Antiderivatīvās funkcijas definīcija. Antiatvasinājums un integrāļi

Nenoteikts integrālis

Diferenciālrēķina galvenais uzdevums bija atvasinājuma jeb diferenciāļa aprēķināšana dotā funkcija. Integrālais aprēķins, kura izpēti mēs turpinām, atrisina apgriezto problēmu, proti, pašas funkcijas atrašanu no tās atvasinājuma jeb diferenciāļa. Tas ir, kam dF(x)= f(x)d (7.1) vai F′(x)= f(x),

Kur f(x)- zināma funkcija, jāatrod funkcija F(x).

Definīcija:Tiek izsaukta funkcija F(x). antiderivatīvs funkcija f(x) segmentā, ja vienādība ir spēkā visos šī segmenta punktos: F′(x) = f(x) vai dF(x)= f(x)d.

Piemēram, viena no funkcijas antiderivatīvām funkcijām f(x)=3x2 gribu F(x)= x 3, jo ( x 3)′=3x2. Bet funkcijas prototips f(x)=3x2 būs arī funkcijas un , kopš .

Tātad šī funkcija f(x)=3x2 ir bezgalīgs skaits primitīvu, no kuriem katrs atšķiras tikai ar konstantu terminu. Parādīsim, ka šis rezultāts ir spēkā arī vispārīgā gadījumā.

Teorēma Divi dažādi vienas un tās pašas funkcijas antiatvasinājumi, kas definēti noteiktā intervālā, šajā intervālā atšķiras viens no otra ar nemainīgu terminu.

Pierādījums

Ļaujiet funkcijai f(x) noteikts intervālā (a¸b) Un F 1 (x) Un F 2 (x) - antiatvasinājumi, t.i. F1′(x)= f(x) un F 2′(x)= f(x).

Tad F1′(x)=F2′(x)Þ F1′(x) – F2′(x) = (F1′(x) – F2(x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

No šejienes F 2 (x) = F 1 (x) + C

Kur AR - konstante (šeit tiek izmantota Lagranža teorēmas sekas).

Tādējādi teorēma ir pierādīta.

Ģeometriskā ilustrācija. Ja plkst = F 1 (x) Un plkst = F 2 (x) – tādas pašas funkcijas antiatvasinājumi f(x), tad to diagrammu tangenss punktos ar kopīgu abscisu X paralēli viens otram (7.1. att.).

Šajā gadījumā attālums starp šīm līknēm pa asi Ak paliek nemainīgs F 2 (x) - F 1 (x) = C , tas ir, šīs līknes iekšā kaut kāda izpratne"paralēli" viens otram.

Sekas .

Pievienojot kādam antiatvasinājumam F(x) šai funkcijai f(x), kas noteikts intervālā X, visas iespējamās konstantes AR, mēs iegūstam visus iespējamos funkcijas antiatvasinājumus f(x).

Tātad izteiksme F(x)+C , kur un F(x) – kāds funkcijas antiatvasinājums f(x) ietver visus iespējamos antiatvasinājumus par f(x).

1. piemērs. Pārbaudiet, vai funkcijas ir funkcijas antiatvasinājumi

Risinājums:

Atbilde: antiatvasinājumi funkcijai būs funkcijas Un

Definīcija: Ja funkcija F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums, tad visu antiatvasinājumu kopu F(x)+ C sauc. nenoteikts integrālis f(x) un apzīmē:

∫f(х)dх.

Pēc definīcijas:

f(x) — integrand funkcija,

f(х)dх - integrand izteiksme

No tā izriet, ka nenoteiktais integrālis ir vispārējas formas funkcija, kuras diferenciālis ir vienāds ar integrandu un kura atvasinājums attiecībā pret mainīgo X visos punktos ir vienāds ar integrandu.

AR ģeometriskais punkts redze nenoteikts integrālis ir līkņu saime, no kurām katra tiek iegūta, nobīdot vienu no līknēm paralēli sev uz augšu vai uz leju, tas ir, pa asi Ak(7.2. att.).

Tiek izsaukta noteiktas funkcijas nenoteiktā integrāļa aprēķināšanas operācija integrācija šī funkcija.

Ņemiet vērā, ka, ja elementāras funkcijas atvasinājums vienmēr ir elementāra funkcija, tad elementārās funkcijas antiatvasinājumu var neatveidot ar ierobežotu elementāru funkciju skaitu.

Tagad apsvērsim nenoteiktā integrāļa īpašības.

No 2. definīcijas izriet:

1. Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrandu, tas ir, ja F′(x) = f(x) , Tas

2. Nenoteiktā integrāļa diferenciālis ir vienāds ar integrādu

. (7.4)

No diferenciāļa un īpašības definīcijas (7.3.)

3. Kādas funkcijas diferenciāļa nenoteiktais integrālis ir vienāds ar šo funkciju līdz konstantam termiņam, tas ir (7.5)

Ir trīs pamatnoteikumi, lai atrastu antiderivatīvās funkcijas. Tie ir ļoti līdzīgi attiecīgajiem diferenciācijas noteikumiem.

1. noteikums

Ja F ir antiatvasinājums kādai funkcijai f, un G ir antiatvasinājums kādai funkcijai g, tad F + G būs antiatvasinājums f + g.

Pēc antiatvasinājuma definīcijas F' = f. G' = g. Un, tā kā šie nosacījumi ir izpildīti, tad saskaņā ar noteikumu par funkciju summas atvasinājuma aprēķināšanu mums būs:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

2. noteikums

Ja F ir kādas funkcijas f antiatvasinājums un k ir kāda konstante. Tad k*F ir funkcijas k*f antiatvasinājums. Šis noteikums izriet no kompleksas funkcijas atvasinājuma aprēķināšanas noteikuma.

Mums ir: (k*F)' = k*F' = k*f.

3. noteikums

Ja F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums, un k un b ir dažas konstantes un k nav vienāds ar nulli, tad (1/k)*F*(k*x+b) būs funkcijas f (k*x+b) antiatvasinājums.

Šis noteikums izriet no kompleksas funkcijas atvasinājuma aprēķināšanas noteikuma:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Apskatīsim dažus piemērus, kā šie noteikumi tiek piemēroti:

1. piemērs. Atrast vispārējs skats funkcijas f(x) = x^3 +1/x^2 antiatvasinājumi. Funkcijai x^3 viens no antiatvasinājumiem būs funkcija (x^4)/4, bet funkcijai 1/x^2 viens no antiatvasinājumiem būs funkcija -1/x. Izmantojot pirmo noteikumu, mums ir:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

2. piemērs. Atradīsim antiatvasinājumu vispārīgo formu funkcijai f(x) = 5*cos(x). Funkcijai cos(x) viens no antiatvasinājumiem būs funkcija sin(x). Ja mēs tagad izmantosim otro noteikumu, mums būs:

F(x) = 5*sin(x).

3. piemērs. Atrodiet vienu no funkcijas y = sin(3*x-2) antiatvasinājumiem. Funkcijas sin(x) viens no antiatvasinājumiem būs funkcija -cos(x). Ja mēs tagad izmantojam trešo noteikumu, mēs iegūstam izteiksmi antiatvasinājumam:

F(x) = (-1/3)*cos (3*x-2)

4. piemērs. Atrodiet funkcijas f(x) = 1/(7-3*x)^5 antiatvasinājumu

Funkcijas 1/x^5 antiatvasinājums būs funkcija (-1/(4*x^4)). Tagad, izmantojot trešo noteikumu, mēs iegūstam.

Iepriekš, ņemot vērā doto funkciju, vadoties pēc dažādām formulām un noteikumiem, mēs atradām tās atvasinājumu. Atvasinājumam ir daudz lietojumu: tas ir kustības ātrums (vai, vispārīgāk, jebkura procesa ātrums); slīpums pieskares funkcijas grafikam; izmantojot atvasinājumu, varat pārbaudīt funkciju monotoniskumam un ekstrēmumam; tas palīdz atrisināt optimizācijas problēmas.

Taču līdzās problēmai, kā atrast ātrumu pēc zināma kustības likuma, pastāv arī apgriezta problēma – kustības likuma atjaunošanas problēma atbilstoši zināmam ātrumam. Apskatīsim vienu no šīm problēmām.

1. piemērs. Pārvietojas taisnā līnijā materiālais punkts, tā kustības ātrumu laikā t nosaka pēc formulas v=gt. Atrodi kustības likumu.
Risinājums. Lai s = s(t) ir vēlamais kustības likums. Ir zināms, ka s"(t) = v(t). Tas nozīmē, ka uzdevuma risināšanai ir jāizvēlas funkcija s = s(t), kuras atvasinājums ir vienāds ar gt. Nav grūti uzminēt ka \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Atbilde: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Uzreiz atzīmēsim, ka piemērs ir atrisināts pareizi, bet nepilnīgi. Mēs saņēmām \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Faktiski problēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu: jebkura funkcija formā \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), kur C ir patvaļīga konstante, var kalpot kā likums kustība, jo \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Lai problēmu padarītu precīzāku, mums bija jālabo sākotnējā situācija: jānorāda kustīga punkta koordinātas noteiktā laika brīdī, piemēram, t = 0. Ja, teiksim, s(0) = s 0, tad no vienādību s(t) = (gt 2)/2 + C iegūstam: s(0) = 0 + C, t.i., C = s 0. Tagad kustības likums ir unikāli definēts: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matemātikā tiek piešķirtas savstarpējas darbības dažādi nosaukumi, izdomājiet īpašus apzīmējumus, piemēram: kvadrātveida (x 2) un izvilkšana kvadrātsakne(\(\sqrt(x) \)), sinuss (sin x) un arcsinuss (arcsin x) utt. Dotās funkcijas atvasinājuma atrašanas procesu sauc diferenciācija, un apgrieztā darbība, t.i., funkcijas atrašanas process no dotā atvasinājuma, ir integrācija.

Pats termins “atvasinājums” ir attaisnojams “ikdienā”: funkcija y = f(x) “ražo” jauna funkcija y" = f"(x). Funkcija y = f(x) darbojas tā, it kā tā būtu “vecāks”, bet matemātiķi, protams, to nesauc par “vecāku” vai “ražotāju”, viņi saka, ka tā ir, saistībā ar funkciju y” = f"(x) , primārais attēls vai primitīvs.

Definīcija. Funkciju y = F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai y = f(x) intervālā X, ja vienādība F"(x) = f(x) atbilst \(x \in X\)

Praksē intervāls X parasti nav norādīts, bet ir netiešs (kā funkcijas definīcijas dabisks apgabals).

Sniegsim piemērus.
1) Funkcija y = x 2 ir antiatvasinājums funkcijai y = 2x, jo jebkurai x vienādība (x 2)" = 2x ir patiesa.
2) Funkcija y = x 3 ir antiatvasināta funkcijai y = 3x 2, jo jebkurai x vienādība (x 3)" = 3x 2 ir patiesa.
3) Funkcija y = sin(x) ir antiatvasinājums funkcijai y = cos(x), jo jebkurai x vienādība (sin(x))" = cos(x) ir patiesa.

Atrodot antiatvasinājumus, kā arī atvasinājumus, tiek izmantotas ne tikai formulas, bet arī daži noteikumi. Tie ir tieši saistīti ar atbilstošajiem atvasināto instrumentu aprēķināšanas noteikumiem.

Mēs zinām, ka summas atvasinājums ir vienāds ar tās atvasinājumu summu. Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.

1. noteikums. Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu.

Mēs zinām, ka pastāvīgo faktoru var izņemt no atvasinājuma zīmes. Šis noteikums ģenerē atbilstošo noteikumu antiatvasinājumu atrašanai.

2. noteikums. Ja F(x) ir f(x) antiatvasinājums, tad kF(x) ir kf(x) antiatvasinājums.

1. teorēma. Ja y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums, tad funkcijas y = f(kx + m) antiatvasinājums ir funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

2. teorēma. Ja y = F(x) ir funkcijas y = f(x) antiatvasinājums intervālā X, tad funkcijai y = f(x) ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, un tiem visiem ir forma y = F(x) + C.

Integrācijas metodes

Mainīgā aizstāšanas metode (aizvietošanas metode)

Integrācijas metode ar aizstāšanu ietver jauna integrācijas mainīgā (tas ir, aizstāšanas) ieviešanu. Šajā gadījumā dotais integrālis tiek reducēts uz jaunu integrāli, kas ir tabulas veidā vai reducējams uz to. Nav vispārīgu aizvietotāju izvēles metožu. Prasme pareizi noteikt aizstāšanu tiek iegūta praksē.
Lai būtu nepieciešams aprēķināt integrāli \(\textstyle \int F(x)dx \). Veiksim aizstāšanu \(x= \varphi(t) \), kur \(\varphi(t) \) ir funkcija, kurai ir nepārtraukts atvasinājums.
Tad \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) un, pamatojoties uz nenoteiktā integrāļa integrācijas formulas invariances īpašību, mēs iegūstam integrācijas formulu ar aizstāšanu:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Formas \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) izteiksmju integrācija

Ja m ir nepāra, m > 0, tad ērtāk ir izdarīt aizvietošanu sin x = t.
Ja n ir nepāra, n > 0, tad ērtāk ir veikt aizstāšanu cos x = t.
Ja n un m ir pāra, tad ērtāk ir veikt aizstāšanu tg x = t.

Integrācija pa daļām

Integrācija pa daļām – piemērojot šādu integrācijas formulu:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
vai:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Dažu funkciju nenoteikto integrāļu (antiatvasinājumu) tabula

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Antiderivatīvā funkcija. Funkcijas grafiks"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 11. klasei
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
"Interaktīvie uzdevumi par būvniecību kosmosā 10. un 11. klasei"

Antiderivatīvā funkcija. Ievads

Puiši, jūs zināt, kā atrast funkciju atvasinājumus, izmantojot dažādas formulas un noteikumus. Šodien mēs pētīsim atvasinājuma aprēķināšanas apgriezto darbību. Jēdziens atvasinājums bieži tiek izmantots īstā dzīve. Atgādināšu: atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums noteiktā punktā. Procesi, kas saistīti ar kustību un ātrumu, ir labi aprakstīti šajos terminos.

Apskatīsim šo uzdevumu: “Taisni kustīga objekta ātrumu apraksta ar formulu $V=gt$ Tas ir nepieciešams, lai atjaunotu kustības likumu.
Risinājums.
Mēs labi zinām formulu: $S"=v(t)$, kur S ir kustības likums.
Mūsu uzdevums ir atrast funkciju $S=S(t)$, kuras atvasinājums ir vienāds ar $gt$. Rūpīgi apskatot, varat uzminēt, ka $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Pārbaudīsim šīs problēmas risinājuma pareizību: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Zinot funkcijas atvasinājumu, mēs atradām pašu funkciju, tas ir, veicām apgriezto darbību.
Bet ir vērts pievērst uzmanību šim brīdim. Mūsu problēmas risinājums prasa precizējumu, ja atrastajai funkcijai pievienosim jebkuru skaitli (konstanti), tad atvasinājuma vērtība nemainīsies: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Puiši, pievērsiet uzmanību: mūsu problēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu!
Ja problēma nenorāda sākotnējo vai kādu citu nosacījumu, neaizmirstiet risinājumam pievienot konstanti. Piemēram, mūsu uzdevums var norādīt mūsu ķermeņa stāvokli pašā kustības sākumā. Tad nav grūti aprēķināt konstanti, aizvietojot iegūtajā vienādojumā nulli, mēs iegūstam konstantes vērtību.

Kā sauc šo operāciju?
Diferenciācijas apgriezto darbību sauc par integrāciju.
Funkcijas atrašana no dotā atvasinājuma – integrācija.
Pati funkcija tiks saukta par antiderivatīvu, tas ir, attēlu, no kura tika iegūts funkcijas atvasinājums.
Ir pieņemts rakstīt antiatvasinājumu lielo burtu$y=F"(x)=f(x)$.

Definīcija. Tiek izsaukta funkcija $y=F(x)$ antiderivatīvā funkcija$у=f(x)$ intervālā X, ja jebkuram $хϵХ$ ir spēkā vienādība $F’(x)=f(x)$.

Izveidosim antiatvasinājumu tabulu dažādām funkcijām. Tas ir jāizdrukā kā atgādinājums un jāiegaumē.

Mūsu tabulā tādu nav sākotnējie nosacījumi netika jautāts. Tas nozīmē, ka katrai izteiksmei tabulas labajā pusē jāpievieno konstante. Šo noteikumu mēs precizēsim vēlāk.

Antiatvasinājumu atrašanas noteikumi

Pierakstīsim dažus noteikumus, kas mums palīdzēs atrast antiderivatīvus. Tie visi ir līdzīgi diferenciācijas noteikumiem.

1. noteikums. Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Piemērs.
Atrodiet funkcijas $y=4x^3+cos(x)$ antiatvasinājumu.
Risinājums.
Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu, tad jāatrod antiatvasinājums katrai no uzrādītajām funkcijām.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs: $y=x^4+sin(x)$ vai jebkura funkcija formā $y=x^4+sin(x)+C$.

2. noteikums. Ja $F(x)$ ir $f(x)$ antiatvasinājums, tad $k*F(x)$ ir funkcijas $k*f(x)$ antiatvasinājums.(Mēs varam viegli ņemt koeficientu kā funkciju).

Piemērs.
Atrodiet funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Risinājums.
a) $sin(x)$ antiatvasinājums ir mīnus $cos(x)$. Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs šādā formā: $y=-8cos(x)$.

B) $cos(x)$ antiatvasinājums ir $sin(x)$. Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums iegūs šādu formu: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) $x^2$ antiatvasinājums ir $\frac(x^3)(3)$. X antiatvasinājums ir $\frac(x^2)(2)$. 1 antiatvasinājums ir x. Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs šādā formā: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

3. noteikums. Ja $у=F(x)$ ir funkcijas $y=f(x)$ antiatvasinājums, tad funkcijas $y=f(kx+m)$ antiatvasinājums ir funkcija $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Piemērs.
Atrodiet šādu funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Risinājums.
a) $cos(x)$ antiatvasinājums ir $sin(x)$. Tad funkcijas $y=cos(7x)$ antiatvasinājums būs funkcija $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) $sin(x)$ antiatvasinājums ir mīnus $cos(x)$. Tad funkcijas $y=sin(\frac(x)(2))$ antiatvasinājums būs funkcija $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) $x^3$ antiatvasinājums ir $\frac(x^4)(4)$, tad sākotnējās funkcijas $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Nedaudz vienkāršojiet izteiksmi līdz pakāpei $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums ir pats par sevi eksponenciālā funkcija. Sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)(2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorēma. Ja $y=F(x)$ ir antiatvasinājums funkcijai $y=f(x)$ intervālā X, tad funkcijai $y=f(x)$ ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, un visiem tiem ir forma $y=F(x)+С$.

Ja visos iepriekš aplūkotajos piemēros bija jāatrod visu antiatvasinājumu kopa, tad visur jāpievieno konstante C.
Funkcijas $y=cos(7x)$ visiem antiatvasinājumiem ir šāda forma: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Funkcijas $y=(-2x+3)^3$ visiem antiatvasinājumiem ir šāda forma: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Piemērs.
Saskaņā ar doto ķermeņa ātruma izmaiņu likumu laikā $v=-3sin(4t)$, atrodiet kustības likumu $S=S(t)$, ja ķermeņa sākuma momentā bija koordināte vienāds ar 1,75.
Risinājums.
Tā kā $v=S’(t)$, mums ir jāatrod antiatvasinājums noteiktam ātrumam.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Šajā uzdevumā tiek dots papildu nosacījums - sākotnējais laika moments. Tas nozīmē, ka $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Tad kustības likumu apraksta ar formulu: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Atrodiet funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Atrodiet šādu funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Saskaņā ar doto ķermeņa ātruma izmaiņu likumu laikā $v=4cos(6t)$ atrodiet kustības likumu $S=S(t)$, ja ķermeņa sākuma momentā koordināte ir vienāda ar 2. Dokuments

Kāds intervāls X. Ja Priekš jebkurš xХ F"(x) = f(x), tad funkciju F saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f intervālā X. AntiatvasinājumsPriekšfunkcijas var mēģināt atrast...

Antiatvasinājums funkcijai

Dokuments

... . Funkcija F(x) saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f(x) uz intervāla (a;b), ja Priekš visi x(a;b) ir spēkā vienādība F(x) = f(x). Piemēram, Priekšfunkcijas x2 antiderivatīvs gribu funkciju x3...

Integrālā aprēķina pamati mācību rokasgrāmata

Apmācība

... ; 5. Atrodiet integrāli. ; B) ; C) ; D) ; 6. Funkcijasaucaantiderivatīvs Uz funkcijas komplektā, ja: Priekš visi; kādā brīdī; Priekš visi; kādā... intervālā. 1. definīcija. FunkcijasaucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas uz daudziem...

Antiderivatīvs Nenoteikts integrālis

Dokuments

Integrācija. Antiatvasinājums. Nepārtraukta funkciju F(x) saucaantiderivatīvsPriekšfunkcijas f (x) intervālā X ja Priekš katrs F’ (x) = f (x). PIEMĒRS Funkcija F(x) = x 3 ir antiderivatīvsPriekšfunkcijas f(x) = 3x...

PSRS SPECIĀLĀ IZGLĪTĪBA Augstākās izglītības Izglītības un metodiskās direkcijas apstiprināta AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS METODISKIE NORĀDĪJUMI UN KONTROLES UZDEVUMI (AR PROGRAMMU) inženiertehnisko un tehnisko specialitāšu nepilna laika studentiem.

Vadlīnijas

Jautājumi Priekš pašpārbaude Definējiet antiderivatīvsfunkcijas. Norādiet agregāta ģeometrisko nozīmi primitīvsfunkcijas. Kas sauca neskaidrs...