Atrodiet sarežģītas funkcijas atvasinājumu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums

“Vecajās” mācību grāmatās to sauc arī par “ķēdes” likumu. Tātad, ja y = f (u) un u = φ (x), tas ir

y = f (φ (x))

komplekss - saliktā funkcija (funkciju sastāvs) tad

Kur , pēc aprēķina tiek uzskatīts plkst u = φ (x).

Ņemiet vērā, ka šeit mēs paņēmām “dažādas” kompozīcijas no tām pašām funkcijām, un diferenciācijas rezultāts, protams, izrādījās atkarīgs no “sajaukšanas” secības.

Ķēdes noteikums, protams, attiecas uz kompozīcijām ar trīs vai vairākām funkcijām. Šajā gadījumā atvasinājumu veidojošajā “ķēdē” būs trīs vai vairākas “saites”. Šeit ir līdzība ar reizināšanu: “mums ir” atvasinājumu tabula; “tur” - reizināšanas tabula; “ar mums” ir ķēdes noteikums, un “tur” ir “kolonnas” reizināšanas noteikums. Aprēķinot šādus “sarežģītus” atvasinājumus, palīgargumenti (u¸v utt.), protams, netiek ieviesti, taču, paši atzīmējot kompozīcijā iesaistīto funkciju skaitu un secību, tiek “savērtas” atbilstošās saites. norādītajā secībā.

Šeit ar “x”, lai iegūtu “y” vērtību, tiek veiktas piecas darbības, tas ir, ir piecu funkciju sastāvs: “ārējā” (pēdējā no tām) - eksponenciāls - e  ;

tad apgrieztā secībā, jauda. (♦) 2 ;

trigonometriskais grēks();

nomierinošs. () 3 un visbeidzot logaritmiskais ln.().

Tieši tāpēc

Ar šādiem piemēriem mēs “nogalināsim pāris putnu ar vienu akmeni”: praktizēsim sarežģītu funkciju diferenciāciju un papildināsim elementāro funkciju atvasinājumu tabulu. Tātad:

4. Jaudas funkcijai - y = x α - to pārrakstot, izmantojot labi zināmo "logaritmisko pamatidentitāti" - b=e ln b - iegūstam formā x α = x α ln x

5. Patvaļīgai eksponenciālai funkcijai, izmantojot to pašu paņēmienu, kas mums būs

6. Patvaļīgai logaritmiskai funkcijai, izmantojot labi zināmo formulu pārejai uz jaunu bāzi, mēs konsekventi iegūstam
,

7. Lai diferencētu tangensu (kotangensu), mēs izmantojam koeficientu diferenciācijas likumu:

Pēc iepriekšējas artilērijas sagatavošanas piemēri ar 3-4-5 funkciju ligzdām būs mazāk biedējoši. Šie divi piemēri kādam var šķist sarežģīti, bet, ja jūs tos saprotat (kāds cietīs), tad gandrīz viss pārējais diferenciālrēķinos liksies kā bērnu joks.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā jau minēts, meklējot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, pirmkārt, tas ir nepieciešams Pareizi IZPROTIET savus ieguldījumus. Gadījumos, kad rodas šaubas, es atgādinu kādu noderīgu paņēmienu: mēs ņemam, piemēram, eksperimentālo vērtību “x” un mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aizstāt šo vērtību ar “briesmīgo izteiksmi”.

1) Vispirms mums ir jāaprēķina izteiksme, kas nozīmē, ka summa ir dziļākā iegulšana.

2) Tad jums jāaprēķina logaritms:

4) Pēc tam sagrieziet kosinusu kubā:

5) Piektajā solī atšķirība:

6) Un visbeidzot, visattālākā funkcija ir kvadrātsakne:

Formula sarežģītas funkcijas diferencēšanai tiek piemēroti apgrieztā secībā, no attālākās funkcijas līdz iekšējai. Mēs nolemjam:

Šķiet, ka bez kļūdām:

1) Ņem kvadrātsaknes atvasinājumu.

2) Ņemiet starpības atvasinājumu, izmantojot noteikumu

3) Trīskārša atvasinājums ir nulle. Otrajā termiņā mēs ņemam pakāpes atvasinājumu (kubu).

4) Ņem kosinusa atvasinājumu.

6) Un visbeidzot mēs ņemam dziļākās iegulšanas atvasinājumu.

Tas var šķist pārāk grūti, taču šis nav brutālākais piemērs. Ņemiet, piemēram, Kuzņecova kolekciju, un jūs novērtēsiet visu analizētā atvasinājuma skaistumu un vienkāršību. Es pamanīju, ka viņiem patīk eksāmenā dot līdzīgu lietu, lai pārbaudītu, vai students saprot, kā atrast sarežģītas funkcijas atvasinājumu, vai nesaprot.

Šis piemērs ir paredzēts, lai jūs atrisinātu pats.

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Padoms: vispirms piemērojam linearitātes noteikumus un produktu diferenciācijas likumu

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko mazāku un jaukāku.
Nereti piemērā tiek parādīts nevis divu, bet trīs funkciju reizinājums. Kā atrast trīs faktoru reizinājuma atvasinājumu?

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Vispirms paskatāmies, vai ir iespējams trīs funkciju reizinājumu pārvērst par divu funkciju reizinājumu? Piemēram, ja produktā būtu divi polinomi, mēs varētu atvērt iekavas. Bet aplūkotajā piemērā visas funkcijas ir atšķirīgas: pakāpe, eksponents un logaritms.

Šādos gadījumos tas ir nepieciešams secīgi piemērot produktu diferenciācijas noteikumu divreiz

Viltība ir tāda, ka ar “y” mēs apzīmējam divu funkciju reizinājumu: , un ar “ve” apzīmējam logaritmu: . Kāpēc to var izdarīt? Vai tiešām - tas nav divu faktoru rezultāts un noteikums nedarbojas?! Nav nekā sarežģīta:

Tagad atliek šo noteikumu piemērot otrreiz iekavās:

Varat arī sagriezties un kaut ko izlikt iekavās, taču šajā gadījumā labāk ir atstāt atbildi tieši šādā formā - to būs vieglāk pārbaudīt.

Aplūkoto piemēru var atrisināt otrā veidā:

Abi risinājumi ir absolūti līdzvērtīgi.

5. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam paraugā tas ir atrisināts, izmantojot pirmo metodi.

Apskatīsim līdzīgus piemērus ar daļskaitļiem.

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit varat doties vairākos veidos:

Vai arī šādi:

Bet risinājums tiks uzrakstīts kompaktāk, ja vispirms izmantosim koeficienta diferenciācijas likumu , ņemot visu skaitītāju:

Principā piemērs ir atrisināts, un, ja to atstāj kā ir, tā nebūs kļūda. Bet, ja jums ir laiks, vienmēr ir ieteicams pārbaudīt uzmetumu, lai redzētu, vai atbildi var vienkāršot?

Samazināsim skaitītāja izteiksmi līdz kopsaucējam un atbrīvosimies no daļskaitļa trīsstāvu struktūras:

Papildu vienkāršojumu trūkums ir tāds, ka pastāv risks kļūdīties nevis atvasinājuma atrašanas laikā, bet gan banālu skolas transformāciju laikā. No otras puses, skolotāji bieži noraida uzdevumu un lūdz atvasinājumu “atvest pie prāta”.

Vienkāršāks piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Mēs turpinām apgūt atvasinājuma atrašanas metodes, un tagad mēs apsvērsim tipisku gadījumu, kad diferenciācijai tiek piedāvāts "briesmīgs" logaritms

Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā atrast kompleksas funkcijas atvasinājums. Nodarbība ir loģisks stundas turpinājums Kā atrast atvasinājumu?, kurā apskatījām vienkāršākos atvasinājumus, kā arī iepazināmies ar diferenciācijas noteikumiem un dažiem tehniskajiem paņēmieniem atvasinājumu atrašanai. Tādējādi, ja jūs ne pārāk labi lietojat funkciju atvasinājumus vai daži šī raksta punkti nav pilnīgi skaidri, vispirms izlasiet iepriekš minēto nodarbību. Lūdzu, noskaņojieties nopietni - materiāls nav vienkāršs, bet es tomēr centīšos to pasniegt vienkārši un skaidri.

Praksē ar sarežģītas funkcijas atvasinājumu nākas saskarties ļoti bieži, es pat teiktu, gandrīz vienmēr, kad tiek doti uzdevumi atrast atvasinājumus.

Mēs aplūkojam tabulu pie noteikuma (Nr. 5) sarežģītas funkcijas diferencēšanai:

Izdomāsim. Vispirms pievērsīsim uzmanību ierakstam. Šeit mums ir divas funkcijas – un , un funkcija, tēlaini izsakoties, ir ligzdota funkcijā . Šāda veida funkciju (kad viena funkcija ir ligzdota citā) sauc par komplekso funkciju.

Es izsaukšu funkciju ārējā funkcija un funkcija – iekšējā (vai ligzdotā) funkcija.

! Šīs definīcijas nav teorētiskas, un tām nevajadzētu parādīties uzdevumu galīgajā noformējumā. Es lietoju neformālus izteicienus “ārējā funkcija”, “iekšējā” funkcija tikai tāpēc, lai jums būtu vieglāk saprast materiālu.

Lai noskaidrotu situāciju, apsveriet:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Zem sinusa mums ir ne tikai burts “X”, bet visa izteiksme, tāpēc atvasinājuma atrašana uzreiz no tabulas nedarbosies. Mēs arī pamanām, ka šeit nav iespējams piemērot pirmos četrus noteikumus, šķiet, ka ir atšķirība, taču fakts ir tāds, ka sinusu nevar “saplēst gabalos”:

Šajā piemērā no maniem paskaidrojumiem jau intuitīvi ir skaidrs, ka funkcija ir sarežģīta funkcija, bet polinoms ir iekšējā funkcija (iegulšana) un ārējā funkcija.

Pirmais solis kas jums jādara, atrodot sarežģītas funkcijas atvasinājumu, ir saprast, kura funkcija ir iekšēja un kura ir ārēja.

Vienkāršu piemēru gadījumā šķiet skaidrs, ka polinoms ir iegults zem sinusa. Bet ko darīt, ja viss nav acīmredzams? Kā precīzi noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja? Lai to izdarītu, es iesaku izmantot šādu paņēmienu, ko var izdarīt garīgi vai melnrakstā.

Iedomāsimies, ka mums ir jāizmanto kalkulators, lai aprēķinātu izteiksmes vērtību pie (viena vietā var būt jebkurš skaitlis).

Ko mēs aprēķināsim vispirms? Pirmkārt jums būs jāveic šāda darbība: , tāpēc polinoms būs iekšēja funkcija:

Otrkārt būs jāatrod, tātad sinuss – būs ārēja funkcija:

Pēc tam, kad mēs IZPĀRDOTS Ar iekšējām un ārējām funkcijām ir pienācis laiks piemērot sarežģītu funkciju diferenciācijas noteikumu.

Sāksim lemt. No klases Kā atrast atvasinājumu? mēs atceramies, ka jebkura atvasinājuma risinājuma izstrāde vienmēr sākas šādi - mēs ievietojam izteiksmi iekavās un ieliekam insultu augšējā labajā stūrī:

Sākumā atrodam ārējās funkcijas atvasinājumu (sinusu), apskatām elementāro funkciju atvasinājumu tabulu un pamanām, ka . Visas tabulas formulas ir piemērojamas arī tad, ja “x” tiek aizstāts ar sarežģītu izteiksmi, šajā gadījumā:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka iekšējā funkcija nav mainījies, mēs to neaiztiekam.

Nu, tas ir pilnīgi skaidrs

Formulas piemērošanas gala rezultāts izskatās šādi:

Pastāvīgais koeficients parasti tiek ievietots izteiksmes sākumā:

Ja rodas kāds pārpratums, pierakstiet risinājumu uz papīra un vēlreiz izlasiet paskaidrojumus.

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Kā vienmēr, mēs pierakstām:

Noskaidrosim, kur mums ir ārēja funkcija un kur iekšēja. Lai to izdarītu, mēs mēģinām (garīgi vai melnrakstā) aprēķināt izteiksmes vērtību pie . Kas jums jādara vispirms? Pirmkārt, jums jāaprēķina, ar ko ir vienāda bāze: tāpēc polinoms ir iekšējā funkcija:

Un tikai tad tiek veikta eksponēšana, tāpēc jaudas funkcija ir ārēja funkcija:

Saskaņā ar formulu vispirms jāatrod ārējās funkcijas atvasinājums, šajā gadījumā pakāpe. Tabulā meklējam nepieciešamo formulu: . Mēs atkārtojam vēlreiz: jebkura tabulas formula ir derīga ne tikai “X”, bet arī sarežģītai izteiksmei. Tādējādi sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:

Es vēlreiz uzsveru, ka, ņemot ārējās funkcijas atvasinājumu, mūsu iekšējā funkcija nemainās:

Tagad atliek tikai atrast ļoti vienkāršu iekšējās funkcijas atvasinājumu un nedaudz pielāgot rezultātu:

4. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Lai nostiprinātu jūsu izpratni par sarežģītas funkcijas atvasinājumu, es sniegšu piemēru bez komentāriem, mēģiniet to izdomāt pats, pamatojiet, kur ir ārējā un kur iekšējā funkcija, kāpēc uzdevumi tiek risināti šādi?

5. piemērs

a) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

b) Atrodiet funkcijas atvasinājumu

6. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit mums ir sakne, un, lai atšķirtu sakni, tā ir jāattēlo kā spēks. Tādējādi vispirms mēs ievedam funkciju diferencēšanai piemērotā formā:

Analizējot funkciju, mēs nonākam pie secinājuma, ka trīs terminu summa ir iekšēja funkcija, bet paaugstināšana līdz pakāpei ir ārēja funkcija. Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu:

Mēs atkal attēlojam pakāpi kā radikāli (sakni), un iekšējās funkcijas atvasinājumam mēs izmantojam vienkāršu noteikumu summas diferencēšanai:

Gatavs. Varat arī samazināt izteiksmi līdz kopsaucējam iekavās un pierakstīt visu kā vienu daļskaitli. Tas, protams, ir skaisti, bet, ja iegūstat apgrūtinošus garus atvasinājumus, labāk to nedarīt (ir viegli apjukt, pieļaut nevajadzīgu kļūdu, un skolotājam to būs neērti pārbaudīt).

7. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Interesanti atzīmēt, ka dažreiz kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikuma vietā varat izmantot koeficienta diferencēšanas noteikumu. , bet šāds risinājums izskatīsies pēc smieklīgas perversijas. Šeit ir tipisks piemērs:

8. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šeit var izmantot koeficienta diferenciācijas likumu , bet daudz izdevīgāk ir atrast atvasinājumu, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:

Sagatavojam funkciju diferencēšanai - izņemam mīnusu no atvasinājuma zīmes un paaugstinām kosinusu skaitītājā:

Kosinuss ir iekšēja funkcija, kāpināšana ir ārēja funkcija.
Izmantosim mūsu noteikumu:

Mēs atrodam iekšējās funkcijas atvasinājumu un atiestatām kosinusu atpakaļ uz leju:

Gatavs. Aplūkotajā piemērā ir svarīgi neapjukt zīmēs. Starp citu, mēģiniet to atrisināt, izmantojot noteikumu , atbildēm ir jāsakrīt.

9. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam (atbilde nodarbības beigās).

Līdz šim mēs esam izskatījuši gadījumus, kad sarežģītā funkcijā mums bija tikai viena ligzda. Praktiskajos uzdevumos bieži var atrast atvasinājumus, kur, tāpat kā ligzdošanas lellēm, viena otrā tiek ligzdotas uzreiz 3 vai pat 4-5 funkcijas.

10. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu

Izpratīsim šīs funkcijas pielikumus. Mēģināsim aprēķināt izteiksmi, izmantojot eksperimentālo vērtību. Kā mēs rēķināmies ar kalkulatoru?

Vispirms jums ir jāatrod , kas nozīmē, ka arksīns ir dziļākā iegulšana:

Pēc tam šis arksinuss ir jāizliek kvadrātā:

Un visbeidzot mēs paaugstinām septiņus līdz jaudām:

Tas ir, šajā piemērā mums ir trīs dažādas funkcijas un divas iegulšanas, savukārt iekšējā funkcija ir arcsinuss, bet ārējā funkcija ir eksponenciālā funkcija.

Sāksim lemt

Saskaņā ar likumu vispirms ir jāņem ārējās funkcijas atvasinājums. Mēs skatāmies uz atvasinājumu tabulu un atrodam eksponenciālās funkcijas atvasinājumu: Vienīgā atšķirība ir tā, ka “x” vietā mums ir sarežģīta izteiksme, kas nenoliedz šīs formulas derīgumu. Tātad sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikuma piemērošanas rezultāts ir šāds:

Zem insulta mums atkal ir sarežģīta funkcija! Bet tas jau ir vienkāršāk. Ir viegli pārbaudīt, vai iekšējā funkcija ir arcsīns, bet ārējā funkcija ir pakāpe. Saskaņā ar noteikumu par sarežģītas funkcijas diferenciāciju vispirms ir jāņem jaudas atvasinājums.

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams.

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas arī viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielināšanai:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

punktā;
punktā;
punktā;
punktā.

Risinājumi:

(atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

Atrast funkciju un atvasinājumus;
Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim ieviest mūsu funkciju jaunā bāzē:

Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai tas izdevās?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vienkāršāk. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošo diferenciācijas noteikumu:

Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas noticis? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Mūsu piemēram, .

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.
Iekšējais: ; ārējais: .
Pārbaude:.

Mēs mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(Tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATSINĀJUMS. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Ja sekojat definīcijai, tad funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas Δ pieauguma attiecības robeža. y līdz argumenta pieaugumam Δ x:

Šķiet, ka viss ir skaidrs. Bet mēģiniet izmantot šo formulu, lai aprēķinātu, teiksim, funkcijas atvasinājumu f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grēks x. Ja visu darīsi pēc definīcijas, tad pēc pāris lappušu aprēķiniem vienkārši aizmigsi. Tāpēc ir vienkāršāki un efektīvāki veidi.

Sākumā mēs atzīmējam, ka no visas funkciju daudzveidības mēs varam atšķirt tā sauktās elementārās funkcijas. Tie ir samērā vienkārši izteicieni, kuru atvasinājumi jau sen ir aprēķināti un tabulēti. Šādas funkcijas ir diezgan viegli atcerēties - kopā ar to atvasinājumiem.

Elementāro funkciju atvasinājumi

Visas tālāk uzskaitītās pamatfunkcijas. Šo funkciju atvasinājumi ir jāzina no galvas. Turklāt tos nemaz nav grūti iegaumēt - tāpēc tie ir elementāri.

Tātad, elementāro funkciju atvasinājumi:

Vārds	Funkcija	Atvasinājums
Pastāvīgi	f(x) = C, C ∈ R	0 (jā, nulle!)
Jauda ar racionālo eksponentu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grēks x	cos x
Kosinuss	f(x) = cos x	− grēks x(mīnus sinuss)
Pieskares	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangenss	f(x) = ctg x	– 1/sin 2 x
Dabiskais logaritms	f(x) = žurnāls x	1/x
Patvaļīgs logaritms	f(x) = žurnāls a x	1/(x ln a)
Eksponenciālā funkcija	f(x) = e x	e x(nekas nav mainījies)

Ja elementāru funkciju reizina ar patvaļīgu konstanti, tad arī jaunās funkcijas atvasinājumu var viegli aprēķināt:

(C · f)’ = C · f ’.

Kopumā konstantes var izņemt no atvasinājuma zīmes. Piemēram:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Acīmredzot elementāras funkcijas var pievienot viena otrai, reizināt, dalīt - un daudz ko citu. Tā parādīsies jaunas funkcijas, vairs ne īpaši elementāras, bet arī diferencētas pēc noteiktiem noteikumiem. Šie noteikumi ir apspriesti tālāk.

Summas un starpības atvasinājums

Ļaujiet dot funkcijas f(x) Un g(x), kuras atvasinājumi mums ir zināmi. Piemēram, varat izmantot iepriekš aprakstītās elementārās funkcijas. Tad jūs varat atrast šo funkciju summas un starpības atvasinājumu:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Tātad divu funkciju summas (starpības) atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu (starpību). Var būt vairāk terminu. Piemēram, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Stingri sakot, algebrā nav jēdziena “atņemšana”. Pastāv jēdziens "negatīvs elements". Tāpēc atšķirība f − g var pārrakstīt kā summu f+ (-1) g, un tad paliek tikai viena formula - summas atvasinājums.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju summa, tāpēc:

f ’(x) = (x 2 + grēks x)’ = (x 2)’ + (grēks x)’ = 2x+ cos x;

Mēs domājam līdzīgi par funkciju g(x). Tikai jau ir trīs termini (no algebras viedokļa):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atbilde:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkta atvasinājums

Matemātika ir loģiska zinātne, tāpēc daudzi cilvēki uzskata, ka, ja summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu, tad produkta atvasinājums streikot">vienāds ar atvasinājumu reizinājumu. Bet piesit! Produkta atvasinājumu aprēķina pēc pavisam citas formulas. Proti:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula ir vienkārša, taču tā bieži tiek aizmirsta. Un ne tikai skolēni, bet arī studenti. Rezultāts ir nepareizi atrisinātas problēmas.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Funkcija f(x) ir divu elementāru funkciju reizinājums, tāpēc viss ir vienkāršs:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) cos x + x 3 (maks x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x grēks x)

Funkcija g(x) pirmais reizinātājs ir nedaudz sarežģītāks, bet vispārējā shēma nemainās. Acīmredzot pirmais funkcijas faktors g(x) ir polinoms, un tā atvasinājums ir summas atvasinājums. Mums ir:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atbilde:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x grēks x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējā solī atvasinājums tiek faktorizēts. Formāli tas nav jādara, bet lielākā daļa atvasinājumu netiek aprēķināti atsevišķi, bet gan, lai pārbaudītu funkciju. Tas nozīmē, ka tālāk atvasinājums tiks pielīdzināts nullei, tiks noteiktas tā zīmes utt. Šādam gadījumam labāk ir faktorizēt izteiksmi.

Ja ir divas funkcijas f(x) Un g(x), un g(x) ≠ 0 uz kopas, kas mūs interesē, mēs varam definēt jaunu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Šādai funkcijai varat atrast arī atvasinājumu:

Nav vājš, vai ne? No kurienes radās mīnuss? Kāpēc g 2? Un tā! Šī ir viena no vissarežģītākajām formulām - bez pudeles to nevar izdomāt. Tāpēc labāk to pētīt ar konkrētiem piemēriem.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Katras daļas skaitītājs un saucējs satur elementāras funkcijas, tāpēc mums ir nepieciešama tikai koeficienta atvasinājuma formula:

Saskaņā ar tradīciju skaitītāju faktorizēsim - tas ievērojami vienkāršos atbildi:

Sarežģīta funkcija ne vienmēr ir puskilometru gara formula. Piemēram, pietiek ar funkciju f(x) = grēks x un aizstājiet mainīgo x, teiksim, uz x 2 + ln x. Tas izdosies f(x) = grēks ( x 2 + ln x) — šī ir sarežģīta funkcija. Tam ir arī atvasinājums, taču to nevarēs atrast, izmantojot iepriekš apspriestos noteikumus.

Kas man jādara? Šādos gadījumos sarežģītas funkcijas atvasinājuma mainīgā un formulas aizstāšana palīdz:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ja x tiek aizstāts ar t(x).

Parasti situācija ar šīs formulas izpratni ir vēl bēdīgāka nekā ar koeficienta atvasinājumu. Tāpēc arī labāk to izskaidrot, izmantojot konkrētus piemērus, detalizētu katra soļa aprakstu.

Uzdevums. Atrodiet funkciju atvasinājumus: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grēks ( x 2 + ln x)

Ņemiet vērā, ka, ja funkcijā f(x) 2. izteiksmes vietā x+3 būs viegli x, tad iegūstam elementāru funkciju f(x) = e x. Tāpēc mēs veicam nomaiņu: ļaujiet 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Mēs meklējam sarežģītas funkcijas atvasinājumu, izmantojot formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Un tagad - uzmanību! Mēs veicam apgriezto nomaiņu: t = 2x+ 3. Mēs iegūstam:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tagad apskatīsim funkciju g(x). Acīmredzot tas ir jānomaina x 2 + ln x = t. Mums ir:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grēks t)’ · t' = cos t · t ’

Apgrieztā nomaiņa: t = x 2 + ln x. Pēc tam:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Tas arī viss! Kā redzams no pēdējās izteiksmes, visa problēma ir samazināta līdz atvasinātās summas aprēķināšanai.

Atbilde:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Ļoti bieži savās nodarbībās termina “atvasinājums” vietā es lietoju vārdu “pirms”. Piemēram, summas gājiens ir vienāds ar sitienu summu. Vai tas ir skaidrāk? Nu, tas ir labi.

Tādējādi, aprēķinot atvasinājumu, ir jāatbrīvojas no šiem pašiem sitieniem saskaņā ar iepriekš apspriestajiem noteikumiem. Kā pēdējo piemēru atgriezīsimies pie atvasinātā jaudas ar racionālu eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Tikai daži cilvēki to zina lomā n var būt daļskaitlis. Piemēram, sakne ir x 0.5. Ko darīt, ja zem saknes ir kaut kas iedomāts? Atkal rezultāts būs sarežģīta funkcija - viņiem patīk dot šādas konstrukcijas ieskaitēs un eksāmenos.