Pieteikums

Integrāļi tiešsaistē tīmekļa vietnē studentiem un skolēniem, lai apkopotu viņu aplūkoto materiālu. Un apmācīt savas praktiskās iemaņas. Pilnīgs integrāļu risinājums jums dažos mirkļos palīdzēs noteikt visus procesa posmus Ikreiz, kad sākat risināt integrālu tiešsaistē, jums ir jānosaka tā veids, ja vien jūs nevarat izmantot vienu metodi integrāli jūs uzskatāt par tabulu. Ne katrs tabulas integrālis ir skaidri redzams no dotā piemēra, lai atrastu antiatvasinājumu, dažreiz ir jāpārveido sākotnējā funkcija. Praksē integrāļu risināšana ir saistīta ar problēmas interpretāciju, kā atrast oriģinālu, tas ir, antiatvasinājumu no bezgalīgas funkciju saimes, bet, ja ir dotas integrācijas robežas, tad saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu ir tikai viena funkcija. atlicis lietot aprēķinus. Tiešsaistes integrāļi — tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Funkcijas integrālis tiešsaistē ir visu to integrēšanai paredzēto skaitļu summa. Tāpēc neformāli tiešsaistes noteiktais integrālis ir apgabals starp funkcijas grafiku un x asi integrācijas robežās. Problēmu risināšanas piemēri ar integrāļiem. Novērtēsim kompleksu integrāli pār vienu mainīgo un saistīsim tā atbildi ar turpmāko problēmas risinājumu. Ir iespējams, kā saka, tieši atrast integrāļa integrāli. Jebkurš integrālis ar augstu precizitāti nosaka figūras laukumu, ko ierobežo līnijas. Šis ir viens no viņa ģeometriskās nozīmes. Šī metode skolēniem atvieglo darbu. Faktiski vairākiem posmiem nebūs lielas ietekmes uz vektora analīzi. Funkcijas integrālis tiešsaistē ir integrāļa aprēķina pamatjēdziens. Saskaņā ar galveno analīzes teorēmu integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība, kas palīdz atrisināt diferenciālvienādojumus. Ir vairākas dažādas integrācijas darbības definīcijas, kas atšķiras tehniskajās detaļās. Tomēr tās visas ir saderīgas, tas ir, jebkuras divas integrācijas metodes, ja tās var pielietot noteiktai funkcijai, dos vienādu rezultātu. Vienkāršākais ir Rīmaņa integrālis - noteikts integrālis vai nenoteikts integrālis. Neformāli viena mainīgā funkcijas integrāli var ievadīt kā laukumu zem grafika (attēls, kas atrodas starp funkcijas grafiku un x asi). Jebkura šāda apakšproblēma var attaisnot, ka integrāļa aprēķināšana būs ārkārtīgi nepieciešama svarīgas pieejas pašā sākumā. Neaizmirsti šo! Mēģinot atrast šo apgabalu, varam aplūkot figūras, kas sastāv no noteikta skaita vertikālu taisnstūru, kuru pamatnes kopā veido integrācijas segmentu un tiek iegūtas, sadalot segmentu atbilstošā skaitā mazo segmentu. Integrāļu risināšana tiešsaistē. Integrāls tiešsaistē - nenoteikts integrāls tiešsaistē un noteikts integrāls tiešsaistē. Integrāļu risināšana tiešsaistē: tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Kalkulators atrisina integrāļus ar detalizētu darbību aprakstu un bez maksas! Funkcijas tiešsaistes nenoteiktais integrālis ir visu dotās funkcijas antiatvasinājumu kopa. Ja funkcija ir definēta un nepārtraukta intervālā, tad tai ir antiderivatīvā funkcija(vai primitīvu ģimene). Integrālis definē tikai izteiksmi, kuras nosacījumus jūs izvirziet, iestājoties šādai nepieciešamībai. Labāk šai lietai pieiet uzmanīgi un izjust iekšēju gandarījumu par paveikto. Bet integrāļa aprēķināšana, izmantojot metodi, kas atšķiras no klasiskās, dažkārt noved pie negaidītiem rezultātiem, un par to nevajadzētu brīnīties. Priecājos, ka šim faktam būs pozitīva rezonanse uz notiekošo. Noteikto integrāļu un nenoteikto integrāļu saraksts ar pilnu detalizētu soli pa solim risinājumu. Visi integrāļi ar detalizētiem risinājumiem tiešsaistē. Nenoteikts integrālis. Atrodot nr noteikts integrālis Tiešsaiste ir ļoti izplatīta problēma augstākajā matemātikā un citās tehniskajās zinātnes jomās. Integrācijas pamatmetodes. Integrāļa, noteiktā un nenoteiktā integrāļa definīcija, integrāļu tabula, Ņūtona-Leibnica formula. Atkal, jūs varat atrast savu integrāli, izmantojot integrālo izteiksmju tabulu, taču tas joprojām ir jāsasniedz, jo ne viss ir tik vienkārši, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Padomājiet par pabeigtām ēkām, pirms tiek atrastas kļūdas. Noteikts integrālis un tā aprēķināšanas metodes. Tiešsaistes noteiktais integrālis ar mainīgu augšējo robežu. Integrāļu risināšana tiešsaistē. Jebkurš piemērs, kas palīdzēs aprēķināt integrāli, izmantojot tabulas formulas, būs noderīgs ceļvedis darbībai jebkura sagatavotības līmeņa studentiem. Vissvarīgākais solis ceļā uz pareizo atbildi.. Integrāļi tiešsaistē. Nenoteikti integrāļi, kas satur eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas. Integrāļu risināšana tiešsaistē - jūs saņemsiet detalizēts risinājums Priekš dažādi veidi integrāļi: nenoteikts, noteikts, nepareizs. Noteiktā integrāļa kalkulators tiešsaistes režīmā aprēķina funkcijas noteikto integrāli intervālā, izmantojot skaitlisko integrāciju. Funkcijas integrālis ir secības summas analogs. Neformāli runājot, noteikts integrālis ir funkcijas grafika daļas laukums. Integrāļa risināšana tiešsaistē. Integrāls tiešsaistē - nenoteikts integrāls tiešsaistē un noteikts integrāls tiešsaistē. Bieži vien šāds integrālis nosaka, cik ķermenis ir smagāks par tāda paša blīvuma objektu, salīdzinot ar to, un nav svarīgi, kāda tā forma ir, jo virsma neuzsūc ūdeni. Integrāļu risināšana tiešsaistē. Integrāļi tiešsaistē - nenoteikts integrāls tiešsaistē un noteikts integrāls tiešsaistē. Katrs jaunākais students zina, kā tiešsaistē atrast integrālu. Uz pamatnes skolas mācību programmašī matemātikas sadaļa arī tiek pētīta, bet ne detalizēti, bet tikai tik sarežģītas un svarīgas tēmas pamati. Vairumā gadījumu studenti integrāļus sāk apgūt ar plašu teoriju, kas arī ir pirms tam svarīgas tēmas, piemēram, atvasinājums un pāreja uz robežu - tie arī ir ierobežojumi. Integrāļu risināšana pakāpeniski sākas ar elementārākajiem vienkāršu funkciju piemēriem un beidzas ar daudzu pieeju un noteikumu izmantošanu, kas tika piedāvāti pagājušajā gadsimtā un pat daudz agrāk. Integrālie aprēķini ir paredzēti izglītības nolūkiem licejos un skolās, tas ir, vidusskolās izglītības iestādēm. Mūsu vietne jums vienmēr palīdzēs, un integrāļu risināšana tiešsaistē jums kļūs par ikdienu, un pats galvenais, saprotamu uzdevumu. Pamatojoties uz šo resursu, jūs varat viegli sasniegt pilnību šajā matemātikas sadaļā. Izprotot noteikumus, kurus apgūstat soli pa solim, piemēram, integrāciju pa daļām vai Čebiševa metodes pielietošanu, varat viegli izlemt maksimālā summa punktus par jebkuru testu. Tātad, kā mēs joprojām varam aprēķināt integrāli, izmantojot labi zināmo integrāļu tabulu, bet tā, lai risinājums būtu pareizs, pareizs un ar pēc iespējas precīzāku atbildi? Kā to iemācīties un vai tas ir iespējams parastam pirmkursniekam? tik drīz cik vien iespējams? Atbildēsim uz šo jautājumu apstiprinoši – jūs varat! Tajā pašā laikā jūs varēsiet ne tikai atrisināt jebkuru piemēru, bet arī sasniegt augsti kvalificēta inženiera līmeni. Noslēpums ir vienkāršāks nekā jebkad agrāk - jums ir jāpieliek maksimālas pūles un jāvelta nepieciešamais laiks pašgatavošanai. Diemžēl neviens vēl nav izdomājis citu veidu! Bet ne viss ir tik duļķains, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Ja sazināsieties ar mūsu servisa vietni ar šo jautājumu, mēs atvieglosim jūsu dzīvi, jo mūsu vietne var detalizēti aprēķināt integrāļus tiešsaistē ar ļoti liels ātrums un nevainojami precīza atbilde. Savā pamatā integrālis nenosaka, kā argumentu attiecība ietekmē sistēmas stabilitāti kopumā. Ja vien viss būtu līdzsvarā. Kopā ar to, kā jūs apgūsit šīs darbības pamatus matemātiskā tēma, pakalpojums var atrast jebkura integrāļa integrāli, ja šo integrāli var atrisināt elementārās funkcijās. Pretējā gadījumā integrāļiem, kas netiek ņemti elementārajās funkcijās, praksē nav nepieciešams atrast atbildi analītiskā vai, citiem vārdiem sakot, skaidrā formā. Visi integrāļu aprēķini ir saistīti ar dotā integranda antiatvasinātās funkcijas noteikšanu. Lai to izdarītu, vispirms aprēķiniet nenoteikto integrāli saskaņā ar visiem matemātikas likumiem tiešsaistē. pēc tam, ja nepieciešams, aizstājiet integrāļa augšējo un apakšējo vērtību. Ja jums nav nepieciešams noteikt vai aprēķināt skaitliskā vērtība nenoteiktu integrāli, tad iegūtajai antiatvasinātajai funkcijai tiek pievienota konstante, tādējādi definējot antiatvasināto funkciju saimi. Īpaša vieta zinātnē un vispār jebkurā inženierzinātņu jomā, ieskaitot kontinuuma mehāniku, integrācija apraksta visas mehāniskās sistēmas, to kustības un daudz ko citu. Daudzos gadījumos saliktais integrālis nosaka kustības likumu materiālais punkts. Tas ir ļoti svarīgs instruments lietišķo zinātņu izpētē. Pamatojoties uz to, nevar nepieminēt liela mēroga aprēķinus, lai noteiktu esamības un uzvedības likumus mehāniskās sistēmas. Kalkulators integrāļu risināšanai tiešsaistē vietnē ir spēcīgs rīks profesionāli inženieri. Mēs jums to noteikti garantējam, taču mēs varēsim aprēķināt jūsu integrāli tikai pēc tam, kad integrāda domēnā ievadīsit pareizo izteiksmi. Nebaidieties kļūdīties, šajā jautājumā visu var labot! Parasti integrāļu risināšana ir saistīta ar tabulu funkciju izmantošanu no labi zināmām mācību grāmatām vai enciklopēdijām. Tāpat kā jebkurš cits nenoteiktais integrālis, tas tiks aprēķināts, izmantojot standarta formulu bez lielas kritikas. Pirmkursnieki viegli un dabiski apgūst apgūto materiālu uz vietas, un viņiem integrāļa atrašana dažkārt aizņem ne vairāk kā divas minūtes. Un, ja students ir apguvis integrāļu tabulu, tad viņš kopumā var noteikt atbildes savā galvā. Funkciju paplašināšana ar mainīgajiem lielumiem attiecībā pret virsmām sākotnēji nozīmē pareizo vektora virzienu kādā abscisu punktā. Virsmas līniju neparedzamā uzvedība izmanto noteiktus integrāļus par pamatu matemātisko funkciju atbildes avotam. Bumbiņas kreisā mala nepieskaras cilindram, kurā ir ierakstīts aplis, ja skatāties uz griezumu plaknē. Nelielu laukumu summa, kas sadalīta simtiem gabalos nepārtrauktu funkciju, ir tiešsaistes integrālis dotā funkcija. Integrāļa mehāniskā nozīme slēpjas daudzās pielietotajās problēmās, piemēram, ķermeņu tilpuma noteikšanā un ķermeņa masas aprēķināšanā. Šajos aprēķinos ir iesaistīti trīskārši un dubultie integrāļi. Mēs uzstājam, ka integrāļu risinājums tiešsaistē tiek veikts tikai pieredzējušu pasniedzēju uzraudzībā un daudzās pārbaudēs Mums bieži tiek jautāts par to studentu sniegumu, kuri neapmeklē lekcijas, izlaiž tās bez iemesla un kā viņiem izdodas atrast. paši integrāļi. Mēs atbildam, ka studenti ir brīvi cilvēki un ir diezgan spējīgi mācīties eksternā, gatavojoties ieskaitei vai eksāmenam savās mājās. Mūsu pakalpojums dažu sekunžu laikā palīdzēs ikvienam aprēķināt jebkuras funkcijas integrāli mainīgajam. Iegūtais rezultāts jāpārbauda, ​​ņemot antiderivatīvās funkcijas atvasinājumu. Šajā gadījumā konstante no integrāļa risinājuma kļūst par nulli. Šis noteikums acīmredzot attiecas uz visiem. Tā kā daudzvirzienu darbības ir pamatotas, nenoteiktais integrālis bieži tiek reducēts līdz domēna sadalīšanai mazās daļās. Tomēr daži studenti un skolēni šo prasību neievēro. Kā vienmēr, tiešsaistes integrāļus var detalizēti atrisināt mūsu servisa vietne, un pieprasījumu skaitam nav ierobežojumu, viss ir bez maksas un pieejams ikvienam. Nav daudz vietņu, kas sniedz soli pa solim atbildi dažu sekunžu laikā, un pats galvenais ar augstu precizitāti un ērtā formā. Pēdējā piemērā piektajā lappusē mājasdarbs Saskāros ar tādu, kas norāda uz nepieciešamību soli pa solim aprēķināt integrāli. Bet mēs nedrīkstam aizmirst par to, kā ir iespējams atrast integrāli, izmantojot gatavu pakalpojumu, kas ir pārbaudīts laikā un pārbaudīts tūkstošiem atrisinātu piemēru tiešsaistē. To, kā šāds integrālis nosaka sistēmas kustību, mums skaidri un gaiši parāda viskozā šķidruma kustības raksturs, ko apraksta šī vienādojumu sistēma.

Integrāļu atrisināšana ir viegls uzdevums, taču tikai dažiem atlasītajiem. Šis raksts ir paredzēts tiem, kas vēlas iemācīties saprast integrāļus, bet neko vai gandrīz neko nezina par tiem. Integrāls... Kāpēc tas vajadzīgs? Kā to aprēķināt? Kas ir noteikti un nenoteikti integrāļi? Ja vienīgais, ko jūs zināt par integrālu, ir izmantot tamboradatu, kas veidota kā integrāla ikona, lai iegūtu kaut ko noderīgu no grūti sasniedzamām vietām, laipni lūdzam! Uzziniet, kā atrisināt integrāļus un kāpēc jūs nevarat iztikt bez tā.

Mēs pētām jēdzienu "integrāls"

Integrācija bija zināma jau sen Senā Ēģipte. Protams, ka nē moderna forma, bet tāpat. Kopš tā laika matemātiķi ir uzrakstījuši daudzas grāmatas par šo tēmu. Īpaši izcēlās paši Ņūtons Un Leibnica , bet lietu būtība nav mainījusies. Kā no nulles saprast integrāļus? Nevar būt! Lai saprastu šo tēmu, jums joprojām būs nepieciešams pamatzināšanas pamati matemātiskā analīze. Tieši šo pamatinformāciju jūs atradīsiet mūsu emuārā.

Nenoteikts integrālis

Ļaujiet mums veikt dažas funkcijas f(x) .

Nenoteikta integrāla funkcija f(x) šo funkciju sauc F(x) , kura atvasinājums ir vienāds ar funkciju f(x) .

Citiem vārdiem sakot, integrālis ir apgrieztais atvasinājums vai antiatvasinājums. Starp citu, lasiet par to, kā to izdarīt mūsu rakstā.

Visām nepārtrauktajām funkcijām pastāv antiatvasinājums. Arī antiatvasinājumam bieži tiek pievienota nemainīga zīme, jo funkciju atvasinājumi, kas atšķiras ar konstanti, sakrīt. Integrāļa atrašanas procesu sauc par integrāciju.

Vienkāršs piemērs:

Lai nepārtraukti neaprēķina elementāro funkciju antiatvasinājumus, ir ērti tos ievietot tabulā un izmantot gatavas vērtības:

Noteikts integrālis

Runājot par integrāļa jēdzienu, mēs runājam ar bezgalīgi maziem lielumiem. Integrālis palīdzēs aprēķināt figūras laukumu, neviendabīgā ķermeņa masu, nobraukto attālumu nevienmērīga kustība ceļš un daudz kas cits. Jāatceras, ka integrālis ir bezgalīgi liela skaita bezgalīgi mazu terminu summa.

Kā piemēru iedomājieties kādas funkcijas grafiku. Kā atrast figūras laukumu, ierobežots ar grafiku funkcijas?

Izmantojot integrāli! Sadalīsim līknes trapeci, ko ierobežo koordinātu asis un funkcijas grafiks, bezgalīgi mazos segmentos. Tādā veidā figūra tiks sadalīta plānās kolonnās. Kolonnu laukumu summa būs trapeces laukums. Bet atcerieties, ka šāds aprēķins dos aptuvenu rezultātu. Tomēr, jo mazāki un šaurāki segmenti, jo precīzāks būs aprēķins. Ja mēs tos samazinām tiktāl, ka garums tiecas uz nulli, tad segmentu laukumu summa tiecas uz figūras laukumu. Tas ir noteikts integrālis, kas ir uzrakstīts šādi:

Punktus a un b sauc par integrācijas robežām.

Bari Alibasovs un grupa "Integral"

Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide

Manekenu integrāļu aprēķināšanas noteikumi

Nenoteiktā integrāļa īpašības

Kā atrisināt nenoteiktu integrāli? Šeit apskatīsim nenoteiktā integrāļa īpašības, kas noderēs piemēru risināšanā.

• Integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrādu:

• Konstanti var izņemt no integrāļa zīmes:

• Summas integrālis vienāds ar summu integrāļi. Tas attiecas arī uz atšķirību:

Noteikta integrāļa īpašības

• Linearitāte:

• Integrāļa zīme mainās, ja tiek samainītas integrācijas robežas:

• Plkst jebkura punktus a, b Un Ar:

Mēs jau esam noskaidrojuši, ka noteikts integrālis ir summas robeža. Bet kā iegūt konkrētu vērtību, risinot piemēru? Šim nolūkam ir Ņūtona-Leibnica formula:

Integrāļu risināšanas piemēri

Tālāk mēs aplūkosim vairākus piemērus, kā atrast nenoteiktus integrāļus. Aicinām jūs pašiem izdomāt risinājuma smalkumus un, ja kaut kas nav skaidrs, uzdodiet jautājumus komentāros.

Lai pastiprinātu materiālu, noskatieties video par integrāļu risināšanu praksē. Neesiet izmisumā, ja integrālis netiek dots uzreiz. Jautājiet, un viņi jums pastāstīs visu, ko viņi zina par integrāļu aprēķināšanu. Ar mūsu palīdzību jebkurš trīskāršs vai izliekts integrālis virs slēgtas virsmas būs jūsu spēkos.

Atrast nenoteikts integrālis(antiderivatīvu kopums jeb "antiderivatīvi") nozīmē atjaunot funkciju no zināma šīs funkcijas atvasinājuma. Atjaunots antiatvasinājumu komplekts F(x) + AR funkcijai f(x) ņem vērā integrācijas konstanti C. Pamatojoties uz materiālā punkta kustības ātrumu (atvasinājums), var atjaunot šī punkta kustības likumu (antiderivatīvu); atbilstoši punkta kustības paātrinājumam – tā ātrumam un kustības likumam. Kā redzat, integrācija ir plašs fizikas Šerloka Holmsa darbības lauks. Un ekonomikā daudzi jēdzieni tiek attēloti caur funkcijām un to atvasinājumiem, un tāpēc, piemēram, ir iespējams atjaunot attiecīgajā laikā saražotās produkcijas apjomu, izmantojot darba produktivitāti noteiktā laika brīdī (atvasinājums).

Lai atrastu nenoteikto integrāli, ir nepieciešams diezgan daudz liels skaits integrācijas pamatformulas. Bet tā atrašanas process ir daudz grūtāks nekā tikai šo formulu pielietošana. Visa sarežģītība nav saistīta ar integrāciju, bet gan ar integrējamās izteiksmes nodošanu formā, kas ļauj atrast nenoteikto integrāli, izmantojot iepriekš minētās pamatformulas. Tas nozīmē, ka, lai sāktu integrācijas praksi, jums ir jāaktivizē apgūtais vidusskola izteiksmes transformācijas prasmes.

Mācīsimies atrast integrāļus, izmantojot īpašības un nenoteikto integrāļu tabula no nodarbības par šīs tēmas pamatjēdzieniem (atveras jaunā logā).

Ir vairākas metodes integrāļa atrašanai, no kurām mainīgā aizstāšanas metode Un integrācija ar detaļu metodi- obligāts kungu komplekts visiem, kas sekmīgi nokārtojuši augstāko matemātiku. Tomēr lietderīgāk un patīkamāk ir sākt apgūt integrāciju, izmantojot paplašināšanas metodi, pamatojoties uz sekojošām divām teorēmām par nenoteiktā integrāļa īpašībām, kuras mēs šeit atkārtojam ērtības labad.

3. teorēma. Pastāvīgo faktoru integrandā var izņemt no nenoteiktā integrāļa zīmes, t.i.

4. teorēma. Galīga skaita funkciju algebriskās summas nenoteiktais integrālis ir vienāds ar algebriskā summašo funkciju nenoteiktie integrāļi, t.i.

(2)

Turklāt integrācijā var būt noderīgs šāds noteikums: ja integranda izteiksme satur nemainīgu faktoru, tad antiatvasinājuma izteiksme tiek reizināta ar konstantā faktora apgriezto vērtību, tas ir,

(3)

Tā kā šī ir ievadstunda integrācijas problēmu risināšanā, ir svarīgi atzīmēt divas lietas, kas vai nu pašā sākumā, vai nedaudz vēlāk var jūs pārsteigt. Pārsteigums ir saistīts ar faktu, ka integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība un nenoteikto integrāli pamatoti var saukt par “antiderivatīvu”.

Pirmā lieta, par ko nevajadzētu pārsteigt, integrējot. Integrāļu tabulā starp atvasinājumu tabulu formulām ir formulas, kurām nav analogu . Šīs ir šādas formulas:

Tomēr jūs varat pārliecināties, ka šo formulu labajā pusē esošo izteiksmju atvasinājumi sakrīt ar atbilstošajiem integrandiem.

Otra lieta, kas integrējot nevajadzētu pārsteigt. Lai gan jebkuras elementāras funkcijas atvasinājums ir arī elementāra funkcija, dažu elementāru funkciju nenoteiktie integrāļi vairs nav elementāras funkcijas . Šādu integrāļu piemēri varētu būt šādi:

Integrācijas tehnikas attīstīšanai noderēs šādas prasmes: daļskaitļu samazināšana, polinoma dalīšana daļskaitļa skaitītājā ar monomu saucējā (lai iegūtu nenoteiktu integrāļu summu), sakņu pārvēršana pakāpēs, monoma reizināšana ar polinoms, paaugstināšana līdz pakāpei. Šīs prasmes ir nepieciešamas integrāļa transformācijām, kuru rezultātā vajadzētu iegūt integrāļu tabulā esošo integrāļu summu.

Nenoteiktu integrāļu atrašana kopā

1. piemērs. Atrodiet nenoteikto integrāli

.

Risinājums. Integranda saucējā redzam polinomu, kurā x ir kvadrātā. Šī ir gandrīz droša zīme, ka varat lietot tabulas integrāli 21 (ar arktangensu kā rezultātā). Mēs izņemam no saucēja koeficientu divi (ir tāda integrāļa īpašība - konstanto koeficientu var izņemt ārpus integrāļa zīmes; tas tika minēts iepriekš kā 3. teorēma). Tā visa rezultāts:

Tagad saucējs ir kvadrātu summa, kas nozīmē, ka varam pielietot minēto tabulas integrāli. Beidzot mēs saņemam atbildi:

.

2. piemērs. Atrodiet nenoteikto integrāli

Risinājums. Atkal piemērojam 3. teorēmu - integrāļa īpašību, uz kuras pamata no integrāļa zīmes var izņemt konstanto faktoru:

Integrāļa funkcijai mēs izmantojam formulu 7 no integrāļu tabulas (mainīgais līdz pakāpei):

.

Mēs samazinām iegūtās daļas, un mums ir galīgā atbilde:

3. piemērs. Atrodiet nenoteikto integrāli

Risinājums. Vispirms piemērojot 4. teorēmu un pēc tam 3. teorēmu īpašībām, mēs atrodam šo integrāli kā trīs integrāļu summu:

Visi trīs iegūtie integrāļi ir tabulas veidā. Mēs izmantojam formulu (7) no integrāļu tabulas for n = 1/2, n= 2 un n= 1/5, un pēc tam

apvieno visas trīs patvaļīgās konstantes, kas tika ievadītas, atrodot trīs integrāļus. Tāpēc līdzīgās situācijās jāievada tikai viena patvaļīga integrācijas konstante.

4. piemērs. Atrodiet nenoteikto integrāli

Risinājums. Ja integranda saucējs satur monomu, mēs varam dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu. Sākotnējais integrālis pārvērtās par divu integrāļu summu:

.

Lai lietotu tabulas integrāli, mēs pārveidojam saknes pakāpēs, un šeit ir galīgā atbilde:

Mēs turpinām kopā atrast nenoteiktus integrāļus

7. piemērs. Atrodiet nenoteikto integrāli

Risinājums. Ja integrādu pārveidojam, sadalot binomiālu kvadrātā un dalot skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu, tad sākotnējais integrālis kļūst par trīs integrāļu summu.

Nenoteikts integrālis.
Detalizēti piemēri risinājumus

Šajā nodarbībā mēs sāksim pētīt šo tēmu Nenoteikts integrālis, un mēs arī detalizēti analizēsim vienkāršāko (un ne tik vienkāršo) integrāļu risinājumu piemērus. Šajā rakstā es aprobežošos ar teorijas minimumu, un tagad mūsu uzdevums ir iemācīties atrisināt integrāļus.

Kas jums jāzina, lai veiksmīgi apgūtu materiālu? Lai tiktu galā ar integrālo aprēķinu, jums ir jāspēj atrast atvasinājumus vismaz vidējā līmenī. Tāpēc, ja materiāls ir palaists, iesaku vispirms rūpīgi izlasīt nodarbības Kā atrast atvasinājumu? Un Sarežģītas funkcijas atvasinājums. Tā nebūs pieredzes izniekošana, ja jums zem jostas ir vairāki desmiti (vēlams simts) neatkarīgi atrasti atvasinājumi. Vismaz jums nevajadzētu apjukt uzdevumos, lai atšķirtu vienkāršākās un izplatītākās funkcijas. Šķiet, kāds sakars atvasinājumiem, ja raksts ir par integrāļiem?! Lūk, lieta. Fakts ir tāds, ka atvasinājumu atrašana un nenoteiktu integrāļu atrašana (diferencēšana un integrācija) ir divas savstarpēji apgrieztas darbības, piemēram, saskaitīšana/atņemšana vai reizināšana/dalīšana. Tādējādi bez prasmes (+ zināmas pieredzes) atrast atvasinājumus, diemžēl, jūs nevarat virzīties uz priekšu.

Šajā sakarā mums būs nepieciešams sekojošais mācību materiāli: Atvasinājumu tabula Un Integrāļu tabula. Uzziņu rokasgrāmatas var atvērt, lejupielādēt vai izdrukāt lapā Matemātiskās formulas un tabulas.

Kādas ir grūtības apgūt nenoteiktos integrāļus? Ja atvasinājumos ir stingri 5 diferenciācijas noteikumi, atvasinājumu tabula un diezgan skaidrs darbību algoritms, tad integrāļos viss ir savādāk. Ir desmitiem integrācijas metožu un paņēmienu. Un, ja integrācijas metode sākotnēji ir izvēlēta nepareizi (t.i., nezināt, kā atrisināt), tad integrāli var burtiski “durstīt” dienām kā īstu mīklu, mēģinot pamanīt dažādus paņēmienus un trikus. Dažiem cilvēkiem tas pat patīk. Starp citu, tas nav joks, diezgan bieži no studentiem dzirdēju tādu viedokli kā “Man nekad nav bijusi interese atrisināt limitu vai atvasinājumu, bet integrāļi ir pavisam cita lieta, tas ir fascinējoši, vienmēr ir vēlme “uzlauzt” sarežģītu integrāli. Stop. Pietiek ar melno humoru, pāriesim pie šiem ļoti nenoteiktajiem integrāļiem.

Tā kā ir tik daudz veidu, kā to atrisināt, tad kur sākt pētīt tējkannas nenoteiktos integrāļus? Integrālajā aprēķinos, manuprāt, ir trīs pīlāri jeb sava veida “ass”, ap kuru griežas viss pārējais. Pirmkārt, jums vajadzētu labi izprast vienkāršākos integrāļus (šis raksts). Pēc tam jums ir rūpīgi jāizstrādā nodarbība. ŠIS SVARĪGĀKĀ TEHNIKA! Varbūt pat vissvarīgākais raksts no visiem maniem rakstiem par integrāļiem. Un, treškārt, jums noteikti vajadzētu iepazīties ar integrācijas metodi pa daļām, jo ​​to var izmantot, lai integrētu plašu funkciju klasi. Ja jūs apgūsit vismaz šīs trīs nodarbības, tad jums vairs nebūs divu. Jums var tikt piedots, ka nezināt integrāļus no trigonometriskām funkcijām, integrāļus no daļskaitļiem, integrāļus no daļskaitļa-racionālām funkcijām, integrāļus no iracionālām funkcijām (saknes), bet, ja jūs aizķeraties pie aizstāšanas metodes vai integrācijas pa daļām metodes, tad būs ļoti, ļoti slikti.

Demotivatori tagad ir ļoti izplatīti vietnē RuNet. Integrāļu izpētes kontekstā, gluži pretēji, tas ir vienkārši nepieciešams MOTIVATORS. Tāpat kā tajā jokā par Vasīliju Ivanoviču, kurš motivēja gan Petku, gan Anku. Cienījamie sliņķi, brīvstrādnieki un citi normāli studenti, noteikti izlasiet sekojošo. Nenoteiktā integrāļa zināšanas un prasmes būs nepieciešamas turpmākajās studijās, īpaši, 2. kursā apgūstot noteiktu integrāli, nepareizos integrāļus un diferenciālvienādojumus. Nepieciešamība ņemt integrāli rodas pat varbūtību teorijā! Tādējādi bez integrāļiem ceļš uz vasaras sesiju un 2.kursu TIEŠĀM BŪS SLĒGTS. Esmu nopietns. Secinājums ir šāds. Jo vairāk integrāļu dažādi veidi tu izlemsi, jo vieglāk būs turpmāko dzīvi . Jā, tas prasīs diezgan daudz laika, jā, dažreiz negribas, jā, dažreiz "pie velna, ar šo integrāli, varbūt es to nesaņemšu". Bet nākamajai domai vajadzētu iedvesmot un sasildīt jūsu pūles pilnībā! Jūs varēsiet uzlauzt diferenciālvienādojumus kā riekstus un viegli tikt galā ar integrāļiem, ar kuriem jūs saskarsities citās augstākās matemātikas sadaļās. Pilnīgi izprotot nenoteikto integrāli, JŪS PATIESĪBĀM APVALDĪSIT VĒL VAIRĀKUS TORŅA SADAĻUS.

Un tāpēc es vienkārši nevarēju neveidot intensīvais kurss par integrācijas tehniku, kas izrādījās pārsteidzoši īsa - tie, kas vēlas, var izmantot pdf grāmatu un sagatavoties ĻOTI ātri. Bet materiāli vietnē nekādā ziņā nav sliktāki!

Tātad, sāksim ar vienkāršu. Apskatīsim integrāļu tabulu. Tāpat kā ar atvasinājumiem, mēs novērojam vairākus integrācijas noteikumus un dažu elementāru funkciju integrāļu tabulu. Ir viegli redzēt, ka jebkuram tabulas integrālam (un, protams, jebkuram nenoteiktam integrālim) ir šāda forma:

Tūlīt sapratīsim apzīmējumus un terminus:

- neatņemama ikona.

– integrand funkcija (rakstīta ar burtu “s”).

- diferenciāļa ikona. Rakstot integrāli un risināšanas laikā, ir svarīgi nepazaudēt šo ikonu. Būs manāms trūkums.

– integrāļa izteiksme jeb “aizpildījums”.

– antiderivatīvā funkcija.

- daudzas oriģinālas funkcijas. Nav nepieciešams būt ļoti noslogotam ar terminiem, vissvarīgākais ir tas, ka jebkurā nenoteiktā integrālī atbildei tiek pievienota konstante.

Integrāļa risināšana nozīmē noteiktas funkcijas atrašanu, izmantojot dažus noteikumus, paņēmienus un tabulu.

Apskatīsim ierakstu vēlreiz:

Apskatīsim integrāļu tabulu.

Kas notiek? Mums ir kreisās daļas pārvērsties par citām funkcijām: .

Vienkāršosim savu definīciju.

Nenoteikta integrāļa atrisināšana nozīmē to PĀRVĒRTĪT par noteiktu funkciju, izmantojot dažus noteikumus, paņēmienus un tabulu.

Ņemiet, piemēram, tabulas integrāli . Kas notika? pārvērtās par funkciju.

Tāpat kā atvasinājumu gadījumā, lai uzzinātu, kā atrast integrāļus, jums nav jāzina kas ir integrālis, antiderivatīva funkcija no teorētiskā viedokļa. Pietiek vienkārši veikt transformācijas saskaņā ar dažiem formāliem noteikumiem. Tātad, gadījumā Nepavisam nav jāsaprot, kāpēc integrālis pārvēršas par . Pagaidām šo un citas formulas varam uzskatīt par pašsaprotamām. Ikviens izmanto elektrību, bet tikai daži cilvēki domā par to, kā elektroni pārvietojas pa vadiem.

Tā kā diferenciācija un integrācija ir pretējas darbības, tad jebkuram atrastajam antiatvasinājumam Pa labi, sekojošais ir patiess:

Citiem vārdiem sakot, ja jūs nošķirat pareizo atbildi, jums jāiegūst sākotnējā integrand funkcija.

Atgriezīsimies pie tā paša tabulas integrāļa .

Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu. Mēs ņemam labās puses atvasinājumu:

ir sākotnējā integrand funkcija.

Starp citu, ir kļuvis skaidrāks, kāpēc funkcijai vienmēr tiek piešķirta konstante. Diferencējot, konstante vienmēr kļūst par nulli.

Atrisiniet nenoteiktu integrāli- tas nozīmē atrast ķekars visi antiatvasinājumi, nevis tikai viena funkcija. Aplūkojamajā tabulas piemērā , , , utt. – visas šīs funkcijas ir integrāļa risinājumi. Ir bezgala daudz risinājumu, tāpēc mēs to īsi pierakstām:

Tādējādi jebkuru nenoteiktu integrāli ir diezgan viegli pārbaudīt (atšķirībā no atvasinājumiem, kur labu pārbaudi var veikt tikai izmantojot matemātiskās programmas). Šī ir kompensācija par lielu skaitu dažāda veida integrāļu.

Apskatīsim konkrētus piemērus. Sāksim, tāpat kā pētot atvasinājumu,
ar diviem integrācijas noteikumiem, ko sauc arī par linearitātes īpašības nenoteikts integrālis:

– konstanto koeficientu var (un vajag) izņemt no integrāļa zīmes.

– divu funkciju algebriskās summas integrālis ir vienāds ar katras funkcijas divu integrāļu algebrisko summu atsevišķi. Šis īpašums derīga jebkuram terminu skaitam.

Kā redzat, noteikumi būtībā ir tādi paši kā atvasinātajiem instrumentiem.

1. piemērs

Risinājums: ērtāk to pārrakstīt uz papīra.

(1) Piemērojiet noteikumu . Neaizmirstiet pierakstīt diferenciāļa simbolu zem katra integrāļa. Kāpēc zem katra? - tas ir pilns reizinātājs, ja mēs detalizēti aprakstam risinājumu, tad pirmais solis jāraksta šādi:

(2) Saskaņā ar noteikumu , mēs ņemam visas konstantes ārpus integrālzīmēm. Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējais termins ir konstante, mēs to arī izņemam.
Turklāt šajā posmā mēs sagatavojam saknes un spējas integrācijai. Tāpat kā ar diferenciāciju, saknes ir jāattēlo formā . Pārvietojiet uz augšu saknes un pilnvaras, kas atrodas saucējā.

! Piezīme: atšķirībā no atvasinājumiem, saknes integrāļos ne vienmēr ir jāsamazina līdz formai , bet grādi jāpārnes uz augšu. Piemēram, tas ir gatavs galda integrālis un visādi ķīniešu triki, piemēram pilnīgi nevajadzīgi. Līdzīgi: – arī tabulas integrālis, nav jēgas attēlot daļskaitli formā . Rūpīgi izpētiet tabulu!

(3) Visi mūsu integrāļi ir tabulas veidā. Mēs veicam transformāciju, izmantojot tabulu, izmantojot formulas: , Un .
Īpaša uzmanība Es atsaucos uz integrācijas formulu jaudas funkcija , tas notiek ļoti bieži, labāk to atcerēties. Jāņem vērā, ka tabulas integrālis ir īpašs gadījums tā pati formula: .
Pietiek vienreiz pievienot konstanti izteiksmes beigās (un nelikt tos aiz katra integrāļa).
(4) Iegūto rezultātu ierakstām kompaktākā formā, visas formas pakāpes atkal tiek attēlotas kā saknes, pakāpes ar negatīvu eksponentu tiek atiestatītas atpakaļ uz saucēju.

Pārbaude. Lai veiktu pārbaudi, saņemtā atbilde ir jānošķir:

Saņēma oriģinālu integrand, kas nozīmē, ka integrālis tika atrasts pareizi. No kā viņi dejoja, pie kā viņi atgriezās. Ziniet, ir ļoti labi, ja stāsts ar integrālu beidzas šādi.

Laiku pa laikam ir nedaudz atšķirīga pieeja nenoteiktā integrāļa pārbaudei, nevis atvasinājums, bet gan diferenciāls:

Tie, kas saprata no pirmā semestra, saprata, bet tagad mums ir svarīgi nevis teorētiskie smalkumi, bet gan tas, ko ar šo diferenciāli darīt tālāk. Tas ir jāatklāj, un no formāla tehniskā viedokļa tas ir gandrīz tas pats, kas atrast atvasinājumu. Diferenciālis tiek atklāts šādi: mēs noņemam ikonu, ievietojam insultu labajā pusē virs iekavas un izteiksmes beigām pievienojam koeficientu:

Saņemts oriģināls integrand, kas nozīmē, ka integrālis tika atrasts pareizi.

Otrā pārbaudes metode man patīk mazāk, jo man papildus jāzīmē lielas iekavas un jāvelk diferenciāļa ikona līdz pārbaudes beigām. Lai gan tas ir pareizāk vai “cienījamāk” vai kā.

Patiesībā es varētu klusēt par otro pārbaudes metodi. Lieta nav metodē, bet gan tajā, ka esam iemācījušies atvērt diferenciāli. Atkal.

Atšķirība tiek atklāta šādi:

1) noņemiet ikonu;
2) pa labi virs kronšteina uzliekam triepienu (atvasinājuma apzīmējums);
3) izteiksmes beigās piešķiram koeficientu .

Piemēram:

Atceries šo. Šī tehnika mums būs nepieciešama ļoti drīz.

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli. Veikt pārbaudi.

Kad atrodam nenoteiktu integrāli, mēs VIENMĒR cenšamies pārbaudīt Turklāt tam ir lieliska iespēja. Ne visi augstākās matemātikas uzdevumu veidi ir dāvana no šī viedokļa. Tam tik bieži nav nozīmes pārbaudes uzdevumi pārbaude nav nepieciešama, neviens to nepārbauda, ​​un nekas neliedz to veikt uz melnraksta. Izņēmumu var izdarīt tikai tad, ja nav pietiekami daudz laika (piemēram, ieskaites vai eksāmena laikā). Personīgi es vienmēr pārbaudu integrāļus un uzskatu, ka pārbaudes trūkums ir uzlauzts darbs un slikti izpildīts uzdevums.

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli. Veikt pārbaudi.

Risinājums: Analizējot integrāli, mēs redzam, ka mums ir divu funkciju reizinājums un pat visas izteiksmes kāpinājums. Diemžēl integrālās cīņas jomā nav labu un ērtu formulu produkta un konkrētā integrēšanai , .

Un tāpēc, kad tiek dots reizinājums vai koeficients, vienmēr ir jēga noskaidrot, vai integrandu ir iespējams pārveidot par summu?

Apskatāmais piemērs ir gadījums, kad tas ir iespējams. Vispirms es sniegšu pilnu risinājumu, komentāri būs zemāk.

(1) Mēs izmantojam veco labo summas kvadrāta formulu, atbrīvojoties no pakāpes.

(2) Mēs to ievietojam iekavās, atbrīvojoties no produkta.

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli. Veikt pārbaudi.

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam. Atbilde un pilnīgs risinājums ir stundas beigās.

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli. Veikt pārbaudi.

IN šajā piemērā integrands ir daļdaļa. Kad integrandā redzam daļskaitli, pirmajai domai vajadzētu būt jautājumam: vai ir iespējams kaut kā atbrīvoties no šīs daļas vai vismaz to vienkāršot?

Mēs novērojam, ka saucējā ir viena “X” sakne. Viens laukā nav karotājs, kas nozīmē, ka mēs varam dalīt skaitītāju ar saucēja vārdu ar vārdu:

Darbības ar daļskaitļi Es nekomentēju, jo tie ir daudzkārt apspriesti rakstos par funkcijas atvasinājumu. Ja jūs joprojām mulsina tāds piemērs kā , un joprojām nevarat saņemt pareizo atbildi, iesaku pievērsties skolas mācību grāmatām. Augstākajā matemātikā daļskaitļi un darbības ar tām sastopamas ik uz soļa.

Ņemiet vērā arī to, ka risinājumam trūkst viena soļa, proti, noteikumu piemērošana , . Parasti pat sākotnējās integrāļu risināšanas pieredzes laikā šīs īpašības tiek uzskatītas par pašsaprotamām un netiek detalizēti aprakstītas.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli. Veikt pārbaudi.

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam. Atbilde un pilnīgs risinājums ir stundas beigās.

Kopumā ar daļskaitļiem integrāļos viss nav tik vienkārši, papildu materiāls par dažu veidu daļu integrāciju var atrast rakstā Dažu frakciju integrēšana.

! Bet, pirms pāriet uz iepriekš minēto rakstu, jums ir jāiepazīstas ar nodarbību Aizstāšanas metode nenoteiktā integrālī. Lieta ir tāda, ka funkcijas iekļaušana diferenciālā vai mainīgā aizstāšanas metodē ir galvenais punkts tēmas izpētē, jo tas ir atrodams ne tikai “tīros uzdevumos par aizstāšanas metodi”, bet arī daudzos citos integrāļu veidos.

Es tiešām gribēju iekļaut vēl dažus piemērus šī nodarbība, bet es tagad sēžu šeit, rakstot šo tekstu Verde un ievēroju, ka raksts jau ir izaudzis līdz pienācīgam izmēram.
Un tāpēc ievadkurss manekenu integrāļi ir beigušies.

Es novēlu jums panākumus!

Risinājumi un atbildes:

2. piemērs: Risinājums:

4. piemērs: Risinājums:

Šajā piemērā mēs izmantojām saīsināto reizināšanas formulu

6. piemērs: Risinājums:

Es pabeidzu pārbaudi, un jūs? ;)