Gyldent snitt. Et nytt utseende

Det gylne snitt er en universell manifestasjon av strukturell harmoni. Det finnes i naturen, vitenskapen, kunsten - i alt som en person kan komme i kontakt med. Etter å ha blitt kjent med den gylne regel, forrådte menneskeheten den ikke lenger.

Definisjon.
Den mest omfattende definisjonen av det gylne snitt sier at den mindre delen er relatert til den større, akkurat som den større delen er relatert til helheten. Dens omtrentlige verdi er 1,6180339887. I en avrundet prosentverdi vil andelene av delene tilsvare 62 % til 38 %. Dette forholdet i form av rom og tid fungerer.

De gamle så det gylne snitt som en refleksjon av kosmisk orden, og Johannes Kepler kalte det en av geometriens skatter. Moderne vitenskap anser det gyldne snitt som "asymmetrisk symmetri", og kaller det i vid forstand en universell regel som gjenspeiler strukturen og ordenen i vår verdensorden.

Historie.
De gamle egypterne hadde en ide om de gylne proporsjonene, de visste om dem i Russland, men for første gang ble det gyldne snitt vitenskapelig forklart av munken Luca Pacioli i boken "Divine Proportion" (1509), illustrasjoner som angivelig ble laget av Leonardo da Vinci. Pacioli så den guddommelige treenigheten i det gyldne snitt: det lille segmentet personifiserte sønnen, det store segmentet faren og hele den hellige ånd.

Navnet på den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci er direkte assosiert med regelen for det gyldne snitt. Som et resultat av å løse et av problemene, kom forskeren frem til en tallsekvens som nå er kjent som Fibonacci-serien: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 osv. Kepler trakk oppmerksomheten til forholdet mellom denne sekvensen og det gylne snitt: "Det er arrangert på en slik måte at de to yngre medlemmene av denne uendelige andelen i summen gir det tredje medlemmet, og eventuelle to siste medlemmer, hvis de legges til, gir neste medlem, dessuten, den samme proporsjonen er bevart til det uendelige.» Nå er Fibonacci-serien det aritmetiske grunnlaget for å beregne proporsjonene til det gyldne snitt i alle dets manifestasjoner

Fibonacci-tall er en harmonisk inndeling, et mål på skjønnhet. Det gylne snitt i natur, menneske, kunst, arkitektur, skulptur, design, matematikk, musikk https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Leonardo da Vinci viet også mye tid til å studere funksjonene i det gyldne snitt, mest sannsynlig, selve begrepet tilhører ham. Tegningene hans av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter beviser at hvert av rektanglene oppnådd etter seksjon gir sideforholdet i den gylne inndelingen.

Over tid ble regelen om det gylne snitt en akademisk rutine, og bare filosofen Adolf Zeising ga den et nytt liv i 1855. Han brakte proporsjonene til det gylne snitt til det absolutte, noe som gjorde dem universelle for alle fenomener i omverdenen. Imidlertid forårsaket hans "matematiske estetikk" mye kritikk.

Natur.
Selv uten å gå inn i beregninger, kan det gyldne snitt lett finnes i naturen. Så, forholdet mellom halen og kroppen til en øgle, avstandene mellom bladene på en gren faller under den, det er et gyldent forhold i form av et egg, hvis en betinget linje trekkes gjennom den bredeste delen.

Den hviterussiske forskeren Eduard Soroko, som studerte formene for gylne inndelinger i naturen, bemerket at alt som vokser og streber etter å ta sin plass i rommet er utstyrt med proporsjonene til det gylne snitt. Etter hans mening er en av de mest interessante formene spiralvridning.
Arkimedes, som tok hensyn til spiralen, utledet en ligning basert på formen, som fortsatt brukes i teknologi. Goethe bemerket senere naturens tiltrekning til spiralformer, og kalte spiralen «livets kurve». Moderne forskere har funnet ut at slike manifestasjoner av spiralformer i naturen som et sneglehus, arrangementet av solsikkefrø, edderkoppnettmønstre, bevegelsen til en orkan, strukturen til DNA og til og med strukturen til galakser inneholder Fibonacci-serien.

Menneskelig.
Motedesignere og klesdesignere gjør alle beregninger basert på proporsjonene til det gylne snitt. Mennesket er en universell form for å teste lovene om det gylne snitt. Selvfølgelig, av natur, har ikke alle mennesker ideelle proporsjoner, noe som skaper visse vanskeligheter med valg av klær.

I Leonardo da Vincis dagbok er det en tegning av en naken mann innskrevet i en sirkel, i to overliggende posisjoner. Basert på forskningen til den romerske arkitekten Vitruvius, forsøkte Leonardo på samme måte å fastslå proporsjonene til menneskekroppen. Senere skapte den franske arkitekten Le Corbusier, ved å bruke Leonardos "Vitruvian Man", sin egen skala av "harmoniske proporsjoner", som påvirket estetikken til arkitekturen fra det 20. århundre.

Adolf Zeising, som utforsket proporsjonaliteten til en person, gjorde en kolossal jobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper, så vel som mange eldgamle statuer, og konkluderte med at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Hos en person er nesten alle deler av kroppen underordnet den, men hovedindikatoren på det gylne snittet er delingen av kroppen etter navlepunktet.
Som et resultat av målinger fant forskeren at proporsjonene til den mannlige kroppen 13:8 er nærmere det gylne snitt enn proporsjonene til den kvinnelige kroppen - 8:5.

Kunsten å romlige former.
Kunstneren Vasily Surikov sa, "at i en komposisjon er det en uforanderlig lov, når i et bilde du ikke kan fjerne eller legge til noe, kan du ikke engang sette et ekstra poeng, dette er ekte matematikk." I lang tid kunstnere fulgte denne loven intuitivt, men etter Leonardo da Vinci kan prosessen med å lage et maleri ikke lenger gjennomføres uten å løse geometriske problemer. For eksempel brukte Albrecht Durer det proporsjonale kompasset han fant opp for å bestemme punktene til det gylne snitt.

Kunstkritiker F. v. Kovalev, etter å ha undersøkt i detalj Nikolai Ges maleri "Alexander Sergeevich Pushkin i landsbyen Mikhailovskoye," bemerker at hver detalj på lerretet, det være seg en peis, en bokhylle, en lenestol eller dikteren selv, er strengt innskrevet i gylne proporsjoner.

Forskere av det gylne snitt studerer og måler utrettelig arkitektoniske mesterverk, og hevder at de ble slike fordi de ble skapt i henhold til de gylne kanonene: på listen deres er de store pyramidene i Giza, katedralen Notre Dame i Paris, St. Basil's Cathedral, Parthenon.
Og i dag, i enhver kunst av romlige former, prøver de å følge proporsjonene til det gylne snitt, siden de, ifølge kunstkritikere, letter oppfatningen av verket og danner en estetisk følelse hos betrakteren.

Ord, lyd og film.
Skjemaer er midlertidige? Go-kunsten, på sin egen måte, demonstrerer for oss prinsippet om den gylne divisjon. Litteraturvitere, for eksempel, har lagt merke til at det mest populære antall linjer i dikt sen periode Pushkins kreativitet tilsvarer Fibonacci-serien - 5, 8, 13, 21, 34.

Regelen om det gylne snitt gjelder også i individuelle verk av den russiske klassikeren. Dermed er klimakset til "Spaddronningen" den dramatiske scenen til Herman og grevinnen, som ender med sistnevntes død. Historien har 853 linjer, og klimakset inntreffer på linje 535 (853: 535 = 1, 6) - dette er poenget med det gylne snitt.

Den sovjetiske musikkforskeren E. K. Rosenov bemerker den fantastiske nøyaktigheten av forholdene til det gylne snitt i de strenge og frie formene til verkene til Johann Sebastian Bach, som tilsvarer mesterens gjennomtenkte, konsentrerte, teknisk verifiserte stil. Dette gjelder også de fremragende verkene til andre komponister, der den mest slående eller uventede musikalske løsningen vanligvis finner sted ved det gylne snitt.
Filmregissør Sergei Eisenstein koordinerte bevisst manuset til filmen "Battleship Potemkin" med regelen om det gylne snitt, og delte filmen inn i fem deler. I de tre første seksjonene foregår handlingen på skipet, og i de to siste - i Odessa. Overgangen til scener i byen er filmens gylne midte.

Eksempler på det gylne snitt. Hvordan få det gylne snitt

Så det gylne snitt er gyldne snitt, som også er en harmonisk divisjon. For å forklare dette tydeligere, la oss se på noen funksjoner i skjemaet. Nemlig: en form er noe helt, og helheten består på sin side alltid av noen deler. Disse delene har mest sannsynlig forskjellige egenskaper, i det minste forskjellige størrelser. Vel, slike dimensjoner står alltid i et visst forhold, både seg imellom og i forhold til helheten.

Dette betyr med andre ord at vi kan si at det gylne snitt er et forhold på to størrelser, som har sin egen formel. Å bruke dette forholdet når du lager en form, bidrar til å gjøre den så vakker og harmonisk som mulig for det menneskelige øyet.

Det er mye å si for en spiraltatovering mer mening enn det ser ut ved første øyekast. Et slikt enkelt mønster er bygget etter det såkalte gyldne snitt-prinsippet, som finnes overalt i naturen. Dessuten har dette prinsippet vært kjent siden antikken, noe som bekreftes av dets tilstedeværelse ved bunnen av de egyptiske pyramidene.

Symbolikk av spiral tatoveringer

I Ta-moko-tatoveringer eller i de samme keltiske mønstrene finnes spiraler veldig ofte, og dette er ikke overraskende. Fraværet av rette vinkler i denne figuren symboliserer forbindelsen med naturen, som ikke liker rette vinkler og alltid prøver å jevne dem ut. En spiraltatovering betyr enhet med naturen som regel, rolige, fornuftige mennesker gjør en slik tatovering.

Men dette er bare en generell betydning, ofte prøver folk å finne ut om betydningen av en spiraltatovering, og forveksler den faktisk med andre tatoveringer. Spiralskalltatoveringen villeder ofte folk, den har blitt ganske populær i det siste. En betydning er helt annerledes, den passer for lukkede mennesker, enstøinger, som vanligvis har fått et slags sjokk og ikke vil dele om det, men til hans ære lager de en slik tatovering.

En bølgetatovering, som symboliserer kjærlighet til havet, eller en svart soltatovering, hvis betydning vi skrev i detalj, ligner veldig på en spiral.

Ofte er en spiral tatovering laget som en talisman, siden det er et symbol på livets sykliske natur, det formidler energien til verden og eksistens. Spiralbildet kan påføres skuldre, underarmer, bryst og rygg. Tatoveringen er mer egnet for kvinner, siden en annen betydning av tatoveringen er det feminine prinsippet.

Det antas at Pythagoras var den første som introduserte konseptet med det gylne snitt. Verkene til Euklid har overlevd til i dag (han brukte det gyldne snitt til å bygge vanlige femkanter, og det er grunnen til at en slik femkant kalles "gylden"), og nummeret på det gyldne snitt er oppkalt etter den gamle greske arkitekten Phidias. Det vil si at dette er tallet vårt "phi" (betegnet Gresk bokstavφ), og den er lik 1,6180339887498948482... Naturligvis er denne verdien avrundet: φ = 1,618 eller φ = 1,62, og prosentvis ser det gylne snitt ut som 62 % og 38 %.

Hva er unikt med denne andelen (og tro meg, den eksisterer)? La oss først prøve å finne det ut ved å bruke et eksempel på et segment. Så vi tar et segment og deler det inn i ulike deler på en slik måte at den mindre delen relaterer seg til den større, ettersom den større delen relaterer seg til helheten. Jeg forstår, det er ikke veldig klart ennå hva som er hva, jeg skal prøve å illustrere det tydeligere ved å bruke eksemplet med segmenter:

Så vi tar et segment og deler det i to andre, slik at det mindre segmentet a forholder seg til det større segmentet b, akkurat som segmentet b forholder seg til helheten, det vil si hele linjen (a + b). Matematisk ser det slik ut:

Denne regelen fungerer på ubestemt tid, du kan dele segmenter så lenge du vil. Og se hvor enkelt det er. Det viktigste er å forstå det en gang, og det er det.

Men la oss nå se nærmere komplekst eksempel, som dukker opp veldig ofte, siden det gylne snittet også er representert i form av et gyllent rektangel (hvilket sideforhold er φ = 1,62). Dette er et veldig interessant rektangel: hvis vi "skjærer av" en firkant fra det, vil vi igjen få et gyllent rektangel. Og så videre i det uendelige. Se:

Men matematikk ville ikke vært matematikk hvis den ikke hadde formler. Så venner, nå vil det "gjøre litt vondt". Jeg gjemte løsningen til det gylne snittet under en spoiler, det er mange formler, men jeg vil ikke forlate artikkelen uten dem.

Prinsippet om det gylne snitt. Vellykket skapelse eller regelen om det gylne snitt

Å fange øyeblikket - dette er nettopp det øyeblikket en kunstner eller fotograf skaper. I tillegg til inspirasjon, må mesteren følge strengt definerte regler, som inkluderer: kontrast, plassering, balanse, regelen om tredjedeler og mange andre. Men regelen om det gylne snitt, også kjent som regelen om tredjedeler, er fortsatt anerkjent som en prioritet.

Bare noe komplisert

Hvis vi presenterer grunnlaget for regelen for det gylne snitt i en forenklet form, så er det faktisk delingen av det reproduserte øyeblikket i ni like deler (tre vertikalt og tre horisontalt). For første gang introduserte Leonardo da Vinci det spesifikt, og arrangerte alle komposisjonene hans i dette unike rutenettet. Det var han som praktisk talt bekreftet at nøkkelelementene i bildet skulle konsentreres i skjæringspunktene mellom vertikale og horisontale linjer.

Regelen om det gylne snitt i fotografering er underlagt en viss korreksjon. I tillegg til ni-segment rutenettet, anbefales det å bruke såkalte trekanter. Prinsippet for deres konstruksjon er basert på regelen om tredjedeler. For å gjøre dette trekkes en diagonal fra det ekstreme øvre punktet til det nedre, og fra det motsatte øvre punktet tegnes en stråle som deler den allerede eksisterende diagonalen ved et av de interne skjæringspunktene i rutenettet. Nøkkelelementet i komposisjonen skal vises i gjennomsnittsstørrelsen på de resulterende trekantene. Det er verdt å bemerke her: det gitte diagrammet for å konstruere trekanter gjenspeiler bare deres prinsipp, og derfor er det fornuftig å eksperimentere med de gitte instruksjonene.

Hvordan bruke rutenett og trekanter?

Det gyldne snitt-regelen i fotografering fungerer i henhold til visse standarder avhengig av hva som er avbildet i den.

Horisontfaktor. I henhold til tredjedelsregelen skal den plasseres langs horisontale linjer. Dessuten, hvis det fangede objektet er over horisonten, passerer faktoren gjennom bunnlinjen, og omvendt.

Plassering av hovedobjektet. Det klassiske arrangementet er et der det sentrale elementet er plassert i et av skjæringspunktene. Hvis fotografen velger to objekter, bør de være diagonale eller i parallelle punkter.

Ved hjelp av trekanter. Gyldensnittsregelen i saken under behandling avviker fra kanonene, men bare litt. Objektet trenger ikke å være plassert i skjæringspunktet, men er nærmest mulig i den midterste trekanten.

Retning. Dette prinsippet for fotografering brukes i dynamisk fotografering og består i at to tredjedeler av bildeplassen skal forbli foran det bevegelige objektet. Dette vil gi effekten av å gå fremover og indikere målet. Ellers kan bildet forbli misforstått.

Korrigering av regelen for det gylne snitt

Til tross for at tredjedelsregelen i den eksisterende teorien om komposisjon anses som klassisk, er flere og flere fotografer tilbøyelige til å forlate den. Motivasjonen deres er enkel: analyse av malerier av kjente kunstnere viser at regelen om det gylne snitt ikke stemmer. Man kan argumentere med dette utsagnet.

La oss se på den velkjente Mona Lisa, som motstandere av å bruke tredjedelsregelen nevner som et eksempel (glemmer at da Vinci selv var opphavet til den praktiske bruken). Deres argument er at mesteren ikke anså det som nødvendig å ordne nøkkelelementene i bildet i skjæringspunktene, slik det klassiske bildet krever. Men de overser faktoren med horisontale linjer, ifølge hvilke hodet og overkroppen til den avbildede personen er plassert på en slik måte at silhuetten som helhet ikke "skader øyet". Dessuten i dette arbeidet i større grad det brukes en spiral, som stort sett er glemt av fototeoretikere. Så det er mulig å tilbakevise utsagn om nesten hver eneste skapelse som er nevnt som eksempel.

Regelen for det gyldne snitt kan brukes eller forlates hvis du vil understreke disharmonien i komposisjonen. Det er imidlertid umulig å si at det ikke er nøkkelen i dannelsen av et kunstobjekt.

Gyldent snitt i arkitektur. Hvordan få det gylne snitt

Det gylne snitt er lettest representert som forholdet mellom to deler av en gjenstand forskjellige lengder, atskilt med en prikk.

Enkelt sagt, hvor mange lengder av et lite segment vil passe inn i et stort, eller forholdet mellom den største delen og hele lengden av et lineært objekt. I det første tilfellet er det gyldne snittet 0,63, i det andre tilfellet er sideforholdet 1,618034.

I praksis er det gyldne snitt bare en proporsjon, forholdet mellom segmenter av en viss lengde, sider av et rektangel eller andre geometriske former, relaterte eller konjugerte dimensjonale egenskaper til virkelige objekter.

Opprinnelig ble de gylne proporsjonene utledet empirisk ved hjelp av geometriske konstruksjoner. Det er flere måter å konstruere eller utlede harmoniske proporsjoner på:

Den klassiske inndelingen av en av sidene i en rettvinklet trekant og konstruksjonen av perpendikulære og sekantbuer. For å gjøre dette, fra den ene enden av segmentet er det nødvendig å gjenopprette en vinkelrett med en høyde på ½ lengde og konstruere høyre trekant, som i diagrammet.
Hvis vi plotter høyden på perpendikulæren på hypotenusen, så med en radius lik det gjenværende segmentet, kuttes basen i to segmenter med lengder proporsjonale med det gylne forholdet;
Ved å bruke metoden for å konstruere pentagrammet til Durer, den strålende tyske grafikeren og geometeret. I dag kjenner vi Dürers metode for det gylne snitt som en metode for å konstruere en stjerne eller pentagram innskrevet i en sirkel der det er minst fire segmenter med harmonisk proporsjon;
I arkitektur og konstruksjon brukes ofte det gylne snitt i forbedret form. I dette tilfellet brukes delingen av en rettvinklet trekant ikke langs benet, men langs hypotenusen, som et diagram.

Til din informasjon! I motsetning til det klassiske gylne snittet, innebærer den arkitektoniske versjonen et sideforhold på 44:56.

Hvis standardversjonen av det gylne snitt for levende vesener, malerier, grafikk, skulpturer og eldgamle bygninger ble beregnet til 37:63, så begynte det gyldne snitt i arkitekturen fra slutten av 1600-tallet i økende grad å bli brukt som 44:56. De fleste eksperter anser endringen til fordel for mer "firkantede" proporsjoner for å være spredningen av høyhuskonstruksjon.

Mange drømmer om et ideelt utseende, men ikke alle har en klar ide om hvilke proporsjoner som kan betraktes som harmoniske. Formelen for ansiktets gylne snitt er uløselig knyttet til tallet 1.618 og andre forhold. Dermed kan proporsjonene av skjønnhet beskrives som følger:

forholdet mellom høyden og bredden på ansiktet skal være 1,618;
hvis du deler lengden på munnen og bredden på nesevingene, får du 1,618;
når du deler avstandene mellom pupillene og øyenbrynene, igjen, er resultatet 1,618;
lengden på øynene skal samsvare med avstanden mellom dem, samt bredden på nesen;
områdene i ansiktet fra hårfestet til øyenbrynene, fra neseryggen til nesetippen, og den nedre delen til haken skal være like;
hvis du tegner fra elevene vertikale linjer til hjørnene på leppene får du tre like store seksjoner.

Du må forstå at i naturen er tilfeldigheten av alle parametere ganske sjelden. Men det er ikke noe galt med det. Dette betyr ikke i det hele tatt at personer som ikke følger perfekte proporsjoner, kan kalles stygg eller upen. Tvert imot er det "defekter" som noen ganger gir et ansikt en uforglemmelig sjarm.

Det gylne snitt i sammensetningen av tegninger i paint.net
Matematisk kan det "gyldne forholdet" beskrives som følger: forholdet mellom helheten og dens større del må være lik forholdet mellom den større delen og den mindre. La oss illustrere med eksempelet på et segment.

I vårt tilfelle er hele segmentet B delt inn i to deler - større A og mindre B. Så, hvis B / A er lik A / B, vil delingen av segmentet utføres i henhold til prinsippet kalt "Golden Seksjon".
Ikke akkurat nøyaktig, men nær Golden Ratio, for eksempel et forhold på 2/3 eller 5/8. Tall i slike forhold kalles ofte "gyldne".
Hvorfor trenger vi denne informasjonen for å tegne i paint.net? The Golden Ratio er viktig for komposisjon. Det antas at gjenstander som inneholder det "gyldne snittet" blir oppfattet av folk som de mest harmoniske. Det var i lignende forhold at kjente kunstnere valgte størrelsen på vertene for maleriene sine.
La oss vurdere en forenklet versjon av å konstruere "Golden Ratio" for komposisjonen av en tegning, eller "Rule of Thirds". Tredjedelsregelen er at vi mentalt deler rammen inn i tre deler horisontalt og vertikalt, og ved skjæringspunktene mellom imaginære linjer plasserer vi nøkkelen og viktige detaljer i tegningen eller fotokollasjen vår.

Prinsippet om det "gyldne forholdet" kan brukes når du beskjærer et bilde. Så for eksempel kan en ramme dannet i henhold til regelen "gyldent forhold" fra et stort fotografi se slik ut.

Gyldent snitt i musikk. Gyldent snittmetode i musikalske verk

"Det gylne snitt" er snarere et matematisk konsept, og studiet er en vitenskapelig oppgave. Dette er delingen av en viss mengde i to deler i et slikt forhold at den største delen vil være relatert til den mindre som helheten er til den større. Denne holdningen viser seg å være lik det transcendentale tallet Ф=1,6180339... med fantastiske egenskaper.

Det gylne snitt-metoden er et søk etter funksjonsverdier på et gitt intervall. Denne metoden er basert på prinsippet om å dele et segment i det såkalte gyldne snitt. Mest utbredt den ble oppnådd for å søke etter ekstreme verdier når du løser optimaliseringsproblemer. I tillegg til matematikk, brukes det gylne snitt-metoden på en rekke felt, fra arkitektur, kunst til astronomi. For eksempel brukte den berømte sovjetiske regissøren Sergei Eisenstein den i sin film «Slagskipet Potemkin», og Leonardo da Vinci brukte den da han skrev den berømte «La Gioconda».

Det gylne snitt-metoden brukes også i musikk. Det viste seg at denne gylne proporsjonen forekommer veldig ofte i musikalske verk. På begynnelsen av 1900-tallet, på et møte i Moscow Music Circle, ble det laget en melding som inneholdt informasjon om anvendelsen av det gylne snitt i musikk. Meldingen ble lyttet til med stor interesse av medlemmer av den musikalske kretsen, komponistene S. Rachmaninov, S. Taneyev, R. Gliere og andre. Rapport av musikkforsker E.K. Rosenov "The Law of the Golden Ratio in Music and Poetry" markerte begynnelsen på forskning på matematiske mønstre assosiert med det gylne snitt i musikk. Han analyserte musikkverkene til Mozart, Bach, Beethoven, Wagner, Chopin, Glinka og andre komponister og viste at denne "guddommelige proporsjonen" var til stede i verkene deres.

Klimakset til mange musikalske verk er ikke plassert i sentrum, men er litt forskjøvet mot slutten av verket i forholdet 62:38 - dette er poenget med den gylne proporsjonen. Doktor i kunsthistorie, professor L. Mazel la merke til, mens han studerte åttetaktsmelodiene til Chopin, Beethoven, Scriabin, at i mange verk av disse komponistene faller klimakset som regel på det svake slaget til kvint, dvs. , ved det gyldne snitt - 5/8. L. Mazel mente at nesten hver komponist som holder seg til den harmoniske stilen kan finne en lignende musikalsk struktur: fem takter med stigning og tre takter med nedstigning. Dette tyder på at det gylne snitt-metoden ble aktivt brukt av komponister, enten bevisst eller ubevisst. Sannsynligvis gir dette strukturelle arrangementet av klimaktiske øyeblikk det musikalske verket en harmonisk klang og følelsesmessig farge.

En seriøs studie av musikalske verk for manifestasjonen av den gyldne proporsjonen i dem ble utført av komponist og musikolog L. Sabaneev. Han studerte rundt to tusen verk av forskjellige komponister og kom til den konklusjon at i omtrent 75 % av tilfellene var det gylne snitt til stede i et musikalsk verk minst én gang. Det meste et stort nummer av verk der den gylne proporsjonen forekommer, bemerket han hos komponister som Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Scriabin (90%), Chopin (92%), Schubert (91 %). Han studerte Chopins etuder på det nærmeste og kom til at det gylne snitt ble bestemt i 24 av 27 etuder. Bare i tre av Chopins etude ble det gylne snitt ikke funnet. Noen ganger inkluderte strukturen til et musikalsk verk både symmetri og det gylne snitt. For eksempel er mange av Beethovens verk delt inn i symmetriske deler, og i hver av dem vises det gylne snitt.

Så vi kan si at tilstedeværelsen av det gylne snitt i et musikkstykke er et av kriteriene for harmonien til en musikalsk komposisjon.

En person skiller gjenstander rundt seg ved deres form. Interessen for formen til et objekt kan dikteres av vital nødvendighet, eller det kan være forårsaket av formens skjønnhet. Formen, hvis konstruksjon er basert på en kombinasjon av symmetri og det gylne snitt, bidrar til den beste visuelle oppfatningen og utseendet til en følelse av skjønnhet og harmoni. Helheten består alltid av deler, deler av ulik størrelse står i et visst forhold til hverandre og til helheten. Prinsippet om det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen av helheten og dens deler i kunst, vitenskap, teknologi og natur.

Gyldent forhold - harmonisk proporsjon

I matematikk proporsjon(lat. proportio) kaller likheten mellom to relasjoner: en : b = c : d.

Rett segment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:

i to like deler - AB : AC = AB : Sol;

i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);

altså når AB : AC = AC : Sol.

Sistnevnte er den gylne divisjonen eller delingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold.

Det gylne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den større delen som den større delen selv er relatert til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er til det større som det større er for helheten

en : b = b : c eller Med : b = b : EN.

Ris. 1. Geometrisk bilde av det gylne snitt

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Ris. 2. Dele et rett linjestykke ved hjelp av det gylne snitt. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Fra punkt I en perpendikulær lik halvparten gjenopprettes AB. Mottatt poeng MED forbundet med en linje til et punkt EN. Et segment plottes på den resulterende linjen Sol slutter med en prikk D. Linjestykke AD overført til direkte AB. Det resulterende punktet E deler et segment AB i det gylne snitt.

Segmenter av det gylne snitt uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøkdel A.E.= 0,618..., hvis AB ta som en VÆRE= 0,382... For praktiske formål brukes ofte omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38. Hvis segmentet AB tatt som 100 deler, så er den største delen av segmentet lik 62, og den mindre delen er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:

x 2 - x - 1 = 0.

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt har skapt en romantisk aura av mystikk og nesten mystisk tilbedelse rundt dette nummeret.

Andre gylne snitt

Det bulgarske magasinet «Fatherland» (nr. 10, 1983) publiserte en artikkel av Tsvetan Tsekov-Karandash «On the second golden section», som følger av hoveddelen og gir et nytt forhold på 44:56.

Denne andelen finnes i arkitektur, og oppstår også når man konstruerer komposisjoner av bilder av et langstrakt horisontalt format.

Ris. 3. Konstruksjon av det andre gylne snitt

Inndelingen utføres som følger (se fig. 3). Linjestykke AB delt etter det gylne snitt. Fra punkt MED perpendikulæren gjenopprettes CD. Radius AB det er et poeng D, som er forbundet med en linje til et punkt EN. Rett vinkel ACD er delt i to. Fra punkt MED en linje trekkes til den skjærer linjen AD. Punktum E deler et segment AD i forhold til 56:44.

Ris. 4.Å dele et rektangel med linjen til det andre gylne snittet

I fig. Figur 4 viser posisjonen til linjen til det andre gylne snitt. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

Gylden trekant

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagram.

Ris. 5. Konstruksjon av en vanlig femkant og pentagram

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for konstruksjonen ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Durer (1471...1528). La O- sentrum av sirkelen, EN- et punkt på en sirkel og E- midten av segmentet OA. Vinkelrett på radius OA, gjenopprettet på punktet OM, skjærer sirkelen i punktet D. Bruk et kompass til å tegne et segment på diameteren C.E. = ED. Sidelengden til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er DC. Legg ut segmenter på sirkelen DC og vi får fem poeng for å trekke en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene på femkanten gjennom hverandre med diagonaler og får et femkant. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.

Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Ris. 6. Konstruksjon av den gylne trekanten

Vi gjennomfører en direkte AB. Fra punkt EN legg et segment på den tre ganger OM vilkårlig verdi, gjennom det resulterende punktet R tegne en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punktet R sett til side segmentene OM. Fikk poeng d Og d 1 koble med rette linjer til et punkt EN. Linjestykke dd sett 1 på streken Annonse 1, får et poeng MED. Hun delte linjen Annonse 1 i forhold til det gylne snitt. Linjer Annonse 1 og dd 1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Historien om det gylne snitt

Det er generelt akseptert at konseptet med den gylne inndelingen ble introdusert i vitenskapelig bruk av Pythagoras, en gammel gresk filosof og matematiker (VI århundre f.Kr.). Det er en antagelse om at Pythagoras lånte sin kunnskap om den gylne divisjonen fra egypterne og babylonerne. Faktisk indikerer proporsjonene til Cheops-pyramiden, templene, bas-relieffer, husholdningsartikler og smykker fra graven til Tutankhamun at egyptiske håndverkere brukte forholdene til den gylne divisjonen når de laget dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fant at i relieffet fra tempelet til farao Seti I i Abydos og i relieffet som skildrer farao Ramses, samsvarer proporsjonene til figurene med verdiene til den gyldne divisjonen. Arkitekten Khesira, avbildet på et relieff av en treplate fra en grav oppkalt etter ham, holder i hendene måleinstrumenter der proporsjonene til den gylne inndelingen er registrert.

Grekerne var dyktige geometre. De lærte til og med regning til barna sine ved hjelp av geometriske former. Det pytagoreiske kvadratet og diagonalen til dette kvadratet var grunnlaget for konstruksjonen av dynamiske rektangler.

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Fasaden til det gamle greske tempelet i Parthenon har gylne proporsjoner. Under utgravningene ble det oppdaget kompass som ble brukt av arkitekter og skulptører fra den antikke verden. Det pompeianske kompasset (museet i Napoli) inneholder også proporsjonene til den gylne inndelingen.

Ris. 8. Antikt kompass med gyldne snitt

I den gamle litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gyldne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I den andre boken av "Prinsippene" er en geometrisk konstruksjon av den gylne inndelingen gitt. Etter Euclid ble studien av den gylne inndelingen utført av Hypsicles (II århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre. middelalderens Europa vi ble kjent med den gylne divisjonen gjennom Arabiske oversettelser Euklids "Begynnelser". Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.

Under renessansen økte interessen for den gyldne divisjonen blant forskere og kunstnere på grunn av dens bruk i både geometri og kunst, spesielt innen arkitektur, Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde mye empirisk erfaring, men lite. kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.

Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "The Divine Proportion" utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med den gyldne proporsjon, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten - Gud sønnen, Gud faren og Gud den hellige ånd (det ble antydet at den lille segmentet er personifiseringen av Gud sønnen, det større segmentet - Gud faren, og hele segmentet - Den Hellige Ånds Gud).

Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i den gylne inndelingen. Det er derfor han ga denne avdelingen navnet gyldne snitt. Så den er fortsatt den mest populære.

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."

Etter et av Dürers brev å dømme møtte han Luca Pacioli mens han var i Italia. Albrecht Durer utvikler i detalj teorien om proporsjoner av menneskekroppen. Dürer tildelte det gylne snitt en viktig plass i sitt system av relasjoner. En persons høyde er delt i gylne proporsjoner av beltets linje, så vel som av en linje trukket gjennom tuppene av langfingrene på de senkede hendene, den nedre delen av ansiktet ved munnen, etc. Dürers proporsjonale kompass er velkjent.

Stor astronom på 1500-tallet. Johannes Kepler kalte det gylne snitt for en av geometriens skatter. Han var den første som gjorde oppmerksom på betydningen av den gyldne proporsjon for botanikk (plantevekst og deres struktur).

Kepler kalte den gyldne andelen selv-fortsatt "Den er strukturert på en slik måte," skrev han, "at de to laveste leddene i denne uendelige andelen summerer seg til den tredje termen, og eventuelle to siste ledd, hvis de legges sammen. , gi neste ledd, og den samme andelen forblir til uendelig."

Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).

Hvis du er på en rett linje med vilkårlig lengde, sett til side segmentet m, sett segmentet ved siden av M. Basert på disse to segmentene bygger vi en skala av segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier

Ris. 9. Konstruksjon av en skala av gylne proporsjonssegmenter

I de påfølgende århundrene ble regelen om den gyldne proporsjon til en akademisk kanon, og da kampen mot akademisk rutine over tid begynte i kunsten, i kampens hete, "kastet de ut babyen med badevannet." Det gyldne snitt ble "oppdaget" igjen på midten av 1800-tallet. I 1855 publiserte den tyske forskeren av det gylne snitt, professor Zeising, sitt arbeid "Estetiske studier". Det som skjedde med Zeising var akkurat det som uunngåelig skulle skje med en forsker som vurderer et fenomen som sådan, uten sammenheng med andre fenomener. Han absoluttiserte andelen av det gylne snitt, og erklærte det universelt for alle fenomener innen natur og kunst. Zeising hadde mange tilhengere, men det var også motstandere som erklærte hans proporsjonsdoktrine for å være «matematisk estetikk».

Ris. 10. Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Å dele kroppen med navlepunktet - den viktigste indikatoren gyldne snitt. Andelene til den mannlige kroppen svinger innenfor gjennomsnittsforholdet 13: 8 = 1,625 og er noe nærmere det gyldne snitt enn proporsjonene til kvinnekroppen, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

Ris. elleve. Gylne proporsjoner i menneskefiguren

Zeising testet gyldigheten av teorien hans på greske statuer. Han utviklet proporsjonene til Apollo Belvedere mest detaljert. Greske vaser og arkitektoniske strukturer ble undersøkt forskjellige tidsepoker, planter, dyr, fugleegg, musikalske toner, poetiske metre. Zeising ga en definisjon av det gylne snitt og viste hvordan det uttrykkes i rette linjesegmenter og i tall. Da tallene som uttrykker lengdene til segmentene ble oppnådd, så Zeising at de utgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsettes i det uendelige i den ene eller den andre retningen. Hans neste bok fikk tittelen "Den gylne divisjon som den grunnleggende morfologiske loven i natur og kunst." I 1876 ble det utgitt en liten bok, nesten en brosjyre, i Russland som skisserte dette arbeidet til Zeising. Forfatteren tok tilflukt under initialene Yu.F.V. Denne utgaven nevner ikke et eneste malerverk.

I sent XIX- tidlig på 1900-tallet Mange rent formalistiske teorier dukket opp om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt til design av biler, møbler osv.

Fibonacci-serien

Navnet på den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci (sønn av Bonacci), er indirekte forbundet med historien til det gylne snitt. Han reiste mye i øst, introduserte Europa for indiske (arabiske) tall. I 1202 ble hans matematiske verk "The Book of the Abacus" (tellebrett) utgitt, som samlet alle problemene som var kjent på den tiden. Et av problemene var "Hvor mange par kaniner vil bli født fra ett par på ett år." Etter å ha reflektert over dette emnet, bygde Fibonacci følgende serie med tall:

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallrekkefølgen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, lik summen to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så, 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forholdet er angitt med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618: 0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjesegment i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer det til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som det større er til helheten.

Fibonacci tok også for seg de praktiske behovene til handel: hva er det minste antallet vekter som kan brukes til å veie et produkt? Fibonacci beviser at det optimale vektsystemet er: 1, 2, 4, 8, 16...

Generalisert gyldent snitt

Fibonacci-serien kunne ha forblitt bare en matematisk hendelse, hvis ikke for det faktum at alle forskere av den gylne divisjonen i plante- og dyreverdenen, for ikke å nevne kunst, alltid kom til denne serien som et aritmetisk uttrykk for loven om det gylne. inndeling.

Forskere fortsatte å aktivt utvikle teorien om Fibonacci-tall og det gylne snitt. Yu Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved å bruke Fibonacci-tall. Det dukker opp elegante metoder for å løse en rekke kybernetiske problemer (søketeori, spill, programmering) ved hjelp av Fibonacci-tall og det gylne snitt. I USA opprettes til og med Mathematical Fibonacci Association, som har publisert et spesialtidsskrift siden 1963.

En av prestasjonene på dette feltet er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serien med vekter oppdaget av ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øyekast er helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., i den andre - dette er summen av de to foregående tallene 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Er det mulig å finne en generell matematisk formel som vi får " binære serier og Fibonacci serier? Eller kanskje denne formelen vil gi oss nye tallsett, besitter noen nye unike egenskaper?

Faktisk, la oss spørre numerisk parameter S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tenk på en tallserie, S+ 1 av de første leddene er enheter, og hver av de påfølgende er lik summen av to ledd av den forrige og atskilt fra den forrige med S trinn. Hvis n Vi betegner det tredje leddet i denne serien med φ S ( n), så får vi generell formelφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Det er åpenbart at når S= 0 fra denne formelen får vi en "binær" serie, med S= 1 - Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. ny serie med tall, som kalles S-Fibonacci-tall.

Generelt gyldent S-proporsjon er den positive roten til den gyldne ligningen S-seksjoner x S+1 - x S - 1 = 0.

Det er lett å vise at når S= 0, segmentet er delt i to, og når S= 1 - det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdet mellom naboer S- Fibonacci-tall sammenfaller med absolutt matematisk nøyaktighet i grensen med gull S-proporsjoner! I slike tilfeller sier matematikere at gull S-seksjoner er numeriske invarianter S-Fibonacci-tall.

Fakta som bekrefter eksistensen av gull S-seksjoner i naturen, siterer den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre av en av gull S-proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at gull S-seksjoner er numeriske invarianter av selvorganiserende systemer. Når den først er bekreftet eksperimentelt, kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk – et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Bruker gullkoder S-proporsjoner kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall som summen av gullkrefter S-proporsjoner med heltallskoeffisienter.

Den grunnleggende forskjellen mellom denne metoden for å kode tall er at basene til de nye kodene, som er gylne S-proporsjoner, med S> 0 viser seg å være irrasjonelle tall. Dermed ser nye tallsystemer med irrasjonelle baser ut til å sette det historisk etablerte hierarkiet av relasjoner mellom rasjonelle og irrasjonelle tall "fra topp til fot." Faktum er at naturlige tall først ble "oppdaget"; da er forholdstallene deres rasjonelle tall. Og først senere - etter oppdagelsen av inkommensurable segmenter av pytagoreerne - ble irrasjonelle tall født. For eksempel, i desimale, quinære, binære og andre klassiske posisjonelle tallsystemer ble naturlige tall valgt som et slags grunnleggende prinsipp - 10, 5, 2 - hvorfra, i henhold til visse regler, alle andre naturlige tall, så vel som rasjonelle tall. og irrasjonelle tall, ble konstruert.

Et slags alternativ til eksisterende notasjonsmetoder er et nytt, irrasjonelt system, som et grunnleggende prinsipp, hvis begynnelse er et irrasjonelt tall (som, husker du, er roten til det gyldne snitt-ligningen); andre reelle tall er allerede uttrykt gjennom den.

I et slikt tallsystem kan ethvert naturlig tall alltid representeres som endelig – og ikke uendelig, som tidligere antatt! - summen av gradene til noe av gullet S-proporsjoner. Dette er en av grunnene til at "irrasjonell" aritmetikk, med fantastisk matematisk enkelhet og eleganse, ser ut til å ha absorbert de beste egenskapene til klassisk binær og "Fibonacci" aritmetikk.

Prinsipper for dannelse i naturen

Alt som tok en eller annen form ble dannet, vokste, strebet etter å ta plass i rommet og bevare seg selv. Dette ønsket realiseres hovedsakelig i to alternativer - å vokse oppover eller spre seg over jordens overflate og vri seg i en spiral.

Skallet er vridd i en spiral. Bretter du den ut får du en lengde litt kortere enn lengden på slangen. Et lite ti-centimeters skall har en spiral på 35 cm. Spiraler er svært vanlige i naturen. Ideen om det gylne snitt vil være ufullstendig uten å snakke om spiralen.

Ris. 12. Arkimedes spiral

Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Archimedes. Han studerte det og kom opp med en ligning for spiralen. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i teknologi.

Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Samarbeid Botanikere og matematikere kaster lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at Fibonacci-serien manifesterer seg i arrangementet av blader på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og furukongler, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet sitt i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. Skremt flokk reinsdyr spiraler bort. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Ris. 1. 3. Sikori

Skuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper et blad, men denne tiden er kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper et blad av enda mindre størrelse og kastes ut igjen. Hvis det første utslippet tas som 100 enheter, er det andre lik 62 enheter, det tredje - 38, det fjerde - 24, etc. Lengden på kronbladene er også underlagt den gyldne proporsjonen. I å vokse og erobre plass opprettholdt planten visse proporsjoner. Vekstimpulsene avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.

Ris. 14. Viviparøs øgle

Ved første øyekast har øglen proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Både i plante- og dyreverdenen bryter naturens dannelsestendens vedvarende gjennom - symmetri om vekstretning og bevegelsesretning. Her vises det gylne snitt i proporsjonene av deler vinkelrett på vekstretningen.

Naturen har gjennomført inndeling i symmetriske deler og gylne proporsjoner. Delene avslører en repetisjon av strukturen i helheten.

Ris. 15. fugleegg

Den store Goethe, en poet, naturforsker og kunstner (han tegnet og malte i akvareller), drømte om å skape en enhetlig doktrine om form, dannelse og transformasjon av organiske kropper. Det var han som introduserte begrepet morfologi i vitenskapelig bruk.

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av vårt århundre en serie dype ideer symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til miljøets symmetri.

Lovene om "gylden" symmetri manifesteres i energiovergangene til elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, eksisterer i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og manifesterer seg også i biorytmene og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

Gyldent snitt og symmetri

Det gylne snitt kan ikke vurderes alene, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wulf (1863...1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

Den gyldne divisjonen er ikke en manifestasjon av asymmetri, noe motsatt av symmetri I følge moderne ideer er den gyldne divisjon asymmetrisk symmetri. Vitenskapen om symmetri inkluderer slike begreper som statisk Og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kjennetegner fred og balanse, mens dynamisk symmetri kjennetegner bevegelse og vekst. I naturen er statisk symmetri således representert av strukturen til krystaller, og i kunsten karakteriserer den fred, balanse og immobilitet. Dynamisk symmetri uttrykker aktivitet, karakteriserer bevegelse, utvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er preget av like segmenter og like verdier. Dynamisk symmetri er preget av en økning i segmenter eller deres reduksjon, og det uttrykkes i verdiene til det gyldne snitt i en økende eller avtagende serie.

De sier at "guddommelig proporsjon" er iboende i naturen og i mange ting rundt oss. Du kan finne det i blomster, bikuber, skjell og til og med kroppene våre.

Dette guddommelige forholdet, også kjent som det gylne forholdet, det guddommelige forholdet eller det gylne forholdet, kan brukes på ulike former for kunst og læring. Forskere sier at jo nærmere et objekt er det gylne snitt, jo bedre oppfatter den menneskelige hjernen det.

Siden dette forholdet ble oppdaget, har mange kunstnere og arkitekter brukt det i sine arbeider. Du kan finne det gylne snitt i flere renessansemesterverk, arkitektur, maleri og mer. Resultatet er et vakkert og estetisk tiltalende mesterverk.

Få mennesker vet hva hemmeligheten bak det gylne snitt er, som er så behagelig for øynene våre. Mange tror at det faktum at det vises overalt og er en "universell" proporsjon, tvinger oss til å akseptere det som noe logisk, harmonisk og organisk. Med andre ord, det "føles" ganske enkelt det vi trenger.

Så hva er det gylne snitt?

Det gyldne snitt, også kjent som "phi" på gresk, er en matematisk konstant. Det kan uttrykkes med ligningen a/b=a+b/a=1,618033987, der a er større enn b. Dette kan også forklares med Fibonacci-sekvensen, en annen guddommelig proporsjon. Fibonacci-sekvensen starter med 1 (noen sier 0) og legger til det forrige tallet for å få det neste (dvs. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...)

Hvis du prøver å finne kvotienten til to påfølgende Fibonacci-tall (dvs. 8/5 eller 5/3), er resultatet veldig nær det gylne snitt på 1,6 eller phi.

Den gyldne spiralen er laget ved hjelp av et gyllent rektangel. Hvis du har et rektangel med henholdsvis rutene 1, 1, 2, 3, 5 og 8 som vist på bildet over, kan du begynne å bygge det gylne rektangelet. Ved å bruke siden av kvadratet som radius, lager du en bue som berører punktene på kvadratet diagonalt. Gjenta denne prosessen med hver rute i den gyldne trekanten og du vil ende opp med en gylden spiral.

Hvor kan vi se det i naturen

Golden Ratio og Fibonacci-sekvensen kan finnes i blomsterblader. For de fleste blomster reduseres antallet kronblad til to, tre, fem eller flere, noe som ligner det gylne snitt. For eksempel har liljer 3 kronblad, ranunkler har 5, sikoriblomster har 21, og tusenfryd har 34. Blomsterfrø følger trolig også det gylne snitt. For eksempel spirer solsikkefrø fra midten og vokser mot utsiden, og fyller frøhodet. De er vanligvis spiralformede og ligner en gylden spiral. Dessuten er antall frø vanligvis redusert til Fibonacci-tall.

Hender og fingre er også et eksempel på det gylne snitt. Se nærmere! Basen av håndflaten og tuppen av fingeren er delt inn i deler (bein). Forholdet mellom en del i forhold til en annen er alltid 1,618! Selv underarmer og hender er i samme forhold. Og fingre, og ansikt, og listen fortsetter...

Anvendelse innen kunst og arkitektur

Parthenon i Hellas sies å ha blitt bygget med gylne proporsjoner. Det antas at dimensjonsforholdene mellom høyde, bredde, søyler, avstand mellom søyler og til og med størrelsen på portikoen er nær det gylne snitt. Dette er mulig fordi bygningen ser proporsjonalt perfekt ut og har vært slik siden antikken.

Leonardo Da Vinci var også en fan av det gylne snitt (og mange andre kuriositeter, faktisk!). Den fantastiske skjønnheten til Mona Lisa kan skyldes det faktum at ansiktet og kroppen hennes representerer det gylne snitt, akkurat som de ekte. menneskelige ansikter i livet. I tillegg er tallene i maleriet «The Last Supper» av Leonardo Da Vinci ordnet i den rekkefølgen som brukes i det gylne snitt. Hvis du tegner gylne rektangler på lerretet, vil Jesus være midt i den sentrale lappen.

Søknad innen logodesign

Det er ingen overraskelse at du også kan finne bruken av det gylne snitt i mange moderne prosjekter, spesielt design. For nå, la oss fokusere på hvordan dette kan brukes i logodesign. La oss først se på noen av verdens mest kjente merker som har brukt det gylne snitt for å perfeksjonere logoene sine.

Tilsynelatende brukte Apple sirkler fra Fibonacci-tall, sammenføyde og kuttet formene for å lage Apple-logoen. Det er ukjent om dette ble gjort med vilje eller ikke. Resultatet er imidlertid en perfekt og visuelt estetisk logodesign.

Toyota-logoen bruker forholdet mellom a og b, og danner et rutenett der tre ringer er dannet. Legg merke til hvordan denne logoen bruker rektangler i stedet for sirkler for å lage det gylne snittet.

Pepsi-logoen er laget av to kryssende sirkler, den ene større enn den andre. Som vist på bildet over, er den større sirkelen proporsjonal med den mindre sirkelen - du gjettet riktig! Deres nyeste logo uten preg er enkel, effektiv og vakker!

Foruten Toyota og Apple, antas også logoene til flere andre selskaper som BP, iCloud, Twitter og Grupo Boticario å ha brukt det gylne snitt. Og vi vet alle hvor kjente disse logoene er - alt fordi bildet dukker opp umiddelbart!

Slik kan du bruke det i prosjektene dine

Skisser et gyllent rektangel som vist ovenfor i gult. Dette kan oppnås ved å konstruere firkanter med høyde og bredde fra tall som tilhører det gylne snitt. Start med en blokk og plasser en annen ved siden av. Og plasser en annen firkant, hvis areal er lik de to, over dem. Du vil automatisk motta en side på 3 blokker. Etter å ha bygget denne strukturen med 3 blokker, vil du ende opp med en side på 5 quads som du kan lage en annen boks av (5 blokker). Dette kan fortsette så lenge du vil til du finner størrelsen du trenger!

Rektangelet kan bevege seg i alle retninger. Velg små rektangler og bruk hver enkelt til å sette sammen en layout som vil fungere som et logodesignrutenett.

Hvis logoen er mer avrundet, trenger du en sirkulær versjon av det gylne rektangelet. Du kan oppnå dette ved å tegne sirkler proporsjonale med Fibonacci-tallene. Lag et gyllent rektangel med bare sirkler (dette betyr at den største sirkelen vil ha en diameter på 8, og den mindre sirkelen vil ha en diameter på 5, og så videre). Skil nå disse sirklene og plasser dem slik at du kan danne den grunnleggende omrisset for logoen din. Her er et eksempel på Twitter-logoen:

Merk: Du trenger ikke tegne alle sirkler eller rektangler med det gylne snitt. Du kan også bruke samme størrelse mer enn én gang.

Hvordan bruke det i tekstdesign

Det er enklere enn å designe en logo. En enkel regel for å bruke det gylne snitt i tekst er at påfølgende større eller mindre tekst må samsvare med Phi. La oss se på dette eksemplet:

Hvis skriftstørrelsen min er 11, bør underteksten skrives med en større skrift. Jeg multipliserer tekstfonten med det gylne snitt for å få større antall(11*1,6=17). Dette betyr at underteksten skal skrives i skriftstørrelse 17. Og nå tittelen eller tittelen. Jeg multipliserer underteksten med andelen og får 27 (1*1,6=27). Som dette! Teksten din er nå proporsjonal med det gylne snitt.

Hvordan bruke det i webdesign

Men her er det litt mer komplisert. Du kan være tro mot det gylne snitt selv i webdesign. Hvis du er en erfaren webdesigner, har du allerede gjettet hvor og hvordan det kan brukes. Ja, vi kan effektivt bruke det gylne snittet og bruke det på våre nettsider og UI-oppsett.

Ta totalt antall pikselrutenett for bredde eller høyde og bruk det til å bygge et gyllent rektangel. Del den største bredden eller lengden for å få mindre tall. Dette kan være bredden eller høyden på hovedinnholdet ditt. Det som er igjen kan være sidefeltet (eller bunnlinjen hvis du har brukt det i høyden). Fortsett nå å bruke det gylne rektangelet for å bruke det ytterligere på vinduer, knapper, paneler, bilder og tekst. Du kan også bygge en full mesh basert på små versjoner av det gylne rektangelet plassert både horisontalt og vertikalt for å lage mindre grensesnittobjekter som er proporsjonale med det gylne rektangelet. For å få proporsjonene kan du bruke denne kalkulatoren.

Spiral

Du kan også bruke den gyldne spiralen til å bestemme hvor du skal plassere innhold på nettstedet ditt. Hvis hjemmesiden din er full av grafisk innhold, for eksempel en nettbutikk eller fotoblogg, kan du bruke den gylne spiralmetoden som mange kunstnere bruker i arbeidet sitt. Tanken er å plassere det mest verdifulle innholdet i sentrum av spiralen.

Innhold med gruppert materiale kan også plasseres ved hjelp av et gyllent rektangel. Dette betyr at jo nærmere spiralen beveger seg til de sentrale firkantene (til en firkantblokk), jo "tett" innholdet der.

Du kan bruke denne teknikken til å indikere plasseringen av overskriften, bildene, menyene, verktøylinjen, søkeboksen og andre elementer. Twitter er kjent ikke bare for bruken av det gylne rektangelet i logodesignen, men også for bruken i webdesign. Hvordan? Gjennom bruk av det gyldne rektangelet, eller med andre ord det gyldne spiralkonseptet, på brukerens profilside.

Men dette vil ikke være lett å gjøre på CMS-plattformer, der innholdsforfatteren bestemmer layouten i stedet for webdesigneren. The Golden Ratio er egnet for WordPress og andre bloggdesign. Dette er sannsynligvis fordi en sidebar nesten alltid er til stede i et bloggdesign, som passer fint inn i det gylne rektangelet.

Enklere måte

Svært ofte hopper designere over kompleks matematikk og bruker den såkalte "tredjedelsregelen". Det kan oppnås ved å dele området i tre like deler horisontalt og vertikalt. Resultatet er ni like deler. Skjæringslinjen kan brukes som fokuspunkt for form og design. Du kan plassere et nøkkeltema eller hovedelementer på ett eller alle fokuspunktene. Fotografer bruker også dette konseptet for plakater.

Jo nærmere rektanglene er forholdet 1:1,6, jo mer behagelig blir bildet oppfattet av menneskehjernen (siden det er nærmere det gylne snitt).

Gyldent snitt - matematikk

Gyldent forhold - harmonisk proporsjon

I matematikk er proporsjon (lat. proportio) likheten mellom to forhold: a: b = c: d.
Et rett linjesegment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:
i to like deler – AB: AC = AB: BC;
i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);
altså når AB: AC = AC: BC.
Sistnevnte er den gylne divisjonen eller delingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold.
Det gylne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den større delen som den større delen selv er relatert til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er til det større som det større er for helheten

a: b = b: c eller c: b = b: a.

Ris. 1. Geometrisk bilde av det gylne snitt

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Ris. 2. Inndeling av et rett linjestykke i henhold til det gylne snitt. BC = 1/2 AB; CD = BC

Fra punkt B gjenopprettes en perpendikulær lik halve AB. Det resulterende punktet C er forbundet med en linje til punkt A. Et segment BC legges på den resulterende linjen, som slutter med punkt D. Segmentet AD overføres til den rette linjen AB. Det resulterende punktet E deler segmentet AB i den gylne proporsjonen.

Segmenter av den gylne andelen uttrykkes ved den uendelige irrasjonelle brøken AE = 0,618..., hvis AB tas som en, BE = 0,382... For praktiske formål brukes ofte omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38. Hvis segment AB tas til å være 100 deler, er den største delen av segmentet 62, og den mindre delen er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:
x2 – x – 1 = 0.

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt har skapt en romantisk aura av mystikk og nesten mystisk tilbedelse rundt dette nummeret.

Andre gylne snitt

Det bulgarske magasinet «Fatherland» (nr. 10, 1983) publiserte en artikkel av Tsvetan Tsekov-Karandash «On the second golden section», som følger av hoveddelen og gir et nytt forhold på 44:56.
Denne andelen finnes i arkitektur, og oppstår også når man konstruerer komposisjoner av bilder av et langstrakt horisontalt format.

Inndelingen utføres som følger. Segment AB er delt i forhold til det gylne snitt. Fra punkt C gjenopprettes en vinkelrett CD. Radius AB er punkt D, som er forbundet med en linje til punkt A. Rett vinkel ACD er delt i to. Det trekkes en linje fra punkt C til skjæringspunktet med linje AD. Punktet deler segmentet AD i forholdet 56:44.

Ris. 3. Konstruksjon av det andre gylne snitt

Ris. 4. Å dele et rektangel med linjen til det andre gylne snittet

Figuren viser posisjonen til linjen til det andre gylne snittet. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

Gylden trekant

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagrammet.

Ris. 5. Konstruksjon av en vanlig femkant og pentagram

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for konstruksjonen ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Durer (1471...1528). La O være sentrum av sirkelen, A et punkt på sirkelen, og E midtpunktet av segment OA. Perpendikulæren til radius OA, gjenopprettet ved punkt O, skjærer sirkelen ved punkt D. Bruk et kompass og plott segmentet CE = ED på diameteren. Sidelengden til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er lik DC. Vi plotter segmentene DC på sirkelen og får fem poeng for å tegne en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene på femkanten gjennom hverandre med diagonaler og får et femkant. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.
Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Vi tegner rett AB. Fra punkt A legger vi et segment av vilkårlig størrelse på det tre ganger, gjennom det resulterende punktet P trekker vi en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punktet P legger vi segmenter O. Vi kobler de resulterende punktene d. og d1 med rette linjer til punkt A. Vi legger segmentet dd1 på linje Ad1, og oppnår punkt C. Hun delte linjen Ad1 i forhold til det gylne snitt. Linjene Ad1 og dd1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Ris. 6. Konstruksjon av den gylne trekanten

Historien om det gylne snitt

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) visste også om den gylne inndelingen. Dialogen hans "Timaeus" er viet til de matematiske og estetiske synspunktene til den pythagorasiske skolen og spesielt til spørsmålene om den gylne divisjonen.
Fasaden til det gamle greske tempelet i Parthenon har gylne proporsjoner. Under utgravningene ble det oppdaget kompass som ble brukt av arkitekter og skulptører fra den antikke verden. Det pompeianske kompasset (museet i Napoli) inneholder også proporsjonene til den gylne inndelingen.

Ris. 8. Antikk kompass med gyldne snitt

I den gamle litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gyldne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I den andre boken til "Prinsipene" er den geometriske konstruksjonen av den gyldne inndelingen gitt etter Euclid, ble studien av den gyldne inndelingen utført av Hypsicles (2. århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre middelalderens Europa, med den gylne inndelingen Vi møttes gjennom arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.
Under renessansen økte interessen for den gyldne divisjonen blant forskere og kunstnere på grunn av dens bruk i både geometri og kunst, spesielt innen arkitektur, Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde mye empirisk erfaring, men lite. kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.
Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "The Divine Proportion" utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med den gyldne proporsjon, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten - Gud Sønnen, Gud Faderen og Gud Den Hellige Ånd (det ble antydet at den lille segmentet er personifiseringen av Gud Sønnen, det større segmentet er Faderens Gud, og hele segmentet - Den Hellige Ånds Gud).
Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i den gylne inndelingen. Derfor ga han denne inndelingen navnet gyldne snitt. Så den er fortsatt den mest populære.
Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."
Etter et av Dürers brev å dømme møtte han Luca Pacioli mens han var i Italia. Albrecht Durer utvikler i detalj teorien om proporsjoner av menneskekroppen. Dürer tildelte det gylne snitt en viktig plass i sitt system av relasjoner. En persons høyde er delt i gylne proporsjoner av beltets linje, så vel som av en linje trukket gjennom tuppene av langfingrene på de senkede hendene, den nedre delen av ansiktet ved munnen, etc. Dürers proporsjonale kompass er velkjent.
Stor astronom på 1500-tallet. Johannes Kepler kalte det gylne snitt for en av geometriens skatter. Han var den første som gjorde oppmerksom på betydningen av den gyldne proporsjon for botanikk (plantevekst og deres struktur).
Kepler kalte den gyldne andelen selv-fortsatt "Den er strukturert på en slik måte," skrev han, "at de to laveste leddene i denne uendelige andelen summerer seg til den tredje termen, og eventuelle to siste ledd, hvis de legges sammen. , gi neste ledd, og den samme andelen forblir til uendelig."
Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).
Hvis vi legger til side segment m på en rett linje med vilkårlig lengde, legger vi til side segment M ved siden av. Basert på disse to segmentene bygger vi en skala av segmenter av den gyldne andelen av den stigende og synkende rekken.

Ris. 9. Konstruksjon av en skala av segmenter av det gylne snitt

Ris. 10. Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Andelene til den mannlige kroppen svinger innenfor gjennomsnittsforholdet 13: 8 = 1,625 og er noe nærmere det gyldne snitt enn proporsjonene til kvinnekroppen, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

Ris. 11. Gylne proporsjoner i menneskefiguren

Zeising testet gyldigheten av teorien hans på greske statuer. Han utviklet proporsjonene til Apollo Belvedere mest detaljert. Greske vaser, arkitektoniske strukturer fra ulike tidsepoker, planter, dyr, fugleegg, musikalske toner og poetiske metre ble studert. Zeising ga en definisjon av det gylne snitt og viste hvordan det uttrykkes i rette linjesegmenter og i tall. Da tallene som uttrykker lengdene til segmentene ble oppnådd, så Zeising at de utgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsettes i det uendelige i den ene eller den andre retningen. Hans neste bok fikk tittelen "Den gylne divisjon som den grunnleggende morfologiske loven i natur og kunst." I 1876 ble det utgitt en liten bok, nesten en brosjyre, i Russland som skisserte dette arbeidet til Zeising. Forfatteren tok tilflukt under initialene Yu.F.V. Denne utgaven nevner ikke et eneste malerverk.

På slutten av 1800-tallet – begynnelsen av 1900-tallet. Mange rent formalistiske teorier dukket opp om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt til design av biler, møbler osv.

Fibonacci-serien

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallsekvensen er at hver av dens vilkår, fra den tredje, er lik summen av de to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så, 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forholdet er betegnet med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618: 0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjesegment i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer den til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som den større er til alt.

Generalisert gyldent snitt

En av prestasjonene på dette feltet er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serien med vekter oppdaget av ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øyekast er helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, i det andre er det summen av de to foregående tallene 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Er det mulig å finne en generell matematisk formel som både den "binære" serien og Fibonacci-serien er hentet fra? Eller kanskje denne formelen vil gi oss nye numeriske sett som har noen nye unike egenskaper?

Faktisk, la oss angi den numeriske parameteren S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tenk på en tallserie, S+ 1 av de første leddene er enheter, og hver av de påfølgende er lik summen av to ledd av den forrige og atskilt fra den forrige med S trinn. Hvis n Vi betegner det tredje leddet i denne rekken med φ S (n), så får vi den generelle formelen φ S ( n) = φ S ( n– 1) + φ S (n – S – 1).

Det er åpenbart at når S= 0 fra denne formelen får vi en "binær" serie, med S= 1 – Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. ny serie med tall, som kalles S-Fibonacci-tall.

Generelt gyldent S-proporsjon er den positive roten til den gyldne ligningen S-seksjoner x S+1 – x S – 1 = 0.

Det er lett å vise at ved S = 0 er segmentet delt i to, og ved S = 1 resulterer det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdene mellom nærliggende Fibonacci S-tall sammenfaller med absolutt matematisk nøyaktighet i grensen med de gylne S-proporsjonene! Matematikere sier i slike tilfeller at de gylne S-forholdene er numeriske invarianter av Fibonacci S-tallene.

Fakta som bekrefter eksistensen av gylne S-snitt i naturen er gitt av den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre med en av gylne S-proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at de gylne S-snittene er numeriske invarianter av selvorganiserende systemer. Når den først er bekreftet eksperimentelt, kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk, et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Ved å bruke gylne S-proporsjonskoder kan du uttrykke et hvilket som helst reelt tall som en sum av potenser av gylne S-proporsjoner med heltallskoeffisienter.

Den grunnleggende forskjellen mellom denne metoden for å kode tall er at basisen til de nye kodene, som er de gyldne S-proporsjonene, viser seg å være irrasjonelle tall når S> 0. Dermed ser nye tallsystemer med irrasjonelle baser ut til å sette det historisk etablerte hierarkiet av relasjoner mellom rasjonelle og irrasjonelle tall "fra topp til fot." Faktum er at naturlige tall først ble "oppdaget"; da er forholdstallene deres rasjonelle tall. Og først senere - etter at pytagoreerne oppdaget inkommensurable segmenter - ble irrasjonelle tall født. For eksempel, i desimale, quinære, binære og andre klassiske posisjonelle tallsystemer ble naturlige tall valgt som et slags grunnleggende prinsipp - 10, 5, 2 - hvorfra, i henhold til visse regler, alle andre naturlige tall, så vel som rasjonelle tall. og irrasjonelle tall, ble konstruert.

I et slikt tallsystem kan ethvert naturlig tall alltid representeres som endelig – og ikke uendelig, som tidligere antatt! – summen av potensene til noen av de gylne S-proporsjonene. Dette er en av grunnene til at "irrasjonell" aritmetikk, med fantastisk matematisk enkelhet og eleganse, ser ut til å ha absorbert de beste egenskapene til klassisk binær og "Fibonacci" aritmetikk.

Prinsipper for dannelse i naturen

Ris. 12. Arkimedes-spiral

Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Botanikernes og matematikernes felles arbeid har kastet lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at Fibonacci-serien manifesterer seg i arrangementet av blader på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og furukongler, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet sitt i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Ris. 13. Sikori

Ris. 15. Fugleegg

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av dette århundret en rekke dyptgripende ideer om symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til miljøets symmetri.

Gyldent snitt og symmetri

Det gylne snitt kan ikke vurderes alene, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wolf (1863...1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

Den gyldne divisjonen er ikke en manifestasjon av asymmetri, noe motsatt av symmetri I følge moderne ideer er den gyldne divisjon asymmetrisk symmetri. Vitenskapen om symmetri inkluderer slike begreper som statisk og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kjennetegner fred og balanse, mens dynamisk symmetri kjennetegner bevegelse og vekst. I naturen er statisk symmetri således representert av strukturen til krystaller, og i kunsten karakteriserer den fred, balanse og immobilitet. Dynamisk symmetri uttrykker aktivitet, karakteriserer bevegelse, utvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er preget av like segmenter og like verdier. Dynamisk symmetri er preget av en økning i segmenter eller deres reduksjon, og det uttrykkes i verdiene til det gyldne snitt i en økende eller avtagende serie.

Eksempler på det gylne snitt i arkitektur finnes overalt, så lenge du kan se det. Selv et skolebarn kan finne ut av dette. I 2013 utførte eleven i 10. klasse Elena Sivakova sin egen forskning på bygninger fra 1800- og 1900-tallet. La oss se hvordan hun gjorde det og lære å se og identifisere det i arkitektoniske strukturer på 5 minutter. Etter å ha lest artikkelen, vil det ikke være noen spørsmål om hva det er og om dets uvanlige egenskaper kan brukes i livet ditt.

7+ eksempler på det gylne snitt i russisk arkitektur

Saint Petersburg

Bygning historiske sentrum St. Petersburg ble bygget i forskjellige stiler, som barokk, empire, eklektisk, nybarokk, nygotisk. Følger de den gylne regel?

Saint Isaac's Cathedral

Hoffarkitekten til Alexander I, Auguste Montferrand, bygde denne katedralen fra 1819 til 1858. Sen stil, der funksjonene til nyrenessanse og eklektisisme allerede er manifestert. Elena stilte spørsmålet: "Hva er årsaken til harmonien i en ganske klumpete bygning?"

Den første raden bestemmes av bygningens bredde, som antas å være 400 enheter. og representerer følgende tall: 400, 247, 153, 94, 58...

Hvis vi deler 400 med tallet ≈1,618, får vi omtrent 247; gjenta handlingen med følgende tall: 247: 1.618≈153.

Og slik finner vi alle tallene. Se nå på tegningen. Hoveddelen med søylene passer inn i et rektangel med sidene 400 og 247. Siden sidene er i forholdet Ф≈1,618, danner de et Gyldent rektangel.

Den neste raden er representert av bygningens høyde: 370, 228, 140, 87, 53, 33, 20, 12. Disse dimensjonene er innebygd i mindre detaljer. Vertikalt er St. Isaks katedral delt av det gylne snitt ved bunnen av kuppelen, noe som gjør forholdet mellom hoveddelen og kuppelen harmonisk.

Den tredje raden med størrelser begynner med 113, og viser bredden på bunnen av hovedkuppelen: 113, 69, 42, 26, 16. Tallene i denne raden finnes i størrelsene på vinduer, i høydene på kolonner og andre deler av katedralen.

Gylden rektangulær og likebent trekant og finner sted i bygningen til St. Isak-katedralen, som det fremgår av bildet.

Kunstkamera

På universitetsvollen til Vasilievsky Island er det Kunstkamera-bygningen, grunnlagt i 1718 under ledelse av den tyske arkitekten Georg Mattarnovi: Petrovsky Baroque, to 3-etasjers bygninger og et komplekst kuppeltårn med flere lag.

Studien begynner med hovedmengdene: høyden og lengden på bygningen, hvorfra den gylne raden er bygget. Lengde - 450 enheter, deretter 277, 170, 105, 65, 40, 24. Disse dimensjonene kan sees i høyden og bredden ulike nivåer tårn, lengde på skrog. Selve tårndelen er innskrevet i en gyllen likebenet trekant fra base til topp. Det gylne snitt sees i større grad i dette hovedelementet, noe som er arkitektonisk korrekt. Konklusjon: grunnlaget for Kunstkameraet følger den gylne regel og opprettholder komposisjonsharmoni.

Den nye gylne rekken begynner med høyden på bygningen: 211, 130, 80, 49, 30. Ser man på dimensjonene på tegningen, blir det klart at valget av en tre-etasjers type bygninger skyldes proporsjonaliteten med tårnet.

Handelshuset "Esders og Scheyfals" i skjæringspunktet mellom Moika og Gorokhovaya

Bygget i 1907 i henhold til design av Vladimir Aleksandrovich Lipsky og Konstantin Nikolaevich de Rochefort (Rochefort). I 1905 sendte belgieren S. Esders og nederlenderen N. Scheyfals inn begjæring om tillatelse til å bygge en fem-etasjers bygning med kuppel og spir på et hjørnetårn for deres handelshus i stedet for det gamle.

Fra en byggelengde på 671 enheter. serien av Golden Ratio begynner, observert i størrelser: 671, 414, 256, 158, 98, 60, 37, 23. Vi tar hensyn til hovedelementet - spiret. Vi sørger for at komposisjonsløsningen kompletteres med en harmonisk kombinasjon av høydeverdier.

Bygget i 1941 etter design av Noah Abramovich Trotsky. Bygning sovjetisk periode sett på som en kreativ tolkning. Den sentrale portikoen med fjorten søyler fullfører det skulpturelle ensemblet med temaet sosialismens konstruksjon og våpenskjoldet til den russiske sovjetiske føderative sosialistiske republikken.

Fem-etasjers bygninger er plassert symmetrisk på sidene. Lengden på huset når 1472 enheter, hvorfra, ved å dele med tallet F, oppnås en rekke størrelser av bygningselementer: 1472, 909, 562, 34, 214, 132, 81, 50 (vedlegg 21): høyde av strukturen, høyden på inngangen, etc.

Toppen av den gyldne likebenede trekanten faller sammen med toppen av bygningen, og sidene går gjennom de øverste punktene på hovedinngangen. En rettvinklet gylden trekant dannes av toppunktene på toppen av bygningen og i enden av innsiden av sidefløyen. Proporsjonalitet er åpenbar, selv om det ikke har særlig komposisjonell betydning.

Moskva

Moscow State University på Sparrow Hills

Et team ledet av B.M. Iofan jobbet med prosjektet hans, som senere ble fjernet fra stillingen som sjefsarkitekt. Et eksempel på sovjetisk arkitektur etter krigen, bygget fra 1949 til 1953.

B.M. Iofan foreslo en sammensetning av fem komponenter med et sentralt tårn. I løpet av byggeårene var det den høyeste bygningen i Europa.

Lengden på bygget er 1472 enheter. og begynner serien: 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. Hovedsakelig er høydedimensjonene underlagt det gylne snitt. En annen serie følger av tårnets bredde: 538, 332, 205, 126, som er synlig i breddemål.

Den gyldne rette trekanten med hypotenusen går gjennom hjørnet av bygningen og dekker utvidelsene.

I alle bygningene som ble studert, oppdaget studenten det gylne snittet, som bevarer harmonien.

5 ekstra eksempler

For å forenkle oppgaven med å finne ZS, kan du ta rasjonelle brøker 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; og så videre. Mønsteret er tydelig: 3+2 =5; 5+3=8; 8+5=13... Eller enda enklere. Lag deg selv et kompass for å bestemme proporsjonen i henhold til instruksjonene i videoen. Det vil ta ca. 10 minutter. De vil også fortelle og vise deg hvordan du bruker dette kompasset for å bestemme proporsjonaliteten til elementene.

Ved å bruke denne metoden finner vi den gyldne delen av den russiske arkitekten Matvey Kazakov i Kreml-senatets bygning, og i alle andre verk: Prechistensky-palasset i Moskva, Noble Assembly, Golitsyn Hospital (oppkalt etter Pirogov) ...

Laget av en annen stor arkitekt Vasily Ivanovich Bazhenov, regnes Pashkov-huset i Moskva (det russiske statsbiblioteket) som et av eksemplene på perfekte arkitektoniske monumenter, der det er lett å identifisere AP.

Det forferdelige symbolet på Paris og det gyldne snitt

Da Eiffeltårnet i metall ble satt sammen i Paris, var mange franskmenn indignert. Kritikere skrev om det som «byens styggehet», «Paris vanære», «en mager pyramide av metalltrapper». Blant dem var Emile Zola, Dumas Jr., Guy de Maupassant. Nå er dette mest besøkte monumentet parisernes stolthet. Kan dette skyldes den "guddommelige" proporsjonen?

Det er også observert i den mest kjente franske katedralen, Notre Dame de Paris.

Hele sannheten om de gamle byggherrene

Bygget store arkitekter intuitivt eller bevisst bygninger med disse proporsjonene i tankene? Gamle matematikere visste om det gylne snitt siden Pythagoras tid. Flere og flere bevis blir funnet på bruken i arkitektoniske proporsjoner. Imidlertid kan ikke en eneste gammel opptegnelse bli funnet med en direkte anbefaling om å bruke den "guddommelige proporsjonen". Det gjør heller ikke Vitruvius (1. århundre f.Kr.), som skrev «Ti bøker om arkitektur», der han blant annet diskuterte proporsjonalitet. Merkelig faktum, ikke sant?

Kanskje alle de ovennevnte studiene er en tilpasning til et kjent resultat? Det er ikke så vanskelig å velge mellom en rekke arkitektoniske elementer de som bekrefter hypotesen, siden ingen krever absolutt nøyaktighet. Et logisk spørsmål å tenke på er: "Hva om grekerne IKKE brukte det gylne snitt?"

Faktisk, for Luca Pacioli, som skrev verket "Divine Proportion" i 1509, var dets anvendte betydning ikke så viktig. Det var viktig å underbygge dens mystiske natur. Og de begynte å bruke den bevisst først fra det øyeblikket boken ble utgitt.

Mysteriet med arkitekturen i antikkens Hellas

Vakre og harmoniske gjenstander overholder alltid GS-regelen, og ved analyse av mengder bestemmes denne proporsjonaliteten. Kunsthistorikere studerte nøye det greske Parthenon, reist til ære for seieren over perserne - tempelet til gudinnen Athena. Forholdet mellom lengden på templet og bredden gir det gylne tallet med en liten feil. Hvis du trekker 14 cm fra lengden på strukturen og legger den til bredden, får du et fullstendig sammenfall med den matematiske verdien. Fasaden på bygget smalner litt mot toppen og avviker fra sin rektangulære form. Med hensyn til visuell persepsjon gjorde byggherrene dette bevisst. Derfor er det ikke helt riktig å betrakte det som et rektangel av det gylne snitt. Men proporsjonene respekteres, så det er logisk å anta at arkitektene Iktin og Kallikrates bevisst har innlemmet regelen i prosjektet?

Myter og merkelige fakta om pyramiden

Keopspyramiden ble også bygget under hensyntagen til denne tilstanden. Uten å gå inn på det matematiske beviset på tilstedeværelsen av den gylne formelen, vil vi bare si at den inneholder en rettvinklet gylden trekant, hvis sider er høyden og halvparten av siden av bygningens base. Er det overraskende?

Men så oppstår spørsmålet om nivået på gammel egyptisk matematikk. Det viser seg at Pythagoras teorem var kjent for dem to tusen år før fødselen av forskeren selv. Oppmerksomheten trekkes til det faktum at arvingene til Cheops bygde pyramidene sine med forskjellige proporsjoner. Hvorfor?

Det har blitt fastslått at pyramideformede strukturer med terrestriske strukturer har en fenomenal effekt på dem i dem: planter vokser bedre, metaller blir sterkere, vann forblir friskt i lang tid. Forskere har jobbet med disse mysteriene i mange år, men mysteriet består.

Det legges merke til at pyramiden bringer romstrukturen inn i en harmonisk tilstand. Alt som faller innenfor handlingssonen er også organisert på lignende måte: den psyko-emosjonelle tilstanden til mennesker forbedres, stråling som er skadelig for mennesker avtar, og geopatogene soner forsvinner. Internett hevder at hvis størrelsen på figuren dobles, øker påvirkningen av pyramiden hundre ganger.

Hvordan kan du bygge et "gyldent" hus for deg selv?

Riktig fordeling av energier inne i huset, harmoniske design i kombinasjon med økologien og sikkerheten til byggematerialer oppmuntrer moderne arkitekter og designere til å bruke prinsippene og konseptene til Golden Ratio. Dette øker estimatet og skaper inntrykk av en dyp studie av prosjektet. Kostnaden øker med 60-80%.

For talentfulle kunstnere og arkitekter forblir regelen intuitiv under kreativ prosess. Noen av dem implementerer imidlertid bevisst denne bestemmelsen.

I naturen finnes slik proporsjonalitet overalt. Alle som føler harmonien i rommet vil skape en proporsjonal bygning uten noen spesiell innsats.

For eksempel bygde våre forfedre herskapshus proporsjonalt med en person. Høyde og lengde ble målt i favner, alen, arshins, spenn. Er det noen som protesterer mot at den gylne proporsjonen observeres i menneskekroppen? Lengden på armen fra tuppen av fingrene til armhulen er relatert til avstanden fra samme punkt til albuen da denne verdien er til størrelsen på håndflaten.

Den berømte franske arkitekten Le Corbusier brukte eierens høyde som en startenhet for å beregne parametrene til det fremtidige huset og interiøret. Alle verkene hans er virkelig individuelle og harmoniske.

5 måter å følge regelen i interiøret

I et hus bygget uten å ta hensyn til proporsjoner kan rom omorganiseres slik at proporsjonene stemmer overens.
Noen ganger er det nok å omorganisere møblene eller lage en ekstra skillevegg.
Høyden og lengden på vinduer og dører endres på samme måte.
I fargedesign oppnås et forenklet forhold ved å bruke 60 % av primærfargen, 30 % som skyggeleggingsfarge og de resterende 10 % som toner som forbedrer persepsjonen.
Høyden og lengden på møblene skal stå i forhold til høyden på taket og bredden på skilleveggene.

Anvendelsen av denne normen i, som et arkitektonisk utformet rom, kombineres med begrepene selvorganisering, rekursjon, asymmetri og skjønnhet.

Om det gylne snitt i enkle ord

Hva er det? Segmenter av den gyldne andelen uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøk, hvis desimalverdi er omtrent lik tallet Ф≈1.618 eller Ф≈1.62. Med andre ord: hvis vi tar helheten og deler den i to deler slik at den ene er 62 % og den andre er 38 %, får vi den gylne proporsjonen.

Gyldent rektangel: når vi deler lengden på den større siden med lengden på den minste og får tallet F. Når vi deler den mindre siden på den større, får vi den inverse verdien φ ≈ 0,618.

Gylden likebenet trekant: hvis forholdet mellom størrelsen på en side og størrelsen på basen er det gylne tallet Ф; vinkel mellom like sider lik 36°.

Keplers gyldne rettvinklede trekant kombinerer Pythagoras teorem og GS: forholdet mellom kvadratene på sidene er 1,618.

Se en pedagogisk video om emnet