Compiti per probabilità dei dadi non meno popolare dei problemi del lancio della moneta. La condizione di un tale problema di solito suona così: quando si lanciano uno o più dadi (2 o 3), qual è la probabilità che la somma dei punti sia uguale a 10, o che il numero di punti sia 4, o che prodotto del numero di punti, oppure prodotto del numero di punti diviso per 2 ecc.

L'applicazione della formula classica della probabilità è il metodo principale per risolvere problemi di questo tipo.

Un dado, probabilità.

È abbastanza semplice affrontarne uno dado. è determinato dalla formula: P=m/n, dove m è il numero di esiti favorevoli all'evento, e n è il numero di tutti quelli elementari possibili risultati

sperimenta lanciando uno o più dadi.

Problema 1. I dadi vengono lanciati una volta. Qual è la probabilità di ottenere un numero pari di punti? Poiché il dado è un cubo (o è anche chiamato dado normale, il dado cadrà su tutti i lati con la stessa probabilità, poiché è equilibrato), il dado ha 6 facce (il numero di punti da 1 a 6, che sono solitamente indicato da punti), questo significa qual è il problema numero totale

risultati: n=6. L'evento è favorito solo da esiti in cui appare il lato con i punti pari 2,4 e 6 il dado ha le seguenti facce: m=3; Ora possiamo determinare la probabilità desiderata dei dadi: P=3/6=1/2=0,5.

Compito 2. I dadi vengono lanciati una volta. Qual è la probabilità di ottenere almeno 5 punti?

Questo problema viene risolto per analogia con l'esempio sopra riportato. Quando si lancia un dado, il numero totale di risultati ugualmente possibili è: n=6, e solo 2 risultati soddisfano la condizione del problema (almeno 5 punti tirati, cioè 5 o 6 punti lanciati), il che significa m =2. Successivamente, troviamo la probabilità richiesta: P=2/6=1/3=0,333.

Due dadi, probabilità.

Quando si risolvono problemi che implicano il lancio di 2 dadi, è molto comodo utilizzare una tabella di punteggio speciale. Su di esso, il numero di punti caduti sul primo dado viene visualizzato orizzontalmente, mentre il numero di punti caduti sul secondo dado viene visualizzato verticalmente. Il pezzo si presenta così: Ma sorge la domanda: cosa ci sarà nelle celle vuote della tabella? Dipende dal problema che deve essere risolto. Se nel problema sulla somma dei punti, la somma viene scritta lì e, se riguarda la differenza, la differenza viene scritta e così via.

Problema 3. Si lanciano 2 dadi contemporaneamente. Qual è la probabilità di ottenere meno di 5 punti?

Innanzitutto, devi capire quale sarà il numero totale di risultati dell'esperimento. Tutto era ovvio lanciando un dado, 6 facce del dado - 6 risultati dell'esperimento. Ma quando ci sono già due dadi, i possibili risultati possono essere rappresentati come coppie ordinate di numeri nella forma (x, y), dove x mostra quanti punti sono stati lanciati sul primo dado (da 1 a 6), e y - quanti punti sono stati lanciati con il secondo dado (da 1 a 6). Ci sarà un totale di tali coppie di numeri: n=6*6=36 (nella tabella dei risultati corrispondono esattamente a 36 celle).

Ora puoi compilare la tabella; per fare ciò, in ogni cella viene inserito il numero di punti caduti sul primo e sul secondo dado. La tabella completata è simile alla seguente:

Utilizzando la tabella determineremo il numero di risultati che favoriscono l’evento “apparirà un totale inferiore a 5 punti”. Contiamo il numero di celle il cui valore somma è inferiore al numero 5 (questi sono 2, 3 e 4). Per comodità, dipingiamo sopra tali celle, ce ne saranno m=6:

Considerando i dati della tabella, probabilità dei dadi equivale a: P=6/36=1/6.

Problema 4. Sono stati lanciati due dadi. Determina la probabilità che il prodotto del numero di punti sia divisibile per 3.

Per risolvere il problema, creiamo una tabella con i prodotti dei punti caduti sul primo e sul secondo dado. In esso evidenziamo subito i numeri multipli di 3:

Annotiamo il numero totale di risultati dell'esperimento n=36 (il ragionamento è lo stesso del problema precedente) e il numero di risultati favorevoli (il numero di celle ombreggiate nella tabella) m=20. La probabilità dell'evento è: P=20/36=5/9.

Problema 5. I dadi vengono lanciati due volte. Qual è la probabilità che la differenza nel numero di punti del primo e del secondo dado sia compresa tra 2 e 5?

Determinare probabilità dei dadi Scriviamo una tabella di differenze di punti e selezioniamo in essa quelle celle il cui valore di differenza sarà compreso tra 2 e 5:

Il numero di esiti favorevoli (il numero di celle ombreggiate nella tabella) è m=10, il numero totale di esiti elementari ugualmente possibili sarà n=36. Determina la probabilità dell'evento: P=10/36=5/18.

Nel caso di un evento semplice e quando si lanciano 2 dadi, è necessario costruire una tabella, quindi selezionare le celle necessarie al suo interno e dividere il loro numero per 36, questa sarà considerata una probabilità.

Nel mio blog, una traduzione della prossima lezione del corso “Principles of Game Balance” del game designer Jan Schreiber, che ha lavorato a progetti come Marvel Trading Card Game e Playboy: the Mansion.

Fino ad ora, quasi tutto ciò di cui abbiamo parlato era deterministico e la settimana scorsa Abbiamo esaminato da vicino la meccanica transitiva, esaminandola nel modo più dettagliato possibile. Ma fino ad ora non abbiamo prestato attenzione ad un altro aspetto di molti giochi, vale a dire gli aspetti non deterministici, in altre parole, la casualità.

Comprendere la natura della casualità è molto importante per i progettisti di giochi. Creiamo sistemi che influenzano l'esperienza dell'utente in un determinato gioco, quindi dobbiamo sapere come funzionano tali sistemi. Se in un sistema c’è casualità, dobbiamo comprendere la natura di questa casualità e sapere come cambiarla per ottenere i risultati di cui abbiamo bisogno.

Dado

Cominciamo con qualcosa di semplice: lanciare i dadi. Quando la maggior parte delle persone pensa ai dadi, pensa a un dado a sei facce noto come d6. Ma la maggior parte dei giocatori ha visto molti altri dadi: tetraedrico (d4), ottagonale (d8), a dodici facce (d12), a venti facce (d20). Se sei un vero fanatico, potresti avere da qualche parte dadi a 30 o 100 facce.

Se non hai familiarità con la terminologia, d sta per die e il numero successivo è il numero di lati che ha. Se il numero appare prima d, indica il numero di dadi da lanciare. Ad esempio, nel gioco del Monopoli tiri 2d6.

Quindi, in questo caso, la frase "dadi" è simbolo. Esistono numerosi altri generatori di numeri casuali che non sembrano figure di plastica, ma svolgono la stessa funzione: generare un numero casuale da 1 a n. Moneta normale può anche essere rappresentato come un dado diedrico d2.

Ho visto due disegni di dadi a sette facce: uno sembrava un dado e l'altro sembrava più una matita di legno a sette facce. Il dreidel tetraedrico, noto anche come titotum, è simile all'osso tetraedrico. La freccia rotante in Chutes & Ladders, dove i punteggi possono variare da 1 a 6, corrisponde a un dado a sei facce.

Il generatore di numeri casuali di un computer può creare qualsiasi numero da 1 a 19 se il progettista lo specifica, anche se il computer non ha un dado a 19 facce (in generale, parlerò più della probabilità che escano numeri su un dado computer la prossima settimana). Tutti questi elementi sembrano diversi, ma in realtà sono equivalenti: hai la stessa possibilità di ottenere ciascuno dei diversi risultati possibili.

I dadi ne hanno alcuni proprietà interessanti di cui abbiamo bisogno di sapere. Innanzitutto, la probabilità di atterrare su entrambe le facce è la stessa (suppongo che tu stia lanciando un dado di forma regolare). Se vuoi conoscere il valore medio di un lancio (per coloro che sono appassionati di teoria della probabilità, questo è noto come valore atteso), somma i valori su tutti i bordi e dividi quel numero per il numero di bordi.

La somma dei valori di tutte le facce per un dado standard a sei facce è 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Dividi 21 per il numero di facce e ottieni il valore medio del lancio: 21 /6 = 3,5. Questo un caso speciale, perché assumiamo che tutti i risultati siano ugualmente probabili.

E se avessi dei dadi speciali? Ad esempio, ho visto un gioco di dadi a sei facce con adesivi speciali sui lati: 1, 1, 1, 2, 2, 3, quindi si comporta come uno strano dado a tre facce che ha più probabilità di lanciare un 1 che un 2. ed è più probabile che ottenga un 2 che un 3. Qual è il tiro medio di questo dado? Quindi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, diviso per 6 - risulta 5/3, o circa 1,66. Quindi, se hai un dado speciale e i giocatori lanciano tre dadi e poi sommano i risultati, sai che la somma dei loro tiri darà circa 5 e puoi bilanciare il gioco in base a questo presupposto.

Dadi e indipendenza

Come ho già detto, partiamo dal presupposto che ciascuna parte abbia la stessa probabilità di fallire. Non importa quanti dadi lanci. Ogni lancio di dado è indipendente, il che significa che i tiri precedenti non influenzano i risultati di quelli successivi. Dopo aver effettuato un numero sufficiente di prove, noterai sicuramente uno schema di numeri - ad esempio, lanciando per lo più valori più alti o più bassi - o altre caratteristiche, ma ciò non significa che i dadi siano "caldi" o "freddi". Ne parleremo più tardi.

Se lanci un dado standard a sei facce e esce il numero 6 due volte di seguito, la probabilità che il lancio successivo dia un 6 è esattamente 1/6. La probabilità non aumenta perché il dado si è “riscaldato”. . Allo stesso tempo, la probabilità non diminuisce: è errato pensare che il numero 6 sia già uscito due volte di seguito, il che significa che ora dovrebbe uscire un altro lato.

Naturalmente, se lanci un dado venti volte e ottieni un 6 ogni volta, la probabilità che la ventunesima volta tiri un 6 è piuttosto alta: forse hai semplicemente il dado sbagliato. Ma se il dado è giusto, ciascuna parte ha la stessa probabilità di atterrare, indipendentemente dal risultato degli altri tiri. Puoi anche immaginare di sostituire il dado ogni volta: se esce il numero 6 due volte di seguito, rimuovi il dado “caldo” dal gioco e sostituiscilo con uno nuovo. Mi scuso se qualcuno di voi lo sapeva già, ma avevo bisogno di chiarire questa cosa prima di proseguire.

Come far lanciare i dadi in modo più o meno casuale

Parliamo di come ottenere risultati diversi su dadi diversi. Sia che lanci un dado solo una o più volte, il gioco sembrerà più casuale quando il dado ha più facce. Più spesso devi lanciare i dadi, e più dadi lanci, più i risultati si avvicinano alla media.

Ad esempio, nel caso di 1d6 + 4 (ovvero, se lanci un dado standard a sei facce una volta e aggiungi 4 al risultato), la media sarà un numero compreso tra 5 e 10. Se lanci 5d2, la media sarebbe anche un numero compreso tra 5 e 10. I risultati del lancio di 5d2 saranno principalmente i numeri 7 e 8, meno spesso altri valori. La stessa serie, anche lo stesso valore medio (in entrambi i casi 7,5), ma la natura della casualità è diversa.

Apetta un minuto. Non ho appena detto che i dadi non "riscaldano" o "raffreddano"? Ora dico: se lanci molti dadi, i risultati dei tiri si avvicineranno alla media. Perché?

Lasciatemi spiegare. Se tiri un dado, ciascuna parte ha la stessa probabilità di atterrare. Ciò significa che se lanci molti dadi nel tempo, ogni lato uscirà più o meno lo stesso numero di volte. Più dadi lanci, più il risultato totale si avvicinerà alla media.

Questo non è perché il numero estratto "forza" l'estrazione di un altro numero che non è stato ancora estratto. Ma perché una piccola serie di lanci del numero 6 (o 20, o un altro numero) alla fine non influenzerà molto il risultato se lanci i dadi altre diecimila volte e per lo più uscirà il numero medio. Ora ne otterrai diversi grandi numeri, e successivamente diversi piccoli - e col tempo si avvicineranno al valore medio.

Questo non perché i tiri precedenti influenzino i dadi (sul serio, i dadi sono fatti di plastica, non ha il cervello per pensare: "Oh, è passato un po' dall'ultima volta che hai lanciato un 2"), ma perché questo è ciò che di solito succede quando lanci molti lanci di dadi

Pertanto, è abbastanza semplice eseguire i calcoli per un lancio casuale di dadi, almeno per calcolare il valore medio del lancio. Ci sono anche modi per calcolare "quanto casuale" è qualcosa e dire che i risultati del lancio di 1d6+4 saranno "più casuali" di 5d2. Per 5d2, i tiri saranno distribuiti in modo più uniforme. Per fare ciò, è necessario calcolare la deviazione standard: maggiore è il valore, più casuali saranno i risultati. Non vorrei fare tanti calcoli oggi; spiegherò più avanti questo argomento.

L'unica cosa che ti chiedo di ricordare è che, come regola generale, meno dadi tiri, maggiore è la casualità. E più facce ha un dado, maggiore è la casualità, poiché di più possibili opzioni significati.

Come calcolare la probabilità utilizzando il conteggio

Potresti avere una domanda: come possiamo calcolare l'esatta probabilità di ottenere un determinato risultato? In effetti, questo è abbastanza importante per molti giochi: se inizialmente lanci i dadi, molto probabilmente si ottiene una sorta di risultato ottimale. La mia risposta è: dobbiamo calcolare due valori. In primo luogo, il numero totale di risultati ottenuti lanciando un dado e, in secondo luogo, il numero di risultati favorevoli. Dividendo il secondo valore per il primo otterrai la probabilità desiderata. Per ottenere la percentuale, moltiplica il risultato per 100.

Esempi

Ecco un esempio molto semplice. Vuoi che venga lanciato il numero 4 o superiore e lancia il dado a sei facce una volta. Il numero massimo di risultati è 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Di questi, 3 esiti (4, 5, 6) sono favorevoli. Ciò significa che per calcolare la probabilità dividiamo 3 per 6 e otteniamo 0,5 o 50%.

Ecco un esempio un po' più complicato. Vuoi tirare 2d6 numero pari. Il numero massimo di risultati è 36 (6 opzioni per ogni dado, un dado non influenza l'altro, quindi moltiplica 6 per 6 e ottieni 36). La difficoltà con questo tipo di domande è che è facile contare due volte. Ad esempio, quando si lanciano 2d6, ci sono due possibili risultati di 3: 1+2 e 2+1. Sembrano uguali, ma la differenza è quale numero viene visualizzato sul primo dado e quale numero viene visualizzato sul secondo.

Puoi anche immaginare che i dadi colori differenti: Quindi, ad esempio, in questo caso un dado è rosso, l'altro è blu. Quindi conta il numero di opzioni per ottenere un numero pari:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Si scopre che ci sono 18 opzioni su 36 per un risultato favorevole: come nel caso precedente, la probabilità è dello 0,5 o del 50%. Forse inaspettato, ma abbastanza accurato.

Simulazione Montecarlo

Cosa succede se hai troppi dadi per questo calcolo? Ad esempio, vuoi sapere qual è la probabilità di ottenere un totale di 15 o più lanciando 8d6. Per otto dadi c'è un'enorme varietà risultati diversi, e contarli manualmente richiederà molto tempo, anche se ne troviamo alcuni buona decisione per raggruppare diverse serie di lanci di dadi.

In questo caso, il modo più semplice non è contare manualmente, ma utilizzare un computer. Esistono due modi per calcolare la probabilità su un computer. Il primo metodo può darti una risposta precisa, ma richiede un po' di programmazione o scripting. Il computer esaminerà ogni opportunità, valuterà e conterà totale iterazioni e il numero di iterazioni che corrispondono al risultato desiderato e quindi forniscono le risposte. Il tuo codice potrebbe assomigliare a questo:

Se non capisci la programmazione e hai bisogno di una risposta approssimativa anziché esatta, puoi simulare questa situazione in Excel, lanciando 8d6 diverse migliaia di volte e ottenendo la risposta. Per lanciare 1d6 in Excel, usa la formula =PIANO(CASUALE()*6)+1.

C'è un nome per la situazione in cui non conosci la risposta e provi ancora e ancora: simulazione Monte Carlo. Questa è un'ottima soluzione da utilizzare quando il calcolo della probabilità è troppo difficile. La cosa bella è che in questo caso non abbiamo bisogno di capire come funzionano i calcoli, e sappiamo che la risposta sarà "abbastanza buona" perché, come già sappiamo, più tiri, più il risultato si avvicina al risultato media.

Come combinare prove indipendenti

Se chiedi informazioni su più prove ripetute ma indipendenti, il risultato di un tiro non influenza i risultati degli altri tiri. C'è un'altra spiegazione più semplice per questa situazione.

Come distinguere tra qualcosa di dipendente e indipendente? Fondamentalmente, se puoi isolare ogni lancio (o serie di lanci) di un dado come un evento separato, allora è indipendente. Ad esempio, lanciamo 8d6 e vogliamo un totale di 15. Questo evento non può essere diviso in più lanci di dadi indipendenti. Per ottenere il risultato, calcoli la somma di tutti i valori, quindi il risultato che esce su un dado influenza i risultati che dovrebbero apparire sugli altri.

Ecco un esempio di tiri indipendenti: stai giocando a un gioco di dadi e lanci più volte dadi a sei facce. Il primo tiro deve essere 2 o più per restare in gioco. Per il secondo tiro - 3 o più. Il terzo richiede un 4 o più, il quarto richiede un 5 o più e il quinto richiede un 6. Se tutti e cinque i tiri hanno successo, vinci. In questo caso tutti i lanci sono indipendenti. Sì, se un tiro fallisce, ciò influenzerà l'esito dell'intera partita, ma un tiro non influenza l'altro. Ad esempio, se il tuo secondo lancio di dadi ha molto successo, ciò non significa che i tiri successivi saranno altrettanto buoni. Pertanto, possiamo considerare separatamente la probabilità di ciascun lancio di dadi.

Se hai probabilità indipendenti e vuoi sapere qual è la probabilità che tutti gli eventi si verifichino, determini ogni singola probabilità e le moltiplichi insieme. Un altro modo: se usi la congiunzione "e" per descrivere diverse condizioni (ad esempio, qual è la probabilità che si verifichi un evento casuale e qualche altro evento casuale indipendente?), conta le probabilità individuali e moltiplicale.

Non importa cosa pensi, non sommare mai probabilità indipendenti. Questo è un errore comune. Per capire perché questo è sbagliato, immagina una situazione in cui stai lanciando una moneta e vuoi sapere qual è la probabilità di ottenere testa due volte di seguito. La probabilità che ciascuna parte cada è del 50%. Se sommi queste due probabilità, ottieni una probabilità del 100% di ottenere testa, ma sappiamo che non è vero perché avrebbe potuto essere croce due volte di seguito. Se invece moltiplichi le due probabilità, ottieni 50% * 50% = 25% - che è la risposta corretta per calcolare la probabilità di ottenere testa due volte di seguito.

Esempio

Torniamo al gioco dei dadi a sei facce, in cui devi prima lanciare un numero maggiore di 2, poi maggiore di 3 e così via fino a 6. Quali sono le probabilità che in una determinata serie di cinque lanci tutti i risultati siano favorevoli? ?

Come detto sopra, si tratta di prove indipendenti, quindi calcoliamo la probabilità per ogni singolo lancio e poi le moltiplichiamo insieme. La probabilità che l'esito del primo lancio sia favorevole è 5/6. Secondo - 4/6. Terzo - 3/6. Il quarto - 2/6, il quinto - 1/6. Moltiplichiamo tutti i risultati tra loro e otteniamo circa l'1,5%. Le vincite in questo gioco sono piuttosto rare, quindi se aggiungi questo elemento al tuo gioco, avrai bisogno di un jackpot abbastanza grande.

Negazione

Eccone un altro suggerimento utile: A volte è difficile calcolare la probabilità che un evento si verifichi, ma è più semplice determinare le probabilità che l'evento non si verifichi. Ad esempio, supponiamo di avere un altro gioco: lanci 6d6 e vinci se ottieni 6 almeno una volta. Qual è la probabilità di vincere?

In questo caso, ci sono molte opzioni da considerare. È possibile che venga lanciato un numero 6, cioè uno dei dadi mostrerà il numero 6 e gli altri mostreranno i numeri da 1 a 5, quindi ci sono 6 opzioni per quale dei dadi mostrerà 6. Puoi ottenere il numero 6 su due dadi, o tre, o anche di più, e ogni volta dovrai fare un calcolo separato, quindi è facile confondersi qui.

Ma guardiamo il problema dall'altro lato. Perderai se nessuno dei dadi lancia un 6. In questo caso abbiamo 6 prove indipendenti. La probabilità che ogni dado lanci un numero diverso da 6 è 5/6. Moltiplicandoli e ottieni circa il 33%. Pertanto, la probabilità di perdere è una su tre. Pertanto, la probabilità di vincita è del 67% (o due su tre).

Da questo esempio risulta ovvio: se si calcola la probabilità che un evento non si verifichi, occorre sottrarre il risultato dal 100%. Se la probabilità di vincita è del 67%, la probabilità di perdere è del 100% meno 67%, ovvero 33%, e viceversa. Se è difficile calcolare una probabilità ma è facile calcolare il contrario, calcola il contrario e poi sottrai quel numero dal 100%.

Combiniamo le condizioni per un test indipendente

Ho detto poco sopra che non dovresti mai aggiungere probabilità tra prove indipendenti. Ci sono casi in cui è possibile sommare le probabilità? Sì, in una situazione speciale.

Se vuoi calcolare la probabilità di diversi risultati favorevoli non correlati in una singola prova, somma le probabilità di ciascun risultato favorevole. Ad esempio, la probabilità di ottenere i numeri 4, 5 o 6 su 1d6 è uguale alla somma della probabilità di ottenere il numero 4, la probabilità del numero 5 e la probabilità del numero 6. Questa situazione può essere rappresentata come segue: se usi la congiunzione “o” in una domanda sulla probabilità (ad esempio, qual è la probabilità dell'uno o dell'altro risultato di un evento casuale?), calcola le singole probabilità e sommale.

Nota: quando calcoli tutti i possibili risultati di un gioco, la somma delle probabilità che si verifichino deve essere pari al 100%, altrimenti il ​​tuo calcolo è stato effettuato in modo errato. Questo buon modo ricontrolla i tuoi calcoli. Ad esempio, hai analizzato la probabilità di tutte le combinazioni nel poker. Se sommi tutti i risultati, dovresti ottenere esattamente il 100% (o almeno qualcosa di abbastanza vicino al 100%: se usi una calcolatrice, potrebbe esserci un piccolo errore di arrotondamento, ma se sommi numeri esatti manualmente, tutto dovrebbe combaciare). Se la somma non converge, significa che molto probabilmente non hai preso in considerazione alcune combinazioni o hai calcolato in modo errato le probabilità di alcune combinazioni e i calcoli devono essere ricontrollati.

Probabilità disuguali

Finora abbiamo ipotizzato che ciascuna faccia del dado venga lanciata alla stessa frequenza, perché è così che sembrano funzionare i dadi. Ma a volte potresti imbatterti in una situazione in cui sono possibili risultati diversi e hanno diverse possibilità di verificarsi.

Ad esempio, in uno dei componenti aggiuntivi gioco di carte La guerra nucleare ha un campo da gioco con una freccia, da cui dipende il risultato del lancio del razzo. Molto spesso infligge danni normali, più forti o più deboli, ma a volte il danno è raddoppiato o triplicato, oppure il razzo esplode sulla rampa di lancio e ti ferisce, o si verifica qualche altro evento. A differenza di campo da gioco con una freccia in Chutes & Ladders o A Game of Life, i risultati del tabellone di gioco in Nuclear War non sono uniformi. Alcune sezioni del campo di gioco sono più grandi e la freccia si ferma su di esse molto più spesso, mentre altre sezioni sono molto piccole e la freccia si ferma su di esse molto più spesso.

Quindi, a prima vista, il dado assomiglia a questo: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - ne abbiamo già parlato, è qualcosa come un 1d3 pesato. Pertanto, dobbiamo dividere tutte queste sezioni in parti uguali, trovare l'unità di misura più piccola, il cui divisore è un multiplo, e quindi rappresentare la situazione sotto forma di d522 (o qualche altro) in cui l'insieme dei dadi è rivolto rappresenterà la stessa situazione, naso grande quantità risultati. Questo è un modo per risolvere il problema ed è tecnicamente fattibile, ma esiste un'opzione più semplice.

Torniamo ai nostri dadi standard a sei facce. Abbiamo detto che per calcolare il tiro medio di un dado normale è necessario sommare i valori su tutte le facce e dividere per il numero di facce, ma come funziona esattamente il calcolo? C'è un altro modo per esprimerlo. Per un dado a sei facce, la probabilità che venga lanciata ciascuna faccia è esattamente 1/6. Ora moltiplichiamo il risultato di ciascun bordo per la probabilità di quel risultato (in questo caso, 1/6 per ciascun bordo), quindi sommamo i valori risultanti. Quindi, sommando (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), otteniamo lo stesso risultato (3.5) del calcolo precedente. In effetti, contiamo ogni volta in questo modo: moltiplichiamo ogni risultato per la probabilità di quel risultato.

Possiamo fare lo stesso calcolo per la freccia sul campo di gioco in Nuclear War? Certo che possiamo. E se sommiamo tutti i risultati trovati, otterremo il valore medio. Tutto quello che dobbiamo fare è calcolare la probabilità di ciascun risultato per la freccia sul campo di gioco e moltiplicarla per il valore del risultato.

Un altro esempio

Questo metodo di calcolo della media è adatto anche se i risultati sono ugualmente probabili ma presentano vantaggi diversi, ad esempio se si lancia un dado e si vince di più su alcuni lati rispetto ad altri. Ad esempio, prendiamo un gioco da casinò: piazzi una scommessa e lanci 2d6. Se escono tre numeri valore più basso(2, 3, 4) o quattro numeri con alto valore(9, 10, 11, 12) - vincerai un importo pari alla tua scommessa. I numeri con il valore più basso e quello più alto sono speciali: se esci un 2 o un 12, vinci il doppio della scommessa. Se esce qualsiasi altro numero (5, 6, 7, 8), perderai la scommessa. Questo è un gioco piuttosto semplice. Ma qual è la probabilità di vincere?

Iniziamo contando quante volte puoi vincere. Il numero massimo di risultati quando si lanciano 2d6 è 36. Qual è il numero di risultati favorevoli?

• C'è 1 opzione che venga lanciato un 2 e 1 opzione che venga lanciato un 12.
• Ci sono 2 opzioni per cui uscirà 3 e 2 opzioni per cui uscirà 11.
• Ci sono 3 opzioni per cui uscirà un 4 e 3 opzioni per cui uscirà un 10.
• Ci sono 4 opzioni per ottenere un 9.

Riassumendo tutte le opzioni, otteniamo 16 risultati favorevoli su 36. Quindi, con condizioni normali vincerai 16 volte su 36 possibili: la probabilità di vincita è leggermente inferiore al 50%.

Ma in due casi su sedici vincerai il doppio: è come vincere due volte. Se giochi a questo gioco 36 volte, scommettendo $ 1 ogni volta, e tutti i possibili risultati escono una volta, vincerai un totale di $ 18 (in realtà vincerai 16 volte, ma due di queste conteranno come due vincite). Se giochi 36 volte e vinci $18, non significa che le probabilità sono uguali?

Prenditi il ​​​​tuo tempo. Se conti il ​​numero di volte che puoi perdere, finirai con 20, non 18. Se giochi 36 volte, scommettendo $ 1 ogni volta, vincerai un totale di $ 18 se azzecchi tutte le scelte vincenti. Ma perderai un totale di $ 20 se ottieni tutti e 20 i risultati sfavorevoli. Di conseguenza rimarrai un po’ indietro: perdi in media 2 dollari netti ogni 36 partite (puoi anche dire che perdi in media 1/18 di dollaro al giorno). Ora vedi quanto è facile commettere un errore in questo caso e calcolare la probabilità in modo errato.

Riorganizzazione

Finora abbiamo dato per scontato che l’ordine dei numeri nel lancio dei dadi non abbia importanza. Lanciare 2 + 4 equivale a lanciare 4 + 2. Nella maggior parte dei casi, contiamo manualmente il numero di risultati favorevoli, ma a volte questo metodo non è pratico ed è meglio usare una formula matematica.

Un esempio di questa situazione è tratto dal gioco dei dadi Farkle. Per ogni nuovo round, tiri 6d6. Se sei fortunato e ottieni tutti i risultati possibili 1-2-3-4-5-6 (scatto), riceverai un grosso bonus. Qual è la probabilità che ciò accada? In questo caso, ci sono molte opzioni per ottenere questa combinazione.

La soluzione è la seguente: uno dei dadi (e solo uno) deve avere il numero 1. In quanti modi può apparire il numero 1 su un dado? Ci sono 6 opzioni, poiché ci sono 6 dadi e ognuno di essi può cadere sul numero 1. Di conseguenza, prendi un dado e mettilo da parte. Ora uno dei dadi rimanenti dovrebbe lanciare il numero 2. Ci sono 5 opzioni per farlo. Prendi un altro dado e mettilo da parte. Quindi 4 dei dadi rimanenti potrebbero dare il numero 3, 3 dei dadi rimanenti potrebbero dare il numero 4, 2 dei dadi rimanenti potrebbero dare il numero 5. Di conseguenza, ti rimane un dado, che dovrebbe dare il numero 6 (in quest'ultimo caso, nel dado c'è un solo osso e non c'è scelta).

Per calcolare il numero di risultati favorevoli per realizzare una scala, moltiplichiamo tutte le diverse opzioni indipendenti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - sembra che ce ne siano parecchie un gran numero di opzioni per ottenere questa combinazione.

Per calcolare la probabilità di ottenere una scala, dobbiamo dividere 720 per il numero di tutti i possibili risultati lanciando 6d6. Qual è il numero di tutti i possibili risultati? Ogni dado può avere 6 facce, quindi moltiplichiamo 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (un numero molto più grande del precedente). Dividendo 720 per 46656 otteniamo una probabilità di circa l'1,5%. Se stessi progettando questo gioco, ti sarebbe utile saperlo in modo da poter creare un sistema di punteggio di conseguenza. Adesso capiamo perché in Farkle ottieni un bonus così grosso se ottieni una scala: questa è una situazione abbastanza rara.

Il risultato è interessante anche per un altro motivo. L'esempio mostra quanto raramente breve periodo appare il risultato corrispondente alla probabilità. Naturalmente, se lanciassimo diverse migliaia di dadi, volti diversi i dadi uscivano abbastanza spesso. Ma quando lanciamo solo sei dadi, non accade quasi mai che esca ogni faccia. Diventa chiaro che è stupido aspettarsi che ora appaia una linea che non è ancora accaduta, perché “non abbiamo lanciato il numero 6 per molto tempo”. Ascolta, il tuo generatore di numeri casuali è rotto.

Ciò ci porta al malinteso comune secondo cui tutti i risultati si verificano con la stessa frequenza in un breve periodo di tempo. Se lanciamo i dadi più volte, la frequenza con cui ciascuna faccia cade non sarà la stessa.

Se hai già lavorato su un gioco online con qualche tipo di generatore di numeri casuali, molto probabilmente ti sei imbattuto in una situazione in cui un giocatore scrive al supporto tecnico lamentandosi del fatto che il generatore di numeri casuali non mostra numeri casuali. È arrivato a questa conclusione perché ha ucciso 4 mostri di fila e ha ricevuto 4 identiche ricompense, e queste ricompense dovrebbero apparire solo il 10% delle volte, quindi ovviamente questo non dovrebbe quasi mai accadere.

Stai facendo un calcolo matematico. La probabilità è 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, ovvero 1 risultato su 10mila è un caso piuttosto raro. Questo è ciò che il giocatore sta cercando di dirti. C'è un problema in questo caso?

Tutto dipende dalle circostanze. Quanti giocatori ci sono attualmente sul tuo server? Supponiamo che tu ne abbia abbastanza gioco popolare e 100mila persone ci giocano ogni giorno. Quanti giocatori possono uccidere quattro mostri di fila? Forse tutti, più volte al giorno, ma supponiamo che la metà di loro stia semplicemente scambiando vari oggetti alle aste, chattando sui server RP o svolgendo altre attività di gioco, quindi solo la metà di loro dà la caccia ai mostri. Qual è la probabilità che qualcuno riceva la stessa ricompensa? In questa situazione, puoi aspettarti che ciò accada almeno più volte al giorno.

A proposito, questo è il motivo per cui sembra che ogni poche settimane qualcuno vinca alla lotteria, anche se quel qualcuno non sei mai stato tu o qualcuno che conosci. Se un numero sufficiente di persone gioca regolarmente, è probabile che ci sia almeno un giocatore fortunato da qualche parte. Ma se giochi tu stesso alla lotteria, difficilmente vincerai, ma piuttosto sarai invitato a lavorare presso Infinity Ward.

Carte e dipendenza

Abbiamo discusso di eventi indipendenti, come il lancio di un dado, e ora conosciamo molti potenti strumenti per analizzare la casualità in molti giochi. Calcolare la probabilità è un po’ più complicato quando si tratta di pescare carte dal mazzo, perché ogni carta che peschiamo influenza quelle che rimangono nel mazzo.

Se hai un mazzo standard da 52 carte, rimuovi 10 cuori da esso e vuoi conoscere la probabilità che la carta successiva sia dello stesso seme: la probabilità è cambiata rispetto all'originale perché hai già rimosso una carta dello stesso seme di cuori dal mazzo. Ogni carta rimossa cambia la probabilità che la carta successiva appaia nel mazzo. In questo caso, l’evento precedente influenza quello successivo, quindi lo chiamiamo dipendente dalla probabilità.

Tieni presente che quando dico "carte" mi riferisco a qualsiasi meccanica di gioco in cui hai un set di oggetti e rimuovi uno degli oggetti senza sostituirlo. Un “mazzo di carte” in questo caso è analogo a un sacchetto di fiches da cui si prende una fiches, o a un’urna da cui si estraggono palline colorate (non ho mai visto giochi con un’urna da cui si estraggono palline colorate, ma gli insegnanti della teoria della probabilità su quale motivo si preferisce questo esempio).

Proprietà di dipendenza

Vorrei chiarire che quando si tratta di carte, presumo che tu peschi carte, le guardi e le rimuovi dal mazzo. Ognuna di queste azioni è una proprietà importante. Se avessi un mazzo di, diciamo, sei carte con i numeri da 1 a 6, le mescolerei e pescherei una carta, poi mescolerei di nuovo tutte e sei le carte - sarebbe come lanciare un dado a sei facce, perché un risultato ha nessun effetto per i successivi. E se tiro fuori le carte e non le sostituisco, allora, tirando fuori la carta 1, aumenterò la probabilità che la prossima volta pescherò una carta con il numero 6. La probabilità aumenterà finché non rimuoverò quella carta o mescola il mazzo.

Anche il fatto che stiamo guardando le carte è importante. Se prendo una carta dal mazzo e non la guardo, non la avrò Informazioni aggiuntive e infatti la probabilità non cambierà. Ciò può sembrare controintuitivo. Come può il semplice lancio di una carta cambiare magicamente le probabilità? Ma è possibile perché puoi calcolare la probabilità di elementi sconosciuti solo da ciò che sai.

Ad esempio, se mescoli un mazzo di carte standard e riveli 51 carte e nessuna di esse è una regina di fiori, puoi essere sicuro al 100% che la carta rimanente è una regina di fiori. Se mescoli un mazzo di carte standard e ne estrai 51 senza guardarle, la probabilità che la carta rimanente sia una regina di fiori è ancora 1/52. Quando apri ogni carta, ricevi maggiori informazioni.

Il calcolo della probabilità per gli eventi dipendenti segue gli stessi principi degli eventi indipendenti, tranne per il fatto che è un po' più complicato perché le probabilità cambiano man mano che riveli le carte. Quindi devi moltiplicare molto significati diversi, invece di moltiplicare lo stesso valore. Ciò significa realmente che dobbiamo combinare tutti i calcoli che abbiamo fatto in un'unica combinazione.

Esempio

Mischi un mazzo standard da 52 carte e peschi due carte. Qual è la probabilità di pescare una coppia? Esistono diversi modi per calcolare questa probabilità, ma forse il più semplice è questo: qual è la probabilità che se peschi una carta, non potrai pescare una coppia? Questa probabilità è zero, quindi non importa quale prima carta peschi, purché corrisponda alla seconda. Non importa quale carta peschiamo per prima, abbiamo ancora la possibilità di pescare una coppia. Pertanto, la probabilità di estrarre una coppia dopo che è stata estratta la prima carta è del 100%.

Qual è la probabilità che la seconda carta corrisponda alla prima? Ci sono 51 carte rimaste nel mazzo e 3 di queste corrispondono alla prima carta (in realtà ce ne sarebbero 4 su 52, ma hai già rimosso una delle carte corrispondenti quando hai pescato la prima carta), quindi la probabilità è 1/ 17. Quindi la prossima volta che giochi a Texas Hold'em, il ragazzo dall'altra parte del tavolo ti dice: “Bene, un'altra coppia? Mi sento fortunato oggi”, saprai che c’è un’alta probabilità che stia bluffando.

Cosa succede se aggiungiamo due jolly in modo da avere 54 carte nel mazzo e vogliamo sapere qual è la probabilità di pescare una coppia? La prima carta potrebbe essere un jolly, quindi nel mazzo ci sarà solo una carta corrispondente e non tre. Come trovare la probabilità in questo caso? Divideremo le probabilità e moltiplicheremo ciascuna possibilità.

La nostra prima carta potrebbe essere un jolly o qualche altra carta. La probabilità di estrarre un jolly è 2/54, la probabilità di estrarre un'altra carta è 52/54. Se la prima carta è un jolly (2/54), la probabilità che la seconda carta corrisponda alla prima è 1/53. Moltiplichiamo i valori (possiamo moltiplicarli perché sono eventi separati e vogliamo che entrambi gli eventi si verifichino) e otteniamo 1/1431 - meno di un decimo di punto percentuale.

Se peschi prima un'altra carta (52/54), la probabilità di abbinare la seconda carta è 3/53. Moltiplichiamo i valori e otteniamo 78/1431 (poco più del 5,5%). Cosa facciamo con questi due risultati? Non si intersecano e vogliamo conoscere la probabilità di ciascuno di essi, quindi aggiungiamo i valori. Otteniamo un risultato finale di 79/1431 (ancora circa il 5,5%).

Se volessimo essere sicuri dell'accuratezza della risposta, potremmo calcolare la probabilità di tutti gli altri risultati possibili: pescare un jolly e non abbinare la seconda carta, oppure pescare un'altra carta e non abbinare la seconda carta. Sommando queste probabilità e la probabilità di vincita, otterremmo esattamente il 100%. Non fornirò i calcoli qui, ma puoi provare i calcoli per ricontrollare.

Paradosso di Monty Hall

Questo ci porta ad un paradosso piuttosto famoso che spesso confonde molte persone: il paradosso di Monty Hall. Il paradosso prende il nome dal conduttore del programma televisivo Let's Make a Deal. Per coloro che non hanno mai visto questo programma televisivo, era l'opposto di The Price Is Right.

In The Price Is Right, il conduttore (Bob Barker era il conduttore; chi è adesso, Drew Carey? Non importa) è tuo amico. Vuole che tu vinca soldi o fantastici premi. Cerca di darti ogni opportunità di vincere, purché tu possa indovinare quanto valgono effettivamente gli oggetti acquistati dagli sponsor.

Monty Hall si è comportato diversamente. Era come il gemello malvagio di Bob Barker. Il suo obiettivo era farti sembrare un idiota sulla televisione nazionale. Se eri nello show, lui era il tuo avversario, giocavi contro di lui e le probabilità erano a suo favore. Forse sono troppo duro, ma guardando uno spettacolo a cui è più probabile che tu entri se indossi un costume ridicolo, è esattamente ciò a cui arrivo.

Uno dei meme più famosi dello spettacolo è stato questo: ci sono tre porte davanti a te, la porta numero 1, la porta numero 2 e la porta numero 3. Puoi scegliere una porta gratuitamente. Dietro uno di loro c'è un magnifico premio, ad esempio un'auto nuova. Non ci sono premi dietro le altre due porte, entrambe senza valore. Dovrebbero umiliarti, quindi dietro di loro non c'è solo niente, ma qualcosa di stupido, ad esempio una capra o un enorme tubetto di dentifricio - tutt'altro che un'auto nuova.

Scegli una delle porte, Monty sta per aprirla per farti sapere se hai vinto o no... ma aspetta. Prima di scoprirlo, diamo un'occhiata a una di quelle porte che non hai scelto. Monty sa quale porta si trova dietro il premio e può sempre aprire la porta che non ha un premio dietro. “Stai scegliendo la porta numero 3? Allora apriamo la porta numero 1 per dimostrare che dietro non c'era nessun premio." E ora, per generosità, ti offre l'opportunità di scambiare la porta numero 3 selezionata con ciò che si trova dietro la porta numero 2.

A questo punto sorge la questione della probabilità: questa opportunità aumenta la vostra probabilità di vincita, oppure la diminuisce, oppure rimane invariata? Come pensi?

Risposta corretta: la possibilità di scegliere un'altra porta aumenta la probabilità di vincita da 1/3 a 2/3. Questo è illogico. Se non hai mai riscontrato questo paradosso prima, molto probabilmente stai pensando: aspetta, com'è possibile che aprendo una porta abbiamo magicamente cambiato la probabilità? Come abbiamo già visto con le mappe, questo è esattamente ciò che accade quando otteniamo maggiori informazioni. Ovviamente, quando si sceglie per la prima volta, la probabilità di vincita è 1/3. Quando si apre una porta, la probabilità di vincita per la prima scelta non cambia affatto: la probabilità è ancora 1/3. Ma la probabilità che l'altra porta sia corretta è ora 2/3.

Diamo un'occhiata a questo esempio da una prospettiva diversa. Scegli una porta. La probabilità di vincita è 1/3. Ti suggerisco di cambiare le altre due porte, ed è ciò che fa Monty Hall. Certo, apre una delle porte per rivelare che non c'è alcun premio dietro, ma può sempre farlo, quindi non cambia davvero nulla. Naturalmente, vorrai scegliere una porta diversa.

Se non capisci bene la domanda e hai bisogno di una spiegazione più convincente, fai clic su questo collegamento per accedere a una piccola fantastica applicazione Flash che ti permetterà di esplorare questo paradosso in modo più dettagliato. Puoi giocare iniziando con circa 10 porte e poi gradualmente arrivare ad un gioco con tre porte. C'è anche un simulatore in cui puoi giocare con un numero qualsiasi di porte, da 3 a 50, o eseguire diverse migliaia di simulazioni e vedere quante volte vinceresti se giocassi.

Scegli una delle tre porte: la probabilità di vincita è 1/3. Ora hai due strategie: cambiare la tua scelta dopo aver aperto la porta sbagliata oppure no. Se non cambi la tua scelta, la probabilità rimarrà 1/3, poiché la scelta avviene solo nella prima fase e devi indovinare subito. Se cambi, puoi vincere se prima scegli la porta sbagliata (poi ne aprono un'altra sbagliata, rimane quella corretta - cambiando la tua decisione, la prendi). La probabilità di scegliere la porta sbagliata all'inizio è 2/3, quindi risulta che cambiando la tua decisione raddoppi la probabilità di vincita.

Un'osservazione dell'insegnante di matematica superiore e specialista dell'equilibrio dei giochi Maxim Soldatov: ovviamente Schreiber non ce l'aveva, ma senza di essa è abbastanza difficile capire questa magica trasformazione

E ancora sul paradosso di Monty Hall

Per quanto riguarda lo spettacolo in sé: anche se gli avversari di Monty Hall non erano bravi in ​​matematica, lui era bravo. Ecco cosa ha fatto per cambiare un po' il gioco. Se scegliessi una porta che aveva un premio dietro di sé, che aveva 1/3 di possibilità che si verificasse, ti offrirebbe sempre la possibilità di scegliere un'altra porta. Sceglierai un'auto e poi la scambierai con una capra e sembrerai piuttosto stupido, il che è esattamente quello che vuoi dato che Hall è una specie di ragazzo malvagio.

Ma se scegli una porta che non ha un premio dietro, ti chiederà di sceglierne un'altra solo la metà delle volte, oppure ti mostrerà semplicemente la tua nuova capra e tu lascerai il palco. Analizziamo questo nuovo gioco, in cui Monty Hall potrà decidere se offrirti la possibilità di scegliere un'altra porta oppure no.

Supponiamo che segua questo algoritmo: se scegli una porta con un premio, ti offre sempre la possibilità di scegliere un'altra porta, altrimenti è altrettanto probabile che ti offra di scegliere un'altra porta o ti regali una capra. Qual è la tua probabilità di vincere?

In una delle tre opzioni scegli subito la porta dietro la quale si trova il premio e il presentatore ti invita a sceglierne un'altra.

Delle restanti due opzioni su tre (inizialmente scegli una porta senza premio), nella metà dei casi il presentatore ti offrirà di cambiare la tua decisione, e nell'altra metà dei casi no.

La metà di 2/3 è 1/3, cioè in un caso su tre otterrai una capra, in un caso su tre sceglierai la porta sbagliata e l'ospite ti chiederà di sceglierne un'altra, e in un caso In un caso su tre sceglierai la porta giusta, ma lui ancora una volta te ne offrirà un'altra.

Se il conduttore si propone di scegliere un'altra porta, sappiamo già che quel caso su tre, quando ci regala una capra e ce ne andiamo, non si è verificato. Questo informazioni utili: significa che le nostre possibilità di vincita sono cambiate. Due casi su tre in cui abbiamo l'opportunità di scegliere: in un caso significa che abbiamo indovinato correttamente, e nell'altro che abbiamo indovinato male, quindi se ci fosse offerta l'opportunità di scegliere, allora la probabilità della nostra vincita è 1/2 e, da un punto di vista matematico, non importa se rimani con la tua scelta o scegli un'altra porta.

Come il poker, è un gioco psicologico, non matematico. Perché Monty ti ha dato una scelta? Pensa che tu sia un sempliciotto che non sa che scegliere un'altra porta è la decisione "giusta" e manterrà ostinatamente la sua scelta (dopotutto, psicologicamente la situazione è più complicata, quando hai scelto un'auto e poi l'hai persa)?

Oppure lui, decidendo che sei intelligente e sceglierai un'altra porta, ti offre questa possibilità perché sa che hai indovinato fin dall'inizio e ne rimarrai affascinato? O forse è insolitamente gentile e ti spinge a fare qualcosa che ti faccia bene perché è da un po' che non regala auto e i produttori dicono che il pubblico si sta annoiando e che sarebbe meglio regalare presto un grosso premio gli ascolti scendono?

In questo modo Monty riesce a offrire occasionalmente una scelta mantenendo comunque la probabilità complessiva di vincita a 1/3. Ricorda che la probabilità di perdere completamente è 1/3. La probabilità di indovinare subito è 1/3 e il 50% di queste volte vincerai (1/3 x 1/2 = 1/6).

La possibilità che tu sbagli all'inizio ma poi abbia la possibilità di scegliere un'altra porta è 1/3, e la metà di quelle volte vincerai (anche 1/6). Somma due possibilità di vincita indipendenti e ottieni una probabilità di 1/3, quindi non importa se mantieni la tua scelta o scegli un'altra porta: la tua probabilità complessiva di vincere durante il gioco è 1/3.

La probabilità non diventa maggiore che nella situazione in cui hai indovinato la porta e il presentatore ti ha semplicemente mostrato cosa c'era dietro, senza offrirti di sceglierne un'altra. Lo scopo della proposta non è cambiare la probabilità, ma rendere il processo decisionale più divertente da guardare in televisione.

A proposito, questo è uno dei motivi per cui il poker può essere così interessante: nella maggior parte dei formati, tra i round in cui vengono effettuate le puntate (ad esempio, flop, turn e river nel Texas Hold'em), le carte vengono gradualmente rivelate, e se all'inizio del gioco hai una possibilità di vincere, dopo ogni giro di puntate, quando vengono scoperte più carte, questa probabilità cambia.

Paradosso del ragazzo e della ragazza

Questo ci porta a un altro paradosso ben noto, che, di regola, lascia perplessi tutti: il paradosso del ragazzo e della ragazza. L'unica cosa di cui scrivo oggi che non è direttamente correlata ai giochi (anche se immagino che dovrei solo incoraggiarti a creare meccaniche di gioco appropriate). Questo è più un enigma, ma interessante e per risolverlo è necessario comprendere la probabilità condizionata, di cui abbiamo parlato sopra.

Problema: ho un amico con due figli, almeno uno di loro è una femmina. Qual è la probabilità che anche il secondo figlio sia una femmina? Supponiamo che in ogni famiglia le probabilità di avere una femmina e un maschio siano 50/50, e questo vale per ogni figlio.

In effetti, alcuni uomini hanno più spermatozoi con un cromosoma X o un cromosoma Y nel loro sperma, quindi le probabilità cambiano leggermente. Se sai che un bambino è una femmina, la probabilità di avere una seconda femmina è leggermente più alta e ci sono altre condizioni, come l'ermafroditismo. Ma per risolvere questo problema, non ne terremo conto e supponiamo che lo sia la nascita di un bambino evento indipendente e la nascita di un maschio e di una femmina sono ugualmente probabili.

Dato che stiamo parlando di una probabilità pari a 1/2, intuitivamente ci aspettiamo che la risposta sarà molto probabilmente 1/2 o 1/4, o qualche altro numero che sia multiplo di due al denominatore. Ma la risposta è 1/3. Perché?

La difficoltà qui è che le informazioni di cui disponiamo riducono il numero di possibilità. Supponiamo che i genitori siano fan di Sesame Street e, indipendentemente dal sesso dei bambini, li abbiano chiamati A e B. In condizioni normali, ci sono quattro possibilità ugualmente probabili: A e B sono due maschi, A e B sono due femmine, A è un maschio e B è una femmina, A è una femmina e B è un maschio. Poiché sappiamo che almeno un bambino è una femmina, possiamo escludere la possibilità che A e B siano due maschi. Questo ci lascia con tre possibilità, ancora ugualmente probabili. Se tutte le possibilità sono ugualmente probabili e ce ne sono tre, la probabilità di ciascuna di esse è 1/3. Solo in una di queste tre opzioni entrambi i bambini sono femmine, quindi la risposta è 1/3.

E ancora sul paradosso di un ragazzo e una ragazza

La soluzione del problema diventa ancora più illogica. Immagina che il mio amico abbia due figli e uno di loro sia una ragazza nata martedì. Supponiamo che in condizioni normali un bambino possa nascere in ciascuno dei sette giorni della settimana con la stessa probabilità. Qual è la probabilità che anche il secondo figlio sia una femmina?

Potresti pensare che la risposta sarebbe ancora 1/3: cosa conta martedì? Ma anche in questo caso la nostra intuizione ci delude. La risposta è 13/27, il che non solo non è intuitivo, ma è molto strano. Qual è il problema in questo caso?

In effetti, martedì cambia la probabilità perché non sappiamo quale bambino è nato martedì, o forse entrambi sono nati martedì. In questo caso usiamo la stessa logica: contiamo tutte le combinazioni possibili quando almeno un bambino è una femmina nata martedì. Come nell'esempio precedente, supponiamo che i bambini si chiami A e B. Le combinazioni appaiono così:

• A è una femmina nata martedì, B è un maschio (in questa situazione ci sono 7 possibilità, una per ogni giorno della settimana in cui sarebbe potuto nascere un maschio).
• B è una femmina nata martedì, A è un maschio (anche 7 possibilità).
• A - una ragazza nata martedì, B - una ragazza nata un altro giorno della settimana (6 possibilità).
• B è una bambina nata martedì, A è una bambina nata non martedì (anche 6 probabilità).
• A e B sono due femmine nate martedì (1 possibilità, bisogna prestare attenzione per non contare due volte).

Sommiamo e otteniamo 27 diverse combinazioni ugualmente possibili di nascite di bambini e giorni con almeno una possibilità di nascita di una bambina martedì. Di queste, ci sono 13 possibilità quando nascono due femmine. Sembra anche del tutto illogico: sembra che questo compito sia stato inventato solo per causare mal di testa. Se sei ancora perplesso, il sito web del teorico dei giochi Jesper Juhl ha una buona spiegazione di questo problema.

Se stai attualmente lavorando a un gioco

Se c'è una casualità nel gioco che stai progettando, questo è un ottimo momento per analizzarla. Seleziona qualche elemento che vuoi analizzare. Per prima cosa chiediti quale sarà la probabilità che ti aspetti di questo elemento, cosa dovrebbe essere nel contesto del gioco.

Ad esempio, se stai realizzando un gioco di ruolo e ti stai chiedendo quale dovrebbe essere la probabilità che il giocatore sconfigga un mostro in battaglia, chiediti quale percentuale di vincita ti sembra giusta. In genere con i giochi di ruolo per console, i giocatori si arrabbiano molto quando perdono, quindi è meglio se perdono raramente, il 10% delle volte o meno. Se sei un progettista di giochi di ruolo, probabilmente lo sai meglio di me, ma devi averlo idea base, quale dovrebbe essere la probabilità.

Quindi chiediti se le tue probabilità sono dipendenti (come con le carte) o indipendenti (come con i dadi). Analizzare tutti i possibili risultati e le loro probabilità. Assicurati che la somma di tutte le probabilità sia 100%. E, naturalmente, confronta i risultati ottenuti con le tue aspettative. Riesci a lanciare i dadi o pescare le carte come volevi, oppure è chiaro che i valori devono essere modificati. E, naturalmente, se trovi delle carenze, puoi utilizzare gli stessi calcoli per determinare quanto modificare i valori.

Assegnazione dei compiti

Il tuo compiti a casa” questa settimana ti aiuterà ad affinare le tue abilità di probabilità. Ecco due giochi di dadi e un gioco di carte che analizzerai utilizzando la probabilità, oltre a una strana meccanica di gioco che ho sviluppato una volta e che metterà alla prova il metodo Monte Carlo.

Gioco n. 1: Ossa di drago

Questo è un gioco di dadi che io e i miei colleghi abbiamo inventato una volta (grazie a Jeb Havens e Jesse King): lascia a bocca aperta le persone con le sue probabilità. È un semplice gioco da casinò chiamato Dragon Dice, ed è una competizione di dadi tra il giocatore e la casa.

Ti viene dato un normale dado da 1d6. Lo scopo del gioco è ottenere un numero più alto di quello della casa. A Tom viene assegnato un 1d6 non standard - uguale al tuo, ma su una delle sue facce invece di un'unità c'è l'immagine di un drago (quindi, il casinò ha un cubo del drago - 2-3-4-5-6 ). Se la casa ottiene un drago, vince automaticamente e tu perdi. Se entrambi ottengono lo stesso numero, è un pareggio e si lanciano nuovamente i dadi. Vince chi ottiene il numero più alto.

Naturalmente non tutto va a favore del giocatore, perché il vantaggio del casinò è rappresentato dal vantaggio del drago. Ma è davvero così? Questo è quello che devi calcolare. Ma prima controlla la tua intuizione.

Diciamo che le probabilità sono 2 a 1. Quindi, se vinci, mantieni la tua scommessa e raddoppi la tua scommessa. Ad esempio, se scommetti 1 dollaro e vinci, tieni quel dollaro e ne ottieni altri 2 in più, per un totale di 3 dollari. Se perdi, perdi solo la scommessa. Giocheresti? Senti intuitivamente che la probabilità è maggiore di 2 a 1 o pensi ancora che sia inferiore? In altre parole, in media su 3 partite, ti aspetti di vincere più di una volta, o meno, o una volta?

Una volta capito il tuo intuito, usa la matematica. Ci sono solo 36 posizioni possibili per entrambi i dadi, quindi puoi contarle tutte senza problemi. Se non sei sicuro dell'offerta 2 per 1, considera questo: supponiamo che tu abbia giocato 36 volte (scommettendo $ 1 ogni volta). Per ogni vincita ottieni 2 dollari, per ogni perdita ne perdi 1 e un pareggio non cambia nulla. Calcola tutte le tue probabili vincite e perdite e decidi se perderai o guadagnerai dei dollari. Quindi chiediti quanto fosse giusta la tua intuizione. E poi realizza che cattivo sono.

E sì, se hai già pensato a questa domanda, ti sto deliberatamente confondendo travisando i reali meccanismi dei giochi di dadi, ma sono sicuro che puoi superare questo ostacolo con solo un piccolo pensiero. Prova a risolvere questo problema da solo.

Gioco n. 2 - Lancia per fortuna

Si tratta di un gioco d'azzardo chiamato "Roll for Luck" (chiamato anche "Birdcage" perché a volte i dadi non vengono lanciati, ma collocati in una grande gabbia metallica, che ricorda la gabbia del Bingo). Il gioco è semplice e sostanzialmente si riduce a questo: scommetti, diciamo, $ 1 su un numero da 1 a 6. Poi lanci 3d6. Per ogni dado che emette il tuo numero, ricevi $ 1 (e mantieni la tua scommessa originale). Se il tuo numero non esce su nessuno dei dadi, il casinò riceverà il tuo dollaro e tu non otterrai nulla. Quindi, se scommetti su un 1 e ottieni un 1 sui lati tre volte, ottieni $ 3.

Intuitivamente, sembra che questo gioco abbia le stesse possibilità. Ogni dado ha una possibilità di vincita individuale di 1 su 6, quindi, sommando i tre lanci, la tua possibilità di vincita è 3 su 6. Tuttavia, ovviamente, ricorda che stai sommando tre dadi separati e ti è consentito solo aggiungere se si tratta di combinazioni vincenti separate dello stesso dado. Qualcosa che dovrai moltiplicare.

Una volta calcolati tutti i possibili risultati (probabilmente più facile da fare in Excel che a mano, dato che ce ne sono 216), a prima vista il gioco sembra ancora dispari-pari. In effetti, il casinò ha ancora maggiori possibilità di vincere: quanto ancora? Nello specifico, quanti soldi ti aspetti di perdere in media per ogni round di gioco?

Tutto quello che devi fare è sommare le vincite e le perdite di tutti i 216 risultati e poi dividerli per 216, il che dovrebbe essere piuttosto semplice. Ma, come puoi vedere, ci sono diverse insidie ​​​​qui, motivo per cui dico: se pensi che questo gioco abbia pari possibilità di vincere, ti sbagli tutto.

Gioco n. 3: Poker Stud a 5 carte

Se ti sei già riscaldato con i giochi precedenti, controlliamo cosa sappiamo sulla probabilità condizionata usando questo gioco di carte come esempio. Immaginiamo una partita di poker con un mazzo da 52 carte. Immaginiamo anche il 5 card stud, in cui ogni giocatore riceve solo 5 carte. Non puoi scartare una carta, non puoi pescarne una nuova, non c'è un mazzo condiviso: ottieni solo 5 carte.

Una scala reale è 10-J-Q-K-A in una mano, ce ne sono quattro in totale, quindi ce ne sono quattro modi possibili ottenere una scala reale. Calcola la probabilità di ottenere una di queste combinazioni.

Devo avvisarti di una cosa: ricorda che puoi pescare queste cinque carte in qualsiasi ordine. Cioè, prima puoi pescare un asso o un dieci, non importa. Quindi, mentre fai i conti, tieni presente che in realtà ci sono più di quattro modi per ottenere una scala reale, presupponendo che le carte siano state distribuite in ordine.

Gioco n. 4 - Lotteria FMI

Il quarto problema non può essere risolto così facilmente utilizzando i metodi di cui abbiamo parlato oggi, ma puoi facilmente simulare la situazione utilizzando la programmazione o Excel. È sull'esempio di questo problema che puoi elaborare il metodo Monte Carlo.

Ho menzionato prima il gioco Chron X, su cui ho lavorato una volta, e ce n'era uno proprio mappa interessante- Lotteria del FMI. Ecco come funzionava: l'hai usato nel gioco. Al termine del round, le carte venivano ridistribuite e c'era una probabilità del 10% che la carta andasse fuori dal gioco e che un giocatore casuale ricevesse 5 unità di ogni tipo di risorsa il cui gettone era presente su quella carta. La carta veniva messa in gioco senza un solo gettone, ma ogni volta che rimaneva in gioco all'inizio del turno successivo, riceveva un gettone.

Quindi c'era una probabilità del 10% che se la mettessi in gioco, il round finirebbe, la carta uscirebbe dal gioco e nessuno otterrebbe nulla. Se ciò non accade (90% di probabilità), c'è una probabilità del 10% (in realtà 9%, poiché è il 10% del 90%) che nel turno successivo lasci il gioco e qualcuno riceva 5 unità di risorse. Se la carta lascia il gioco dopo un round (il 10% dell'81% disponibile, quindi la probabilità è dell'8,1%), qualcuno riceverà 10 unità, un altro round - 15, un altro - 20 e così via. Domanda: Qual è il valore generale atteso del numero di risorse che otterrai da questa carta quando finalmente lascerà il gioco?

Normalmente proveremmo a risolvere questo problema calcolando la possibilità di ciascun risultato e moltiplicando per il numero di tutti i risultati. C'è una probabilità del 10% che otterrai 0 (0,1 * 0 = 0). 9% che riceverai 5 unità di risorse (9% * 5 = 0,45 risorse). L'8,1% di ciò che otterrai è 10 (8,1%*10=0,81 risorse - valore previsto complessivo). E così via. E poi riassumeremmo il tutto.

E ora il problema ti è evidente: c'è sempre la possibilità che la carta non lasci il gioco, può rimanere nel gioco per sempre, per un numero infinito di round, quindi non c'è modo di calcolare ogni probabilità. I metodi che abbiamo imparato oggi non ci permettono di calcolare la ricorsione infinita, quindi dovremo crearla artificialmente.

Se sei abbastanza bravo a programmare, scrivi un programma che simulerà questa mappa. Dovresti avere un ciclo temporale che porti la variabile ad una posizione iniziale pari a zero, mostri un numero casuale e con una probabilità del 10% che la variabile esca dal ciclo. Altrimenti aggiunge 5 alla variabile e il ciclo si ripete. Quando finalmente esce dal ciclo, aumenta il numero totale di esecuzioni di prova di 1 e il numero totale di risorse (di quanto dipende da dove finisce la variabile). Quindi reimpostare la variabile e ricominciare.

Esegui il programma diverse migliaia di volte. Alla fine, dividi il numero totale di risorse per il numero totale di esecuzioni: questo sarà il valore Monte Carlo previsto. Esegui il programma più volte per assicurarti che i numeri ottenuti siano più o meno gli stessi. Se la dispersione è ancora ampia, aumenta il numero di ripetizioni nel ciclo esterno finché non inizi a ottenere corrispondenze. Puoi essere sicuro che qualunque numero ti ritroverai sarà approssimativamente corretto.

Se sei nuovo alla programmazione (anche se lo sei), ecco un rapido esercizio per testare le tue abilità con Excel. Se sei un game designer, queste competenze non saranno mai superflue.

Ora le funzioni if ​​e rand ti saranno molto utili. Rand non richiede valori, ne produce solo uno casuale numero decimale da 0 a 1. Di solito lo combiniamo con il floor e i più e i meno per simulare il lancio dei dadi di cui ho parlato prima. Tuttavia, in questo caso lasciamo solo il 10% di possibilità che la carta lasci il gioco, quindi possiamo semplicemente controllare se il valore del rand è inferiore a 0,1 e non preoccuparcene più.

Se ha tre significati. Nell'ordine: una condizione che è vera o falsa, quindi un valore restituito se la condizione è vera e un valore restituito se la condizione è falsa. Pertanto la seguente funzione restituirà il 5% delle volte e 0 il restante 90% delle volte: =SE(CASUALE()<0.1,5,0) .

Esistono molti modi per impostare questo comando, ma io utilizzerei questa formula per la cella che rappresenta il primo round, diciamo che è la cella A1: =SE(CASUALE()<0.1,0,-1) .

Qui sto usando una variabile negativa per significare "questa carta non ha lasciato il gioco e non ha ancora ceduto alcuna risorsa". Quindi se il primo round finisce e la carta lascia il gioco, A1 vale 0; altrimenti è –1.

Per la cella successiva che rappresenta il secondo round: =SE(A1>-1, A1, SE(CASUALE()<0.1,5,-1)) . Quindi, se il primo round è terminato e la carta ha lasciato immediatamente il gioco, A1 è 0 (il numero di risorse) e questa cella copierà semplicemente quel valore. Altrimenti A1 è -1 (la carta non è ancora uscita dal gioco), e questa cella continua a muoversi casualmente: il 10% delle volte restituirà 5 unità di risorse, il resto del tempo il suo valore sarà comunque pari a -1. Se applichiamo questa formula a celle aggiuntive, otteniamo round aggiuntivi e qualunque cella ti ritroverai ti darà il risultato finale (o -1 se la carta non ha mai lasciato il gioco dopo tutti i round giocati).

Prendi quella fila di celle, che rappresenta l'unico round con quella carta, e copia e incolla diverse centinaia (o migliaia) di righe. Forse non saremo in grado di eseguire un test infinito per Excel (c'è un numero limitato di celle in una tabella), ma almeno possiamo coprire la maggior parte dei casi. Quindi seleziona una cella in cui inserirai la media dei risultati di tutti i round: Excel fornisce utile una funzione media() per questo.

Su Windows, puoi almeno premere F9 per ricalcolare tutti i numeri casuali. Come prima, fallo più volte e vedi se ottieni gli stessi valori. Se lo spread è troppo grande, raddoppia il numero di corse e riprova.

Problemi irrisolti

Se ti capita di avere una laurea in teoria della probabilità e i problemi di cui sopra ti sembrano troppo facili, ecco due problemi su cui mi sto grattando la testa da anni, ma sfortunatamente non sono abbastanza bravo in matematica per risolverli.

Problema irrisolto n. 1: lotteria del FMI

Il primo problema irrisolto è il compito precedente assegnato a casa. Posso facilmente applicare il metodo Monte Carlo (utilizzando C++ o Excel) ed essere sicuro della risposta alla domanda "quante risorse riceverà il giocatore", ma non so esattamente come fornire una risposta matematicamente dimostrabile esatta (è una serie infinita).

Problema irrisolto n. 2: sequenze di figure

Questo problema (va anche ben oltre i compiti risolti in questo blog) mi è stato segnalato da un amico giocatore più di dieci anni fa. Mentre giocava a blackjack a Las Vegas, notò una cosa interessante: quando rimosse le carte da un sabot da 8 mazzi, vide dieci figure in fila (la figura o figura è 10, Jolly, Re o Regina, quindi ce ne sono 16 in totale in un mazzo standard da 52 carte o 128 in un sabot da 416 carte).

Qual è la probabilità che questa scarpa contenga almeno una sequenza di dieci o più cifre? Supponiamo che siano stati mescolati equamente, in ordine casuale. Oppure, se preferisci, qual è la probabilità che una sequenza di dieci o più cifre non si trovi da nessuna parte?

Possiamo semplificare il compito. Ecco una sequenza di 416 parti. Ogni parte è 0 o 1. Ci sono 128 uno e 288 zeri sparsi casualmente in tutta la sequenza. Quanti modi ci sono per intervallare casualmente 128 unità con 288 zeri, e quante volte in questi modi si verificherà almeno un gruppo di dieci o più unità?

Ogni volta che mi proponevo di risolvere questo problema, mi sembrava facile e ovvio, ma non appena ho approfondito i dettagli, improvvisamente è andato in pezzi e sembrava semplicemente impossibile.

Quindi non affrettatevi a dare la risposta: sedetevi, riflettete attentamente, studiate le condizioni, provate a inserire numeri reali, perché tutte le persone con cui ho parlato di questo problema (compresi diversi studenti laureati che lavorano in questo campo) hanno reagito in modo lo stesso: “È del tutto ovvio… oh, no, aspetta, non è affatto ovvio”. Questo è il caso in cui non ho un metodo per calcolare tutte le opzioni. Naturalmente potrei forzare bruscamente il problema attraverso un algoritmo informatico, ma sarebbe molto più interessante conoscere la soluzione matematica.

Poi condusse lo stesso esperimento con tre dadi. Su un pezzo di carta ho scritto in colonna i numeri da 3 a 18. Questi sono gli importi che possono apparire lanciando tre dadi. Ho fatto 400 lanci. Ho calcolato il risultato e l'ho inserito nella tabella. (Appendice 3 e 4) Le somme 10 e 11 compaiono più spesso.

Ho condotto un altro esperimento con quattro dadi. La colonna conteneva i numeri da 4 a 24. Questi sono gli importi che possono apparire lanciando quattro dadi. Ho fatto di nuovo 400 colpi. Ho calcolato il risultato e l'ho inserito nella tabella. (Appendice 5 e 6) La somma 14 viene lanciata più spesso.

Poi ho deciso di fare i conti. Ho creato una tabella per due dadi e l'ho compilata. (Appendice 7) Ho ottenuto il risultato che la somma di sette esce più spesso. (Appendice 8). Sei volte su trentasei casi. Per prima cosa ho fatto gli stessi calcoli matematici per tre dadi. (Appendice 9) Le somme che escono più spesso sono 10 e 11. Si tratta di 27 casi su 216. E i numeri meno probabili che escono sono 3 e 18, solo 1 caso su 216. (Appendice 10) E poi per quattro dadi. (Appendice 11) Ci sono 1296 casi in totale. La somma più comune è 14, ovvero 146 casi su 1296. E la somma meno comune è 4 e 24, solo 1 caso su 1296. (Appendice 12).

Ho trovato una descrizione dei trucchi con i dadi. Sono rimasto sorpreso dalla semplicità e dall'originalità di alcuni trucchi. L'ordine convenzionale dei segni sui lati dei dadi è la base di molti trucchi con i dadi. E ho provato a fare diversi trucchi. Sono riuscito. Ma per portarli a termine con successo, bisogna contare velocemente e bene.

Un trucco è un trucco abile basato sull'inganno dell'occhio con l'aiuto di tecniche abili e veloci. Il trucco è sempre seminascosto allo spettatore: sa che esiste un segreto, ma lo immagina come qualcosa di irreale, di incomprensibile. I trucchi matematici sono una sorta di dimostrazione delle leggi matematiche.

Il successo di ogni trucco dipende da una buona preparazione e allenamento, dalla facilità di esecuzione di ciascun numero, dal calcolo accurato e dall'uso abile delle tecniche necessarie per eseguire il trucco. Tali trucchi fanno una grande impressione sul pubblico e lo affascinano.

Focus 1. “Indovinare l’importo”

Il manifestante volta le spalle al pubblico e in questo momento uno di loro lancia tre dadi sul tavolo. Allo spettatore viene poi chiesto di sommare i tre numeri estratti, prendere un dado qualsiasi e aggiungere il numero riportato sul lato inferiore al totale appena ottenuto. Quindi lancia nuovamente lo stesso dado e aggiungi nuovamente il numero che appare al totale. Il dimostratore attira l'attenzione del pubblico sul fatto che non può in alcun modo sapere quale dei tre dadi è stato lanciato due volte, poi raccoglie i dadi, li agita in mano e nomina subito correttamente l'importo finale.

Spiegazione. Prima di raccogliere i dadi, la persona che mostra somma i numeri scoperti. Aggiungendo sette alla somma risultante, trova la somma finale.

Questo trucco si basa sulla proprietà della somma dei numeri sulle facce opposte: è sempre uguale a sette.

Capitolo 2. Il segreto dei dadi

2.1. Calcola il risultato

Per scoprire quale importo esce più spesso lanciando due, tre, quattro, ecc. Dadi, ho condotto diversi esperimenti.

Prima di iniziare il lavoro, ho compilato una tabella per inserire i dati. La colonna contiene i numeri da 2 a 12. Questi sono gli importi che possono apparire quando si lanciano due dadi. Sulla superficie liscia del tavolo, in modo che non ci fossero interferenze esterne, iniziò a lanciare i dadi. Ogni tentativo è stato contrassegnato di fronte al numero dell'importo perso, con un trattino verticale.

Esperimento 1:

1) Prendo due dadi e un bicchiere.

Ripeto l'esperimento 400 volte.

L'esperimento ha aiutato a scoprire quale somma esce più spesso lanciando due dadi. (Appendice 1 e 2)

Ho condotto l'Esperimento 2 con tre dadi per scoprire quale importo sarebbe apparso più spesso ora.

Esperimento 2:

1) Prendo tre dadi e un bicchiere.

2) Scuoto il bicchiere con il dado.

3) Lancio i dadi sul tavolo.

4) Calcolo l'importo e lo segno nella tabella.

Ripeto l'esperimento 400 volte.

L'esperimento ha aiutato a scoprire quale somma esce più spesso lanciando tre dadi. (Appendice 3 e 4)

L'esperimento mi ha aiutato a assicurarmi che quando lanciavo tre dadi, l'importo che usciva era diverso rispetto a quando lanciavi due dadi.

Ho condotto l'Esperimento 3 con quattro dadi per vedere la dinamica dei cambiamenti.

Prima di iniziare il lavoro, ho nuovamente compilato una tabella per inserire i dati.

Esperimento 3:

1) Prendo quattro dadi e un bicchiere.

2) Scuoto il bicchiere con il dado.

3) Lancio i dadi sul tavolo.

4) Calcolo l'importo e lo segno nella tabella.

Ripeto l'esperimento 400 volte.

L'esperimento mi ha aiutato a garantire che quando vengono lanciati quattro dadi, l'importo che esce è di nuovo diverso. (Appendice 5 e 6)

Dopo aver esaminato i risultati degli esperimenti, mi è diventato chiaro perché gli importi più vicini al centro della tabella compaiono più spesso. Dopotutto, la somma dei numeri sui lati opposti è sempre uguale a sette. Pertanto, quando si lanciano i dadi, è più probabile che appaia un importo vicino a questo valore medio.

2.2. Confrontando i risultati

Confrontando i risultati degli esperimenti con i dadi (Appendici 1 - 6) e i risultati dei calcoli matematici (Appendici 7 - 12), ho notato che l'importo più vicino al centro cade più spesso. Pertanto, ho trovato la media aritmetica della somma dei numeri sulle facce dei dadi. (1+2+3+4+5+6): 6 = 3,5. Il risultato è stato 3,5. Ho quindi moltiplicato questo numero per il numero di dadi. Se prendi due dadi, il prodotto sarà 3,5 · 2 = 7. Il numero sette è il numero che esce più spesso quando si lanciano due dadi. Se prendiamo tre dadi, otteniamo 3,5 · 3 = 10,5. E poiché il numero deve essere intero, vengono presi due numeri adiacenti. Questi numeri sono 10 e 11, appaiono più spesso quando si lanciano tre dadi. Per qualsiasi numero di dadi, puoi calcolare il numero che appare più spesso utilizzando la formula 3.5 N , (Dove N- numero di dadi). Inoltre, se N Se il numero è dispari, vengono presi due numeri adiacenti per determinare il numero che appare più spesso quando si lanciano i dadi.

Ho esaminato il disegno biblico e ho trovato una discrepanza. Due dadi hanno segni errati. Poiché la somma dei numeri sui lati opposti deve essere uguale a sette. E su uno dei dadi ce ne sono tre sul lato superiore e quattro sul lato, anche se quattro dovrebbero essere sul lato inferiore. Sugli altri dadi, sul lato superiore ce ne sono cinque, e sul lato ce ne sono due. O forse è perché in quella zona veniva adottata una marcatura diversa sui dadi.

Conclusione

Nel mio lavoro ho imparato il segreto dei dadi. Questo segreto si trova sulla superficie dei dadi stessi. Il segreto sta nella disposizione dei contrassegni. La somma dei numeri sui lati opposti è sempre sette. Attraverso esperimenti e calcoli matematici, ho trovato l'importo che esce più spesso quando si lanciano i dadi e che dipende dal numero di dadi. Questo importo può essere scritto come una formula 3,5 · N, Dove N numero di dadi. Durante le ricerche su questo argomento, ho appreso che i dadi hanno avuto origine intorno al 3000 a.C. I luoghi in cui gli archeologi hanno ritrovato gli oggetti di gioco più antichi sono l'Egitto, l'Iran, l'Iraq e l'India. Imparato a conoscere la varietà di forme e tipi di dadi. E anche dove vengono utilizzati i dadi e le proprietà che hanno. Non ho considerato affatto l'argomento della risoluzione dei problemi. È solo che la teoria della probabilità mi risulta ancora difficile. Ma spero di ritornarci ancora.

Molti grandi matematici in tempi diversi hanno risolto problemi con i dadi. Ma non sono riuscito a trovare l'autore della formula per trovare la somma più grande lanciando i dadi. Forse non ho cercato abbastanza a lungo. Ma continuerò a cercare. Mi interessa sapere chi per primo ha inventato questa formula.

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13. Shen A. Probabilità: esempi e compiti. - M.: Casa editrice MTsNMO, 2008. – 64 p.

14. Problemi di Yakovlev con i dadi nello studio degli elementi della teoria della probabilità [risorsa elettronica] http://festival.1settembre. ru/articoli/517883/

15. Yakovleva e trucchi divertenti con i dadi [risorsa elettronica] http://festival.1september. ru/articoli/624782/

Appendice 1. Risultati del lancio di 2 dadi

Appendice 2. Risultati del lancio di 2 dadi

Indietro avanti

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se sei interessato a quest'opera, scarica la versione completa.

Tecnologie educative: Tecnologia dell'insegnamento esplicativo e illustrato, tecnologia informatica, approccio all'apprendimento centrato sulla persona, tecnologie salva-salute.

Tipo di lezione: lezione sull'acquisizione di nuove conoscenze.

Durata: 1 lezione.

Grado: 8° grado.

Obiettivi della lezione:

Educativo:

• ripetere le abilità di utilizzo della formula per trovare la probabilità di un evento e insegnare come usarla nei problemi con i dadi;
• condurre un ragionamento dimostrativo durante la risoluzione dei problemi, valutare la correttezza logica del ragionamento, riconoscere il ragionamento logicamente errato.

Educativo:

• sviluppare abilità nella ricerca, elaborazione e presentazione delle informazioni;
• sviluppare la capacità di confrontare, analizzare e trarre conclusioni;
• sviluppare capacità di osservazione e comunicazione.

Educativo:

• coltivare l'attenzione e la perseveranza;
• per formare una comprensione del significato della matematica come modo di comprendere il mondo che ci circonda.

Materiale didattico: computer, multimedia, pennarelli, fotocopiatore mimio (o lavagna interattiva), busta (contiene un compito pratico, compiti a casa, tre carte: gialla, verde, rossa), modelli di dadi.

Piano di lezione

Organizzare il tempo.

Nella lezione precedente abbiamo appreso la classica formula della probabilità.

La probabilità P del verificarsi di un evento casuale A è il rapporto tra m e n, dove n è il numero di tutti i possibili risultati dell'esperimento e m è il numero di tutti i risultati favorevoli.

La formula è la cosiddetta definizione classica di probabilità secondo Laplace, che proveniva dal campo del gioco d'azzardo, dove la teoria della probabilità veniva utilizzata per determinare la prospettiva di vincita. Questa formula viene utilizzata per esperimenti con un numero finito di risultati ugualmente possibili.

Probabilità di un evento = Numero di esiti favorevoli/numero di tutti gli esiti ugualmente possibili

Quindi la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1.

La probabilità è 0 se l'evento è impossibile.

La probabilità è 1 se l'evento è certo.

Risolviamo il problema oralmente: su uno scaffale ci sono 20 libri, 3 dei quali sono libri di consultazione. Qual è la probabilità che un libro preso da uno scaffale non sia un libro di consultazione?

Soluzione:

Il numero totale di risultati ugualmente possibili è 20

Numero di esiti favorevoli – 20 – 3 = 17

Risposta: 0,85.

2. Acquisire nuove conoscenze.

Ora torniamo all'argomento della nostra lezione: “Probabilità degli eventi”, segniamolo sui nostri quaderni.

Scopo della lezione: imparare a risolvere i problemi sulla ricerca della probabilità quando si lancia un dado o 2 dadi.

Il nostro argomento di oggi è legato ai dadi o è anche chiamato dadi. I dadi sono conosciuti fin dall'antichità. Il gioco dei dadi è uno dei più antichi; i primi prototipi di dadi sono stati rinvenuti in Egitto e risalgono al XX secolo a.C. e. Esistono molte varietà, da quelle semplici (vince chi lancia più punti) a quelle complesse, in cui è possibile utilizzare diverse tattiche di gioco.

Le ossa più antiche risalgono al XX secolo a.C. e., scoperto a Tebe. Inizialmente, le ossa servivano come strumenti per predire il futuro. Secondo gli scavi archeologici, i dadi venivano giocati ovunque in tutti gli angoli del globo. Il nome deriva dal materiale originale: ossa di animali.

Gli antichi greci credevano che i Lidi avessero inventato le ossa per sfuggire alla fame, per poter almeno occupare la mente con qualcosa.

Il gioco dei dadi si rifletteva nell'antica mitologia egiziana, greco-romana e vedica. Menzionato nella Bibbia, “Iliade”, “Odissea”, “Mahabharata”, la raccolta di inni vedici “Rigveda”. Nei pantheon degli dei, almeno un dio era il proprietario dei dadi come attributo integrale http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Dopo la caduta dell'Impero Romano, il gioco si diffuse in tutta Europa, ed era particolarmente popolare durante il Medioevo. Poiché i dadi venivano usati non solo per giocare, ma anche per predire il futuro, la chiesa tentò ripetutamente di vietare il gioco e per questo scopo furono inventate le punizioni più sofisticate, ma tutti i tentativi finirono con un fallimento;

Secondo i dati archeologici, nella Rus' pagana si giocava a dadi. Dopo il battesimo, la Chiesa ortodossa cercò di sradicare il gioco, ma tra la gente comune rimase popolare, a differenza dell'Europa, dove l'alta nobiltà e persino il clero erano colpevoli di giocare a dadi.

La guerra dichiarata dalle autorità di diversi paesi al gioco dei dadi ha dato origine a molti diversi trucchi.

Nell'età dell'Illuminismo, l'hobby del gioco dei dadi iniziò gradualmente a diminuire, le persone svilupparono nuovi hobby e si interessarono sempre più alla letteratura, alla musica e alla pittura. Al giorno d'oggi, il gioco dei dadi non è così diffuso.

I dadi corretti forniscono la stessa possibilità di ottenere una parte. Per fare ciò, tutti i bordi devono essere uguali: lisci, piatti, avere la stessa area, arrotondamenti (se presenti), i fori devono essere praticati alla stessa profondità. La somma dei punti sui lati opposti è 7.

Un dado matematico, utilizzato nella teoria della probabilità, è un'immagine matematica di un dado normale. Matematico l'osso non ha dimensione, colore, peso, ecc.

Quando si lancia giocando ossa(cubo) una qualsiasi delle sue sei facce può cadere, ad es. qualsiasi eventi- perdita da 1 a 6 punti (punti). Ma nessuno due e più volti non possono apparire contemporaneamente. Come eventi sono detti incompatibili.

Consideriamo il caso in cui viene lanciato 1 dado. Facciamo il numero 2 sotto forma di tabella.

Consideriamo ora il caso in cui vengono lanciati 2 dadi.

Se il primo dado lancia un punto, il secondo dado può lanciare 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otteniamo le coppie (1;1), (1;2), (1;3), (1 ;4), (1;5), (1;6) e così via per ciascuna faccia. Tutti i casi possono essere presentati sotto forma di tabella di 6 righe e 6 colonne:

Tabella degli eventi elementari

C'è una busta sulla tua scrivania.

Prendi il foglio con i compiti dalla busta.

Ora completerai un compito pratico utilizzando la tabella degli eventi elementari.

Mostra con ombreggiatura gli eventi che favoriscono gli eventi:

Compito 1. “Lo stesso numero di punti è caduto”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Compito 2. “La somma dei punti è 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Compito 3. "La somma dei punti non è inferiore a 7."

Cosa significa “niente di meno”? (La risposta è “maggiore o uguale a”)

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Ora troviamo le probabilità di eventi per i quali gli eventi favorevoli sono stati ombreggiati nel lavoro pratico.

Scriviamolo sui quaderni n. 3

Esercizio 1.

Numero totale di risultati - 36

Risposta: 1/6.

Compito 2.

Numero totale di risultati - 36

Numero di esiti favorevoli - 6

Risposta: 1/6.

Compito 3.

Numero totale di risultati - 36

Numero di esiti favorevoli - 21

P = 21/36=7/12.

Risposta: 7/12.

№4. Sasha e Vlad stanno giocando a dadi. Tutti lanciano il dado due volte. Vince quello con il maggior numero di punti. Se i punti sono pari, la partita finisce in pareggio. Sasha è stato il primo a lanciare i dadi e ha ottenuto 5 punti e 3 punti. Ora Vlad lancia i dadi.

a) Nella tabella degli eventi elementari, indicare (ombreggiando) gli eventi elementari che favoriscono l’evento “Vlad vincerà”.

b) Trovare la probabilità dell'evento “Vlad vincerà”.

3. Minuto di educazione fisica.

Se l’evento è attendibile, applaudiamo tutti insieme,

Se l'evento è impossibile, camminiamo tutti insieme,

Se l'evento è casuale, scuoti la testa / a sinistra e a destra

“Nel cestino ci sono 3 mele (2 rosse, 1 verde).

3 rossi sono stati tirati fuori dal cestino - (impossibile)

Una mela rossa è stata tirata fuori dal cestino - (casuale)

Dal cestino è stata tirata fuori una mela verde - (casuale)

Dal cestino sono stati estratti 2 rossi e 1 verde - (affidabile)

Risolviamo il prossimo numero.

Un dado equilibrato viene lanciato due volte. Quale evento è più probabile:

R: “Entrambe le volte il punteggio è stato 5”;

D: “La prima volta ho preso 2 punti, la seconda volta ho preso 5 punti”;

S: “Una volta erano 2 punti, una volta erano 5 punti”?

Analizziamo l'evento A: il numero totale degli esiti è 36, il numero degli esiti favorevoli è 1 (5;5)

Analizziamo l'evento B: il numero totale degli esiti è 36, il numero degli esiti favorevoli è 1 (2;5)

Analizziamo l'evento C: il numero totale degli esiti è 36, il numero degli esiti favorevoli è 2 (2;5 e 5;2)

Risposta: evento C.

4. Impostazione dei compiti.

1. Ritaglia lo sviluppo, incolla i cubetti. Portalo alla tua prossima lezione.

2. Esegui 25 lanci. Scrivi i risultati nella tabella: (nella prossima lezione potrai introdurre il concetto di frequenza)

3. Risolvi il problema: vengono lanciati due dadi. Calcola la probabilità:

a) “La somma dei punti è 6”;

b) “Somma dei punti non inferiore a 5”;

c) “Il primo dado ha più punti del secondo.”

Un altro problema popolare nella teoria della probabilità (insieme al problema del lancio della moneta) è problema del lancio dei dadi.

Di solito il compito suona così: vengono lanciati uno o più dadi (di solito 2, meno spesso 3). Devi trovare la probabilità che il numero di punti sia 4, o che la somma dei punti sia 10, o che il prodotto del numero di punti sia divisibile per 2, o che il numero di punti differisca per 3, e così via.

Il metodo principale per risolvere tali problemi è utilizzare la classica formula di probabilità, che analizzeremo utilizzando gli esempi di seguito.

Dopo aver familiarizzato con i metodi di soluzione, puoi scaricare una soluzione super utile per lanciare 2 dadi (con tabelle ed esempi).

Un dado

Con un dado la situazione è indecentemente semplice. Permettetemi di ricordarvi che la probabilità si trova con la formula $P=m/n$, dove $n$ è il numero di tutti i risultati elementari ugualmente possibili di un esperimento con il lancio di un cubo o di un dado, e $m$ è il numero di quegli esiti che favoriscono l’evento.

Esempio 1. Il dado viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che esca un numero pari di punti?

Poiché il dado è un cubo (dicono anche dadi giusti, cioè il cubo è in equilibrio, quindi atterra su tutti i lati con la stessa probabilità), il cubo ha 6 lati (con un numero di punti da 1 a 6, solitamente indicati come punti), quindi il numero totale di risultati nel il problema è $n=6$. Gli unici risultati favorevoli all'evento sono quelli in cui appare un lato con 2, 4 o 6 punti (anche solo uno) di tali lati ci sono $m=3$; Allora la probabilità desiderata è pari a $P=3/6=1/2=0,5$.

Esempio 2. Si lanciano i dadi. Trova la probabilità di ottenere almeno 5 punti.

Ragioniamo allo stesso modo dell’esempio precedente. Il numero totale di risultati ugualmente possibili quando si lancia un dado è $n=6$, e la condizione “almeno 5 punti tirati”, cioè “5 o 6 punti tirati” è soddisfatta da 2 risultati, $m =2$. La probabilità richiesta è $P=2/6=1/3=0,333$.

Non vedo nemmeno il senso di fare ulteriori esempi, passiamo ai due dadi, dove tutto si fa più interessante e complicato.

Due dadi

Quando si tratta di problemi che coinvolgono il lancio di 2 dadi, è molto comodo da usare tabella dei punti. Tracciamo orizzontalmente il numero di punti caduti sul primo dado e verticalmente il numero di punti caduti sul secondo dado. Otteniamo qualcosa del genere (di solito lo faccio in Excel, puoi scaricare il file):

Cosa c'è nelle celle della tabella, chiedi? E questo dipende da quale problema risolveremo. Ci sarà un compito sulla somma dei punti - scriveremo lì la somma, sulla differenza - scriveremo la differenza e così via. Iniziamo?

Esempio 3. Si lanciano 2 dadi contemporaneamente. Trova la probabilità che il totale sia inferiore a 5 punti.

Per prima cosa, diamo un'occhiata al numero totale di risultati dell'esperimento. quando lanciavamo un dado, tutto era ovvio, 6 facce - 6 risultati. Ci sono già due dadi qui, quindi i risultati possono essere rappresentati come coppie ordinate di numeri nella forma $(x,y)$, dove $x$ è quanti punti sono caduti sul primo dado (da 1 a 6), $ y$ è quanti punti sono caduti sul secondo dado (da 1 a 6). Ovviamente, il numero totale di tali coppie di numeri sarà $n=6\cdot 6=36$ (e corrispondono esattamente a 36 celle nella tabella dei risultati).

Ora è il momento di compilare la tabella. In ogni cella inseriamo la somma del numero di punti lanciati sul primo e sul secondo dado e otteniamo la seguente immagine:

Adesso questa tabella ci aiuterà a trovare il numero di esiti favorevoli all’evento “apparirà un totale inferiore a 5 punti”. Per fare ciò, contiamo il numero di celle in cui il valore della somma è inferiore a 5 (ovvero 2, 3 o 4). Per chiarezza, coloriamo queste celle, ci sarà $m=6$:

Allora la probabilità è uguale a: $P=6/36=1/6$.

Esempio 4. Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che il prodotto del numero di punti sia divisibile per 3.

Creiamo una tabella dei prodotti dei punti lanciati sul primo e sul secondo dado. Evidenziamo subito quei numeri che sono multipli di 3:

Non resta che scrivere che il numero totale di esiti è $n=36$ (vedi l'esempio precedente, il ragionamento è lo stesso), e il numero di esiti favorevoli (il numero di celle ombreggiate nella tabella sopra) è $m=20$. Allora la probabilità dell'evento sarà pari a $P=20/36=5/9$.

Come puoi vedere, questo tipo di problemi, con un’adeguata preparazione (vediamo un altro paio di problemi), possono essere risolti in modo semplice e veloce. Per varietà, eseguiamo un'altra attività con una tabella diversa (tutte le tabelle possono essere scaricate in fondo alla pagina).

Esempio 5. I dadi vengono lanciati due volte. Trova la probabilità che la differenza nel numero di punti sul primo e sul secondo dado sia compresa tra 2 e 5.

Scriviamo una tabella delle differenze di punti, evidenziamo le celle in essa contenute in cui il valore della differenza sarà compreso tra 2 e 5:

Pertanto, il numero totale di risultati elementari ugualmente possibili è $n=36$, e il numero di risultati favorevoli (il numero di celle ombreggiate nella tabella sopra) è $m=10$. Allora la probabilità dell'evento sarà pari a $P=10/36=5/18$.

Quindi, nel caso in cui parliamo di lanciare 2 dadi e un evento semplice, devi costruire una tabella, selezionare le celle necessarie al suo interno e dividere il loro numero per 36, questa sarà la probabilità. Oltre ai problemi su somma, prodotto e differenza del numero di punti, ci sono anche problemi sul modulo della differenza, sul numero più piccolo e su quello più grande dei punti estratti (trovi le tabelle adatte in).

Altri problemi su dadi e cubi

Naturalmente, la questione non si limita alle due classi di problemi relativi al lancio dei dadi discussi sopra (sono semplicemente quelli incontrati più frequentemente nei libri di problemi e nei manuali di formazione), ce ne sono altri. Per varietà e comprensione del metodo di soluzione approssimata, analizzeremo altri tre esempi tipici: per il lancio di 3 dadi, per la probabilità condizionata e per la formula di Bernoulli.

Esempio 6. Si lanciano 3 dadi. Trova la probabilità che il totale sia 15 punti.

Nel caso di 3 dadi, le tabelle vengono redatte meno frequentemente, poiché vi serviranno ben 6 pezzi (e non uno, come sopra), si arrangiano semplicemente cercando tra le combinazioni richieste.

Troviamo il numero totale di risultati dell'esperimento. I risultati possono essere rappresentati come triplette ordinate di numeri nella forma $(x,y,z)$, dove $x$ è il numero di punti caduti sul primo dado (da 1 a 6), $y$ è il numero di punti caduti sul secondo dado (da 1 a 6), $z$ - quanti punti sono usciti dal terzo dado (da 1 a 6). Ovviamente, il numero totale di tali triple di numeri sarà $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Ora selezioniamo i risultati che danno un totale di 15 punti.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Abbiamo ottenuto $m=3+6+1=10$ risultati. La probabilità richiesta è $P=10/216=0,046$.

Esempio 7. Si lanciano 2 dadi. Trova la probabilità che il primo dado tiri non più di 4 punti, a condizione che il numero totale di punti sia pari.

Il modo più semplice per risolvere questo problema è utilizzare nuovamente la tabella (tutto sarà chiaro), come prima. Scriviamo una tabella delle somme dei punti e selezioniamo solo le celle con valori pari:

Troviamo che, secondo le condizioni sperimentali, non ci sono 36, ma $n=18$ risultati (quando la somma dei punti è pari).

Ora da queste cellule Selezioniamo solo quelli che corrispondono all'evento “non più di 4 punti lanciati al primo dado” - ovvero, infatti, nelle celle nelle prime 4 righe della tabella (evidenziate in arancione), ci saranno $m= 12$.

La probabilità richiesta $P=12/18=2/3.$

Lo stesso compito può essere decidere diversamente utilizzando la formula della probabilità condizionata. Inseriamo gli eventi:
A = La somma del numero di punti è pari
B = Non più di 4 punti lanciati con il primo dado
AB = La somma dei punti è pari e con il primo dado non sono stati lanciati più di 4 punti
Quindi la formula per la probabilità desiderata ha la forma: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Trovare le probabilità. Il numero totale di risultati è $n=36$, per l'evento A il numero di risultati favorevoli (vedi tabelle sopra) è $m(A)=18$ e per l'evento AB - $m(AB)=12$. Otteniamo: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Le risposte erano le stesse.

Esempio 8. Il dado viene lanciato 4 volte. Trova la probabilità che un numero pari di punti appaia esattamente 3 volte.

Nel caso in cui i dadi lancia più volte e l'evento non riguarda la somma, il prodotto, ecc. caratteristiche integrali, ma solo circa numero di gocce di un certo tipo, puoi usarlo per calcolare la probabilità