības a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2, mēs iegūstam:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Formulā aizstājot vērtības a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2, mēs iegūstam:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Atbilde: y=-2x-2, y=-2x+2.

Piemērs 3. No punkta (0; 3) uzzīmējiet pieskari funkcijas y = grafikam. Risinājums. Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā f(x) = . Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs sekojam algoritmam.

1) Pieskares punkta abscisa vērtība ir x = a; skaidrs, ka >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) a, f(a) = , f"(a) = vērtību aizstāšana formulā

y=f (a) + f "(a) (x-a), mēs iegūstam:

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 3). Aizvietojot vienādojumā vērtības x = 0, y = 3, mēs iegūstam: 3 = , un pēc tam =6, a =36.

Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskares punkta abscisu. Aizvietojot vienādojumā vērtību a =36, iegūstam: y=+3

Attēlā 1. attēlā parādīta aplūkotā piemēra ģeometriskā ilustrācija: tiek izveidots funkcijas y = grafiks, novilkta taisne y = +3.

Atbilde: y = +3.

Mēs zinām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums punktā x, ir spēkā aptuvenā vienādība: Δyf´(x)Δx (delta y ir aptuveni vienāds ar x eff pirmvārdu, kas reizināts ar delta x)

vai, sīkāk, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff no x plus delta x mīnus ef no x ir aptuveni vienāds ar ef prime no x ar delta x).

Turpmākās diskusijas ērtībai mainīsim apzīmējumu:

x vietā mēs rakstīsim A,

x+Δx vietā rakstīsim x

Δx vietā rakstīsim x-a.

Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff no x ir aptuveni vienāds ar ef no plus ef pirmskaitļa no a, reizināts ar starpību starp x un a).

4. piemērs. Atrodiet aptuvenu vērtību skaitliskā izteiksme 2,003 6 .

Risinājums. Tas ir par par funkcijas y = x 6 vērtības atrašanu punktā x = 2,003. Izmantosim formulu f(x)f(a)+f´(a)(x-a), ņemot vērā, ka šajā piemērā f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 un līdz ar to f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Rezultātā mēs iegūstam:

2,003 6 64+192· 0,003, t.i. 2,003 6 =64,576.

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam:

2,003 6 = 64,5781643...

Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.

Tēmai “Pieskares leņķiskais koeficients kā slīpuma leņķa pieskare” sertifikācijas eksāmenā tiek doti vairāki uzdevumi. Atkarībā no viņu stāvokļa absolventam var būt jāsniedz pilnīga atbilde vai īsa atbilde. Gatavojoties uz nokārtojot vienoto valsts eksāmenu Matemātikā skolēnam noteikti jāatkārto uzdevumi, kuros nepieciešams aprēķināt pieskares leņķisko koeficientu.

Tas palīdzēs jums to izdarīt izglītības portāls"Školkova". Mūsu speciālisti sagatavoja un prezentēja teorētisko un praktisko materiālu pēc iespējas pieejamākā veidā. Iepazīstoties ar to, jebkura līmeņa apmācības absolventi varēs veiksmīgi atrisināt ar atvasinājumiem saistītās problēmas, kurās nepieciešams atrast pieskares leņķa pieskares.

Pamata momenti

Lai atrastu pareizu un racionālu risinājumu šādiem uzdevumiem vienotajā valsts eksāmenā, jāatceras pamatdefinīcija: atvasinājums attēlo funkcijas izmaiņu ātrumu; tas ir vienāds ar pieskares leņķa tangensu, kas novilkta funkcijas grafikam noteiktā punktā. Tikpat svarīgi ir pabeigt zīmējumu. Tas ļaus jums atrast pareizais risinājums Vienotās valsts pārbaudes uzdevumi par atvasinājumu, kurā nepieciešams aprēķināt pieskares slīpuma leņķa tangensu. Skaidrības labad vislabāk ir attēlot grafiku OXY plaknē.

Ja esat jau iepazinies ar pamatmateriālu par atvasinājumu tēmu un esat gatavs sākt risināt pieskares leņķa pieskares aprēķināšanas uzdevumus, piemēram, Vienoto valsts eksāmenu uzdevumi, to var izdarīt tiešsaistē. Katram uzdevumam, piemēram, uzdevumiem par tēmu “Atvasinājuma saistība ar ķermeņa ātrumu un paātrinājumu” pierakstījām pareizo atbildi un risinājuma algoritmu. Tajā pašā laikā studenti var vingrināties dažādas sarežģītības pakāpes uzdevumu veikšanā. Ja nepieciešams, uzdevumu var saglabāt sadaļā “Izlase”, lai vēlāk varētu apspriest risinājumu ar skolotāju.

Dota funkcija f, kurai kādā punktā x 0 ir galīgs atvasinājums f (x 0). Tad taisni, kas iet caur punktu (x 0 ; f (x 0)) ar leņķa koeficientu f ’(x 0), sauc par tangensu.

Kas notiek, ja atvasinājums neeksistē punktā x 0? Ir divas iespējas:

1. Nav arī pieskares grafikam. Klasisks piemērs ir funkcija y = |x | punktā (0; 0).
2. Pieskares kļūst vertikāla. Tas attiecas, piemēram, uz funkciju y = arcsin x punktā (1; π /2).

Pieskares vienādojums

Jebkura nevertikāla taisne tiek dota ar vienādojumu formā y = kx + b, kur k ir slīpums. Pieskares nav izņēmums, un, lai sastādītu tā vienādojumu kādā punktā x 0, pietiek zināt funkcijas un atvasinājuma vērtību šajā punktā.

Tātad ir dota funkcija y = f (x), kurai segmentā ir atvasinājums y = f ’(x). Tad jebkurā punktā x 0 ∈ (a ; b) šīs funkcijas grafikam var uzvilkt tangensu, kas tiek dota ar vienādojumu:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Šeit f ’(x 0) ir atvasinājuma vērtība punktā x 0, un f (x 0) ir pašas funkcijas vērtība.

Uzdevums. Dota funkcija y = x 3 . Uzrakstiet vienādojumu šīs funkcijas grafika pieskarei punktā x 0 = 2.

Pieskares vienādojums: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punkts x 0 = 2 mums ir dots, bet būs jāaprēķina vērtības f (x 0) un f ’(x 0).

Vispirms noskaidrosim funkcijas vērtību. Šeit viss ir vienkārši: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Tagad atradīsim atvasinājumu: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Mēs aizstājam x 0 = 2 atvasinājumā: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Kopumā mēs iegūstam: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Šis ir pieskares vienādojums.

Uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu funkcijas f (x) = 2sin x + 5 grafika pieskarei punktā x 0 = π /2.

Šoreiz mēs neaprakstīsim katru darbību sīkāk - mēs norādīsim tikai galvenos soļus. Mums ir:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Pieskares vienādojums:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Pēdējā gadījumā taisna līnija izrādījās horizontāla, jo tā leņķiskais koeficients k = 0. Tam nav nekā slikta – mēs tikko uzdūrāmies ekstrēma punktam.

Y = f(x) un, ja šajā punktā funkcijas grafikam var uzzīmēt pieskari, kas nav perpendikulāra abscisu asij, tad pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar f"(a). Mēs jau esam izdarījuši izmantoja to vairākas reizes, piemēram, 33. paragrāfā tika konstatēts, ka funkcijas y = sin x (sinusoīda) grafiks veido 45° leņķi ar x asi (precīzāk, pieskares pieskarei). grafiks sākuma punktā veido 45° leņķi ar x ass pozitīvo virzienu), un 5. piemērā tika atrasti 33 punkti saskaņā ar doto grafiku. funkcijas, kurā pieskare ir paralēla x asij. 33.§ 2.piemērā tika sastādīts vienādojums funkcijas y = x 2 grafika pieskarei punktā x = 1 (precīzāk, punktā (1; 1), bet biežāk ir tikai abscisu vērtība). norādīts, uzskatot, ka, ja ir zināma abscisu vērtība, tad ordinātu vērtību var atrast no vienādojuma y = f(x)). Šajā sadaļā mēs izstrādāsim algoritmu jebkuras funkcijas grafikam pieskares vienādojuma sastādīšanai.

Pieņemsim, ka funkcija y = f(x) un punkts M (a; f(a)), un ir arī zināms, ka eksistē f"(a). Izveidosim vienādojumu a grafika pieskarei. dotajai funkcijai dotajā punktā šis vienādojums ir kā jebkuras taisnes, kas nav paralēla ordinātu asij, vienādojumam ir y = kx+m, tāpēc uzdevums ir atrast koeficientu k un m vērtības.

Ar leņķisko koeficientu k nav problēmu: mēs zinām, ka k = f "(a). Lai aprēķinātu m vērtību, mēs izmantojam faktu, ka vēlamā taisne iet caur punktu M(a; f (a)) Tas nozīmē, ka, aizvietojot koordinātas punktu M taisnes vienādojumā, mēs iegūstam pareizo vienādību: f(a) = ka+m, no kuras mēs secinām, ka m = f(a) - ka.
Atliek aizstāt atrastās komplekta koeficientu vērtības vienādojums taisni:

Esam ieguvuši vienādojumu funkcijas y = f(x) grafika pieskarei punktā x=a.
Ja, teiksim,
Aizvietojot atrastās vērtības a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 vienādojumā (1), iegūstam: y = 1+2(x-f), t.i., y = 2x-1.
Salīdziniet šo rezultātu ar rezultātu, kas iegūts 2. piemērā no 33. §. Protams, notika tas pats.
Izveidosim vienādojumu funkcijas y = tan x grafika pieskarei sākuma punktā. Mums ir: tas nozīmē cos x f"(0) = 1. Aizvietojot atrastās vērtības a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 vienādojumā (1), iegūstam: y = x.
Tāpēc mēs zīmējām tangentoīdu § 15 (sk. 62. att.) caur koordinātu sākumpunktu 45° leņķī pret abscisu asi.
Atrisinot šos pietiekami vienkāršus piemērus, mēs faktiski izmantojām noteiktu algoritmu, kas ir ietverts formulā (1). Padarīsim šo algoritmu skaidru.

ALGORITMS FUNKCIJAS y = f(x) GRAFIKA TANGENTA IZSTRĀDĀŠANAI

1) Apzīmējiet pieskares punkta abscisu ar burtu a.
2) Aprēķiniet 1 (a).
3) Atrodiet f"(x) un aprēķiniet f"(a).
4) Atrastos skaitļus a, f(a), (a) aizstājiet formulā (1).

1. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu pieskarei funkcijas grafikam punktā x = 1.
Izmantosim algoritmu, ņemot vērā to šajā piemērā

Attēlā 126 ir attēlota hiperbola, konstruēta taisne y = 2.
Zīmējums apstiprina iepriekš minētos aprēķinus: tiešām, līnija y = 2 skar hiperbolu punktā (1; 1).

Atbilde: y = 2-x.
2. piemērs. Funkcijas grafikam uzzīmējiet pieskari tā, lai tā būtu paralēla taisnei y = 4x - 5.
Precizēsim problēmas formulējumu. Prasība "uzzīmēt pieskares" parasti nozīmē "veidot vienādojumu pieskarei". Tas ir loģiski, jo, ja cilvēks varēja izveidot vienādojumu pieskarei, tad viņam diez vai būs grūtības konstruēt koordinātu plakne taisna līnija saskaņā ar viņas vienādojumu.
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā Bet atšķirībā no iepriekšējā piemēra ir neskaidrības: pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta.
Sāksim domāt šādi. Vēlamajai pieskarei jābūt paralēlai taisnei y = 4x-5. Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to slīpumi ir vienādi. Tas nozīmē, ka pieskares leņķa koeficientam jābūt vienādam ar dotās taisnes leņķa koeficientu: Tādējādi mēs varam atrast a vērtību no vienādojuma f"(a) = 4.
Mums ir:
No vienādojuma Tas nozīmē, ka ir divas pieskares, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: viena punktā ar abscisu 2, otra punktā ar abscisu -2.
Tagad jūs varat sekot algoritmam.

3. piemērs. No punkta (0; 1) uzzīmējiet pieskares funkcijas grafikam
Izmantosim pieskares vienādojuma sastādīšanas algoritmu, ņemot vērā, ka šajā piemērā Ņemiet vērā, ka šeit, tāpat kā 2. piemērā, pieskares punkta abscisa nav skaidri norādīta. Tomēr mēs sekojam algoritmam.

Pēc nosacījuma pieskare iet caur punktu (0; 1). Aizvietojot vērtības x = 0, y = 1 vienādojumā (2), mēs iegūstam:
Kā redzat, šajā piemērā tikai algoritma ceturtajā solī mums izdevās atrast pieskares punkta abscisu. Aizvietojot vērtību a =4 vienādojumā (2), mēs iegūstam:

Attēlā 127 attēlo aplūkotā piemēra ģeometrisku ilustrāciju: tiek uzzīmēts funkcijas grafiks

32. paragrāfā mēs atzīmējām, ka funkcijai y = f(x), kurai ir atvasinājums fiksētā punktā x, ir spēkā aptuvenā vienādība:

Turpmākās argumentācijas ērtībai mainīsim apzīmējumu: x vietā rakstīsim a, tā vietā rakstīsim x un attiecīgi rakstīsim x-a. Tad iepriekš uzrakstītā aptuvenā vienādība būs šāda:

Tagad apskatiet att. 128. Funkcijas y = f(x) grafikam punktā M (a; f (a)) uzzīmēta pieskare. Punkts x ir atzīmēts uz x ass tuvu a. Ir skaidrs, ka f(x) ir funkcijas in grafika ordināta norādītais punkts X. Kas ir f(a) + f"(a) (x-a)? Šī ir pieskares ordināta, kas atbilst vienam un tam pašam punktam x - skatiet formulu (1). Ko nozīmē aptuvenā vienādība (3)? Fakts ka Lai aprēķinātu funkcijas aptuveno vērtību, ņem pieskares ordinātu vērtību.

4. piemērs. Atrodiet skaitliskās izteiksmes 1.02 aptuveno vērtību 7.
Mēs runājam par funkcijas y = x 7 vērtības atrašanu punktā x = 1,02. Izmantosim formulu (3), ņemot vērā to šajā piemērā
Rezultātā mēs iegūstam:

Ja mēs izmantojam kalkulatoru, mēs iegūstam: 1,02 7 = 1,148685667...
Kā redzat, tuvinājuma precizitāte ir diezgan pieņemama.
Atbilde: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkoviča algebra 10. klase

Kalendāra tematiskā plānošana matemātikā, video matemātikā tiešsaistē, matemātika skolā lejupielādēt

Nodarbības saturs nodarbību piezīmes atbalsta ietvarstundu prezentācijas paātrināšanas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafikas, tabulas, diagrammas, humors, anekdotes, joki, komiksi, līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti triki zinātkārajiem bērnu gultiņas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā fragmenta atjaunināšana mācību grāmatā, inovācijas elementi stundā, novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības

Pieskares ir taisna līnija, kas iet caur kādu punktu uz līknes un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai (1. att.).

Vēl viena definīcija: šī ir sekanta ierobežojošā pozīcija pie Δ x→0.

Paskaidrojums: paņemiet taisnu līniju, kas krusto līkni divos punktos: A Un b(skat. attēlu). Šis ir sekants. Mēs to pagriezīsim pulksteņrādītāja virzienā, līdz tas atradīs tikai vienu kopīgu punktu ar līkni. Tas mums dos tangensu.

Stingra pieskares definīcija:

Funkcijas grafika pieskare f, atšķiras punktā xO, ir taisna līnija, kas iet caur punktu ( xO; f(xO)) un ar slīpumu f′( xO).

Slīpumam ir taisna formas līnija y =kx +b. Koeficients k un ir slīpumsšī taisnā līnija.

Slīpuma koeficients vienāds ar tangensu akūts leņķis, ko veido šī taisne ar abscisu asi:

k = iedegums α

Šeit leņķis α ir leņķis starp taisni y =kx +b un pozitīvais (tas ir, pretēji pulksteņrādītāja virzienam) x ass virziens. Tas tiek saukts taisnas līnijas slīpuma leņķis(1. un 2. att.).

Ja slīpuma leņķis ir taisns y =kx +b akūts, tad slīpums ir pozitīvs skaitlis. Grafiks palielinās (1. att.).

Ja slīpuma leņķis ir taisns y =kx +b ir strups, tad slīpums ir negatīvs skaitlis. Grafiks samazinās (2. att.).

Ja taisne ir paralēla x asij, tad taisnes slīpuma leņķis ir nulle. Šajā gadījumā arī līnijas slīpums ir nulle (jo nulles pieskare ir nulle). Taisnes vienādojums izskatīsies šādi: y = b (3. att.).

Ja taisnes slīpuma leņķis ir 90º (π/2), tas ir, tas ir perpendikulārs abscisu asij, tad taisne tiek dota ar vienādību x =c, Kur c– kāds reāls skaitlis (4. att.).

Funkcijas grafika pieskares vienādojumsy = f(x) punktā xO:

Piemērs: atrodiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 punktā ar abscisu 2.

Risinājums.

Mēs sekojam algoritmam.

1) Pieskāriena punkts xO ir vienāds ar 2. Aprēķināt f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Atrast f′( x). Lai to izdarītu, mēs izmantojam iepriekšējā sadaļā aprakstītās diferenciācijas formulas. Saskaņā ar šīm formulām, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Līdzekļi:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Tagad, izmantojot iegūto vērtību f′( x), aprēķiniet f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Tātad mums ir visi nepieciešamie dati: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Aizstāj šos skaitļus pieskares vienādojumā un atrod gala risinājumu:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 = -7 + 4x = 4x - 7.

Atbilde: y = 4x – 7.