La probabilità di un evento casuale è. Indipendenza dagli eventi

In economia, come in altri ambiti dell’attività umana o della natura, dobbiamo costantemente confrontarci con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di un prodotto dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori che è quasi impossibile prendere in considerazione. Pertanto, quando si organizza la produzione e si effettuano le vendite, è necessario prevedere il risultato di tali attività sulla base della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, che in larga misura si basa anche su dati sperimentali.

Per valutare in qualche modo l'evento in questione, è necessario tenere conto o organizzare appositamente le condizioni in cui viene registrato questo evento.

Viene chiamata l'implementazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione esperienza O sperimentare.

L'evento è chiamato casuale, se in seguito all'esperienza ciò può o meno verificarsi.

L'evento è chiamato affidabile, se appare necessariamente come risultato di una determinata esperienza, e impossibile, se non può apparire in questa esperienza.

Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento affidabile. Le nevicate all'equatore possono essere considerate un evento impossibile.

Uno dei compiti principali della teoria della probabilità è il compito di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.

Algebra degli eventi

Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre automobili nello stesso negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.

Quantità eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi

Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti nel negozio.

Il lavoro events è un evento costituito dal verificarsi simultaneo di tutti questi eventi

Un evento consistente nella comparsa contemporanea di due beni in un negozio è il prodotto di eventi: - la comparsa di un prodotto, - la comparsa di un altro prodotto.

Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi è sicuro che si verifichi nell'esperienza.

Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per la ricezione delle navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave ad uno degli ormeggi, - la presenza di due navi a due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.

Opposto vengono chiamati due unici eventi possibili che formano un gruppo completo.

Se uno degli eventi opposti è indicato con , allora l'evento opposto è solitamente indicato con .

Definizioni classiche e statistiche di probabilità degli eventi

Ciascuno dei risultati ugualmente possibili dei test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono designati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Possono esserci un totale di sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.

Da risultati elementari è possibile creare un evento più complesso. Pertanto, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.

Una misura quantitativa della possibilità che si verifichi l'evento in questione è la probabilità.

Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono: classico E statistico.

La definizione classica di probabilità è associata al concetto di esito favorevole.

Il risultato è chiamato favorevole ad un dato evento se il suo verificarsi comporta il verificarsi di questo evento.

Nell'esempio sopra, l'evento in questione – un numero pari di punti sul lato lanciato – ha tre risultati favorevoli. In questo caso, il generale
numero di possibili risultati. Ciò significa che qui può essere utilizzata la definizione classica di probabilità di un evento.

Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti possibili

dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli all'evento, è il numero totale di esiti possibili.

Nell'esempio considerato

La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.

La frequenza relativa del verificarsi di un evento viene calcolata utilizzando la formula

dove è il numero di occorrenze di un evento in una serie di esperimenti (test).

Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero attorno al quale si stabilizza (si fissa) la relativa frequenza con un aumento illimitato del numero di esperimenti.

Nei problemi pratici, la probabilità di un evento viene considerata la frequenza relativa di un numero sufficientemente ampio di prove.

Da queste definizioni della probabilità di un evento è chiaro che la disuguaglianza è sempre soddisfatta

Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), vengono spesso utilizzate formule combinatorie, che vengono utilizzate per trovare il numero di risultati favorevoli e il numero totale di risultati possibili.

Quando si valuta la probabilità del verificarsi di un evento casuale, è molto importante capire bene se la probabilità (probabilità di un evento) del verificarsi dell'evento che ci interessa dipende da come si sviluppano altri eventi. Nel caso dello schema classico, quando tutti gli esiti sono ugualmente probabili, possiamo già stimare in maniera indipendente i valori di probabilità del singolo evento di nostro interesse. Possiamo farlo anche se l'evento è una raccolta complessa di diversi risultati elementari. Cosa succede se si verificano più eventi casuali contemporaneamente o in sequenza? In che modo ciò influisce sulla probabilità che si verifichi l’evento che ci interessa? Se lancio un dado più volte e voglio che esca un sei, e continuo a essere sfortunato, significa che dovrei aumentare la mia scommessa perché, secondo la teoria della probabilità, sto per essere fortunato? Ahimè, la teoria della probabilità non afferma nulla del genere. Né i dadi, né le carte, né le monete ricordano cosa ci hanno mostrato l'ultima volta. A loro non importa affatto se è la prima o la decima volta che metto alla prova la fortuna oggi. Ogni volta che ripeto il tiro, so solo una cosa: e questa volta la probabilità di ottenere un sei è nuovamente un sesto. Naturalmente questo non significa che il numero di cui ho bisogno non uscirà mai. Ciò significa solo che la mia perdita dopo il primo lancio e dopo ogni altro lancio sono eventi indipendenti. Gli eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno di essi non influenza in alcun modo la probabilità dell'altro evento. Ad esempio, le probabilità di colpire un bersaglio con la prima delle due armi non dipendono dal fatto che il bersaglio sia stato colpito dall'altra arma, quindi gli eventi “la prima arma ha colpito il bersaglio” e “la seconda arma ha colpito il bersaglio” sono indipendente. Se due eventi A e B sono indipendenti e la probabilità di ciascuno di essi è nota, allora la probabilità del verificarsi simultaneo sia dell'evento A che dell'evento B (indicato con AB) può essere calcolata utilizzando il seguente teorema.

Teorema della moltiplicazione delle probabilità per eventi indipendenti

P(AB) = P(A)*P(B) la probabilità del verificarsi contemporaneo di due eventi indipendenti è pari al prodotto delle probabilità di questi eventi.

Esempio 1. Le probabilità di colpire il bersaglio sparando con il primo e il secondo cannone sono rispettivamente uguali: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Trova la probabilità che entrambe le armi vadano a segno con una salva simultaneamente.

come abbiamo già visto, gli eventi A (colpito dal primo cannone) e B (colpito dal secondo cannone) sono indipendenti, cioè P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Cosa succede alle nostre stime se gli eventi iniziali non sono indipendenti? Modifichiamo un po' l'esempio precedente. Esempio 2.

Due tiratori sparano ai bersagli di una competizione e, se uno di loro tira con precisione, l'avversario inizia a innervosirsi e i suoi risultati peggiorano. Come trasformare questa situazione quotidiana in un problema matematico e delineare le modalità per risolverlo? È intuitivamente chiaro che è necessario separare in qualche modo le due opzioni per lo sviluppo degli eventi, per creare essenzialmente due scenari, due compiti diversi. Nel primo caso, se l'avversario sbaglia, lo scenario sarà favorevole per l'atleta nervoso e la sua precisione sarà maggiore. Nel secondo caso, se l'avversario ha colto l'occasione decentemente, la probabilità di centrare il bersaglio per il secondo atleta diminuisce.

Per separare i possibili scenari (spesso chiamati ipotesi) per lo sviluppo degli eventi, utilizzeremo spesso un diagramma “albero delle probabilità”. Questo diagramma ha un significato simile all'albero decisionale con cui probabilmente hai già avuto a che fare. Ogni ramo rappresenta uno scenario separato per lo sviluppo degli eventi, solo che ora ha il proprio valore della cosiddetta probabilità condizionale (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). Questo schema è molto conveniente per analizzare eventi casuali sequenziali. Resta ancora da chiarire un’altra questione importante: da dove provengono le probabilità iniziali nelle situazioni reali? Dopotutto, la teoria della probabilità non funziona solo con monete e dadi? Di solito queste stime sono tratte dalle statistiche e, quando le informazioni statistiche non sono disponibili, conduciamo le nostre ricerche. E spesso non dobbiamo iniziare con la raccolta dei dati, ma con la domanda su quali informazioni abbiamo effettivamente bisogno.

Esempio 3.

Diciamo che dobbiamo stimare in una città con una popolazione di centomila abitanti il ​​volume di mercato di un nuovo prodotto che non sia un bene essenziale, ad esempio un balsamo per la cura dei capelli colorati. Consideriamo il diagramma "albero delle probabilità". In questo caso dobbiamo stimare approssimativamente il valore di probabilità su ciascun “ramo”. Quindi, le nostre stime della capacità del mercato:

3) di loro solo il 10% utilizza balsami per capelli colorati,

4) di loro, solo il 10% riesce a trovare il coraggio di provare un nuovo prodotto,

5) Il 70% di loro solitamente acquista tutto non da noi, ma dai nostri concorrenti.

Secondo la legge della moltiplicazione delle probabilità, determiniamo la probabilità dell'evento che ci interessa A = (un residente della città acquista da noi questo nuovo balsamo) = 0,00045. Moltiplichiamo questo valore di probabilità per il numero di residenti della città. Di conseguenza abbiamo solo 45 potenziali clienti e, considerando che una bottiglia di questo prodotto dura diversi mesi, il commercio non è molto vivace. Eppure c’è qualche vantaggio dalle nostre valutazioni. In primo luogo, possiamo confrontare le previsioni di diverse idee imprenditoriali; avranno diverse “forchette” nei diagrammi e, ovviamente, anche i valori di probabilità saranno diversi. In secondo luogo, come abbiamo già detto, una variabile casuale non è detta casuale perché non dipende da nulla. Il suo significato esatto semplicemente non è noto in anticipo. Sappiamo che è possibile aumentare il numero medio di acquirenti (ad esempio pubblicizzando un nuovo prodotto). Ha quindi senso concentrare i nostri sforzi su quelle “forchette” dove la distribuzione di probabilità non ci soddisfa particolarmente, su quei fattori che siamo in grado di influenzare. Diamo un'occhiata a un altro esempio quantitativo di ricerca sul comportamento dei consumatori.

Per separare i possibili scenari (spesso chiamati ipotesi) per lo sviluppo degli eventi, utilizzeremo spesso un diagramma “albero delle probabilità”. Questo diagramma ha un significato simile all'albero decisionale con cui probabilmente hai già avuto a che fare. Ogni ramo rappresenta uno scenario separato per lo sviluppo degli eventi, solo che ora ha il proprio valore della cosiddetta probabilità condizionale (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1). In media, 10.000 persone visitano il mercato alimentare al giorno. La probabilità che un visitatore del mercato entri nel padiglione dei latticini è 1/2. È noto che in questo padiglione vengono venduti in media 500 kg di prodotti vari al giorno. Possiamo dire che l'acquisto medio nel padiglione pesa solo 100 g?

Discussione.

Ovviamente no. È chiaro che non tutti quelli che sono entrati nel padiglione hanno finito per comprare qualcosa lì.

Come mostrato nel diagramma, per rispondere alla domanda sul peso medio di un acquisto, dobbiamo trovare la risposta alla domanda: qual è la probabilità che una persona che entra nel padiglione compri qualcosa lì. Se non disponiamo di tali dati, ma ne abbiamo bisogno, dovremo procurarceli noi stessi osservando per qualche tempo i visitatori del padiglione. Diciamo che le nostre osservazioni hanno mostrato che solo un quinto dei visitatori del padiglione acquista qualcosa.

Una volta ottenute queste stime, il compito diventa semplice. Su 10.000 persone che verranno al mercato, 5.000 si recheranno al padiglione dei latticini, si faranno solo 1.000 acquisti. Il peso medio degli acquisti è di 500 grammi. È interessante notare che per costruire un quadro completo di ciò che sta accadendo, la logica della “ramificazione” condizionale deve essere definita in ogni fase del nostro ragionamento con la stessa chiarezza come se stessimo lavorando con una situazione “specifica”, e non con probabilità.

Compiti di autotest.

1. Sia un circuito elettrico costituito da n elementi collegati in serie, ciascuno dei quali funziona indipendentemente dagli altri. La probabilità p di guasto di ciascun elemento è nota. Determinare la probabilità di corretto funzionamento dell'intera sezione del circuito (evento A).

2. Lo studente conosce 20 delle 25 domande dell'esame. Trovare la probabilità che lo studente conosca le tre domande poste dall'esaminatore.

3. La produzione è composta da quattro fasi successive, in ciascuna delle quali funzionano le apparecchiature, per le quali le probabilità di guasto nel mese successivo sono pari rispettivamente a p 1, p 2, p 3 e p 4. Trovare la probabilità che in un mese non si verifichino interruzioni della produzione dovute a guasti alle apparecchiature.

Inizialmente, essendo solo una raccolta di informazioni e osservazioni empiriche sul gioco dei dadi, la teoria della probabilità divenne una scienza completa. I primi a dargli un quadro matematico furono Fermat e Pascal.

Dalla riflessione sull'eterno alla teoria della probabilità

Grazie alla passione del Cavaliere di Mere, che era allo stesso tempo giocatore d'azzardo e uomo non indifferente alla scienza, Pascal fu costretto a trovare un modo per calcolare le probabilità. De Mere era interessato alla seguente domanda: "Quante volte è necessario lanciare due dadi in coppia affinché la probabilità di ottenere 12 punti superi il 50%?" La seconda domanda, che ha suscitato grande interesse per il signore: "Come dividere la scommessa tra i partecipanti al gioco incompiuto?" Naturalmente, Pascal rispose con successo ad entrambe le domande di de Mere, che divenne l'inconsapevole iniziatore dello sviluppo della teoria della probabilità. È interessante notare che la persona di de Mere è rimasta conosciuta in questa zona, e non in letteratura.

In precedenza, nessun matematico aveva mai tentato di calcolare la probabilità degli eventi, poiché si credeva che questa fosse solo una soluzione indovinata. Blaise Pascal diede la prima definizione di probabilità di un evento e dimostrò che si tratta di una cifra specifica che può essere giustificata matematicamente. La teoria della probabilità è diventata la base per la statistica ed è ampiamente utilizzata nella scienza moderna.

Cos'è la casualità

Se consideriamo un test che può essere ripetuto un numero infinito di volte, allora possiamo definire un evento casuale. Questo è uno dei probabili risultati dell'esperimento.

L'esperienza è l'implementazione di azioni specifiche in condizioni costanti.

Per poter lavorare con i risultati dell'esperimento, gli eventi vengono solitamente contrassegnati con le lettere A, B, C, D, E...

Probabilità di un evento casuale

Per iniziare la parte matematica della probabilità è necessario definirne tutte le componenti.

La probabilità di un evento è una misura numerica della possibilità che qualche evento (A o B) si verifichi come risultato di un'esperienza. La probabilità è indicata come P(A) o P(B).

Nella teoria della probabilità si distinguono:

• affidabileè garantito che l'evento si verifichi come risultato dell'esperienza P(Ω) = 1;
• impossibile l'evento non potrà mai verificarsi P(Ø) = 0;
• casuale un evento è tra l'affidabile e l'impossibile, cioè la probabilità che si verifichi è possibile, ma non garantita (la probabilità di un evento casuale è sempre compresa nell'intervallo 0≤Р(А)≤ 1).

Relazioni tra eventi

Vengono considerati sia l'uno che la somma degli eventi A+B, quando l'evento viene conteggiato quando almeno uno dei componenti, A o B, o entrambi, A e B, è soddisfatto.

In relazione tra loro, gli eventi possono essere:

• Ugualmente possibile.
• Compatibile.
• Incompatibile.
• Opposto (mutuamente esclusivi).
• Dipendente.

Se due eventi possono verificarsi con la stessa probabilità, allora ugualmente possibile.

Se il verificarsi dell'evento A non riduce a zero la probabilità del verificarsi dell'evento B, allora lo faranno compatibile.

Se gli eventi A e B non si verificano mai contemporaneamente nella stessa esperienza, allora vengono chiamati incompatibile. Lanciare una moneta è un buon esempio: l'apparizione di testa è automaticamente la non apparizione di testa.

La probabilità per la somma di tali eventi incompatibili consiste nella somma delle probabilità di ciascuno degli eventi:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Se il verificarsi di un evento rende impossibile il verificarsi di un altro, allora vengono chiamati opposti. Quindi uno di essi è designato come A e l'altro -  (leggi come "non A"). Il verificarsi dell'evento A significa che  non si è verificato. Questi due eventi formano un gruppo completo con una somma di probabilità pari a 1.

Gli eventi dipendenti si influenzano reciprocamente, diminuendo o aumentando la probabilità reciproca.

Relazioni tra eventi. Esempi

Usando gli esempi è molto più facile comprendere i principi della teoria della probabilità e delle combinazioni di eventi.

L'esperimento che verrà effettuato consiste nel togliere delle palline da una scatola, e il risultato di ogni esperimento è un risultato elementare.

Un evento è uno dei possibili risultati di un esperimento: una pallina rossa, una pallina blu, una pallina con il numero sei, ecc.

Prova n. 1. Ci sono 6 palline coinvolte, tre delle quali sono blu con numeri dispari e le altre tre sono rosse con numeri pari.

Prova n.2. Ci sono 6 palline blu con numeri da uno a sei.

Sulla base di questo esempio, possiamo nominare le combinazioni:

• Evento affidabile. In spagnolo N. 2 l'evento “prendi la pallina blu” è affidabile, poiché la probabilità che si verifichi è pari a 1, poiché tutte le palline sono blu e non può mancare. Mentre l'evento “prendi la palla con il numero 1” è casuale.
• Evento impossibile. In spagnolo N. 1 con palline blu e rosse, l'evento “prendere la pallina viola” è impossibile, poiché la probabilità che si verifichi è 0.
• Eventi altrettanto possibili. In spagnolo N. 1, sono ugualmente possibili gli eventi “prendi la palla con il numero 2” e “prendi la palla con il numero 3” e gli eventi “prendi la palla con il numero pari” e “prendi la palla con il numero 2” " hanno probabilità diverse.
• Eventi compatibili. Ottenere un sei due volte di seguito lanciando un dado è un evento compatibile.
• Eventi incompatibili. Nello stesso spagnolo N. 1, gli eventi “prendi una pallina rossa” e “prendi una pallina con un numero dispari” non possono essere combinati nella stessa esperienza.
• Eventi opposti. L'esempio più eclatante di ciò è il lancio della moneta, dove estrarre testa equivale a non estrarre croce e la somma delle loro probabilità è sempre 1 (gruppo completo).
• Eventi dipendenti. Quindi, in spagnolo N. 1, puoi impostare l'obiettivo di estrarre la pallina rossa due volte di seguito. Il fatto che venga recuperato o meno la prima volta influisce sulla probabilità di essere recuperato la seconda volta.

Si può notare che il primo evento influenza significativamente la probabilità del secondo (40% e 60%).

Formula della probabilità dell'evento

Il passaggio dalla predizione del futuro ai dati precisi avviene attraverso la traduzione dell'argomento su un piano matematico. Cioè, i giudizi su un evento casuale come “alta probabilità” o “probabilità minima” possono essere tradotti in dati numerici specifici. È già consentito valutare, confrontare e inserire tale materiale in calcoli più complessi.

Dal punto di vista del calcolo, determinare la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di esiti positivi elementari e il numero di tutti i possibili esiti dell'esperienza riguardo a un determinato evento. La probabilità è indicata con P(A), dove P sta per la parola “probabilite”, che viene tradotta dal francese come “probabilità”.

Quindi la formula per la probabilità di un evento è:

Dove m è il numero di risultati favorevoli per l'evento A, n è la somma di tutti i risultati possibili per questa esperienza. In questo caso la probabilità di un evento è sempre compresa tra 0 e 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Calcolo della probabilità di un evento. Esempio

Prendiamo lo spagnolo. N. 1 con palline, descritto in precedenza: 3 palline blu con i numeri 1/3/5 e 3 palline rosse con i numeri 2/4/6.

Sulla base di questo test, possono essere considerati diversi problemi:

• A - palla rossa che cade. Ci sono 3 palline rosse e ci sono 6 opzioni in totale. Questo è l'esempio più semplice in cui la probabilità di un evento è P(A)=3/6=0,5.
• B - esce un numero pari. Ci sono 3 numeri pari (2,4,6) e il numero totale di possibili opzioni numeriche è 6. La probabilità di questo evento è P(B)=3/6=0,5.
• C - il verificarsi di un numero maggiore di 2. Esistono 4 opzioni di questo tipo (3,4,5,6) su un numero totale di possibili risultati di 6. La probabilità dell'evento C è uguale a P(C)=4 /6=0,67.

Come si può vedere dai calcoli, l’evento C ha una probabilità maggiore, poiché il numero di probabili esiti positivi è maggiore rispetto ad A e B.

Eventi incompatibili

Tali eventi non possono apparire simultaneamente nella stessa esperienza. Come in spagnolo N. 1 è impossibile ottenere una pallina blu e una rossa contemporaneamente. Cioè, puoi ottenere una palla blu o rossa. Allo stesso modo, in un dado non possono apparire contemporaneamente un numero pari e un numero dispari.

La probabilità di due eventi è considerata come la probabilità della loro somma o prodotto. La somma di tali eventi A+B è considerata un evento che consiste nel verificarsi dell'evento A o B, e il loro prodotto AB è il verificarsi di entrambi. Ad esempio, la comparsa di due sei contemporaneamente sulle facce di due dadi in un lancio.

La somma di più eventi è un evento che presuppone il verificarsi di almeno uno di essi. La produzione di più eventi è il loro verificarsi congiunto.

Nella teoria della probabilità, di regola, l'uso della congiunzione "e" indica una somma e la congiunzione "o" - una moltiplicazione. Formule con esempi ti aiuteranno a comprendere la logica dell'addizione e della moltiplicazione nella teoria della probabilità.

Probabilità della somma di eventi incompatibili

Se si considera la probabilità di eventi incompatibili, la probabilità della somma degli eventi è uguale alla somma delle loro probabilità:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ad esempio: calcoliamo la probabilità che in spagnolo. N. 1 con palline blu e rosse, apparirà un numero compreso tra 1 e 4. Calcoleremo non in un'unica azione, ma per somma delle probabilità dei componenti elementari. Quindi, in un esperimento del genere ci sono solo 6 palline o 6 di tutti i possibili risultati. I numeri che soddisfano la condizione sono 2 e 3. La probabilità di ottenere il numero 2 è 1/6, anche la probabilità di ottenere il numero 3 è 1/6. La probabilità di ottenere un numero compreso tra 1 e 4 è:

La probabilità della somma degli eventi incompatibili di un gruppo completo è 1.

Quindi, se in un esperimento con un cubo sommiamo le probabilità che appaiano tutti i numeri, il risultato sarà uno.

Ciò vale anche per eventi opposti, ad esempio nell'esperimento con una moneta, dove da un lato è l'evento A e dall'altro è l'evento opposto Ā, come è noto,

P(A) + P(À) = 1

Probabilità che si verifichino eventi incompatibili

La moltiplicazione della probabilità viene utilizzata quando si considera il verificarsi di due o più eventi incompatibili in un'osservazione. La probabilità che gli eventi A e B appaiano simultaneamente è pari al prodotto delle loro probabilità, ovvero:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Ad esempio, la probabilità che in spagnolo N. 1, a seguito di due tentativi, apparirà due volte una pallina blu, uguale a

Cioè, la probabilità che si verifichi un evento quando, a seguito di due tentativi di estrazione delle palline, vengono estratte solo palline blu è del 25%. È molto semplice fare esperimenti pratici su questo problema e vedere se è effettivamente così.

Eventi congiunti

Gli eventi si considerano congiunti quando il verificarsi di uno di essi può coincidere con il verificarsi di un altro. Nonostante siano congiunti, viene considerata la probabilità di eventi indipendenti. Ad esempio, lanciare due dadi può dare un risultato quando su entrambi appare il numero 6. Sebbene gli eventi coincidano e siano apparsi contemporaneamente, sono indipendenti l'uno dall'altro: solo un sei potrebbe cadere, il secondo dado non ne ha. influenza su di esso.

La probabilità di eventi congiunti è considerata come la probabilità della loro somma.

Probabilità della somma di eventi congiunti. Esempio

La probabilità della somma degli eventi A e B, che sono congiunti tra loro, è uguale alla somma delle probabilità dell'evento meno la probabilità del loro verificarsi (cioè del loro verificarsi congiunto):

Giunto R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Supponiamo che la probabilità di colpire il bersaglio con un colpo sia 0,4. Quindi l'evento A colpisce il bersaglio al primo tentativo, B al secondo. Questi eventi sono congiunti, poiché è possibile che si riesca a colpire il bersaglio sia con il primo che con il secondo colpo. Ma gli eventi non dipendono. Qual è la probabilità che l'evento colpisca il bersaglio con due colpi (almeno con uno)? Secondo la formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

La risposta alla domanda è: “La probabilità di colpire il bersaglio con due colpi è del 64%”.

Questa formula per la probabilità di un evento può essere applicata anche ad eventi incompatibili, dove la probabilità del verificarsi congiunto di un evento P(AB) = 0. Ciò significa che la probabilità della somma di eventi incompatibili può essere considerata un caso speciale della formula proposta.

Geometria della probabilità per chiarezza

È interessante notare che la probabilità della somma di eventi congiunti può essere rappresentata come due aree A e B, che si intersecano tra loro. Come si può vedere dall'immagine, l'area della loro unione è uguale all'area totale meno l'area della loro intersezione. Questa spiegazione geometrica rende più comprensibile la formula apparentemente illogica. Si noti che le soluzioni geometriche non sono rare nella teoria della probabilità.

Determinare la probabilità della somma di molti (più di due) eventi congiunti è piuttosto complicato. Per calcolarlo è necessario utilizzare le formule previste per questi casi.

Eventi dipendenti

Gli eventi si dicono dipendenti se il verificarsi di uno (A) di essi influenza la probabilità del verificarsi di un altro (B). Inoltre, viene presa in considerazione l'influenza sia del verificarsi dell'evento A che del suo mancato verificarsi. Sebbene gli eventi siano detti dipendenti per definizione, solo uno di essi è dipendente (B). La probabilità ordinaria è stata indicata come P(B) o probabilità di eventi indipendenti. Nel caso degli eventi dipendenti, viene introdotto un nuovo concetto: probabilità condizionale P A (B), che è la probabilità di un evento dipendente B, soggetto al verificarsi dell'evento A (ipotesi), da cui dipende.

Ma anche l'evento A è casuale, quindi ha anche una probabilità che necessita e può essere presa in considerazione nei calcoli eseguiti. L'esempio seguente mostrerà come lavorare con eventi dipendenti e un'ipotesi.

Un esempio di calcolo della probabilità di eventi dipendenti

Un buon esempio per calcolare gli eventi dipendenti sarebbe un mazzo di carte standard.

Usando come esempio un mazzo di 36 carte, diamo un’occhiata agli eventi dipendenti. Dobbiamo determinare la probabilità che la seconda carta estratta dal mazzo sia di quadri se la prima carta estratta è:

1. Bubnovaya.
2. Un colore diverso.

Ovviamente, la probabilità del secondo evento B dipende dal primo A. Quindi, se è vera la prima opzione, cioè ci sono 1 carta (35) e 1 diamante (8) in meno nel mazzo, la probabilità dell'evento B:

RA(B) =8/35=0,23

Se la seconda opzione è vera, allora il mazzo ha 35 carte e viene mantenuto il numero completo di quadri (9), quindi la probabilità del seguente evento B:

RA(B) =9/35=0,26.

Si può vedere che se l'evento A è condizionato dal fatto che la prima carta sia un diamante, allora la probabilità dell'evento B diminuisce, e viceversa.

Moltiplicazione degli eventi dipendenti

Guidati dal capitolo precedente, accettiamo il primo evento (A) come un fatto, ma in sostanza è di natura casuale. La probabilità che si verifichi questo evento, cioè estrarre un diamante da un mazzo di carte, è pari a:

P(A) = 9/36=1/4

Poiché la teoria non esiste da sola, ma è destinata a servire a scopi pratici, è giusto notare che ciò che più spesso è necessario è la probabilità di produrre eventi dipendenti.

Secondo il teorema sul prodotto delle probabilità di eventi dipendenti, la probabilità che si verifichino eventi A e B congiuntamente dipendenti è uguale alla probabilità di un evento A, moltiplicata per la probabilità condizionata dell'evento B (dipendente da A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Quindi, nell'esempio del mazzo, la probabilità di pescare due carte con il seme di quadri è:

9/36*8/35=0,0571, ovvero 5,7%

E la probabilità di estrarre prima non diamanti, e poi diamanti, è pari a:

27/36*9/35=0,19, o 19%

Si può vedere che la probabilità che si verifichi l'evento B è maggiore a condizione che la prima carta estratta sia di un seme diverso dai quadri. Questo risultato è abbastanza logico e comprensibile.

Probabilità totale di un evento

Quando un problema con le probabilità condizionali diventa multiforme, non può essere calcolato utilizzando metodi convenzionali. Quando ci sono più di due ipotesi, cioè A1, A2,…, A n, ..forma un gruppo completo di eventi purché:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j = Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Quindi, la formula per la probabilità totale dell'evento B con un gruppo completo di eventi casuali A1, A2,..., A n è uguale a:

Guardando al futuro

La probabilità di un evento casuale è estremamente necessaria in molti settori della scienza: econometria, statistica, fisica, ecc. Poiché alcuni processi non possono essere descritti in modo deterministico, poiché essi stessi sono di natura probabilistica, sono necessari metodi di lavoro speciali. La teoria della probabilità di un evento può essere utilizzata in qualsiasi campo tecnologico come metodo per determinare la possibilità di un errore o di un malfunzionamento.

Possiamo dire che riconoscendo la probabilità facciamo in qualche modo un passo teorico verso il futuro, guardandolo attraverso il prisma delle formule.

1. Presentazione dei principali teoremi e formule di probabilità: teorema di addizione, probabilità condizionata, teorema di moltiplicazione, indipendenza degli eventi, formula di probabilità totale.

Obiettivi: creare condizioni favorevoli per introdurre il concetto di probabilità di un evento; familiarità con i teoremi e le formule fondamentali della teoria della probabilità; introdurre la formula della probabilità totale.

Avanzamento della lezione:

Esperimento casuale (esperienza)è un processo in cui sono possibili diversi risultati ed è impossibile prevedere in anticipo quale sarà il risultato. I possibili risultati mutuamente esclusivi di un esperimento sono chiamati suoi eventi elementari . Indichiamo l'insieme degli eventi elementari con W.

Evento casualeè un evento di cui è impossibile dire in anticipo se accadrà in seguito all'esperienza o meno. Ogni evento casuale A verificatosi a seguito di un esperimento può essere associato a un gruppo di eventi elementari di W. Gli eventi elementari compresi in questo gruppo sono chiamati favorevole al verificarsi dell’evento A.

Anche l'insieme W può essere considerato un evento casuale. Poiché comprende tutti gli eventi elementari, accadrà sicuramente come risultato dell'esperienza. Un tale evento è chiamato affidabile .

Se per un dato evento non ci sono eventi elementari favorevoli da W, allora esso non potrà verificarsi come risultato dell'esperimento. Un tale evento è chiamato impossibile.

Gli eventi vengono chiamati ugualmente possibile , se il test dà luogo a pari opportunità affinché questi eventi si verifichino. Vengono chiamati due eventi casuali opposto , se a seguito dell'esperimento uno di essi si verifica se e solo se l'altro non si verifica. L'evento opposto all'evento A è indicato con .

Vengono chiamati gli eventi A e B incompatibile , se la comparsa dell'uno esclude la comparsa dell'altro. Si chiamano eventi A 1, A 2, ..., A n incompatibili a coppie, se due di essi sono incoerenti. Eventi A 1, A 2, ..., An forma un sistema completo di eventi incompatibili a coppie , se uno ed uno solo di essi è sicuro che si verificherà come risultato del test.

La somma (unione) degli eventi A 1, A 2, ..., A n è un evento C, che consiste nel fatto che almeno uno degli eventi A 1, A 2, ..., A n si verifica. La somma degli eventi è indicata come segue:

C = LA 1 + LA 2 +…+A n.

Il prodotto (intersezione) di eventi A 1, A 2, ..., A n è chiamato tale evento P, che consiste nel fatto che tutti gli eventi A 1, A 2, ..., A n si sono verificati simultaneamente. Viene indicata la produzione degli eventi

La probabilità P(A) nella teoria della probabilità agisce come una caratteristica numerica del grado di possibilità del verificarsi di qualsiasi evento casuale specifico A quando i test vengono ripetuti molte volte.

Diciamo che su 1000 lanci di dado il numero 4 appare 160 volte. Il rapporto 160/1000 = 0,16 mostra la frequenza relativa del numero 4 in una data serie di test. In un caso più generale frequenza di un evento casuale E quando si conducono una serie di esperimenti, il rapporto tra il numero di esperimenti in cui si è verificato un dato evento e il numero totale di esperimenti è chiamato:

dove P*(A) è la frequenza dell'evento A; m è il numero di esperimenti in cui si è verificato l'evento A; n è il numero totale di esperimenti.

La probabilità di un evento casuale E chiamano un numero costante attorno al quale si raggruppano le frequenze di un dato evento all'aumentare del numero di esperimenti ( determinazione statistica della probabilità di un evento ). La probabilità di un evento casuale è indicata con P(A).

Naturalmente nessuno potrà mai effettuare un numero illimitato di test per determinare la probabilità. Non ce n'è bisogno. In pratica, la frequenza di un evento su un gran numero di prove può essere considerata una probabilità. Ad esempio, dai modelli statistici di nascita stabiliti in molti anni di osservazione, la probabilità che il neonato sia un maschio è stimata a 0,515.

Se durante il test non ci sono motivi per cui un evento casuale si presenta più spesso di altri ( eventi altrettanto possibili), la probabilità può essere determinata sulla base di considerazioni teoriche. Ad esempio, scopriamo nel caso del lancio di una moneta la frequenza con cui cade lo stemma (evento A). diversi sperimentatori nel corso di diverse migliaia di test hanno dimostrato che la frequenza relativa di un tale evento assume valori prossimi a 0,5. Considerando che la comparsa dello stemma e della faccia opposta della moneta (evento B) sono eventi ugualmente possibili se la moneta è simmetrica, si potrebbe formulare il giudizio P(A) = P(B) = 0,5 senza determinare la frequenza di questi eventi. Sulla base del concetto di “eguale possibilità” degli eventi viene formulata un'altra definizione di probabilità.

Sia l’evento A in esame a verificarsi in m casi, che si dicono favorevoli ad A, e non a verificarsi nei restanti n-m, sfavorevoli ad A.

Allora la probabilità dell'evento A è pari al rapporto tra il numero degli eventi elementari ad esso favorevoli e il loro numero totale(definizione classica della probabilità di un evento):

dove m è il numero di eventi elementari favorevoli all'evento A; n - Numero totale di eventi elementari.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Esempio n. 1:Un'urna contiene 40 palline: 10 nere e 30 bianche. Trovare la probabilità che una pallina scelta a caso sia nera.

Il numero di casi favorevoli è uguale al numero di palline nere nell'urna: m = 10. Il numero totale di eventi ugualmente possibili (estrarre una pallina) è uguale al numero totale di palline nell'urna: n = 40. Questi eventi sono incoerenti, poiché viene eliminata una ed una sola pallina. P(A) = 10/40 = 0,25

Esempio n.2:Trova la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado.

Quando si lancia un dado si verificano sei eventi incompatibili ugualmente possibili: la comparsa di un numero: 1,2,3,4,5 o 6, cioè n = 6. casi favorevoli sono la presenza di uno dei numeri 2,4 o 6: m = 3. la probabilità desiderata P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Come vediamo dalla definizione di probabilità di un evento, per tutti gli eventi

0 < Р(А) < 1.

Ovviamente la probabilità di un evento affidabile è 1, la probabilità di un evento impossibile è 0.

Teorema dell'addizione delle probabilità: la probabilità che si verifichi un evento (non importa quale) tra più eventi incompatibili è uguale alla somma delle loro probabilità.

Per due eventi incompatibili A e B, le probabilità di questi eventi sono pari alla somma delle loro probabilità:

P(A o B) = P(A) + P(B).

Esempio n.3:trovare la probabilità di ottenere 1 o 6 lanciando un dado.

Gli eventi A (lancia 1) e B (lancia 6) sono ugualmente possibili: P(A) = P(B) = 1/6, quindi P(A o B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

La somma delle probabilità è valida non solo per due, ma anche per qualsiasi numero di eventi incompatibili.

Esempio n.4:Nell'urna ci sono 50 palline: 10 bianche, 20 nere, 5 rosse e 15 blu. Trova la probabilità che appaia una pallina bianca, nera o rossa durante una singola operazione di rimozione di una pallina dall'urna.

La probabilità di estrarre la pallina bianca (evento A) è P(A) = 10/50 = 1/5, la pallina nera (evento B) è P(B) = 20/50 = 2/5 e la pallina rossa ( l'evento C) è P (C) = 5/50 = 1/10. Da qui, utilizzando la formula per sommare le probabilità, otteniamo P(A o B o C) = P(A) + P(B) = P(C) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/ 10

La somma delle probabilità di due eventi opposti, come segue dal teorema della somma delle probabilità, è uguale a uno:

P(A) + P() = 1

Nell'esempio sopra, eliminare una pallina bianca, nera e rossa sarà l'evento A 1, P(A 1) = 7/10. L'evento opposto a 1 è l'estrazione della pallina blu. Poiché ci sono 15 palline blu e il numero totale di palline è 50, otteniamo P(1) = 15/50 = 3/10 e P(A) + P() = 7/10 +3/10 = 1.

Se gli eventi A 1, A 2, ..., A n formano un sistema completo di eventi incompatibili a coppie, allora la somma delle loro probabilità è uguale a 1.

In generale, la probabilità della somma di due eventi A e B viene calcolata come

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Teorema della moltiplicazione delle probabilità:

Vengono chiamati gli eventi A e B indipendente , se la probabilità del verificarsi dell'evento A non dipende dal verificarsi o meno dell'evento B, e viceversa, la probabilità del verificarsi dell'evento B non dipende dal verificarsi o meno dell'evento A.

La probabilità del verificarsi congiunto di eventi indipendenti è pari al prodotto delle loro probabilità. Per due eventi P(A e B)=P(A)·P(B).

Esempio: Un'urna contiene 5 palline nere e 10 bianche, l'altra contiene 3 palline nere e 17 bianche. Trovare la probabilità che quando si estraggono per la prima volta le palline da ciascuna urna, entrambe le palline siano nere.

Soluzione: la probabilità di estrarre una pallina nera dalla prima urna (evento A) è P(A) = 5/15 = 1/3, una pallina nera dalla seconda urna (evento B) è P(B) = 3/ 20

P(A e B)=P(A)·P(B) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

In pratica, la probabilità dell'evento B dipende spesso dal fatto che si sia verificato o meno qualche altro evento A. In questo caso ne parlano probabilità condizionata , cioè. la probabilità dell’evento B dato che si verifica l’evento A. La probabilità condizionata è indicata con P(B/A).

Per confrontare quantitativamente gli eventi tra loro secondo il grado della loro possibilità, ovviamente, è necessario associare a ciascun evento un certo numero, che è tanto maggiore quanto più l'evento è possibile. Chiameremo questo numero la probabilità di un evento. Così, probabilità di un eventoè una misura numerica del grado di possibilità oggettiva di questo evento.

La prima definizione di probabilità va considerata quella classica, nata dall'analisi del gioco d'azzardo e inizialmente applicata in modo intuitivo.

Il metodo classico per determinare la probabilità si basa sul concetto di eventi ugualmente possibili e incompatibili, che sono il risultato di una determinata esperienza e formano un gruppo completo di eventi incompatibili.

L'esempio più semplice di eventi ugualmente possibili e incompatibili che formano un gruppo completo è l'apparizione dell'una o dell'altra palla da un'urna contenente più palline della stessa dimensione, peso e altre caratteristiche tangibili, diverse solo per il colore, accuratamente mescolate prima di essere rimosse.

Pertanto, un test i cui esiti formano un gruppo completo di eventi incompatibili e ugualmente possibili si dice che sia riducibile a uno schema di urne, o a uno schema di casi, o si adatti allo schema classico.

Eventi ugualmente possibili e incompatibili che compongono un gruppo completo saranno chiamati semplicemente casi o possibilità. Inoltre, in ogni esperimento, insieme ai casi, possono verificarsi eventi più complessi.

Esempio: Quando si lancia un dado, insieme ai casi A i - la perdita di i-punti sul lato superiore, possiamo considerare eventi come B - la perdita di un numero pari di punti, C - la perdita di un numero di punti punti multipli di tre...

In relazione a ciascun evento che può verificarsi durante l'esperimento, i casi sono suddivisi in favorevole, in cui tale evento si verifica, e sfavorevole, in cui l'evento non si verifica. Nell'esempio precedente l'evento B è favorito dai casi A 2, A 4, A 6; evento C - casi A 3, A 6.

Probabilità classica il verificarsi di un determinato evento è chiamato rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di questo evento e il numero totale di casi ugualmente possibili e incompatibili che compongono il gruppo completo in un dato esperimento:

Dove P(A)- probabilità di accadimento dell'evento A; M- il numero di casi favorevoli all'evento A; N- numero totale di casi.

Esempi:

1) (vedi esempio sopra) P(B)= , P(C) =.

2) L'urna contiene 9 palline rosse e 6 blu. Trova la probabilità che una o due palline estratte a caso risultino rosse.

UN- una pallina rossa estratta a caso:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- due palline rosse estratte a caso:

Le seguenti proprietà derivano dalla definizione classica di probabilità (mostrati):

1) La probabilità di un evento impossibile è 0;

2) La probabilità di un evento affidabile è 1;

3) La probabilità di qualsiasi evento è compresa tra 0 e 1;

4) La probabilità di un evento opposto all'evento A,

La definizione classica di probabilità presuppone che il numero di risultati di una prova sia finito. In pratica, molto spesso ci sono dei test, il cui numero di casi possibili è infinito. Inoltre, il punto debole della definizione classica è che molto spesso è impossibile rappresentare il risultato di un test sotto forma di un insieme di eventi elementari. Ancora più difficile è indicare le ragioni per cui considerare ugualmente possibili gli esiti elementari di una prova. Di solito, l'equipossibilità dei risultati dei test elementari si conclude da considerazioni di simmetria. Tuttavia, tali compiti sono molto rari nella pratica. Per questi motivi, oltre alla definizione classica di probabilità, vengono utilizzate anche altre definizioni di probabilità.

Probabilità statistica evento A è la frequenza relativa con cui si verifica questo evento nei test eseguiti:

dove è la probabilità che si verifichi l'evento A;

Frequenza relativa di occorrenza dell'evento A;

Il numero di prove in cui è apparso l'evento A;

Numero totale di prove.

A differenza della probabilità classica, la probabilità statistica è una caratteristica della probabilità sperimentale.

Esempio: per controllare la qualità dei prodotti di un lotto, sono stati selezionati a caso 100 prodotti, tra i quali 3 prodotti si sono rivelati difettosi. Determina la probabilità del matrimonio.

Il metodo statistico per determinare la probabilità è applicabile solo a quegli eventi che hanno le seguenti proprietà:

Gli eventi in esame dovrebbero essere il risultato solo di quei test che possono essere riprodotti un numero illimitato di volte nelle stesse condizioni.

Gli eventi devono avere stabilità statistica (o stabilità delle frequenze relative). Ciò significa che nelle diverse serie di test la frequenza relativa dell'evento cambia poco.

Il numero di prove risultanti nell'evento A deve essere piuttosto elevato.

È facile verificare che le proprietà di probabilità derivanti dalla definizione classica vengono preservate anche nella definizione statistica di probabilità.