Atrodiet funkcijas atvasinājumu ar detalizētu risinājumu. Kā atrast atvasinājumu? Risinājumu piemēri

Uz kuriem mēs analizējām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskās metodes atvasinājumu atrašana. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.

Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.

Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:

Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas – un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.

Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.

! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālus izteicienus “ārējā funkcija”, “iekšējā” funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.

Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “saplēst gabalos”:

IN šajā piemērā No maniem paskaidrojumiem jau ir intuitīvi skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, un polinoms ir iekšēja funkcija (iegulšana) un ir ārēja funkcija.

Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.

Gadījumā vienkāršus piemērusŠķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es iesaku izmantot šādu paņēmienu, ko var izdarīt garīgi vai melnrakstā.

Iedomāsimies, ka mums ir jāaprēķina izteiksmes vērtība kalkulatorā (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).

Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija:

Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija:

Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu .

Sāksim lemt. No nodarbības Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:

Sākumā atrodam ārējās funkcijas atvasinājumu (sinusu), apskatām elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un pamanām, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.

Nu, tas ir pilnīgi skaidrs

Formulas piemērošanas rezultāts galīgajā formā tas izskatās šādi:

Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:

Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā vienmēr, mēs pierakstām:

Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija:

Un tikai tad tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija:

Pēc formulas , vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts nākamais:

Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās:

Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz pielāgot rezultātu:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?

5. piemērs

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:

Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu :

Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:

Gatavs. Varat arī samazināt izteiksmi līdz kopsaucējam iekavās un pierakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. , taču šāds risinājums izskatīsies pēc neparastas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , taču daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:

Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:

Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu :

Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:

Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos nereti var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā iekšā ligzdo uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?

Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:

Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:

Un visbeidzot, mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām:

Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.

Sāksim lemt

Saskaņā ar noteikumu Vispirms jums jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Apskatām atvasinājumu tabulu un atrodam atvasinājumu eksponenciālā funkcija: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad, sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts nākamais.

Ieslēgts šī nodarbība mācīsimies atrast kompleksas funkcijas atvasinājums. Nodarbība ir loģisks stundas turpinājums Kā atrast atvasinājumu?, kurā apskatījām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskajiem paņēmieniem atvasinājumu atrašanai. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.

Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.

Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:

Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.

Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.

Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.

Vienkāršu piemēru gadījumā šķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es iesaku izmantot šādu paņēmienu, ko var izdarīt garīgi vai melnrakstā.

Iedomāsimies, ka mums ir jāaprēķina izteiksmes vērtība kalkulatorā (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).

Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija:

Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija:

Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS Ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu.

Sāksim lemt. No klases Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - izteiksmi ievietojam iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam insultu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.

Nu, tas ir pilnīgi skaidrs

Formulas piemērošanas gala rezultāts izskatās šādi:

Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:

Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā vienmēr, mēs pierakstām:

Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija:

Un tikai tad tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija:

Saskaņā ar formulu vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

5. piemērs

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:

Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. , bet šāds risinājums izskatīsies pēc smieklīgas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , taču daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:

Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:

Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu:

Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:

Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?

Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:

Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:

Un visbeidzot, mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām:

Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.

Sāksim lemt

Saskaņā ar likumu vispirms ir jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu un atrodam eksponenciālās funkcijas atvasinājumu: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds.

Definīcija.Ļaujiet funkcijai $y = f(x)$ definēt noteiktā intervālā, kurā ir punkts $x_0$. Piešķirsim argumentam pieaugumu $\Delta x $, lai tas neatstātu šo intervālu. Atradīsim atbilstošo funkcijas $\Delta y $ inkrementu (pārejot no punkta $x_0 $ uz punktu $x_0 + \Delta x $) un izveidosim relāciju $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. Ja šai attiecībai ir ierobežojums pie $\Delta x \rightarrow 0$, tad norādītais ierobežojums tiek izsaukts funkcijas atvasinājums$y=f(x) $ punktā $x_0 $ un apzīmē $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbols y bieži tiek izmantots, lai apzīmētu atvasinājumu. Ņemiet vērā, ka y" = f(x) ir jauna funkcija, bet dabiski saistīta ar funkciju y = f(x), kas definēta visos punktos x, kuros pastāv iepriekš minētā robeža. Šo funkciju sauc šādi: funkcijas y = f(x) atvasinājums.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir šāds. Ja funkcijas y = f(x) grafikam ir iespējams uzzīmēt pieskares punktā ar abscisu x=a, kas nav paralēls y asij, tad f(a) izsaka pieskares slīpumu. :
$k = f"(a)$

Tā kā $k = tg(a) $, tad vienādība $f"(a) = tan(a) $ ir patiesa.

Tagad interpretēsim atvasinājuma definīciju no aptuveno vienādību viedokļa. Lai funkcijai $y = f(x)$ ir atvasinājums noteiktā punktā $x$:
$$ \lim_(\Delta x \līdz 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tas nozīmē, ka punkta x tuvumā aptuvenā vienādība $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, t.i., $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x$. Rezultātā iegūtās aptuvenās vienlīdzības jēgpilnā nozīme ir šāda: funkcijas pieaugums ir “gandrīz proporcionāls” argumenta pieaugumam, un proporcionalitātes koeficients ir atvasinājuma vērtība dots punkts X. Piemēram, funkcijai $y = x^2$ ir derīga aptuvenā vienādība $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Ja mēs rūpīgi analizēsim atvasinājuma definīciju, mēs atklāsim, ka tajā ir algoritms tā atrašanai.

Formulēsim to.

Kā atrast funkcijas y = f(x) atvasinājumu?

1. Labojiet $x$ vērtību, atrodiet $f(x)$
2. Piešķiriet argumentam $x$ pieaugumu $\Delta x$, dodieties uz jauns punkts$x+ \Delta x $, atrodiet $f(x+ \Delta x) $
3. Atrodiet funkcijas pieaugumu: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Izveidojiet relāciju $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Aprēķiniet $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Šī robeža ir funkcijas atvasinājums punktā x.

Ja funkcijai y = f(x) ir atvasinājums punktā x, tad to sauc par diferencējamu punktā x. Tiek izsaukta procedūra funkcijas y = f(x) atvasinājuma atrašanai diferenciācija funkcijas y = f(x).

Apspriedīsim šādu jautājumu: kā funkcijas nepārtrauktība un diferenciācija kādā punktā ir savstarpēji saistītas?

Lai funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x. Pēc tam funkcijas grafikam punktā M(x; f(x)) var uzzīmēt tangensu, un, atceroties, pieskares leņķiskais koeficients ir vienāds ar f "(x). Šāds grafiks nevar "izlauzties". punktā M, t.i., funkcijai ir jābūt nepārtrauktai punktā x.

Tie bija "praktiski" argumenti. Sniegsim stingrāku pamatojumu. Ja funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x, tad pastāv aptuvenā vienādība $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$. Ja šajā vienādībā $\Delta x) $ tiecas uz nulli, tad $\Delta y $ ir tendence uz nulli, un tas ir nosacījums funkcijas nepārtrauktībai punktā.

Tātad, ja funkcija ir diferencējama punktā x, tad tā ir nepārtraukta šajā punktā.

Apgrieztais apgalvojums nav patiess. Piemēram: funkcija y = |x| ir nepārtraukts visur, it īpaši punktā x = 0, bet funkcijas grafika pieskare “savienojuma punktā” (0; 0) neeksistē. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam nevar uzvilkt tangensu, tad atvasinājums šajā punktā nepastāv.

Vēl viens piemērs. Funkcija $y=\sqrt(x)$ ir nepārtraukta visā skaitļu taisnē, ieskaitot punktu x = 0. Un funkcijas grafika pieskare pastāv jebkurā punktā, arī punktā x = 0 Bet šajā punktā pieskare sakrīt ar y asi, t.i., tā ir perpendikulāra abscisu asij, tās vienādojuma forma ir x = 0. Slīpuma koeficientsšādas rindas nav, kas nozīmē, ka $f"(0) $ arī nepastāv

Tātad, mēs iepazināmies ar jaunu funkcijas īpašību - diferenciāciju. Kā no funkcijas grafika var secināt, ka tā ir diferencējama?

Atbilde faktiski ir sniegta iepriekš. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam ir iespējams uzzīmēt pieskari, kas nav perpendikulāra abscisu asij, tad šajā punktā funkcija ir diferencējama. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam pieskares nav vai tā ir perpendikulāra abscisu asij, tad šajā punktā funkcija nav diferencējama.

Diferencēšanas noteikumi

Atvasinājuma atrašanas operāciju sauc diferenciācija. Veicot šo operāciju, nereti nākas strādāt ar koeficientiem, summām, funkciju produktiem, kā arī “funkciju funkcijām”, tas ir, sarežģītām funkcijām. Pamatojoties uz atvasinājuma definīciju, mēs varam iegūt diferenciācijas noteikumus, kas atvieglo šo darbu. Ja C - konstants skaitlis un f=f(x), g=g(x) ir dažas diferencējamas funkcijas, tad sekojošais ir patiess diferenciācijas noteikumi:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sarežģītas funkcijas atvasinājums:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Dažu funkciju atvasinājumu tabula

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Problēma atrast atvasinājumu no dotā funkcija ir viens no galvenajiem matemātikas kursiem vidusskola un augstāk izglītības iestādēm. Nav iespējams pilnībā izpētīt funkciju un izveidot tās grafiku, neizmantojot tās atvasinājumu. Funkcijas atvasinājumu var viegli atrast, ja ir zināmi diferenciācijas pamatlikumi, kā arī pamatfunkciju atvasinājumu tabula. Izdomāsim, kā atrast funkcijas atvasinājumu.

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, ja argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli.

Izprast šo definīciju ir diezgan grūti, jo robeža jēdziens nav pilnībā apgūts skolā. Bet, lai atrastu dažādu funkciju atvasinājumus, nav nepieciešams saprast definīciju, atstāsim to matemātiķu ziņā un pāriesim tieši uz atvasinājuma atrašanu.

Atvasinājuma atrašanas procesu sauc par diferenciāciju. Atšķirot funkciju, mēs iegūsim jauna funkcija.

Lai tos apzīmētu, mēs izmantosim latīņu burti f, g utt.

Atvasinājumiem ir daudz dažādu apzīmējumu. Mēs izmantosim insultu. Piemēram, rakstot g" nozīmē, ka mēs atradīsim funkcijas g atvasinājumu.

Atvasinājumu tabula

Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast atvasinājumu, ir jāsniedz galveno funkciju atvasinājumu tabula. Lai aprēķinātu elementāro funkciju atvasinājumus, nav nepieciešams veikt sarežģītus aprēķinus. Pietiek tikai apskatīt tā vērtību atvasinājumu tabulā.

(sin x)"=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√ (1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√ (1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Piemērs 1. Atrodiet funkcijas y=500 atvasinājumu.

Mēs redzam, ka tā ir konstante. No atvasinājumu tabulas zināms, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli (1. formula).

Piemērs 2. Atrodiet funkcijas y=x 100 atvasinājumu.

Šī ir jaudas funkcija, kuras eksponents ir 100, un, lai atrastu tās atvasinājumu, funkcija jāreizina ar eksponentu un jāsamazina ar 1 (3. formula).

(x 100)"=100 x 99

Piemērs 3. Atrodiet funkcijas y=5 x atvasinājumu

Šī ir eksponenciāla funkcija, aprēķināsim tās atvasinājumu, izmantojot formulu 4.

Piemērs 4. Atrodiet funkcijas y= log 4 x atvasinājumu

Mēs atrodam logaritma atvasinājumu, izmantojot formulu 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Diferencēšanas noteikumi

Tagad izdomāsim, kā atrast funkcijas atvasinājumu, ja tā nav tabulā. Lielākā daļa pētīto funkciju nav elementāras, bet ir elementāru funkciju kombinācijas, izmantojot vienkāršas darbības (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana un reizināšana ar skaitli). Lai atrastu to atvasinājumus, jums jāzina diferencēšanas noteikumi. Zemāk burti f un g apzīmē funkcijas, un C ir konstante.

1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes

Piemērs 5. Atrodiet funkcijas y= 6*x 8 atvasinājumu

Mēs to izņemam nemainīgs koeficients 6 un atšķirt tikai x 4 . Šī ir jaudas funkcija, kuras atvasinājums tiek atrasts, izmantojot atvasinājumu tabulas 3. formulu.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48*x7

2. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu

(f + g)"=f" + g"

Piemērs 6. Atrodiet funkcijas y= x 100 +sin x atvasinājumu

Funkcija ir divu funkciju summa, kuru atvasinājumus mēs varam atrast tabulā. Tā kā (x 100)"=100 x 99 un (sin x)"=cos x. Summas atvasinājums būs vienāds ar šo atvasinājumu summu:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību

(f – g)"=f" - g"

7. piemērs. Atrodiet funkcijas y= x 100 – cos x atvasinājumu

Šī funkcija ir divu funkciju atšķirība, kuru atvasinājumus mēs varam atrast arī tabulā. Tad starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību un neaizmirstiet nomainīt zīmi, jo (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Piemērs 8. Atrodiet funkcijas y=e x +tg x– x 2 atvasinājumu.

Šai funkcijai ir gan summa, gan atšķirība, atradīsim katra termina atvasinājumus:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tad sākotnējās funkcijas atvasinājums ir vienāds ar:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Produkta atvasinājums

(f * g)"=f" * g + f * g"

9. piemērs. Atrodiet funkcijas y= cos x *e x atvasinājumu

Lai to izdarītu, vispirms atrodam katra faktora atvasinājumu (cos x)"=–sin x un (e x)"=e x. Tagad visu aizstāsim produkta formulā. Mēs reizinām pirmās funkcijas atvasinājumu ar otro un saskaitām pirmās funkcijas reizinājumu ar otrās funkcijas atvasinājumu.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Koeficienta atvasinājums

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Piemērs 10. Atrodiet funkcijas y= x 50 /sin x atvasinājumu

Lai atrastu koeficienta atvasinājumu, vispirms atsevišķi atrodam skaitītāja un saucēja atvasinājumu: (x 50)"=50 x 49 un (sin x)"= cos x. Formulā aizstājot koeficienta atvasinājumu, mēs iegūstam:

(x 50 /sin x)"= 50x49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Sarežģītas funkcijas atvasinājums

Sarežģīta funkcija ir funkcija, ko attēlo vairāku funkciju sastāvs. Ir arī noteikums sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

(u (v))"=u"(v)*v"

Izdomāsim, kā atrast šādas funkcijas atvasinājumu. Lai y= u(v(x)) ir kompleksa funkcija. Sauksim funkciju u par ārējo un v - iekšējo.

Piemēram:

y=sin (x 3) ir sarežģīta funkcija.

Tad y=sin(t) ir ārēja funkcija

t=x 3 - iekšējais.

Mēģināsim aprēķināt šīs funkcijas atvasinājumu. Saskaņā ar formulu jums jāreizina iekšējo un ārējo funkciju atvasinājumi.

(sin t)"=cos (t) - ārējās funkcijas atvasinājums (kur t = x 3)

(x 3)"=3x 2 - iekšējās funkcijas atvasinājums

Tad (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 ir sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Ieejas līmenis

Funkcijas atvasinājums. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Iedomāsimies taisnu ceļu, kas iet cauri paugurainam. Tas ir, tas iet uz augšu un uz leju, bet negriežas ne pa labi, ne pa kreisi. Ja ass ir vērsta horizontāli gar ceļu un vertikāli, tad ceļa līnija būs ļoti līdzīga kādas nepārtrauktas funkcijas grafikam:

Ass ir noteikts nulles augstuma līmenis, kā to mēs izmantojam jūras līmeni.

Pa šādu ceļu virzoties uz priekšu, mēs arī virzāmies uz augšu vai uz leju. Var arī teikt: mainoties argumentam (kustība pa abscisu asi), mainās funkcijas vērtība (kustība pa ordinātu asi). Tagad padomāsim, kā noteikt mūsu ceļa “stāvumu”? Kāda tā varētu būt vērtība? Tas ir ļoti vienkārši: cik daudz mainīsies augstums, virzoties uz priekšu noteiktu attālumu. Patiešām, dažādos ceļa posmos, virzoties uz priekšu (pa x asi) par vienu kilometru, mēs pacelsimies vai kritīsimies par dažādi daudzumi metri attiecībā pret jūras līmeni (gar ordinātu asi).

Apzīmēsim progresu (lasiet “delta x”).

Grieķu burtu (delta) matemātikā parasti izmanto kā prefiksu, kas nozīmē "izmaiņas". Tas ir - tas ir daudzuma izmaiņas, - izmaiņas; tad kas tas ir? Tieši tā, lieluma izmaiņas.

Svarīgi: izteiksme ir viens vesels, viens mainīgais. Nekad neatdaliet “delta” no “x” vai jebkura cita burta!

Tas ir, piemēram,.

Tātad, mēs esam virzījušies uz priekšu, horizontāli, par. Ja salīdzinām ceļa līniju ar funkcijas grafiku, tad kā apzīmēsim kāpumu? Noteikti,. Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs paceļamies augstāk.

Vērtību ir viegli aprēķināt: ja sākumā bijām augstumā un pēc pārvietošanās atradāmies augstumā, tad. Ja beigu punkts ir zemāks par sākuma punktu, tas būs negatīvs – tas nozīmē, ka mēs nevis ejam augšup, bet gan lejup.

Atgriezīsimies pie "stāvuma": šī ir vērtība, kas parāda, cik (strauji) augstums palielinās, virzoties uz priekšu par vienu attāluma vienību:

Pieņemsim, ka kādā ceļa posmā, virzoties uz priekšu par kilometru, ceļš paceļas par kilometru uz augšu. Tad slīpums šajā vietā ir vienāds. Un ja ceļš, virzoties uz priekšu par m, nokritās par km? Tad slīpums ir vienāds.

Tagad paskatīsimies uz kalna virsotni. Ja paņem posma sākumu puskilometru pirms virsotnes, bet beigas puskilometru pēc tās, tad var redzēt, ka augstums ir gandrīz vienāds.

IN īstā dzīve Attālumu mērīšana līdz tuvākajam milimetram ir vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr tiecas pēc pilnības. Tāpēc koncepcija tika izgudrota bezgala mazs, tas ir, absolūtā vērtība ir mazāka par jebkuru skaitli, ko varam nosaukt. Piemēram, jūs sakāt: viena triljonā daļa! Cik mazāk? Un jūs dalāt šo skaitli ar - un tas būs vēl mazāks. Un tā tālāk. Ja mēs vēlamies rakstīt, ka daudzums ir bezgalīgi mazs, mēs rakstām šādi: (lasām “x mēdz uz nulli”). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav vienāds ar nulli! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka jūs varat dalīt ar to.

Jēdziens, kas ir pretējs bezgalīgi mazam, ir bezgalīgi liels (). Jūs, iespējams, jau esat ar to saskārušies, strādājot pie nevienlīdzības: šis skaitlis ir moduli lielāks par jebkuru skaitli, ko varat iedomāties. Ja izdomājat lielāko iespējamo skaitli, vienkārši reiziniet to ar divi, un jūs iegūsit vēl lielāku skaitli. Un bezgalība ir vēl lielāka par to, kas notiek. Faktiski bezgalīgi lielais un bezgalīgi mazais ir viens otra apgriezti, tas ir, pie un otrādi: pie.

Tagad atgriezīsimies pie sava ceļa. Ideāli aprēķinātais slīpums ir slīpums, kas aprēķināts bezgalīgi mazam ceļa segmentam, tas ir:

Es atzīmēju, ka ar bezgalīgi mazu nobīdi arī augstuma izmaiņas būs bezgalīgi mazas. Bet ļaujiet man atgādināt, ka bezgalīgi mazs nenozīmē vienāds ar nulli. Ja bezgalīgi mazus skaitļus sadala vienu ar otru, var iegūt pilnīgi parastu skaitli, piemēram, . Tas ir, viena maza vērtība var būt tieši reizes lielāka par citu.

Priekš kam tas viss? Ceļš, stāvums... Mēs neejam uz autoralliju, bet mācām matemātiku. Un matemātikā viss ir tieši tāpat, tikai sauc savādāk.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam.

Pakāpeniski matemātikā viņi sauc pārmaiņas. Tiek izsaukts, cik lielā mērā arguments () mainās, pārvietojoties pa asi argumentu pieaugums un tiek apzīmēts, cik daudz ir mainījusies funkcija (augstums), virzoties uz priekšu pa asi par attālumu funkcijas pieaugums un ir norādīts.

Tātad funkcijas atvasinājums ir attiecība pret kad. Mēs apzīmējam atvasinājumu ar tādu pašu burtu kā funkcija, tikai ar pirmskaitli augšējā labajā stūrī: vai vienkārši. Tātad, rakstīsim atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar ceļu, šeit, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs.

Vai atvasinājums var būt vienāds ar nulli? Noteikti. Piemēram, ja braucam pa līdzenu horizontālu ceļu, stāvums ir nulle. Un tā ir taisnība, augstums nemaz nemainās. Tā tas ir ar atvasinājumu: nemainīgas funkcijas (konstantes) atvasinājums ir vienāds ar nulli:

jo šādas funkcijas pieaugums ir vienāds ar nulli jebkurai.

Atcerēsimies piemēru kalna galā. Izrādījās, ka varēja sakārtot segmenta galus gar dažādas puses no augšas, lai augstums galos būtu vienāds, tas ir, segments ir paralēls asij:

Bet lieli segmenti liecina par neprecīzu mērījumu. Mēs pacelsim savu segmentu uz augšu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad esam bezgalīgi tuvu augšai, segmenta garums kļūs bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma starpība tās galos ir vienāda ar nulli (tā nemēdz, bet ir vienāda ar). Tātad atvasinājums

To var saprast tā: kad mēs stāvam pašā augšā, neliela nobīde pa kreisi vai pa labi maina mūsu augumu niecīgi.

Ir arī tīri algebrisks skaidrojums: pa kreisi no virsotnes funkcija palielinās, bet pa labi - samazinās. Kā mēs noskaidrojām iepriekš, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs. Bet mainās raiti, bez lēcieniem (jo ceļš nekur krasi nemaina savu slīpumu). Tāpēc starp negatīvo un pozitīvas vērtības noteikti ir jābūt. Tā būs vieta, kur funkcija ne palielinās, ne samazinās – virsotnes punktā.

Tas pats attiecas uz sile (laukums, kurā funkcija kreisajā pusē samazinās un labajā pusē palielinās):

Nedaudz vairāk par pieaugumu.

Tāpēc mēs mainām argumentu uz lielumu. No kādas vērtības mēs maināmies? Par ko tas (arguments) tagad ir kļuvis? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība tajā ir vienāda. Tad mēs veicam to pašu pieaugumu: mēs palielinām koordinātu par. Kāds tagad ir arguments? Ļoti viegli:. Kāda tagad ir funkcijas vērtība? Kur atrodas arguments, arī funkcija: . Kā ar funkciju pieaugumu? Nekas jauns: šī joprojām ir summa, par kādu funkcija ir mainījusies:

Praktizējiet pieauguma atrašanu:

Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā, kad argumenta pieaugums ir vienāds ar.
Tas pats attiecas uz funkciju punktā.

Risinājumi:

Dažādos punktos ar vienu un to pašu argumenta pieaugumu funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā punktā ir atšķirīgs (par to mēs runājām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, rakstot atvasinājumu, mums jānorāda, kurā brīdī:

Jaudas funkcija.

Jaudas funkcija ir funkcija, kurā arguments ir zināmā mērā (loģisks, vai ne?).

Turklāt - jebkurā mērā: .

Vienkāršākais gadījums ir, ja eksponents ir:

Atradīsim tā atvasinājumu punktā. Atcerēsimies atvasinājuma definīciju:

Tātad arguments mainās no uz. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir šis. Bet funkcija jebkurā punktā ir vienāda ar tās argumentu. Tāpēc:

Atvasinājums ir vienāds ar:

Atvasinājums ir vienāds ar:

b) Tagad apsveriet kvadrātiskā funkcija (): .

Tagad atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var neņemt vērā, jo tā ir bezgalīgi maza un līdz ar to nenozīmīga uz cita termina fona:

Tātad, mēs izdomājām citu noteikumu:

c) Turpinām loģisko sēriju: .

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: atveriet pirmo iekavu, izmantojot formulu summas kuba saīsinātai reizināšanai, vai faktorizējiet visu izteiksmi, izmantojot kubu starpības formulu. Mēģiniet to izdarīt pats, izmantojot kādu no ieteiktajām metodēm.

Tātad, es saņēmu sekojošo:

Un atkal atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka mēs varam neņemt vērā visus terminus, kas satur:

Mēs iegūstam:.

d) Līdzīgus noteikumus var iegūt lielām jaudām:

e) Izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt jaudas funkcijai ar patvaļīgu eksponentu, pat ne veselu skaitli:

(2)

Noteikumu var formulēt ar vārdiem: “pakāpe tiek virzīta uz priekšu kā koeficients un pēc tam samazināta par ”.

Šo noteikumu mēs pierādīsim vēlāk (gandrīz pašās beigās). Tagad apskatīsim dažus piemērus. Atrodiet funkciju atvasinājumu:

(divos veidos: pēc formulas un izmantojot atvasinājuma definīciju - aprēķinot funkcijas pieaugumu);

. Ticiet vai nē, šī ir jaudas funkcija. Ja jums ir jautājumi, piemēram, “Kā tas ir? Kur ir grāds?”, atceries tēmu “”!
Jā, jā, arī sakne ir grāds, tikai daļskaitlis: .
Tātad mūsējie kvadrātsakne- tas ir tikai grāds ar indikatoru:
.
Mēs meklējam atvasinājumu, izmantojot nesen apgūto formulu:
Ja šajā brīdī atkal kļūst neskaidrs, atkārtojiet tēmu “”!!! (apmēram grāds ar negatīvu eksponentu)
. Tagad eksponents:
Un tagad, izmantojot definīciju (vai jūs jau esat aizmirsis?):
;
.
Tagad, kā parasti, mēs neņemam vērā terminu, kas satur:
.
. Iepriekšējo gadījumu kombinācija: .

Trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu no augstākās matemātikas:

Ar izteiksmi.

Pierādījumus apgūsit institūta pirmajā kursā (un, lai tur nokļūtu, labi jānokārto vienotais valsts eksāmens). Tagad es to parādīšu tikai grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija neeksistē - punkts grafikā tiek izgriezts. Bet jo tuvāk vērtībai, jo tuvāk ir funkcija.

Turklāt jūs varat pārbaudīt šo noteikumu, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nekautrējies, paņem kalkulatoru, mēs vēl neesam vienotajā valsts eksāmenā.

Tātad, mēģināsim: ;

Neaizmirstiet pārslēgt savu kalkulatoru uz Radiānu režīmu!

utt. Mēs redzam, ka jo mazāka, jo tuvāka koeficienta vērtība.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti, noskaidrosim tā pieaugumu:

Pārvērtīsim sinusu starpību reizinājumā. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu “”): .

Tagad atvasinājums:

Veiksim nomaiņu: . Tad bezgalīgi mazam tas ir arī bezgalīgi mazs: . Izteiksmei ir šāda forma:

Un tagad mēs to atceramies ar izteicienu. Un arī, ja summā (tas ir, pie) var neņemt vērā bezgalīgi mazu lielumu.

Tātad, mēs iegūstam šādu noteikumu: sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:

Tie ir pamata (“tabulas”) atvasinājumi. Šeit tie ir vienā sarakstā:

Vēlāk mēs tiem pievienosim vēl dažus, taču tie ir vissvarīgākie, jo tie tiek izmantoti visbiežāk.

Prakse:

Atrast funkcijas atvasinājumu punktā;
Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Risinājumi:

Pirmkārt, atradīsim atvasinājumu iekšā vispārējs skats, un pēc tam aizstājiet tā vērtību:
;
.
Šeit mums ir kaut kas līdzīgs jaudas funkcija. Mēģināsim viņu pievest
normāls skats:
.
Lieliski, tagad varat izmantot formulu:
.
.
. Eeeeeee.....Kas tas ir????

Labi, jums ir taisnība, mēs vēl nezinām, kā atrast šādus atvasinājumus. Šeit mums ir vairāku veidu funkciju kombinācija. Lai strādātu ar viņiem, jums jāapgūst vēl daži noteikumi:

Eksponents un naturālais logaritms.

Matemātikā ir funkcija, kuras atvasinājums jebkurai vērtībai vienlaikus ir vienāds ar pašas funkcijas vērtību. To sauc par “eksponentu”, un tā ir eksponenciāla funkcija

Šīs funkcijas pamatā ir konstante – tā ir bezgalīga decimālzīme, tas ir, iracionāls skaitlis (piemēram,). To sauc par Eilera numuru, tāpēc to apzīmē ar burtu.

Tātad, noteikums:

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams.

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Izstādes dalībnieks un naturālais logaritms- funkcijas ir unikāli vienkāršas atvasinājumu ziņā. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas arī viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķu diferenciālis ir tāds pats funkcijas pieaugums pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

punktā;
punktā;
punktā;
punktā.

Risinājumi:

(atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

Atrast funkciju un atvasinājumus;
Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Šim nolūkam mēs izmantosim vienkāršs noteikums: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai tas izdevās?

Lūk, pārbaudiet pats:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vairāk vienkāršā formā. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas noticis? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Svarīga funkcija sarežģītas funkcijas: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Pirmajam piemēram, .

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.

Mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Tūlīt ir skaidrs, ka šī ir trīs līmeņu sarežģīta funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, mēs veicam trešo darbību (mēs ieliekam šokolādi iesaiņojumā un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā: