Sammenligning af tal ved. Sammenligning af tal modulo

Ved løsning af ligninger og uligheder, samt problemer med moduler, skal du placere de fundne rødder på tallinjen. Som du ved, kan de fundne rødder være anderledes. De kan være sådan her: , eller de kan være sådan her: , .

Derfor, hvis tallene ikke er rationelle, men irrationelle (hvis du har glemt, hvad de er, se i emnet), eller er komplekse matematiske udtryk, så er det meget problematisk at placere dem på tallinjen. Desuden kan du ikke bruge lommeregnere under eksamen, og omtrentlige beregninger giver ikke 100 % garanti for, at et tal er mindre end et andet (hvad nu hvis der er forskel mellem de tal, der sammenlignes?).

Selvfølgelig ved du, at positive tal altid er større end negative, og at hvis vi forestiller os en talakse, så når vi sammenligner, største tal vil være placeret til højre end de mindste: ; ; etc.

Men er alting altid så nemt? Hvor på tallinjen vi markerer,.

Hvordan kan de fx sammenlignes med et tal? Dette er gnisten...)

Lad os først tale ind generelle oversigt hvordan og hvad man skal sammenligne.

Vigtigt: det er tilrådeligt at lave transformationer, så ulighedstegnet ikke ændres! Det vil sige, under transformationer er det uønsket at gange med et negativt tal, og det er forbudt kvadrat, hvis en af delene er negativ.

Sammenligning af brøker

Så vi skal sammenligne to brøker: og.

Der er flere muligheder for, hvordan du gør dette.

Mulighed 1. Reducer brøker til en fællesnævner.

Lad os skrive det i form af en almindelig brøk:

- (som du kan se, reducerede jeg også tæller og nævner).

Nu skal vi sammenligne brøker:

Nu kan vi fortsætte med at sammenligne på to måder. Vi kan:

bare bringe alt til en fællesnævner, og præsentere begge brøker som uægte (tælleren er større end nævneren):
Hvilket tal er størst? Det er rigtigt, den med den større tæller, altså den første.
"lad os kassere" (tænk på, at vi har trukket en fra hver brøk, og forholdet mellem brøkerne og hinanden har derfor ikke ændret sig) og sammenlign brøkerne:
Vi bringer dem også til en fællesnævner:
Vi fik nøjagtig det samme resultat som i det foregående tilfælde - det første tal er større end det andet:
Lad os også tjekke, om vi har trukket en korrekt fra? Lad os beregne forskellen i tælleren i den første beregning og den anden:
1)
2)

Så vi så på, hvordan man sammenligner brøker, og bringer dem til en fællesnævner. Lad os gå videre til en anden metode - at sammenligne brøker, bringe dem til en fælles ... tæller.

Mulighed 2. Sammenligning af brøker ved at reducere til en fælles tæller.

Ja Ja. Dette er ikke en tastefejl. Denne metode læres sjældent til nogen i skolen, men meget ofte er den meget praktisk. For at du hurtigt forstår dens essens, vil jeg kun stille dig ét spørgsmål - "i hvilke tilfælde er værdien af en brøk størst?" Selvfølgelig vil du sige "når tælleren er så stor som muligt og nævneren så lille som muligt."

For eksempel kan du helt sikkert sige, at det er sandt? Hvad hvis vi skal sammenligne følgende brøker: ? Jeg tror også, at du straks vil sætte tegnet rigtigt, for i det første tilfælde er de opdelt i dele, og i det andet i hele, hvilket betyder, at i det andet tilfælde viser stykkerne sig at være meget små, og følgelig: . Som du kan se, er nævnerne her forskellige, men tællerne er de samme. Men for at sammenligne disse to brøker behøver du ikke lede efter en fællesnævner. Selvom... find det og se om sammenligningstegnet stadig er forkert?

Men tegnet er det samme.

Lad os vende tilbage til vores oprindelige opgave - sammenlign og... Vi vil sammenligne og... Lad os reducere disse brøker ikke til en fællesnævner, men til en fælles tæller. For at gøre dette ganske enkelt tæller og nævner gange den første brøk med. Vi får:

Og. Hvilken fraktion er størst? Det er rigtigt, den første.

Mulighed 3: Sammenligning af brøker ved hjælp af subtraktion.

Hvordan sammenligner man brøker ved hjælp af subtraktion? Ja, meget simpelt. Vi trækker en anden fra en brøkdel. Hvis resultatet er positivt, så er den første brøk (minuend) større end den anden (subtrahend), og hvis negativ, så omvendt.

I vores tilfælde, lad os prøve at trække den første brøk fra den anden: .

Som du allerede har forstået, konverterer vi også til en almindelig brøk og får samme resultat - . Vores udtryk har formen:

Dernæst bliver vi stadig nødt til at ty til reduktion til en fællesnævner. Spørgsmålet er: på den første måde at konvertere brøker til ukorrekte, eller på den anden måde, som om du "fjerner" enheden? Denne handling har i øvrigt en fuldstændig matematisk begrundelse. Se:

Jeg kan bedre lide den anden mulighed, da det bliver meget nemmere at gange i tælleren, når det reduceres til en fællesnævner.

Lad os bringe det til en fællesnævner:

Det vigtigste her er ikke at blive forvirret over, hvilket tal vi har trukket fra og hvor. Se omhyggeligt på fremskridtene af løsningen og forveksle ikke skiltene ved et uheld. Vi trak det første tal fra det andet tal og fik et negativt svar, så?.. Det er rigtigt, det første tal er større end det andet.

Forstået? Prøv at sammenligne brøker:

Stop, stop. Skynd dig ikke at bringe til en fællesnævner eller trække fra. Se: du kan nemt konvertere det til en decimalbrøk. Hvor lang tid bliver det? Højre. Hvad er mere i sidste ende?

Dette er en anden mulighed - at sammenligne brøker ved at konvertere til en decimal.

Mulighed 4: Sammenligning af brøker ved hjælp af division.

Ja Ja. Og dette er også muligt. Logikken er enkel: når vi deler større antal med den mindre, er svaret, vi får, et tal større end et, og hvis vi dividerer det mindre tal med det større, så falder svaret på intervallet fra til.

For at huske denne regel skal du sammenligne to Primtal for eksempel og. Ved du hvad mere er? Lad os nu dividere med. Vores svar er. Derfor er teorien korrekt. Hvis vi dividerer med, er det, vi får, mindre end én, hvilket igen bekræfter, at det faktisk er mindre.

Lad os prøve at anvende denne regel på almindelige brøker. Lad os sammenligne:

Divider den første brøk med den anden:

Lad os forkorte efterhånden.

Det opnåede resultat er mindre, hvilket betyder udbyttet mindre end divisor, det er:

Vi har ordnet alt mulige muligheder sammenligne brøker. Hvordan ser du dem 5:

reduktion til en fællesnævner;
reduktion til en fælles tæller;
reduktion til form af en decimalbrøk;
subtraktion;
division.

Klar til at træne? Sammenlign brøker på den optimale måde:

Lad os sammenligne svarene:

(- konverter til decimal)
(divider en brøkdel med en anden og reducer med tæller og nævner)
(vælg hele delen og sammenlign brøker baseret på princippet om samme tæller)
(divider en brøkdel med en anden og reducer med tæller og nævner).

2. Sammenligning af grader

Forestil dig nu, at vi ikke kun skal sammenligne tal, men udtryk, hvor der er en grad ().

Du kan selvfølgelig sagtens sætte et skilt op:

Når alt kommer til alt, hvis vi erstatter graden med multiplikation, får vi:

Fra dette lille og primitive eksempel følger reglen:

Prøv nu at sammenligne følgende: . Du kan også nemt sætte et skilt:

For hvis vi erstatter eksponentiering med multiplikation...

Generelt forstår du alt, og det er slet ikke svært.

Vanskeligheder opstår kun, når graderne ved sammenligning har forskellige grundlag og indikatorer. I dette tilfælde er det nødvendigt at forsøge at føre til et fælles grundlag. For eksempel:

Selvfølgelig ved du, at dette derfor udtrykket har formen:

Lad os åbne parenteserne og sammenligne, hvad vi får:

Nogle et særligt tilfælde, når bunden af graden () er mindre end én.

Hvis, så af to grader og større er den, hvis indeks er mindre.

Lad os prøve at bevise denne regel. Lad ske.

Lad os introducere nogle naturligt tal, ligesom forskellen mellem og.

Logisk, ikke?

Og lad os nu endnu en gang være opmærksomme på tilstanden - .

Henholdsvis: . Derfor,.

For eksempel:

Som du forstår, overvejede vi tilfældet, når gradernes basis er ens. Lad os nu se, hvornår basen er i intervallet fra til, men eksponenterne er lige store. Alt er meget enkelt her.

Lad os huske, hvordan man sammenligner dette ved at bruge et eksempel:

Selvfølgelig lavede du regnestykket hurtigt:

Derfor, når du støder på lignende problemer til sammenligning, skal du huske på et simpelt lignende eksempel, som du hurtigt kan beregne, og ud fra dette eksempel, sæt tegn ned i et mere komplekst.

Når du udfører transformationer, skal du huske, at hvis du multiplicerer, adderer, subtraherer eller dividerer, så skal alle handlinger udføres med både venstre og højre side (hvis du gange med, så skal du gange begge).

Derudover er der tilfælde, hvor det simpelthen er urentabelt at udføre nogen manipulationer. For eksempel skal du sammenligne. I dette tilfælde er det ikke så svært at hæve til en magt og arrangere skiltet baseret på dette:

Lad os øve. Sammenlign grader:

Klar til at sammenligne svar? Her er hvad jeg fik:

- det samme som
- det samme som
- det samme som
- det samme som

3. Sammenligning af tal med rødder

Lad os først huske, hvad rødder er? Kan du huske denne optagelse?

Roden af en potens af et reelt tal er et tal, som ligheden gælder for.

Rødder af ulige grad eksisterer for negative og positive tal, A selv rødder- kun for positive.

Rodværdien er ofte en uendelig decimal, hvilket gør det svært at nøjagtig beregning, så det er vigtigt at kunne sammenligne rødder.

Hvis du har glemt hvad det er og hvad det spises med - . Hvis du husker alt, så lad os lære at sammenligne rødder trin for trin.

Lad os sige, at vi skal sammenligne:

For at sammenligne disse to rødder behøver du ikke at lave nogen beregninger, bare analyser selve begrebet "rod". Forstår du, hvad jeg taler om? Ja, om dette: ellers kan det skrives som tredje potens af et eller andet tal, lig med det radikale udtryk.

Hvad er mere? eller? Selvfølgelig kan du sammenligne dette uden besvær. Jo større tal vi hæver til en potens, jo større vil værdien være.

Så. Lad os udlede en regel.

Hvis eksponenterne for rødderne er de samme (i vores tilfælde er dette), så er det nødvendigt at sammenligne de radikale udtryk (og) - jo større radikalt tal, jo større mere værdi rødder med lige store mængder.

Svært at huske? Så hold bare et eksempel i hovedet og... Det mere?

Eksponenterne for rødderne er de samme, da roden er kvadratisk. Det radikale udtryk for et tal () er større end et andet (), hvilket betyder, at reglen virkelig er sand.

Hvad hvis de radikale udtryk er de samme, men graderne af rødderne er forskellige? For eksempel: .

Det er også helt klart, at når man udvinder roden i højere grad du får et mindre antal. Lad os tage for eksempel:

Lad os betegne værdien af den første rod som, og den anden - som, så:

Du kan nemt se, at der skal være mere i disse ligninger, derfor:

Hvis de radikale udtryk er de samme(i vores tilfælde), og røddernes eksponenter er forskellige(i vores tilfælde er dette og), så er det nødvendigt at sammenligne eksponenterne(Og) - jo højere indikatoren er, jo mindre er dette udtryk.

Prøv at sammenligne følgende rødder:

Lad os sammenligne resultaterne?

Vi ordnede dette med succes :). Et andet spørgsmål opstår: hvad nu hvis vi alle er forskellige? Både grad og radikalt udtryk? Ikke alt er så kompliceret, vi skal bare ... "slippe" af med roden. Ja Ja. Bare slip med det)

Hvis vi har forskellige grader og radikale udtryk, skal vi finde det mindste fælles multiplum (læs afsnittet om) for røddernes eksponenter og hæve begge udtryk til en potens lig med det mindste fælles multiplum.

At vi alle er i ord og ord. Her er et eksempel:

Vi ser på indikatorerne for rødderne - og. Deres mindste fælles multiplum er .
Lad os hæve begge udtryk til en magt:
Lad os transformere udtrykket og åbne parenteserne (flere detaljer i kapitlet):
Lad os tælle, hvad vi har gjort, og sætte et skilt:

4. Sammenligning af logaritmer

Så langsomt men sikkert kommer vi til spørgsmålet om, hvordan man sammenligner logaritmer. Hvis du ikke kan huske, hvilken slags dyr dette er, råder jeg dig til først at læse teorien fra afsnittet. Har du læst den? Svar derefter på et par vigtige spørgsmål:

Hvad er argumentet for en logaritme, og hvad er dens base?
Hvad bestemmer om en funktion stiger eller falder?

Hvis du husker alt og har mestret det perfekt, så lad os komme i gang!

For at sammenligne logaritmer med hinanden skal du kun kende 3 teknikker:

reduktion til samme grundlag;
reduktion til samme argument;
sammenligning med det tredje tal.

Indledningsvis skal du være opmærksom på basen af logaritmen. Husker du, at hvis den er mindre, så falder funktionen, og er den mere, så stiger den. Det er det, vores domme vil blive baseret på.

Lad os overveje en sammenligning af logaritmer, der allerede er blevet reduceret til den samme base eller argument.

Til at begynde med, lad os forenkle problemet: lad de sammenlignede logaritmer ind lige grunde. Derefter:

Funktionen, for, stiger med intervallet fra, hvilket betyder per definition derefter ("direkte sammenligning").
Eksempel:- grundene er de samme, vi sammenligner argumenterne i overensstemmelse hermed: , derfor:
Funktionen, at, falder på intervallet fra, hvilket betyder, per definition, derefter ("omvendt sammenligning"). - grundlerne er de samme, vi sammenligner argumenterne i overensstemmelse hermed: dog vil fortegnet for logaritmerne være "omvendt", da funktionen er aftagende: .

Overvej nu tilfælde, hvor årsagerne er forskellige, men argumenterne er de samme.

Basen er større.
- . I dette tilfælde bruger vi "omvendt sammenligning". For eksempel: - argumenterne er de samme, og. Lad os sammenligne baserne: dog vil tegnet for logaritmerne være "omvendt":
Basen a er i mellemrummet.
- . I dette tilfælde bruger vi "direkte sammenligning". For eksempel:
- . I dette tilfælde bruger vi "omvendt sammenligning". For eksempel:

Lad os skrive alt ned i en generel tabelform:

, hvori	, hvori

Som du allerede har forstået, skal vi, når vi sammenligner logaritmer, føre til den samme base eller argument. Vi kommer frem til den samme base ved at bruge formlen til at flytte fra en base til en anden.

Du kan også sammenligne logaritmer med det tredje tal og ud fra dette drage en konklusion om, hvad der er mindre, og hvad der er mere. Tænk for eksempel på, hvordan man sammenligner disse to logaritmer?

Et lille tip - til sammenligning vil en logaritme hjælpe dig meget, hvis argument vil være ens.

Tanke? Lad os beslutte sammen.

Vi kan nemt sammenligne disse to logaritmer med dig:

Ved du ikke hvordan? Se ovenfor. Vi har lige ordnet det her. Hvilket tegn vil der være? Højre:

Enig?

Lad os sammenligne med hinanden:

Du bør få følgende:

Kombiner nu alle vores konklusioner til én. sket?

5. Sammenligning af trigonometriske udtryk.

Hvad er sinus, cosinus, tangens, cotangens? Hvad er enhedscirklen til, og hvordan finder man værdien på den trigonometriske funktioner? Hvis du ikke kender svarene på disse spørgsmål, anbefaler jeg stærkt, at du læser teorien om dette emne. Og hvis du ved det, så er det ikke svært for dig at sammenligne trigonometriske udtryk med hinanden!

Lad os genopfriske vores hukommelse lidt. Lad os tegne en trigonometrisk enhedscirkel og en trekant indskrevet i den. Klarede du dig? Marker nu på hvilken side vi plotter cosinus og på hvilken side sinus ved hjælp af trekantens sider. (du husker selvfølgelig, at sinus er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, og cosinus er den tilstødende side?). Har du tegnet det? Store! Den sidste hånd er at lægge ned, hvor vi vil have det, hvor og så videre. Har du lagt det fra dig? Pyh) Lad os sammenligne, hvad der skete med dig og mig.

Pyha! Lad os nu begynde sammenligningen!

Lad os sige, at vi skal sammenligne og. Tegn disse vinkler ved hjælp af meddelelserne i boksene (hvor vi har markeret hvor), og placer punkter på enhedscirklen. Klarede du dig? Her er hvad jeg fik.

Lad os nu slippe en vinkelret fra de punkter, vi markerede på cirklen, ned på aksen... Hvilken? Hvilken akse viser værdien af sinus? Højre, . Dette er hvad du skal få:

Ser man på dette billede, hvilket er større: eller? Selvfølgelig, fordi pointen er over pointen.

På lignende måde sammenligner vi værdien af cosinus. Vi sænker kun vinkelret på aksen... Det er rigtigt, . Derfor ser vi på hvilket punkt der er til højre (eller højere, som i tilfældet med sines), så er værdien større.

Du ved sikkert allerede, hvordan man sammenligner tangenter, ikke? Alt du behøver at vide er, hvad en tangent er. Så hvad er en tangent?) Det er rigtigt, forholdet mellem sinus og cosinus.

For at sammenligne tangenter tegner vi en vinkel på samme måde som i det foregående tilfælde. Lad os sige, at vi skal sammenligne:

Har du tegnet det? Nu markerer vi også sinusværdierne på koordinataksen. Lagde du mærke til det? Angiv nu værdierne af cosinus på koordinatlinjen. sket? Lad os sammenligne:

Analyser nu, hvad du skrev. - vi deler et stort segment op i et lille. Svaret vil indeholde en værdi, der bestemt er større end én. Højre?

Og når vi deler den lille med den store. Svaret vil være et tal, der er præcis mindre end et.

Så hvilket trigonometrisk udtryk har den største værdi?

Højre:

Som du nu forstår, er sammenligning af cotangenter det samme, kun omvendt: vi ser på, hvordan de segmenter, der definerer cosinus og sinus, forholder sig til hinanden.

Prøv selv at sammenligne følgende trigonometriske udtryk:

Eksempler.

Svar.

SAMMENLIGNING AF TAL. GENNEMSNIVEAU.

Hvilket tal er størst: eller? Svaret er indlysende. Og nu: eller? Ikke så indlysende længere, vel? Altså: eller?

Ofte skal du vide hvilken numeriske udtryk mere. For eksempel for at placere punkterne på aksen i den rigtige rækkefølge, når man løser en ulighed.

Nu vil jeg lære dig, hvordan du sammenligner sådanne tal.

Hvis du har brug for at sammenligne tal, og vi sætter et tegn mellem dem (kommer fra latinske ord Versus eller forkortet vs. - mod): . Dette tegn erstatter det ukendte ulighedstegn (). Dernæst vil vi udføre identiske transformationer, indtil det bliver klart, hvilket tegn der skal placeres mellem tallene.

Essensen af at sammenligne tal er dette: vi behandler tegnet, som om det var en form for ulighedstegn. Og med udtrykket kan vi gøre alt, hvad vi normalt gør med uligheder:

tilføje et hvilket som helst tal til begge sider (og selvfølgelig kan vi også trække fra)
"flyt alt til den ene side", dvs. træk et af de sammenlignede udtryk fra begge dele. I stedet for det subtraherede udtryk forbliver: .
gange eller dividere med det samme tal. Hvis dette tal er negativt, vendes ulighedstegnet: .
hæve begge sider til samme magt. Hvis denne effekt er lige, skal du sikre dig, at begge dele har samme fortegn; hvis begge dele er positive, ændres tegnet ikke, når det hæves til en potens, men hvis de er negative, så ændres det til det modsatte.
udvinde roden af samme grad fra begge dele. Hvis vi udtrækker en rod af en lige grad, skal vi først sikre os, at begge udtryk er ikke-negative.
andre tilsvarende transformationer.

Vigtigt: det er tilrådeligt at lave transformationer, så ulighedstegnet ikke ændres! Det vil sige, at under transformationer er det uønsket at gange med et negativt tal, og du kan ikke kvadrere det, hvis en af delene er negativ.

Lad os se på et par typiske situationer.

1. Eksponentiering.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Da begge sider af uligheden er positive, kan vi kvadrere den for at slippe af med roden:

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Her kan vi også firkante, men dette vil kun hjælpe os af med kvadrat rod. Her er det nødvendigt at hæve den i en sådan grad, at begge rødder forsvinder. Det betyder, at eksponenten for denne grad skal være delelig med både (grad af den første rod) og med. Dette tal er derfor hævet til th potens:

2. Multiplikation med dets konjugat.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Lad os gange og dividere hver forskel med den konjugerede sum:

Det er klart, at nævneren på højre side er større end nævneren til venstre. Derfor er den højre fraktion mindre end den venstre:

3. Subtraktion

Lad os huske det.

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Selvfølgelig kunne vi kvadre alt, omgruppere og kvadrere det igen. Men du kan gøre noget smartere:

Det kan ses, at på venstre side er hvert led mindre end hvert led på højre side.

Følgelig er summen af alle led på venstre side mindre end summen af alle led på højre side.

Men vær forsigtig! Vi blev spurgt om hvad mere...

Højre side er større.

Eksempel.

Sammenlign tallene og...

Løsning.

Lad os huske trigonometriformlerne:

Lad os tjekke hvilke kvartaler på trigonometrisk cirkel der er point og.

4. Division.

Her bruger vi også en simpel regel: .

På eller, altså.

Når tegnet ændres: .

Eksempel.

Sammenlign:.

Løsning.

5. Sammenlign tallene med det tredje tal

Hvis og, så (lov om transitivitet).

Eksempel.

Sammenligne.

Løsning.

Lad os sammenligne tallene ikke med hinanden, men med tallet.

Det er indlysende.

På den anden side, .

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Begge tal er større, men mindre. Lad os vælge et tal, så det er større end det ene, men mindre end det andet. For eksempel, . Lad os tjekke:

6. Hvad skal man gøre med logaritmer?

Ikke noget specielt. Hvordan man slipper af med logaritmer er beskrevet detaljeret i emnet. De grundlæggende regler er:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \venstrehøjrepil (\rm( ))\venstre[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \kile (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \kile y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Vi kan også tilføje en regel om logaritmer med af forskellige årsager og samme argument:

Det kan forklares på denne måde: Jo større basen er, jo mindre skal den hæves for at få det samme. Hvis basen er mindre, er det modsatte sandt, da den tilsvarende funktion er monotont aftagende.

Eksempel.

Sammenlign tallene: og.

Løsning.

I henhold til ovenstående regler:

Og nu formlen for de avancerede.

Reglen for sammenligning af logaritmer kan skrives mere kort:

Eksempel.

Hvad er mere: eller?

Løsning.

Eksempel.

Sammenlign hvilket tal der er størst: .

Løsning.

SAMMENLIGNING AF TAL. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

1. Eksponentiering

Hvis begge sider af uligheden er positive, kan de kvadreres for at slippe af med roden

2. Multiplikation med dets konjugat

Et konjugat er en faktor, der komplementerer udtrykket til forskellen mellem kvadraters formel: - konjuger for og omvendt, fordi .

3. Subtraktion

4. Division

Hvornår eller det er

Når tegnet ændres:

5. Sammenligning med det tredje tal

Hvis og så

6. Sammenligning af logaritmer

Grundlæggende regler:

Logaritmer med forskellige baser og samme argument:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For succes bestå Unified State-eksamenen, for optagelse på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk der modtog en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke modtog det. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel -
Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - Køb en lærebog - 899 RUR

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i HELE sitets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

For to heltal x Og på Lad os introducere et forhold af sammenlignelighed i paritet, hvis deres forskel er lige tal. Det er let at kontrollere, at alle tre tidligere indførte ækvivalensbetingelser er opfyldt. Ækvivalensrelationen introduceret på denne måde opdeler hele sættet af heltal i to usammenhængende delmængder: delmængden af lige tal og delmængden af ulige tal.

Ved at generalisere dette tilfælde vil vi sige, at to heltal, der adskiller sig med et multiplum af et bestemt naturligt tal, er ækvivalente. Dette er grundlaget for begrebet modulo-sammenlignelighed, introduceret af Gauss.

Nummer EN, sammenlignelig med b modulo m, hvis deres forskel er delelig med et fast naturligt tal m, det er a - b divideret med m. Symbolsk er dette skrevet som:

a ≡ b(mod m),

og den lyder sådan her: EN sammenlignes med b modulo m.

Relationen introduceret på denne måde, takket være den dybe analogi mellem sammenligninger og ligheder, forenkler beregninger, hvor tal adskiller sig med et multiplum m, er faktisk ikke forskellige (da sammenligning er lighed op til et eller andet multiplum af m).

For eksempel er tallene 7 og 19 sammenlignelige modulo 4, men ikke sammenlignelige modulo 5, fordi 19-7=12 er deleligt med 4 og ikke deleligt med 5.

Man kan også sige, at antallet x modulo m lig med resten, når man dividerer med et heltal x på m, fordi

x=km+r, r = 0, 1, 2, ..., m-1.

Det er let at kontrollere, at sammenligneligheden af tal ifølge et givet modul har alle ækvivalensegenskaber. Derfor er sættet af heltal opdelt i klasser af tal, der er sammenlignelige i modulus m. Antallet af sådanne klasser er lige meget m, og alle tal af samme klasse, når de divideres med m give den samme rest. For eksempel hvis m= 3, så får vi tre klasser: klassen af tal, der er multipla af 3 (der giver resten 0, når de divideres med 3), klassen af tal, der efterlader resten 1, når de divideres med 3, og klassen af tal, der giver resten 2, når divideret med 3.

Eksempler på brug af sammenligninger er givet af de velkendte delelighedskriterier. Fælles talrepræsentation n tal i decimaltalsystemet har formen:

n = c102 + b101 + a100,

Hvor a, b, c,- cifre i et tal skrevet fra højre mod venstre, så EN- antal enheder, b- antal tiere osv. Siden 10k ≡ 1(mod9) for enhver k≥0, så følger det af det skrevne

n ≡ c + b + a(mod9),

hvorfra følger testen af delelighed med 9: n er deleligt med 9, hvis og kun hvis summen af dets cifre er deleligt med 9. Dette ræsonnement gælder også, når 9 erstattes med 3.

Vi opnår testen for delelighed med 11. Sammenligninger finder sted:

10≡- 1 (mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11) og så videre. Derfor n ≡ c - b + a - ….(mod11).

Derfor, n er delelig med 11, hvis og kun hvis den vekslende sum af dets cifre a - b + c -... er delelig med 11.

For eksempel er den vekslende sum af cifrene i tallet 9581 1 - 8 + 5 - 9 = -11, det er deleligt med 11, hvilket betyder, at tallet 9581 er deleligt med 11.

Hvis der er sammenligninger: , så kan de adderes, trækkes fra og ganges led for led på samme måde som ligheder:

En sammenligning kan altid ganges med et heltal:

hvis så

Det er dog ikke altid muligt at reducere en sammenligning med en hvilken som helst faktor, men det er umuligt at reducere den med den fælles faktor 6 for tallene 42 og 12. en sådan reduktion fører til et forkert resultat, da .

Af definitionen af sammenlignelighedsmodulo følger, at reduktion med en faktor er tilladt, hvis denne faktor er coprime til modulet.

Det blev allerede bemærket ovenfor, at ethvert heltal er sammenlignelig mod m med et af følgende tal: 0, 1, 2,... , m-1.

Ud over denne række er der andre talrækker, der har samme egenskab; så for eksempel er ethvert tal sammenligneligt mod 5 med et af følgende tal: 0, 1, 2, 3, 4, men også sammenligneligt med et af følgende tal: 0, -4, -3, -2, - 1 eller 0, 1, -1, 2, -2. Enhver sådan række af tal kaldes et komplet system af rester modulo 5.

Således er det komplette system af rester mod m er enhver serie af m tal, hvoraf ikke to er sammenlignelige med hinanden. Ofte brugt komplet system rester, bestående af tal: 0, 1, 2, ..., m-1. At trække tallet fra n modulo m er resten af divisionen n på m, som følger af fremstillingen n = km + r, 0<r<m- 1.

Definition 1. Hvis to tal er 1) -en Og b når divideret med s give den samme rest r, så kaldes sådanne numre equiremainder eller sammenlignelig i modul s.

Udmelding 1. Lade s et positivt tal. Derefter hvert tal -en altid og desuden på den eneste måde kan repræsenteres i formen

Men disse tal kan fås ved at indstille r lig med 0, 1, 2,..., s−1. Derfor sp+r=a vil få alle mulige heltalsværdier.

Lad os vise, at denne fremstilling er unik. Lad os lade som om s kan repræsenteres på to måder a=sp+r Og a=s 1 s+r 1 . Derefter

(2)

Fordi r 1 accepterer et af tallene 0,1, ..., s−1, derefter den absolutte værdi r 1 −r mindre s. Men af (2) følger det r 1 −r mange s. Derfor r 1 =r Og s 1 =s.

Nummer r hedder minus tal -en modulo s(med andre ord nummeret r kaldes resten af et nummer -en på s).

Udmelding 2. Hvis to tal -en Og b sammenlignelig i modul s, At a−b divideret med s.

Virkelig. Hvis to tal -en Og b sammenlignelig i modul s, så når divideret med s har den samme rest s. Derefter

divideret med s, fordi højre side af ligning (3) divideres med s.

Udmelding 3. Hvis forskellen på to tal er delelig med s, så er disse tal sammenlignelige i modulus s.

Bevis. Lad os betegne med r Og r 1 division rest -en Og b på s. Derefter

Eksempler 25≡39 (mod 7), -18≡14 (mod 4).

Af det første eksempel følger det, at 25, når de divideres med 7, giver den samme rest som 39. Faktisk er 25 = 3·7+4 (resten 4). 39=3·7+4 (resten 4). Når du overvejer det andet eksempel, skal du tage højde for, at resten skal være et ikke-negativt tal, der er mindre end modulet (dvs. 4). Så kan vi skrive: −18=−5·4+2 (resten 2), 14=3·4+2 (resten 2). Derfor efterlader −18, når de divideres med 4, en rest af 2, og 14, når de divideres med 4, efterlader en rest af 2.

Egenskaber ved modulo sammenligninger

Ejendom 1. For enhver -en Og s Altid

der er ikke altid en sammenligning

Hvor λ er den største fælles divisor af tal m Og s.

Bevis. Lade λ største fælles divisor af tal m Og s. Derefter

Fordi m(a−b) divideret med k, At

Den absolutte værdi af et tal

Modulus af nummer a betegne $|a|$. Lodrette streger til højre og venstre for tallet danner modultegnet.

For eksempel skrives modulet for ethvert tal (naturligt, heltal, rationelt eller irrationelt) som følger: $|5|$, $|-11|$, $|2.345|$, $|\sqrt(45)|$ .

Definition 1

Modulus af nummer a lig med selve tallet $a$, hvis $a$ er positivt, tallet $−a$, hvis $a$ er negativt, eller $0$, hvis $a=0$.

Denne definition af et tals modul kan skrives som følger:

$|a|= \begin(cases) a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Du kan bruge en kortere notation:

$|a|=\begin(cases) a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Eksempel 1

Beregn modulet af tallene $23$ og $-3,45$.

Løsning.

Lad os finde modulet for tallet $23$.

Tallet $23$ er positivt, derfor er modulet af et positivt tal pr. definition lig med dette tal:

Lad os finde modulet for tallet $–3,45$.

Tallet $–3,45$ er et negativt tal, derfor er modulet af et negativt tal ifølge definitionen lig med det modsatte tal af det givne tal:

Svar: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Definition 2

Et tals modul er den absolutte værdi af et tal.

Modulet for et tal er således et tal under modultegnet uden at tage hensyn til dets fortegn.

Modulus af et tal som en afstand

Geometrisk værdi af et tals modul: Modulet af et tal er afstanden.

Definition 3

Modulus af nummer a– dette er afstanden fra referencepunktet (nul) på tallinjen til det punkt, der svarer til tallet $a$.

Eksempel 2

For eksempel, modulet af tallet $12$ er lig med $12$, fordi afstanden fra referencepunktet til punktet med koordinat $12$ er tolv:

Punktet med koordinat $−8.46$ er placeret i en afstand af $8.46$ fra oprindelsen, så $|-8.46|=8.46$.

Modulus af et tal som en aritmetisk kvadratrod

Definition 4

Modulus af nummer a er den aritmetiske kvadratrod af $a^2$:

$|a|=\sqrt(a^2)$.

Eksempel 3

Beregn modulet af tallet $–14$ ved at bruge definitionen af modulet af et tal gennem kvadratroden.

Løsning.

$|-14|=\sqrt(((-14)^2)=\sqrt((-14) \cdot (-14))=\sqrt(14 \cdot 14)=\sqrt((14)^2 )=14$.

Svar: $|-14|=14$.

Sammenligning af negative tal

Sammenligning negative tal er baseret på en sammenligning af modulerne af disse tal.

Note 1

Regel for sammenligning af negative tal:

Hvis modulet af et af de negative tal er større, så er det tal mindre;
hvis modulet af et af de negative tal er mindre, så er et sådant tal stort;
hvis modulerne af tallene er ens, så er de negative tal ens.

Note 2

På tallinjen er det mindre negative tal til venstre for det større negative tal.

Eksempel 4

Sammenlign de negative tal $−27$ og $−4$.

Løsning.

Ifølge reglen for sammenligning af negative tal vil vi først finde de absolutte værdier af tallene $–27$ og $–4$, og derefter sammenligne de resulterende positive tal.

Således får vi at $–27 |-4|$.

Svar: $–27

Når du sammenligner negative rationelle tal, skal du konvertere begge tal til brøker eller decimaler.

Lad os betegne to punkter på koordinatlinjen, der svarer til tallene −4 og 2.

Punkt A, svarende til tallet −4, er placeret i en afstand af 4 enhedssegmenter fra punkt 0 (originet), det vil sige, at længden af segmentet OA er lig med 4 enheder.

Tallet 4 (længden af segmentet OA) kaldes modulet af tallet −4.

Udpege den absolutte værdi af et tal sådan her: |−4| = 4

Symbolerne ovenfor læses som følger: "modulet for tallet minus fire er lig med fire."

Punkt B, svarende til tallet +2, er placeret i en afstand af to enhedssegmenter fra oprindelsen, det vil sige, at længden af segmentet OB er lig med to enheder.

Tallet 2 kaldes modulet af tallet +2 og skrives: |+2| = 2 eller |2| = 2.

Hvis vi tager et bestemt tal "a" og afbilder det som punkt A på koordinatlinjen, vil afstanden fra punkt A til oprindelsen (med andre ord længden af segmentet OA) blive kaldt modulet af tallet " en".

Husk

Modulus af et rationelt tal De kalder afstanden fra origo til punktet på koordinatlinjen svarende til dette tal.

Da afstanden (længden af et segment) kun kan udtrykkes som et positivt tal eller nul, kan vi sige, at et tals modul ikke kan være negativ.

Husk

Lad os skrive modulets egenskaber ned ved hjælp af bogstavelige udtryk, overvejer

alle mulige tilfælde.

1. Modulet for et positivt tal er lig med selve tallet. |a| = a, hvis a > 0;

2. Modulet for et negativt tal er lig med det modsatte tal. |−a| = a hvis a< 0;

3. Modulet af nul er nul. |0| = 0 hvis a = 0;

4. Modsatte tal har lige store moduler.

Eksempler på moduler af rationelle tal:

· |−4.8| = 4,8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

Af to tal på en koordinatlinje er det, der er placeret til højre, større, og det, der er placeret til venstre, er mindre.

Husk

ethvert positivt tal større end nul og større end noget

negativt tal;

· ethvert negativt tal er mindre end nul og mindre end ethvert

positivt tal.

Eksempel.

Sammenligne rationelle tal praktisk at bruge modulkonceptet.

Det største af to positive tal er repræsenteret af et punkt placeret på koordinatlinjen til højre, det vil sige længere fra oprindelsen. Det betyder, at dette tal har et større modul.

Husk

Af to positive tal er det, hvis modul er større, større.

Når man sammenligner to negative tal, vil det største være placeret til højre, det vil sige tættere på oprindelsen. Det betyder, at dets modul (længden af segmentet fra nul til et tal) vil være mindre.