Moltiplicazione di numeri interi, regole, esempi. Moltiplicazione o prodotto di numeri naturali, loro proprietà

Una somma è il risultato di un'addizione e la parola può riferirsi non solo ai numeri.

La differenza è ciò che si ottiene dopo aver sottratto i numeri.

Il prodotto è ciò che si ottiene dopo la moltiplicazione; la parola ha un altro significato.

Il quoziente è ciò che si ottiene dopo la divisione.

IO. Concetti matematici SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO, TRIMESTRE sono interconnessi con termini matematici ADDIZIONE, SOTTRAZIONE, MOLTIPLICAZIONE, DIVISIONE.

Tutte le definizioni sono fornite qui sul set numeri naturali.

Ad ogni coppia di numeri viene assegnato un numero chiamato loro QUANTITÀ.

La somma è composta da tante unità quanti sono i numeri (comandi) di una data coppia.

SOMMAè il risultato della somma dei termini numerici.

La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione. Consiste nel trovare uno dei termini dalla somma e l'altro termine. Questa somma si chiama minuendo, questo termine si chiama sottraendo e il termine richiesto si chiama PER DIFFERENZA.

DIFFERENZA- questo è il numero che è il risultato della sottrazione, il resto della sottrazione.

Ad ogni coppia di numeri può essere associato un numero composto da tante unità quante sono contenute nel primo numero della coppia, preso tante volte quante sono le unità contenute nel secondo numero della coppia. Questo numero corrispondente in questo modo a una coppia di numeri (sono chiamati fattori) viene chiamato LAVORO.

LAVOROè il risultato della moltiplicazione.

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.

La divisione sta trovando uno dei fattori nel prodotto e l'altro fattore. Questo prodotto è chiamato divisibile, questo fattore è chiamato divisore e il fattore richiesto lo è PRIVATO, cioè il numero ottenuto dividendo un numero per un altro.

II. ALTRI SIGNIFICATI DELLE PAROLE SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO, QUARTO.

Tutte le parole usate come concetti matematici possono avere altri significati lessicali.

SOMMA V significato figurato significa la totalità quantità totale nulla.

Per esempio. La professionalità di un insegnante risiede nella quantità di conoscenze, competenze e abilità che trasferisce ai suoi studenti. La mancanza della somma di denaro richiesta mi ha costretto ad abbandonare l'acquisto.

DIFFERENZA ha il significato di differenza, dissomiglianza, differenza in qualcosa.

Per esempio. Le differenze di interessi sono molto peggiori delle differenze di età. L'amicizia può iniziare con l'idea di una comunanza di punti di vista e l'inimicizia può iniziare con una differenza di punti di vista.

LAVORO significa qualcosa prodotto nel processo di lavoro, la creazione di qualcosa, un prodotto di lavoro, creatività, arte, ecc.

Per esempio. Alto opera d'arte fa riflettere una persona sulla sua vita. In un concorso per giovani pianisti, il ragazzo ha suonato un brano di P.I. Čajkovskij. Questa scatola è una vera opera d'arte.

PRIVATO- questo è qualcosa di personale, personale, che appartiene solo a una persona, è di sua proprietà, sua e solo sua proprietà. E che si tratti di pensieri personali, che si tratti di proprietà o qualsiasi altra cosa, ma appartiene solo a lui, una persona privata.

Per esempio. Me lo ha regalato il mio amico taccuino con la scritta Privato. È bene contrapporre il privato al pubblico?

In effetti, tutte e quattro le parole nella domanda, vale a dire somma, differenza, prodotto e quoziente, riflettono quattro operazioni matematiche di base, che sono le basi. È con l'apprendimento di queste azioni che inizia l'affascinante viaggio nel mondo della matematica. Così,

Somma, differenza, prodotto, quoziente: questo è il risultato delle operazioni matematiche con le quali tutti abbiamo iniziato a conoscere la matematica. Anche nella vita usiamo queste parole, ma diamo loro un significato più matematico, anche se non possiamo sommare numeri. Un'opera può anche essere artistica. Questo è un significato completamente diverso della parola che usiamo nella vita.

Tutti e quattro questi termini sono usati principalmente in matematica.

Una somma è quando due numeri vengono sommati insieme;

La differenza è la sottrazione di un numero da un altro;

Un quoziente è la divisione di un numero per un altro;

Un prodotto è la moltiplicazione di un numero per un altro.

Il quoziente è il risultato della divisione dei numeri, il prodotto è il risultato della moltiplicazione dei numeri, la somma è il risultato della somma dei numeri, la differenza è il risultato della sottrazione. Queste sono le operazioni matematiche di base che possono essere eseguite con i numeri.

Questi sono concetti matematici.

La somma è il risultato dell'addizione. I numeri che vengono aggiunti sono chiamati primo addendo e secondo addendo. È indicato dal seguente segno: +.

La differenza è il risultato della sottrazione. I numeri sottratti si chiamano minuendo (quello maggiore) e sottraendo (quello minore). Indicato dal seguente segno: -.

Un prodotto è il risultato di una moltiplicazione. I numeri che vengono moltiplicati sono chiamati primo fattore e secondo fattore. È indicato dal seguente segno: *.

Il quoziente è il risultato della divisione. I numeri che dividono si chiamano dividendo (quello che è maggiore), divisore (quello che è minore). Indicato da questo segno: :.

Tutti questi concetti vengono insegnati alle scuole elementari.

In matematica esistono quattro semplici operazioni che possono essere applicate a due numeri e ottengono i seguenti risultati:

la somma è il risultato della somma dei numeri,

la differenza è il risultato della sottrazione di un numero da un altro,

il prodotto è il risultato della moltiplicazione dei numeri,

il quoziente è già il risultato della divisione dei numeri.

In matematica una somma è un numero che si ottiene sommando un numero a un altro. La differenza è il numero opposto dell'addizione, è quando viene sottratta Di più meno. Un prodotto è un numero che risulta dalla moltiplicazione di un numero per un altro. La differenza è il numero opposto al prodotto. Otteniamo la differenza in questo modo: dividiamo un numero per un altro.

Sono un matematico di formazione, specialità: insegnante di matematica. Ha lavorato tutta la sua vita come insegnante di matematica in un'università pedagogica.

E' necessario effettuare la prenotazione. In futuro parleremo di somma, differenza, prodotto, quoziente numeri.

Le risposte a queste domande, sebbene semplici, causano difficoltà agli studenti. Per poter considerare questo argomento generale in modo più dettagliato, porto alla vostra attenzione materiale utile su di lei. La nota si intitola Matematica per le Bionde.

Mi è piaciuto il metodo di studio.

Viene posta una domanda provocatoria:

La differenza è divisa o moltiplicata?

Stanno cercando di interessare (nessuna versione proposta è corretta!)))

Poi rispondono:

La differenza è portare via. Il risultato della sottrazione si chiama differenza.

Allo stesso modo otteniamo:

La somma è da sommare. Il risultato dell'addizione è chiamato somma.

Il prodotto è la moltiplicazione. Il risultato della moltiplicazione si chiama prodotto.

Il quoziente è una divisione. Il risultato della divisione si chiama quoziente.

COSÌ in un linguaggio semplice vengono spiegati concetti corretti somma, differenza, prodotto e quoziente in matematica. Solo le frasi sono scritte in modo un po' semplificato: la differenza è sottrarre, la somma è aggiungere, il prodotto è moltiplicare, il quoziente è dividere. Per la precisione non lo dicono.

COSÌ, il risultato della somma dei numeri(termini) - questi sono loro somma, risultato della sottrazione di numeri(minuendo e sottraendo) - questo è differenza, il risultato della moltiplicazione dei numeri(fattori) è lavoro, UN il risultato della divisione dei numeri(divisibile per il divisore), e il divisore non deve essere uguale a zero, altrimenti la divisione non può essere eseguita, non c'è privato questi numeri.

Non penso ad altri significati di queste parole; la matematica mette in ombra tutto.)))

Le parole Somma, Differenza, Prodotto e Parziale sono molto familiari agli studenti delle scuole e altro istituzioni educative insegna loro queste definizioni in ogni lezione di matematica.

1) Somma

Una somma è il risultato ottenuto dopo aver sommato (+) due o più numeri.

L'importo è anche il costo finale del prodotto (l'importo da pagare), l'insieme delle conoscenze, delle impressioni e molto altro.

2) Differenza

In matematica significa il risultato della sottrazione di un numero (-).

La parola differenza può anche essere usata come parola per la differenza tra qualcosa. Ad esempio, differenza di opinioni, differenza di punti di vista, differenza di indicatori, ecc.

3) Lavoro

Il prodotto è il risultato ottenuto dopo aver moltiplicato i numeri (*).

Oltre alla matematica, questa parola viene utilizzata anche per denotare il risultato processo creativo(opera d'arte), come verbo di produrre.

4) Onesto

Questa parola denota il risultato della divisione di due numeri (:).

Possiamo anche sentire la parola privato quando denota la proprietà di qualcosa da parte di un proprietario (persona privata, proprietà privata, impresa privata).

Diamo un'occhiata al concetto di moltiplicazione usando un esempio:

I turisti erano in viaggio da tre giorni. Ogni giorno hanno percorso lo stesso sentiero di 4200 m. Quanta distanza hanno percorso in tre giorni? Risolvi il problema in due modi.

Soluzione:
Consideriamo il problema in dettaglio.

Il primo giorno i turisti hanno camminato per 4200 m. Il secondo giorno i turisti hanno percorso lo stesso sentiero per 4200 m e il terzo giorno per 4200 m. Scriviamolo in linguaggio matematico:
4200+4200+4200=12600m.
Vediamo uno schema in cui il numero 4200 viene ripetuto tre volte, pertanto la somma può essere sostituita mediante moltiplicazione:
4200⋅3=12600m.
Risposta: i turisti hanno percorso 12.600 metri in tre giorni.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Per evitare di scrivere una voce lunga, possiamo scriverla sotto forma di moltiplicazione. Il numero 2 viene ripetuto 11 volte, quindi un esempio con la moltiplicazione sarebbe simile a questo:
2⋅11=22

Riassumiamo. Cos'è la moltiplicazione?

Moltiplicazione– questa è un’azione che sostituisce la ripetizione del termine m n volte.

La notazione m⋅n e il risultato di questa espressione vengono chiamati prodotto di numeri, e vengono chiamati i numeri m e n moltiplicatori.

Vediamolo con un esempio:
7⋅12=84
Si chiama l'espressione 7⋅12 e il risultato 84 prodotto di numeri.
Vengono chiamati i numeri 7 e 12 moltiplicatori.

In matematica esistono diverse leggi di moltiplicazione. Diamo un'occhiata a loro:

Legge commutativa della moltiplicazione.

Consideriamo il problema:

Abbiamo regalato due mele a 5 nostri amici. Matematicamente, la voce sarà simile a questa: 2⋅5.
Oppure abbiamo regalato 5 mele a due nostri amici. Matematicamente, la voce sarà simile a questa: 5⋅2.
Nel primo e nel secondo caso distribuiremo lo stesso numero di mele pari a 10 pezzi.

Se moltiplichiamo 2⋅5=10 e 5⋅2=10, il risultato non cambierà.

Proprietà della legge della moltiplicazione commutativa:
Cambiare la posizione dei fattori non cambia il prodotto.
M⋅ N=n⋅M

Legge combinata della moltiplicazione.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 oppure 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 otteniamo,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(UN⋅ B) ⋅ C= UN⋅(B⋅ C)

Proprietà della legge della moltiplicazione associativa:
Per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo.

Scambiando più fattori e mettendoli tra parentesi, il risultato o il prodotto non cambierà.

Queste leggi sono vere per qualsiasi numero naturale.

Moltiplicare qualsiasi numero naturale per uno.

Diamo un'occhiata ad un esempio:
7⋅1=7 o 1⋅7=7
UN⋅1=a o 1⋅UN= UN
Moltiplicando un numero naturale qualsiasi per uno il prodotto sarà sempre lo stesso numero.

Moltiplicare qualsiasi numero naturale per zero.

6⋅0=0 o 0⋅6=0
UN⋅0=0 o 0⋅UN=0
Quando un qualsiasi numero naturale viene moltiplicato per zero, il prodotto sarà uguale a zero.

Domande sull'argomento "Moltiplicazione":

Cos'è un prodotto di numeri?
Risposta: il prodotto di numeri o la moltiplicazione di numeri è l'espressione m⋅n, dove m è un termine e n è il numero di ripetizioni di questo termine.

A cosa serve la moltiplicazione?
Risposta: per non scrivere lunghe addizioni di numeri, ma per scrivere abbreviato. Ad esempio, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Qual è il risultato della moltiplicazione?
Risposta: il significato dell'opera.

Cosa significa moltiplicazione 3⋅5?
Risposta: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Se moltiplichi un milione per zero, a quanto equivale il prodotto?
Risposta: 0

Esempio n. 1:
Sostituisci la somma con il prodotto: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Risposta: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Esempio n.2:
Scrivilo come prodotto: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Soluzione:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Compito n. 1:
La mamma ha comprato 3 scatole di cioccolatini. Ogni scatola contiene 8 caramelle. Quante caramelle ha comprato la mamma?
Soluzione:
Ci sono 8 caramelle in una scatola e noi ne abbiamo 3.
8+8+8=8⋅3=24 caramelle
Risposta: 24 caramelle.

Compito n. 2:
L'insegnante d'arte ha detto ai suoi otto studenti di preparare sette matite per ogni lezione. Quante matite avevano in totale i bambini?
Soluzione:
Puoi calcolare la somma dell'attività. Il primo studente aveva 7 matite, il secondo studente aveva 7 matite, ecc.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
La registrazione è risultata scomoda e lunga, sostituiamo la somma con il prodotto.
7⋅8=56
La risposta è 56 matite.

Problema 1.2
Dati due numeri interi X e T. Se hanno segni diversi, assegna a X il valore del prodotto di questi numeri e a T il valore della loro differenza assoluta. Se i numeri hanno gli stessi segni, assegna a X il valore della differenza modulo i numeri originali e a T il valore del prodotto di questi numeri. Visualizza i nuovi valori X e T sullo schermo.

Anche il compito non è difficile. I "malintesi" possono sorgere solo se hai dimenticato cos'è una differenza di modulo (spero che tu ricordi ancora qual è il prodotto di due numeri interi))).

Differenza modulo di due numeri

La differenza di modulo di due numeri interi (anche se non necessariamente interi - non importa, è solo che nel nostro problema i numeri sono interi) - questo, in poche parole, è quando il risultato del calcolo è il modulo della differenza di due numeri.

Cioè, prima viene eseguita l'operazione di sottrazione di un numero da un altro. E quindi viene calcolato il modulo del risultato di questa operazione.

Matematicamente si può scrivere così:

Se qualcuno ha dimenticato cos'è un modulo o come calcolarlo in Pascal, veda.

Algoritmo per determinare i segni di due numeri

La soluzione al problema nel suo insieme è abbastanza semplice. L'unica cosa che può causare difficoltà ai principianti è identificare i segni di due numeri. Dobbiamo cioè rispondere alla domanda: come scoprire se i numeri hanno gli stessi segni o segni diversi.

Innanzitutto, suggerisce il confronto uno per uno dei numeri con lo zero. Questo è accettabile. Ma il codice sorgente sarà piuttosto grande. Pertanto è più corretto utilizzare questo algoritmo:

1. Moltiplica i numeri tra loro
2. Se il risultato è inferiore a zero, i numeri hanno segni diversi
3. Se il risultato è zero o maggiore di zero, i numeri hanno lo stesso segno

Ho implementato questo algoritmo come file . E il programma stesso è risultato come mostrato negli esempi in Pascal e C++ di seguito.

Risolvere il problema 1.2 in Pascal checknum del programma; var A, X, T: intero; //************************************************ **************** // Controlla se i numeri N1 e N2 hanno gli stessi segni. Se sì, allora // restituisce TRUE, altrimenti - FALSE //*********************************** * *************************** funzione ZnakNumbers(N1, N2: intero): booleano; inizio := (N1 * N2) >= 0; FINE; //************************************************ **************** // PROGRAMMA PRINCIPALE //**************************** ************************************ inizio Write("X = ");

LeggiLn(X);#include #include utilizzando lo spazio dei nomi std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Controlla se i numeri N1 e N2 hanno gli stessi segni. Se sì, allora // restituisce TRUE, altrimenti - FALSE //*********************************** * *************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //************************************************ ****** **************** // PROGRAMMA PRINCIPALE //************************ ****** ***************************************** int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Se i numeri hanno gli stessi segni ( A = abs(X - T); //Ottieni la differenza modulo i numeri originali T = X * T; ) else // Se i numeri hanno segni diversi ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A;

Ottimizzazione

Questo un programma semplice Puoi semplificarlo un po’ di più se non usi la funzione e rielabori leggermente il codice sorgente del programma. Ciò ridurrà leggermente il numero totale di righe del codice sorgente. Come farlo: pensa con la tua testa.

Se una sala da concerto è illuminata da 3 lampadari con 25 lampadine ciascuno, il numero totale di lampadine in questi lampadari sarà 25 + 25 + 25, cioè 75.

La somma in cui tutti i termini sono uguali tra loro è scritta più breve: invece di 25 + 25 + 25, scrivi 25 3. Ciò significa 25 3 = 75 (Fig. 43). Viene chiamato il numero 75 lavoro vengono chiamati i numeri 25 e 3 e vengono chiamati i numeri 25 e 3 moltiplicatori.

Riso. 43. Prodotto dei numeri 25 e 3

Moltiplicare un numero m per un numero naturale n significa trovare la somma di n termini, ciascuno dei quali è uguale a m.

Vengono chiamati l'espressione m n e il valore di questa espressione lavoro numeriMEN. I numeri moltiplicati vengono chiamati moltiplicatori. Quelli. m e n sono fattori.

I prodotti 7 4 e 4 7 sono uguali allo stesso numero 28 (Fig. 44).

Riso. 44. Prodotto 7 4 = 4 7

1. Il prodotto di due numeri non cambia quando i fattori vengono riorganizzati.

commutativo

UN × B = B × UN .

I prodotti (5 3) 2 = 15 2 e 5 (3 2) = 5 6 hanno lo stesso valore 30. Ciò significa 5 (3 2) = (5 3) 2 (Fig. 45).

Riso. 45. Prodotto (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

Questa proprietà della moltiplicazione si chiama associativo. Usando le lettere si scrive così:

UN (Bc) = (aBCon).

La somma di n termini, ciascuno uguale a 1, è uguale a n. Pertanto l'uguaglianza 1 n = n è vera.

La somma di n termini, ciascuno dei quali è uguale a zero, è uguale a zero. Pertanto, l'uguaglianza 0 n = 0 è vera.

Affinché la proprietà commutativa della moltiplicazione sia vera per n = 1 en = 0, si conviene che m 1 = m e m 0 = 0.

Il segno di moltiplicazione solitamente non viene scritto prima dei fattori alfabetici: invece di 8 X scrivi 8 X, invece di UNB scrivere UNB.

Anche il segno di moltiplicazione viene omesso prima delle parentesi. Ad esempio, invece di 2 ( un+B) scrivere 2 (a+B) , e invece di ( X+ 2) (y + 3) scrivi (x + 2) (y + 3).

Invece di ( ab) con scrittura abc.

Quando non ci sono parentesi nella notazione del prodotto, la moltiplicazione viene eseguita in ordine da sinistra a destra.

Le opere vengono lette nominando ciascun fattore caso genitivo. Per esempio:

1) 175 60 è il prodotto di centosettantacinquesessanta;

2) 80 (X+ 1 7) – prodotto di r.p. r.p.

ottanta e la somma di xe diciassette

Risolviamo il problema.

Quanti numeri a tre cifre (Fig. 46) si possono comporre dai numeri 2, 4, 6, 8, se i numeri nel numero non si ripetono?

Soluzione.

La prima cifra di un numero può essere una qualsiasi tra quattro dati numeri, il secondo – uno qualsiasi di tre altri, e il terzo – uno qualsiasi di due i restanti. Si scopre:

Riso. 46. ​​​​Al problema della composizione di numeri a tre cifre

In totale, da questi numeri puoi fare 4 3 2 = 24 numeri a tre cifre.

Risolviamo il problema.

Il consiglio di amministrazione della società è composto da 5 persone. Tra i suoi membri il consiglio deve eleggere un presidente e un vicepresidente. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione.

Una delle 5 persone può essere eletta presidente della società:

Presidente:

Dopo l'elezione del presidente, uno qualsiasi dei quattro restanti membri del consiglio può essere scelto come vicepresidente (Fig. 47):

	Presidente: Vicepresidente:

Riso. 47. Sul problema elettorale

Ciò significa che ci sono cinque modi per selezionare un presidente e, per ciascun presidente eletto, ci sono quattro modi per selezionare un vicepresidente. Quindi, numero totale Il numero di modi per scegliere il presidente e il vicepresidente della società è: 5 4 = 20 (vedi Fig. 47).

Risolviamo un altro problema.

Ci sono quattro strade che portano dal villaggio di Anikeevo al villaggio di Bolshovo e tre strade dal villaggio di Bolshovo al villaggio di Vinogradovo (Fig. 48). In quanti modi è possibile andare da Anikeev a Vinogradovo attraverso il villaggio di Bolshevo?

Riso. 48. Al problema delle strade

Soluzione.

Se arrivi da A a B lungo la prima strada, ci sono tre modi per continuare il viaggio (Fig. 49).

Riso. 49. Opzioni del percorso

Ragionando allo stesso modo, otteniamo tre modi per continuare il viaggio, iniziando a percorrere la 2a, 3a e 4a strada. Ciò significa che in totale ci sono 4 3 = 12 modi per andare da Anikeev a Vinogradov.

Risolviamo un altro problema.

Ad una famiglia composta da nonna, padre, madre, figlia e figlio sono state distribuite 5 tazze diverse. In quanti modi si possono dividere le tazze tra i membri della famiglia?

Soluzione. Il primo membro della famiglia (ad esempio la nonna) ha 5 scelte, il successivo (che sia papà) ha 4 scelte rimaste. La successiva (ad esempio la mamma) sceglierà tra 3 tazze, la successiva tra due e l'ultima riceverà una tazza rimanente. Mostriamo questi metodi nel diagramma (Fig. 50).

Riso. 50. Schema per risolvere il problema

Abbiamo riscontrato che ad ogni scelta di una tazza da parte della nonna corrispondono quattro possibili scelte del padre, cioè solo 5 4 modi. Dopo che papà ha scelto una tazza, la mamma ha tre scelte, la figlia ne ha due, il figlio ne ha una, cioè solo 3 2 1 modi. Infine, troviamo che per risolvere il problema dobbiamo trovare il prodotto 5 4 3 2 1.

Nota che abbiamo ottenuto il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 5. Tali prodotti sono scritti più brevemente:

5 4 3 2 1 = 5! (leggi: “cinque fattoriale”).

Fattoriale di un numero– il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a questo numero.

Quindi la risposta al problema è: 5! = 120, cioè Le tazze possono essere distribuite tra i membri della famiglia in centoventi modi.

In questo articolo scopriremo come farlo moltiplicazione di numeri interi. Per prima cosa, introduciamo termini e notazioni e scopriamo anche il significato della moltiplicazione di due numeri interi. Successivamente otterremo le regole per moltiplicare due interi positivi, interi negativi e interi con segni diversi. Allo stesso tempo, forniremo esempi con una spiegazione dettagliata del processo di soluzione. Toccheremo anche i casi di moltiplicazione di numeri interi quando uno dei fattori è uguale a uno o zero. Successivamente impareremo come controllare il risultato della moltiplicazione risultante. E infine, parliamo di moltiplicare tre, quattro e Di più numeri interi.

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Termini e simboli

Per descrivere la moltiplicazione dei numeri interi utilizzeremo gli stessi termini con cui abbiamo descritto la moltiplicazione dei numeri naturali. Ricordiamoglielo.

Gli interi moltiplicati vengono chiamati moltiplicatori. Viene chiamato il risultato della moltiplicazione lavoro. L'azione della moltiplicazione è indicata dal segno di moltiplicazione della forma “·”. In alcune fonti si trovano le moltiplicazioni notate con i segni “*” o “×”.

È conveniente scrivere gli interi moltiplicati a, be il risultato della loro moltiplicazione c utilizzando un'uguaglianza della forma a·b=c. In questa notazione, l'intero a è il primo fattore, l'intero b è il secondo fattore e l'intero c è il prodotto. della forma a·b sarà chiamato anche prodotto, così come il valore di questa espressione c .

Guardando al futuro, notiamo che il prodotto di due numeri interi rappresenta un numero intero.

Il significato di moltiplicare numeri interi

Moltiplicazione di numeri interi positivi

Gli interi positivi sono numeri naturali, quindi moltiplicazione di numeri interi positivi viene eseguito secondo tutte le regole per la moltiplicazione dei numeri naturali. È chiaro che moltiplicando due numeri interi positivi si ottiene un numero intero positivo (numero naturale). Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.

Esempio.

Qual è il prodotto degli interi positivi 127 e 5?

Soluzione.

Presentiamo il primo fattore 107 come somma di termini in bit, cioè nella forma 100+20+7. Successivamente, utilizziamo la regola per moltiplicare la somma dei numeri per un dato numero: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5. Non resta che completare il calcolo: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635.

Pertanto, il prodotto dei dati numeri interi positivi 127 e 5 è 635.

Risposta:

127·5=635.

Per moltiplicare interi positivi a più cifre, è conveniente utilizzare il metodo della moltiplicazione di colonna.

Esempio.

Moltiplicare il numero intero positivo a tre cifre 712 per il numero intero positivo a due cifre 92.

Soluzione.

Moltiplichiamo questi numeri interi positivi in ​​una colonna:

Risposta:

712·92=65.504.

Regola per moltiplicare numeri interi con segni diversi, esempi

L'esempio seguente ci aiuterà a formulare la regola per moltiplicare numeri interi con segni diversi.

Calcoliamo il prodotto dell'intero negativo −5 e dell'intero numero positivo 3 in base al significato della moltiplicazione. COSÌ (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Affinché la proprietà commutativa della moltiplicazione rimanga valida, deve essere soddisfatta l'uguaglianza (−5)·3=3·(−5). Cioè, anche il prodotto 3·(−5) è uguale a −15. È facile vedere che −15 uguale al prodotto moduli dei fattori originali, da cui segue che il prodotto degli interi originali con segni diversi è uguale al prodotto dei moduli dei fattori originali presi con segno meno.

Quindi abbiamo ottenuto regola per moltiplicare numeri interi con segni diversi: per moltiplicare due numeri interi con segni diversi, è necessario moltiplicare i moduli di questi numeri e anteporre un segno meno al numero risultante.

Dalla regola enunciata possiamo concludere che il prodotto di numeri interi con segni diversi è sempre un numero intero negativo. Infatti, moltiplicando i moduli dei fattori, otteniamo un numero intero positivo e se mettiamo un segno meno davanti a questo numero, diventa un numero intero negativo.

Diamo un'occhiata agli esempi di calcolo del prodotto di numeri interi con segni diversi utilizzando la regola risultante.

Esempio.

Moltiplicare l'intero positivo 7 per un numero intero numero negativo −14 .

Soluzione.

Usiamo la regola per moltiplicare numeri interi con segni diversi. I moduli dei moltiplicatori sono rispettivamente 7 e 14. Calcoliamo il prodotto dei moduli: 7·14=98. Non resta che mettere un segno meno davanti al numero risultante: −98. Quindi, 7·(−14)=−98.

Risposta:

7·(−14)=−98 .

Esempio.

Calcola il prodotto (−36)·29.

Soluzione.

Dobbiamo calcolare il prodotto di numeri interi con segni diversi. Per fare ciò, calcoliamo il prodotto valori assoluti moltiplicatori: 36·29=1.044 (è meglio moltiplicare in colonna). Ora mettiamo un segno meno davanti al numero 1044, otteniamo −1044.

Risposta:

(−36)·29=−1.044 .

Per concludere questo paragrafo, dimostreremo la validità dell'uguaglianza a·(−b)=−(a·b) , dove a e −b sono numeri interi arbitrari. Un caso speciale di questa uguaglianza è la regola stabilita per la moltiplicazione di numeri interi con segni diversi.

In altre parole, dobbiamo dimostrare che i valori delle espressioni a·(−b) e a·b sono numeri opposti. Per dimostrarlo, troviamo la somma a·(−b)+ab·b e assicuriamoci che sia uguale a zero. A causa della proprietà distributiva della moltiplicazione degli interi rispetto all'addizione, l'uguaglianza a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) è vera. La somma (−b)+b è uguale a zero come somma di interi opposti, quindi a·((−b)+b)=a·0. Ultimo pezzoè uguale a zero per la proprietà di moltiplicare un numero intero per zero. Quindi a·(−b)+a·b=0, quindi a·(−b) e a·b sono numeri opposti, il che implica la validità dell'uguaglianza a·(−b)=−(a·b ). Allo stesso modo, possiamo dimostrare che (−a) b=−(a b) .

Regola per moltiplicare interi negativi, esempi

L'uguaglianza (−a)·(−b)=a·b, che ora dimostreremo, ci aiuterà a ottenere la regola per moltiplicare due interi negativi.

Alla fine del paragrafo precedente, abbiamo dimostrato che a·(−b)=−(a·b) e (−a)·b=−(a·b) , quindi possiamo scrivere la seguente catena di uguaglianze (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)). E l'espressione risultante −(−(a·b)) non è altro che a·b a causa della definizione dei numeri opposti. Quindi, (−a)·(−b)=a·b.

L’uguaglianza provata (−a)·(−b)=a·b ci permette di formulare regola per moltiplicare gli interi negativi: Il prodotto di due interi negativi è uguale al prodotto dei moduli di questi numeri.

Dalla regola indicata segue che il risultato della moltiplicazione di due numeri interi negativi è un numero intero positivo.

Consideriamo l'applicazione di questa regola quando si esegue la moltiplicazione di numeri interi negativi.

Esempio.

Calcolare il prodotto (−34)·(−2) .

Soluzione.

Dobbiamo moltiplicare due numeri interi negativi −34 e −2. Usiamo la regola corrispondente. Per fare questo troviamo i moduli dei moltiplicatori: e . Resta da calcolare il prodotto dei numeri 34 e 2, cosa che sappiamo fare. In breve, l'intera soluzione può essere scritta come (−34)·(−2)=34·2=68.

Risposta:

(−34)·(−2)=68 .

Esempio.

Moltiplicare l'intero negativo −1041 per l'intero negativo −538.

Soluzione.

Secondo la regola per moltiplicare gli interi negativi, il prodotto desiderato è uguale al prodotto dei moduli dei fattori. I moduli dei moltiplicatori sono rispettivamente 1.041 e 538. Facciamo la moltiplicazione delle colonne:

Risposta:

(−1.041)·(−538)=560.058 .

Moltiplicare un numero intero per uno

Moltiplicando qualsiasi numero intero a per uno si ottiene il numero a. Ne abbiamo già parlato quando abbiamo discusso il significato di moltiplicare due numeri interi. Quindi a·1=a . A causa della proprietà commutativa della moltiplicazione, l'uguaglianza a·1=1·a deve essere vera. Pertanto, 1·a=a.

Il ragionamento precedente ci porta alla regola per moltiplicare due numeri interi, uno dei quali è uguale a uno. Il prodotto di due numeri interi in cui uno dei fattori è uno è uguale all'altro fattore.

Ad esempio, 56·1=56, 1·0=0 e 1·(−601)=−601. Diamo ancora un paio di esempi. Il prodotto degli interi −53 e 1 è −53, e il prodotto di uno e dell'intero negativo −989.981 è −989.981.

Moltiplicazione di un numero intero per zero

Abbiamo concordato che il prodotto di qualsiasi intero a e zero è uguale a zero, cioè a·0=0. La proprietà commutativa della moltiplicazione ci obbliga ad accettare l'uguaglianza 0·a=0. Così, il prodotto di due numeri interi in cui almeno uno dei fattori è zero è uguale a zero. In particolare, il risultato della moltiplicazione di zero per zero è zero: 0·0=0.

Diamo alcuni esempi. Il prodotto dell'intero positivo 803 e zero è uguale a zero; il risultato della moltiplicazione di zero per l'intero negativo −51 è zero; anche (−90 733)·0=0 .

Si noti inoltre che il prodotto di due numeri interi è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Controllare il risultato della moltiplicazione di numeri interi

Controllo del risultato della moltiplicazione di due numeri interi effettuata utilizzando la divisione. È necessario dividere il prodotto risultante per uno dei fattori; se risulta un numero uguale all'altro fattore, allora la moltiplicazione è stata eseguita correttamente. Se il risultato è un numero diverso dall'altro termine, da qualche parte è stato commesso un errore.

Diamo un'occhiata agli esempi in cui viene controllato il risultato della moltiplicazione di numeri interi.

Esempio.

Come risultato della moltiplicazione di due numeri interi −5 e 21, è stato ottenuto il numero −115. Il prodotto è calcolato correttamente?

Soluzione.

Controlliamo. Per fare ciò, dividi il prodotto calcolato −115 per uno dei fattori, ad esempio −5., controlla il risultato. (−17)·(−67)=1 139 .

Moltiplicazione di tre o più numeri interi

La proprietà combinatoria della moltiplicazione degli interi consente di determinare in modo univoco il prodotto di tre, quattro o più numeri interi. Allo stesso tempo, le restanti proprietà della moltiplicazione dei numeri interi ci permettono di affermare che il prodotto di tre o più numeri interi non dipende dal metodo di collocazione delle parentesi e dall'ordine dei fattori nel prodotto. Abbiamo corroborato affermazioni simili quando abbiamo parlato di moltiplicare tre o più numeri naturali. Nel caso dei fattori interi, la logica è completamente la stessa.

Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio.

Calcola il prodotto di cinque numeri interi 5, −12, 1, −2 e 15.

Soluzione.

Possiamo sostituire in sequenza da sinistra a destra due fattori adiacenti con il loro prodotto: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)· (−2 )·15= 120·15=1.800. Questa opzione per il calcolo del prodotto corrisponde al seguente metodo di disposizione delle parentesi: (((5·(−12))·1)·(−2))·15.

Potremmo anche riorganizzare alcuni fattori e disporre le parentesi in modo diverso se questo ci consente di calcolare il prodotto dei cinque numeri interi dati in modo più efficiente. Ad esempio, è stato possibile riorganizzare i fattori nel seguente ordine 1·5·(−12)·(−2)·15, e quindi disporre le parentesi in questo modo ((1·5)·(−12))·((−2)·15). In questo caso i calcoli saranno i seguenti: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Come potete vedere, diverse opzioni il posizionamento di parentesi e diversi ordini di fattori ci ha portato allo stesso risultato.

Risposta:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800.

Separatamente notiamo che se in un prodotto ci sono tre, quattro, ecc. di numeri interi, almeno uno dei fattori è uguale a zero, allora il prodotto è uguale a zero. Ad esempio, il prodotto di quattro numeri interi 5, −90321, 0 e 111 è uguale a zero; Anche il risultato della moltiplicazione di tre numeri interi 0, 0 e −1983 è zero. È vero anche il contrario: se il prodotto è uguale a zero, almeno uno dei fattori è uguale a zero.