Risināšanas robežas, kā atrisināt. Brīnišķīgi ierobežojumi

Mēs turpinām analizēt gatavās atbildes uz ierobežojumu teoriju un šodien pievērsīsimies tikai gadījumam, kad mainīgais funkcijā vai skaitlis secībā tiecas uz bezgalību. Norādījumi, kā aprēķināt limitu mainīgajam, kuram ir tendence uz bezgalību, šeit mēs pakavēsimies tikai pie atsevišķiem gadījumiem, kas nav acīmredzami un vienkārši visiem.

35. piemērs. Mums ir secība daļskaitļa formā, kur skaitītājs un saucējs satur saknes funkcijas.
Mums jāatrod robeža, kad skaitlim ir tendence uz bezgalību.
Šeit nav jāatklāj iracionalitāte skaitītājā, bet tikai rūpīgi jāanalizē saknes un jāatrod, kur atrodas lielāks skaitļa spēks.
Pirmajā skaitītāja saknes ir reizinātājs n^4, tas ir, n^2 var izņemt no iekavām.
Darīsim to pašu ar saucēju.
Tālāk mēs novērtējam radikālu izteicienu nozīmi, pārejot uz robežu.

Ieguvām dalījumus ar nulli, kas skolas kursā ir nepareizi, bet pārejā uz robežu tas ir pieņemami.
Tikai ar grozījumu “lai novērtētu, kurp virzās funkcija”.
Tāpēc ne visi skolotāji var interpretēt iepriekš minēto apzīmējumu kā pareizu, lai gan viņi saprot, ka iegūtais rezultāts nemainīsies.
Apskatīsim atbildi, kas sastādīta pēc skolotāju prasībām atbilstoši teorijai.
Lai vienkāršotu, mēs novērtēsim tikai galvenos papildinājumus zem saknes

Turklāt skaitītājā jauda ir vienāda ar 2, saucējā 2/3, tāpēc skaitītājs aug ātrāk, kas nozīmē, ka robeža tiecas uz bezgalību.
Tā zīme ir atkarīga no faktoriem n^2, n^(2/3) , tāpēc tā ir pozitīva.

36. piemērs. Apsveriet dalījuma robežas piemēru eksponenciālās funkcijas. Šāda veida praktisku piemēru ir maz, tāpēc ne visi studenti viegli saprot, kā atklāt radušās neskaidrības.
Skaitītāja un saucēja maksimālais koeficients ir 8^n, un mēs ar to vienkāršojam

Tālāk mēs novērtējam katra termina ieguldījumu
Termini 3/8 mēdz būt nulle, jo mainīgais virzās uz bezgalību, jo 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

37. piemērs. Secības robeža ar faktoriāliem tiek atklāta, pierakstot faktoriālu līdz lielākajam skaitītāja un saucēja kopējam faktoram.
Tālāk mēs to samazinām un novērtējam robežu, pamatojoties uz skaitļu rādītāju vērtību skaitītājā un saucējā.
Mūsu piemērā saucējs aug ātrāk, tāpēc ierobežojums ir nulle.


Šeit tiek izmantots sekojošais

faktoriāls īpašums.

38. piemērs. Nepiemērojot L'Hopital noteikumus, mēs salīdzinām mainīgā maksimālos rādītājus daļskaitļa skaitītājā un saucējā.
Tā kā saucējā ir mainīgā 4>2 augstākais eksponents, tas aug ātrāk.
No tā mēs secinām, ka funkcijas robežai ir tendence uz nulli.

39. piemērs. Atklājam formas bezgalība dalīta ar bezgalību īpatnību, no daļskaitļa skaitītāja un saucēja noņemot x^4.
Pārejot uz robežu, mēs iegūstam bezgalību.

40. piemērs. Mums ir polinomu dalījums, mums ir jānosaka robeža, jo mainīgajam ir tendence uz bezgalību.
Mainīgā lielākā pakāpe skaitītājā un saucējā ir vienāda ar 3, kas nozīmē, ka robeža pastāv un ir vienāda ar pašreizējo.
Izņemsim x^3 un veiksim pāreju līdz robežai

41. piemērs. Mums ir pirmā tipa singularitāte līdz bezgalības pakāpei.
Tas nozīmē, ka izteiksme iekavās un pats rādītājs ir jānovieto zem otrās svarīgās robežas.
Pierakstīsim skaitītāju, lai izceltu tajā izteiksmi, kas ir identiska saucējam.
Tālāk mēs pārejam pie izteiksmes, kas satur vienu plus vārdu.
Pakāpe jāatšķir ar koeficientu 1/(termiņš).
Tādējādi mēs iegūstam daļējas funkcijas robežas pakāpes eksponentu.

Lai novērtētu singularitāti, mēs izmantojām otro robežu:

42. piemērs. Mums ir pirmā tipa singularitāte līdz bezgalības pakāpei.
Lai to atklātu, funkcija jāsamazina līdz otrajai ievērojamajai robežai.
Kā to izdarīt, detalizēti parādīts nākamajā formulā


Jūs varat atrast daudz līdzīgu problēmu. To būtība ir iegūt nepieciešamo grādu rādītājā, un tas ir vienāds ar abpusēja vērtība termins iekavās pie vienotības.
Izmantojot šo metodi, mēs iegūstam eksponentu. Turpmākie aprēķini tiek samazināti līdz eksponenta pakāpes robežas aprēķināšanai.
Šeit eksponenciālā funkcija tiecas uz bezgalību, jo vērtība ir lielāka par vienu e=2,72>1.

43. piemērs Daļas saucējā mums ir nenoteiktība bezgalības mīnus bezgalība, kas faktiski ir vienāda ar dalīšanu ar nulli.
Lai atbrīvotos no saknes, mēs reizinām ar konjugēto izteiksmi un pēc tam izmantojam kvadrātu starpības formulu, lai pārrakstītu saucēju.
Mēs iegūstam bezgalības nenoteiktību dalītu ar bezgalību, tāpēc mēs izņemam lielāko lielumu un samazinām to par to.
Tālāk mēs novērtējam katra termina ieguldījumu un atrodam funkcijas robežu bezgalībā

Robežu teorija ir viena no sadaļām matemātiskā analīze. Jautājums par limitu risināšanu ir diezgan plašs, jo ir desmitiem metožu ierobežojumu risināšanai dažādi veidi. Ir desmitiem nianšu un triku, kas ļauj atrisināt šo vai citu ierobežojumu. Neskatoties uz to, mēs joprojām centīsimies izprast galvenos ierobežojumu veidus, ar kuriem visbiežāk saskaras praksē.

Sāksim ar pašu ierobežojumu jēdzienu. Bet vispirms īss vēsturiskais fons. 19. gadsimtā dzīvoja francūzis Augustins Luiss Košī, kurš deva stingras definīcijas daudziem matāna jēdzieniem un lika tā pamatus. Jāsaka, ka šis cienījamais matemātiķis bija, ir un būs visu fizikas un matemātikas nodaļu studentu murgos, jo viņš pierādīja milzīgu skaitu matemātiskās analīzes teorēmu, un viena teorēma ir nāvējošāka par otru. Šajā sakarā mēs vēl neapsvērsim Košī robežas noteikšana, bet mēģināsim izdarīt divas lietas:

1. Izprotiet, kas ir ierobežojums.
2. Iemācīties atrisināt galvenos limitu veidus.

Atvainojos par dažiem nezinātniskiem skaidrojumiem, svarīgi, lai materiāls būtu saprotams pat tējkannai, kas patiesībā arī ir projekta uzdevums.

Tātad, kāda ir robeža?

Un tikai piemērs, kāpēc pinkainajai vecmāmiņai....

Jebkurš ierobežojums sastāv no trim daļām:

1) labi zināmā ierobežojuma ikona.
2) Ieraksti zem ierobežojuma ikonas, šajā gadījumā . Ieraksts skan “X ir tendence uz vienu”. Visbiežāk - tieši, lai gan praksē “X” vietā ir citi mainīgie. Praktiskajos uzdevumos viena vieta var būt pilnīgi jebkurš skaitlis, kā arī bezgalība ().
3) Funkcijas zem ierobežojuma zīmes, šajā gadījumā .

Pats ieraksts skan šādi: "funkcijas kā x robežai ir tendence uz vienotību."

Apskatīsim nākamo svarīgo jautājumu – ko nozīmē izteiciens “x”? tiecas uz vienu"? Un ko vispār nozīmē “censties”?
Ierobežojuma jēdziens ir jēdziens, tā sakot, dinamisks. Izveidosim secību: vispirms , tad , , …, , ….
Tas ir, izteiciens “x tiecas uz vienu” jāsaprot šādi: “x” konsekventi pārņem vērtības kas tuvojas vienotībai bezgala tuvu un praktiski ar to sakrīt.

Kā atrisināt iepriekš minēto piemēru? Pamatojoties uz iepriekš minēto, jums vienkārši jāaizstāj viens funkcijā zem ierobežojuma zīmes:

Tātad, pirmais noteikums: Ja ir noteikts ierobežojums, vispirms mēs vienkārši cenšamies pievienot skaitli funkcijai.

Mēs esam apsvēruši visvienkāršāko robežu, bet arī tādas notiek praksē, un ne tik reti!

Piemērs ar bezgalību:

Noskaidrosim, kas tas ir? Tas ir gadījumā, kad tas palielinās bez ierobežojumiem, tas ir: vispirms, tad, tad, tad un tā tālāk bezgalīgi.

Kas notiek ar funkciju šajā laikā?
, , , …

Tātad: ja , tad funkcijai ir tendence mīnus bezgalība:

Aptuveni runājot, saskaņā ar mūsu pirmo noteikumu “X” vietā mēs funkcijā aizstājam bezgalību un iegūstam atbildi.

Vēl viens piemērs ar bezgalību:

Atkal mēs sākam palielināties līdz bezgalībai un aplūkojam funkcijas darbību:

Secinājums: kad funkcija palielinās bez ierobežojumiem:

Un vēl viena piemēru sērija:

Lūdzu, mēģiniet garīgi analizēt sev sekojošo un atcerēties vienkāršākos ierobežojumu veidus:

, , , , , , , , ,
Ja jums ir šaubas jebkur, varat paņemt kalkulatoru un nedaudz trenēties.
Ja , mēģiniet izveidot secību , , . Ja , tad , , .

! Piezīme: Stingri sakot, šī pieeja vairāku skaitļu secību konstruēšanai ir nepareiza, taču vienkāršāko piemēru izpratnei tā ir diezgan piemērota.

Pievērsiet uzmanību arī sekojošai lietai. Pat ja tiek dota robeža ar liels skaits augšpusē, pat ar miljonu: tas viss ir vienāds , jo agri vai vēlu “X” sāks iegūt tik gigantiskas vērtības, ka miljons salīdzinājumā būs īsts mikrobs.

Kas jums ir jāatceras un jāsaprot no iepriekš minētā?

1) Ja ir dots kāds ierobežojums, vispirms mēs vienkārši cenšamies aizstāt skaitli ar funkciju.

2) Jums ir jāsaprot un nekavējoties jāatrisina vienkāršākie ierobežojumi, piemēram, .

Turklāt robežai ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Lai labāk izprastu tēmu, iesaku izlasīt metodiskais materiāls Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Izlasot šo rakstu, jūs ne tikai beidzot sapratīsit, kas ir robeža, bet arī iepazīsities interesanti gadījumi, kad funkcijas ierobežojums ir vispārīgs neeksistē!

Praksē diemžēl dāvanu ir maz. Tāpēc mēs pārejam pie sarežģītākiem ierobežojumiem. Starp citu, par šo tēmu ir intensīvais kurss pdf formātā, kas ir īpaši noderīgi, ja jums ir ĻOTI maz laika, lai sagatavotos. Bet vietnes materiāli, protams, nav sliktāki:

Tagad mēs apsvērsim ierobežojumu grupu, kad , un funkcija ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs satur polinomus

Piemērs:

Aprēķināt limitu

Saskaņā ar mūsu likumu mēs mēģināsim aizstāt funkciju ar bezgalību. Ko mēs iegūstam augšpusē? Bezgalība. Un kas notiek zemāk? Arī bezgalība. Tādējādi mums ir tā sauktā sugas nenoteiktība. Varētu domāt, ka , un atbilde ir gatava, bet vispārīgā gadījumā tas tā nebūt nav, un ir jāpiemēro kāda risinājuma tehnika, ko mēs tagad apsvērsim.

Kā atrisināt šāda veida ierobežojumus?

Vispirms skatāmies uz skaitītāju un atrodam lielāko jaudu:

Skaitītāja vadošais spēks ir divi.

Tagad mēs skatāmies uz saucēju un atrodam to arī ar augstāko pakāpi:

Augstākā saucēja pakāpe ir divi.

Pēc tam mēs izvēlamies skaitītāja un saucēja lielāko pakāpju: in šajā piemērā tie sakrīt un ir vienādi ar diviem.

Tātad risinājuma metode ir šāda: lai atklātu nenoteiktību, ir nepieciešams dalīt skaitītāju un saucēju ar lielāko pakāpju.

Šeit tā ir atbilde, nevis bezgalība.

Kas ir būtiski svarīgs lēmuma izstrādē?

Pirmkārt, mēs norādām nenoteiktību, ja tāda ir.

Otrkārt, ir ieteicams pārtraukt risinājumu starpposma skaidrojumiem. Es parasti lietoju zīmi, tai nav nekādas matemātiskas nozīmes, bet tas nozīmē, ka risinājums tiek pārtraukts starpposma skaidrojumam.

Treškārt, limitā vēlams atzīmēt, kas kur notiek. Kad darbs ir sastādīts ar roku, ērtāk to izdarīt šādi:

Piezīmēm labāk izmantot vienkāršu zīmuli.

Protams, nekas no tā nav jādara, bet tad, iespējams, skolotājs norādīs uz risinājuma nepilnībām vai sāks uzdot papildu jautājumus par uzdevumu. Vai jums to vajag?

2. piemērs

Atrodiet robežu
Atkal skaitītājā un saucējā mēs atrodam visaugstākajā pakāpē:

Maksimālais grāds skaitītājā: 3
Maksimālā pakāpe saucējā: 4
Izvēlieties lielākais vērtība, šajā gadījumā četri.
Saskaņā ar mūsu algoritmu, lai atklātu nenoteiktību, mēs dalām skaitītāju un saucēju ar .
Pilns uzdevums varētu izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

3. piemērs

Atrodiet robežu
Maksimālā “X” pakāpe skaitītājā: 2
Maksimālā “X” pakāpe saucējā: 1 (var rakstīt kā)
Lai atklātu nenoteiktību, skaitītājs un saucējs jāsadala ar . Galīgais risinājums varētu izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

Apzīmējums nenozīmē dalīšanu ar nulli (jūs nevarat dalīt ar nulli), bet dalīšanu ar bezgalīgi mazu skaitli.

Tādējādi, atklājot sugu nenoteiktību, mēs varam to izdarīt galīgais numurs, nulle vai bezgalība.

Ierobežojumi ar nenoteiktību pēc veida un metodes to risināšanai

Nākamā robežu grupa ir nedaudz līdzīga tikko aplūkotajām robežām: skaitītājs un saucējs satur polinomus, bet “x” vairs netiecas uz bezgalību, bet uz galīgs skaitlis.

4. piemērs

Atrisiniet limitu
Vispirms mēģināsim daļskaitlī aizstāt ar -1:

Šajā gadījumā tiek iegūta tā sauktā nenoteiktība.

Vispārējs noteikums : ja skaitītājs un saucējs satur polinomus un ir formas nenoteiktība , tad to atklāt jums ir jāaprēķina skaitītājs un saucējs.

Lai to izdarītu, visbiežāk ir jāatrisina kvadrātvienādojums un/vai jāizmanto saīsinātas reizināšanas formulas. Ja šīs lietas ir aizmirstas, tad apmeklējiet lapu Matemātiskās formulas un tabulas un izlasi mācību materiālu Karstās formulas skolas kurss matemātiķi. Starp citu, to vislabāk ir izdrukāt ļoti bieži, un informācija labāk tiek absorbēta no papīra.

Tātad, atrisināsim savu ierobežojumu

Nosakiet skaitītāju un saucēju

Lai aprēķinātu skaitītāju, jums jāatrisina kvadrātvienādojums:

Vispirms atrodam diskriminantu:

Un kvadrātsakne no tā: .

Ja diskriminants ir liels, piemēram, 361, mēs izmantojam kalkulatoru, ekstrakcijas funkciju kvadrātsakne pieejams vienkāršākajā kalkulatorā.

! Ja sakne netiek izvilkta pilnībā (tiek iegūts daļskaitlis ar komatu), ļoti iespējams, ka diskriminants tika aprēķināts nepareizi vai uzdevumā bija drukas kļūda.

Tālāk mēs atrodam saknes:

Tādējādi:

Visi. Skaitītājs ir faktorizēts.

Saucējs. Saucējs jau ir visvienkāršākais faktors, un to nekādi nevar vienkāršot.

Acīmredzot to var saīsināt līdz:

Tagad mēs aizstājam -1 izteiksmē, kas paliek zem ierobežojuma zīmes:

Protams, iekšā pārbaudes darbs, pārbaudes vai eksāmena laikā risinājums nekad netiek izrakstīts tik detalizēti. Galīgajā versijā dizainam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Faktorizēsim skaitītāju.

5. piemērs

Aprēķināt limitu

Pirmkārt, risinājuma “pabeigšanas” versija

Aprēķināsim skaitītāju un saucēju.

Skaitītājs:
Saucējs:



,

Kas šajā piemērā ir svarīgs?
Pirmkārt, jums ir labi jāsaprot, kā tiek atklāts skaitītājs, vispirms mēs izņēmām 2 no iekavām un pēc tam izmantojām kvadrātu atšķirības formulu. Šī ir formula, kas jums jāzina un jāredz.

Ieteikums: Ja limitā (gandrīz jebkura veida) ir iespējams izņemt skaitli no iekavām, tad mēs to vienmēr darām.
Turklāt šādus numurus ieteicams pārvietot ārpus ierobežojuma ikonas. Priekš kam? Jā, tikai tāpēc, lai tie netraucētu. Galvenais ir nepazaudēt šos skaitļus vēlāk risinājuma laikā.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka risinājuma pēdējā posmā es izņēmu divus no ierobežojuma ikonas un pēc tam mīnusu.

! Svarīgi
Risinājuma laikā ļoti bieži rodas tipa fragments. Samaziniet šo daļutas ir aizliegts . Vispirms jāmaina skaitītāja vai saucēja zīme (iekavās jāieliek -1).
, tas ir, parādās mīnusa zīme, kas tiek ņemta vērā, aprēķinot limitu, un to nemaz nevajag zaudēt.

Kopumā es pamanīju, ka visbiežāk, meklējot šāda veida robežas, mums ir jāatrisina divi kvadrātvienādojumi, tas ir, gan skaitītājā, gan saucējā ir kvadrātveida trinomiāli.

Skaitītāja un saucēja reizināšanas metode ar konjugāta izteiksmi

Mēs turpinām apsvērt formas nenoteiktību

Nākamais ierobežojumu veids ir līdzīgs iepriekšējam veidam. Vienīgais, papildus polinomiem mēs pievienosim saknes.

6. piemērs

Atrodiet robežu

Sāksim lemt.

Vispirms mēs mēģinām aizvietot 3 izteiksmē zem ierobežojuma zīmes
Es atkārtoju vēlreiz - šī ir pirmā lieta, kas jums jādara, lai JEBKĀDA limita. Šī darbība parasti tiek veikta garīgi vai melnraksta formā.

Ir iegūta formas nenoteiktība, kas jānovērš.

Kā jūs droši vien pamanījāt, mūsu skaitītājs satur sakņu atšķirību. Un matemātikā ir pieņemts, ja iespējams, atbrīvoties no saknēm. Priekš kam? Un bez tiem dzīve ir vieglāka.

Secību un funkciju robežu jēdzieni. Kad nepieciešams atrast secības robežu, to raksta šādi: lim xn=a. Šādā secību secībā xn ir tendence uz a un n ir tendence uz bezgalību. Secība parasti tiek attēlota kā sērija, piemēram:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secības tiek sadalītas pieaugošās un dilstošās. Piemēram:
xn=n^2 — pieaugoša secība
yn=1/n - secība
Tātad, piemēram, secības xn=1/n^ robeža:
lim 1/n^2=0

x→∞
Šī robeža ir vienāda ar nulli, jo n→∞, un secībai 1/n^2 ir tendence uz nulli.

Parasti mainīgajam daudzumam x ir tendence sasniegt ierobežotu robežu a, un x pastāvīgi tuvojas a, un daudzums a ir nemainīgs. To raksta šādi: limx =a, savukārt n var būt arī nulle vai bezgalība. Ir bezgalīgas funkcijas, kurām robeža tiecas uz bezgalību. Citos gadījumos, kad, piemēram, funkcija palēnina vilcienu, ierobežojums mēdz būt nulle.
Ierobežojumiem ir vairākas īpašības. Parasti jebkurai funkcijai ir tikai viens ierobežojums. Šī ir ierobežojuma galvenā īpašība. Citi ir uzskaitīti zemāk:
* Summas ierobežojums vienāds ar summu ierobežojumi:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produktu ierobežojums vienāds ar produktu ierobežojumi:
lim(xy)=lim x*lim y
* Koeficienta robeža ir vienāda ar robežu koeficientu:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Pastāvīgais koeficients tiek ņemts ārpus robežzīmes:
lim(Cx)=C lim x
Dota funkcija 1 /x, kurā x →∞, tās robeža ir nulle. Ja x→0, šādas funkcijas robeža ir ∞.
Par trigonometriskās funkcijas ir no šiem noteikumiem. Jo grēka funkcija x vienmēr tiecas uz vienotību, kad tas tuvojas nullei, identitāte uz to attiecas:
lim sin x/x=1

Vairākās funkcijās ir funkcijas, kuru robežas aprēķinot rodas nenoteiktība - situācija, kurā limitu nevar aprēķināt. Vienīgā izeja no šīs situācijas ir L'Hopital. Ir divu veidu nenoteiktības:
* formas nenoteiktība 0/0
* formas ∞/∞ nenoteiktība
Piemēram, ņemot vērā ierobežojumu šāda veida: lim f(x)/l(x) un f(x0)=l(x0)=0. Šajā gadījumā rodas formas 0/0 nenoteiktība. Lai atrisinātu šādu problēmu, tiek diferencētas abas funkcijas, pēc kurām tiek atrasta rezultāta robeža. 0/0 tipa nenoteiktībām ierobežojums ir:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pie x → 0)
Tas pats noteikums attiecas arī uz ∞/∞ tipa nenoteiktībām. Bet šajā gadījumā ir patiesa šāda vienādība: f(x)=l(x)=∞
Izmantojot L'Hopital noteikumu, jūs varat atrast jebkuras robežas vērtības, kurās parādās nenoteiktības. Priekšnoteikums, lai

apjoms - nav kļūdu, atrodot atvasinājumus. Tā, piemēram, funkcijas (x^2)" atvasinājums ir vienāds ar 2x. No šejienes mēs varam secināt, ka:
f"(x)=nx^(n-1)

Tiem, kas vēlas uzzināt, kā atrast ierobežojumus, šajā rakstā mēs par to runāsim. Mēs neiedziļināsimies teorijā; skolotāji parasti to lasa lekcijās. Tāpēc “garlaicīgā teorija” ir jāpieraksta piezīmju grāmatiņās. Ja tas tā nav, tad var lasīt no bibliotēkas aizņemtās mācību grāmatas. izglītības iestāde vai citos interneta resursos.

Tātad robežas jēdziens ir diezgan svarīgs, studējot augstākās matemātikas kursu, it īpaši, ja jūs saskaraties ar integrāļa aprēķinu un saprotat saikni starp robežu un integrāli. Pašreizējā materiālā mēs apsvērsim vienkāršus piemērus, kā arī to risināšanas veidi.

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Aprēķināt a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Risinājums

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Cilvēki bieži sūta mums šos ierobežojumus ar lūgumu palīdzēt tos atrisināt. Mēs nolēmām tos izcelt atsevišķs piemērs un paskaidrojiet, ka šīs robežas vienkārši ir jāatceras, kā likums. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs nodrošināsim detalizēts risinājums. Varēsiet apskatīt aprēķina gaitu un iegūt informāciju. Tas palīdzēs jums laikus saņemt atzīmi no skolotāja!

Atbilde

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ko darīt ar formas nenoteiktību: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

3. piemērs

Atrisiniet $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Risinājums

Kā vienmēr, mēs sākam, aizstājot vērtību $ x $ izteiksmē zem ierobežojuma zīmes. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Kas tagad būs tālāk? Kam beigās jānotiek? Tā kā šī ir nenoteiktība, tā vēl nav atbilde, un mēs turpinām aprēķinu. Tā kā skaitītājos mums ir polinoms, mēs to faktorizēsim, izmantojot formulu, kas visiem pazīstama no skolas $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vai atceries? Lieliski! Tagad uz priekšu un izmantojiet to kopā ar dziesmu :) Mēs atklājam, ka skaitītājs $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Mēs turpinām risināt, ņemot vērā iepriekš minēto transformāciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Atbilde

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Palielināsim robežu pēdējos divos piemēros līdz bezgalībai un ņemsim vērā nenoteiktību: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

5. piemērs

Aprēķināt $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Risinājums

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ko darīt? Kas man jādara? Nekrīti panikā, jo neiespējamais ir iespējams. Ir nepieciešams izņemt x gan skaitītājā, gan saucējā un pēc tam to samazināt. Pēc tam mēģiniet aprēķināt limitu. Mēģināsim... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Izmantojot definīciju no 2. piemēra un aizstājot bezgalību ar x, mēs iegūstam: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Atbilde

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritms limitu aprēķināšanai

Tātad, īsi apkoposim piemērus un izveidosim algoritmu ierobežojumu risināšanai:

1. Aizstāj punktu x izteiksmē aiz robežzīmes. Ja tiek iegūts noteikts skaitlis vai bezgalība, tad robeža ir pilnībā atrisināta. Pretējā gadījumā mums ir nenoteiktība: “nulle dalīta ar nulli” vai “bezgalība dalīta ar bezgalību” un turpināt. šādus punktus norādījumus.
2. Lai novērstu nenoteiktību “nulle dalīta ar nulli”, jums ir jāņem vērā skaitītājs un saucējs. Samaziniet līdzīgus. Aizstāj punktu x izteiksmē zem robežzīmes.
3. Ja nenoteiktība ir “bezgalība dalīta ar bezgalību”, tad mēs izņemam gan skaitītāju, gan saucēju x līdz lielākajai pakāpei. Mēs saīsinām X. Mēs aizstājam x vērtības no robežvērtības atlikušajā izteiksmē.

Šajā rakstā jūs uzzinājāt robežvērtību risināšanas pamatus, ko bieži izmanto kursā Calculus. Protams, tie nav visi eksaminētāju piedāvātie problēmu veidi, bet tikai vienkāršākie ierobežojumi. Par cita veida uzdevumiem mēs runāsim nākamajos rakstos, taču vispirms jums ir jāapgūst šī mācība, lai virzītos uz priekšu. Apspriedīsim, ko darīt, ja ir saknes, grādi, pētīsim bezgalīgi mazas ekvivalentas funkcijas, ievērojamas robežas, L'Hopitāla likumu.

Ja jūs pats nevarat noteikt ierobežojumus, nekrītiet panikā. Mēs vienmēr esam priecīgi palīdzēt!

Risinājums tiešsaistes funkciju ierobežojumi. Atrodiet funkcijas vai funkcionālās secības robežvērtību punktā, aprēķiniet galīgais funkcijas vērtība bezgalībā. noteikt skaitļu rindas konverģenci, un daudz ko citu var paveikt, pateicoties mūsu tiešsaistes pakalpojums- . Mēs ļaujam ātri un precīzi atrast funkciju ierobežojumus tiešsaistē. Jūs pats ievadāt funkcijas mainīgo un robežu, līdz kurai tas tiecas, un mūsu serviss veic visus aprēķinus jūsu vietā, sniedzot precīzu un vienkāršu atbildi. Un priekš ierobežojumu atrašana tiešsaistē varat ievadīt gan skaitļu sērijas, gan analītiskās funkcijas, kas satur konstantes burtiskā izteiksme. Šajā gadījumā funkcijas atrastā robeža saturēs šīs konstantes kā konstantes argumentus izteiksmē. Mūsu pakalpojums atrisina visas sarežģītas atrašanas problēmas ierobežojumi tiešsaistē, pietiek norādīt funkciju un punktu, kurā nepieciešams aprēķināt funkcijas robežvērtība. Aprēķinot tiešsaistes ierobežojumi, varat izmantot dažādas metodes un to risinājuma noteikumus, vienlaikus pārbaudot iegūto rezultātu ar ierobežojumu risināšana tiešsaistē vietnē www.vietne, kas novedīs pie veiksmīgas uzdevuma izpildes - jūs izvairīsities pašas kļūdas un drukas kļūdas. Vai arī varat mums pilnībā uzticēties un izmantot mūsu rezultātu savā darbā, netērējot papildu pūles un laiku, lai patstāvīgi aprēķinātu funkcijas limitu. Mēs pieļaujam šādu ierakstu robežvērtības kā bezgalība. Ir jāievada skaitļu virknes kopīgs dalībnieks un www.vietne aprēķinās vērtību ierobežot tiešsaistē līdz plus vai mīnus bezgalībai.

Viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem ir funkciju ierobežojums Un secības ierobežojums punktā un bezgalībā ir svarīgi prast pareizi atrisināt robežas. Izmantojot mūsu pakalpojumu, tas nebūs grūti. Tiek pieņemts lēmums ierobežojumi tiešsaistē dažu sekunžu laikā atbilde ir precīza un pilnīga. Matemātiskās analīzes izpēte sākas ar pāreja uz robežu, robežas tiek izmantoti gandrīz visās augstākās matemātikas jomās, tāpēc ir lietderīgi, ja pa rokai ir serveris tiešsaistes ierobežojumu risinājumi, kas ir vietne.