L'Esame di Stato Unificato di Matematica (profilo) è facoltativo. Questo esame è necessario per coloro che intendono studiare ulteriormente questa disciplina, entrare nella Facoltà di Economia, Matematica o proseguire gli studi presso università tecniche. Il livello del profilo, a differenza del livello base, richiede una conoscenza approfondita. L'esame si concentra sulle competenze applicazione pratica competenze acquisite negli anni di studio, ma non sono meno importanti le conoscenze teoriche per l'Esame di Stato Unificato di Matematica.

Che cosa ti serve sapere?

Come con superamento dell'Esame di Stato Unificato livello di base conoscenza acquisita da corsi scolastici algebra e geometria, capacità di lavorare con varie disuguaglianze ed equazioni, essere fluente nella terminologia e conoscere algoritmi per risolvere vari problemi. Per completare con successo compiti di maggiore complessità, è richiesta la conoscenza nelle seguenti aree:

• planimetria;
• disuguaglianze;
• interesse;
• progressione;
• stereometria;
• equazioni;
• sistemi parametrici, equazioni, disequazioni;
• matematica finanziaria.

È impossibile fare a meno della teoria nel processo di preparazione: senza conoscere regole, assiomi e teoremi è impossibile risolvere quelli presentati in documenti d'esame compiti. Allo stesso tempo, sarebbe un errore studiare la teoria a scapito della pratica. La semplice memorizzazione delle regole non aiuterà nell'esame: è importante sviluppare e migliorare la capacità di applicare le conoscenze acquisite durante la risoluzione dei problemi.

Come prepararsi all'esame?

È meglio iniziare a preparare l'esame dall'inizio anno scolastico. In questo caso, puoi leggere con calma, senza fretta, tutte le sezioni e poi ripeterle, rinfrescando le tue conoscenze immediatamente prima del test.

Il metodo classico di preparazione - semplicemente leggere un libro di testo di seguito, memorizzando le regole a memoria - è inefficace. Per ricordare le informazioni, è necessario comprenderle. Puoi, ad esempio, provare, dopo aver letto la regola, a raccontarla con parole tue o spiegarla a te stesso. Questo approccio ti consente di ricordare ciò che leggi per molto tempo.

Le singole formule e gli assiomi dovranno essere memorizzati. Per facilitare il processo di memorizzazione, dovresti assicurarti che i dati necessari siano sempre visibili: sul muro vicino al letto, in bagno, sul frigorifero, sopra la scrivania. Se le tabelle con le formule sono sempre davanti ai tuoi occhi, verranno gradualmente ricordate senza troppi sforzi.

A chi si prepara all'Esame di Stato Unificato non da solo, ma in compagnia di altri laureati, si può consigliare di spiegarsi a vicenda la teoria. Questo metodo disciplina e aiuta a comprendere meglio il materiale.

Quando si eseguono compiti pratici, è necessario analizzare gli errori più comuni. Se non sono associati alla disattenzione, ma all'ignoranza di alcune regole, è importante studiare attentamente tali argomenti. L'intera teoria è strutturata e la ricerca le regole necessarie richiederà un minimo di tempo.

La teoria è importante, ma la pratica è indispensabile. Durante l'esame viene verificata la capacità di applicare le conoscenze acquisite. È necessario esercitarsi, esercitandosi più e più volte con gli stessi algoritmi, ripetendo gli stessi argomenti, finché il completamento delle attività non cessa di causare difficoltà. Senza applicazione pratica, la conoscenza è inutile e facilmente dimenticabile.

Ti auguriamo successo nello studio della teoria e nell'applicazione delle conoscenze acquisite durante l'esame!

, è un esame obbligatorio per i diplomati dell'11° grado. Statisticamente è il più difficile.

Ti suggeriamo di familiarizzare con informazioni generali sull'esame e inizia subito a prepararti. L'esame del 2019 non è diverso dall'anno scorso: questo vale sia per le opzioni di base che per quelle specializzate.

Livello base dell'Esame di Stato Unificato

Questa opzione è adatta ai laureati in due casi se:

1. non avrai bisogno della matematica per entrare all'università;
2. non intendi proseguire gli studi dopo la laurea.

Se la specialità che hai scelto ha un campo con l'argomento "matematica", il livello base non è la tua opzione.

Punteggio dell'esame di base

La formula per convertire i punteggi primari in punteggi dei test viene aggiornata ogni anno e diventa nota dopo il primo esame. periodo dell’Esame di Stato Unificato. È già stato emanato un decreto di Rosobrnadzor che ha stabilito ufficialmente la corrispondenza tra i punteggi delle primarie e dei test in tutte le materie per il 2019.

Secondo l'ordine di consegna Esame di Stato Unificato di base in matematica con almeno una C, devi ottenere 12 punti primari. Questo è equivalente corretta esecuzione 12 compiti qualsiasi. Massimo punteggio primario – 20.

Struttura dell'esame di base

Il test di matematica di livello base 2019 consiste in 20 domande a risposta breve, ovvero un numero intero o finito. decimale o una sequenza di numeri. La risposta deve essere calcolata o scegliere una delle opzioni proposte.

Livello di profilo dell'Esame di Stato Unificato

Questo esame di stato unificato del 2019 non è diverso da Esame di Stato Unificato del passato dell'anno.

È il livello del profilo che i laureati devono superare per essere ammessi alle università, perché nella stragrande maggioranza delle specialità la matematica è indicata come materia principale per l'ammissione.

Valutazione del test del profilo

Qui non c'è nulla di specifico: come al solito si raccolgono punti iniziali, che poi vengono convertiti in punteggi dei test. E già utilizzando un sistema a 100 punti puoi determinare il voto per l'esame.

Per accettare l'esame è sufficiente ottenere 6 punti primari. Per fare ciò, devi risolvere almeno 6 compiti della parte 1. Il punteggio iniziale massimo è 32.

Struttura del test del profilo

Nel 2019, il test dell'Esame di Stato unificato di matematica a livello di profilo è composto da due parti, inclusi 19 compiti.

• Parte 1: 8 compiti (1–8) di livello di difficoltà base con una risposta breve.
• Parte 2: 4 compiti (9–12) livello più alto difficoltà con una risposta breve e 7 compiti (13-19) di livello di difficoltà elevato e maggiore con una risposta dettagliata.

Preparazione all'Esame di Stato Unificato

• Passaggio Test dell'Esame di Stato Unificato online gratuitamente senza registrazione e SMS. Le prove presentate sono identiche per complessità e struttura agli esami effettivi condotti negli anni corrispondenti.

• Scaricamento versioni demo dell'Esame di Stato Unificato di matematica, che ti permetteranno di prepararti meglio per l'esame e superarlo più facilmente. Tutti i test proposti sono sviluppati e approvati per prepararsi Esame di Stato Unificato Federale Istituto di Misure Pedagogiche (FIPI). Nella stessa FIPI tutto ufficiale Opzioni dell'Esame di Stato Unificato.
• Guardare con le formule base per prepararsi all'esame, ti aiuteranno a rinfrescarti la memoria prima di iniziare a completare la demo e le opzioni di test.

I compiti che vedrai molto probabilmente non appariranno nell'esame, ma ci saranno compiti simili a quelli demo, sullo stesso argomento o semplicemente con numeri diversi.

Dati generali dell'Esame di Stato Unificato

Anno	Minimo Punteggio dell'esame di stato unificato	Punteggio medio	Numero di partecipanti	Fallito,%	Qtà< 100 punti	Durata - Durata dell'esame, min.
2009	21
2010	21	43,35	864 708	6,1	160	240
2011	24	47,49	738 746	4,9	205	240
2012	24	44,6	831 068	7,5	56	240
2013	24	48,7	803 741	6,2	538	240
2014	20	46,4				240
2015	27	45,4				235
2016	27					235
2017	27					235

Non ci sono modifiche all'Esame di Stato Unificato di matematica a livello di profilo nel 2019: il programma dell'esame, come negli anni precedenti, è composto da materiali delle principali discipline matematiche. I biglietti conterranno problemi matematici, geometrici e algebrici.

Non ci sono cambiamenti nel KIM Unified State Exam 2019 in matematica a livello di profilo.

Caratteristiche dei compiti dell'Esame di Stato Unificato in matematica 2019

• Quando ti prepari per l'Esame di Stato Unificato di matematica (profilo), presta attenzione ai requisiti di base del programma d'esame. È progettato per testare la conoscenza di un programma approfondito: vettore e modelli matematici, funzioni e logaritmi, equazioni e disequazioni algebriche.
• Separatamente, esercitati a risolvere i problemi in .
• È importante mostrare un pensiero innovativo.

Struttura dell'esame

Compiti dell'Esame di Stato Unificato matematica specializzata diviso in due blocchi.

1. Parte: risposte brevi, comprende 8 problemi che mettono alla prova la preparazione matematica di base e la capacità di applicare le conoscenze matematiche nella vita di tutti i giorni.
2. Parte - breve e risposte dettagliate. Si compone di 11 attività, 4 delle quali richiedono una risposta breve e 7 una risposta dettagliata con argomentazioni per le azioni eseguite.

• Difficoltà avanzata- compiti 9-17 della seconda parte di KIM.
• Alto livello di difficoltà- problemi 18-19 –. Questa parte dei compiti d'esame verifica non solo il livello di conoscenza matematica, ma anche la presenza o l'assenza di un approccio creativo alla risoluzione di compiti "numerici" aridi, nonché l'efficacia della capacità di utilizzare conoscenze e abilità come strumento professionale .

Importante! Pertanto, quando ti prepari per l'Esame di Stato Unificato, sostieni sempre la tua teoria in matematica risolvendo problemi pratici.

Come verranno distribuiti i punti?

I compiti nella prima parte del KIM in matematica sono vicini ai test dell'esame di stato unificato di livello base, quindi è impossibile ottenere un punteggio elevato su di essi.

I punti per ciascun compito in matematica a livello di profilo sono stati distribuiti come segue:

• per le risposte corrette ai problemi n. 1-12 - 1 punto;
• N. 13-15 – 2 ciascuno;
• N. 16-17 – 3 ciascuno;
• N. 18-19 – 4 ciascuno.

Durata dell'esame e regole di comportamento per l'Esame di Stato Unificato

Per completare la prova d'esame -2019 allo studente viene assegnato 3 ore e 55 minuti(235 minuti).

Durante questo periodo, lo studente non dovrebbe:

• comportarsi in modo rumoroso;
• utilizzare gadget e altri mezzi tecnici;
• cancellare;
• prova ad aiutare gli altri o chiedi aiuto per te stesso.

Per tali azioni, il candidato può essere espulso dall'aula.

Per l'esame di stato di matematica permesso di portare Porta con te solo un righello; il resto dei materiali ti verrà consegnato subito prima dell'Esame di Stato Unificato. vengono rilasciati sul posto.

Una preparazione efficace è la soluzione ai test online di matematica 2019. Scegli e ottieni il punteggio massimo!

Istruzione generale secondaria

Linea UMK G.K. Muravin. Algebra e principi di analisi matematica (10-11) (approfondito)

Linea UMK Merzlyak. Algebra e inizi di analisi (10-11) (U)

Matematica

Preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica (livello profilo): compiti, soluzioni e spiegazioni

Analizziamo compiti e risolviamo esempi con l'insegnante

Documento d'esame il livello del profilo dura 3 ore e 55 minuti (235 minuti).

Soglia minima- 27 punti.

La prova d'esame è composta da due parti, che differiscono per contenuto, complessità e numero di compiti.

La caratteristica distintiva di ciascuna parte del lavoro è la forma dei compiti:

• la parte 1 contiene 8 compiti (compiti 1-8) con una breve risposta sotto forma di numero intero o frazione decimale finale;
• la parte 2 contiene 4 compiti (compiti 9-12) con una risposta breve sotto forma di numero intero o frazione decimale finale e 7 compiti (compiti 13–19) con una risposta dettagliata (una registrazione completa della soluzione con giustificazione per la risposta Azioni prese).

Panova Svetlana Anatolevna, insegnante di matematica della categoria più alta della scuola, esperienza lavorativa 20 anni:

“Per ricevere un certificato scolastico, un laureato deve superare due esami obbligatori sotto forma di Esame di Stato Unificato, uno dei quali è la matematica. In conformità con il Concetto per lo sviluppo dell'educazione matematica nella Federazione Russa, l'esame di stato unificato in matematica è diviso in due livelli: base e specializzato. Oggi esamineremo le opzioni a livello di profilo”.

Compito n. 1- verifica la capacità dei partecipanti all'Esame di Stato Unificato di applicare in attività pratiche le competenze acquisite nel corso di matematica elementare dal 5° al 9° anno. Il partecipante deve possedere competenze di calcolo, saper lavorare con i numeri razionali, saper arrotondare i decimali ed saper convertire un'unità di misura in un'altra.

Esempio 1. Nell'appartamento in cui vive Peter è stato installato un misuratore di flusso dell'acqua fredda (contatore). Il 1 maggio il contatore segnava un consumo di 172 metri cubi. m d'acqua e il primo giugno - 177 metri cubi. m. Quale importo dovrebbe pagare Pietro per l'acqua fredda a maggio, se il prezzo è di 1 metro cubo? m di acqua fredda è 34 rubli 17 kopecks? Dai la tua risposta in rubli.

Soluzione:

1) Trova la quantità di acqua spesa al mese:

177 - 172 = 5 (m cubi)

2) Scopriamo quanti soldi pagheranno per l’acqua sprecata:

34,17 5 = 170,85 (strofinare)

Risposta: 170,85.

Compito n. 2- è uno dei compiti d'esame più semplici. La maggior parte dei laureati lo affronta con successo, il che indica la conoscenza della definizione del concetto di funzione. Il tipo di compito n. 2 secondo il codificatore dei requisiti è un compito sull'uso delle conoscenze e delle abilità acquisite in attività pratiche e Vita di ogni giorno. Il compito n. 2 consiste nel descrivere, utilizzando le funzioni, varie relazioni reali tra quantità e nell'interpretare i loro grafici. Il compito n. 2 verifica la capacità di estrarre informazioni presentate in tabelle, diagrammi e grafici. I laureati devono essere in grado di determinare il valore di una funzione dal valore dell'argomento in vari modi di specificare la funzione e descrivere il comportamento e le proprietà della funzione in base al suo grafico. Devi anche essere in grado di trovare il più grande o valore più piccolo e costruire grafici delle funzioni studiate. Gli errori commessi sono casuali nel leggere le condizioni del problema, leggendo il diagramma.

#ADVERTISING_INSERT#

Esempio 2. La figura mostra la variazione del valore di cambio di un'azione di una società mineraria nella prima metà di aprile 2017. Il 7 aprile l'uomo d'affari ha acquistato 1.000 azioni di questa società. Il 10 aprile ha venduto tre quarti delle azioni acquistate e il 13 aprile ha venduto tutte le azioni rimanenti. Quanto ha perso l'imprenditore a seguito di queste operazioni?

Soluzione:

2) 1000 · 3/4 = 750 (azioni) - costituiscono 3/4 di tutte le azioni acquistate.

6) 247500 + 77500 = 325000 (sfregamento) - l'uomo d'affari ha ricevuto 1000 azioni dopo la vendita.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (sfregamento) - l'uomo d'affari ha perso a seguito di tutte le operazioni.

Risposta: 15000.

Compito n.3- è un compito al livello base della prima parte, mette alla prova la capacità di eseguire azioni con forme geometriche sui contenuti del corso “Planimetria”. Il compito 3 verifica la capacità di calcolare l'area di una figura su carta a scacchi, la capacità di calcolare le misure in gradi degli angoli, calcolare i perimetri, ecc.

Esempio 3. Trova l'area di un rettangolo disegnato su carta a scacchi con una dimensione della cella di 1 cm per 1 cm (vedi figura). Dai la tua risposta in centimetri quadrati.

Soluzione: Per calcolare l'area di una determinata figura, puoi utilizzare la formula del Picco:

Per calcolare l'area di un dato rettangolo, utilizziamo la formula di Peak:

S=B+	G
	2

dove B = 10, G = 6, quindi

S = 18 +	6
	2

Risposta: 20.

Leggi anche: Esame di Stato Unificato di Fisica: risolvere problemi sulle oscillazioni

Compito n. 4- l'obiettivo del corso “Teoria e statistica della probabilità”. Viene testata la capacità di calcolare la probabilità di un evento nella situazione più semplice.

Esempio 4. Sul cerchio sono segnati 5 punti rossi e 1 blu. Determina quali poligoni sono più grandi: quelli con tutti i vertici rossi o quelli con uno dei vertici blu. Nella tua risposta, indica quanti ce ne sono più di alcuni rispetto ad altri.

Soluzione: 1) Usiamo la formula per il numero di combinazioni di N elementi di K:

i cui vertici sono tutti rossi.

3) Un pentagono con tutti i vertici rossi.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligoni con tutti i vertici rossi.

che hanno la parte superiore rossa o con una parte superiore blu.

che hanno la parte superiore rossa o con una parte superiore blu.

8) Un esagono con vertici rossi e un vertice blu.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligoni con tutti i vertici rossi o con un vertice blu.

10) 42 – 16 = 26 poligoni utilizzando il punto blu.

11) 26 – 16 = 10 poligoni – quanti poligoni in più in cui uno dei vertici è un punto blu ci sono rispetto ai poligoni in cui tutti i vertici sono solo rossi.

Risposta: 10.

Compito n.5- il livello base della prima parte verifica la capacità di risolvere semplici equazioni (irrazionali, esponenziali, trigonometriche, logaritmiche).

Esempio 5. Risolvi l'equazione 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Soluzione. Dividi entrambi i lati di questa equazione per 5 3 + X≠ 0, otteniamo

2 3 + X	= 0,4 o		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

donde segue che 3+ X = 1, X = –2.

Risposta: –2.

Compito n. 6 in planimetria per trovare quantità geometriche (lunghezze, angoli, aree), modellando situazioni reali nel linguaggio della geometria. Studio di modelli costruiti utilizzando concetti e teoremi geometrici. La fonte delle difficoltà è, di regola, l'ignoranza o l'errata applicazione dei necessari teoremi della planimetria.

Area di un triangolo ABC equivale a 129. DE– linea mediana parallela al lato AB. Trova l'area del trapezio UN LETTO.

Soluzione. Triangolo CDE simile ad un triangolo TAXI a due angoli, a partire dall'angolo al vertice C generale, angolo СDE uguale all'angolo TAXI come gli angoli corrispondenti a DE || AB secante AC.. Perché DEè la linea mediana di un triangolo per condizione, quindi per la proprietà della linea mediana | DE = (1/2)AB. Ciò significa che il coefficiente di somiglianza è 0,5. Le aree di figure simili sono quindi correlate come il quadrato del coefficiente di somiglianza

Quindi, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Compito n.7- verifica l'applicazione della derivata allo studio di una funzione. Un'implementazione di successo richiede una conoscenza significativa e non formale del concetto di derivato.

Esempio 7. Al grafico della funzione sì = F(X) nel punto dell'ascissa X 0 viene tracciata una tangente perpendicolare alla linea che passa per i punti (4; 3) e (3; –1) di questo grafico. Trovare F′( X 0).

Soluzione. 1) Usiamo l'equazione di una retta passante per due punti dati e troviamo l'equazione di una retta passante per i punti (4; 3) e (3; –1).

(sì – sì 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(sì 2 – sì 1)

(sì – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(sì – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–sì + 3 = –4X+16| · (-1)

sì – 3 = 4X – 16

sì = 4X– 13, dove K 1 = 4.

2) Trova la pendenza della tangente K 2, che è perpendicolare alla linea sì = 4X– 13, dove K 1 = 4, secondo la formula:

3) L'angolo tangente è la derivata della funzione nel punto di tangenza. Significa, F′( X 0) = K 2 = –0,25.

Risposta: –0,25.

Compito n. 8- verifica la conoscenza dei partecipanti all'esame della stereometria elementare, la capacità di applicare formule per trovare aree superficiali e volumi di figure, angoli diedri, confrontare i volumi di figure simili, essere in grado di eseguire azioni con figure geometriche, coordinate e vettori, ecc.

Il volume di un cubo circoscritto ad una sfera è 216. Trova il raggio della sfera.

Soluzione. 1) V cubo = UN 3 (dove UN– lunghezza dello spigolo del cubo), quindi

UN 3 = 216

UN = 3 √216

2) Poiché la sfera è inscritta in un cubo, significa che la lunghezza del diametro della sfera è pari alla lunghezza dello spigolo del cubo, quindi D = UN, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Compito n. 9- richiede che il laureato abbia la capacità di trasformare e semplificare le espressioni algebriche. Compito n. 9 di livello di difficoltà maggiore con una risposta breve. I compiti della sezione “Calcoli e Trasformazioni” dell'Esame di Stato Unificato sono suddivisi in diverse tipologie:

trasformazione di espressioni razionali numeriche;

conversione di espressioni algebriche e frazioni;

conversione di espressioni irrazionali numeriche/lettere;

azioni con gradi;

conversione di espressioni logaritmiche;

1. conversione di espressioni trigonometriche numeriche/lettere.

Esempio 9. Calcola tanα se è noto che cos2α = 0,6 e

3π	< α < π.
4

Soluzione. 1) Usiamo la formula del doppio argomento: cos2α = 2 cos 2 α – 1 e troviamo

abbronzatura 2α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos2α		0,8		8		4		4		4

Ciò significa tan 2 α = ± 0,5.

3) Per condizione

3π	< α < π,
4

ciò significa che α è l'angolo del secondo quarto e tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Risposta: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Compito n. 10- verifica la capacità degli studenti di utilizzare le conoscenze e le abilità acquisite precoci nelle attività pratiche e nella vita di tutti i giorni. Possiamo dire che questi sono problemi di fisica e non di matematica, ma nella condizione sono fornite tutte le formule e le quantità necessarie. I problemi si riducono alla risoluzione di un'equazione lineare o quadratica o di una disuguaglianza lineare o quadratica. Pertanto, è necessario essere in grado di risolvere tali equazioni e disuguaglianze e determinare la risposta. La risposta deve essere data come numero intero o come frazione decimale finita.

Due corpi di massa M= 2 kg ciascuno, muovendosi alla stessa velocità v= 10 m/s con un angolo di 2α tra loro. L'energia (in joule) rilasciata durante la loro collisione assolutamente anelastica è determinata dall'espressione Q = mv 2 peccato 2 α. Di quale angolo più piccolo 2α (in gradi) devono muoversi i corpi affinché vengano rilasciati almeno 50 joule a seguito dell'urto?
Soluzione. Per risolvere il problema dobbiamo risolvere la disuguaglianza Q ≥ 50, sull'intervallo 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 peccato 2 α ≥ 50

2 10 2 peccato 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Poiché α ∈ (0°; 90°), risolveremo solo

Rappresentiamo graficamente la soluzione della disuguaglianza:

Poiché per la condizione α ∈ (0°; 90°), significa 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Compito n. 11- è tipico, ma risulta essere difficile per gli studenti. La principale fonte di difficoltà è la costruzione di un modello matematico (la stesura di un'equazione). Il compito n. 11 mette alla prova la capacità di risolvere problemi di parole.

Esempio 11. Durante le vacanze di primavera, Vasya, studentessa dell'11a elementare, ha dovuto risolvere 560 problemi pratici per prepararsi all'esame di stato unificato. Il 18 marzo, l'ultimo giorno di scuola, Vasya ha risolto 5 problemi. Poi ogni giorno risolveva lo stesso numero di problemi in più rispetto al giorno precedente. Determina quanti problemi Vasya ha risolto il 2 aprile, l'ultimo giorno delle vacanze.

Soluzione: Denotiamo UN 1 = 5 – il numero di problemi che Vasya ha risolto il 18 marzo, D– numero giornaliero di compiti risolti da Vasya, N= 16 – numero di giorni dal 18 marzo al 2 aprile compreso, S 16 = 560 – numero totale di attività, UN 16 – il numero di problemi che Vasya ha risolto il 2 aprile. Sapendo che ogni giorno Vasya risolveva lo stesso numero di problemi in più rispetto al giorno precedente, possiamo usare le formule per trovare la somma progressione aritmetica:

560 = (5 + UN 16) 8,

5 + UN 16 = 560: 8,

5 + UN 16 = 70,

UN 16 = 70 – 5

UN 16 = 65.

Risposta: 65.

Compito n. 12- verificare la capacità degli studenti di eseguire operazioni con funzioni, di saper applicare la derivata allo studio di una funzione.

Trova il punto massimo della funzione sì= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Soluzione: 1) Trovare il dominio di definizione della funzione: X + 9 > 0, X> –9, cioè x ∈ (–9; ∞).

2) Trova la derivata della funzione:

4) Il punto trovato appartiene all'intervallo (–9; ∞). Determiniamo i segni della derivata della funzione e descriviamo il comportamento della funzione nella figura:

Il punto massimo desiderato X = –8.

Scarica gratuitamente il programma di lavoro in matematica per la linea di materiali didattici G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Scarica sussidi didattici gratuiti sull'algebra

Compito n. 13-aumento del livello di complessità con una risposta dettagliata, testando la capacità di risolvere equazioni, il più riuscito tra i compiti con una risposta dettagliata di un maggiore livello di complessità.

a) Risolvi l'equazione 2log 3 2 (2cos X) – 5log3 (2cos X) + 2 = 0

b) Trova tutte le radici di questa equazione, appartenenti al segmento.

Soluzione: a) Sia log 3 (2cos X) = T, quindi 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

	log3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ perché |cos X| ≤ 1,
	log3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

allora cos X =	√3
	2

	X =	π	+2π K
		6
	X = –	π	+2π K, K ∈ Z
		6

b) Trova le radici che giacciono sul segmento .

La figura mostra a cosa appartengono le radici del segmento indicato

11π	E	13π	.
6		6

Risposta: UN)	π	+2π K; –	π	+2π K, K ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Compito n. 14-il livello avanzato si riferisce ai compiti della seconda parte con una risposta dettagliata. Il compito verifica la capacità di eseguire azioni con forme geometriche. L'attività contiene due punti. Nel primo punto il compito deve essere dimostrato e nel secondo punto calcolato.

Il diametro del cerchio di base del cilindro è 20, la generatrice del cilindro è 28. Il piano interseca la sua base lungo corde di lunghezza 12 e 16. La distanza tra le corde è 2√197.

a) Dimostrare che i centri delle basi del cilindro giacciono su un lato di questo piano.

b) Trova l'angolo tra questo piano e il piano della base del cilindro.

Soluzione: a) Una corda di lunghezza 12 si trova a distanza = 8 dal centro del cerchio di base, e una corda di lunghezza 16, analogamente, si trova a distanza 6. Pertanto la distanza tra le loro proiezioni su un piano parallelo al basi dei cilindri è 8 + 6 = 14 oppure 8 − 6 = 2.

Quindi la distanza tra gli accordi è l'una o l'altra

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

A seconda della condizione è stato realizzato il secondo caso, in cui le sporgenze delle corde giacciono su un lato dell'asse del cilindro. Ciò significa che l'asse non interseca questo piano all'interno del cilindro, cioè le basi giacciono su un lato di esso. Ciò che doveva essere dimostrato.

b) Indichiamo i centri delle basi come O 1 e O 2. Tracciamo dal centro della base con corda di lunghezza 12 una bisettrice perpendicolare a questa corda (ha lunghezza 8, come già notato) e dal centro dell'altra base all'altra corda. Si trovano sullo stesso piano β, perpendicolare a queste corde. Chiameremo il punto medio della corda più piccola B, la corda più grande A e la proiezione di A sulla seconda base - H (H ∈ β). Allora AB,AH ∈ β e quindi AB,AH sono perpendicolari alla corda, cioè alla retta di intersezione della base con il piano dato.

Ciò significa che l'angolo richiesto è uguale a

∠ABH = arcotan	A.H.	= arctan	28	= arcog14.
	B.H.		8 – 6

Compito n. 15- aumento del livello di complessità con una risposta dettagliata, mette alla prova la capacità di risolvere le disuguaglianze, che viene risolta con maggior successo tra i compiti con una risposta dettagliata di un maggiore livello di complessità.

Esempio 15. Risolvere la disuguaglianza | X 2 – 3X| registro2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Soluzione: Il dominio di definizione di questa disuguaglianza è l'intervallo (–1; +∞). Consideriamo tre casi separatamente:

1) Lascia X 2 – 3X= 0, cioè X= 0 o X= 3. In questo caso questa disuguaglianza diventa vera, quindi questi valori sono inclusi nella soluzione.

2) Andiamo adesso X 2 – 3X> 0, cioè X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Inoltre, questa disuguaglianza può essere riscritta come ( X 2 – 3X) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 e dividere per un'espressione positiva X 2 – 3X. Otteniamo il registro 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 o X≤ –0,5. Tenendo conto del dominio di definizione, abbiamo X ∈ (–1; –0,5].

3) Infine, consideriamo X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). In questo caso la disuguaglianza originaria verrà riscritta nella forma (3 X – X 2) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Dopo aver diviso per positivo 3 X – X 2 , otteniamo il log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Tenendo conto della regione, abbiamo X ∈ (0; 1].

Combinando le soluzioni ottenute, otteniamo X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Risposta: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Compito n. 16- il livello avanzato si riferisce ai compiti della seconda parte con una risposta dettagliata. Il compito verifica la capacità di eseguire azioni con forme geometriche, coordinate e vettori. L'attività contiene due punti. Nel primo punto il compito deve essere dimostrato e nel secondo punto calcolato.

IN triangolo isoscele ABC con un angolo di 120° al vertice A, si traccia una bisettrice BD. Il rettangolo DEFH è inscritto nel triangolo ABC in modo che il lato FH giaccia sul segmento BC e il vertice E giace sul segmento AB. a) Dimostrare che FH = 2DH. b) Trovare l'area del rettangolo DEFH se AB = 4.

Soluzione: UN)

1) ΔBEF – rettangolare, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, quindi EF = BE per la proprietà della gamba opposta all'angolo di 30°.

2) Sia EF = DH = X, allora BE = 2 X, BF = X√3 secondo il teorema di Pitagora.

3) Poiché ΔABC è isoscele, significa ∠B = ∠C = 30˚.

BD è la bisettrice di ∠B, il che significa ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Considera ΔDBH – rettangolare, perché DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

FE = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Risposta: 24 – 12√3.

Compito n. 17- un compito con una risposta dettagliata, questo compito verifica l'applicazione di conoscenze e abilità nelle attività pratiche e nella vita di tutti i giorni, la capacità di costruire ed esplorare modelli matematici. Questo compito - problema di parole con contenuto economico.

Esempio 17.È prevista l'apertura di un deposito di 20 milioni di rubli per quattro anni. Alla fine di ogni anno la banca aumenta il deposito del 10% rispetto all’importo di inizio anno. Inoltre, all'inizio del terzo e del quarto anno, l'investitore reintegra annualmente il deposito X milioni di rubli, dove X - Totale numero. Trovare valore più alto X, in cui la banca maturerà meno di 17 milioni di rubli sul deposito in quattro anni.

Soluzione: Alla fine del primo anno il contributo sarà di 20 + 20 · 0,1 = 22 milioni di rubli, alla fine del secondo - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milioni di rubli. All'inizio del terzo anno il contributo (in milioni di rubli) sarà (24,2 + X), e alla fine - (24.2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). All'inizio del quarto anno il contributo sarà (26,62 + 2,1 X), e alla fine - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). In base alla condizione, è necessario trovare il più grande intero x per il quale vale la disuguaglianza

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

La più grande soluzione intera a questa disuguaglianza è il numero 24.

Risposta: 24.

Compito n. 18- un compito di maggiore livello di complessità con una risposta dettagliata. Questo incarico è per selezione competitiva alle università con maggiori requisiti per la preparazione matematica dei candidati. Esercizio alto livello complessità: questo compito non riguarda l'utilizzo di un metodo di soluzione, ma di una combinazione vari metodi. Per completare con successo l'attività 18, oltre a solide conoscenze matematiche, è necessario anche un elevato livello di cultura matematica.

A cosa UN sistema di disuguaglianze

	X 2 + sì 2 ≤ 2Ay – UN 2 + 1
	sì + UN ≤ |X| – UN

ha esattamente due soluzioni?

Soluzione: Questo sistema può essere riscritto nella forma

	X 2 + (sì– UN) 2 ≤ 1
	sì ≤ |X| – UN

Se disegniamo sul piano l'insieme delle soluzioni della prima disuguaglianza, otteniamo l'interno di un cerchio (con bordo) di raggio 1 con centro nel punto (0, UN). L'insieme delle soluzioni della seconda disuguaglianza è la parte del piano che giace sotto il grafico della funzione sì = | X| – UN, e quest'ultimo è il grafico della funzione
sì = | X| , spostato verso il basso di UN. La soluzione di questo sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di ciascuna delle disuguaglianze.

Due soluzioni, quindi questo sistema avrà solo nel caso mostrato in Fig. 1.

I punti di contatto del cerchio con le rette saranno le due soluzioni del sistema. Ognuna delle rette è inclinata rispetto agli assi di un angolo di 45°. Quindi è un triangolo PQR– isoscele rettangolari. Punto Q ha coordinate (0, UN) e il punto R– coordinate (0, – UN). Inoltre, i segmenti PR E PQ uguale al raggio del cerchio uguale a 1. Ciò significa

Qr= 2UN = √2, UN =	√2	.
	2

Risposta: UN =	√2	.
	2

Compito n. 19- un compito di maggiore livello di complessità con una risposta dettagliata. Questo compito è destinato alla selezione competitiva nelle università con maggiori requisiti per la preparazione matematica dei candidati. Un compito di alto livello di complessità non è un compito basato sull'uso di un metodo di soluzione, ma su una combinazione di vari metodi. Per completare con successo l'attività 19, devi essere in grado di cercare una soluzione, scegliendo approcci diversi tra quelli conosciuti e modificando i metodi studiati.

Permettere Sn somma P termini di una progressione aritmetica ( una pag). È risaputo che S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Fornire la formula P termine di questa progressione.

b) Trovare la somma assoluta più piccola S n.

c) Trova il più piccolo P, al quale S n sarà il quadrato di un numero intero.

Soluzione: a) È ovvio che UN = S n – S n- 1 . Usando questa formula, otteniamo:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Significa, UN = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Da allora S n = 2N 2 – 25N, quindi considerare la funzione S(X) = | 2X 2 – 25x|. Il suo grafico è visibile in figura.

Ovviamente, il valore più piccolo si ottiene nei punti interi più vicini agli zeri della funzione. Ovviamente questi sono punti X= 1, X= 12 e X= 13. Poiché, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12| = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13| = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, quindi il valore più piccolo è 12.

c) Dal paragrafo precedente consegue che Sn positivo, a partire da N= 13. Da allora S n = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), allora il caso ovvio, quando questa espressione è un quadrato perfetto, si realizza quando N = 2N– 25, cioè alle P= 25.

Resta da controllare i valori da 13 a 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Risulta che per valori più piccoli P non si ottiene un quadrato completo.

Risposta: UN) UN = 4N–27; b) 12; c)25.

________________

*Da maggio 2017 il gruppo editoriale unitario "DROFA-VENTANA" fa parte della società russa dei libri di testo. Della società fanno parte anche la casa editrice Astrel e la piattaforma educativa digitale LECTA. Direttore generale Candidato Alexander Brychkin, laureato all'Accademia finanziaria del governo della Federazione Russa scienze economiche, responsabile dei progetti innovativi della casa editrice DROFA nel campo dell'educazione digitale (forme elettroniche di libri di testo, Scuola elettronica russa, piattaforma educativa digitale LECTA). Prima di entrare nella casa editrice DROFA, ha ricoperto la carica di vicepresidente per lo sviluppo strategico e gli investimenti della holding editoriale EKSMO-AST. Oggi, la casa editrice "Russian Textbook" possiede il più ampio portafoglio di libri di testo inclusi nell'Elenco federale: 485 titoli (circa il 40%, esclusi i libri di testo per le scuole speciali). Le case editrici dell'azienda possiedono le serie più popolari di libri di testo nelle scuole russe di fisica, disegno, biologia, chimica, tecnologia, geografia, astronomia - aree di conoscenza necessarie per lo sviluppo del potenziale produttivo del paese. Il portafoglio della società comprende libri di testo e aiuti per l'insegnamento Per scuola elementare, insignito del Premio Presidenziale nel campo dell'istruzione. Si tratta di libri di testo e manuali in aree tematiche necessarie per lo sviluppo del potenziale scientifico, tecnico e produttivo della Russia.

In questa sezione ci prepariamo per l'Esame di Stato Unificato di matematica a livello base e specialistico: presentiamo l'analisi dei problemi, i test, la descrizione dell'esame e consigli utili. Utilizzando la nostra risorsa, capirai almeno come risolvere i problemi e sarai in grado di superare con successo l'esame di stato unificato in matematica nel 2019. Inizio!

L'Esame di Stato Unificato di matematica lo è esame obbligatorio qualsiasi studente dell'11° anno, quindi le informazioni presentate in questa sezione sono rilevanti per tutti. L'esame di matematica è diviso in due tipologie: base e specializzato. In questa sezione fornisco un'analisi di ciascun tipo di attività con spiegazione dettagliata per due opzioni. I compiti dell'Esame di Stato Unificato sono strettamente tematici, quindi per ogni questione puoi dare raccomandazioni precise e fornire la teoria necessaria specificamente per risolvere questo tipo di compiti. Di seguito troverai i link ai compiti, cliccando sui quali potrai studiare la teoria e analizzare esempi. Gli esempi vengono costantemente riforniti e aggiornati.

Struttura del livello base dell'Esame di Stato Unificato di matematica

La prova d'esame di matematica del livello base è composta da un pezzo , incluse 20 attività a risposta breve. Tutti i compiti sono finalizzati a testare lo sviluppo delle competenze di base e delle abilità pratiche nell'applicazione delle conoscenze matematiche nelle situazioni quotidiane.

La risposta a ciascuna delle attività 1–20 è numero intero, decimale finale , O sequenza di numeri .

Un'attività con una risposta breve è considerata completata se la risposta corretta è scritta nel modulo di risposta n. 1 nella forma prevista nelle istruzioni per il completamento dell'attività.