Kāda ir skaitļa e konstante?

PERVUŠKINS BORIS NIKOLAJEVIČS

Privātā izglītības iestāde "Sanktpēterburgas skola "Tete-a-Tete"

Augstākās kategorijas matemātikas skolotājs

Numurs e

Numurs pirmo reizi parādījāsmatemātikakā kaut kas nenozīmīgs. Tas notika 1618. gadā. Pielikumā Napiera darbam par logaritmiem tika dota dažādu skaitļu naturālo logaritmu tabula. Tomēr neviens nesaprata, ka tie ir logaritmi uz bāzi, jo logaritma jēdziens tajā laikā neietvēra tādu lietu kā bāze. To mēs tagad saucam par logaritmu, jaudu, līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu vajadzīgo skaitli. Pie šī mēs atgriezīsimies vēlāk. Tabulu pielikumā, visticamāk, veidojis Augthred, lai gan autors netika identificēts. Dažus gadus vēlāk, 1624. gadā, tas atkal parādās matemātikas literatūrā, bet atkal aizklātā veidā. Šogad Brigs sniedza skaitlisku tuvinājumu decimāllogaritms, bet pats numurs viņa darbā nav minēts.

Nākamā numura parādīšanās atkal ir apšaubāma. 1647. gadā Sentvinsents aprēķināja hiperbolas sektora laukumu. Vai viņš saprata saistību ar logaritmiem, var tikai minēt, bet pat tad, ja viņš saprata, maz ticams, ka viņš varētu nonākt pie paša skaitļa. Tikai 1661. gadā Huigenss saprata saistību starp vienādmalu hiperbolu un logaritmiem. Viņš pierādīja, ka laukums zem vienādmalu hiperbolas vienādmalu hiperbolas grafika intervālā no 1 līdz ir vienāds ar 1. Šī īpašība veido naturālo logaritmu pamatu, taču tā laika matemātiķi to nesaprata, bet lēnām tuvojas šai izpratnei.

Huygens izdarīja nākamais solis 1661. gadā. Viņš definēja līkni, ko viņš sauca par logaritmisko (mūsu terminoloģijā mēs to sauksim par eksponenciālu). Šī ir tipa līkne. Un atkal parādās decimālais logaritms, kuru Haigenss atrod ar precizitāti līdz 17 cipariem aiz komata. Tomēr tas radās no Huygens kā sava veida konstante un nebija saistīts ar skaitļa logaritmu (tātad viņi atkal tuvojās , bet pats skaitlis paliek neatpazīts).

IN turpmākais darbs logaritmiem atkal skaitlis neparādās skaidri. Tomēr logaritmu izpēte turpinās. 1668. gadā Nikolajs Merkators publicēja darbuLogaritmotehnika, kurā ir sērijas paplašinājums. Šajā darbā Mercator vispirms izmanto nosaukumu “dabiskais logaritms” bāzes logaritmam. Skaitlis nepārprotami neparādās vēlreiz, bet paliek nenotverams kaut kur malā.

Pārsteidzoši, ka skaitlis vispirms parādās eksplicītā formā nevis saistībā ar logaritmiem, bet gan saistībā ar bezgalīgiem produktiem. 1683. gadā Džeikobs Bernulli mēģina atrast

Viņš izmanto binominālo teorēmu, lai pierādītu, ka šī robeža ir no 2 līdz 3, ko mēs varam uzskatīt par pirmo tuvinājumu. Lai gan mēs to uzskatām par definīciju, šī ir pirmā reize, kad skaitlis tiek definēts kā ierobežojums. Bernulli, protams, nesaprata saistību starp viņa darbu un darbu pie logaritmiem.

Iepriekš tika minēts, ka logaritmi pētījuma sākumā nekādā veidā nebija saistīti ar eksponentiem. Protams, no vienādojuma mēs atklājam, ka , bet tas ir daudz vēlāks uztveres veids. Šeit mēs faktiski domājam ar logaritmu funkciju, turpretī sākumā logaritms tika uzskatīts tikai par skaitli, kas palīdzēja aprēķinos. Džeikobs Bernulli, iespējams, bija pirmais, kurš saprata, ka logaritmiskā funkcija ir apgrieztā eksponenciālā. No otras puses, pirmā persona, kas savienoja logaritmus un pilnvaras, varēja būt Džeimss Gregorijs. 1684. gadā viņš noteikti atzina saikni starp logaritmiem un pakāpēm, taču viņš, iespējams, nebija pirmais.

Mēs zinām, ka numurs tā pašreizējā formā parādījās 1690. gadā. Leibnics vēstulē Huigensam izmantoja šo apzīmējumu. Beidzot parādījās apzīmējums (lai gan tas nesakrita ar mūsdienu), un šis apzīmējums tika atzīts.

1697. gadā Johans Bernulli sāka studēt eksponenciālā funkcija un publicēPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. Šajā darbā tiek aprēķinātas dažādu eksponenciālu rindu summas, un daži rezultāti iegūti, integrējot tos pa terminiem.

Eilers ieviesa tik daudz matemātisko apzīmējumu, ka
nav pārsteidzoši, ka apzīmējums pieder arī viņam. Šķiet smieklīgi teikt, ka viņš izmantoja šo burtu, jo tas ir viņa vārda pirmais burts. Iespējams, tas nav pat tāpēc, ka tas ir ņemts no vārda “eksponenciāls”, bet vienkārši tāpēc, ka tas ir nākamais patskanis aiz “a”, un Eilers jau savā darbā izmantoja apzīmējumu “a”. Neatkarīgi no iemesla šis apzīmējums pirmo reizi parādās vēstulē no Eilera Goldbaham 1731. gadā. Viņš veica daudzus atklājumus, studējot tālāk, bet tikai 1748. gadā.Introductio in Analysin infinitorumviņš sniedza pilnīgu pamatojumu visām idejām, kas saistītas ar. Viņš to parādīja

Eilers atrada arī skaitļa pirmās 18 zīmes aiz komata:

tomēr nepaskaidrojot, kā viņš tās ieguva. Šķiet, ka viņš pats ir aprēķinājis šo vērtību. Faktiski, ja ņemam aptuveni 20 sērijas (1) terminus, mēs iegūstam Eilera iegūto precizitāti. Cita starpā interesanti rezultāti viņa darbs parāda saistību starp sinusa un kosinusa funkcijām un komplekso eksponenciālo funkciju, ko Eilers atvasināja no Moivra formulas.

Interesanti, ka Eilers pat atrada skaitļa sadalīšanos turpinātajās daļās un sniedza šādas sadalīšanas piemērus. Jo īpaši viņš saņēma

Eilers nesniedza pierādījumus, ka šīs frakcijas turpinās tāpat, taču viņš zināja, ka, ja tāds būs, tas apliecinātu iracionalitāti. Patiešām, ja turpinātā daļa par , turpinātos tāpat kā dotajā piemērā, 6,10,14,18,22,26, (mēs pievienojam 4 katru reizi), tad tā nekad netiktu pārtraukta, un (un tāpēc ) nevarēja būt racionāls. Šis acīmredzot ir pirmais mēģinājums pierādīt iracionalitāti.

Pirmais, kas diezgan labi aprēķinās liels skaits skaitļa decimāldaļas, bija Šenks 1854. gadā. Glaišers parādīja, ka Šenksa aprēķinātās pirmās 137 vietas bija pareizas, bet pēc tam atrada kļūdu. Šenks to izlaboja, un tika iegūti 205 cipari aiz komata. Patiesībā jums ir nepieciešams apmēram
120 paplašināšanas termini (1), lai iegūtu 200 pareizos skaitļa ciparus.

1864. gadā Bendžamins Pīrss stāvēja pie tāfeles, uz kuras bija rakstīts

Savās lekcijās viņš varētu teikt saviem studentiem: "Kungi, mums nav ne mazākās nojausmas, ko tas nozīmē, bet mēs varam būt pārliecināti, ka tas nozīmē kaut ko ļoti svarīgu."

Lielākā daļa cilvēku uzskata, ka Eilers pierādīja skaitļa iracionalitāti. Tomēr to izdarīja Hermīts 1873. gadā. Jautājums par to, vai skaitlis ir algebrisks, joprojām paliek atklāts. Jaunākais rezultātsšajā virzienā ir tas, ka vismaz viens no skaitļiem ir pārpasaulīgs.

Tālāk tika aprēķinātas nākamās skaitļa zīmes aiz komata. 1884. gadā Būrmens aprēķināja 346 ciparus, no kuriem pirmie 187 sakrita ar Šenksa cipariem, bet nākamie atšķīrās. 1887. gadā Adamss aprēķināja decimāllogaritma 272 ciparus.

| Eilera numurs (E)

e - naturālā logaritma bāze, matemātiskā konstante, iracionāls un transcendentāls skaitlis. Aptuveni vienāds ar 2,71828. Dažreiz tiek izsaukts numurs Eilera numurs vai Napier numurs. Apzīmēts ar mazajiem burtiem Latīņu burts « e».

Stāsts

Numurs e vispirms parādījās matemātikā kā kaut kas nenozīmīgs. Tas notika 1618. gadā. Pielikumā Džona Napiera darbam par logaritmiem tika dota dažādu skaitļu naturālo logaritmu tabula. Tomēr neviens nesaprata, ka tie ir logaritmi uz bāzi e , jo tā laika logaritma jēdziens neietvēra tādu lietu kā bāze. To mēs tagad saucam par logaritmu, jaudu, līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu vajadzīgo skaitli. Pie šī mēs atgriezīsimies vēlāk. Tabulu pielikumā, visticamāk, veidojis Augthred, lai gan autors netika identificēts. Dažus gadus vēlāk, 1624. gadā, tas atkal parādās matemātikas literatūrā. e , bet atkal aizklātā veidā. Šogad Brigss deva decimāllogaritma skaitlisku tuvinājumu e , bet pats numurs e nav minēts viņa darbā.

Nākamā numura parādīšanās e atkal šaubīgi. 1647. gadā Sentvinsents aprēķināja hiperbolas sektora laukumu. Vai viņš saprata saikni ar logaritmiem, var tikai minēt, bet pat ja saprata, maz ticams, ka viņš būtu varējis nonākt pie paša skaitļa e . Tikai 1661. gadā Huigenss saprata saistību starp vienādmalu hiperbolu un logaritmiem. Viņš pierādīja, ka laukums zem vienādmalu hiperbolas grafika xy = 1 vienādmalu hiperbola intervālā no 1 līdz e ir vienāds ar 1. Šī īpašība padara e naturālo logaritmu pamatu, bet to tā laika matemātiķi nesaprata, bet pamazām tuvojās šai izpratnei.

Haigenss spēra nākamo soli 1661. gadā. Viņš definēja līkni, ko viņš sauca par logaritmisko (mūsu terminoloģijā mēs to sauksim par eksponenciālu). Šī ir formas līkne y = ka x . Un atkal parādās decimālais logaritms e , kuru Haigenss konstatē ar precizitāti līdz 17 cipariem aiz komata. Tomēr tas radās no Huygens kā sava veida konstante un nebija saistīts ar skaitļa logaritmu (tātad mēs atkal nonācām tuvu e , bet pats numurs e paliek neatpazīts).

Turpmākajā darbā pie logaritmiem atkal skaitlis e neparādās tieši. Tomēr logaritmu izpēte turpinās. 1668. gadā Nikolajs Merkators publicēja darbu Logaritmotehnika, kurā ir sērijas paplašinājums žurnāls (1 + x) . Šajā darbā Mercator vispirms izmanto nosaukumu “dabiskais logaritms” bāzes logaritmam e . Numurs e nepārprotami atkal neparādās, bet paliek netverams kaut kur malā.

Pārsteidzoši, ka skaitlis e pirmo reizi skaidri parādās nevis saistībā ar logaritmiem, bet gan saistībā ar bezgalīgiem produktiem. 1683. gadā Džeikobs Bernulli mēģina atrast

Viņš izmanto binomiālo teorēmu, lai pierādītu, ka šī robeža ir no 2 līdz 3, ko mēs varam uzskatīt par pirmo skaitļa tuvinājumu. e . Lai gan mēs to uztveram kā definīciju e , šī ir pirmā reize, kad skaitlis tiek definēts kā ierobežojums. Bernulli, protams, nesaprata saistību starp viņa darbu un darbu pie logaritmiem.

Iepriekš tika minēts, ka logaritmi pētījuma sākumā nekādā veidā nebija saistīti ar eksponentiem. Protams, no vienādojuma x = a t mēs to atrodam t = baļķu cirvis , bet tas ir daudz vēlāks uztveres veids. Šeit mēs faktiski domājam ar logaritmu funkciju, turpretī sākumā logaritms tika uzskatīts tikai par skaitli, kas palīdzēja aprēķinos. Džeikobs Bernulli, iespējams, bija pirmais, kurš saprata, ka logaritmiskā funkcija ir apgrieztā eksponenciālā. No otras puses, pirmā persona, kas savienoja logaritmus un pilnvaras, varēja būt Džeimss Gregorijs. 1684. gadā viņš noteikti atzina saikni starp logaritmiem un pakāpēm, taču viņš, iespējams, nebija pirmais.

Mēs zinām, ka numurs e pašreizējā formā parādījās 1690. gadā. Leibnics vēstulē Huigensam izmantoja apzīmējumu. b . Beidzot e parādījās apzīmējums (lai gan tas nesakrita ar mūsdienu), un šis apzīmējums tika atzīts.

1697. gadā Johans Bernulli sāka pētīt eksponenciālo funkciju un publicēja Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Šajā darbā tiek aprēķinātas dažādu eksponenciālu rindu summas, un daži rezultāti iegūti, integrējot tos pa terminiem.

Leonhards Eilers ieviesa tik daudz matemātisko apzīmējumu, ka nav pārsteidzoši, ka apzīmējums e arī pieder viņam. Šķiet smieklīgi teikt, ka viņš izmantoja vēstuli e sakarā ar to, ka tas ir viņa vārda pirmais burts. Laikam pat ne tāpēc e ņemts no vārda “eksponenciāls”, tas vienkārši ir nākamais patskanis aiz “a”, un Eilers jau savā darbā izmantoja apzīmējumu “a”. Neatkarīgi no iemesla šis apzīmējums pirmo reizi parādās vēstulē, ko Eilera adresēja Goldbaham 1731. gadā. Viņš veica daudzus atklājumus, studējot. e vēlāk, bet tikai 1748. gadā Introductio in Analysin infinitorum viņš sniedza pilnīgu pamatojumu visām idejām, kas saistītas ar e . Viņš to parādīja

Eilers atrada arī skaitļa pirmās 18 zīmes aiz komata e :

Tiesa, nepaskaidrojot, kā viņš tās ieguvis. Šķiet, ka viņš pats ir aprēķinājis šo vērtību. Faktiski, ja ņemam aptuveni 20 sērijas (1) terminus, mēs iegūstam Eilera iegūto precizitāti. Starp citiem interesantiem viņa darba rezultātiem ir saikne starp sinusa un kosinusa funkcijām un komplekso eksponenciālo funkciju, ko Eilers atvasināja no De Moivre formulas.

Interesanti, ka Eilers pat atrada skaitļa sadalījumu e turpinājumā un sniedza šādas paplašināšanas piemērus. Jo īpaši viņš saņēma

Eilers nesniedza pierādījumus, ka šīs daļas turpinās tāpat, taču viņš zināja, ka, ja tāds būtu, tas pierādītu iracionalitāti e . Patiešām, ja turpinātā daļa par (e — 1) / 2 , turpinājās tāpat kā iepriekš minētajā piemērā, 6,10,14,18,22,26, (katru reizi pievienojam 4), tad tas nekad netiktu pārtraukts, un (e -1) / 2 (un tāpēc e ) nevarēja būt racionāls. Acīmredzot šis ir pirmais mēģinājums pierādīt iracionalitāti e .

Pirmais, kurš aprēķināja diezgan lielu skaitļa decimāldaļu skaitu e , bija Shanks 1854. gadā. Glaišers parādīja, ka pirmās Šenksa aprēķinātās 137 rakstzīmes bija pareizas, bet pēc tam atrada kļūdu. Šenks to izlaboja, un tika iegūtas 205 skaitļa zīmes aiz komata e . Faktiski ir nepieciešami aptuveni 120 paplašināšanas vienumi (1), lai iegūtu 200 pareizos skaitļa ciparus. e .

1864. gadā Bendžamins Pīrss stāvēja pie tāfeles, uz kuras bija rakstīts

Savās lekcijās viņš varētu teikt saviem studentiem: "Kungi, mums nav ne mazākās nojausmas, ko tas nozīmē, bet mēs varam būt pārliecināti, ka tas nozīmē kaut ko ļoti svarīgu."

Lielākā daļa uzskata, ka Eilers pierādīja skaitļa iracionalitāti e . Tomēr to izdarīja Hermīts 1873. gadā. Jautājums paliek atklāts, vai numurs ir e e algebriskā. Gala rezultāts šajā virzienā ir tāds, ka vismaz viens no skaitļiem e e Un e e 2 ir pārpasaulīgs.

Tālāk tika aprēķinātas šādas skaitļa zīmes aiz komata e . 1884. gadā Būrmens aprēķināja 346 ciparus e , no kurām pirmās 187 sakrita ar Šenksa zīmēm, bet nākamās atšķīrās. 1887. gadā Adamss aprēķināja decimāllogaritma 272 ciparus e .

J. J. Konors, E. F. Robertsons. Numurs e.

It kā kaut kas nenozīmīgs. Tas notika 1618. gadā. Pielikumā Napiera darbam par logaritmiem tika dota dažādu skaitļu naturālo logaritmu tabula. Tomēr neviens nesaprata, ka tie ir logaritmi uz bāzi, jo logaritma jēdziens tajā laikā neietvēra tādu lietu kā bāze. To mēs tagad saucam par logaritmu, jaudu, līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu vajadzīgo skaitli. Pie šī mēs atgriezīsimies vēlāk. Tabulu pielikumā, visticamāk, veidojis Augthred, lai gan autors netika identificēts. Dažus gadus vēlāk, 1624. gadā, tas atkal parādās matemātikas literatūrā, bet atkal aizklātā veidā. Šogad Brigss sniedza decimāllogaritma skaitlisku tuvinājumu, bet pats skaitlis viņa darbā nav minēts.

Nākamā numura parādīšanās atkal ir apšaubāma. 1647. gadā Sentvinsents aprēķināja hiperbolas sektora laukumu. Vai viņš saprata saistību ar logaritmiem, var tikai minēt, bet pat tad, ja viņš saprata, maz ticams, ka viņš varētu nonākt pie paša skaitļa. Tikai 1661. gadā Huigenss saprata saistību starp vienādmalu hiperbolu un logaritmiem. Viņš pierādīja, ka laukums zem grafika vienādmalu hiperbola vienādmalu hiperbola uz intervālu no līdz ir vienāds ar . Šī īpašība veido naturālo logaritmu pamatu, taču to nesaprata tā laika matemātiķi, taču viņi pamazām tuvojās šai izpratnei.

Haigenss spēra nākamo soli 1661. gadā. Viņš definēja līkni, ko viņš sauca par logaritmisko (mūsu terminoloģijā mēs to sauksim par eksponenciālu). Šī ir tipa līkne. Un atkal parādās decimālais logaritms, kuru Haigenss atrod ar precizitāti līdz 17 cipariem aiz komata. Tomēr tas radās no Huygens kā sava veida konstante un nebija saistīts ar skaitļa logaritmu (tātad viņi atkal tuvojās , bet pats skaitlis paliek neatpazīts).

Turpmākajā darbā pie logaritmiem skaitlis atkal neparādās skaidri. Tomēr logaritmu izpēte turpinās. 1668. gadā Nikolajs Merkators publicēja darbu Logaritmotehnika, kurā ir sērijas paplašinājums. Šajā darbā Mercator vispirms izmanto nosaukumu “dabiskais logaritms” bāzes logaritmam. Skaitlis nepārprotami neparādās vēlreiz, bet paliek nenotverams kaut kur malā.

Pārsteidzoši, ka skaitlis vispirms parādās eksplicītā formā nevis saistībā ar logaritmiem, bet gan saistībā ar bezgalīgiem produktiem. 1683. gadā Džeikobs Bernulli mēģina atrast

Viņš izmanto binomiālo teorēmu, lai pierādītu, ka šī robeža ir starp un , ko mēs varam uzskatīt par pirmo tuvinājumu. Lai gan mēs to uzskatām par definīciju, šī ir pirmā reize, kad skaitlis tiek definēts kā ierobežojums. Bernulli, protams, nesaprata saistību starp viņa darbu un darbu pie logaritmiem.

Eilers ieviesa tik daudz matemātisko apzīmējumu, ka
nav pārsteidzoši, ka apzīmējums pieder arī viņam. Šķiet smieklīgi teikt, ka viņš izmantoja šo burtu, jo tas ir viņa vārda pirmais burts. Iespējams, tas nav pat tāpēc, ka tas ir ņemts no vārda “eksponenciāls”, bet vienkārši tāpēc, ka tas ir nākamais patskanis aiz “a”, un Eilers jau savā darbā izmantoja apzīmējumu “a”. Neatkarīgi no iemesla šis apzīmējums pirmo reizi parādās vēstulē no Eilera Goldbaham 1731. gadā. Viņš veica daudzus atklājumus, studējot tālāk, bet tikai 1748. gadā. Introductio in Analysin infinitorum viņš sniedza pilnīgu pamatojumu visām idejām, kas saistītas ar. Viņš to parādīja

Eilers atrada arī skaitļa pirmās 18 zīmes aiz komata:

tomēr nepaskaidrojot, kā viņš tās ieguva. Šķiet, ka viņš pats ir aprēķinājis šo vērtību. Faktiski, ja ņemam aptuveni 20 sērijas (1) terminus, mēs iegūstam Eilera iegūto precizitāti. Starp citiem interesantiem viņa darba rezultātiem ir saikne starp sinusa un kosinusa funkcijām un komplekso eksponenciālo funkciju, ko Eilers atvasināja no De Moivre formulas.

Interesanti, ka Eilers pat atrada skaitļa sadalīšanos turpinātajās daļās un sniedza šādas sadalīšanas piemērus. Jo īpaši viņš saņēma
Un
Eilers nesniedza pierādījumus, ka šīs frakcijas turpinās tāpat, taču viņš zināja, ka, ja tāds būs, tas apliecinātu iracionalitāti. Patiešām, ja turpinātā daļa turpinātos tāpat kā iepriekš minētajā piemērā (mēs pievienojam katru reizi), tad tā nekad netiktu pārtraukta un (un tāpēc) nevarētu būt racionāla. Šis acīmredzot ir pirmais mēģinājums pierādīt iracionalitāti.

Pirmais, kurš aprēķināja diezgan lielu decimāldaļu skaitu, bija Shanks 1854. gadā. Glaišers parādīja, ka Šenksa aprēķinātie pirmie 137 cipari bija pareizi, bet pēc tam atrada kļūdu. Šenks to izlaboja, un tika iegūti 205 cipari aiz komata. Patiesībā jums ir nepieciešams apmēram
120 paplašināšanas termini (1), lai iegūtu 200 pareizos skaitļa ciparus.

1864. gadā Bendžamins Pīrss stāvēja pie tāfeles, uz kuras bija rakstīts

Savās lekcijās viņš varētu teikt saviem studentiem: "Kungi, mums nav ne mazākās nojausmas, ko tas nozīmē, bet mēs varam būt pārliecināti, ka tas nozīmē kaut ko ļoti svarīgu."

Lielākā daļa cilvēku uzskata, ka Eilers pierādīja skaitļa iracionalitāti. Tomēr to izdarīja Hermīts 1873. gadā. Jautājums par to, vai skaitlis ir algebrisks, joprojām paliek atklāts. Gala rezultāts šajā virzienā ir tāds, ka vismaz viens no skaitļiem ir pārpasaulīgs.

y (x) = e x, kuras atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju.

Eksponents ir apzīmēts kā , vai .

Numurs e

Eksponenta pakāpes pamats ir numurs e. Tas ir neracionāls skaitlis. Tas ir aptuveni vienāds
e ≈ 2,718281828459045...

Skaitlis e tiek noteikts, izmantojot secības robežu. Šis ir tā sauktais otrā brīnišķīgā robeža:
.

Skaitli e var attēlot arī kā sēriju:
.

Eksponenciālais grafiks

Eksponenciālais grafiks, y = e x .

Grafikā parādīts eksponenciāls e līdz pakāpei X.
y (x) = e x
Grafikā redzams, ka eksponents palielinās monotoni.

Formulas

Pamatformulas ir tādas pašas kā eksponenciālajai funkcijai ar e pakāpes bāzi.

;
;
;

Eksponenciālas funkcijas izteiksme ar patvaļīgu a pakāpes bāzi caur eksponenciālu:
.

Privātās vērtības

Ļaujiet y (x) = e x.
.

Tad

Eksponentu īpašības e > 1 .

Eksponentam ir eksponenciālas funkcijas īpašības ar jaudas bāzi

Domēns, vērtību kopa (x) = e x Eksponents y
definēts visiem x.
- ∞ < x + ∞ .
Tās definīcijas joma:
0 < y < + ∞ .

Tās daudzās nozīmes:

Galējības, pieaug, samazinās

Eksponenciālais ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.

Eksponenta apgrieztā vērtība ir naturālais logaritms.
;
.

Eksponenta atvasinājums

Atvasinājums e līdz pakāpei X vienāds ar e līdz pakāpei X :
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>

Integrāls

Kompleksie skaitļi

Darbības ar kompleksajiem skaitļiem tiek veiktas, izmantojot Eilera formulas:
,
kur ir iedomātā vienība:
.

Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas

; ;
.

Izteiksmes, izmantojot trigonometriskās funkcijas

; ;
;
.

Jaudas sērijas paplašināšana

Izmantotā literatūra:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

Ģeoloģijas un mineraloģijas zinātņu doktors, fizikas un matemātikas zinātņu kandidāts B. GOROBETS.

Funkciju y = arcsin x, apgrieztās funkcijas y = sin x grafiki

Funkcijas y = arctan x grafiks, funkcijas y = tan x apgrieztais attēls.

Normālā sadalījuma funkcija (Gausa sadalījums). Tās grafika maksimums atbilst gadījuma lieluma ticamākajai vērtībai (piemēram, objekta garumam, ko mēra ar lineālu), un līknes “izkliedes” pakāpe ir atkarīga no parametriem a un sigma.

Senās Babilonas priesteri aprēķināja, ka saules disks debesīs iekļaujas 180 reizes no rītausmas līdz saulrietam un ieviesa jaunu mērvienību - grādu, kas vienāds ar tā leņķa izmēru.

Izmēri dabas veidojumi- smilšu kāpas, pauguri un kalni - pieaug ar katru soli vidēji 3,14 reizes.

Zinātne un dzīve // Ilustrācijas

Svārsts, šūpojoties bez berzes un pretestības, uztur nemainīgu svārstību amplitūdu. Pretestības parādīšanās izraisa svārstību eksponenciālu vājināšanos.

Ļoti viskozā vidē novirzīts svārsts eksponenciāli virzās uz savu līdzsvara stāvokli.

Svari priežu čiekuri un daudzu mīkstmiešu čaumalu cirtas ir sakārtotas logaritmiskās spirālēs.

Zinātne un dzīve // Ilustrācijas

Logaritmiskā spirāle ar vienādiem leņķiem krusto visus starus, kas izplūst no punkta O.

Droši vien jebkurš pretendents vai students, uz jautājumu, kas ir skaitļi un e, atbildēs: - tas ir skaitlis, kas vienāds ar apkārtmēra attiecību pret tā diametru, un e ir naturālo logaritmu bāze. Ja studenti lūdz šos skaitļus definēt stingrāk un tos aprēķināt, studenti sniegs formulas:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…

(atcerieties, ka faktoriāls n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Ņūtona sērija ir pēdējā, ir arī citas sērijas).

Tas viss ir taisnība, bet, kā zināms, skaitļi un e ir iekļauti daudzās formulās matemātikā, fizikā, ķīmijā, bioloģijā un arī ekonomikā. Tas nozīmē, ka tie atspoguļo dažus vispārīgie likumi daba. Kuras tieši? Šo skaitļu definīcijas sērijās, neskatoties uz to pareizību un stingrību, joprojām rada neapmierinātības sajūtu. Tie ir abstrakti un nepārliecina attiecīgo skaitļu saistību ar ārpasauli ikdienas pieredzē. Mācību literatūrā nav iespējams atrast atbildes uz uzdoto jautājumu.

Tikmēr var apgalvot, ka konstante e ir tieši saistīta ar telpas un laika viendabīgumu un telpas izotropiju. Tādējādi tie atspoguļo saglabāšanas likumus: skaitlis e - enerģija un impulss (impulss), un skaitlis - griezes moments (impulss). Parasti šādi negaidīti apgalvojumi izraisa izbrīnu, lai gan būtībā no teorētiskās fizikas viedokļa tajos nav nekā jauna. Šo pasaules konstantu dziļā nozīme joprojām ir terra incognita skolēniem, studentiem un, acīmredzot, pat lielākajai daļai matemātikas un vispārējās fizikas skolotāju, nemaz nerunājot par citām dabaszinātņu un ekonomikas jomām.

Augstskolas pirmajā kursā studentus var mulsināt, piemēram, jautājums: kāpēc arktangenss parādās, integrējot 1/(x 2 +1) tipa funkcijas, un lokveida trigonometriskās arksīna tipa funkcijas, kas izsaka lielumu no apļa loka? Citiem vārdiem sakot, no kurienes apļi “nāk” integrācijas laikā un kur tie pēc tam pazūd apgrieztās darbības laikā - atšķirot arktangensu un arcsinusu? Maz ticams, ka atbilstošo diferenciācijas un integrācijas formulu atvasināšana atbildēs uz paša uzdoto jautājumu.

Tālāk augstskolas otrajā kursā, studējot varbūtību teoriju, skaitlis parādās normālā sadalījuma likuma formulā nejaušie mainīgie(sk. "Zinātne un dzīve" Nr. 2, 1995); no tā var, piemēram, aprēķināt, ar kādu varbūtību monēta uzkritīs uz ģerboņa jebkādu skaitu reižu ar, teiksim, 100 metieniem. Kur te ir apļi? Vai monētas formai patiešām ir nozīme? Nē, varbūtības formula kvadrātveida monētai ir tāda pati. Tiešām, tie nav viegli jautājumi.

Bet skaitļa e būtība ir noderīga ķīmijas un materiālzinātnes studentiem, biologiem un ekonomistiem, lai uzzinātu dziļāk. Tas viņiem palīdzēs izprast radioaktīvo elementu sabrukšanas kinētiku, šķīdumu piesātinājumu, materiālu nodilumu, mikrobu savairošanos, signālu ietekmi uz maņām, kapitāla uzkrāšanas procesus utt. - bezgalīgi daudz parādību pasaulē. dzīvo un nedzīvā daba un cilvēku darbības.

Telpas skaits un sfēriskā simetrija

Pirmkārt, mēs formulējam pirmo galveno tēzi un pēc tam izskaidrojam tās nozīmi un sekas.

1. Skaitlis atspoguļo mūsu Visuma tukšās telpas īpašību izotropiju, to vienādību jebkurā virzienā. Griezes momenta saglabāšanas likums ir saistīts ar telpas izotropiju.

Tas noved pie labi zināmām sekām, kuras tiek pētītas vidusskolā.

Secinājums 1. Apļa loka garums, pa kuru atbilst tā rādiuss, ir dabiskā loka un leņķa vienība radiāns.

Šī vienība ir bezizmēra. Lai atrastu radiānu skaitu apļa lokā, jums jāizmēra tā garums un jādala ar šī apļa rādiusa garumu. Kā zināms, pa jebkuru pilns aplis tā rādiuss ir aptuveni 6,28 reizes. Precīzāk, pilna apļa loka garums ir 2 radiāni un jebkurās skaitļu sistēmās un garuma vienībās. Kad ritenis tika izgudrots, tas izrādījās vienāds starp Amerikas indiāņiem, Āzijas nomadiem un Āfrikas melnajiem. Tikai loka mērvienības bija atšķirīgas un parastās. Tādējādi mūsu leņķa un loka grādus ieviesa Babilonijas priesteri, kuri uzskatīja, ka Saules disks, kas atrodas gandrīz zenītā, no rītausmas līdz saulrietam debesīs iekļaujas 180 reizes. 1 grāds ir 0,0175 rad vai 1 rad ir 57,3°. Var apgalvot, ka hipotētiskās citplanētiešu civilizācijas viegli saprastu viena otru, apmainoties ar ziņu, kurā aplis sadalīts sešās daļās “ar asti”; tas nozīmētu, ka “sarunu partneris” jau ir vismaz izturējis riteņa no jauna izgudrošanas posmu un zina, kāds ir skaitlis.

Secinājums 2. Mērķis trigonometriskās funkcijas- izteikt saistību starp objektu loka un lineārajiem izmēriem, kā arī starp sfēriski simetriskā telpā notiekošo procesu telpiskajiem parametriem.

No iepriekš minētā ir skaidrs, ka trigonometrisko funkciju argumenti principā ir bezdimensiju, tāpat kā cita veida funkciju argumenti, t.i. tie ir reāli skaitļi - punkti uz skaitļu ass, kuriem nav nepieciešams grādu apzīmējums.

Pieredze rāda, ka skolēniem, koledžu un augstskolu studentiem ir grūtības pierast pie bezdimensiju argumentiem par sinusu, tangensu utt. Ne katrs pretendents bez kalkulatora varēs atbildēt uz jautājumu, kas cos1 (aptuveni 0,5) vai arctg / 3. Pēdējais piemērs ir īpaši mulsinošs. Bieži tiek teikts, ka tas ir muļķības: "loka, kuras arktangenss ir 60 o." Ja jūs sakāt tieši tā, tad kļūda būs neatļauta izmantošana pakāpes mērs uz funkcijas argumentu. Un pareizā atbilde ir: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Diemžēl diezgan bieži reflektanti un studenti saka, ka = 180 0, pēc tam tie jālabo: decimālskaitļu sistēmā = 3,14…. Bet, protams, mēs varam teikt, ka radiāns ir vienāds ar 180 0.

Apskatīsim vēl vienu netriviālu situāciju, kas sastopama varbūtības teorijā. Tas attiecas uz svarīgo nejaušas kļūdas varbūtības formulu (vai normāls likums varbūtības sadalījums), kas ietver skaitli . Izmantojot šo formulu, jūs varat, piemēram, aprēķināt varbūtību, ka monēta uzkritīs uz ģerboņa 50 reizes ar 100 metieniem. Tātad, no kurienes cēlies tajā esošais numurs? Galu galā, šķiet, ka tur nav redzami nekādi apļi vai apļi. Bet būtība ir tāda, ka monēta nejauši krīt sfēriski simetriskā telpā, kuras visos virzienos ir jāņem vērā nejaušās svārstības. Matemātiķi to dara, integrējot ap apli un aprēķinot tā saukto Puasona integrāli, kas ir vienāds ar norādīto varbūtības formulu un iekļauts tajā. Skaidrs šādu svārstību piemērs ir šaušanas piemērs mērķī nemainīgos apstākļos. Mērķa caurumi ir izkaisīti aplī (!) ar vislielāko blīvumu tuvu mērķa centram, un trāpījuma varbūtību var aprēķināt, izmantojot to pašu formulu, kurā ir skaitlis .

Vai skaitlis ir “iesaistīts” dabiskās struktūrās?

Mēģināsim izprast parādības, kuru cēloņi nebūt nav skaidri, bet kuras, iespējams, arī nebija bez skaita.

Iekšzemes ģeogrāfs V. V. Pjotrovskis salīdzināja vidējos raksturīgos izmērus dabiskie reljefi nākamajā rindā: smilšu riffle uz sekliem, kāpām, pakalniem, kalnu sistēmas Kaukāzs, Himalaji uc Izrādījās, ka vidējais lieluma pieaugums ir 3,14. Šķiet, ka nesen tika atklāts līdzīgs modelis Mēness un Marsa topogrāfijā. Pjotrovskis raksta: “Tektoniskās strukturālās formas veidojās gadā zemes garoza un izteikti uz tās virsmas reljefa formu veidā, attīstās dažu vispārīgu procesu rezultātā, kas notiek Zemes ķermenī, tie ir proporcionāli Zemes izmēram." Precīzāk sakot, tie ir proporcionāli attiecībai tā lineārajiem un loka izmēriem.

Šo parādību pamatā var būt tā sauktais nejaušo rindu maksimumu sadalījuma likums jeb “trijnieku likums”, ko 1927. gadā formulēja E. E. Slutskis.

Statistiski saskaņā ar trijnieku likumu veidojas jūras piekrastes viļņi, ko zināja senie grieķi. Katrs trešais vilnis vidēji ir nedaudz augstāks par kaimiņiem. Un šo trešo maksimumu sērijā katrs trešais savukārt ir augstāks par saviem kaimiņiem. Tā veidojas slavenais devītais vilnis. Viņš ir "otrā ranga perioda" virsotne. Daži zinātnieki norāda, ka saskaņā ar trīnīšu likumu notiek arī saules, komētu un meteorītu aktivitātes svārstības. Intervāli starp to maksimumiem ir deviņi līdz divpadsmit gadi jeb aptuveni 3 2 . Ko domā ārsts? bioloģijas zinātnes G. Rozenberga, laika secību konstruēšanu varam turpināt šādi. Trešās pakāpes periods 3 3 atbilst intervālam starp smagiem sausumiem, kas vidēji ir 27-36 gadi; periods 3 4 - laicīgais cikls saules aktivitāte(81-108 gadi); periods 3 5 - apledojuma cikli (243-324 gadi). Sakritības kļūs vēl labākas, ja atkāpsimies no “tīro” trīskāršu likuma un pāriesim pie skaitļu pakāpēm. Starp citu, tos ir ļoti viegli aprēķināt, jo 2 ir gandrīz vienāds ar 10 (kādreiz Indijā skaitlis pat tika definēts kā 10 sakne). Var turpināt pieskaņot ģeoloģisko laikmetu, periodu un laikmetu ciklus veseliem trīs pakāpēm (ko īpaši dara G. Rozenbergs krājumā “Eureka-88”, 1988) vai skaitļiem 3.14. Un jūs vienmēr varat uztvert vēlmju domāšanu ar dažādu precizitātes pakāpi. (Saistībā ar korekcijām nāk prātā matemātisks joks. Pierādīsim to

nepāra skaitļi

Ciparu būtība ir vienkārša. Mēs ņemam: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 utt., un 9 šeit ir eksperimentāla kļūda.) Un tomēr ideja par skaitļa p nepārprotamo lomu daudzos ģeoloģiskos un bioloģiskos procesos. parādības, šķiet, nav pilnīgi tukšas, un, iespējams, tas parādīsies nākotnē. Skaitlis e un laika un telpas viendabīgums Tagad pāriesim pie otrās lielās pasaules konstantes – skaitļa e Matemātiski nevainojama skaitļa e noteikšana, izmantojot iepriekš doto sēriju, būtībā nekādi nenoskaidro tā saistību ar fizisko vai citu.

Ikviens zina, ka nepārtrauktu vilni laikā var raksturot ar sinusa vilni vai sinusa un kosinusa viļņu summu. Matemātikā, fizikā un elektrotehnikā šādu vilni (ar amplitūdu, kas vienāda ar 1) apraksta ar eksponenciālo funkciju e iβt =cos βt + isin βt, kur β ir harmonisko svārstību frekvence. Šeit ir uzrakstīta viena no slavenākajām matemātiskajām formulām - Eilera formula. Tieši par godu izcilajam Leonhardam Eileram (1707-1783) cipars e tika nosaukts pēc viņa uzvārda pirmā burta.

Šī formula ir labi zināma skolēniem, taču tā ir jāpaskaidro nematemātikas skolu skolēniem, jo mūsu laikos no parastajām skolu programmas Kompleksie skaitļi ir izslēgti. Kompleksais skaitlis z = x+iy sastāv no diviem terminiem – reālā skaitļa (x) un iedomātā skaitļa, kas ir reālais skaitlis y, kas reizināts ar iedomāto vienību. Reālie skaitļi tiek skaitīti pa reālo asi O x, un iedomātie skaitļi tiek skaitīti tajā pašā skalā pa iedomāto asi O y, kuras mērvienība ir i, un šīs vienības segmenta garums ir modulis | es | =1. Tieši tāpēc kompleksais skaitlis atbilst punktam plaknē ar koordinātām (x, y). Tātad, neparasts izskats skaitlis e ar eksponentu, kas satur tikai iedomātas vienības i, nozīmē tikai neslāpētu svārstību klātbūtni, ko raksturo kosinuss un sinusa vilnis.

Ir skaidrs, ka neslāpēts vilnis parāda atbilstību enerģijas nezūdamības likumam elektromagnētiskais vilnis vakuumā. Šī situācija rodas viļņa “elastīgās” mijiedarbības laikā ar vidi, nezaudējot tā enerģiju. Formāli to var izteikt šādi: ja jūs pārvietojat atskaites punktu pa laika asi, viļņa enerģija tiks saglabāta, jo harmoniskais vilnis saglabās tādu pašu amplitūdu un frekvenci, tas ir, enerģijas vienības un tikai tās. fāze, perioda daļa, kas atrodas tālu no jaunā atskaites punkta, mainīsies. Bet fāze neietekmē enerģiju tieši laika viendabības dēļ, kad atskaites punkts tiek nobīdīts. Tātad koordinātu sistēmas paralēla pārnešana (to sauc par translāciju) ir likumīga laika t viendabīguma dēļ. Tagad, iespējams, principā ir skaidrs, kāpēc viendabīgums laikā noved pie enerģijas nezūdamības likuma.

Tālāk iedomāsimies vilni nevis laikā, bet gan telpā. Skaidrs piemērs tas var būt stāvvilnis (nekustīgas virknes svārstības vairākos punktos-mezglos) vai piekrastes smilšu viļņi. Matemātiski šis vilnis pa O x asi tiks uzrakstīts kā e ix = cos x + isin x. Ir skaidrs, ka šajā gadījumā translācija pa x nemainīs ne kosinusu, ne sinusoīdu, ja telpa ir viendabīga gar šo asi. Atkal mainīsies tikai to fāze. No teorētiskās fizikas ir zināms, ka telpas viendabīgums noved pie impulsa (impulsa) saglabāšanas likuma, tas ir, masas reizinājuma ar ātrumu. Lai tagad telpa ir homogēna laikā (un enerģijas nezūdamības likums ir izpildīts), bet koordinātas neviendabīga. Tad dažādos nehomogēnās telpas punktos ātrums arī būtu nevienāds, jo uz viendabīga laika vienību būtu dažādas nozīmes segmentu garums, ko sekundē sedz daļiņa ar noteiktu masu (vai vilnis ar noteiktu impulsu).

Tātad, mēs varam formulēt otro galveno tēzi:

2. Skaitlis e kā kompleksa mainīgā funkcijas pamats atspoguļo divus nezūdamības pamatlikumus: enerģiju - caur laika viendabīgumu, impulsu - caur telpas viendabīgumu.

Un tomēr, kāpēc tieši skaitlis e, nevis kāds cits, tika iekļauts Eilera formulā un izrādījās viļņu funkcijas pamatā? Iekļūšana robežās skolas kursi matemātiku un fiziku, atbildēt uz šo jautājumu nav viegli. Autore apsprieda šo problēmu ar teorētiķi, fizikas un matemātikas zinātņu doktoru V.D., un mēs mēģinājām situāciju izskaidrot šādi.

Vissvarīgākā procesu klase - lineārie un linearizētie procesi - saglabā savu linearitāti tieši telpas un laika viendabīguma dēļ. Matemātiski lineāru procesu apraksta ar funkciju, kas kalpo kā risinājums diferenciālvienādojumam ar pastāvīgie koeficienti(šāda veida vienādojumus pēta universitāšu un koledžu pirmajā un otrajā kursā). Un tā kodols ir iepriekš minētā Eilera formula. Tātad risinājums satur sarežģītu funkciju ar bāzi e, tāpat kā viļņu vienādojums. Turklāt tas ir e, nevis cits skaitlis grāda bāzē! Jo tikai funkcija ex nemainās nevienam skaitam diferenciāciju un integrāciju. Un tāpēc pēc aizstāšanas sākotnējā vienādojumā tikai risinājums ar bāzi e dos identitāti, kā tas būtu jādara pareizam risinājumam.

Tagad pierakstīsim diferenciālvienādojuma risinājumu ar nemainīgiem koeficientiem, kas apraksta harmoniskā viļņa izplatīšanos vidē, ņemot vērā neelastīgo mijiedarbību ar to, kas noved pie enerģijas izkliedes vai enerģijas iegūšanas no ārējiem avotiem:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Mēs redzam, ka Eilera formula tiek reizināta ar reālo mainīgo e αt, kas ir laika gaitā mainīgā viļņa amplitūda. Iepriekš vienkāršības labad mēs pieņēmām, ka tā ir nemainīga un vienāda ar 1. To var izdarīt neslāpētu harmonisku svārstību gadījumā ar α = 0. Jebkura viļņa vispārīgā gadījumā amplitūdas uzvedība ir atkarīga no zīmes. koeficienta a ar mainīgo t (laiks): ja α > 0, svārstību amplitūda palielinās, ja α< 0, затухает по экспоненте.

Varbūt pēdējā rindkopa ir grūta daudzu parasto skolu absolventiem. Tomēr tam vajadzētu būt saprotamam universitāšu un koledžu studentiem, kuri rūpīgi pēta diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem.

Tagad iestatīsim β = 0, tas ir, mēs iznīcināsim svārstību koeficientu ar skaitli i risinājumā, kurā ir Eilera formula. No iepriekšējām svārstībām paliks tikai “amplitūda”, kas samazinās (vai pieaug) eksponenciāli.

Lai ilustrētu abus gadījumus, iedomājieties svārstu. Tukšā telpā tas svārstās bez slāpēšanas. Telpā ar pretestības vidi svārstības notiek ar eksponenciālu amplitūdas samazināšanos. Ja novirzīsit ne pārāk masīvu svārstu pietiekami viskozā vidē, tas vienmērīgi virzīsies uz līdzsvara stāvokli, arvien vairāk palēninot.

Tātad no 2. darba varam secināt šādu secinājumu:

Secinājums 1. Ja nav funkcijas f(t) iedomātas, tīri vibrācijas daļas, pie β = 0 (tas ir, pie nulles frekvences), reālā daļa eksponenciālā funkcija apraksta daudzus dabas procesus, kas noris saskaņā ar pamatprincipu: vērtības pieaugums ir proporcionāls pašai vērtībai .

Formulētais princips matemātiski izskatās šādi: ∆I ~ I∆t, kur, teiksim, I ir signāls, un ∆t ir neliels laika intervāls, kurā signāls ∆I palielinās. Sadalot abas vienādības puses ar I un integrējot, iegūstam lnI ~ kt. Vai: I ~ e kt - signāla eksponenciāla pieauguma vai samazināšanās likums (atkarībā no k zīmes). Tādējādi vērtības pieauguma samērīguma ar vērtību likums noved pie pašas naturālais logaritms un tādējādi uz skaitli e (Un šeit tas ir parādīts formā, kas ir pieejama vidusskolēniem, kuri zina integrācijas elementus.)

Daudzi procesi fizikā, ķīmijā, bioloģijā, ekoloģijā, ekonomikā utt., Bez vilcināšanās notiek eksponenciāli ar reālu argumentu. Mēs īpaši atzīmējam Vēbera - Fehnera universālo psihofizisko likumu (kādu iemeslu dēļ tas tiek ignorēts izglītības programmas skolas un universitātes). Tajā teikts: "Sajūtas stiprums ir proporcionāls stimulācijas stipruma logaritmam."

Šim likumam ir pakļauta redze, dzirde, oža, tauste, garša, emocijas un atmiņa (protams, līdz fizioloģiskie procesi pēkšņi pārvēršas par patoloģiskiem, kad receptori ir pārveidoti vai iznīcināti). Saskaņā ar likumu: 1) neliels kairinājuma signāla pieaugums jebkurā intervālā atbilst lineāram jutības stipruma pieaugumam (ar plusu vai mīnusu); 2) vāju kairinājuma signālu zonā sajūtas stipruma pieaugums ir daudz straujāks nekā spēcīgu signālu zonā. Ņemsim par piemēru tēju: glāze tējas ar diviem cukura gabaliņiem tiek uztverta divreiz saldāka nekā tēja ar vienu cukura gabalu; bet tēja ar 20 cukura gabaliņiem diez vai šķitīs jūtami saldāka nekā ar 10 gabaliņiem. Bioloģisko receptoru dinamiskais diapazons ir kolosāls: acs uztverto signālu stiprums var atšķirties par ~ 10 10, bet ar ausu - ~ 10 12 reizes. Savvaļas dzīvnieki pielāgota šādiem diapazoniem. Tas aizsargā sevi, izmantojot ienākošo stimulu logaritmu (ar bioloģisku ierobežojumu), pretējā gadījumā receptori nomirtu. Plaši izmantotā logaritmiskā (decibelu) skaņas intensitātes skala ir balstīta uz Vēbera-Fēhnera likumu, saskaņā ar kuru darbojas audio aparatūras skaļuma regulētāji: to nobīde ir proporcionāla uztveramajam skaļumam, bet ne skaņas intensitātei! (Sajūta ir proporcionāla lg/ 0. Par dzirdamības slieksni pieņem p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Pie sliekšņa mums ir lg1 = 0. Skaņas stipruma (spiediena) pieaugums par 10 reižu atbilst aptuveni čukstu sajūtai, kas ir 1 bel virs sliekšņa logaritmiskā skalā Skaņas pastiprinājums miljons reižu no čuksta līdz kliedzienam (līdz 10 -5 J/m 2 s) logaritmiskā skalā. ir palielinājums par 6 lielumiem jeb 6 bel.)

Iespējams, šāds princips ir optimāli ekonomisks daudzu organismu attīstībai. To var skaidri novērot logaritmisku spirāļu veidošanā gliemju čaulās, sēklu rindās saulespuķu grozā un zvīņās čiekuros. Attālums no centra palielinās saskaņā ar likumu r = ae kj. Katrā brīdī pieauguma ātrums ir lineāri proporcionāls šim attālumam (to ir viegli redzēt, ja ņemam rakstītās funkcijas atvasinājumu). Rotējošu nažu un griezēju profili ir izgatavoti logaritmiskā spirālē.

Secinājums 2. Tikai funkcijas iedomātās daļas klātbūtne pie α = 0, β 0 diferenciālvienādojumu risinājumā ar nemainīgiem koeficientiem raksturo dažādus lineārus un linearizētus procesus, kuros notiek neslāpētas harmoniskas svārstības.

Šīs sekas mūs atgriež pie iepriekš aplūkotā modeļa.

Secinājums 3.Īstenojot 2. secinājumu, vienā skaitļu formulā ir “slēgšana” un e caur Eilera vēsturisko formulu tās sākotnējā formā e i = -1.

Šādā formā Eilers pirmo reizi publicēja savu eksponentu ar iedomātu eksponentu. Nav grūti to izteikt caur kosinusu un sinusu kreisajā pusē. Tad šīs formulas ģeometriskais modelis būs kustība pa apli ar ātruma konstanti absolūtā vērtībā, kas ir divu harmonisko svārstību summa. Pēc fizikālās būtības formula un tās modelis atspoguļo visas trīs telpas-laika pamatīpašības - to viendabīgumu un izotropiju, un līdz ar to visus trīs saglabāšanas likumus.

Secinājums

Apgalvojums par saglabāšanās likumu saistību ar laika un telpas viendabīgumu neapšaubāmi ir pareizs eiklīda telpai klasiskajā fizikā un pseido-Eiklīda Minkovska telpai Vispārējā relativitātes teorijā (GR, kur laiks ir ceturtā koordināte). Bet vispārējās relativitātes teorijas ietvaros rodas dabisks jautājums: kāda ir situācija milzīgo gravitācijas lauku reģionos, netālu no singularitātēm, it īpaši pie melnajiem caurumiem? Šeit fiziķu viedokļi atšķiras: lielākā daļa uzskata, ka tajos ir saglabāti norādītie pamatnoteikumi ekstremāli apstākļi. Tomēr ir arī citi autoritatīvu pētnieku viedokļi. Abi strādā pie jaunas kvantu gravitācijas teorijas izveides.

Lai īsumā iedomāties, kādas problēmas šeit rodas, citēsim teorētiskā fiziķa akadēmiķa A. A. Logunova vārdus: “Tā (Minkovska telpa. - Auto.) atspoguļo īpašības, kas ir kopīgas visiem matērijas veidiem. Tas nodrošina vienotas pastāvēšanu fiziskās īpašības- enerģija, impulss, leņķiskais impulss, enerģijas nezūdamības likumi, impulss. Bet Einšteins apgalvoja, ka tas ir iespējams tikai ar vienu nosacījumu - ja nav gravitācijas<...>. No šī Einšteina izteikuma izrietēja, ka telpa-laiks kļūst nevis pseido-eiklīda, bet gan daudz sarežģītāka savā ģeometrijā - Rīmaņa. Pēdējais vairs nav viendabīgs. Tas mainās no punkta uz punktu. Parādās telpas izliekuma īpašība. Tajā pazūd arī precīzs saglabāšanas likumu formulējums, kāds tos pieņēma klasiskajā fizikā.<...>Stingri sakot, vispārējā relativitātē principā nav iespējams ieviest enerģijas impulsa nezūdamības likumus, tos nevar formulēt" (skat. "Zinātne un dzīve" Nr. 2, 3, 1987).

Mūsu pasaules pamatkonstantes, par kurām mēs runājām, ir zināmas ne tikai fiziķiem, bet arī liriķiem. Tādējādi iracionālais skaitlis, kas vienāds ar 3,14159265358979323846... iedvesmoja izcilo divdesmitā gadsimta poļu dzejnieku, laureātu Nobela prēmija 1996. gadā Vislavam Šimborskai par dzejoļa “Pi” izveidi ar citātu, no kura mēs beigsim šīs piezīmes:

Apbrīnas vērts cipars:
Trīs komats viens četri viens.
Katrs skaitlis rada sajūtu
sākums - pieci deviņi divi,
jo tu nekad nesasniegsi beigas.
Jūs nevarat īsumā aptvert visus skaitļus -
seši pieci trīs pieci.
Aritmētiskās darbības -
astoņi deviņi -
ar to vairs nepietiek, un ir grūti noticēt -
septiņi deviņi -
ka tu nevari tikt vaļā - trīs divi trīs
astoņi -
ne vienādojums, kas neeksistē,
ne joku salīdzinājums -
jūs tos nevarat saskaitīt.
Ejam tālāk: četri seši...
(Tulkojums no poļu valodas - B. G.)