Atrodiet atvasinājumu: algoritmu un risinājumu piemērus. Funkcijas atvasinājums

Atvasinātās formulas atvasināšana jaudas funkcija(x pakāpē a). Tiek ņemti vērā atvasinājumi no x saknēm. Formula augstākas kārtas jaudas funkcijas atvasinājumam. Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri.

X atvasinājums no a pakāpes ir vienāds ar x reizinājumu ar pakāpju mīnus viens:
(1) .

x n-tās saknes atvasinājums no m-tās pakāpes ir:
(2) .

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana

Gadījums x > 0

Apsveriet mainīgā x jaudas funkciju ar eksponentu a:
(3) .
Šeit a ir patvaļīgs reālais skaitlis. Vispirms apskatīsim lietu.

Lai atrastu funkcijas (3) atvasinājumu, mēs izmantojam jaudas funkcijas īpašības un pārveidojam to šādā formā:
.

Tagad mēs atrodam atvasinājumu, izmantojot:
;
.
Lūk .

Formula (1) ir pierādīta.

Formulas atvasināšana x pakāpes saknes atvasināšanai no m pakāpes

Tagad apsveriet funkciju, kas ir šādas formas sakne:
(4) .

Lai atrastu atvasinājumu, mēs pārveidojam sakni par jaudas funkciju:
.
Salīdzinot ar formulu (3), mēs to redzam
.
Tad
.

Izmantojot formulu (1), mēs atrodam atvasinājumu:
(1) ;
;
(2) .

Praksē formula (2) nav jāiegaumē. Daudz ērtāk ir vispirms pārveidot saknes par jaudas funkcijām un pēc tam atrast to atvasinājumus, izmantojot formulu (1) (skatiet piemērus lapas beigās).

Gadījums x = 0

Ja , tad jaudas funkcija ir definēta mainīgā x = vērtībai 0 . 0 Atradīsim funkcijas (3) atvasinājumu pie x =
.

. 0 :
.
Lai to izdarītu, mēs izmantojam atvasinājuma definīciju:

Aizstāsim x =
.
Šajā gadījumā ar atvasinājumu mēs saprotam labās puses robežu, kurai .
Tātad mēs atradām:
Tātad mēs atradām:
No tā ir skaidrs, ka , .
(1) .
Pie , . 0 .

Šo rezultātu iegūst arī no formulas (1):< 0

Tāpēc formula (1) ir derīga arī x =
(3) .
Lieta x Vēlreiz apsveriet funkciju (3): Dažām konstantes a vērtībām tas ir definēts arī negatīvas vērtības mainīgais x.
,
Proti, ļaujiet būt racionāls skaitlis.

. Tad to var attēlot kā nesamazināmu daļu: 3 kur m un n ir veseli skaitļi bez 1 kopīgs dalītājs
.
Ja n ir nepāra, tad jaudas funkcija tiek definēta arī mainīgā x negatīvajām vērtībām.

Piemēram, ja n = un m = mums ir x kuba sakne:
.
Tas ir definēts arī mainīgā x negatīvajām vērtībām.
.
Mēs atrodam atvasinājumu, novietojot konstanti ārpus atvasinājuma zīmes un piemērojot noteikumu kompleksas funkcijas diferencēšanai:

.
Lūk . Bet
.
Kopš tā laika
.
Tad
.
Tas ir, formula (1) ir derīga arī:
(1) .

Augstākas kārtas atvasinājumi

Tagad atradīsim jaudas funkcijas augstākas kārtas atvasinājumus
(3) .
Mēs jau esam atraduši pirmās kārtas atvasinājumu:
.

Ņemot konstanti a ārpus atvasinājuma zīmes, mēs atrodam otrās kārtas atvasinājumu:
.
Līdzīgi mēs atrodam trešās un ceturtās kārtas atvasinājumus:
;

.

No tā ir skaidrs, ka patvaļīgas n-tās kārtas atvasinājums ir šāda forma:
.

Ņemiet vērā, ka ja a ir naturāls skaitlis, tad n-tais atvasinājums ir nemainīgs:
.
Tad visi nākamie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:
,
plkst.

Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri

Piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
.

Risinājums

Pārveidosim saknes pakāpēs:
;
.
Tad sākotnējā funkcija iegūst šādu formu:
.

Pilnvaru atvasinājumu atrašana:
;
.
Konstantes atvasinājums ir nulle:
.

Atvasinātais aprēķins- viena no svarīgākajām operācijām diferenciālrēķinos. Zemāk ir tabula vienkāršu funkciju atvasinājumu atrašanai. Vairāk sarežģīti noteikumi diferenciāciju, skatiet citas nodarbības:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumu tabula

Izmantojiet dotās formulas kā atsauces vērtības. Tie palīdzēs atrisināt diferenciālvienādojumus un problēmas. Attēlā vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulā ir “apkrāptu lapa” ar galvenajiem atvasinājuma atrašanas gadījumiem lietošanai saprotamā formā, blakus paskaidrojumi katram gadījumam.

Vienkāršu funkciju atvasinājumi

1. Skaitļa atvasinājums ir nulle
с´ = 0
Piemērs:
5' = 0

Paskaidrojums:
Atvasinājums parāda ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties tās argumentam. Tā kā skaitlis nekādos apstākļos nemainās, tā izmaiņu ātrums vienmēr ir nulle.

2. Mainīgā atvasinājums vienāds ar vienu
x' = 1

Paskaidrojums:
Ar katru argumenta (x) pieaugumu par vienu, funkcijas vērtība (aprēķinu rezultāts) palielinās par tādu pašu summu. Tādējādi funkcijas y = x vērtības izmaiņu ātrums ir tieši vienāds ar argumenta vērtības izmaiņu ātrumu.

3. Mainīgā un faktora atvasinājums ir vienāds ar šo koeficientu
сx´ = с
Piemērs:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paskaidrojums:
Šajā gadījumā katru reizi, kad mainās funkcijas arguments ( X) tā vērtība (y) palielinās Ar vienreiz. Tādējādi funkcijas vērtības maiņas ātrums attiecībā pret argumenta izmaiņu ātrumu ir tieši vienāds ar vērtību Ar.

No kurienes tas izriet
(cx + b)" = c
tas ir, lineārās funkcijas diferenciālis y=kx+b ir vienāds ar slīpums taisnes slīpums (k).

4. Mainīgā moduļa atvasinājums vienāds ar šī mainīgā lieluma un tā moduļa koeficientu
|x|"= x / |x| ar nosacījumu, ka x ≠ 0
Paskaidrojums:
Tā kā mainīgā atvasinājums (skat. 2. formulu) ir vienāds ar vienību, tad moduļa atvasinājums atšķiras tikai ar to, ka, šķērsojot sākuma punktu, funkcijas izmaiņu ātruma vērtība mainās uz pretējo (mēģini uzzīmēt grafiku no funkcijas y = |x| un redziet tieši šo vērtību un atgriež izteiksmi x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - viens. Tas ir, mainīgā x negatīvām vērtībām, ar katru argumenta izmaiņu pieaugumu, funkcijas vērtība samazinās par tieši tādu pašu vērtību, un pozitīvām vērtībām, gluži pretēji, tā palielinās, bet tieši par tāda pati vērtība.

5. Mainīgā atvasinājums no pakāpes vienāds ar šīs jaudas skaitļa un mainīgā reizinājumu ar jaudu, kas samazināta par vienu
(x c)"= cx c-1, ar nosacījumu, ka x c un cx c-1 ir definēti un c ≠ 0
Piemērs:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Lai atcerētos formulu:
Pārvietojiet mainīgā pakāpi uz leju kā faktoru un pēc tam samaziniet pašu pakāpi par vienu. Piemēram, ja x 2 - divi bija priekšā x, un tad samazinātā jauda (2-1 = 1) mums vienkārši deva 2x. Tas pats notika ar x 3 - mēs “pārvietojam” trīskāršu uz leju, samazinām to par vienu un kuba vietā mums ir kvadrāts, tas ir, 3x 2. Mazliet "nezinātniski", bet ļoti viegli atcerēties.

6.Daļas atvasinājums 1/x
(1/x)" = - 1/x2
Piemērs:
Tā kā daļu var attēlot, paaugstinot to līdz negatīva pakāpe
(1/x)" = (x -1)", tad varat piemērot formulu no atvasinājumu tabulas 5. noteikuma
(x -1)" = -1x -2 = - 1/x2

7. Daļas atvasinājums ar patvaļīgas pakāpes mainīgo saucējā
(1/x c)" = - c / x c+1
Piemērs:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Saknes atvasinājums(mainīgā atvasinājums zem kvadrātsaknes)
(√x)" = 1 / (2√x) vai 1/2 x -1/2
Piemērs:
(√x)" = (x 1/2)" nozīmē, ka varat lietot formulu no 5. noteikuma
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Mainīgā atvasinājums zem patvaļīgas pakāpes saknes
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Ar šo video es sāku garu nodarbību sēriju par atvasinājumiem. Šī nodarbība sastāv no vairākām daļām.

Vispirms es pastāstīšu, kas ir atvasinājumi un kā tos aprēķināt, bet ne izsmalcinātā akadēmiskajā valodā, bet gan tā, kā es pats to saprotu un kā es to skaidroju saviem studentiem. Otrkārt, aplūkosim vienkāršāko uzdevumu risināšanas noteikumu, kurā meklēsim summu atvasinājumus, starpību atvasinājumus un jaudas funkcijas atvasinājumus.

Mēs apskatīsim sarežģītākus kombinētos piemērus, no kuriem jūs jo īpaši uzzināsit, ka līdzīgas problēmas, kas saistītas ar saknēm un pat daļām, var atrisināt, izmantojot pakāpju funkcijas atvasinājuma formulu. Turklāt, protams, visvairāk būs daudz problēmu un risinājumu piemēri dažādi līmeņi sarežģītība.

Vispār sākotnēji grasījos ierakstīt īsu 5 minūšu video, bet kā sanāca, var redzēt. Tātad pietiek ar dziesmu tekstiem – ķersimies pie lietas.

Kas ir atvasinājums?

Tātad, sāksim no tālienes. Pirms daudziem gadiem, kad koki bija zaļāki un dzīve bija jautrāka, matemātiķi domāja par to: apsveriet vienkāršu funkciju, ko nosaka tās grafiks, nosauciet to par $y=f\left(x \right)$. Protams, grafiks neeksistē pats par sevi, tāpēc ir jāzīmē $x$ asis, kā arī $y$ ass. Tagad izvēlēsimies jebkuru punktu šajā diagrammā, pilnīgi jebkuru. Sauksim abscisi $((x)_(1))$, ordināta, kā jūs varētu nojaust, būs $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Apskatīsim citu punktu tajā pašā diagrammā. Nav svarīgi, kurš, galvenais, lai tas atšķirtos no sākotnējā. Tam atkal ir abscisa, sauksim to par $((x)_(2))$, kā arī ordināta - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Tātad, mēs saņēmām divus punktus: tiem ir dažādas abscises, un tāpēc dažādas nozīmes funkcijas, lai gan pēdējā nav obligāta. Bet patiešām svarīgi ir tas, ka no planimetrijas kursa mēs zinām: caur diviem punktiem var novilkt taisnu līniju un turklāt tikai vienu. Tātad izpildīsim to.

Tagad novelkam taisnu līniju cauri pirmajai no tām paralēli abscisu asij. Mēs saņemam taisnleņķa trīsstūris. Sauksim to par $ABC$, taisnleņķi $C$. Šim trīsstūrim ir viens ļoti interesants īpašums: fakts ir tāds, ka leņķis $\alpha $ faktiski ir vienāds ar leņķi, kurā taisne $AB$ krustojas ar abscisu ass turpinājumu. Spriediet paši:

taisne $AC$ pēc konstrukcijas ir paralēla $Ox$ asij,
līnija $AB$ krustojas ar $AC$ zem $\alpha $,
tātad $AB$ krustojas ar $Ox$ zem tā paša $\alpha $.

Ko mēs varam teikt par $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nekas konkrēts, izņemot to, ka trijstūrī $ABC$ posma $BC$ un $AC$ attiecība ir vienāda ar šī leņķa tangensu. Tātad pierakstīsim to:

Protams, $AC$ šajā gadījumā ir viegli aprēķināt:

Tāpat par $BC$:

Citiem vārdiem sakot, mēs varam rakstīt sekojošo:

\[\operatora nosaukums(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \pa labi))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Tagad, kad tas viss ir novērsts, atgriezīsimies pie mūsu grafika un apskatīsim jauns punkts$B$. Izdzēsīsim vecās vērtības un paņemsim $B$ kaut kur tuvāk $((x)_(1))$. Atkal apzīmēsim tās abscisu ar $((x)_(2))$ un tās ordinātu ar $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Apskatīsim vēlreiz mūsu mazo trīsstūri $ABC$ un $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ tā iekšpusē. Pilnīgi skaidrs, ka šis būs pavisam cits leņķis, arī pieskares būs cita, jo segmentu $AC$ un $BC$ garumi ir būtiski mainījušies, bet leņķa pieskares formula nav mainījusies vispār. - šī joprojām ir saistība starp funkcijas izmaiņām un argumenta izmaiņām.

Visbeidzot, mēs turpinām virzīt $B$ tuvāk sākotnējam punktam $A$, kā rezultātā trīsstūris kļūs vēl mazāks, un taisne, kas satur segmentu $AB$, arvien vairāk izskatīsies pēc pieskares grafikam funkcija.

Rezultātā, ja mēs turpināsim tuvināt punktus, t.i., samazināt attālumu līdz nullei, tad taisne $AB$ patiešām pārtaps par grafika tangensu dotajā punktā un $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ pārveidosies no regulāra trijstūra elementa uz leņķi starp grafika pieskari un $Ox$ ass pozitīvo virzienu.

Un šeit mēs vienmērīgi pārejam pie $f$ definīcijas, proti, funkcijas atvasinājums punktā $((x)_(1))$ ir leņķa $\alpha $ tangenss starp pieskari grafiks punktā $((x)_(1))$ un $Ox$ ass pozitīvais virziens:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatora nosaukums(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Atgriežoties pie mūsu grafika, jāatzīmē, ka jebkuru grafa punktu var izvēlēties kā $((x)_(1))$. Piemēram, ar tādiem pašiem panākumiem mēs varētu noņemt insultu attēlā parādītajā punktā.

Sauksim leņķi starp pieskares un ass pozitīvo virzienu $\beta$. Attiecīgi $f$ $((x)_(2))$ būs vienāds ar šī leņķa $\beta $ tangensu.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Katram grafikas punktam būs savs tangenss un līdz ar to arī savas funkcijas vērtība. Katrā no šiem gadījumiem papildus punktam, kurā mēs meklējam starpības vai summas atvasinājumu vai jaudas funkcijas atvasinājumu, ir jāņem cits punkts, kas atrodas kādā attālumā no tā, un pēc tam jānovirza šo norādiet uz sākotnējo un, protams, noskaidrojiet, kā procesā Šāda kustība mainīs slīpuma leņķa tangensu.

Jaudas funkcijas atvasinājums

Diemžēl šāda definīcija mums nemaz neder. Visas šīs formulas, attēli, leņķi nedod mums ne mazāko priekšstatu par to, kā aprēķināt reālo atvasinājumu reālās problēmās. Tāpēc nedaudz atkāpsimies no formālās definīcijas un apsvērsim efektīvākas formulas un paņēmienus, ar kuriem jau var atrisināt reālas problēmas.

Sāksim ar vienkāršākajām konstrukcijām, proti, funkcijām $y=((x)^(n))$, t.i. jaudas funkcijas. Šajā gadījumā mēs varam ierakstīt sekojošo: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Citiem vārdiem sakot, pakāpe, kas bija eksponentā, tiek parādīta priekšējā reizinātājā, un pats eksponents tiek samazināts, piemēram:

\[\begin(līdzināt)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cpunkts ((x)^(2-1))=2x \\\end(līdzināt) \]

Šeit ir vēl viena iespēja:

\[\begin(līdzināt)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(līdzināt)\]

Izmantojot šos vienkārši noteikumi, mēģināsim noņemt šādu piemēru svītru:

Tātad mēs iegūstam:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Tagad atrisināsim otro izteiksmi:

\[\begin(līdzināt)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(līdzināt)\]

Protams, šīs bija ļoti vienkāršus uzdevumus. Tomēr reālās problēmas ir sarežģītākas, un tās neaprobežojas tikai ar funkciju pakāpēm.

Tātad, noteikums Nr. 1 - ja funkcija ir uzrādīta pārējo divu formā, tad šīs summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Tāpat divu funkciju starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

Turklāt ir vēl viens svarīgs noteikums: ja pirms kāda $f$ ir konstante $c$, ar kuru šī funkcija tiek reizināta, tad visas šīs konstrukcijas $f$ tiek aprēķināts šādi:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ pirmskaitlis ))=3\cpunkts 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Visbeidzot, vēl viens ļoti svarīgs noteikums: uzdevumos bieži ir atsevišķs termins, kas nesatur $x$ vispār. Piemēram, mēs to varam novērot mūsu šodienas izteicienos. Konstantes atvasinājums, t.i., skaitlis, kas nekādā veidā nav atkarīgs no $x$, vienmēr ir vienāds ar nulli, un nav svarīgi, ar ko ir vienāda konstante $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Risinājuma piemērs:

\[((\left(1001 \right)))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Atkal galvenie punkti:

Divu funkciju summas atvasinājums vienmēr ir vienāds ar atvasinājumu summu: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Līdzīgu iemeslu dēļ divu funkciju atšķirības atvasinājums ir vienāds ar divu atvasinājumu starpību: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Ja funkcijai ir konstants koeficients, tad šo konstanti var izņemt kā atvasināto zīmi: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Ja visa funkcija ir konstante, tad tās atvasinājums vienmēr ir nulle: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Apskatīsim, kā tas viss darbojas ar reāliem piemēriem. Tātad:

Mēs pierakstām:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \labais))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(līdzināt)\]

Šajā piemērā mēs redzam gan summas atvasinājumu, gan starpības atvasinājumu. Kopumā atvasinājums ir vienāds ar $5((x)^(4))-6x$.

Pāriesim pie otrās funkcijas:

Pierakstīsim risinājumu:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3(x)^( 2)) \labais))^(\prime ))-((\kreisais(2x \labais))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \labais))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cpunkts 2x-2\cpunkts 1=6x-2 \\\end(līdzināt)\]

Šeit mēs esam atraduši atbildi.

Pārejam pie trešās funkcijas - tā ir nopietnāka:

\[\begin(līdzināt)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(() (x)^(3)) \labais))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cpunkts (x)"=2\cpunkts 3((x)^(2))-3\cpunkts 2x+\frac(1)(2)\cpunkts 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(līdzināt)\]

Mēs esam atraduši atbildi.

Pārejam pie pēdējās izteiksmes - vissarežģītākās un garākās:

Tātad, mēs uzskatām:

\[\begin(līdzināt)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cpunkts 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\beigas(līdzināt)\]

Taču risinājums ar to nebeidzas, jo mums tiek lūgts ne tikai noņemt insultu, bet arī aprēķināt tā vērtību noteiktā punktā, tāpēc izteiksmē mēs aizstājam —1, nevis $x$:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cpunkts 1-42\cpunkts 1+4=4\]

Dosimies tālāk un pāriesim pie vēl sarežģītākām un interesanti piemēri. Fakts ir tāds, ka formula, lai atrisinātu jaudas atvasinājumu $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ir vēl plašāks apjoms, nekā parasti tiek uzskatīts. Ar tās palīdzību jūs varat atrisināt piemērus ar daļskaitļiem, saknēm utt. To mēs tagad darīsim.

Sākumā vēlreiz pierakstīsim formulu, kas palīdzēs mums atrast jaudas funkcijas atvasinājumu:

Un tagad uzmanība: līdz šim esam uzskatījuši tikai par $n$ naturālie skaitļi tomēr nekas neliedz mums ņemt vērā daļskaitļus un pat negatīvi skaitļi. Piemēram, mēs varam rakstīt sekojošo:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\beigt(līdzināt)\]

Nekas sarežģīts, tāpēc redzēsim, kā šī formula mums palīdzēs sarežģītāku problēmu risināšanā. Tātad, piemērs:

Pierakstīsim risinājumu:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ pa kreisi(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right)))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(līdzināt)\]

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra un uzrakstīsim:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Tas ir tik grūts lēmums.

Pārejam pie otrā piemēra - ir tikai divi termini, bet katrs no tiem satur gan klasisko pakāpi, gan saknes.

Tagad mēs uzzināsim, kā atrast jaudas funkcijas atvasinājumu, kas turklāt satur sakni:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3)) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7)) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3)) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(līdzināt)\]

Abi termini ir aprēķināti, atliek tikai pierakstīt galīgo atbildi:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Mēs esam atraduši atbildi.

Daļas atvasinājums, izmantojot jaudas funkciju

Taču formulas iespējas jaudas funkcijas atvasinājuma risināšanai ar to nebeidzas. Fakts ir tāds, ka ar tās palīdzību jūs varat aprēķināt ne tikai piemērus ar saknēm, bet arī ar frakcijām. Tieši šī ir tā retā iespēja, kas ievērojami vienkāršo šādu piemēru risinājumu, bet bieži vien to ignorē ne tikai skolēni, bet arī skolotāji.

Tātad, tagad mēs mēģināsim apvienot divas formulas vienlaikus. No vienas puses, jaudas funkcijas klasiskais atvasinājums

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

No otras puses, mēs zinām, ka izteiksmi formā $\frac(1)(((x)^(n)))$ var attēlot kā $((x)^(-n))$. Tāpēc

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Tādējādi, izmantojot klasisko formulu, tiek aprēķināti arī vienkāršo daļskaitļu atvasinājumi, kur skaitītājs ir konstante un saucējs ir pakāpe. Apskatīsim, kā tas darbojas praksē.

Tātad, pirmā funkcija:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ pa labi))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Pirmais piemērs ir atrisināts, pāriesim pie otrā:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3(x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \labais))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4(x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3(x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \labais))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ pa kreisi(3((x)^(4)) \labais))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ beigas(līdzināt)\]...

Tagad mēs apkopojam visus šos terminus vienā formulā:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Esam saņēmuši atbildi.

Tomēr, pirms turpināt, vēlos pievērst jūsu uzmanību pašu oriģinālo izteicienu rakstīšanas formai: pirmajā izteiksmē mēs ierakstījām $f\left(x \right)=...$, otrajā: $y =...$ Daudzi skolēni pazūd, ieraugot dažādas formas ieraksti. Kāda ir atšķirība starp $f\left(x \right)$ un $y$? Īsti nekas. Tie ir tikai dažādi ieraksti ar vienu un to pašu nozīmi. Vienkārši sakām $f\left(x \right)$, tad mēs runājam par, pirmkārt, par funkciju, un, runājot par $y$, mēs visbiežāk domājam funkcijas grafiku. Pretējā gadījumā tas ir viens un tas pats, t.i., atvasinājums abos gadījumos tiek uzskatīts par vienu un to pašu.

Sarežģītas problēmas ar atvasinājumiem

Noslēgumā es vēlos apsvērt dažus sarežģītus kombinētus uzdevumus, kuros tiek izmantots viss, ko mēs šodien esam apsvēruši. Tie satur saknes, daļas un summas. Tomēr šie piemēri būs sarežģīti tikai šodienas video pamācībā, jo jūs gaidīs patiešām sarežģītas atvasinātās funkcijas.

Tātad, šodienas video nodarbības beigu daļa, kas sastāv no diviem apvienotiem uzdevumiem. Sāksim ar pirmo no tiem:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ pa kreisi(((x)^(-3)) \labais))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(līdzināt)\]

Funkcijas atvasinājums ir vienāds ar:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Pirmais piemērs ir atrisināts. Apskatīsim otro problēmu:

Otrajā piemērā mēs rīkojamies līdzīgi:

\[((\left(-\frac(2))(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Aprēķināsim katru terminu atsevišķi:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \labais))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac() 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ pa kreisi(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(līdzināt)\]

Visi termiņi ir aprēķināti. Tagad mēs atgriežamies pie sākotnējās formulas un saskaitām visus trīs terminus. Mēs saņemam, ka galīgā atbilde būs šāda:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Un tas arī viss. Šī bija mūsu pirmā nodarbība. Turpmākajās nodarbībās aplūkosim sarežģītākas konstrukcijas, kā arī uzzināsim, kāpēc vispār ir nepieciešami atvasinājumi.

Varas likuma definīcija eksponenciālā funkcija. Formulas atvasināšana tās atvasinājuma aprēķināšanai. Detalizēti analizēti jaudas eksponenciālo funkciju atvasinājumu aprēķina piemēri.

Jaudas eksponenciālā funkcija ir funkcija, kurai ir jaudas funkcijas forma
y = u v ,
kurā bāze u un eksponents v ir dažas mainīgā x funkcijas:
u = u (x); (x).
v = v Šo funkciju sauc arī par eksponenciāls

vai .
.
Ņemiet vērā, ka jaudas eksponenciālo funkciju var attēlot eksponenciālā formā: Tāpēc to sauc arī par.

sarežģīta eksponenciāla funkcija

Aprēķins, izmantojot logaritmisko atvasinājumu
(2) ,
Atradīsim pakāpju eksponenciālās funkcijas atvasinājumu
kur un ir mainīgā funkcijas.
.
Lai to izdarītu, mēs logaritējam vienādojumu (2), izmantojot logaritma īpašību:
(3) .
Diferencēt attiecībā pret mainīgo x: Mēs piesakāmies sarežģītu funkciju diferencēšanas noteikumi
;
.

un darbojas:
.
Mēs aizstājam ar (3):
.

No šejienes
(1) .
Tātad, mēs atradām jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu:
.
Ja eksponents ir nemainīgs, tad .
.
Tad atvasinājums ir vienāds ar sarežģītas jaudas funkcijas atvasinājumu:

Ja pakāpes bāze ir nemainīga, tad .

Tad atvasinājums ir vienāds ar sarežģītas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu:
(2) ,
Kad un ir x funkcijas, tad pakāpju eksponenciālās funkcijas atvasinājums ir vienāds ar komplekso pakāpju un eksponenciālo funkciju atvasinājumu summu.
(4) .

Atvasinājuma aprēķins, reducējot līdz kompleksai eksponenciālai funkcijai
.
Tagad atradīsim jaudas eksponenciālās funkcijas atvasinājumu parādot to kā sarežģītu eksponenciālu funkciju::

.
Atšķirsim produktu:

Piemēro atvasinājuma atrašanas noteikumu

sarežģīta funkcija
.

Risinājums

Un mēs atkal saņēmām formulu (1).
1. piemērs .

Atrodiet šādas funkcijas atvasinājumu:
;
.
Mēs aprēķinām, izmantojot logaritmisko atvasinājumu. Logaritēsim sākotnējo funkciju:
.
(A1.1)
.
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
,
Izmantojot produkta atvasinājuma formulu, mums ir:
.

Mēs atšķiram (A1.1):

Jo

Tas
.

Risinājums

Atbilde
2. piemērs .

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Logaritēsim sākotnējo funkciju: (A2.1) Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.

Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi

Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.

1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir atvasināto funkciju summa, t.i.

No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka “X” atvasinājums ir vienāds ar vienu, bet sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:

2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mēs diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam loceklim ir nemainīgs faktors, to var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.

Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula

1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži
2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku
3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs.
4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1
5.Atvasinājums kvadrātsakne
6.Sinusa atvasinājums
7.Kosinusa atvasinājums
8. Pieskares atvasinājums
9. Kotangensa atvasinājums
10.Arksīna atvasinājums
11.Arkosīna atvasinājums
12.Arktangenta atvasinājums
13. Loka kotangensa atvasinājums
14.Naturālā logaritma atvasinājums
15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums
16. Eksponenta atvasinājums
17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi

1. Summas vai starpības atvasinājums
2. Produkta atvasinājums
2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu
3. Koeficienta atvasinājums
4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums

1. noteikums.Ja funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā

tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar algebriskā summašo funkciju atvasinājumi.

Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.

2. noteikums.Ja funkcijas

ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā

tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.

Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:

Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.

Piemēram, trim reizinātājiem:

3. noteikums.Ja funkcijas

kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un

tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.

Kur meklēt lietas citās lapās

Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".

komentēt. Nevajag jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Šis tipiska kļūda, kas notiek atvasinājumu izpētes sākumposmā, bet, tā kā vidusmēra skolēns risina vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, viņš šo kļūdu vairs nepieļauj.

Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).

Cits izplatīta kļūda- sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniskais risinājums kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tieši tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.

Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .

Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.

Ja jums ir tāds uzdevums kā , tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.

Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu

3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:

Tālāk mēs piemērojam summu diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinātās vērtības:

Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:

4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:

Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:

Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jums jāatrod funkcijas atvasinājums, kurā ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, , tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .

Ja nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu atvasinājumiem trigonometriskās funkcijas, tas ir, kad funkcija izskatās kā , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .

5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Izmantojot reizinājuma diferencēšanas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:

6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferencēšanas noteikumu, ko atkārtojām un piemērojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, iegūstam: