Kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana

", tas ir, pirmās pakāpes vienādojumi. Šajā nodarbībā mēs apskatīsim ko sauc par kvadrātvienādojumu un kā to atrisināt.

Kas ir kvadrātvienādojums?

Svarīgi!

Vienādojuma pakāpi nosaka pēc augstākās pakāpes, kādā atrodas nezināmais.

Ja maksimālā jauda, ​​kurā nezināmais ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.

Kvadrātvienādojumu piemēri

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2–8 = 0

Svarīgi! Kvadrātvienādojuma vispārējā forma izskatās šādi:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” un “c” ir doti cipari.

• “a” ir pirmais vai augstākais koeficients;
• “b” ir otrais koeficients;
• “c” ir bezmaksas dalībnieks.

Lai atrastu "a", "b" un "c", jums jāsalīdzina jūsu vienādojums ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c = 0".

Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Vienādojums	Likmes
a = 5 b = –14 c = 17
a = –7 b = –13 c = 8

1

3

= 0

• a = –1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2–8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Atšķirībā no lineārajiem vienādojumiem kvadrātvienādojumu atrisināšanai tiek izmantota īpaša metode. formula sakņu atrašanai.

Atcerieties!

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:

• nogādājiet kvadrātvienādojumu vispārīgā formā “ax 2 + bx + c = 0”.
• Tas nozīmē, ka labajā pusē jāpaliek tikai “0”;

izmantojiet formulu saknēm:

Apskatīsim piemēru, kā izmantot formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.

X 2 - 3x - 4 = 0 Vienādojums “x 2 − 3x − 4 = 0” jau ir reducēts uz vispārīgo formu “ax 2 + bx + c = 0”, un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums vienkārši jāpiesakās.

formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai

Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.
Nosakīsim šim vienādojumam koeficientus “a”, “b” un “c”.

x 1;2 =

To var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.
Formulā “x 1;2 = ” radikālā izteiksme bieži tiek aizstāta

“b 2 – 4ac” burtam “D”, un to sauc par diskriminējošu. Diskriminanta jēdziens sīkāk aplūkots nodarbībā “Kas ir diskriminants”.

Apskatīsim vēl vienu kvadrātvienādojuma piemēru.

x 2 + 9 + x = 7x

Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus “a”, “b” un “c”. Vispirms reducēsim vienādojumu līdz vispārīgajai formai “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Atbilde: x = 3

Ir reizes, kad kvadrātvienādojumiem nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formula satur negatīvu skaitli zem saknes.

Turpinot tēmu “Vienādojumu risināšana”, šī raksta materiāls iepazīstinās jūs ar kvadrātvienādojumiem.

Apskatīsim visu sīkāk: kvadrātvienādojuma būtību un apzīmējumus, definēsim pavadošos terminus, analizēsim nepilnīgu un pilnīgu vienādojumu risināšanas shēmu, iepazīsimies ar sakņu formulu un diskriminantu, izveidosim savienojumus starp saknēm un koeficientiem, un, protams, sniegsim vizuālu risinājumu praktiskiem piemēriem.

Kvadrātvienādojums, tā veidi

1. definīcija

Kvadrātvienādojums ir vienādojums, kas uzrakstīts kā a x 2 + b x + c = 0, Kur x– mainīgais, a , b un c– daži skaitļi, kamēr a nav nulle.

Bieži vien kvadrātvienādojumus sauc arī par otrās pakāpes vienādojumiem, jo ​​būtībā kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums.

Dotās definīcijas ilustrēšanai dosim piemēru: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 utt. Tie ir kvadrātvienādojumi.

2. definīcija

Cipari a, b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c = 0, savukārt koeficients a sauc par pirmo jeb vecāko, vai koeficientu pie x 2, b - otro koeficientu, jeb koeficientu pie x, A c sauc par brīvo biedru.

Piemēram, kvadrātvienādojumā 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 vadošais koeficients ir 6, otrais koeficients ir − 2 , un brīvais termiņš ir vienāds ar − 11 . Pievērsīsim uzmanību tam, ka tad, kad koeficienti b un/vai c ir negatīvi, tad tiek izmantota īsa formas forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, nē 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Noskaidrosim arī šo aspektu: ja koeficienti a un/vai b vienāds 1 vai − 1 , tad tie var nepiedalīties kvadrātvienādojuma rakstīšanā, kas izskaidrojams ar norādīto skaitlisko koeficientu rakstīšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 – y + 7 = 0 vadošais koeficients ir 1, bet otrais koeficients ir − 1 .

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Pamatojoties uz pirmā koeficienta vērtību, kvadrātvienādojumi tiek sadalīti reducētajos un nereducētajos.

3. definīcija

Samazināts kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kur vadošais koeficients ir 1. Citām vadošā koeficienta vērtībām kvadrātvienādojums nav samazināts.

Sniegsim piemērus: kvadrātvienādojumi x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ir samazināti, katrā no tiem vadošais koeficients ir 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nereducēts kvadrātvienādojums, kur pirmais koeficients atšķiras no 1 .

Jebkuru nereducētu kvadrātvienādojumu var pārvērst par reducētu vienādojumu, abas puses dalot ar pirmo koeficientu (ekvivalentā transformācija). Pārveidotajam vienādojumam būs tādas pašas saknes kā dotajam nereducētajam vienādojumam vai arī tam nebūs sakņu.

Konkrēta piemēra izskatīšana ļaus mums skaidri parādīt pāreju no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

1. piemērs

Dots vienādojums 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Sākotnējais vienādojums ir jāpārvērš reducētā formā.

Risinājums

Saskaņā ar iepriekš minēto shēmu mēs sadalām abas sākotnējā vienādojuma puses ar vadošo koeficientu 6. Tad mēs iegūstam: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0: 3, un tas ir tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 un tālāk: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. No šejienes: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tādējādi tiek iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.

Atbilde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma definīcijai. Tajā mēs to norādījām a ≠ 0. Līdzīgs nosacījums ir nepieciešams vienādojumam a x 2 + b x + c = 0 bija tieši kvadrātveida, jo plkst a = 0 tas būtībā pārveidojas par lineāru vienādojumu b x + c = 0.

Gadījumā, ja koeficienti b Un c ir vienādi ar nulli (kas ir iespējams gan atsevišķi, gan kopā), kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

4. definīcija

Nepilns kvadrātvienādojums- tāds kvadrātvienādojums a x 2 + b x + c = 0, kur vismaz viens no koeficientiem b Un c(vai abi) ir nulle.

Pilnīgs kvadrātvienādojums– kvadrātvienādojums, kurā visi skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli.

Apspriedīsim, kāpēc kvadrātvienādojumu veidiem ir doti tieši šādi nosaukumi.

Ja b = 0, kvadrātvienādojums iegūst formu a x 2 + 0 x + c = 0, kas ir tāds pats kā a x 2 + c = 0. Plkst c = 0 kvadrātvienādojums, kas uzrakstīts kā a x 2 + b x + 0 = 0, kas ir līdzvērtīgs a x 2 + b x = 0. Plkst b = 0 Un c = 0 vienādojums pieņems formu a x 2 = 0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne termina ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Faktiski šis fakts deva nosaukumu šāda veida vienādojumam - nepilnīgs.

Piemēram, x 2 + 3 x + 4 = 0 un − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ir pilnīgi kvadrātvienādojumi; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepilni kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Iepriekš sniegtā definīcija ļauj atšķirt šādus nepilnīgo kvadrātvienādojumu veidus:

• a x 2 = 0, šis vienādojums atbilst koeficientiem b = 0 un c = 0;
• a · x 2 + c = 0 pie b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 pie c = 0.

Apskatīsim secīgi katra veida nepilna kvadrātvienādojuma risinājumu.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 =0

Kā minēts iepriekš, šis vienādojums atbilst koeficientiem b Un c, vienāds ar nulli. Vienādojums a x 2 = 0 var pārvērst līdzvērtīgā vienādojumā x 2 = 0, ko iegūstam, dalot abas sākotnējā vienādojuma puses ar skaitli a, nav vienāds ar nulli. Acīmredzams fakts ir tāds, ka vienādojuma sakne x 2 = 0šī ir nulle, jo 0 2 = 0 . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var izskaidrot ar pakāpes īpašībām: jebkuram skaitlim p, nav vienāds ar nulli, nevienlīdzība ir patiesa p 2 > 0, no kā izriet, ka kad p ≠ 0 vienlīdzība p 2 = 0 nekad netiks sasniegts.

5. definīcija

Tādējādi nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 = 0 ir viena sakne x = 0.

2. piemērs

Piemēram, atrisināsim nepilnu kvadrātvienādojumu − 3 x 2 = 0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 = 0, tā vienīgā sakne ir x = 0, tad sākotnējam vienādojumam ir viena sakne — nulle.

Īsumā risinājums ir uzrakstīts šādi:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Atrisinot vienādojumu a x 2 + c = 0

Nākamais rindā ir nepilno kvadrātvienādojumu atrisinājums, kur b = 0, c ≠ 0, tas ir, formas vienādojumi a x 2 + c = 0. Pārveidosim šo vienādojumu, pārvietojot vārdu no vienas vienādojuma puses uz otru, mainot zīmi uz pretējo un dalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli:

• nodošana c labajā pusē, kas dod vienādojumu a x 2 = − c;
• sadaliet abas vienādojuma puses ar a, mēs iegūstam x = - c a .

Mūsu transformācijas ir līdzvērtīgas, arī iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam, un šis fakts ļauj izdarīt secinājumus par vienādojuma saknēm. No tā, kādas ir vērtības a Un c izteiksmes vērtība - c a ir atkarīga: tai var būt mīnusa zīme (piemēram, ja a = 1 Un c = 2, tad - c a = - 2 1 = - 2) vai plus zīme (piemēram, ja a = – 2 Un c = 6, tad - c a = - 6 - 2 = 3); tā nav nulle, jo c ≠ 0. Pakavēsimies sīkāk pie situācijām, kad - c a< 0 и - c a > 0 .

Gadījumā, ja - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lpp vienādība p 2 = - c a nevar būt patiesa.

Viss ir savādāk, ja - c a > 0: atcerieties kvadrātsakni, un kļūs skaidrs, ka vienādojuma sakne x 2 = - c a būs skaitlis - c a, jo - c a 2 = - c a. Nav grūti saprast, ka skaitlis - - c a ir arī vienādojuma x 2 = - c a sakne: tiešām, - - c a 2 = - c a.

Vienādojumam nebūs citu sakņu. Mēs to varam pierādīt, izmantojot pretrunu metodi. Sākumā definēsim iepriekš atrasto sakņu apzīmējumus kā x 1 Un − x 1. Pieņemsim, ka vienādojumam x 2 = - c a ir arī sakne x 2, kas atšķiras no saknēm x 1 Un − x 1. Mēs to zinām, aizstājot vienādojumā x tā saknes, mēs pārveidojam vienādojumu godīgā skaitliskā vienādībā.

Par x 1 Un − x 1 mēs rakstām: x 1 2 = - c a , un par x 2- x 2 2 = - c a . Pamatojoties uz skaitlisko vienādību īpašībām, mēs atņemam vienu pareizo vienādības vārdu pēc vārda no cita, kas mums iegūs: x 1 2 − x 2 2 = 0. Mēs izmantojam darbību īpašības ar skaitļiem, lai pārrakstītu pēdējo vienādību kā (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ir zināms, ka divu skaitļu reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vismaz viens no skaitļiem ir nulle. No iepriekš minētā izriet, ka x 1 − x 2 = 0 un/vai x 1 + x 2 = 0, kas ir tas pats x 2 = x 1 un/vai x 2 = − x 1. Radās acīmredzama pretruna, jo sākumā tika panākta vienošanās, ka vienādojuma sakne x 2 atšķiras no x 1 Un − x 1. Tātad, mēs esam pierādījuši, ka vienādojumam nav citu sakņu kā x = - c a un x = - - c a.

Apkoposim visus iepriekš minētos argumentus.

6. definīcija

Nepilns kvadrātvienādojums a x 2 + c = 0 ir vienāds ar vienādojumu x 2 = - c a, kas:

• nebūs sakņu pie - c a< 0 ;
• būs divas saknes x = - c a un x = - - c a for - c a > 0.

Sniegsim vienādojumu risināšanas piemērus a x 2 + c = 0.

3. piemērs

Dots kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0. Ir nepieciešams atrast risinājumu.

Risinājums

Pārvietosim brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi, tad vienādojums iegūs formu 9 x 2 = – 7.
Sadalīsim abas iegūtā vienādojuma puses ar 9 , mēs nonākam pie x 2 = - 7 9 . Labajā pusē redzams skaitlis ar mīnusa zīmi, kas nozīmē: dotajam vienādojumam nav sakņu. Tad sākotnējais nepilnīgais kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nebūs sakņu.

Atbilde: vienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nav sakņu.

4. piemērs

Vienādojums ir jāatrisina − x 2 + 36 = 0.

Risinājums

Pārvietosim 36 uz labo pusi: − x 2 = − 36.
Sadalīsim abas daļas ar − 1 , saņemam x 2 = 36. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs to varam secināt x = 36 vai x = - 36 .
Izņemsim sakni un pierakstīsim gala rezultātu: nepilnu kvadrātvienādojumu − x 2 + 36 = 0 ir divas saknes x=6 vai x = – 6.

Atbilde: x=6 vai x = – 6.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 +b x=0

Analizēsim trešā veida nepilnīgos kvadrātvienādojumus, kad c = 0. Atrast nepilnīga kvadrātvienādojuma risinājumu a x 2 + b x = 0, mēs izmantosim faktorizācijas metodi. Faktorizēsim polinomu, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kopējo koeficientu izņemot no iekavām x. Šis solis ļaus pārveidot sākotnējo nepilnīgo kvadrātvienādojumu tā ekvivalentā x (a x + b) = 0. Un šis vienādojums, savukārt, ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai x = 0 Un a x + b = 0. Vienādojums a x + b = 0 lineārs, un tā sakne: x = − b a.

7. definīcija

Tādējādi nepilnīgais kvadrātvienādojums a x 2 + b x = 0 būs divas saknes x = 0 Un x = − b a.

Pastiprināsim materiālu ar piemēru.

5. piemērs

Ir jāatrod atrisinājums vienādojumam 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Risinājums

Mēs to izņemsim xārpus iekavām iegūstam vienādojumu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumiem x = 0 un 2 3 x - 2 2 7 = 0. Tagad jums jāatrisina iegūtais lineārais vienādojums: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Īsi uzrakstiet vienādojuma risinājumu šādi:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 vai 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 vai x = 3 3 7

Atbilde: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrastu kvadrātvienādojumu risinājumus, ir saknes formula:

8. definīcija

x = - b ± D 2 · a, kur D = b 2 − 4 a c– tā sauktais kvadrātvienādojuma diskriminants.

Rakstot x = - b ± D 2 · a, būtībā nozīmē, ka x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Būtu lietderīgi saprast, kā šī formula tika iegūta un kā to pielietot.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Ļaujiet mums atrisināt kvadrātvienādojuma uzdevumu a x 2 + b x + c = 0. Veiksim vairākas līdzvērtīgas transformācijas:

• sadaliet abas vienādojuma puses ar skaitli a, kas atšķiras no nulles, iegūstam šādu kvadrātvienādojumu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Atlasīsim visu kvadrātu iegūtā vienādojuma kreisajā pusē:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pēc tam vienādojums būs šāds: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Tagad ir iespēja pārcelt pēdējos divus terminus uz labo pusi, mainot zīmi uz pretējo, pēc kā iegūstam: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Visbeidzot, mēs pārveidojam izteiksmi, kas rakstīta pēdējās vienādības labajā pusē:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Tādējādi mēs nonākam pie vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kas ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam a x 2 + b x + c = 0.

Iepriekšējos punktos mēs apskatījām šādu vienādojumu risinājumu (nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana). Jau iegūtā pieredze ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 saknēm:

• ar b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• ja b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, vienādojums ir x + b 2 · a 2 = 0, tad x + b 2 · a = 0.

No šejienes ir acīmredzama vienīgā sakne x = - b 2 · a;

• ja b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, būs taisnība: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 vai x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kas ir tāds pats kā x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 vai x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.i. vienādojumam ir divas saknes.

Var secināt, ka vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (un līdz ar to sākotnējais vienādojums) sakņu esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes b zīmes. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 rakstīts labajā pusē. Un šīs izteiksmes zīmi dod skaitītāja zīme (saucējs 4 un 2 vienmēr būs pozitīvs), tas ir, izteiksmes zīme b 2 − 4 a c. Šī izteiksme b 2 − 4 a c dots nosaukums - kvadrātvienādojuma diskriminants un burts D tiek definēts kā tā apzīmējums. Šeit jūs varat pierakstīt diskriminanta būtību - pamatojoties uz tā vērtību un zīmi, viņi var secināt, vai kvadrātvienādojumam būs reālas saknes, un, ja jā, tad kāds ir sakņu skaits - viena vai divas.

Atgriezīsimies pie vienādojuma x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Pārrakstīsim to, izmantojot diskriminējošu apzīmējumu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Vēlreiz formulēsim savus secinājumus:

9. definīcija

• plkst D< 0 vienādojumam nav reālu sakņu;
• plkst D=0 vienādojumam ir viena sakne x = - b 2 · a ;
• plkst D > 0 vienādojumam ir divas saknes: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 vai x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pamatojoties uz radikāļu īpašībām, šīs saknes var uzrakstīt formā: x = - b 2 · a + D 2 · a vai - b 2 · a - D 2 · a. Un, atverot moduļus un saliekot daļskaitļus līdz kopsaucējam, mēs iegūstam: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Tātad mūsu argumentācijas rezultāts bija kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminants D aprēķina pēc formulas D = b 2 − 4 a c.

Šīs formulas ļauj noteikt abas reālās saknes, ja diskriminants ir lielāks par nulli. Ja diskriminants ir nulle, tad, piemērojot abas formulas, tiks iegūta tāda pati sakne kā vienīgais kvadrātvienādojuma risinājums. Gadījumā, ja diskriminants ir negatīvs, ja mēģināsim izmantot kvadrātsaknes formulu, mēs saskarsimies ar nepieciešamību ņemt kvadrātsakni no negatīva skaitļa, kas mūs aizvedīs ārpus reālo skaitļu darbības jomas. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nebūs reālu sakņu, bet ir iespējams sarežģītu konjugētu sakņu pāris, ko nosaka tās pašas sakņu formulas, ko ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Kvadrātvienādojumu ir iespējams atrisināt, nekavējoties izmantojot saknes formulu, bet parasti tas tiek darīts, ja nepieciešams atrast sarežģītas saknes.

Vairumā gadījumu tas parasti nozīmē meklēt nevis sarežģītas, bet reālas kvadrātvienādojuma saknes. Tad ir optimāli pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas vispirms noteikt diskriminantu un pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā mēs secināsim, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam ķerties pie rezultāta aprēķināšanas. sakņu vērtība.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj formulēt kvadrātvienādojuma risināšanas algoritmu.

10. definīcija

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c = 0, nepieciešams:

• saskaņā ar formulu D = b 2 − 4 a c atrast diskriminējošo vērtību;
• pie D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• ja D = 0, atrodiet vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu x = - b 2 · a ;
• ja D > 0, nosaka divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot formulu x = - b ± D 2 · a.

Ņemiet vērā, ka, ja diskriminants ir nulle, varat izmantot formulu x = - b ± D 2 · a, tā dos tādu pašu rezultātu kā formula x = - b 2 · a.

Apskatīsim piemērus.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Sniegsim risinājumus piemēriem dažādām diskriminanta vērtībām.

6. piemērs

Mums jāatrod vienādojuma saknes x 2 + 2 x - 6 = 0.

Risinājums

Pierakstīsim kvadrātvienādojuma skaitliskos koeficientus: a = 1, b = 2 un c = – 6. Tālāk mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, t.i. Sāksim aprēķināt diskriminantu, kuram aizvietosim koeficientus a, b Un c diskriminanta formulā: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Tātad mēs iegūstam D > 0, kas nozīmē, ka sākotnējam vienādojumam būs divas reālas saknes.
Lai tos atrastu, izmantojam saknes formulu x = - b ± D 2 · a un, aizstājot atbilstošās vērtības, iegūstam: x = - 2 ± 28 2 · 1. Vienkāršosim iegūto izteiksmi, izņemot koeficientu no saknes zīmes un pēc tam samazinot daļu:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 vai x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 vai x = - 1 - 7

Atbilde: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 - 7.

7. piemērs

Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Risinājums

Definēsim diskriminantu: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Ar šo diskriminanta vērtību sākotnējam vienādojumam būs tikai viena sakne, ko nosaka pēc formulas x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Atbilde: x = 3,5.

8. piemērs

Vienādojums ir jāatrisina 5 g 2 + 6 g + 2 = 0

Risinājums

Šī vienādojuma skaitliskie koeficienti būs: a = 5, b = 6 un c = 2. Mēs izmantojam šīs vērtības, lai atrastu diskriminantu: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Aprēķinātais diskriminants ir negatīvs, tāpēc sākotnējam kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Gadījumā, ja uzdevums ir norādīt sarežģītas saknes, mēs izmantojam saknes formulu, veicot darbības ar kompleksajiem skaitļiem:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 vai x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i vai x = - 3 5 - 1 5 · i.

Atbilde: nav īstu sakņu; kompleksās saknes ir šādas: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Skolas programmā nav noteikta standarta prasība meklēt sarežģītas saknes, tādēļ, ja risinājuma laikā tiek noteikts, ka diskriminants ir negatīvs, uzreiz tiek ierakstīta atbilde, ka īstu sakņu nav.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Saknes formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ļauj iegūt citu formulu, kompaktāku, ļaujot atrast risinājumus kvadrātvienādojumiem ar pāra koeficientu x ( vai ar koeficientu formā 2 · n, piemēram, 2 3 vai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ļaujiet mums parādīt, kā šī formula tiek iegūta.

Stāsimies ar uzdevumu atrast kvadrātvienādojuma a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 atrisinājumu. Mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu: mēs nosakām diskriminantu D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), un pēc tam izmantojam saknes formulu:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Apzīmēsim izteiksmi n 2 − a · c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad apskatāmā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 · n iegūs šādu formu:

x = - n ± D 1 a, kur D 1 = n 2 − a · c.

Ir viegli redzēt, ka D = 4 · D 1 vai D 1 = D 4. Citiem vārdiem sakot, D 1 ir ceturtā daļa no diskriminanta. Acīmredzot D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme, kas nozīmē, ka D 1 zīme var kalpot arī kā kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības indikators.

11. definīcija

Tādējādi, lai atrastu risinājumu kvadrātvienādojumam ar otro koeficientu 2 n, ir nepieciešams:

• atrast D 1 = n 2 − a · c ;
• pie D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• ja D 1 = 0, nosaka vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu x = - n a;
• ja D 1 > 0, nosaka divas reālās saknes, izmantojot formulu x = - n ± D 1 a.

9. piemērs

Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Risinājums

Dotā vienādojuma otro koeficientu varam attēlot kā 2 · (− 3) . Tad mēs pārrakstām doto kvadrātvienādojumu kā 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kur a = 5, n = − 3 un c = − 32.

Aprēķināsim diskriminanta ceturto daļu: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Iegūtā vērtība ir pozitīva, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes. Noteiksim tos, izmantojot atbilstošo saknes formulu:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 vai x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 vai x = - 2

Varētu veikt aprēķinus, izmantojot parasto kvadrātvienādojuma sakņu formulu, taču šajā gadījumā risinājums būtu apgrūtinošāks.

Atbilde: x = 3 1 5 vai x = - 2 .

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz ir iespējams optimizēt sākotnējā vienādojuma formu, kas vienkāršos sakņu aprēķināšanas procesu.

Piemēram, kvadrātvienādojums 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ir nepārprotami ērtāk atrisināms nekā 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Biežāk kvadrātvienādojuma formas vienkāršošana tiek veikta, reizinot vai dalot tā abas puses ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekš mēs parādījām vienkāršotu vienādojuma 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 attēlojumu, kas iegūts, abas puses dalot ar 100.

Šāda transformācija iespējama, ja kvadrātvienādojuma koeficienti nav pirmskaitļi. Tad mēs parasti sadalām abas vienādojuma puses ar tā koeficientu absolūto vērtību lielāko kopīgo dalītāju.

Kā piemēru mēs izmantojam kvadrātvienādojumu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Noteiksim tā koeficientu absolūto vērtību GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Sadalīsim abas sākotnējā kvadrātvienādojuma puses ar 6 un iegūsim ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Reizinot abas kvadrātvienādojuma puses, jūs parasti atbrīvojaties no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā tie reizina ar tā koeficientu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Piemēram, ja katru kvadrātvienādojuma daļu 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 reizina ar LCM (6, 3, 1) = 6, tad tas tiks uzrakstīts vienkāršākā formā x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka mēs gandrīz vienmēr atbrīvojamies no mīnusa pie kvadrātvienādojuma pirmā koeficienta, mainot katra vienādojuma locekļa zīmes, ko panāk, reizinot (vai dalot) abas puses ar −1. Piemēram, no kvadrātvienādojuma − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, jūs varat pāriet uz tā vienkāršoto versiju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sakarība starp saknēm un koeficientiem

Mums jau zināmā kvadrātvienādojumu sakņu formula x = - b ± D 2 · a izsaka vienādojuma saknes caur tā skaitliskiem koeficientiem. Pamatojoties uz šo formulu, mums ir iespēja norādīt citas atkarības starp saknēm un koeficientiem.

Slavenākās un pielietojamākās formulas ir Vietas teorēma:

x 1 + x 2 = - b a un x 2 = c a.

Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir otrais koeficients ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, aplūkojot kvadrātvienādojuma formu 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, uzreiz var noteikt, ka tā sakņu summa ir 7 3 un sakņu reizinājums ir 22 3.

Varat arī atrast vairākus citus savienojumus starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar koeficientiem:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Jakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Pašvaldības budžeta izglītības iestādes 11.vidusskola

Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna darba versija ir pieejama cilnē "Darba faili" PDF formātā

Kvadrātvienādojumu vēsture

Babilona

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar zemes gabalu platību atrašanu, ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību. Kvadrātvienādojumus varēja atrisināt ap 2000. gadu pirms mūsu ēras. e. babilonieši. Šo vienādojumu risināšanas noteikumi, kas izklāstīti babiloniešu tekstos, būtībā ir tādi paši kā mūsdienu, taču šajos tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

Senā Grieķija

Senajā Grieķijā pie kvadrātvienādojumu risināšanas strādāja arī tādi zinātnieki kā Diofants, Eiklīds un Herons. Diofants Diofants no Aleksandrijas ir sengrieķu matemātiķis, kurš, domājams, dzīvoja mūsu ēras 3. gadsimtā. Diofanta galvenais darbs ir “Aritmētika” 13 grāmatās. Eiklīds. Eiklīds ir sengrieķu matemātiķis, Herons, pirmā teorētiskā matemātikas traktāta autors. Herons - grieķu matemātiķis un inženieris pirmais Grieķijā mūsu ēras 1. gadsimtā. sniedz tīri algebrisku veidu, kā atrisināt kvadrātvienādojumu

Indija

Kvadrātvienādojumu problēmas ir atrodamas jau Indijas matemātiķa un astronoma Arjabhatas 499. gadā sastādītajā astronomiskajā traktātā “Aryabhattiam”. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta (VII gadsimts) izklāstīja vispārīgo noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai: ax2 + bx = c, a> 0. (1) (1) vienādojumā koeficienti var būt negatīvi. Brahmaguptas likums būtībā ir tāds pats kā mūsu. Indijā bija izplatīti publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā. Vienā no vecajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām ir teikts šādi: "Kā saule ar savu spožumu pārspēj zvaigznes, tā izglītots cilvēks pārspēj savu slavu publiskās sapulcēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas." Problēmas bieži tika izklāstītas poētiskā formā.

Šī ir viena no slavenā Indijas 12. gadsimta matemātiķa problēmām. Bhaskars.

“Gaismu pērtiķu ganāmpulks

Un divpadsmit gar vīnogulājiem, paēduši pēc sirds patikas, izklaidējos

Viņi sāka lēkt, karājoties

Astotā daļa no tiem kvadrātā

Cik daudz pērtiķu tur bija?

Es izklaidējos izcirtumā

Pastāsti man, šajā iepakojumā?

Bhaskaras risinājums norāda, ka autors zināja, ka kvadrātvienādojumu saknes ir divvērtības. Bhaskars raksta uzdevumam atbilstošo vienādojumu kā x2 - 64x = - 768 un, lai šī vienādojuma kreiso pusi aizpildītu kvadrātā, abām pusēm pievieno 322, iegūstot: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadrātvienādojumi 17. gadsimta Eiropā

Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc Al-Khorezmi līnijām Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas Abaka grāmatā, ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Šis apjomīgais darbs, kas atspoguļo matemātikas ietekmi gan no islāma valstīm, gan no senās Grieķijas, izceļas ar tā pilnīgumu un izklāsta skaidrību. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskos uzdevumu risināšanas piemērus un pirmais Eiropā pievērsās negatīvu skaitļu ieviešanai. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no Abaku grāmatas tika izmantotas gandrīz visās Eiropas 16. - 17. gadsimta mācību grāmatās. un daļēji XVIII. Formulas atvasinājums kvadrātvienādojuma atrisināšanai vispārējā formā ir pieejams no Viète, bet Viète atpazina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli bija vieni no pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām tiek ņemtas vērā arī negatīvās saknes. Tikai 17. gs. Pateicoties Žirāra, Dekarta, Ņūtona un citu zinātnieku darbam, kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst mūsdienīgu formu.

Kvadrātvienādojuma definīcija

Vienādojumu formā ax 2 + bx + c = 0, kur a, b, c ir skaitļi, sauc par kvadrātisko.

Kvadrātvienādojuma koeficienti

Skaitļi a, b, c ir kvadrātvienādojuma koeficienti a ir pirmais koeficients (pirms x²), a ≠ 0 (pirms x).

Kurš no šiem vienādojumiem nav kvadrātvienādojumi??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² — 1/x = 0;9. 2x² — x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8 = 0.

Kvadrātisko vienādojumu veidi

Vārds	Vienādojuma vispārīgā forma	Iezīme (kādi ir koeficienti)	Vienādojumu piemēri
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c — skaitļi, kas nav 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Nepabeigts
			x 2 — 1/5x = 0
Ņemot vērā	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Samazināts ir kvadrātvienādojums, kurā vadošais koeficients ir vienāds ar vienu. Šādu vienādojumu var iegūt, dalot visu izteiksmi ar vadošo koeficientu a:

x 2 + px + q = 0, p = b/a, q = c/a

Kvadrātvienādojumu sauc par pabeigtu, ja visi tā koeficienti nav nulle.

Kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu, kurā vismaz viens no koeficientiem, izņemot vadošo (vai nu otro koeficientu, vai brīvo vārdu), ir vienāds ar nulli.

Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes

I metode Vispārīga formula sakņu aprēķināšanai

Lai atrastu kvadrātvienādojuma saknes cirvis 2 + b + c = 0 Kopumā jums vajadzētu izmantot tālāk norādīto algoritmu.

Aprēķiniet kvadrātvienādojuma diskriminanta vērtību: šī ir tā izteiksme D= b 2 - 4ac

Formulas atvasinājums:

Piezīme: Ir acīmredzams, ka reizinājuma 2 saknes formula ir īpašs vispārīgās formulas gadījums, kas iegūts, aizstājot tajā vienādību D=0 un secinājumu par reālu sakņu neesamību pie D0, un (displeja stils (sqrt ( -1))=i) = i.

Iesniegtā metode ir universāla, taču tā nebūt nav vienīgā. Viena vienādojuma atrisināšanai var pieiet dažādos veidos, un preferences parasti ir atkarīgas no risinātāja. Turklāt bieži vien šim nolūkam dažas metodes izrādās daudz elegantākas, vienkāršākas un mazāk darbietilpīgākas nekā standarta.

II metode. Kvadrātvienādojuma saknes ar pāra koeficientu b III metode. Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

IV metode. Izmantojot koeficientu daļējās attiecības

Ir īpaši kvadrātvienādojumu gadījumi, kuros koeficienti ir savstarpēji saistīti, padarot tos daudz vieglāk atrisināmus.

Kvadrātvienādojuma saknes, kurā vadošā koeficienta un brīvā vārda summa ir vienāda ar otro koeficientu

Ja kvadrātvienādojumā cirvis 2 + bx + c = 0 pirmā koeficienta un brīvā termiņa summa ir vienāda ar otro koeficientu: a+b=c, tad tā saknes ir -1 un skaitlis, kas ir pretējs brīvā vārda attiecībai pret vadošo koeficientu ( -c/a).

Tāpēc pirms jebkura kvadrātvienādojuma risināšanas jums jāpārbauda iespēja tam piemērot šo teorēmu: salīdziniet vadošā koeficienta un brīvā vārda summu ar otro koeficientu.

Kvadrātvienādojuma saknes, kuru visu koeficientu summa ir nulle

Ja kvadrātvienādojumā visu tā koeficientu summa ir nulle, tad šāda vienādojuma saknes ir 1 un brīvā vārda attiecība pret vadošo koeficientu ( c/a).

Tāpēc pirms vienādojuma atrisināšanas, izmantojot standarta metodes, jums vajadzētu pārbaudīt šīs teorēmas piemērojamību tam: saskaitiet visus dotā vienādojuma koeficientus un pārbaudiet, vai šī summa nav vienāda ar nulli.

V metode. Kvadrātiskā trinoma faktorēšana lineāros faktoros

Ja trinominam ir forma (displeja stils ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) kaut kādā veidā var tikt attēlots kā lineāru faktoru reizinājums (displeja stils (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), tad mēs varam atrast vienādojuma saknes cirvis 2 + bx + c = 0- tie būs -m/k un n/l, tiešām, galu galā (displeja stils (kx+m)(lx+n)=0 garā kreisā labā bultiņa kx+m=0 tase lx+n=0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n, un, atrisinot norādītos lineāros vienādojumus, mēs iegūstam iepriekš minēto. Ņemiet vērā, ka kvadrātiskais trinomāls ne vienmēr sadalās lineāros faktoros ar reāliem koeficientiem: tas ir iespējams, ja attiecīgajam vienādojumam ir reālas saknes.

Apskatīsim dažus īpašus gadījumus

Izmantojot kvadrātu summas (starpības) formulu

Ja kvadrātiskajam trinomālam ir forma (displeja stils (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , tad, piemērojot tam iepriekš minēto formulu, mēs varam to ieskaitīt lineārajos faktoros un , tāpēc atrodiet saknes:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Summas pilna kvadrāta izolēšana (starpība)

Iepriekš minētā formula tiek izmantota arī, izmantojot metodi, ko sauc par “summas (starpības) pilna kvadrāta atlasi”. Saistībā ar iepriekš minēto kvadrātvienādojumu ar iepriekš ieviesto apzīmējumu tas nozīmē:

Piezīme: Ja pamanāt, šī formula sakrīt ar sadaļā “Reducētā kvadrātvienādojuma saknes” piedāvāto, kuru savukārt var iegūt no vispārīgās formulas (1), aizstājot vienādību a=1. Šis fakts nav tikai nejaušība: izmantojot aprakstīto metodi, kaut arī ar dažiem papildu argumentiem, var iegūt vispārīgu formulu un arī pierādīt diskriminanta īpašības.

VI metode. Izmantojot tiešo un apgriezto Vieta teorēmu

Vietas tiešā teorēma (skat. zemāk sadaļā ar tādu pašu nosaukumu) un tās apgrieztā teorēma ļauj mutiski atrisināt iepriekš minētos kvadrātvienādojumus, neizmantojot diezgan apgrūtinošus aprēķinus, izmantojot formulu (1).

Saskaņā ar apgriezto teorēmu, katrs skaitļu pāris (skaitlis) (displeja stils x_(1),x_(2))x 1, x 2, kas ir zemāk esošās vienādojumu sistēmas risinājums, ir vienādojuma saknes.

Vispārīgā gadījumā, tas ir, nereducētam kvadrātvienādojumam ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Tieša teorēma palīdzēs jums atrast skaitļus, kas mutiski apmierina šos vienādojumus. Ar tās palīdzību jūs varat noteikt sakņu pazīmes, nezinot pašas saknes. Lai to izdarītu, jums jāievēro noteikums:

1) ja brīvais loceklis ir negatīvs, tad saknēm ir dažādas zīmes, un lielākajai absolūtajā vērtībā ir zīme, kas ir pretēja vienādojuma otrā koeficienta zīmei;

2) ja brīvais termins ir pozitīvs, tad abām saknēm ir vienāda zīme, un šī ir otrā koeficienta zīmei pretēja zīme.

VII metode. Pārsūtīšanas metode

Tā sauktā “pārsūtīšanas” metode ļauj reducēt nereducētu un nereducējamu vienādojumu atrisinājumu līdz reducētu vienādojumu formai ar veseliem skaitļiem, dalot tos ar vadošo koeficientu līdz reducētu vienādojumu atrisinājumam ar veseliem skaitļiem. Tas ir šādi:

Pēc tam vienādojums tiek mutiski atrisināts iepriekš aprakstītajā veidā, pēc tam viņi atgriežas pie sākotnējā mainīgā un atrod vienādojumu saknes (displeja stils y_(1)=ax_(1)) y 1 = cirvis 1 Un y 2 = cirvis 2 .(displeja stils y_(2)=ax_(2))

Ģeometriskā nozīme

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola. Kvadrātvienādojuma atrisinājumi (saknes) ir parabolas un abscisu asi krustošanās punktu abscises. Ja ar kvadrātfunkciju aprakstītā parabola nekrustojas ar x asi, vienādojumam nav reālu sakņu. Ja parabola vienā punktā (parabolas virsotnē) krustojas ar x asi, vienādojumam ir viena reāla sakne (vienādojumam ir arī divas sakrītošas ​​saknes). Ja parabola divos punktos krustojas ar x asi, vienādojumam ir divas reālas saknes (skatiet attēlu labajā pusē.)

Ja koeficients (displeja stils a) a pozitīvi, parabolas zari ir vērsti uz augšu un otrādi. Ja koeficients (displeja stils b) bpozitīvs (ja pozitīvs (displeja stils a) a, ja negatīvs, otrādi), tad parabolas virsotne atrodas kreisajā pusplaknē un otrādi.

Kvadrātvienādojumu pielietojums dzīvē

Kvadrātvienādojums tiek plaši izmantots. To izmanto daudzos aprēķinos, konstrukcijās, sporta veidos un arī mums apkārt.

Apskatīsim un sniegsim dažus kvadrātvienādojuma piemērošanas piemērus.

Sports. Augstie lēcieni: lēcēja skrējiena laikā tiek izmantoti ar parabolu saistīti aprēķini, lai panāktu pēc iespējas skaidrāku ietekmi uz pacelšanās stieni un augstu lidojumu.

Arī mešanā nepieciešami līdzīgi aprēķini. Objekta lidojuma diapazons ir atkarīgs no kvadrātvienādojuma.

Astronomija. Planētu trajektoriju var atrast, izmantojot kvadrātvienādojumu.

Lidmašīnas lidojums. Lidmašīnas pacelšanās ir galvenā lidojuma sastāvdaļa. Šeit mēs veicam aprēķinu zemai pretestībai un pacelšanās paātrinājumam.

Kvadrātvienādojumus izmanto arī dažādās ekonomikas disciplīnās, audio, video, vektoru un rastra grafikas apstrādes programmās.

Secinājums

Paveiktā darba rezultātā atklājās, ka kvadrātvienādojumi piesaistīja zinātniekus jau senos laikos, risinot dažus uzdevumus, viņi ar tiem bija saskārušies un mēģinājuši tās atrisināt. Aplūkojot dažādus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus, es nonācu pie secinājuma, ka ne visi no tiem ir vienkārši. Manuprāt, labākais veids, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, ir tos atrisināt, izmantojot formulas. Formulas ir viegli atcerēties, šī metode ir universāla. Apstiprinājās hipotēze, ka vienādojumi tiek plaši izmantoti dzīvē un matemātikā. Izpētot tēmu, uzzināju daudz interesantu faktu par kvadrātvienādojumiem, to pielietojumu, pielietojumu, veidiem, risinājumiem. Un es ar prieku turpināšu tos pētīt. Ceru, ka tas man palīdzēs veiksmīgi nokārtot eksāmenus.

Izmantotās literatūras saraksts

Vietnes materiāli:

Wikipedia

Atvērtā nodarbība.rf

Pamatmatemātikas rokasgrāmata Vigodskis M. Ya.

Kvadrātvienādojumi. Vispārīga informācija.

IN kvadrātvienādojums ir jābūt x kvadrātam (tāpēc to sauc

"kvadrāts") Papildus tam vienādojumā var (vai var nebūt!) vienkārši X (līdz pirmajai pakāpei) un

tikai cipars (bezmaksas dalībnieks). Un jaudā, kas ir lielāka par diviem, nedrīkst būt X.

Vispārīgās formas algebriskais vienādojums.

Kur x- brīvs mainīgais, a, b, c— koeficienti un a≠0 .

Piemēram:

Izteiksme sauca kvadrātveida trinomāls.

Kvadrātvienādojuma elementiem ir savi nosaukumi:

ko sauc par pirmo jeb augstāko koeficientu,

· sauc par otro vai koeficientu pie ,

· sauc par brīvo biedru.

Pilnīgs kvadrātvienādojums.

Kreisajā pusē šiem kvadrātvienādojumiem ir pilns terminu kopums. X kvadrātā c

koeficients A, x uz pirmo pakāpi ar koeficientu b Un bezmaksas biedrsAr. IN visi koeficienti

jāatšķiras no nulles.

Nepabeigts ir kvadrātvienādojums, kurā vismaz viens no koeficientiem, izņemot

vadošais loceklis (vai nu otrais koeficients, vai brīvais loceklis) ir vienāds ar nulli.

Pieņemsim, ka b= 0, - X uz pirmo pakāpju pazudīs. Izrādās, piemēram:

2x2 -6x=0,

utt. Un ja abi koeficienti b Un c ir vienādi ar nulli, tad viss ir vēl vienkāršāk, Piemēram:

2x2 =0,

Ņemiet vērā, ka x kvadrātā parādās visos vienādojumos.

Kāpēc A nevar būt vienāds ar nulli? Tad x kvadrātā pazudīs un vienādojums kļūs lineārs .

Un risinājums ir pavisam cits...

Mūsdienu sabiedrībā spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur mainīgo kvadrātā, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to liecina jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Izmantojot šādus aprēķinus, tiek noteiktas visdažādāko ķermeņu, tostarp kosmosa objektu, kustības trajektorijas. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami pārgājienos, sporta pasākumos, veikalos, veicot pirkumus un citās ļoti izplatītās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi tās komponentfaktoros

Vienādojuma pakāpi nosaka izteiksmē ietvertā mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātisko.

Ja runājam formulu valodā, tad norādītos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest līdz formai, kad izteiksmes kreisā puse sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam trūkst viena no tā sastāvdaļām, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar šādu problēmu risināšanu, kuru mainīgo vērtības ir viegli atrast.

Ja izteiksmes labajā pusē ir divi vārdi, precīzāk ax 2 un bx, vienkāršākais veids, kā atrast x, ir izlikt mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Pēc tam kļūst acīmredzams, ka vai nu x=0, vai arī problēma rodas, lai atrastu mainīgo no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums nosaka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.

Piemērs

x=0 vai 8x - 3 = 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas ņemts par koordinātu sākumpunktu. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, var uzzināt laiku, kas paiet no ķermeņa pacelšanās brīža līdz krišanas brīdim, kā arī daudzus citus lielumus. Bet mēs par to runāsim vēlāk.

Izteiksmes faktorēšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt šīs problēmas sarežģītākos gadījumos. Apskatīsim šāda veida kvadrātvienādojumu risināšanas piemērus.

X 2 — 33x + 200 = 0

Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigts. Pirmkārt, pārveidosim izteiksmi un faktoros to. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu risināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Faktorējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x+1), (x-3) un (x+). 3).

Rezultātā kļūst skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; -1; 3.

Kvadrātsakne

Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas burtu valodā attēlota tā, ka labā puse tiek konstruēta no komponentiem ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termins tiek pārnests uz labo pusi un pēc tam tiek iegūta kvadrātsakne no abām vienādības pusēm. Jāatzīmē, ka šajā gadījumā vienādojumam parasti ir divas saknes. Vienīgie izņēmumi var būt vienādības, kas vispār nesatur vārdu ar, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse ir negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senatnē, jo matemātikas attīstību tajos tālajos laikos lielā mērā noteica nepieciešamība ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Mums arī jāapsver piemēri kvadrātvienādojumu risināšanai, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir par 16 metriem lielāks nekā platums. Objekta garums, platums un perimetrs ir jānoskaidro, ja zināt, ka tās platība ir 612 m2.

Lai sāktu, vispirms izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim ar x laukuma platumu, tad tā garums būs (x+16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x(x+16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumiem ir 612. Tas nozīmē, ka x(x+16) = 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšanu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar veikt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas dažādas metodes.

Diskriminējošais

Vispirms veiksim nepieciešamās transformācijas, tad šīs izteiksmes izskats izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi iepriekš norādītajam standartam atbilstošā formā, kur a=1, b=16, c= -612.

Tas varētu būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek veikti saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šis palīglielums ne tikai ļauj atrast vajadzīgos daudzumus otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka iespējamo variantu skaitu. Ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā diskriminants ir vienāds ar: 256 - 4(-612) = 2704. Tas liek domāt, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt k, kvadrātvienādojumu risināšana jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrs variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala izmērus nevar izmērīt negatīvos daudzumos, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18 +16=34, un perimetrs 2(34+ 18)=104(m2).

Piemēri un uzdevumi

Mēs turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Tālāk tiks sniegti vairāku no tiem piemēri un detalizēti risinājumi.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Pārvietosim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūsim vienādojuma veidu, ko parasti sauc par standartu, un pielīdzināsim to nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Saskaitot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D = 49 - 48 = 1. Tas nozīmē, ka mūsu vienādojumam būs divas saknes. Aprēķināsim tos pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais ar 1.

2) Tagad atrisināsim cita veida noslēpumus.

Noskaidrosim, vai šeit ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, reducēsim polinomu līdz atbilstošajai parastajai formai un aprēķināsim diskriminantu. Iepriekš minētajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo tā nemaz nav problēmas būtība. Šajā gadījumā D = 16 - 20 = -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.

Vietas teorēma

Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek ņemta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Viņa ir nosaukta pēc viņa vārda, kurš dzīvoja 16. gadsimtā Francijā un izveidoja spožu karjeru, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.

Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma saknes skaitliski summējas ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Izmantosim Vietas teorēmu, kas iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgās vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabola grafiks un vienādojums

Kvadrātfunkciju un kvadrātvienādojumu jēdzieni ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādas attiecības, kas uzzīmētas kā grafiks, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura parādās tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātvienādojumus. Šo metodi sauc par grafisko. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast, izmantojot tikko doto formulu x 0 = -b/2a. Un, aizstājot iegūto vērtību sākotnējās funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder ordinātu asij.

Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi

Kvadrātvienādojumu risināšanai ir daudz piemēru, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apskatīsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Ir arī pretējais. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk izveidot grafiku.

No vēstures

Izmantojot vienādojumus, kas satur kvadrātveida mainīgo, vecos laikos viņi ne tikai veica matemātiskos aprēķinus un noteica ģeometrisko figūru laukumus. Senajiem cilvēkiem šādi aprēķini bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.

Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras. Protams, viņu aprēķini radikāli atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi smalkumi, ko zina jebkurš mūsdienu skolēns.

Varbūt pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Baudhajama sāka risināt kvadrātvienādojumus. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus ēras. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē līdzīgi jautājumi interesēja arī ķīniešu matemātiķus. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.