Līklīnijas trapeces antiatvasinātais laukums. Tiešsaistes kalkulators Aprēķiniet noteiktu integrāli (izliektas trapeces laukumu).

Aplūkosim izliektu trapeci, ko ierobežo Ox ass, līkne y=f(x) un divas taisnes: x=a un x=b (85. att.). Ņemsim patvaļīgu x vērtību (tikai ne a un ne b). Piešķirsim tam pieaugumu h = dx un aplūkosim joslu, ko ierobežo taisnes AB un CD, Ox ass un loka BD, kas pieder aplūkojamajai līknei. Mēs šo sloksni sauksim par elementāru sloksni. Elementārās sloksnes laukums atšķiras no taisnstūra ACQB laukuma ar līknes trīsstūri BQD, un tā laukums ir mazāks par taisnstūra BQDM laukumu ar malām BQ = =h= dx) QD = Ay un laukums vienāds ar hay = Ay dx. Pusei h samazinoties, arī Du puse samazinās un vienlaikus ar h tiecas uz nulli. Tāpēc BQDM laukums ir otrās kārtas bezgalīgi mazs. Elementārās joslas laukums ir laukuma pieaugums, un taisnstūra laukums ACQB, kas vienāds ar AB-AC ==/(x) dx>, ir laukuma diferenciālis. Līdz ar to mēs atrodam pašu apgabalu, integrējot tā diferenciāli. Apskatāmā attēla ietvaros neatkarīgais mainīgais l: mainās no a uz b, tāpēc nepieciešamais laukums 5 būs vienāds ar 5= \f(x) dx. (I) Piemērs 1. Aprēķināsim laukumu, ko ierobežo parabola y - 1 -x*, taisnes X =--Fj-, x = 1 un O* ass (86. att.). pie att. 87. att. 86. 1 Šeit f(x) = 1 - l?, integrācijas robežas ir a = - un £ = 1, tāpēc J [*-m]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Piemērs 2. Aprēķināsim laukumu, ko ierobežo sinusoīds y = sinXy, Ox ass un taisne (87. att.). Pielietojot formulu (I), iegūstam A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf 3. piemērs. Aprēķiniet laukumu, ko ierobežo sinusoīda loka ^у = sin jc, slēgtā starp diviem blakus esošiem krustošanās punktiem ar Ox asi (piemēram, starp sākumpunktu un punktu ar abscisu i). Ņemiet vērā, ka no ģeometriskiem apsvērumiem ir skaidrs, ka šis laukums būs divreiz lielāks nekā iepriekšējā piemērā. Tomēr veiksim aprēķinus: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Patiešām, mūsu pieņēmums izrādījās pareizs. 4. piemērs. Aprēķiniet laukumu, ko vienā periodā ierobežo sinusoīds un Ox ass (88. att.). Sākotnējie aprēķini liecina, ka laukums būs četras reizes lielāks nekā 2. piemērā. Taču pēc aprēķinu veikšanas iegūstam “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Šis rezultāts ir jāprecizē. Lai noskaidrotu lietas būtību, mēs aprēķinām arī laukumu, ko ierobežo tā pati sinusoīda y = sin l: un Ox ass diapazonā no l līdz 2i. Pielietojot formulu (I), iegūstam 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Tādējādi mēs redzam, ka šī joma izrādījās negatīva. Salīdzinot to ar 3. uzdevumā aprēķināto laukumu, mēs atklājam, ka to absolūtās vērtības ir vienādas, bet zīmes atšķiras. Ja pielietojam īpašību V (sk. XI nodaļas 4. §), iegūstam 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Tas, kas notika šajā piemērā, nav nejaušība. Vienmēr laukums, kas atrodas zem Vērša ass, ar nosacījumu, ka neatkarīgais mainīgais mainās no kreisās puses uz labo, tiek iegūts, aprēķinam izmantojot integrāļus. Šajā kursā mēs vienmēr apsvērsim zonas bez zīmēm. Tāpēc atbilde tikko apspriestajā piemērā būs: vajadzīgā platība ir 2 + |-2| = 4. Piemērs 5. Aprēķināsim attēlā redzamā BAB laukumu. 89. Šo laukumu ierobežo Ox ass, parabola y = - xr un taisne y - = -x+\. Līklīnijas trapeces laukums Nepieciešamais laukums OAB sastāv no divām daļām: OAM un MAV. Tā kā punkts A ir parabolas un taisnes krustpunkts, tā koordinātes atradīsim, atrisinot vienādojumu sistēmu 3 2 Y = mx. (mums tikai jāatrod punkta A abscisa). Atrisinot sistēmu, mēs atrodam l; = ~. Tāpēc laukums ir jāaprēķina daļās, pirmais kvadrāts. OAM un tad pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x kv. vienības 2 = 2 kv. vienības

5. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Šeit jums jāaprēķina līknes trapeces laukums, ko ierobežo parabolas augšējais zars 2 = x, Ox ass un taisnes x = 1 un x = 4 (sk. attēlu)

Saskaņā ar formulu (1), kur f(x) = a = 1 un b = 4, mums ir = (= kv. vienības.

6. piemērs . Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

Nepieciešamo laukumu ierobežo sinusoīda pusvilnis un Ox ass (sk. attēlu).

Mums ir - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienības

7. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = - 6x, y = 0 un x = 4.

Attēls atrodas zem Vērša ass (sk. attēlu).

Tāpēc mēs atrodam tā laukumu, izmantojot formulu (3)

= =

8. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = un x = 2. No punktiem izveidojiet y = līkni (skatiet attēlu). Tādējādi mēs atrodam figūras laukumu, izmantojot formulu (4)

9. piemērs .

X 2 + y 2 = r 2 .

Šeit jums jāaprēķina laukums, ko ieskauj aplis x 2 + y 2 = r 2 , t.i., apļa laukums ar rādiusu r ar centru sākuma punktā. Atradīsim šī apgabala ceturto daļu, ņemot integrācijas robežas no 0

pirms; mums ir: 1 = = [

Tāpēc 1 =

10. piemērs. Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 2 un y = 2x

Šo skaitli ierobežo parabola y = x 2 un taisne y = 2x (skat. attēlu) Lai noteiktu doto taisnes krustošanās punktus, risinām vienādojumu sistēmu: x 2 – 2x = 0 x = 0 un x = 2

Izmantojot formulu (5), lai atrastu apgabalu, mēs iegūstam

= funkcijas veidotās izliektās trapeces laukums f, ir vienāds ar šīs funkcijas antiatvasinājuma pieaugumu:

1. vingrinājums:

Atrodiet līknes trapeces laukumu, ko ierobežo funkcijas grafiks: f(x) = x 2 un taisni y = 0, x = 1, x = 2.

Risinājums: ( pēc algoritma 3. slaids)

Uzzīmēsim funkcijas un līniju grafiku

Atradīsim vienu no funkcijas antiatvasinājumiem f(x) = x 2 :

Pašpārbaude uz slaida

Integrāls

Apsveriet izliektu trapecveida formu, ko nosaka funkcija f segmentā [ a; b]. Sadalīsim šo segmentu vairākās daļās. Visas trapeces laukums tiks sadalīts mazāku izliektu trapeces laukumu summā. ( 5. slaids). Katru šādu trapecveida formu var aptuveni uzskatīt par taisnstūri. Šo taisnstūru laukumu summa sniedz aptuvenu priekšstatu par visu izliektās trapeces laukumu. Jo mazāku mēs sadalām segmentu [ a; b], jo precīzāk mēs aprēķinām laukumu.

Rakstīsim šos argumentus formulu veidā.

Sadaliet segmentu [ a; b] n daļās pa punktiem x 0 = a, x1,…, xn = b. Garums k- th apzīmē ar xk = xk – xk-1. Sastādīsim summu

Ģeometriski šī summa apzīmē attēlā iekrāsotās figūras laukumu ( sh.m.)

Formas summas sauc par funkcijas integrālajām summām f. (sh.m.)

Integrālās summas dod aptuvenu laukuma vērtību. Precīzu vērtību iegūst, pārejot uz robežu. Iedomāsimies, ka mēs uzlabojam segmenta [ a; b], lai visu mazo segmentu garumi būtu nulle. Tad saliktās figūras laukums tuvosies izliektās trapeces laukumam. Var teikt, ka izliektas trapeces laukums ir vienāds ar integrālo summu robežu, Sc.t. (sh.m.) vai integrālis, t.i.,

Definīcija:

Funkcijas integrālis f(x) no a pirms tam b sauc par integrālo summu robežu

= (sh.m.)

Ņūtona-Leibnica formula.

Mēs atceramies, ka integrālo summu robeža ir vienāda ar līknes trapeces laukumu, kas nozīmē, ka mēs varam rakstīt:

Sc.t. = (sh.m.)

No otras puses, izliektas trapeces laukumu aprēķina pēc formulas

S k.t. (sh.m.)

Salīdzinot šīs formulas, mēs iegūstam:

= (sh.m.)

Šo vienādību sauc par Ņūtona-Leibnica formulu.

Aprēķinu atvieglošanai formula ir rakstīta šādi:

= = (sh.m.)

Uzdevumi: (sh.m.)

1. Aprēķiniet integrāli, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu: ( pārbaudiet 5. slaidu)

2. Sastādiet integrāļus saskaņā ar zīmējumu ( pārbaudiet 6. slaidu)

3. Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( 7. slaids)

Plaknes figūru laukumu atrašana ( 8. slaids)

Kā atrast to figūru laukumu, kas nav izliektas trapeces?

Dotas divas funkcijas, kuru grafikus redzat slaidā . (sh.m.) Atrodiet iekrāsotās figūras laukumu . (sh.m.). Vai attiecīgā figūra ir izliekta trapece? Kā jūs varat atrast tā laukumu, izmantojot laukuma summitātes īpašību? Apsveriet divas izliektas trapeces un atņemiet otras laukumu no vienas no tām ( sh.m.)

Izveidosim algoritmu apgabala atrašanai, izmantojot animāciju slaidā:

Grafika funkcijas
Projicējiet grafiku krustošanās punktus uz x ass
Ieēnojiet skaitli, kas iegūts, kad grafiki krustojas
Atrodiet līknes trapeces, kuru krustpunkts vai savienojums ir dotā figūra.
Aprēķiniet katra no tām laukumu
Atrodiet laukumu starpību vai summu

Mutisks uzdevums: Kā iegūt iekrāsotas figūras laukumu (pastāstiet, izmantojot animāciju, 8. un 9. slaids)

Mājasdarbs: Izstrādājiet piezīmes, Nr. 353 (a), Nr. 364 (a).

Bibliogrāfija

Algebra un analīzes pirmsākumi: mācību grāmata vakarskolas (maiņu) skolas 9.-11. klasei / red. G.D. Glāzers. - M: Apgaismība, 1983. gads.
Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vidusskolas 10-11 klasēm / Bashmakov M.I. - M: Apgaismība, 1991. gads.
Bašmakovs M.I. Matemātika: mācību grāmata iestādēm sākums. un trešdiena prof. izglītība / M.I. Bašmakovs. - M: akadēmija, 2010.
Kolmogorovs A.N. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata 10.-11. klasei. izglītības iestādes / A.N. Kolmogorovs. - M: Izglītība, 2010.
Ostrovskis S.L. Kā izveidot prezentāciju nodarbībai?/ S.L. Ostrovskis. – M.: 2010. gada 1. septembris.

Pabeigtie darbi

GRĀDU DARBI

Daudz kas jau ir pagājis un tagad tu esi absolvents, ja, protams, laicīgi uzraksti savu diplomdarbu. Bet dzīve ir tāda lieta, ka tikai tagad tev kļūst skaidrs, ka, pārstājis būt students, tu zaudēsi visus studenta priekus, no kuriem daudzus nekad neesi izmēģinājis, visu atliekot un atliekot uz vēlāku laiku. Un tagad tā vietā, lai panāktu, jūs strādājat pie sava diplomdarba? Ir lielisks risinājums: lejupielādējiet nepieciešamo darbu no mūsu vietnes - un jums uzreiz būs daudz brīva laika!
Diplomdarbi ir veiksmīgi aizstāvēti vadošajās Kazahstānas Republikas universitātēs.
Darba izmaksas no 20 000 tenge

KURSA DARBI

Kursa projekts ir pirmais nopietnais praktiskais darbs. Tieši ar kursa darbu rakstīšanu sākas gatavošanās diplomprojektu izstrādei. Ja students kursa projektā iemācīsies pareizi izklāstīt tēmas saturu un pareizi to noformēt, tad turpmāk viņam neradīsies problēmas ne ar referātu rakstīšanu, ne ar tēžu sastādīšanu, ne ar citu praktisku uzdevumu veikšanu. Lai palīdzētu studentiem uzrakstīt šāda veida studentu darbu un noskaidrotu jautājumus, kas rodas tā sagatavošanas laikā, faktiski tika izveidota šī informācijas sadaļa.
Darba izmaksas no 2500 tengām

MAĢISTRA DARBI

Šobrīd Kazahstānas un NVS valstu augstskolās ļoti izplatīts ir augstākās profesionālās izglītības līmenis, kas seko pēc bakalaura grāda – maģistra grāds. Maģistra programmā studenti mācās ar mērķi iegūt maģistra grādu, ko lielākajā daļā pasaules valstu atzīst vairāk nekā bakalaura grādu, un to atzīst arī ārvalstu darba devēji. Maģistra studiju rezultāts ir maģistra darba aizstāvēšana.
Mēs nodrošināsim Jūs ar aktuālu analītisko un tekstuālo materiālu cenā iekļauti 2 zinātniskie raksti un kopsavilkums.
Darba izmaksas no 35 000 tenge

PRAKSES ZIŅOJUMI

Pēc jebkura veida studentu prakses (izglītības, rūpnieciskās, pirmsizlaiduma) pabeigšanas ir nepieciešams ziņojums. Šis dokuments būs studenta praktiskā darba apliecinājums un pamats prakses atzīmes veidošanai. Parasti, lai sastādītu atskaiti par praksi, ir jāapkopo un jāanalizē informācija par uzņēmumu, jāapsver organizācijas, kurā notiek prakse, struktūra un darba kārtība, jāsastāda kalendāra plāns un jāapraksta sava praktiskā pieredze. aktivitātes.
Palīdzēsim uzrakstīt atskaiti par praksi, ņemot vērā konkrētā uzņēmuma darbības specifiku.