Visu primitīvu kopums. Antiderivatīvā funkcija un nenoteikts integrālis

Mērķis:

Antiderivatīva jēdziena veidošanās.
Sagatavošanās integrāļa uztverei.
Skaitļošanas prasmju veidošana.
Skaistuma izjūtas audzināšana (spēja saskatīt skaistumu neparastajā).

Matemātiskā analīze ir matemātikas nozaru kopums, kas veltīts funkciju un to vispārinājumu izpētei, izmantojot diferenciālrēķina un integrālrēķina metodes.

Līdz šim esam pētījuši matemātiskās analīzes nozari, ko sauc par diferenciālrēķinu, kuras būtība ir funkcijas izpēte “mazajā”.

Tie. funkcijas izpēte pietiekami mazos katra definīcijas punkta apkaimēs. Viena no diferenciācijas operācijām ir atvasinājuma (diferenciāla) atrašana un pielietošana funkciju pētīšanā.

Ne mazāk svarīga ir apgrieztā problēma. Ja ir zināma funkcijas uzvedība katra tās definīcijas punkta tuvumā, tad kā var rekonstruēt funkciju kopumā, t.i. visā tās definīcijas darbības jomā. Šī problēma ir tā sauktā integrāļa aprēķina priekšmets.

Integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība. Vai funkcijas f(x) atjaunošana no dotā atvasinājuma f`(x). Latīņu vārds“Integro” nozīmē restaurācija.

Piemērs Nr.1.

Ļaujiet (x) = 3x2.
Atradīsim f(x).

Risinājums:

Pamatojoties uz diferenciācijas likumu, nav grūti uzminēt, ka f(x) = x 3, jo (x 3)` = 3x 2
Tomēr jūs varat viegli pamanīt, ka f(x) nav atrasts unikāli.
Kā f(x) mēs varam ņemt
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 utt.

Tā kā katra no tām atvasinājums ir vienāds ar 3x 2. (Konstantes atvasinājums ir 0). Visas šīs funkcijas atšķiras viena no otras ar nemainīgu termiņu. Tieši tāpēc vispārējs risinājums uzdevumu var uzrakstīt formā f(x)= x 3 +C, kur C ir jebkurš konstants reālais skaitlis.

Tiek izsaukta jebkura no atrastajām funkcijām f(x). PRIMODIUMS funkcijai F`(x)= 3x 2

Definīcija. Funkciju F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f(x) noteiktā intervālā J, ja visiem x no šī intervāla F`(x)= f(x). Tātad funkcija F(x)=x 3 ir antiatvasinājums f(x)=3x 2 uz (- ∞ ; ∞).
Tā kā visiem x ~R vienādība ir patiesa: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kā jau esam pamanījuši, šai funkcijai ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu (skat. piemēru Nr. 1).

Piemērs Nr.2. Funkcija F(x)=x ir antiatvasināta visiem f(x)= 1/x intervālā (0; +), jo visiem x no šī intervāla spēkā ir vienādība.
F`(x)= (x 1/2)` = 1/2x -1/2 = 1/2x

Piemērs Nr.3. Funkcija F(x)=tg3x ir antiatvasinājums f(x)=3/cos3x intervālā (-n/ 2; p/ 2),
jo F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Piemērs Nr.4. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 ir antiatvasinājums f(x)=12cos4x-1/x 2 intervālā (0;∞)
jo F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2. lekcija.

Tēma: Antiderivatīvs. Galvenā antiderivatīvās funkcijas īpašība.

Pētot antiderivatīvu, mēs paļausimies uz šādu apgalvojumu. Funkcijas noturības zīme: Ja intervālā J funkcijas atvasinājums Ψ(x) ir vienāds ar 0, tad šajā intervālā funkcija Ψ(x) ir nemainīga.

Šo apgalvojumu var parādīt ģeometriski.

Ir zināms, ka Ψ`(x)=tgα, γde α ir funkcijas Ψ(x) grafika pieskares slīpuma leņķis punktā ar abscisu x 0. Ja Ψ`(υ)=0 jebkurā intervāla J punktā, tad tanα=0 δ jebkurai funkcijas Ψ(x) grafika pieskarei. Tas nozīmē, ka funkcijas grafika pieskare jebkurā punktā ir paralēla abscisu asij. Tāpēc norādītajā intervālā funkcijas Ψ(x) grafiks sakrīt ar taisnes nogriezni y=C.

Tātad funkcija f(x)=c ir nemainīga intervālā J, ja f`(x)=0 šajā intervālā.

Patiešām, patvaļīgam x 1 un x 2 no intervāla J, izmantojot teorēmu par funkcijas vidējo vērtību, mēs varam uzrakstīt:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), jo f`(c)=0, tad f(x2)= f(x1)

Teorēma: (Antiderivatīvās funkcijas galvenā īpašība)

Ja F(x) ir viens no funkcijas f(x) antiatvasinājumiem intervālā J, tad visu šīs funkcijas antiatvasinājumu kopai ir forma: F(x) + C, kur C ir jebkurš reāls skaitlis.

Pierādījums:

Pieņemsim, ka F`(x) = f(x), tad (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), ja x Є J.
Pieņemsim, ka pastāv Φ(x) - cits antiatvasinājums f (x) intervālā J, t.i. Φ`(x) = f(x),
tad (Φ(x) - F(x)) = f (x) – f (x) = 0, ja x Є J.
Tas nozīmē, ka Φ(x) - F(x) ir nemainīgs intervālā J.
Tāpēc Φ(x) - F(x) = C.
No kurienes Φ(x)= F(x)+C.
Tas nozīmē, ka, ja F(x) ir antiatvasinājums funkcijai f (x) intervālā J, tad visu šīs funkcijas antiatvasinājumu kopai ir forma: F(x)+C, kur C ir jebkurš reāls skaitlis.
Līdz ar to jebkuri divi dotās funkcijas antiatvasinājumi atšķiras viens no otra ar nemainīgu terminu.

Piemērs: Atrodiet funkcijas f (x) = cos x antiatvasinājumu kopu. Uzzīmējiet pirmo trīs grafikus.

Risinājums: Sin x ir viens no funkcijas f (x) = cos x antiatvasinājumiem
F(x) = Sin x+C – visu antiatvasinājumu kopa.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Ģeometriskā ilustrācija: Jebkura antiatvasinājuma F(x)+C grafiku var iegūt no antiatvasinājuma F(x) grafika, izmantojot paralēlo pārnesi r (0;c).

Piemērs: Funkcijai f (x) = 2x atrodiet antiatvasinājumu, kura grafiks iet caur t.M (1;4)

Risinājums: F(x)=x 2 +C – visu antiatvasinājumu kopa, F(1)=4 – atbilstoši uzdevuma nosacījumiem.
Tāpēc 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Viena no diferenciācijas operācijām ir atvasinājuma (diferenciāla) atrašana un pielietošana funkciju pētīšanā.

Integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība. Vai funkcijas f(x) atjaunošana no dotā atvasinājuma f`(x). Latīņu vārds "integro" nozīmē restaurācija.

Piemērs Nr.1.

Ļaujiet (f(x))' = 3x2. Atradīsim f(x).

Risinājums:

Pamatojoties uz diferenciācijas likumu, nav grūti uzminēt, ka f(x) = x 3, jo

(x 3)’ = 3x 2 Tomēr jūs varat viegli pamanīt, ka f(x) nav atrasts unikāli. Kā f(x) varat ņemt f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 utt.

Jo katra no tām atvasinājums ir 3x2. (Konstantes atvasinājums ir 0). Visas šīs funkcijas atšķiras viena no otras ar nemainīgu termiņu. Tāpēc uzdevuma vispārīgo risinājumu var uzrakstīt kā f(x) = x 3 + C, kur C ir jebkurš konstants reālais skaitlis.

Tiek izsaukta jebkura no atrastajām funkcijām f(x). antiderivatīvs funkcijai F`(x)= 3x 2

Definīcija.

Funkciju F(x) sauc par antiatvasinājumu funkcijai f(x) noteiktā intervālā J, ja visiem x no šī intervāla F`(x)= f(x). Tātad funkcija F(x)=x 3 ir antiatvasinājums f(x)=3x 2 uz (- ∞ ; ∞). Tā kā visiem x ~R vienādība ir patiesa: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kā mēs jau atzīmējām, šai funkcijai ir bezgalīgs antiatvasinājumu skaits.

Piemērs Nr.2.

Funkcija ir antiatvasināta visiem intervālā (0; +∞), jo visiem h no šī intervāla spēkā ir vienādība.

Integrācijas problēma ir dotā funkcija atrast visus tā antiatvasinājumus. Risinot šo problēmu, svarīga loma ir šādam apgalvojumam:

Funkcijas noturības pazīme. Ja F"(x) = 0 kādā intervālā I, tad funkcija F šajā intervālā ir nemainīga.

Pierādījums.

Fiksēsim kādu x 0 no intervāla I. Tad jebkuram skaitlim x no šāda intervāla, izmantojot Lagranža formulu, mēs varam norādīt skaitli c, kas atrodas starp x un x 0 tā, ka

F(x) - F(x 0) = F"(c) (x-x 0).

Pēc nosacījuma F’ (c) = 0, jo c ∈1, tāpēc

F(x) — F(x 0) = 0.

Tātad visiem x no intervāla I

tas ir, funkcija F saglabā nemainīgu vērtību.

Visas antiatvasinātās funkcijas f var uzrakstīt, izmantojot vienu formulu, ko sauc funkcijas antiatvasinājumu vispārēja forma f. Sekojošā teorēma ir patiesa ( galvenā antiderivatīvu īpašība):

Teorēma. Jebkuru antiatvasinājumu funkcijai f intervālā I var ierakstīt formā

F(x) + C, (1), kur F (x) ir viens no funkcijas f (x) antiatvasinājumiem intervālā I, un C ir patvaļīga konstante.

Izskaidrosim šo apgalvojumu, kurā īsi formulētas divas antiatvasinājuma īpašības:

Neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs ievietojam izteiksmē (1), nevis C, mēs iegūstam f antiatvasinājumu intervālā I;
neatkarīgi no tā, kāds antiatvasinājums Ф f no intervāla I ņemts, ir iespējams izvēlēties skaitli C tā, lai visiem x no intervāla I būtu vienādība

Pierādījums.

Pēc nosacījuma funkcija F ir antiatvasinājums f intervālā I. Līdz ar to F"(x)= f (x) jebkuram x∈1, tātad (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), t.i., F(x) + C ir funkcijas f antiatvasinājums.
Pieņemsim, ka Ф (x) ir viens no funkcijas f antiatvasinājumiem tajā pašā intervālā I, t.i., Ф "(x) = f (х) visiem x∈I.

Tad (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

No šejienes izriet c. funkcijas noturības zīmes jauda, ka starpība Ф(х) - F(х) ir funkcija, kas intervālā I ieņem kādu konstantu vērtību C.

Tādējādi visiem x no intervāla I ir patiesa vienādība Ф(x) - F(x)=С, kas ir jāpierāda. Antiatvasinājuma galvenajai īpašībai var piešķirt ģeometrisku nozīmi: jebkuru divu funkcijas f antiatvasinājumu grafikus iegūst vienu no otra paralēli tulkojot pa Oy asi

Jautājumi piezīmēm

Funkcija F(x) ir funkcijas f(x) antiatvasinājums. Atrodiet F(1), ja f(x)=9x2 - 6x + 1 un F(-1) = 2.

Atrodiet visus funkcijas antiatvasinājumus

Funkcijai (x) = cos2 * sin2x atrodiet F(x) antiatvasinājumu, ja F(0) = 0.

Funkcijai atrodiet antiatvasinājumu, kura grafiks iet caur punktu

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Antiderivatīvā funkcija. Funkcijas grafiks"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 11. klasei
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
"Interaktīvie uzdevumi par būvniecību kosmosā 10. un 11. klasei"

Antiderivatīvā funkcija. Ievads

Puiši, jūs zināt, kā atrast funkciju atvasinājumus, izmantojot dažādas formulas un noteikumus. Šodien mēs pētīsim atvasinājuma aprēķināšanas apgriezto darbību. Jēdziens atvasinājums bieži tiek izmantots īstā dzīve. Atgādināšu: atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums noteiktā punktā. Procesi, kas saistīti ar kustību un ātrumu, ir labi aprakstīti šajos terminos.

Apskatīsim šo uzdevumu: “Taisni kustīga objekta ātrumu apraksta ar formulu $V=gt$ Tas ir nepieciešams, lai atjaunotu kustības likumu.
Risinājums.
Mēs labi zinām formulu: $S"=v(t)$, kur S ir kustības likums.
Mūsu uzdevums ir atrast funkciju $S=S(t)$, kuras atvasinājums ir vienāds ar $gt$. Rūpīgi apskatot, varat uzminēt, ka $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Pārbaudīsim šīs problēmas risinājuma pareizību: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Zinot funkcijas atvasinājumu, mēs atradām pašu funkciju, tas ir, veicām apgriezto darbību.
Bet ir vērts pievērst uzmanību šim brīdim. Mūsu problēmas risinājums prasa precizējumu, ja atrastajai funkcijai pievienosim jebkuru skaitli (konstanti), tad atvasinājuma vērtība nemainīsies: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Puiši, pievērsiet uzmanību: mūsu problēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu!
Ja problēma nenorāda sākotnējo vai kādu citu nosacījumu, neaizmirstiet risinājumam pievienot konstanti. Piemēram, mūsu uzdevums var norādīt mūsu ķermeņa stāvokli pašā kustības sākumā. Tad nav grūti aprēķināt konstanti, aizvietojot iegūtajā vienādojumā nulli, mēs iegūstam konstantes vērtību.

Kā sauc šo operāciju?
Diferenciācijas apgriezto darbību sauc par integrāciju.
Funkcijas atrašana no dotā atvasinājuma – integrācija.
Pati funkcija tiks saukta par antiderivatīvu, tas ir, attēlu, no kura tika iegūts funkcijas atvasinājums.
Ir pieņemts rakstīt antiatvasinājumu lielo burtu$y=F"(x)=f(x)$.

Definīcija. Funkciju $y=F(x)$ sauc par funkcijas $у=f(x)$ antiatvasinājumu intervālā X, ja jebkuram $хϵХ$ ir spēkā vienādība $F'(x)=f(x)$ .

Izveidosim antiatvasinājumu tabulu dažādām funkcijām. Tas ir jāizdrukā kā atgādinājums un jāiegaumē.

Mūsu tabulā tādu nav sākotnējie nosacījumi netika jautāts. Tas nozīmē, ka katrai izteiksmei tabulas labajā pusē jāpievieno konstante. Šo noteikumu mēs precizēsim vēlāk.

Antiatvasinājumu atrašanas noteikumi

Pierakstīsim dažus noteikumus, kas mums palīdzēs atrast antiderivatīvus. Tie visi ir līdzīgi diferenciācijas noteikumiem.

1. noteikums. Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Piemērs.
Atrodiet funkcijas $y=4x^3+cos(x)$ antiatvasinājumu.
Risinājums.
Summas antiatvasinājums ir vienāds ar antiatvasinājumu summu, tad jāatrod antiatvasinājums katrai no uzrādītajām funkcijām.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs: $y=x^4+sin(x)$ vai jebkura funkcija formā $y=x^4+sin(x)+C$.

2. noteikums. Ja $F(x)$ ir $f(x)$ antiatvasinājums, tad $k*F(x)$ ir funkcijas $k*f(x)$ antiatvasinājums.(Mēs varam viegli ņemt koeficientu kā funkciju).

Piemērs.
Atrodiet funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Risinājums.
a) $sin(x)$ antiatvasinājums ir mīnus $cos(x)$. Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs šādā formā: $y=-8cos(x)$.

B) $cos(x)$ antiatvasinājums ir $sin(x)$. Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums iegūs šādu formu: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) $x^2$ antiatvasinājums ir $\frac(x^3)(3)$. X antiatvasinājums ir $\frac(x^2)(2)$. 1 antiatvasinājums ir x. Tad sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs šādā formā: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

3. noteikums. Ja $у=F(x)$ ir funkcijas $y=f(x)$ antiatvasinājums, tad funkcijas $y=f(kx+m)$ antiatvasinājums ir funkcija $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Piemērs.
Atrodiet šādu funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Risinājums.
a) $cos(x)$ antiatvasinājums ir $sin(x)$. Tad funkcijas $y=cos(7x)$ antiatvasinājums būs funkcija $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) $sin(x)$ antiatvasinājums ir mīnus $cos(x)$. Tad funkcijas $y=sin(\frac(x)(2))$ antiatvasinājums būs funkcija $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) $x^3$ antiatvasinājums ir $\frac(x^4)(4)$, tad sākotnējās funkcijas $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Nedaudz vienkāršojiet izteiksmi līdz pakāpei $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Eksponenciālās funkcijas antiatvasinājums ir pats par sevi eksponenciālā funkcija. Sākotnējās funkcijas antiatvasinājums būs $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)(2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorēma. Ja $y=F(x)$ ir antiatvasinājums funkcijai $y=f(x)$ intervālā X, tad funkcijai $y=f(x)$ ir bezgalīgi daudz antiatvasinājumu, un visiem tiem ir forma $y=F(x)+С$.

Ja visos iepriekš aplūkotajos piemēros bija jāatrod visu antiatvasinājumu kopa, tad visur jāpievieno konstante C.
Funkcijas $y=cos(7x)$ visiem antiatvasinājumiem ir šāda forma: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Funkcijas $y=(-2x+3)^3$ visiem antiatvasinājumiem ir šāda forma: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Piemērs.
Saskaņā ar doto ķermeņa ātruma izmaiņu likumu laikā $v=-3sin(4t)$, atrodiet kustības likumu $S=S(t)$, ja ķermeņa sākuma momentā bija koordināte vienāds ar 1,75.
Risinājums.
Tā kā $v=S’(t)$, mums ir jāatrod antiatvasinājums noteiktam ātrumam.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Šajā uzdevumā tiek dots papildu nosacījums - sākotnējais laika moments. Tas nozīmē, ka $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Tad kustības likumu apraksta ar formulu: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Atrodiet funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Atrodiet šādu funkciju antiatvasinājumus:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Saskaņā ar doto ķermeņa ātruma izmaiņu likumu laikā $v=4cos(6t)$ atrodiet kustības likumu $S=S(t)$, ja ķermeņa sākuma momentā koordināte ir vienāda ar 2.

Nenoteikts integrālis

Diferenciālrēķina galvenais uzdevums bija aprēķināt noteiktas funkcijas atvasinājumu jeb diferenciāli. Integrālais aprēķins, kura izpēti mēs turpinām, atrisina apgriezto problēmu, proti, pašas funkcijas atrašanu no tās atvasinājuma jeb diferenciāļa. Tas ir, kam dF(x)= f(x)d (7.1) vai F′(x)= f(x),

Kur f(x)- zināma funkcija, jāatrod funkcija F(x).

Definīcija:Tiek izsaukta funkcija F(x). antiderivatīvs funkcija f(x) segmentā, ja vienādība ir spēkā visos šī segmenta punktos: F′(x) = f(x) vai dF(x)= f(x)d.

Piemēram, viena no funkcijas antiderivatīvām funkcijām f(x)=3x2 gribu F(x)= x 3, jo ( x 3)′=3x2. Bet funkcijas prototips f(x)=3x2 būs arī funkcijas un , kopš .

Tātad šī funkcija f(x)=3x2 ir bezgalīgs skaits primitīvu, no kuriem katrs atšķiras tikai ar konstantu terminu. Parādīsim, ka šis rezultāts ir spēkā arī vispārīgā gadījumā.

Teorēma Divi dažādi vienas un tās pašas funkcijas antiatvasinājumi, kas definēti noteiktā intervālā, šajā intervālā atšķiras viens no otra ar nemainīgu terminu.

Pierādījums

Ļaujiet funkcijai f(x) noteikts intervālā (a¸b) Un F 1 (x) Un F 2 (x) - antiatvasinājumi, t.i. F1′(x)= f(x) un F 2′(x)= f(x).

Tad F1′(x)=F2′(x)Þ F1′(x) – F2′(x) = (F1′(x) – F2(x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

No šejienes F 2 (x) = F 1 (x) + C

Kur AR - konstante (šeit tiek izmantots secinājums no Lagranža teorēmas).

Tādējādi teorēma ir pierādīta.

Ģeometriskā ilustrācija. Ja plkst = F 1 (x) Un plkst = F 2 (x) – tādas pašas funkcijas antiatvasinājumi f(x), tad to diagrammu tangenss punktos ar kopīgu abscisu X paralēli viens otram (7.1. att.).

Šajā gadījumā attālums starp šīm līknēm pa asi Ak paliek nemainīgs F 2 (x) - F 1 (x) = C , tas ir, šīs līknes iekšā kaut kāda izpratne"paralēli" viens otram.

Sekas .

Pievienojot kādam antiatvasinājumam F(x) šai funkcijai f(x), kas noteikts intervālā X, visas iespējamās konstantes AR, mēs iegūstam visus iespējamos funkcijas antiatvasinājumus f(x).

Tātad izteiksme F(x)+C , kur un F(x) – kāds funkcijas antiatvasinājums f(x) ietver visus iespējamos antiatvasinājumus par f(x).

1. piemērs. Pārbaudiet, vai funkcijas ir funkcijas antiatvasinājumi

Risinājums:

Atbilde: antiatvasinājumi funkcijai būs funkcijas Un

Definīcija: Ja funkcija F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums, tad visu antiatvasinājumu kopu F(x)+ C sauc. nenoteikts integrālis f(x) un apzīmē:

∫f(х)dх.

Pēc definīcijas:

f(x) — integrand funkcija,

f(х)dх - integrand izteiksme

No tā izriet, ka nenoteikts integrālis ir funkcija vispārējs skats, kura diferenciālis ir vienāds ar integrandu un kura atvasinājums attiecībā pret mainīgo X visos punktos ir vienāds ar integrandu.

AR ģeometriskais punkts redze nenoteikts integrālis ir līkņu saime, no kurām katra tiek iegūta, nobīdot vienu no līknēm paralēli sev uz augšu vai uz leju, tas ir, pa asi Ak(7.2. att.).

Tiek izsaukta noteiktas funkcijas nenoteiktā integrāļa aprēķināšanas operācija integrācija šī funkcija.

Ņemiet vērā, ka, ja elementāras funkcijas atvasinājums vienmēr ir elementāra funkcija, tad elementārās funkcijas antiatvasinājumu var neatveidot ar ierobežotu elementāru funkciju skaitu.

Tagad apsvērsim nenoteiktā integrāļa īpašības.

No 2. definīcijas izriet:

1. Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrandu, tas ir, ja F′(x) = f(x) , Tas

2. Nenoteiktā integrāļa diferenciālis ir vienāds ar integrādu

. (7.4)

No diferenciāļa un īpašības definīcijas (7.3.)

3. Kādas funkcijas diferenciāļa nenoteiktais integrālis ir vienāds ar šo funkciju līdz konstantam termiņam, tas ir (7.5)

Antiatvasinājums.

Antiatvasinājumu ir viegli saprast ar piemēru.

Ņemsim funkciju y = x 3. Kā mēs zinām no iepriekšējām sadaļām, atvasinājums no X 3 ir 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Tāpēc no funkcijas y = x 3 mēs saņemam jauna funkcija: plkst = 3X 2 .
Tēlaini izsakoties, funkcija plkst = X 3 ražota funkcija plkst = 3X 2 un ir tā “vecāks”. Matemātikā nav vārda “vecāks”, bet ir saistīts jēdziens: antiatvasinājums.

Tas ir: funkcija y = x 3 ir funkcijas antiatvasinājums plkst = 3X 2 .

Antiatvasinājuma definīcija:

Mūsu piemērā ( X 3)" = 3X 2 tāpēc y = x 3 – antiderivatīvs priekš plkst = 3X 2 .

Integrācija.

Kā zināms, dotās funkcijas atvasinājuma atrašanas procesu sauc par diferenciāciju. Un apgriezto darbību sauc par integrāciju.

Piemērs-skaidrojums:

plkst = 3X 2 + grēks x.

Risinājums:

Mēs zinām, ka antiatvasinājums 3 X 2 ir X 3 .

Antiatvasinājums grēkam x ir –cos x.

Mēs pievienojam divus antiatvasinājumus un iegūstam antiatvasinājumu dotajai funkcijai:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

Atbilde:
funkcijai plkst = 3X 2 + grēks x y = x 3 – cos x.

Piemērs-skaidrojums:

Atradīsim funkcijas antiatvasinājumu plkst= 2 grēks x.

Risinājums:

Mēs atzīmējam, ka k = 2. Grēka antiatvasinājums x ir –cos x.

Tāpēc funkcijai plkst= 2 grēks x antiatvasinājums ir funkcija plkst= –2cos x.
Koeficients 2 funkcijā y = 2 sin x atbilst antiatvasinājuma koeficientam, no kura šī funkcija tika veidota.

Piemērs-skaidrojums:

Atradīsim funkcijas antiatvasinājumu y= grēks 2 x.

Risinājums:

Mēs to pamanām k= 2. Antiatvasinājums grēkam x ir –cos x.

Mēs izmantojam mūsu formulu, lai atrastu funkcijas antiatvasinājumu y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Atbilde: funkcijai y= grēks 2 x antiatvasinājums ir funkcija y = – ----
2

(4)

Piemērs-skaidrojums.

Ņemsim funkciju no iepriekšējā piemēra: y= grēks 2 x.

Šai funkcijai visiem antiatvasinājumiem ir šāda forma: