Si lanciano 2 dadi e la probabilità è uguale. Risolvere i problemi del lancio dei dadi

Un altro problema popolare nella teoria della probabilità (insieme al problema del lancio della moneta) è problema del lancio dei dadi.

Di solito il compito suona così: vengono lanciati uno o più dadi (di solito 2, meno spesso 3). Devi trovare la probabilità che il numero di punti sia 4, o che la somma dei punti sia 10, o che il prodotto del numero di punti sia divisibile per 2, o che il numero di punti differisca per 3, e così via.

Il metodo principale per risolvere tali problemi è utilizzare la classica formula di probabilità, che analizzeremo utilizzando gli esempi di seguito.

Dopo aver familiarizzato con i metodi di soluzione, puoi scaricare una soluzione super utile per lanciare 2 dadi (con tabelle ed esempi).

Un dado

Con un dado la situazione è indecentemente semplice. Lascia che ti ricordi che la probabilità si trova con la formula $P=m/n$, dove $n$ è il numero di tutti i risultati elementari ugualmente possibili di un esperimento con il lancio di un cubo o di un dado, e $m$ è il numero di quegli esiti che favoriscono l’evento.

Esempio 1. Il dado viene lanciato una volta. Qual è la probabilità che sia successo numero pari occhiali?

Poiché il dado è un cubo (dicono anche dadi giusti, cioè il cubo è in equilibrio, quindi atterra su tutti i lati con la stessa probabilità), il cubo ha 6 facce (con un numero di punti da 1 a 6, solitamente indicato con punti), quindi numero totale risultati nel problema $n=6$. Gli unici risultati che favoriscono l'evento sono quando una squadra con 2, 4 o 6 punti (anche solo uno) cade; ci sono $m=3$ di tali parti; Allora la probabilità desiderata è pari a $P=3/6=1/2=0,5$.

Esempio 2. Si lanciano i dadi. Trova la probabilità di ottenere almeno 5 punti.

Ragioniamo allo stesso modo dell’esempio precedente. Il numero totale è possibili risultati quando si lancia un dado $n=6$, e la condizione “almeno 5 punti tirati”, cioè “5 o 6 punti tirati”, soddisfano 2 risultati, $m=2$. La probabilità richiesta è $P=2/6=1/3=0,333$.

Non vedo nemmeno il senso di fare ulteriori esempi, passiamo ai due dadi, dove tutto si fa più interessante e complicato.

Due dadi

Quando stiamo parlando sui problemi con il lancio di 2 dadi, molto comodo da usare tabella dei punti. Tracciamo orizzontalmente il numero di punti caduti sul primo dado e verticalmente il numero di punti caduti sul secondo dado. Otteniamo qualcosa del genere (di solito lo faccio in Excel, puoi scaricare il file):

Cosa c'è nelle celle della tabella, chiedi? E questo dipende da quale problema risolveremo. Ci sarà un compito sulla somma dei punti - scriveremo lì la somma, sulla differenza - scriveremo la differenza e così via. Iniziamo?

Esempio 3. Si lanciano 2 dadi contemporaneamente. Trova la probabilità che il totale sia inferiore a 5 punti.

Per prima cosa, diamo un'occhiata al numero totale di risultati dell'esperimento. quando lanciavamo un dado, tutto era ovvio, 6 facce - 6 risultati. Ci sono già due dadi qui, quindi i risultati possono essere rappresentati come coppie ordinate di numeri nella forma $(x,y)$, dove $x$ è quanti punti sono caduti sul primo dado (da 1 a 6), $ y$ è quanti punti sono caduti sul secondo dado (da 1 a 6). Ovviamente, il numero totale di tali coppie di numeri sarà $n=6\cdot 6=36$ (e corrispondono esattamente a 36 celle nella tabella dei risultati).

Ora è il momento di compilare la tabella. In ogni cella inseriamo la somma del numero di punti lanciati sul primo e sul secondo dado e otteniamo la seguente immagine:

Adesso questa tabella ci aiuterà a trovare il numero di esiti favorevoli all’evento “apparirà un totale inferiore a 5 punti”. Per fare ciò, contiamo il numero di celle in cui il valore della somma è inferiore a 5 (ovvero 2, 3 o 4). Per chiarezza, coloriamo queste celle, ci sarà $m=6$:

Allora la probabilità è uguale a: $P=6/36=1/6$.

Esempio 4. Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che il prodotto del numero di punti sia divisibile per 3.

Creiamo una tabella dei prodotti dei punti lanciati sul primo e sul secondo dado. Evidenziamo subito quei numeri che sono multipli di 3:

Non resta che scrivere che il numero totale di esiti è $n=36$ (vedi l'esempio precedente, il ragionamento è lo stesso), e il numero di esiti favorevoli (il numero di celle ombreggiate nella tabella sopra) è $m=20$. Allora la probabilità dell'evento sarà pari a $P=20/36=5/9$.

Come puoi vedere, questo tipo di problemi, con un’adeguata preparazione (vediamo un altro paio di problemi), possono essere risolti in modo semplice e veloce. Per varietà, eseguiamo un'altra attività con una tabella diversa (tutte le tabelle possono essere scaricate in fondo alla pagina).

Esempio 5. I dadi vengono lanciati due volte. Trova la probabilità che la differenza nel numero di punti sul primo e sul secondo dado sia compresa tra 2 e 5.

Scriviamo una tabella delle differenze di punteggio, evidenziamo le celle in cui il valore della differenza sarà compreso tra 2 e 5:

Pertanto, il numero totale di risultati elementari ugualmente possibili è $n=36$, e il numero di risultati favorevoli (il numero di celle ombreggiate nella tabella sopra) è $m=10$. Allora la probabilità dell'evento sarà pari a $P=10/36=5/18$.

Quindi, nel caso in cui parliamo di lanciare 2 dadi e un evento semplice, devi costruire una tabella, selezionare le celle necessarie al suo interno e dividere il loro numero per 36, questa sarà la probabilità. Oltre ai problemi su somma, prodotto e differenza del numero di punti, ci sono anche problemi sul modulo della differenza, sul numero più piccolo e su quello più grande dei punti estratti (trovi le tabelle adatte in).

Altri problemi su dadi e cubi

Naturalmente, la questione non si limita alle due classi di problemi relativi al lancio dei dadi discussi sopra (sono semplicemente quelli incontrati più frequentemente nei libri di problemi e nei manuali di formazione), ce ne sono altri. Per varietà e comprensione del metodo di soluzione approssimata, analizzeremo altri tre esempi tipici: per il lancio di 3 dadi, per la probabilità condizionata e per la formula di Bernoulli.

Esempio 6. Si lanciano 3 dadi. Trova la probabilità che il totale sia 15 punti.

Nel caso di 3 dadi, le tabelle vengono redatte meno spesso, poiché vi serviranno ben 6 pezzi (e non uno, come sopra), si arrangiano semplicemente cercando tra le combinazioni richieste.

Troviamo il numero totale di risultati dell'esperimento. I risultati possono essere rappresentati come triplette ordinate di numeri nella forma $(x,y,z)$, dove $x$ è il numero di punti caduti sul primo dado (da 1 a 6), $y$ è il numero di punti caduti sul secondo dado (da 1 a 6), $z$ - quanti punti sono usciti dal terzo dado (da 1 a 6). Ovviamente, il numero totale di tali triple di numeri sarà $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Ora selezioniamo i risultati che danno un totale di 15 punti.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Abbiamo ottenuto $m=3+6+1=10$ risultati. La probabilità desiderata è $P=10/216=0,046$.

Esempio 7. Si lanciano 2 dadi. Trova la probabilità che il primo dado tiri non più di 4 punti, a condizione che il numero totale di punti sia pari.

Il modo più semplice per risolvere questo problema è utilizzare nuovamente la tabella (tutto sarà chiaro), come prima. Scriviamo una tabella delle somme dei punti e selezioniamo solo le celle con valori pari:

Troviamo che, secondo le condizioni sperimentali, non ci sono 36, ma $n=18$ risultati (quando la somma dei punti è pari).

Ora da queste cellule Selezioniamo solo quelli che corrispondono all'evento “non più di 4 punti lanciati al primo dado” - ovvero, infatti, nelle celle nelle prime 4 righe della tabella (evidenziate in arancione), ci saranno $m= 12$.

La probabilità richiesta $P=12/18=2/3.$

Lo stesso compito può essere decidere diversamente utilizzando la formula della probabilità condizionata. Inseriamo gli eventi:
A = La somma del numero di punti è pari
B = Non più di 4 punti lanciati con il primo dado
AB = La somma dei punti è pari e con il primo dado non sono stati lanciati più di 4 punti
Quindi la formula per la probabilità desiderata ha la forma: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Trovare le probabilità. Il numero totale di risultati è $n=36$, per l'evento A il numero di risultati favorevoli (vedi tabelle sopra) è $m(A)=18$ e per l'evento AB - $m(AB)=12$. Otteniamo: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ Le risposte erano le stesse.

Esempio 8. Il dado viene lanciato 4 volte. Trova la probabilità che un numero pari di punti appaia esattamente 3 volte.

Nel caso in cui i dadi lancia più volte e l'evento non riguarda la somma, il prodotto, ecc. caratteristiche integrali, ma solo circa numero di gocce certo tipo, può essere utilizzato per calcolare la probabilità

Con la definizione classica, la probabilità di un evento è determinata dall'uguaglianza

dove m – il numero di esiti dei test elementari corrispondenti al verificarsi dell'evento A; N – il numero totale dei possibili esiti dei test elementari. Si presuppone che i risultati elementari siano gli unici possibili e ugualmente possibili.

La frequenza relativa dell'evento A è determinata dall'uguaglianza

dove m – il numero di prove in cui si è verificato l'evento A; N – numero totale di test eseguiti. Quando viene determinata statisticamente, la probabilità di un evento viene considerata pari alla sua frequenza relativa.

Esempio 1.1. Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sulle facce lanciate sia pari e che su almeno uno dei dadi appaia un sei.

Soluzione.Sul bordo caduto del “primo” dado possono apparire un punto, due punti,..., sei punti. Allo stesso modo, sono possibili sei risultati elementari quando si lancia il “secondo” dado. Ciascuno dei risultati del lancio del “primo” dado può essere combinato con ciascuno dei risultati del lancio del “secondo”. Pertanto, il numero totale di possibili risultati dei test elementari è 6∙6 = 36.

Risultati favorevoli per l'evento che ci interessa (su un lato apparirà almeno un sei, la somma dei punti lanciati è pari) sono i seguenti cinque risultati (il primo è il numero di punti caduti sul “primo” dado , il secondo è il numero di punti caduti sul “secondo” dado quindi la somma dei loro punti:

1.6, 2, 6 + 2 = 8,

2.6, 4, 6 + 4 = 10,

3.6, 6, 6 + 6 = 12.

4.2, 6, 2 + 6 = 8,

5.4, 6, 4 + 6 = 10.

La probabilità richiesta è pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli all’evento e il numero di tutti i possibili esiti elementari:

Problema 1.1Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sui lati eliminati sia sette.

Problema 1.2.Si lanciano due dadi. Trova la probabilità dei seguenti eventi: a) la somma dei punti estratti è otto e la differenza è quattro, b) la somma dei punti estratti è otto se è noto che la loro differenza è quattro.

Problema 1.3.Si lanciano due dadi. Trova la probabilità che la somma dei punti sui lati eliminati sia cinque e il prodotto sia quattro.

Problema 1.4. La moneta viene lanciata due volte. Trova la probabilità che lo stemma appaia almeno una volta.

Successivamente, considereremo un esempio in cui il numero di oggetti aumenta e, di conseguenza, aumenta sia il numero totale di risultati elementari che di risultati favorevoli, e il loro numero sarà già determinato dalle formule di combinazioni e posizionamenti.

Esempio 1.2 La scatola contiene 10 parti identiche, contrassegnate con i numeri 1, 2, ..., 10. 6 parti vengono estratte a caso. Trovare la probabilità che tra le parti estratte ci sia: a) la parte n. 1; b) parti n. 1 e n. 2.

Soluzione.Il numero totale di possibili risultati dei test elementari è pari al numero di modi (combinazioni) con cui si possono estrarre 6 parti da 10, cioè Dalle 6 alle 10.

a) Contiamo il numero degli esiti favorevoli all'evento di nostro interesse: tra le sei parti selezionate c'è la parte n. 1 e, quindi, le restanti 5 parti hanno numeri diversi. Il numero di tali risultati è ovviamente uguale al numero di modi in cui si possono selezionare 5 parti dalle rimanenti 9, cioè Dalle 5 alle 9 .

La probabilità richiesta è pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli all’evento in questione e il numero totale di possibili esiti elementari:

b) Il numero di esiti favorevoli all'evento di nostro interesse (tra le sei parti selezionate c'è la parte n. 1 e la parte n. 2, quindi le restanti 4 parti hanno numeri diversi) è pari al numero di modi in quali 4 parti possono essere selezionate dalle rimanenti 8, cioè Dalle 4 alle 8 .

Probabilità richiesta

Esempio 1.3 . Durante la composizione di un numero di telefono, l'abbonato ha dimenticato le ultime tre cifre e, ricordando solo che erano diverse, le ha composte a caso. Trovare la probabilità che vengano composti i numeri richiesti.

Soluzione.Il numero totale di possibili combinazioni elementari di tre elementi di 10 cifre, che differiscono sia nella composizione che nell'ordine delle cifre, è uguale al numero di posizionamenti di 10 cifre per 3, cioè A310.

Esito favorevole – uno.

Probabilità richiesta

Esempio 1.4. In un lotto di N parti ci sono n standard Selezionato a caso M dettagli. Trova la probabilità che tra quelle selezionate esattamente K parti standard.

Soluzione.Il numero totale dei possibili esiti elementari del test è pari al numero di modi in cui è possibile estrarli m parti da N parti, cioè Con mN – numero di combinazioni di N per m.

Contiamo il numero di esiti favorevoli all'evento che ci interessa (tra m parti esattamente k standard): k è possibile prelevare parti standard N parti standard C k n modi; mentre il resto m-k le parti devono essere non standard: prendilo m-k parti non standard da N–n è possibile prelevare parti non standard m - k N - n modi. Pertanto il numero di esiti favorevoli è pari a C k n С m - k N - n .

La probabilità richiesta è uguale a

Problema 1.5.Nel laboratorio lavorano 6 uomini e 4 donne. 7 persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tra le persone selezionate ci siano 3 donne.

Probabilità geometriche

Lasciamo il segmento lfa parte di un segmento l. Per un segmento lè stato fatto un punto a caso. Se assumiamo che la probabilità che un punto cada su un segmentolè proporzionale alla lunghezza di questo segmento e non dipende dalla sua posizione rispetto al segmentol, quindi la probabilità che un punto cada sul segmentolè determinato dall'uguaglianza

Lasciamo la figura piatta G fa parte di una figura piatta G. Per la figura G G Viene lanciato un punto a caso. Se assumiamo che la probabilità che un punto lanciato colpisca una figuraè proporzionale all'area di questa figura e non dipende dalla sua posizione rispetto a G, né dalla forma g, quindi la probabilità che un punto colpisca la figura è determinato dall'uguaglianza

G La probabilità che un punto cada in una figura spaziale viene determinata in modo simile v, che fa parte della figura

V: Esempio 1.5 Per il segmento L lunghezza 20 cm. Viene posizionato un segmento più piccolo l

lunghezza 10 cm. Trovare la probabilità che un punto posizionato a caso su un segmento grande cada anche su un segmento più piccolo.Soluzione

: Poiché la probabilità che un punto cada su un segmento è proporzionale alla sua lunghezza e non dipende dalla sua posizione, utilizzeremo la relazione sopra e troveremo: Esempio 1.6 In una circonferenza di raggio R viene posizionato un piccolo cerchio di raggio R

. Calcolare la probabilità che un punto lanciato a caso in un cerchio grande cada anche in un cerchio piccolo. Soluzione:

poiché la probabilità che un punto cada in un cerchio è proporzionale all'area del cerchio e non dipende dalla sua posizione, usiamo la relazione sopra e troviamo: Problema 1.6. All'interno del cerchio del raggio R

Viene lanciato un punto a caso. Trovare la probabilità che il punto si trovi all'interno del cerchio inscritto in: a) un quadrato; b) triangolo regolare. Si presume che la probabilità che un punto cada in una parte del cerchio sia proporzionale all'area di questa parte e non dipenda dalla sua posizione rispetto al cerchio. Il disco in rapida rotazione è diviso in un numero pari di settori uguali, colorati alternativamente bianco e nero. È stato sparato un colpo contro il disco. Trova la probabilità che il proiettile colpisca uno dei settori bianchi. Si presume che la probabilità di colpire una figura piatta sia proporzionale all'area di questa figura.

Teoremi di addizione e moltiplicazione di probabilità

CONposizione delle probabilità di eventi incompatibili. La probabilità che si verifichi uno dei due eventi incompatibili, qualunque sia, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Conseguenza. La probabilità che si verifichi uno dei diversi eventi incompatibili a coppie, non importa quale, è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

P(A1 + A2 +…+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).

Aggiunta di probabilità di eventi congiunti. La probabilità del verificarsi di almeno uno dei due eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza la probabilità del loro verificarsi congiunto:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Il teorema può essere generalizzato a qualsiasi numero finito di eventi congiunti. Ad esempio, per tre eventi congiunti:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Teorema per la moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti. La probabilità di due co-occorrenze eventi indipendenti pari al prodotto delle probabilità di questi eventi:

P(AB) = P(A)*P(B).

Conseguenza. La probabilità del verificarsi congiunto di più eventi indipendenti nel complesso è pari al prodotto delle probabilità di questi eventi:

P(A1A2…An) = P(A1)*P(A2)…P(An).

Teorema per la moltiplicazione delle probabilità di eventi dipendenti. La probabilità del verificarsi congiunto di due eventi dipendenti è pari al prodotto di uno di essi per la probabilità condizionata del secondo:

P(AB) = P(A)*PA(B),

P(AB) = P(B)*PB(A).

Conseguenza. La probabilità del verificarsi congiunto di più eventi dipendenti è uguale al prodotto di uno di essi per le probabilità condizionate di tutti gli altri, e la probabilità di ciascuno successivo è calcolata presupponendo che tutti gli eventi precedenti siano calcolati presupponendo che tutti gli eventi precedenti sono già accaduti:

P(A1A2…An) = P(A1)*PA1(A2)*PA1A2(A3)…PA1A2…An-1(An),

dove RA1A2...An-1(An) è la probabilità dell'evento An, calcolata assumendo che si siano verificati gli eventi A1A2...An-1.

Esempio 1.7. Su uno scaffale della biblioteca ci sono 15 libri di testo disposti in modo casuale, 5 dei quali sono rilegati. Il bibliotecario prende 3 libri di testo a caso. Trovare la probabilità che almeno uno dei libri di testo presi venga rilegato (evento A).

Soluzione. Il requisito che almeno uno dei libri di testo prelevati sia rilegato sarà soddisfatto se si verifica uno dei seguenti tre eventi incompatibili: B - un libro di testo rilegato, due senza rilegatura, C - due libri di testo rilegati, uno senza rilegatura, D - tre libri di testo in limite.

L'evento A che ci interessa (almeno uno dei tre libri di testo rilegati presi) può essere rappresentato come la somma di tre eventi:

A = B + C + D.

Per il teorema di addizione di eventi incompatibili

p(A) = p(B) + p(C) + p(D) (1).

Troviamo le probabilità degli eventi B, C e D (vedi soluzione dell'esempio 1.4.):

Sostituendo queste probabilità nell'uguaglianza (1), otteniamo finalmente

p(A) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.

Esempio 1.8. Quanti dadi devono essere lanciati affinché, con una probabilità inferiore a 0,3, ci si possa aspettare che non escano 6 punti su nessuna delle facce lanciate?

Soluzione. Introduciamo le designazioni degli eventi: A – 6 punti non appariranno su nessuno dei lati eliminati; Аi – 6 punti non appariranno sul lato lanciato del dado i-esimo (i = 1, 2, …n).

L'evento A che ci interessa è costituito da una combinazione di eventi

A1, A2, …, An

cioè A = A1A2…An.

La probabilità che su qualsiasi lato caduto appaia un numero diverso da sei è uguale a

p(Ai) = 5/6.

Gli eventi Ai sono collettivamente indipendenti, quindi vale il teorema della moltiplicazione:

р(А) = р(А1А2…Аn) = р(А1)*р(А2)*…р(Аn) = (5/6)n.

Per condizione (5/6)n< 0,3. Следовательно n*log(5/6) < log0,3, отсюда найдем n >6.6. Pertanto, il numero richiesto di dadi è n ≥ 7.

Esempio 1.9. Nella sala lettura sono presenti 6 libri di testo sulla teoria della probabilità, di cui 3 rilegati. Il bibliotecario prese due libri di testo a caso. Trova la probabilità che entrambi i libri di testo siano rilegati.

Soluzione. Introduciamo le designazioni degli eventi: A – il primo libro di testo preso è rilegato, B – il secondo libro di testo è rilegato.

La probabilità che il primo libro di testo sia rilegato è

p(A) = 3/6 = 1/2.

La probabilità che venga rilegato il secondo libro di testo, a condizione che il primo libro di testo preso sia stato rilegato, ovvero la probabilità condizionata dell'evento B è pari a:

pA(B) = 2/5.

La probabilità desiderata che entrambi i libri di testo siano rilegati, secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi dipendenti, è pari a

p(AB) = p(A)*pA(B) = 1/2*2/5 = 0,2.

Problema 1.8 Due tiratori stanno sparando al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con un colpo è 0,7 per il primo cacciatore e 0,8 per il secondo. Trova la probabilità che con un tiro al volo solo uno dei cacciatori colpisca il bersaglio.

Problema 1.9. Lo studente cerca la formula di cui ha bisogno in tre libri di consultazione. Le probabilità che la formula sia contenuta nel primo, secondo, terzo libro di consultazione sono rispettivamente pari a 0,6; 0,7; 0,8. Trovare la probabilità che la formula sia contenuta: a) in un solo libro di consultazione; b) solo in due directory; c) in tutti i libri di consultazione.

Problema 1.10 . Nel laboratorio lavorano 7 uomini e 3 donne. 3 persone sono state selezionate a caso utilizzando i loro numeri di personale. Trova la probabilità che tutte le persone selezionate siano uomini.

Poi condusse lo stesso esperimento con tre dadi. Su un pezzo di carta ho scritto in colonna i numeri da 3 a 18. Questi sono gli importi che possono apparire lanciando tre dadi. Ho fatto 400 lanci. Ho calcolato il risultato e l'ho inserito nella tabella. (Appendice 3 e 4) Le somme 10 e 11 compaiono più spesso.

Ho condotto un altro esperimento con quattro dadi. La colonna conteneva numeri da 4 a 24. Questi sono gli importi che possono apparire lanciando quattro dadi. Ho fatto di nuovo 400 colpi. Ho calcolato il risultato e l'ho inserito nella tabella. (Appendice 5 e 6) La somma 14 viene lanciata più spesso.

Poi ho deciso di fare i conti. Ho creato una tabella per due dadi e l'ho compilata. (Appendice 7) Ho ottenuto il risultato che la somma di sette esce più spesso. (Appendice 8). Sei volte su trentasei casi. Per prima cosa ho fatto gli stessi calcoli matematici per tre dadi. (Appendice 9) Le somme che escono più spesso sono 10 e 11. Si tratta di 27 casi su 216. E i numeri meno probabili che escono sono 3 e 18, solo 1 caso su 216. (Appendice 10) E poi per quattro dadi. (Appendice 11) Ci sono un totale di 1296 casi. La somma più comune è 14, ovvero 146 casi su 1296. E la somma meno comune è 4 e 24, solo 1 caso su 1296. (Appendice 12).

Ho trovato una descrizione dei trucchi con i dadi. Sono rimasto sorpreso dalla semplicità e dall'originalità di alcuni trucchi. L'ordine accettato dei segni sui lati dei dadi è la base di molti trucchi con i dadi. E ho provato a fare diversi trucchi. Sono riuscito. Ma per portarli a termine con successo, bisogna contare velocemente e bene.

Un trucco è un trucco abile basato sull'inganno dell'occhio con l'aiuto di tecniche abili e veloci. Il trucco è sempre seminascosto allo spettatore: sa che esiste un segreto, ma lo immagina come qualcosa di irreale, di incomprensibile. I trucchi matematici sono una sorta di dimostrazione delle leggi matematiche.

Il successo di ogni trucco dipende da una buona preparazione e allenamento, dalla facilità di esecuzione di ciascun numero, dal calcolo accurato e dall'uso abile delle tecniche necessarie per eseguire il trucco. Tali trucchi fanno una grande impressione sul pubblico e lo affascinano.

Focus 1. “Indovinare l’importo”

Il manifestante volta le spalle al pubblico e in questo momento uno di loro lancia tre dadi sul tavolo. Allo spettatore viene poi chiesto di sommare i tre numeri estratti, prendere un dado qualsiasi e aggiungere il numero riportato sul lato inferiore al totale appena ottenuto. Quindi lancia nuovamente lo stesso dado e aggiungi nuovamente il numero che esce al totale. Il dimostratore attira l'attenzione del pubblico sul fatto che non può in alcun modo sapere quale dei tre dadi è stato lanciato due volte, poi raccoglie i dadi, li agita in mano e nomina subito correttamente l'importo finale.

Spiegazione. Prima di raccogliere i dadi, la persona che mostra somma i numeri scoperti. Aggiungendo sette alla somma risultante, trova la somma finale.

Questo trucco si basa sulla proprietà della somma dei numeri sulle facce opposte: è sempre uguale a sette.

Capitolo 2. Il segreto dei dadi

2.1. Calcola il risultato

Per scoprire quale importo esce più spesso lanciando due, tre, quattro, ecc. Dadi, ho condotto diversi esperimenti.

Prima di iniziare il lavoro, ho compilato una tabella per inserire i dati. La colonna contiene i numeri da 2 a 12. Questi sono gli importi che possono apparire quando si lanciano due dadi. Sulla superficie liscia del tavolo, in modo che non ci fossero interferenze esterne, iniziò a lanciare i dadi. Ogni tentativo è stato contrassegnato di fronte al numero dell'importo perso, con una linea verticale.

Esperimento 1:

1) Prendo due dadi e un bicchiere.

Ripeto l'esperimento 400 volte.

L'esperimento ha aiutato a scoprire quale somma esce più spesso lanciando due dadi. (Appendice 1 e 2)

Ho condotto l'Esperimento 2 con tre dadi per scoprire quale importo apparirà più spesso ora.

Esperimento 2:

1) Prendo tre dadi e un bicchiere.

2) Scuoto il bicchiere con il dado.

3) Lancio i dadi sul tavolo.

4) Calcolo l'importo e lo segno nella tabella.

Ripeto l'esperimento 400 volte.

L'esperimento ha aiutato a scoprire quale somma esce più spesso lanciando tre dadi. (Appendice 3 e 4)

L'esperimento mi ha aiutato a assicurarmi che quando lanciavo tre dadi, l'importo che usciva era diverso rispetto a quando lanciavi due dadi.

Ho condotto l'Esperimento 3 con quattro dadi per vedere la dinamica dei cambiamenti.

Prima di iniziare il lavoro, ho nuovamente compilato una tabella per inserire i dati.

Esperimento 3:

1) Prendo quattro dadi e un bicchiere.

2) Scuoto il bicchiere con il dado.

3) Lancio i dadi sul tavolo.

4) Calcolo l'importo e lo segno nella tabella.

Ripeto l'esperimento 400 volte.

L'esperimento mi ha aiutato a garantire che quando vengono lanciati quattro dadi, l'importo che esce è di nuovo diverso. (Appendice 5 e 6)

Dopo aver esaminato i risultati degli esperimenti, mi è diventato chiaro perché gli importi più vicini al centro della tabella compaiono più spesso. Dopotutto, la somma dei numeri sui lati opposti è sempre uguale a sette. Pertanto, quando si lanciano i dadi, è più probabile che appaia un importo vicino a questo valore medio.

2.2. Confrontando i risultati

Confrontando i risultati degli esperimenti con i dadi (Appendici 1 - 6) e i risultati dei calcoli matematici (Appendici 7 - 12), ho notato che l'importo più vicino al centro cade più spesso. Quindi ho trovato la media somma aritmetica numeri sulle facce dei dadi. (1+2+3+4+5+6): 6 = 3,5. Il risultato è stato 3,5. Ho quindi moltiplicato questo numero per il numero di dadi. Se prendi due dadi, il prodotto sarà 3,5 · 2 = 7. Il numero sette è il numero che esce più spesso quando si lanciano due dadi. Se prendiamo tre dadi, otteniamo 3,5 · 3 = 10,5. E poiché il numero deve essere intero, vengono presi due numeri adiacenti. Questi numeri sono 10 e 11, appaiono più spesso quando si lanciano tre dadi. Per qualsiasi numero di dadi, puoi calcolare il numero che appare più spesso utilizzando la formula 3.5 N , (Dove N- numero di dadi). Inoltre, se N numero dispari, quindi vengono presi due numeri adiacenti per determinare il numero che appare più spesso quando si lanciano i dadi.

Ho rivisto biblico disegno e ho trovato una discrepanza. Due dadi hanno segni errati. Poiché la somma dei numeri sui lati opposti deve essere uguale a sette. E su uno dei dadi ce ne sono tre sul lato superiore e quattro sul lato, anche se quattro dovrebbero essere sul lato inferiore. Sugli altri dadi, sul lato superiore ce ne sono cinque, e sul lato ce ne sono due. O forse è perché in quella zona veniva adottata una marcatura diversa sui dadi.

Conclusione

Nel mio lavoro ho imparato il segreto dei dadi. Questo segreto si trova sulla superficie dei dadi stessi. Il segreto sta nella disposizione dei contrassegni. La somma dei numeri sui lati opposti è sempre sette. Attraverso esperimenti e calcoli matematici, ho trovato l'importo che esce più spesso quando si lanciano i dadi e che dipende dal numero di dadi. Questo importo può essere scritto come una formula 3,5 · N, Dove N numero di dadi. Durante le ricerche su questo argomento, ho appreso che i dadi hanno avuto origine intorno al 3000 a.C. Luoghi in cui sono stati trovati archeologi i soggetti più antichi del gioco sono l'Egitto, l'Iran, l'Iraq e l'India. Ho imparato a conoscere la varietà di forme e tipi di dadi. E anche dove vengono utilizzati i dadi e le proprietà che hanno. Non ho considerato affatto l'argomento della risoluzione dei problemi. È solo che la teoria della probabilità mi risulta ancora difficile. Ma spero di ritornarci ancora.

Molti grandi matematici tempi differenti risolto i problemi con i dadi. Ma non sono riuscito a trovare l'autore della formula per trovare la somma più grande lanciando i dadi. Forse non ho cercato abbastanza a lungo. Ma continuerò a cercare. Mi interessa sapere chi per primo ha inventato questa formula.

Bibliografia

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11. Dizionario parole straniere[Risorsa elettronica] http:///search

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13. Shen A. Probabilità: esempi e problemi. - M.: Casa editrice MTsNMO, 2008. – 64 p.

14. Problemi di Yakovlev con i dadi nello studio degli elementi della teoria della probabilità [risorsa elettronica] http://festival.1settembre. ru/articoli/517883/

15. Yakovleva e trucchi divertenti con i dadi [risorsa elettronica] http://festival.1september. ru/articoli/624782/

Appendice 1. Risultati del lancio di 2 dadi

Appendice 2. Risultati del lancio di 2 dadi

Indietro avanti

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Tecnologie educative : Tecnologia dell'insegnamento esplicativo e illustrato, tecnologia informatica, approccio all'apprendimento centrato sulla persona, tecnologie salva-salute.

Tipo di lezione: lezione sull'acquisizione di nuove conoscenze.

Durata: 1 lezione.

Grado: 8° grado.

Obiettivi della lezione:

Educativo:

ripetere le abilità di utilizzo della formula per trovare la probabilità di un evento e insegnare come usarla nei problemi con i dadi;
condurre un ragionamento dimostrativo durante la risoluzione dei problemi, valutare la correttezza logica del ragionamento, riconoscere il ragionamento logicamente errato.

Educativo:

sviluppare abilità nella ricerca, elaborazione e presentazione delle informazioni;
sviluppare la capacità di confrontare, analizzare e trarre conclusioni;
sviluppare capacità di osservazione e comunicazione.

Educativo:

coltivare l'attenzione e la perseveranza;
per formare una comprensione del significato della matematica come modo di comprendere il mondo che ci circonda.

Materiale didattico: computer, multimedia, pennarelli, fotocopiatore mimio (o lavagna interattiva), busta (contiene un compito per l'esercitazione pratica, compiti a casa, tre carte: gialla, verde, rossa), modelli di dadi.

Piano di lezione

Organizzare il tempo.

Nella lezione precedente abbiamo appreso la classica formula della probabilità.

La probabilità P del verificarsi di un evento casuale A è il rapporto tra m e n, dove n è il numero di tutti i possibili risultati dell'esperimento e m è il numero di tutti i risultati favorevoli.

La formula è la cosiddetta definizione classica di probabilità secondo Laplace, che proveniva dal campo del gioco d'azzardo, dove la teoria della probabilità veniva utilizzata per determinare la prospettiva di vincita. Questa formula viene utilizzata per esperimenti con un numero finito di risultati ugualmente possibili.

Probabilità di un evento = Numero di esiti favorevoli/numero di tutti gli esiti ugualmente possibili

Quindi la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1.

La probabilità è 0 se l'evento è impossibile.

La probabilità è 1 se l'evento è certo.

Risolviamo il problema oralmente: su uno scaffale ci sono 20 libri, 3 dei quali sono libri di consultazione. Qual è la probabilità che un libro preso da uno scaffale non sia un libro di consultazione?

Soluzione:

Il numero totale di risultati ugualmente possibili è 20

Numero di esiti favorevoli – 20 – 3 = 17

Risposta: 0,85.

2. Acquisire nuove conoscenze.

Ora torniamo all'argomento della nostra lezione: “Probabilità degli eventi”, segniamolo sui nostri quaderni.

Scopo della lezione: imparare a risolvere i problemi sulla ricerca della probabilità quando si lancia un dado o 2 dadi.

Il nostro argomento di oggi è legato ai dadi o è anche chiamato dadi. I dadi sono conosciuti fin dall'antichità. Il gioco dei dadi è uno dei più antichi; i primi prototipi di dadi sono stati rinvenuti in Egitto e risalgono al XX secolo a.C. e. Esistono molte varietà, da quelle semplici (vince il lanciatore grande quantità punti) a quelli complessi, in cui è possibile utilizzare varie tattiche di gioco.

Le ossa più antiche risalgono al XX secolo a.C. e., scoperto a Tebe. Inizialmente, le ossa servivano come strumenti per predire il futuro. Secondo gli scavi archeologici, i dadi venivano giocati ovunque in tutti gli angoli del globo. Il nome deriva dal materiale originale: ossa di animali.

Gli antichi greci credevano che i Lidi avessero inventato le ossa, sfuggendo alla fame, per occupare almeno la loro mente con qualcosa.

Il gioco dei dadi si rifletteva nell'antica mitologia egiziana, greco-romana e vedica. Menzionato nella Bibbia, “Iliade”, “Odissea”, “Mahabharata”, la raccolta di inni vedici “Rigveda”. Nei pantheon degli dei, almeno un dio era il proprietario dei dadi come attributo integrale http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

Dopo la caduta dell'Impero Romano, il gioco si diffuse in tutta Europa, ed era particolarmente popolare durante il Medioevo. Poiché i dadi venivano usati non solo per giocare, ma anche per predire il futuro, la chiesa tentò ripetutamente di vietare il gioco e per questo scopo furono inventate le punizioni più sofisticate, ma tutti i tentativi finirono con un fallimento;

Secondo i dati archeologici, anche nella Rus' pagana si giocava a dadi. Dopo il battesimo, la Chiesa ortodossa cercò di sradicare il gioco, ma tra la gente comune rimase popolare, a differenza dell'Europa, dove l'alta nobiltà e persino il clero erano colpevoli di giocare a dadi.

Guerra dichiarata dalle autorità paesi diversi Il gioco dei dadi ha dato origine a molti trucchi diversi.

Nell'età dell'Illuminismo, l'hobby del gioco dei dadi iniziò gradualmente a diminuire, le persone svilupparono nuovi hobby e si interessarono sempre più alla letteratura, alla musica e alla pittura. Al giorno d'oggi, il gioco dei dadi non è così diffuso.

I dadi corretti forniscono la stessa possibilità di ottenere una parte. Per fare ciò, tutti i bordi devono essere uguali: lisci, piatti, avere la stessa area, arrotondamenti (se presenti), i fori devono essere praticati alla stessa profondità. La somma dei punti sui lati opposti è 7.

Un dado matematico, utilizzato nella teoria della probabilità, è un'immagine matematica di un dado normale. Matematico l'osso non ha dimensione, colore, peso, ecc.

Quando si lancia giocando ossa(cubo) una qualsiasi delle sue sei facce può cadere, ad es. qualsiasi eventi- perdita da 1 a 6 punti (punti). Ma nessuno due e più volti non possono apparire contemporaneamente. Come eventi sono detti incompatibili.

Consideriamo il caso in cui viene lanciato 1 dado. Facciamo il numero 2 sotto forma di tabella.

Consideriamo ora il caso in cui vengono lanciati 2 dadi.

Se il primo dado lancia un punto, il secondo dado può lanciare 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otteniamo le coppie (1;1), (1;2), (1;3), (1 ;4), (1;5), (1;6) e così via per ciascuna faccia. Tutti i casi possono essere presentati sotto forma di tabella di 6 righe e 6 colonne:

Tabella degli eventi elementari

C'è una busta sulla tua scrivania.

Prendi il foglio con i compiti dalla busta.

Ora completerai un compito pratico utilizzando la tabella degli eventi elementari.

Mostra con ombreggiatura gli eventi che favoriscono gli eventi:

Compito 1. “Lo stesso numero di punti è caduto”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Compito 2. “La somma dei punti è 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Compito 3. "La somma dei punti non è inferiore a 7."

Cosa significa “niente di meno”? (La risposta è “maggiore o uguale a”)

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Ora troviamo le probabilità degli eventi per i quali lavoro pratico Gli eventi favorevoli sono stati oscurati.

Scriviamolo sui quaderni n. 3

Esercizio 1.

Numero totale di risultati - 36

Risposta: 1/6.

Compito 2.

Numero totale di risultati - 36

Numero di esiti favorevoli - 6

Risposta: 1/6.

Compito 3.

Numero totale di risultati - 36

Numero di esiti favorevoli - 21

P = 21/36=7/12.

Risposta: 7/12.

№4. Sasha e Vlad stanno giocando a dadi. Tutti lanciano il dado due volte. Vince quello con il maggior numero di punti. Se i punti sono pari, la partita finisce in pareggio. Sasha è stato il primo a lanciare i dadi e ha ottenuto 5 punti e 3 punti. Ora Vlad lancia i dadi.

a) Nella tabella degli eventi elementari, indicare (ombreggiando) gli eventi elementari che favoriscono l’evento “Vlad vincerà”.

b) Trovare la probabilità dell'evento “Vlad vincerà”.