Eksponenciālā (e pakāpē x) formulu pierādīšana un atvasināšana un eksponenciālā funkcija(a uz x jaudu). Piemēri e^2x, e^3x un e^nx atvasinājumu aprēķināšanai. Formulas augstāku pasūtījumu atvasinājumiem.

Eksponenta atvasinājums ir vienāds ar pašu eksponentu (e atvasinājums no x pakāpes ir vienāds ar e ar x pakāpi):
(1) (e x )′ = e x.

Eksponenciālas funkcijas atvasinājums ar a pakāpes bāzi ir vienāds ar pašu funkciju, kas reizināta ar naturālais logaritms no:
(2) .

Formulas atvasināšana eksponenciāla atvasināšanai, e no x pakāpes

Eksponents ir eksponenciāla funkcija, kuras bāze ir vienāda ar skaitli e, kas ir šāda robeža:
.
Šeit tas var būt naturāls vai reāls skaitlis. Tālāk mēs iegūstam formulu (1) eksponenciāla atvasinājumam.

Eksponenciālās atvasinājuma formulas atvasināšana

Apsveriet eksponenciālo e pret x pakāpju:
y = e x .
Šī funkcija ir definēta ikvienam.
(3) .

Atradīsim tā atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x.
Pēc definīcijas atvasinājums ir šāds ierobežojums: Pārveidosim šo izteiksmi, lai to reducētu līdz zināmām matemātiskām īpašībām un likumiem. Lai to izdarītu, mums ir nepieciešami šādi fakti:
(4) ;
A) Eksponenta īpašība:
(5) ;
B) Logaritma īpašība:
(6) .
IN)
Nepārtrauktas funkcijas logaritma nepārtrauktība un ierobežojumu īpašība:Šeit ir funkcija, kurai ir ierobežojums, un šī robeža ir pozitīva.
(7) .

G)
;
.

Otrā ievērojamā ierobežojuma nozīme:
Piemērosim šos faktus mūsu ierobežojumam (3). Mēs izmantojam īpašumu (4):
.
Veiksim aizstāšanu.
.

Tad ; .
.

Sakarā ar eksponenciālā nepārtrauktību,
Tāpēc, kad,.
.

Rezultātā mēs iegūstam:
.
Veiksim aizstāšanu. Tad . Pie , . Un mums ir: Izmantosim logaritma īpašību (5):
.

.

Tad

Pielietosim īpašumu (6). Tā kā ir pozitīva robeža un logaritms ir nepārtraukts, tad:
(8)
Šeit mēs izmantojām arī otro

ievērojama robeža (7). Tad Tādējādi mēs ieguvām formulu (1) eksponenciāla atvasinājumam.
;
.
Eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana
.

Tagad mēs iegūstam formulu (2) eksponenciālās funkcijas atvasinājumam ar a pakāpes bāzi.

Mēs ticam, ka un.
(14) .
(1) .

Mēs redzam, ka funkcijas (14) atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju (14). Diferencējot (1), iegūstam otrās un trešās kārtas atvasinājumus:
;
.

Tas parāda, ka n-tās kārtas atvasinājums arī ir vienāds ar sākotnējo funkciju:
.

Eksponenciālās funkcijas augstāku kārtu atvasinājumi

Tagad apsveriet eksponenciālu funkciju ar a pakāpes bāzi:
.
Mēs atradām tā pirmās kārtas atvasinājumu:
(15) .

Diferencējot (15), iegūstam otrās un trešās kārtas atvasinājumus:
;
.

Mēs redzam, ka katra diferenciācija noved pie sākotnējās funkcijas reizināšanas ar .
.

Tāpēc n-tās kārtas atvasinājumam ir šāda forma:
Kompleksie atvasinājumi. Logaritmisks atvasinājums.

Jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Mēs turpinām uzlabot savu diferenciācijas tehniku. Šajā nodarbībā mēs apkoposim apskatīto materiālu, apskatīsim sarežģītākus atvasinājumus, kā arī iepazīsimies ar jauniem paņēmieniem un trikiem, kā atrast atvasinājumu, jo īpaši ar logaritmisko atvasinājumu. Tiem lasītājiem, kuriem ir zems sagatavotības līmenis, vajadzētu atsaukties uz rakstu Kā atrast atvasinājumu? Risinājumu piemēri , kas ļaus paaugstināt savas prasmes gandrīz no nulles. Tālāk jums rūpīgi jāizpēta lapa Sarežģītas funkcijas atvasinājums , saprast un atrisināt Visi manis sniegtie piemēri.Šī nodarbība loģiski trešais, un pēc tā apgūšanas jūs pārliecinoši atšķirsit diezgan sarežģītas funkcijas. Nav vēlams ieņemt pozīciju “Kur vēl? Jā, ar to pietiek ”, jo visi piemēri un risinājumi ir ņemti no patiesības testiem

un ar tiem bieži saskaras praksē. , kas ļaus paaugstināt savas prasmes gandrīz no nulles. Tālāk jums rūpīgi jāizpēta lapa Sāksim ar atkārtošanu. Klasē Mēs apskatījām vairākus piemērus ar detalizētiem komentāriem. Diferenciālrēķina un citu sadaļu izpētes laikā matemātiskā analīze

– ļoti bieži nāksies atšķirt, un ne vienmēr ir ērti (un ne vienmēr nepieciešams) piemērus aprakstīt ļoti detalizēti. Tāpēc praktizēsim atvasinājumu atrašanu mutiski. Tam vispiemērotākie “kandidāti” ir visvienkāršāko un sarežģīto funkciju atvasinājumi, piemēram: :

Saskaņā ar sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu Nākotnē pētot citas matanas tēmas, šāds detalizēts ieraksts visbiežāk nav nepieciešams, tiek pieņemts, ka students prot atrast šādus atvasinājumus autopilotā. Iedomāsimies, ka pulksten 3 no rīta iezvanījās telefons un patīkama balss .

jautāja: "Kāds ir divu X pieskares atvasinājums?" Tam vajadzētu sekot gandrīz tūlītējai un pieklājīgai atbildei:

Pirmais piemērs uzreiz būs paredzēts neatkarīgam risinājumam.

Atrodiet šādus atvasinājumus mutiski, vienā darbībā, piemēram: . Lai pabeigtu uzdevumu, jums tikai jāizmanto elementāru funkciju atvasinājumu tabula(ja vēl neesat to atcerējies). Ja rodas grūtības, iesaku vēlreiz izlasīt nodarbību , kas ļaus paaugstināt savas prasmes gandrīz no nulles. Tālāk jums rūpīgi jāizpēta lapa.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Atbildes nodarbības beigās

Kompleksie atvasinājumi

Pēc iepriekšējas artilērijas sagatavošanas piemēri ar 3-4-5 funkciju ligzdām būs mazāk biedējoši. Šie divi piemēri kādam var šķist sarežģīti, bet, ja jūs tos saprotat (kāds cietīs), tad gandrīz viss pārējais diferenciālrēķinos šķitīs kā bērnu joks.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā jau minēts, meklējot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pirmkārt, tas ir nepieciešams Pareizi IZPROTIET savus ieguldījumus. Gadījumos, kad rodas šaubas, atgādinu noderīgs triks: mēs ņemam, piemēram, “x” eksperimentālo nozīmi un mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aizstāt šo nozīmi ar “šausmīgo izteiksmi”.

1) Vispirms mums ir jāaprēķina izteiksme, kas nozīmē, ka summa ir dziļākā iegulšana.

2) Tad jums jāaprēķina logaritms:

4) Pēc tam sagrieziet kosinusu kubā:

5) Piektajā solī atšķirība:

6) Un visbeidzot, ārējā funkcija ir kvadrātsakne:

Formula sarežģītas funkcijas diferencēšanai tiek piemēroti apgrieztā secībā, sākot no attālākās funkcijas līdz iekšējai. Mēs nolemjam:

Šķiet, ka kļūdu nav...

(1) Ņem kvadrātsaknes atvasinājumu.

(2) Mēs ņemam starpības atvasinājumu, izmantojot noteikumu

(3) Trīskārša atvasinājums ir nulle. Otrajā termiņā mēs ņemam pakāpes atvasinājumu (kubu).

(4) Ņem kosinusa atvasinājumu.

(5) Ņem logaritma atvasinājumu.

(6) Visbeidzot, mēs ņemam dziļākās iegulšanas atvasinājumu.

Tas var šķist pārāk grūti, taču šis nav brutālākais piemērs. Ņemiet, piemēram, Kuzņecova kolekciju, un jūs novērtēsiet visu analizētā atvasinājuma skaistumu un vienkāršību. Es pamanīju, ka viņiem patīk eksāmenā dot līdzīgu lietu, lai pārbaudītu, vai students saprot, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu, vai nesaprot.

Šis piemērs ir paredzēts, lai jūs to atrisinātu patstāvīgi.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Padoms: vispirms piemērojam linearitātes noteikumus un produktu diferenciācijas likumu

Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko mazāku un jaukāku.
Nereti piemērā tiek parādīts nevis divu, bet trīs funkciju reizinājums. Kā atrast trīs faktoru reizinājuma atvasinājumu?

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Vispirms paskatāmies, vai ir iespējams trīs funkciju reizinājumu pārvērst par divu funkciju reizinājumu? Piemēram, ja produktā būtu divi polinomi, tad mēs varētu atvērt iekavas. Bet aplūkotajā piemērā visas funkcijas ir atšķirīgas: pakāpe, eksponents un logaritms.

Šādos gadījumos tas ir nepieciešams secīgi piemērot produktu diferenciācijas noteikumu divreiz

Viltība ir tāda, ka ar “y” mēs apzīmējam divu funkciju reizinājumu: , un ar “ve” apzīmējam logaritmu: . Kāpēc to var izdarīt? Vai tiešām – tas nav divu faktoru rezultāts un noteikums nedarbojas?! Nav nekā sarežģīta:

Tagad atliek šo noteikumu piemērot otrreiz iekavās:

Varat arī sagriezties un kaut ko izlikt iekavās, taču šajā gadījumā labāk ir atstāt atbildi tieši šādā formā - to būs vieglāk pārbaudīt.

Aplūkoto piemēru var atrisināt otrajā veidā:

Abi risinājumi ir absolūti līdzvērtīgi.

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam paraugā tas ir atrisināts, izmantojot pirmo metodi.

Apskatīsim līdzīgus piemērus ar daļskaitļiem.

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat doties vairākos veidos:

Vai arī šādi:

Bet risinājums tiks uzrakstīts kompaktāk, ja vispirms izmantosim koeficienta diferenciācijas likumu , ņemot visu skaitītāju:

Principā piemērs ir atrisināts, un, ja to atstāj kā ir, tā nebūs kļūda. Bet, ja jums ir laiks, vienmēr ir ieteicams pārbaudīt melnrakstu, lai redzētu, vai atbildi var vienkāršot? Reducēsim skaitītāja izteiksmi līdz kopsaucējam un tiksim vaļā no trīsstāvu frakcijas:

Papildu vienkāršojumu trūkums ir tāds, ka pastāv risks kļūdīties nevis atvasinājuma atrašanas laikā, bet gan banālu skolas pārveidojumu laikā. No otras puses, skolotāji bieži noraida uzdevumu un lūdz atvasinājumu “atvest pie prāta”.

Vienkāršāks piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs turpinām apgūt atvasinājuma atrašanas metodes, un tagad mēs apsvērsim tipisku gadījumu, kad diferenciācijai tiek piedāvāts "briesmīgs" logaritms

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat iet garu ceļu, izmantojot sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumu:

Bet pats pirmais solis uzreiz iedzina jūs izmisumā - jums ir jāņem nepatīkamais atvasinājums frakcionēta jauda, un pēc tam arī no frakcijas.

Tieši tāpēc pirms tam kā ņemt “sarežģīta” logaritma atvasinājumu, vispirms tas tiek vienkāršots, izmantojot labi zināmas skolas īpašības:

! Ja jums ir piezīmju grāmatiņa, kopējiet šīs formulas tieši tur. Ja jums nav piezīmju grāmatiņas, nokopējiet tos uz papīra lapas, jo pārējie nodarbības piemēri būs ap šīm formulām.

Pašu risinājumu var uzrakstīt apmēram šādi:

Pārveidosim funkciju:

Atvasinājuma atrašana:

Pašas funkcijas iepriekšēja konvertēšana ievērojami vienkāršoja risinājumu. Tādējādi, ja diferencēšanai tiek piedāvāts līdzīgs logaritms, vienmēr ir ieteicams to “izjaukt”.

Un tagad daži vienkārši piemēri, ko varat atrisināt patstāvīgi:

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Visas pārvērtības un atbildes ir nodarbības beigās.

Logaritmisks atvasinājums

Ja logaritmu atvasinājums ir tik salda mūzika, tad rodas jautājums: vai dažos gadījumos ir iespējams logaritmu sakārtot mākslīgi? Var! Un pat nepieciešams.

11. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs nesen aplūkojām līdzīgus piemērus. Ko darīt? Varat secīgi piemērot koeficienta diferenciācijas likumu un pēc tam produkta diferenciācijas likumu. Šīs metodes trūkums ir tāds, ka jūs iegūstat milzīgu trīsstāvu daļu, ar kuru jūs nemaz nevēlaties nodarboties.

Bet teorijā un praksē ir tāda brīnišķīga lieta kā logaritmiskais atvasinājums. Logaritmus var mākslīgi sakārtot, “pakarinot” tos abās pusēs:

Tagad jums pēc iespējas vairāk "jāizjauc" labās puses logaritms (formulas jūsu acu priekšā?). Es aprakstīšu šo procesu ļoti detalizēti:

Sāksim ar diferenciāciju.
Mēs noslēdzam abas daļas zem galvenā:

Labās puses atvasinājums ir diezgan vienkāršs, es to nekomentēšu, jo, lasot šo tekstu, jums vajadzētu ar to rīkoties pārliecinoši.

Kā ar kreiso pusi?

Kreisajā pusē mums ir sarežģīta funkcija. Es paredzu jautājumu: "Kāpēc, vai zem logaritma ir viens burts "Y"?"

Fakts ir tāds, ka šī “viena burta spēle” - PATS IR FUNKCIJA(ja tas nav īsti skaidrs, skatiet rakstu Netieši norādītas funkcijas atvasinājums). Tāpēc logaritms ir ārēja funkcija, bet “y” ir iekšēja funkcija. Un mēs izmantojam noteikumu, lai atšķirtu sarežģītu funkciju :

Kreisajā pusē, it kā ar burvju mājienu, mums ir atvasinājums. Tālāk, saskaņā ar proporcijas likumu, mēs pārnesam “y” no kreisās puses saucēja uz labās puses augšdaļu:

Un tagad atcerēsimies, par kādu “spēlētāja” funkciju mēs runājām diferenciācijas laikā? Apskatīsim nosacījumu:

Galīgā atbilde:

12. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Šāda veida parauga dizaina paraugs atrodas nodarbības beigās.

Izmantojot logaritmisko atvasinājumu, bija iespējams atrisināt jebkuru no piemēriem Nr.4-7, cita lieta, ka funkcijas tur ir vienkāršākas, un, iespējams, logaritmiskā atvasinājuma izmantošana nav īpaši pamatota.

Jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Šī funkcija Mēs to vēl neesam apskatījuši. Jaudas eksponenciāla funkcija ir funkcija, kurai gan grāds, gan bāze ir atkarīgi no “x”. Klasisks piemērs, kas jums tiks sniegts jebkurā mācību grāmatā vai lekcijā:

Kā atrast jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu?

Ir nepieciešams izmantot tikko apspriesto paņēmienu - logaritmisko atvasinājumu. Mēs piekarinām logaritmus abās pusēs:

Parasti labajā pusē grāds tiek izņemts no logaritma:

Rezultātā labajā pusē ir divu funkciju reizinājums, kas tiks diferencēts pēc standarta formulas .

Mēs atrodam atvasinājumu, lai to izdarītu, mēs ievietojam abas daļas zem sitieniem:

Turpmākās darbības ir vienkāršas:

Visbeidzot:

Ja kāds pārveidojums nav līdz galam skaidrs, lūdzu, vēlreiz rūpīgi izlasiet 11. piemēra skaidrojumus.

Praktiskajos uzdevumos jaudas eksponenciālā funkcija vienmēr būs sarežģītāka nekā aplūkotais lekcijas piemērs.

13. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs izmantojam logaritmisko atvasinājumu.

Labajā pusē ir konstante un divu faktoru reizinājums - “x” un “logaritma x logaritms” (zem logaritma ir ligzdots cits logaritms). Atšķirot, kā mēs atceramies, labāk ir nekavējoties pārvietot konstanti no atvasinājuma zīmes, lai tas netraucētu; un, protams, mēs izmantojam pazīstamo noteikumu :

Kā redzat, logaritmiskā atvasinājuma izmantošanas algoritms nesatur nekādus īpašus trikus vai trikus, un jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājuma atrašana parasti nav saistīta ar “mocībām”.

Atvasinātais aprēķins- viena no svarīgākajām operācijām diferenciālrēķinos. Zemāk ir tabula atvasinājumu atrašanai vienkāršas funkcijas. Vairāk sarežģīti noteikumi diferenciāciju, skatiet citas nodarbības:

• Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumu tabula

Izmantojiet dotās formulas kā atsauces vērtības. Tie palīdzēs atrisināt diferenciālvienādojumus un problēmas. Attēlā vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulā ir “apkrāptu lapa” ar galvenajiem atvasinājuma atrašanas gadījumiem lietošanai saprotamā formā, blakus paskaidrojumi katram gadījumam.

Vienkāršu funkciju atvasinājumi

1. Skaitļa atvasinājums ir nulle
с´ = 0
Piemērs:
5' = 0

Paskaidrojums:
Atvasinājums parāda ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās argumentam. Tā kā skaitlis nekādos apstākļos nemainās, tā izmaiņu ātrums vienmēr ir nulle.

2. Mainīgā atvasinājums vienāds ar vienu
x' = 1

Paskaidrojums:
Ar katru argumenta (x) pieaugumu par vienu, funkcijas vērtība (aprēķinu rezultāts) palielinās par tādu pašu summu. Tādējādi funkcijas y = x vērtības izmaiņu ātrums ir tieši vienāds ar argumenta vērtības izmaiņu ātrumu.

3. Mainīgā un faktora atvasinājums ir vienāds ar šo koeficientu
сx´ = с
Piemērs:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paskaidrojums:
Šajā gadījumā katru reizi, kad mainās funkcijas arguments ( X) tā vērtība (y) palielinās Ar vienreiz. Tādējādi funkcijas vērtības maiņas ātrums attiecībā pret argumenta izmaiņu ātrumu ir tieši vienāds ar vērtību Ar.

No kurienes tas izriet
(cx + b)" = c
tas ir, lineārās funkcijas diferenciālis y=kx+b ir vienāds ar slīpums taisnas līnijas slīpums (k).

4. Mainīgā moduļa atvasinājums vienāds ar šī mainīgā lieluma un tā moduļa koeficientu
|x|"= x / |x| ar nosacījumu, ka x ≠ 0
Paskaidrojums:
Tā kā mainīgā atvasinājums (skat. 2. formulu) ir vienāds ar vienu, tad moduļa atvasinājums atšķiras tikai ar to, ka funkcijas izmaiņu ātruma vērtība, šķērsojot sākumpunktu, mainās uz pretējo (pamēģini uzzīmēt grafiku no funkcijas y = |x| un redziet tieši šo vērtību un atgriež izteiksmi x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - viens. Tas ir, kad negatīvas vērtības mainīgais x, ar katru argumenta pieaugumu, funkcijas vērtība samazinās tieši par tādu pašu vērtību, bet pozitīvajām, gluži pretēji, palielinās, bet tieši par tādu pašu vērtību.

5. Mainīgā atvasinājums no pakāpes vienāds ar šīs jaudas skaitļa un mainīgā reizinājumu ar jaudu, kas samazināta par vienu
(x c)"= cx c-1, ar nosacījumu, ka x c un cx c-1 ir definēti un c ≠ 0
Piemērs:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Lai atcerētos formulu:
Pārvietojiet mainīgā pakāpi uz leju kā faktoru un pēc tam samaziniet pašu pakāpi par vienu. Piemēram, x 2 - divi bija priekšā x, un tad samazinātā jauda (2-1 = 1) mums vienkārši deva 2x. Tas pats notika ar x 3 - mēs “pārvietojam” trīskāršu uz leju, samazinām to par vienu un kuba vietā mums ir kvadrāts, tas ir, 3x 2. Mazliet "nezinātniski", bet ļoti viegli atcerēties.

6.Daļas atvasinājums 1/x
(1/x)" = - 1/x2
Piemērs:
Tā kā daļu var attēlot, paaugstinot to līdz negatīva pakāpe
(1/x)" = (x -1)", tad varat piemērot formulu no atvasinājumu tabulas 5. noteikuma
(x -1)" = -1x -2 = - 1/x2

7. Daļas atvasinājums ar patvaļīgas pakāpes mainīgo saucējā
(1/x c)" = - c / x c+1
Piemērs:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Saknes atvasinājums(mainīgā atvasinājums zem kvadrātsaknes)
(√x)" = 1 / (2√x) vai 1/2 x -1/2
Piemērs:
(√x)" = (x 1/2)" nozīmē, ka varat lietot formulu no 5. noteikuma
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Mainīgā atvasinājums zem patvaļīgas pakāpes saknes
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Jaudas eksponenciālās funkcijas definīcija. Formulas atvasināšana tās atvasinājuma aprēķināšanai. Detalizēti analizēti jaudas eksponenciālo funkciju atvasinājumu aprēķina piemēri.

Jaudas eksponenciālā funkcija ir funkcija, kurai ir jaudas funkcijas forma
y = u v ,
kurā bāze u un eksponents v ir dažas mainīgā x funkcijas:
u = u (x); (x).
v = v Šo funkciju sauc arī eksponenciāls

vai .
.
Ņemiet vērā, ka jaudas eksponenciālo funkciju var attēlot eksponenciālā formā: Tāpēc to sauc arī par.

sarežģīta eksponenciāla funkcija

Aprēķins, izmantojot logaritmisko atvasinājumu
(2) ,
Atradīsim pakāpju eksponenciālās funkcijas atvasinājumu
kur un ir mainīgā funkcijas.
.
Lai to izdarītu, mēs logaritējam vienādojumu (2), izmantojot logaritma īpašību:
(3) .
Diferencēt attiecībā pret mainīgo x: Mēs piesakāmies sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumi
;
.

un darbojas:
.
Mēs aizstājam ar (3):
.

No šejienes
(1) .
Tātad, mēs atradām jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu:
.
Ja eksponents ir nemainīgs, tad .
.
Tad atvasinājums ir vienāds ar sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājumu:

Ja pakāpes bāze ir nemainīga, tad .

Tad atvasinājums ir vienāds ar sarežģītas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu:
(2) ,
Kad un ir x funkcijas, tad pakāpju eksponenciālās funkcijas atvasinājums ir vienāds ar komplekso pakāpju un eksponenciālo funkciju atvasinājumu summu.
(4) .

Atvasinājuma aprēķins, reducējot līdz kompleksai eksponenciālai funkcijai
.
Tagad atradīsim jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu

.
parādot to kā sarežģītu eksponenciālu funkciju:

Atšķirsim produktu:

Mēs izmantojam noteikumu, lai atrastu sarežģītas funkcijas atvasinājumu:
.

Un mēs atkal saņēmām formulu (1).

1. piemērs
Atrodiet šādas funkcijas atvasinājumu: .

Risinājums
;
.
Mēs aprēķinām, izmantojot logaritmisko atvasinājumu. Logaritēsim sākotnējo funkciju:
.
(A1.1)
.
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
,
Izmantojot produkta atvasinājuma formulu, mums ir:
.

Mēs atšķiram (A1.1):

Jo

Tas
.

Un mēs atkal saņēmām formulu (1).

Atbilde
2. piemērs .

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Logaritēsim sākotnējo funkciju: (A2.1) (2019)

Ieejas līmenis

Ass ir noteikts nulles augstuma līmenis, kā to mēs izmantojam jūras līmenī.

Pa šādu ceļu virzoties uz priekšu, mēs arī virzāmies uz augšu vai uz leju. Var arī teikt: mainoties argumentam (kustība pa abscisu asi), mainās funkcijas vērtība (kustība pa ordinātu asi). Tagad padomāsim, kā noteikt mūsu ceļa “stāvumu”? Kāda tā varētu būt vērtība? Tas ir ļoti vienkārši: cik daudz mainīsies augstums, virzoties uz priekšu noteiktu attālumu. Patiešām, dažādos ceļa posmos, virzoties uz priekšu (pa x asi) par vienu kilometru, mēs pacelsimies vai kritīsimies par dažādi daudzumi metri attiecībā pret jūras līmeni (gar ordinātu asi).

Apzīmēsim progresu (lasiet “delta x”).

Grieķu burts (delta) matemātikā parasti tiek izmantots kā prefikss, kas nozīmē "izmaiņas". Tas ir - tas ir daudzuma izmaiņas, - izmaiņas; tad kas tas ir? Tieši tā, lieluma izmaiņas.

Svarīgi: izteiksme ir viens vesels, viens mainīgais. Nekad neatdaliet “delta” no “x” vai jebkura cita burta!

Tas ir, piemēram,.

Tātad, mēs esam virzījušies uz priekšu, horizontāli, par. Ja salīdzinām ceļa līniju ar funkcijas grafiku, tad kā apzīmēsim kāpumu? Noteikti,. Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs paceļamies augstāk.

Vērtību ir viegli aprēķināt: ja sākumā bijām augstumā un pēc pārvietošanās atradāmies augstumā, tad. Ja beigu punkts ir zemāks par sākuma punktu, tas būs negatīvs – tas nozīmē, ka mēs nevis ejam augšup, bet gan lejup.

Atgriezīsimies pie "stāvuma": šī ir vērtība, kas parāda, cik (strauji) augstums palielinās, virzoties uz priekšu par vienu attāluma vienību:

Pieņemsim, ka kādā ceļa posmā, virzoties uz priekšu par kilometru, ceļš paceļas par kilometru uz augšu. Tad slīpums šajā vietā ir vienāds. Un ja ceļš, virzoties uz priekšu par m, nokritās par km? Tad slīpums ir vienāds.

Tas ir, saskaņā ar mūsu loģiku, izrādās, ka slīpums šeit ir gandrīz vienāds ar nulli, kas acīmredzami nav taisnība. Nedaudz vairāk kā kilometru attālumā daudz kas var mainīties. Nepieciešams apsvērt mazākas platības, lai adekvātāk un precīzāk novērtētu stāvumu. Piemēram, ja mērīsit augstuma izmaiņas, pārvietojoties vienu metru, rezultāts būs daudz precīzāks. Bet pat ar šo precizitāti mums var nepietikt – galu galā, ja ceļa vidū ir stabs, varam vienkārši pabraukt tam garām. Kādu attālumu tad izvēlēties? Centimetrs? Milimetrs? Mazāk ir vairāk!

IN īstā dzīve Attālumu mērīšana līdz tuvākajam milimetram ir vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr tiecas pēc pilnības. Tāpēc koncepcija tika izgudrota bezgala mazs, tas ir, absolūtā vērtība ir mazāka par jebkuru skaitli, ko varam nosaukt. Piemēram, jūs sakāt: viena triljonā daļa! Cik mazāk? Un jūs dalāt šo skaitli ar - un tas būs vēl mazāks. Un tā tālāk. Ja mēs vēlamies rakstīt, ka daudzums ir bezgalīgi mazs, mēs rakstām šādi: (lasām “x mēdz uz nulli”). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav nulle! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka jūs varat dalīt ar to.

Jēdziens, kas ir pretējs bezgalīgi mazam, ir bezgalīgi liels (). Jūs, iespējams, jau esat ar to saskārušies, strādājot pie nevienlīdzības: šis skaitlis ir moduli lielāks par jebkuru skaitli, ko varat iedomāties. Ja izdomājat lielāko iespējamo skaitli, vienkārši reiziniet to ar divi, un jūs iegūsit vēl lielāku skaitli. Un bezgalība ir vēl lielāka par to, kas notiek. Faktiski bezgalīgi lielais un bezgalīgi mazais ir viens otra apgriezti, tas ir, pie un otrādi: pie.

Tagad atgriezīsimies pie sava ceļa. Ideāli aprēķinātais slīpums ir slīpums, kas aprēķināts bezgalīgi mazam ceļa segmentam, tas ir:

Es atzīmēju, ka ar bezgalīgi mazu nobīdi arī augstuma izmaiņas būs bezgalīgi mazas. Bet ļaujiet man atgādināt, ka bezgalīgi mazs nenozīmē vienāds ar nulli. Ja bezgalīgi mazus skaitļus sadala vienu ar otru, var iegūt pilnīgi parastu skaitli, piemēram, . Tas ir, viena maza vērtība var būt tieši reizes lielāka par citu.

Priekš kam tas viss? Ceļš, stāvums... Mēs neejam uz autoralliju, bet mācām matemātiku. Un matemātikā viss ir tieši tāpat, tikai sauc savādāk.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam.

Pakāpeniski matemātikā viņi sauc pārmaiņas. Tiek izsaukts, cik lielā mērā arguments () mainās, pārvietojoties pa asi argumentu pieaugums un tiek apzīmēts, cik daudz ir mainījusies funkcija (augstums), virzoties uz priekšu pa asi par attālumu funkcijas pieaugums un ir norādīts.

Tātad funkcijas atvasinājums ir attiecība pret kad. Mēs apzīmējam atvasinājumu ar tādu pašu burtu kā funkcija, tikai ar pirmskaitli augšējā labajā stūrī: vai vienkārši. Tātad, rakstīsim atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar ceļu, šeit, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs.

Vai atvasinājums var būt vienāds ar nulli? Noteikti. Piemēram, ja braucam pa līdzenu horizontālu ceļu, stāvums ir nulle. Un tā ir taisnība, augstums nemaz nemainās. Tā tas ir ar atvasinājumu: nemainīgas funkcijas (konstantes) atvasinājums ir vienāds ar nulli:

jo šādas funkcijas pieaugums ir vienāds ar nulli jebkurai.

Atcerēsimies piemēru kalna galā. Izrādījās, ka varēja sakārtot segmenta galus gar dažādas puses no augšas, lai augstums galos būtu vienāds, tas ir, segments ir paralēls asij:

Bet lieli segmenti liecina par neprecīzu mērījumu. Mēs pacelsim savu segmentu uz augšu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad esam bezgalīgi tuvu augšai, segmenta garums kļūs bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma starpība tās galos ir vienāda ar nulli (tā nemēdz, bet ir vienāda ar). Tātad atvasinājums

To var saprast tā: kad mēs stāvam pašā augšā, neliela nobīde pa kreisi vai pa labi izmaina mūsu augumu niecīgi.

Ir arī tīri algebrisks skaidrojums: pa kreisi no virsotnes funkcija palielinās, bet pa labi - samazinās. Kā mēs noskaidrojām iepriekš, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs. Bet mainās raiti, bez lēcieniem (jo ceļš nekur krasi nemaina savu slīpumu). Tāpēc starp negatīvo un pozitīvas vērtības noteikti ir jābūt. Tā būs vieta, kur funkcija ne palielinās, ne samazinās – virsotnes punktā.

Tas pats attiecas uz sile (laukums, kurā funkcija kreisajā pusē samazinās un labajā pusē palielinās):

Nedaudz vairāk par pieaugumu.

Tāpēc mēs mainām argumentu uz lielumu. No kādas vērtības mēs maināmies? Par ko tas (arguments) tagad ir kļuvis? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība tajā ir vienāda. Tad mēs veicam to pašu pieaugumu: mēs palielinām koordinātu par. Kāds tagad ir arguments? Ļoti viegli:. Kāda tagad ir funkcijas vērtība? Kur atrodas arguments, arī funkcija: . Kā ar funkciju pieaugumu? Nekas jauns: šī joprojām ir summa, par kādu funkcija ir mainījusies:

Praktizējiet pieauguma atrašanu:

1. Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā, kad argumenta pieaugums ir vienāds ar.
2. Tas pats attiecas uz funkciju punktā.

Risinājumi:

Dažādos punktos ar vienu un to pašu argumenta pieaugumu funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā punktā ir atšķirīgs (mēs to apspriedām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, rakstot atvasinājumu, mums jānorāda, kurā brīdī:

Jaudas funkcija.

Jaudas funkcija ir funkcija, kurā arguments ir zināmā mērā (loģisks, vai ne?).

Turklāt - jebkurā mērā: .

Vienkāršākais gadījums ir, ja eksponents ir:

Atradīsim tā atvasinājumu punktā. Atcerēsimies atvasinājuma definīciju:

Tātad arguments mainās no uz. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir šis. Bet funkcija jebkurā punktā ir vienāda ar tās argumentu. Tāpēc:

Atvasinājums ir vienāds ar:

Atvasinājums ir vienāds ar:

b) Tagad apsveriet kvadrātiskā funkcija (): .

Tagad atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var neņemt vērā, jo tā ir bezgalīgi maza un līdz ar to nenozīmīga uz cita termina fona:

Tātad, mēs izdomājām citu noteikumu:

c) Turpinām loģisko sēriju: .

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: atveriet pirmo iekavu, izmantojot formulu summas kuba saīsinātai reizināšanai, vai faktorizējiet visu izteiksmi, izmantojot kubu starpības formulu. Mēģiniet to izdarīt pats, izmantojot kādu no ieteiktajām metodēm.

Tātad, es saņēmu sekojošo:

Un atkal atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka mēs varam neņemt vērā visus terminus, kas satur:

Mēs iegūstam:.

d) Līdzīgus noteikumus var iegūt lielām jaudām:

e) Izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt jaudas funkcijai ar patvaļīgu eksponentu, pat ne veselu skaitli:

(2)

Noteikumu var formulēt ar vārdiem: “pakāpe tiek virzīta uz priekšu kā koeficients un pēc tam samazināta par ”.

Šo noteikumu mēs pierādīsim vēlāk (gandrīz pašās beigās). Tagad apskatīsim dažus piemērus. Atrodiet funkciju atvasinājumu:

1. (divos veidos: pēc formulas un izmantojot atvasinājuma definīciju - aprēķinot funkcijas pieaugumu);

1. . Ticiet vai nē, šī ir jaudas funkcija. Ja jums ir jautājumi, piemēram, “Kā tas ir? Kur ir grāds?”, atceries tēmu “”!
   Jā, jā, arī sakne ir grāds, tikai daļskaitlis: .
   Tas nozīmē, ka mūsu kvadrātsakne ir tikai pakāpe ar eksponentu:
   .
   Mēs meklējam atvasinājumu, izmantojot nesen apgūto formulu:

   Ja šajā brīdī atkal kļūst neskaidrs, atkārtojiet tēmu “”!!! (apmēram grāds ar negatīvu eksponentu)

2. . Tagad eksponents:

   Un tagad, izmantojot definīciju (vai jūs jau esat aizmirsis?):
   ;
   .
   Tagad, kā parasti, mēs neņemam vērā terminu, kas satur:
   .

3. . Iepriekšējo gadījumu kombinācija: .

Trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu no augstākās matemātikas:

Ar izteiksmi.

Pierādījumus apgūsit institūta pirmajā kursā (un, lai tur nokļūtu, labi jānokārto vienotais valsts eksāmens). Tagad es to parādīšu tikai grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija neeksistē - punkts grafikā tiek izgriezts. Bet jo tuvāk vērtībai, jo tuvāk ir funkcija.

Turklāt šo noteikumu varat pārbaudīt, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nekautrējies, paņem kalkulatoru, mēs vēl neesam vienotajā valsts eksāmenā.

Tātad, mēģināsim: ;

Neaizmirstiet pārslēgt savu kalkulatoru uz Radiānu režīmu!

utt. Mēs redzam, ka jo mazāka, jo tuvāka ir koeficienta vērtība.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti, noskaidrosim tā pieaugumu:

Pārvērtīsim sinusu starpību reizinājumā. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu “”): .

Tagad atvasinājums:

Veiksim nomaiņu: . Tad bezgalīgi mazam tas ir arī bezgalīgi mazs: . Izteiksmei ir šāda forma:

Un tagad mēs to atceramies ar izteicienu. Un arī, ja summā (tas ir, pie) var neņemt vērā bezgalīgi mazu lielumu.

Tātad, mēs iegūstam šādu noteikumu: sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:

Tie ir pamata (“tabulas”) atvasinājumi. Šeit tie ir vienā sarakstā:

Vēlāk mēs tiem pievienosim vēl dažus, taču tie ir vissvarīgākie, jo tie tiek izmantoti visbiežāk.

Prakse:

1. Atrast funkcijas atvasinājumu punktā;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Risinājumi:

1. Pirmkārt, atradīsim atvasinājumu iekšā vispārējs skats, un pēc tam aizstājiet tā vērtību:
   ;
   .
2. Šeit mums ir kaut kas līdzīgs jaudas funkcija. Mēģināsim viņu pievest
   normāls skats:
   .
   Lieliski, tagad varat izmantot formulu:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Kas tas ir????

Labi, jums ir taisnība, mēs vēl nezinām, kā atrast šādus atvasinājumus. Šeit mums ir vairāku veidu funkciju kombinācija. Lai strādātu ar viņiem, jums jāapgūst vēl daži noteikumi:

Eksponents un naturālais logaritms.

Matemātikā ir funkcija, kuras atvasinājums jebkurai vērtībai vienlaikus ir vienāds ar pašas funkcijas vērtību. To sauc par “eksponentu”, un tā ir eksponenciāla funkcija

Šīs funkcijas pamatā ir konstante – tā ir bezgalīga decimālzīme, tas ir, iracionāls skaitlis (piemēram,). To sauc par Eilera numuru, tāpēc to apzīmē ar burtu.

Tātad, noteikums:

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams.

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas arī viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielināšanai:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - daži konstants skaitlis(pastāvīgi), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

1. (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieejam jauna funkcija un atrodiet tā pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju un atvasinājumus;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Šim nolūkam mēs izmantosim vienkāršs noteikums: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai tas izdevās?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vairāk vienkāršā formā. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas noticis? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Svarīga funkcija sarežģītas funkcijas: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Pirmajam piemēram, .

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

1. Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
   Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
2. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
3. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
4. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
5. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.

Mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējā: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.