Selvstændigt arbejde med logik. Test på datalogi og IKT "elementer af algebra af logik" Lad Anna kunne lide lektionerne

Ivanov, Ozhegov, Krysin, Lopatin, Bunin, Fonvizin, Grøn, Tseitlin, Darwin. Mandlige efternavne -ov, -ind(russisk og lånt) er tilbøjelige: Ozhegovs ordbog, historien tilhører Bunin, jeg venter på Ivanov, taler med Krysin om Grøn.

Lånte efternavne -ov, -ind som hører til udlændinge, i form af den instrumentale sag har de en slutning -ohm(som navneord i den anden skolebøjning, for eksempel bord, bord): teorien blev foreslået af Darwin, filmen blev instrueret af Chaplin, bogen blev skrevet af Cronin.(Interessant nok er pseudonymet også tilbøjeligt Grøn, tilhørende en russisk forfatter: bogen er skrevet Grøn.) Homonyme russiske efternavne har slutningen - th i det instrumentelle tilfælde: med Chaplin(fra dialektordet Chaplia"hejre"), med Kronin(fra krone).

Shukshina, Ilyina, Petrova, Fedorova, Graudina. Kvinders efternavne -ina, -ova bøje sig. Efternavne som Ribs, Perle Afvist på to måder, afhængigt af deklinationen af det mandlige efternavn (Irina Zhemchuzhina og Irina Zhemchuzhina, Zoya Smorodina og Zoya Smorodina). Hvis mandens efternavn er Zhemchuzhin, så ret: ankomsten af Irina Zhemchuzhina. Hvis mandens efternavn er Perle, så ret: ankomsten af Irina Zhemchuzhina(efternavn er afvist som et almindeligt substantiv perle).

Okudzhava, Globa, Shcherba, Vayda -a, -i ubetonet, normalt bøjet (sange af Bulat Okudzhava, prognoser af Pavel Globa, film af Andrzej Wajda).

Gamsakhurdia, Beria, Danelia, Pihoya. Efternavne der begynder med - bl.a ikke bukke: bøger af Konstantin Gamsakhurdia. I modsætning hertil starter georgiske efternavne med - og jeg bøjet: Berias forbrydelser, Danelias film. Efternavne der begynder med - åh bøjet efter substantivet nåle: om Rudolf Pihoy.

Mitta, Stegepande, Kvasha. Mandlige og kvindelige efternavne af slavisk oprindelse i -EN percussion bue (om Alexander Mitte, med Grigory Skovoroda, med Igor Kvasha).

Dumas, Zola, Gavalda. Mandlige og kvindelige efternavne af fransk oprindelse i -a, -i trommer bukker ikke (bøger af Alexandre Dumas, Emile Zola, Anna Gavalda).

Korolenko, Dovzhenko, Shevchenko, Lukashenko, Petrenko. Mandlige og kvindelige efternavne -ko ikke bøje dig.

Falcone, Gastello, Zhivago, Durnovo, Lando, Dante, Koni. Mandlige og kvindelige efternavne -o, -e, -i, -u, -yu ikke bøje dig.

Blok, Gaft, Brockhaus, Hasek, Mickiewicz, Stirlitz, Dahl, Rosenthal, Gudziy, Macbeth. Mandlige efternavne, der ender på en konsonant, uanset om de er bløde eller hårde, afvises (Brockhaus encyklopædi, poesi af Mickiewicz, ordbog skrevet af Dahl). Kvindelige efternavne, der ender på en konsonant, afvises ikke (til Lyubov Dmitrievna Blok, erindringer fra Nadezhda Mandelstam).

Sort, rød, snoet. Mandlige og kvindelige efternavne -y, -dem ikke bøje dig.

Kalakutskaya, Kalakutsky, Hvid, Hvid, Tolstaya, Tolstoy. Mandlige og kvindelige efternavne, som er adjektiver i form, afvises i henhold til adjektivmodellen:

I. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstaya

R. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstoy

D. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstoy

V. p.: Andrey Bely, Tatyana Tolstoy

T.p.: med Andrei Bely, med Tatyana Tolstaya

P. p.: om Andrei Bely, om Tatyana Tolstoy

Se mere...

Rusland er et multinationalt land, så der er mange navne og efternavne af forskellig oprindelse.

Vi skal underskrive notesbøger, udfylde dokumenter, og vi skal angive vores efternavn i en bestemt sag og ikke lave en fejl med slutningen. Det er her, der venter os vanskeligheder. For eksempel, hvordan man siger korrekt: “belønning Lyanka Elena eller Lyanka Elena, Bavtruk Timur eller Bavtruk Timur, Anton Sedykh eller Anton Sedogo»?

I dag vil vi forsøge at forstå nogle aspekter af deklinationen af udenlandske og russisktalende efternavne, mandlige og kvindelige.

Lad os starte med det faktum de fleste af efternavnene er oprindeligt russiske i form ligner adjektiver med suffikser -sk-, -in-, -ov- (-ev-): Hvorostovsky, Veselkin, Mikhalkov, Ivanov, Tsarev. De kan tage form af både mandlige og feminin, og også brugt i flertal. Samtidig er der sjældent nogen, der har problemer med deklination af sådanne efternavne.

I. p. (hvem? hvad?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

R. p. (hvem? hvad?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

D. p. (til hvem? hvad?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

V. p. (hvem? hvad?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

osv. (af hvem? med hvad?) Hvorostovsky, Hvorostovskaya, Hvorostovsky.

P. s. (om hvem? om hvad?) om Hvorostovsky, om Hvorostovskaya, om Hvorostovskyerne.

Du skal dog være forsigtig med efternavne, der ender med en konsonant eller et blødt tegn. f.eks. Sjakal, Tavgen, Korob, Oldefar. I dette tilfælde vil afvisningen afhænge af Hvilket køn tilhører efternavnet? Hvis vi taler om om en kvinde ligner de hinanden e efternavne er usædvanlige, men mandlige efternavne er udelukkelige, ligesom navneord af 2. deklination ægtemand. r. (såsom bord, rådyr). Dette gælder ikke for efternavne, der ender på - dem(e). Gå for eksempel med Sjakal Anna Og Sjakal Anton, tale om Tavgen Anastasia og om Tavgena Alexandra, gå med Darias oldefar og med Oldefar Emelyan.

Nogle efternavne kan lide Barn, Kravets, Zhuravel kan have variabel deklination på grund af, at de ligner almindelige navneord. Når deklination af navneord forekommer slippe en vokal i slutningen af et ord(zhur flyvning åh Jeg, bader rebben NK a), når et efternavn afvises, kan vokalen bevares for at forhindre forvrængning eller komisk lyd af efternavnet (skriv Zhuravel, afsendelse fra barn).

Bøj dig ikke mandlige og kvindelige efternavne -s(er). tale om Diana Sedykh og om Anton Sedykh, skriv Velimiru Kruchenykh Og Antonina Kruchenykh.

Alle kvindelige og mandlige efternavne, der ender med vokaler, undtagen -EN eller -JEG, er ubøjelig. For eksempel Artman, Amadou, Bossuet, Goethe, Galsworthy, Gramsci, Grétry, Debussy, Dzhusoit, Daudet, Camus, Cornu, Lully, Manzu, Modigliani, Navoi, Rustaveli, Ordzhonikidze, Chabukiani, Enescu og mange andre.

Dette inkluderer også efternavne, der ender på -O, og efternavne ukrainsk oprindelse på -ko. For eksempel Hugo, La Rochefoucauld, Leoncavallo, Longfellow, Picasso, Craft, Khitrovo, Chamisso, Makarenko, Korolenko, Gorbatko, Shepitko, Savchenko, Zhivago, Derevyago osv.

Bøjning af efternavne, der ender på -EN, volder de største vanskeligheder. Her er det nødvendigt at tage hensyn flere kriterier: efternavnets oprindelse, stress og bogstav hvorefter -EN placeret. Lad os prøve at forenkle billedet så meget som muligt.

Efternavne hælder ikke til -EN, hvis dette bogstav er indledt af en vokal (oftest på eller Og): Gulia, Moravia, Delacroix, Heredia. Det gælder også efternavne af georgisk oprindelse.

Efternavne hælder ikke til -ENfransk oprindelse med vægt på sidste stavelse: Degas, Dumas, Luc, Thomas, Fermat, Petipa osv.

Alle andre efternavne er -EN afvist på russisk. Bringe Lyanka Elena, tage fra Shatravki Inna, læs Petrarch, sammen med Kurosawa, O Glinka, For Alexandra Mitta.

Situationen er den samme med afvisningen af efternavne fra finalen -JEG: efternavne afvises ikke fransk oprindelse med vægt på sidste stavelse (Zola). Alle andre efternavne, der ender på -JEG, bue. For eksempel overtale Ivan Golovnya Og Elena Golovnya, skrive om Beria, film Georgy Danelia.

Som du måske har bemærket, skal du derfor ikke kende så mange regler for at kunne udtale dit efternavn korrekt på russisk. Vi håber, at du nu ikke begår fejl, når du underskriver en notesbog eller udfylder dokumenter! Men hvis du stadig er i tvivl, så kontakt os venligst. Vores specialister vil altid forsøge at hjælpe!

Held og lykke til dig og det smukke, læsefærdige, rige russiske sprog!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

1. Navne (slavisk) på -O såsom Levko, Marko, Pavlo, Petro afvises i henhold til modellen for bøjningen af maskulint-neuter substantiver, for eksempel: foran Levka, i Mark; M. Gorky afviser ikke navnet Danko ("... hun talte om Dankos brændende hjerte").

Navne med parallelle former på -O – -EN(Gavrilo - Gavrila, Mikhaila - Mikhaila), faldt normalt i henhold til typen af substantiver af den feminine deklination: ved Gavrila, til Gavrila, med Gavrila. Andre endelser (ved Gavril, til Gavril, med Gavril) er dannet fra en anden begyndelsesform Gavril.

2. Udenlandske navne konsonantlyden er tilbøjelig, uanset om de bruges selvstændigt eller sammen med efternavnet, for eksempel: Jules Vernes romaner (ikke "Jules Verne"), Mark Twains historier, John Boynton Priestleys skuespil, eventyrene af HC Andersen, Pierre-Henri Simons bog. Delvise afvigelser observeres med dobbelte franske navne, for eksempel: Jean-Jacques Rousseaus filosofiske synspunkter, en aften til minde om Jean-Richard Bloch (fornavnet afvises ikke, se § 13, stk. 3).

3. Når deklination af slaviske navne og efternavne, bruges former for russisk deklination (især i indirekte former er flydende vokaler bevaret), for eksempel: Edek, Vladek (polske navne) - Edeka, Vladeka (ikke "Edka", " Vladka”); Karel Capek - Karela Capek, (ikke “Chapka”); Vaclav Havel – Vaclav Havel (ikke "Gavla").

4. Russiske og udenlandske efternavne, der ender på en konsonant, afvises, hvis de henviser til mænd, og ikke afvist, hvis de henviser til kvinder. Sammenlign: studerende Kulik - studerende Kulik, George Bush - Barbara Bush. Hyppige afvigelser fra reglen (utilstrækkelighed af russiske mandlige efternavne, der ender med en konsonantlyd), observeres i tilfælde, hvor efternavnet stemmer overens med navnet på et dyr eller en livløs genstand (gås, bælte), for at undgå usædvanlige eller nysgerrige kombinationer, for eksempel: "Mr. Goose's," "Citizen Belt." Ofte i sådanne tilfælde, især i officiel forretningstale, behold efternavnet inde indledende form(jf.: træne med Stanislav Zhuk) eller foretag ændringer i denne type deklination, behold f.eks. en flydende vokallyd i form af skrå kasus (jf.: sætter stor pris på Konstantin Kobets mod).

5. Efternavne er ikke tilbøjelige til -ago, -ako, -yago, -yh, -ikh, -ovo: Shambinago, Plevako, Dubyago, Krasnykh, Dolgikh, Durnovo. Kun i almindelig sprogbrug findes former som "Ivan Sedykhs".

6. Udenlandske efternavne, der ender med en vokallyd (undtagen for ubetonede) -a, -i, med en forudgående konsonant) falder ikke, for eksempel: Zolas romaner, Hugos digte, Bizets operaer, Puncinis musik, Shaws skuespil, Salman Rushdies digte.

Ofte er slaviske (polske og tjekkiske) efternavne også inkluderet under denne regel. -ski Og -s: meninger fra Zbigniew Brzezinski (amerikansk social og politisk figur), Pokornys ordbog (tjekkisk lingvist). Man skal dog huske på, at tendensen til at overføre sådanne efternavne i overensstemmelse med deres lyd i kildesproget (jf. stavningen af de polske efternavne Glinski, Leszczynska - med bogstavet b før sk) kombineres med traditionen for deres overførsel efter russisk model i stavemåde og deklination: værker af den polske forfatter Krasiński, opførelser af sangerinden Ewa Bandrowska-Turska, en koncert af pianisten Czerna-Stefanska, en artikel af Octavia Opulska- Danielska osv. For at undgå vanskeligheder med funktionen af sådanne efternavne på det russiske sprog, er det tilrådeligt at formalisere dem i henhold til modellen for deklination af russiske mandlige og kvindelige efternavne til -sky, -tsky, -y, -aya. Polske kombinationer er tilbøjelige på en lignende måde, for eksempel: Home Army, Home Army osv.

Fra efternavne til accentuerede -EN Kun de slaviske er tilbøjelige: Fra forfatteren Mayboroda til filosoffen Skovoroda, Alexander Mittas film.

Ikke-russiske efternavne med ubetonede navne -åh, -jeg(hovedsageligt slavisk og romansk) er tilbøjelige, for eksempel: Jan Nerudas værk, Pablo Nerudas digte, værkerne af den æresakademiker N.F. Gamaleya, Campanellas utopisme, Torquemadas grusomhed, filmen med Giulietta Masinas deltagelse; men film med Henry Fonda og Jane Fonda i hovedrollerne. Finske efternavne afviser heller ikke -a: møde med Kuusela. Udenlandske efternavne falder ikke til -ia, for eksempel: sonetter af Heredia, historier om Gulia; på -iya - tilbøjelige, for eksempel: grusomhederne i Beria.

Der observeres udsving i brugen af georgiske, japanske og nogle andre efternavne; Ons: arie fremført af Zurab Sotkilav, sange af Okudzhava, Ardzinbas regering, 100 år siden Saint-Katayamas fødsel, general Tanakas politik, Ryunosuke Akutagawas værker. I de seneste år Der har tydeligvis været en tendens til tilbagegang af sådanne efternavne.

7. ukrainske efternavne -ko (-enko) V fiktion normalt tilbøjelig, selvom forskellige typer bøjninger (som hankøns- eller intetkønsord), for eksempel: ordre til Evtukh Makogonenkos hoved; digt dedikeret til M.V. Rodzianka I moderne presse bruges sådanne efternavne som regel ikke, for eksempel: årsdagen for Taras Shevchenko, minder om V.G. Korolenko. I nogle tilfælde er deres foranderlighed dog tilrådeligt for at tilføje klarhed til teksten, jf.: brev fra V.G. Korolenko A.V. Lunacharsky - brev adresseret til V.G. Korolenka. ons. også fra Tjekhov: "Om aftenen traskede Belikov... til Kovalenki." Efternavne er ikke fremhævet: Franko-teatret, Lyashkos historier.

8. I sammensatte navne og efternavne på koreansk, vietnamesisk, burmesisk afvises den sidste del (hvis den ender med en konsonant), for eksempel: Choi Hengs tale, Pham Van Dongs udtalelse, samtale med U Ku Ling.

9. I russiske dobbeltefternavne afvises den første del, hvis den i sig selv bruges som efternavn, for eksempel: sange af Solovyov-Sedoy, malerier af Sokolov-Skal. Hvis den første del ikke danner et efternavn, falder den ikke, for eksempel: forskning af Grum-Grzhimailo, i rollen som Skvoznik-Dmukhanovsky, skulptur af Demut-Malinovsky.

10. Ikke-russiske efternavne, der henviser til to eller flere personer, sættes i nogle tilfælde i formen flertal, i andre - i form af et ental:

1) hvis efternavnet har to mandlige navne, så sættes det i flertalsform, for eksempel: Heinrich og Thomas Mann, August og Jean Picard, Adolph og Mikhail Gottlieb; også far og søn af Oistrakh;
- 2) med to kvindenavne sættes efternavnet i formen ental, for eksempel: Irina og Tamara Press (jf. ufleksible efternavne med en konsonantlyd relateret til kvinder);
- 3) hvis efternavnet er ledsaget af en mandlig og kvindelige navne, så bevarer den entalsformen, for eksempel: Franklin og Eleanor Roosevelt, Ronald og Nancy Reagan, Ariadne og Peter Tur, Nina og Stanislav Zhuk;
- 4) efternavnet sættes også i ental, hvis det er ledsaget af to almindelige navneord, der angiver forskellige køn, f.eks.: Mr. og Mrs. Clinton, Lord og Lady Hamilton; men når man kombinerer mand og kone, bror og søster, bruges efternavnet oftere i flertalsform: mand og kone til Estrema, bror og søster til Niringa;
- 5) ved brug af ordet ægtefælle angives efternavnet i entalsform, f.eks.: ægtefælle Kent, ægtefælle Major;
- 6) med ordet brødre sættes efternavnet også normalt i entalsform, f.eks.: brødrene Grimm, brødrene Spiegel, brødrene Schellenberg, brødrene Pokrass; det samme med ordet søstre: Koch søstre;
- 7) når man bruger ordet familie, gives efternavnet normalt i entalsform, f.eks.: Oppenheim-familien, Hoffmann-Stal-familien.

11. I kombinationer af russiske efternavne med tal bruges følgende former: to Petrovs, begge Petrovs, to Petrovs, begge Petrov-brødre, to Petrov-venner; to (begge) Zhukovskys; to (begge) Zhukovskys. Denne regel gælder også for kombinationer af tal med fremmedsprogede efternavne: begge Schlegels, to brødre til Mann.

12. Kvindelige mellemnavne Afvist i henhold til typen af deklination af substantiver, og ikke adjektiver, for eksempel: i Anna Ivanovna, til Anna Ivanovna, med Anna Ivanovna.

| § 1.3. Elementer af algebra logik

Lektion 8 - 12
§ 1.3. Elementer af algebra logik

Nøgleord:

logikkens algebra
erklæring
logisk operation
konjunktion
disjunktion
negation
logisk udtryk
sandhedstabel
logikkens love

1.3.1. Erklæring

Algebra i ordets brede betydning er videnskaben om generelle operationer, svarende til addition og multiplikation, der kan udføres på en række matematiske objekter. Mange matematiske objekter (heltal og rationelle tal, polynomier, vektorer, mængder), du studerer i skoleforløb algebra, hvor du stifter bekendtskab med sådanne grene af matematikken som algebraen af tal, algebraen af polynomier, algebraen af mængder osv.

For datalogi er en gren af matematikken kaldet logisk algebra vigtig; objekterne i logikkens algebra er udsagn.

En ytring er en sætning på ethvert sprog, hvis indhold utvetydigt kan bestemmes som sandt eller falsk.

F.eks, vedrørende sætningerne "Den store russiske videnskabsmand M.V. Lomonosov blev født i 1711" og "To plus seks er otte" kan vi bestemt sige, at de er sande. Sætningen "Sparrows hibernate in winter" er falsk. Derfor er disse sætninger udsagn.

På russisk udtrykkes udsagn ved deklarative sætninger. Men ikke alt erklærende sætning er et udsagn.

F.eks, sætningen "Denne sætning er falsk" er ikke et udsagn, da det ikke kan siges om det, om det er sandt eller falsk uden at opnå en modsigelse. Faktisk, hvis vi accepterer, at sætningen er sand, så modsiger dette det, der blev sagt. Hvis vi accepterer, at sætningen er falsk, så følger det, at den er sand.

Angående sætningen "Computergrafik er mest interessant emne i skoledatalogi”, er det heller ikke muligt at sige entydigt, om det er sandt eller falsk. Tænk selv hvorfor.

Incitament og spørgende sætninger er ikke udsagn.

F.eks, sætninger som: "Skriv ned lektier", "Hvordan kommer man til biblioteket?", "Hvem kom til os?"

Udsagn kan konstrueres ved hjælp af tegn på forskellige formelle sprog- matematik, fysik, kemi mv.

Eksempler på udsagn kunne være:

"Na er metal" (sandt udsagn);
"Newtons anden lov er udtrykt ved formlen F=m a" (sandt udsagn);
"Omkredsen af et rektangel med sidelængderne a og b er lig med a b" (falsk udsagn).

Numeriske udtryk er ikke udsagn, men fra to numeriske udtryk Du kan lave et udsagn ved at forbinde dem med ligheds- eller ulighedstegn. For eksempel:

"3 + 5 = 2 4" (sandt udsagn);
"II + VI > VIII" (falsk udsagn).

Ligheder og uligheder, der indeholder variabler, er heller ikke udsagn. For eksempel sætningen "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

Begrundelsen for sandheden eller falskheden af udsagn afgøres af de videnskaber, de tilhører. Logikkens algebra er abstraheret fra det semantiske indhold af udsagn. Hun er kun interesseret i, om et givet udsagn er sandt eller falsk. I logisk algebra betegnes udsagn med bogstaver og kaldes logiske variable. Desuden, hvis udsagnet er sandt, er værdien af den tilsvarende logiske variabel angivet med én (A = 1), og hvis den er falsk - med nul (B = 0). 0 og 1, der angiver værdierne af booleske variabler, kaldes boolske værdier.

Logikkens algebra definerer reglerne for at skrive, beregne værdier, forenkle og transformere udsagn.

Ved at arbejde med logiske variabler, som kun kan være lig med 0 eller 1, giver logikkens algebra dig mulighed for at reducere informationsbehandling til operationer med binære data. Det er apparatet for logisk algebra, der danner grundlaget for computerenheder til lagring og behandling af information. Du vil støde på elementer af logisk algebra i mange andre områder af datalogi.

1.3.2. Logiske operationer

Udsagn kan være enkle eller komplekse. Et udsagn kaldes simpelt, hvis ingen del af det i sig selv er et udsagn. Komplekse (sammensatte) udsagn er konstrueret ud fra simple udsagn ved hjælp af logiske operationer.

Lad os overveje de grundlæggende logiske operationer defineret på udsagn. Alle af dem svarer til bindemidler, der bruges i naturligt sprog.

Konjunktion

Overvej to udsagn: A = "Grundlæggeren af logikkens algebra er George Boole," B = "Undersøgelsen af Claude Shannon gjorde det muligt at anvende logikkens algebra i computerteknologi." Det nye udsagn "Grundlæggeren af logikkens algebra er George Boole, og forskningen fra Claude Shannon gjorde det muligt at anvende logikkens algebra i computerteknologi" er kun sand, hvis begge originale udsagn er sande på samme tid.

Konjunktion er en logisk operation, der forbinder hver to udsagn med en ny udsagn, som er sand, hvis og kun hvis begge oprindelige udsagn er sande.

For at skrive en ledsætning bruges følgende tegn: ∧, , И, &. For eksempel: A ∧ B, A B, A OG B, A & B.

Konjunktionen kan beskrives i form af en tabel, som kaldes en sandhedstabel:

Sandhedstabellen viser alle mulige værdier indledende udsagn (kolonne A og B) og de tilsvarende binære tal er som regel arrangeret i stigende rækkefølge: 00, 01, 10, 11. Den sidste kolonne registrerer resultatet af den logiske operation for de tilsvarende operander.

Ellers kaldes konjunktionen logisk multiplikation. Tænk hvorfor.

Disjunktion

Overvej to udsagn: A = "Ideen om at bruge matematisk symbolik i logik tilhører Gottfried Wilhelm Leibniz," B = "Leibniz er grundlæggeren af binær aritmetik." Det nye udsagn "Ideen om at bruge matematisk symbolik i logik tilhører Gottfried Wilhelm Leibniz eller Leibniz er grundlæggeren af binær aritmetik" er kun falsk, hvis begge originale udsagn er falske på samme tid.

Bestem uafhængigt sandheden eller falskheden af de tre overvejede udsagn.

Disjunktion er en logisk operation, der forbinder hver to udsagn med en ny udsagn, som er falsk, hvis og kun hvis begge oprindelige udsagn er falske.

For at skrive en disjunktion bruges følgende tegn: ∨, |, OR, +. For eksempel: A∨B, A|B, A ELLER B, A+B.

Disjunktionen er defineret af følgende sandhedstabel:

Ellers kaldes disjunktion logisk addition. Tænk hvorfor.

Inversion

Inversion er en logisk operation, der forbinder hvert udsagn med et nyt udsagn, hvis betydning er modsat den oprindelige.

For at skrive inversion bruges følgende tegn: NOT, ¬, ‾. For eksempel: IKKE A, ¬A, .

Inversionen bestemmes af følgende sandhedstabel:

Inversion kaldes ellers logisk negation.

Negationen af udsagnet "Jeg har en computer derhjemme" vil være udsagnet "Det er ikke sandt, at jeg har en computer derhjemme" eller, som er det samme på russisk, "Jeg har ikke en computer derhjemme." Benægtelse af udsagnet "Jeg ved det ikke" kinesisk" vil være udsagnet "Det er ikke sandt, at jeg ikke kan kinesisk" eller, som er det samme på russisk, "Jeg kan kinesisk." Negationen af udsagnet "Alle 9. klasses drenge er fremragende elever" er udsagnet "Det er ikke sandt, at alle 9. klasses drenge er fremragende elever," med andre ord, "Ikke alle 9. klasses drenge er fremragende studerende."

Når man altså konstruerer en negation til et simpelt udsagn, enten bruges sætningen "det er ikke sandt, at...", eller negationen konstrueres til et prædikat, så tilføjes partiklen "ikke" til det tilsvarende verbum.

Enhver kompleks sætning kan skrives som et logisk udtryk - et udtryk, der indeholder logiske variabler, logiske operatortegn og parenteser. Logiske operationer i et logisk udtryk udføres i følgende rækkefølge: inversion, konjunktion, disjunktion. Du kan ændre rækkefølgen af operationer ved hjælp af parenteser.

Logiske operationer har følgende prioritet: inversion, konjunktion, disjunktion.

Eksempel 1 . Lad A = "Ordet "krydser" vises på websiden," B = "Ordet "slagskib" vises på websiden." Vi overvejer et bestemt segment af internettet, der indeholder 5.000.000 websider. I den er sætning A sand for 4800 sider, sætning B er sand for 4500 sider, og sætning A v B er sand for 7000 sider. For hvor mange websider vil følgende udtryk og udsagn være sande i dette tilfælde?

a) IKKE (A ELLER B);

c) Ordet "cruiser" vises på websiden, men ordet "slagskib" vises ikke.

Løsning . Lad os skildre sættet af alle websider i internetsektoren under overvejelse som en cirkel, inden for hvilken vi vil placere to cirkler: en af dem svarer til sættet af websider, hvor udsagn A er sand, den anden - hvor udsagn B er sand (fig. 1.3).

Ris. 1.3.
Grafisk repræsentation af flere websider

Lad os grafisk afbilde de sæt af websider, for hvilke udtryk og udsagn a) - c) er sande (fig. 1.4)

Ris. 1.4.
Grafisk repræsentation af sæt af websider, for hvilke udtryk og udsagn a) - c) er sande

De konstruerede diagrammer hjælper os med at besvare spørgsmålene i opgaven.

Udtrykket A ELLER B er sandt for 7.000 websider, og der er 5.000.000 sider i alt. Derfor er udtrykket A ELLER B falsk for 4.993.000 websider. Med andre ord, for 4.993.000 websider er udtrykket IKKE (A ELLER B) sandt.

Udtrykket A ∨ B er sandt for de websider, hvor A er sandt (4800), såvel som for de websider, hvor B er sandt (4500). Hvis alle websider var forskellige, ville udtrykket A v B være sandt for 9300 (4800 + 4500) websider. Men ifølge betingelsen er der kun 7000 sådanne websider. Dette betyder, at på 2300 (9300 - 7000) websider vises begge ord samtidigt. Derfor gælder udtryk A & B for 2300 websider.

For at finde ud af, for hvor mange websider sætning A er sand, og samtidig sætning B er falsk, skal du trække 2300 fra 4800. Således vises sætningen "Ordet "krydser" på websiden, og ordet "slagskib" gør det ikke vises” er sandt på 2500 websider.

Skriv det logiske udtryk ned, der svarer til det betragtede udsagn.

På hjemmesiden Federal Center informations- og uddannelsesressourcer (http://fcoir.edu.ru/) indeholder informationsmodulet "Erklæring. Enkle og komplekse udsagn. Grundlæggende logiske operationer". At lære denne ressource at kende vil give dig mulighed for at udvide din forståelse af det emne, du studerer.

1.3.3. Konstruktion af sandhedstabeller til logiske udtryk

For et logisk udtryk kan du bygge en sandhedstabel, der viser, hvilke værdier udtrykket tager for alle værdisæt af de variable, der er inkluderet i det. For at konstruere en sandhedstabel skal du:

tæl n - antallet af variable i udtrykket;
tælle samlet antal logiske operationer i udtryk;
fastlægge rækkefølgen af logiske operationer under hensyntagen til parenteser og prioriteter;
bestemme antallet af kolonner i tabellen: antal variabler + antal operationer;
udfylde tabellens overskrift, inklusive variabler og operationer i overensstemmelse med rækkefølgen fastsat i stk.
bestemme antallet af rækker i tabellen (tæller ikke tabeloverskriften) m = 2n;
nedskriv sæt af inputvariabler under hensyntagen til, at de repræsenterer en hel række af n-bit binære tal fra 0 til 2 n - 1;
udfyld tabellen kolonne for kolonne, udfør logiske operationer i overensstemmelse med den etablerede sekvens.

Lad os bygge en sandhedstabel for det logiske udtryk A ∨ A & B. Den indeholder to variable, to operationer, og først udføres konjunktionen og derefter disjunktionen. Tabellen vil have fire kolonner i alt:

Sæt af inputvariable er heltal fra O til 3, præsenteret i tocifret binær kode: 00, 01, 10, 11. Den udfyldte sandhedstabel ser sådan ud:

Bemærk, at den sidste kolonne (resultat) er den samme som kolonne A. I dette tilfælde siges det logiske udtryk A ∨ A & B at være ækvivalent med det logiske udtryk A.

1.3.4. Egenskaber for logiske operationer

Lad os overveje de grundlæggende egenskaber (love) for logikkens algebra.

Kommutativ (kommutativ) lov

for logisk multiplikation:

A & B = B & A;

for logisk tilføjelse:

A ∨ B = B ∨ A.

Kombinativ (associativ) lov

for logisk multiplikation:

(A & B) & C = A & (B & C);

for logisk tilføjelse:

(A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).

Hvis tegnene på operationerne er de samme, kan parenteserne placeres vilkårligt eller helt udelades.

Distributiv (distributiv) lov

for logisk multiplikation:

A & (B ∨ C) = (A & B) ∨ (A & C);

for logisk tilføjelse:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Lov om dobbelt negation

Loven om udelukkelse af midten

Af to modstridende udsagn om samme emne er den ene altid sand, den anden er falsk, og der er ingen tredje.

Lov om gentagelse

for logisk multiplikation:
for logisk tilføjelse:

Love for operationer med 0 og 1

for logisk multiplikation:

A & 0 = 0; A & 1 = A;

for logisk tilføjelse:

A ∨ O = A; A ∨ l = l.

Lovene om generel inversion

Lovene for logisk algebra kan bevises ved hjælp af sandhedstabeller.

Lad os bevise distributionsloven for logisk addition:

A ∨ (B & C) = (A ∨ B) & (A ∨ C).

Sammenfaldet af de kolonner, der svarer til de logiske udtryk på venstre og højre side af ligheden, beviser fordelingslovens gyldighed for logisk addition.

Eksempel 2 . Lad os finde værdien af et logisk udtryk for tallet X = 0.

Løsning . Når X = 0 får vi følgende logiske udtryk: . Da logiske udtryk er 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Løsning af logiske problemer

Lad os overveje flere løsninger logiske problemer.

Opgave 1 . Kolya, Vasya og Seryozha besøgte deres bedstemor om sommeren. En dag knækkede en af drengene ved et uheld sin bedstemors yndlingsvase. Da de blev spurgt, hvem der knækkede vasen, gav de følgende svar:

Seryozha: 1) Jeg brød det ikke. 2) Vasya brød det ikke.

Vasya: 3) Seryozha brød det ikke. 4) Kolya knækkede vasen.

Kolya: 5) Jeg brød det ikke. 6) Seryozha knækkede vasen.

Bedstemoderen vidste, at et af hendes børnebørn, lad os kalde ham sandfærdig, fortalte sandheden begge gange; den anden, lad os kalde ham en joker, fortalte en løgn begge gange; den tredje, lad os kalde ham en snedig, fortalte sandheden en gang, og en anden gang - en løgn. Nævn de sandfærdige, jokeren og de snedige. Hvilket barnebarn knækkede vasen?

Løsning. Lad K = "Kolya knækkede en vase", B = "Vasya knuste en vase", C = "Seryozha knækkede en vase". Lad os lave en sandhedstabel, som vi præsenterer hver drengs udsagn med 1 .

1 Under hensyntagen til det faktum, at vasen blev ødelagt af et barnebarn, var det muligt at oprette ikke hele bordet, men kun dets fragment, der indeholdt følgende sæt inputvariabler: 001, 010, 100.

Baseret på, hvad bedstemoderen ved om sine børnebørn, bør du kigge efter rækker i tabellen, der indeholder, i vilkårlig rækkefølge, tre kombinationer af værdier: 00, 11, 01 (eller 10). Der var to sådanne rækker i tabellen (de er markeret med flueben). Ifølge den anden af dem blev vasen knust af Kolya og Vasya, hvilket modsiger tilstanden. Ifølge den første af de linjer, der blev fundet, brød Seryozha vasen, og han viste sig at være en snedig en. Vasya viste sig at være jokeren. Navnet på det sandfærdige barnebarn er Kolya.

Opgave 2 . Alla, Valya, Sima og Dasha deltager i gymnastikkonkurrencer. Fans kom med forslag om mulige vindere:

Sima bliver først, Valya bliver anden;
Sima bliver anden, Dasha bliver tredje;
Alla bliver nummer to, Dasha bliver nummer fire.

I slutningen af konkurrencen viste det sig, at i hver af antagelserne er kun et af udsagn sandt, det andet er falsk. Hvilken plads tog hver af pigerne i konkurrencen, hvis de alle endte forskellige steder?

Løsning . Lad os se på nogle simple udsagn:

C 1 = "Sima tog førstepladsen";

B 2 = "Valya tog andenpladsen";

C 2 = "Sima tog andenpladsen";

D 3 = "Dasha tog tredjepladsen";

A 2 = "Alla tog andenpladsen";

D 4 = "Dasha tog fjerdepladsen."

Da i hver af de tre antagelser et af udsagn er sandt og det andet er falsk, kan vi konkludere følgende:

C1 + B2 = 1, C1B2 = 0;
C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
A2 + D4 = 1, A2D4 = 0.

Det logiske produkt af sande udsagn vil være sande:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Baseret på distributionsloven transformerer vi venstre side af dette udtryk:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Udsagnet C 1 C 2 betyder, at Sima tog både første- og andenpladsen. Ifølge betingelserne for problemet er denne erklæring falsk. Udsagnet B 2 C 2 er også falsk. Under hensyntagen til loven om operationer med konstanten 0, skriver vi:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Yderligere transformation af venstre side af denne lighed og udelukkelse af åbenlyst falske udsagn giver:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Af den sidste lighed følger, at C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Det betyder, at Sima tog førstepladsen, Alla tog andenpladsen, Dasha tog tredjepladsen. Som følge heraf tog Valya fjerdepladsen.

Du kan stifte bekendtskab med andre måder at løse logiske problemer på, samt deltage i internet-olympiader og konkurrencer for at løse dem på hjemmesiden "Mathematics for Schoolchildren" (http://www.kenqyry.com/).

På hjemmesiden http://www.kaser.com/ kan du downloade en demoversion af en meget nyttig en, der udvikler logik og ræsonnement færdigheder logisk puslespil Sherlock.

1.3.6. Logiske elementer

Logikkens algebra er en gren af matematikken, der spiller en vigtig rolle i design af automatiske enheder og udvikling af hardware og software til informations- og kommunikationsteknologier.

Du ved allerede, at enhver information kan præsenteres i diskret form- i form af et fast sæt af individuelle værdier. Enheder, der behandler sådanne værdier (signaler), kaldes diskrete. En diskret konverter, der efter at have behandlet binære signaler producerer værdien af en af de logiske operationer, kaldes et logisk element.

I fig. 1,5 er givet symboler(kredsløb) af logiske elementer, der implementerer logisk multiplikation, logisk addition og inversion.

Figur 1.5.
Logiske elementer

Det logiske AND-element (konjunktoren) implementerer den logiske multiplikationsoperation (fig. 1.5, a). En enhed ved udgangen af dette element vises kun, når der er enheder ved alle indgange.

Det logiske OR-element (disjunktoren) implementerer den logiske additionsoperation (fig. 1.5, b). Hvis mindst én indgang er én, så vil udgangen af elementet også være én.

Det logiske NOT-element (inverter) implementerer negationsoperationen (fig. 1.5, c). Hvis elementets input er O, er outputtet 1 og omvendt.

Computerenheder, der udfører handlinger på binære tal, og cellerne, der lagrer data, er elektroniske kredsløb, der består af individuelle logiske elementer. Disse problemstillinger vil blive behandlet mere detaljeret i datalogikurset for klassetrin 10-11.

Eksempel 3. Lad os analysere det elektroniske kredsløb, det vil sige finde ud af, hvilket signal der skal være ved udgangen for hvert muligt sæt signaler ved indgangene.

Løsning. Vi vil indtaste alle mulige kombinationer af signaler ved input A til B i sandhedstabellen. Lad os spore transformationen af hvert par signaler, når de passerer gennem logiske elementer og skrive resultatet i en tabel. Den udfyldte sandhedstabel beskriver fuldstændigt det elektroniske kredsløb, der overvejes.

En sandhedstabel kan også konstrueres ved hjælp af et logisk udtryk svarende til et elektronisk kredsløb. Det sidste logiske element i det betragtede kredsløb er konjunktoren. Den modtager signaler fra indgang L og fra inverteren. Til gengæld modtager inverteren et signal fra indgang B. Således,

Få en mere fuldstændig forståelse af logiske elementer og elektroniske kredsløb At arbejde med Logic-simulatoren (http://kpolyakov.narod.ru/prog/logic.htm) vil hjælpe dig.

Det vigtigste

Erklæring er en sætning på ethvert sprog, hvis indhold utvetydigt kan bestemmes som sandt eller falsk.

Grundlæggende logiske operationer defineret på udsagn: inversion, konjunktion, disjunktion.

Sandhedstabeller for grundlæggende logiske operationer:

Ved evaluering af boolske udtryk udføres trinene i parentes først. Prioritet for udførelse af logiske operationer:

Spørgsmål og opgaver

Forklar hvorfor følgende sætninger ikke er udsagn.

Hvilken farve er dette hus?
Antallet X overstiger ikke én.
4X + 3.
Kig ud af vinduet.
Drik tomatjuice!
Dette emne er kedeligt.
Ricky Martin er den mest populære sanger.
Har du været i teatret?

Giv et eksempel på sande og falske udsagn fra biologi, geografi, datalogi, historie, matematik, litteratur.
I de følgende udsagn skal du fremhæve de simple udsagn og angive hver af dem med et bogstav; skriv hver sammensat sætning ned ved hjælp af bogstaver og logiske operationstegn.

Tallet 376 er lige og har tre cifre.
Om vinteren går børn på skøjter eller på ski.
Vi vil fejre nytåret på dachaen eller på Den Røde Plads.
Det er ikke rigtigt, at Solen bevæger sig rundt om Jorden.
Jorden er formet som en kugle, der fremstår blå fra rummet.
I løbet af matematiktimen svarede gymnasieelever på lærerens spørgsmål og skrev også selvstændigt arbejde.

Konstruer negationen af følgende udsagn.

I dag opføres operaen "Eugene Onegin" i teatret.
Enhver jæger vil gerne vide, hvor fasanen sidder.
Tallet 1 er et primtal.
Naturlige tal, der ender på 0, er ikke primtal.
Det er ikke rigtigt, at tallet 3 ikke er en divisor af tallet 198.
Kolya løste alle testens opgaver.
På hver skole er nogle elever interesserede i sport.
Nogle pattedyr lever ikke på land.

Lad A = "Anya kan lide matematiktimer," og B = "Anya kan lide kemiundervisning." Udtryk følgende formler på almindeligt sprog:

Overvej de elektriske kredsløb vist i figuren:

De skildrer parallelen og serielle forbindelser skifter. I det første tilfælde skal begge kontakter være tændt for at lyset kan lyse. I det andet tilfælde er det nok, at en af kontakterne er tændt. Prøv selv at tegne en analogi mellem elementerne elektriske diagrammer og objekter og operationer af logisk algebra:

Nogle dele af internettet består af 1000 websteder. Søg server i automatisk tilstand udarbejdet en tabel med søgeord for websteder i dette segment. Her er dens fragment:

Forespørgslen catfish & guppies fandt 0 websteder, forespørgslen catfish & swordtails fandt 20 websteder, og forespørgslen swordtails & guppies fandt 10 websteder.

Hvor mange steder vil der blive fundet for forespørgslen havkat | sværdhaler | guppy?

For hvor mange steder i det betragtede segment er erklæringen "Catfish - søgeord site OR swordtails - webstedets nøgleord ELLER guppies - webstedets nøgleord?

Konstruer sandhedstabeller for følgende logiske udtryk:

Udfør et bevis for de logiske love, der er diskuteret i afsnittet, ved hjælp af sandhedstabeller.
Givet tre tal i decimaltalsystemet: A = 23, B = 19, C = 26. Konverter A, B og C til det binære talsystem og udfør bitvise logiske operationer (A ∨ B) & C. Giv svaret i decimaltalssystem.
Find betydningen af udtrykkene:

Find værdien af et boolesk udtryk for de angivne værdier af tallet X:

1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4

Lad A = "Det første bogstav i navnet er en vokal", B = "Det fjerde bogstav i navnet er en konsonant". Find værdien af det boolske udtryk for følgende navne:

4) FEDOR

Sagen om John, Brown og Smith er ved at blive undersøgt. Det er kendt, at en af dem fandt og gemte skatten. Under efterforskningen afgav hver af de mistænkte to udtalelser:

Smith: "Jeg gjorde det ikke. Brown gjorde det."

John: Brown er ikke skyldig. Smith gjorde det."

Brown: "Jeg gjorde det ikke. John gjorde det ikke."

Retten fandt, at en af dem løj to gange, den anden fortalte sandheden to gange, den tredje løj én gang og fortalte sandheden én gang. Hvilken mistænkt skal frifindes?

Alyosha, Borya og Grisha fandt et gammelt fartøj i jorden. Undersøgelsen af det fantastiske fund gjorde hver to antagelser:
1. Alyosha: "Dette er et græsk fartøj og blev lavet i det 5. århundrede."
2. Borya: "Dette er et fønikisk fartøj og blev lavet i det 3. århundrede."
3. Grisha: "Dette fartøj er ikke græsk og blev lavet i det 4. århundrede."
  Historielæreren fortalte børnene, at hver af dem kun havde ret i en af to antagelser. Hvor og i hvilket århundrede blev fartøjet lavet?
Find ud af, hvilket signal der skal være ved udgangen af det elektroniske kredsløb for hvert muligt sæt signaler ved indgangene. Lav en tabel over, hvordan kredsløbet fungerer. Hvilket logisk udtryk beskriver kredsløbet?

Nøgleord:

logikkens algebra
erklæring
logisk operation
konjunktion
disjunktion
negation
logisk udtryk
sandhedstabel
logikkens love

1.3.1. Erklæring

Algebra i ordets brede betydning er videnskaben om generelle operationer, svarende til addition og multiplikation, der kan udføres på en række matematiske objekter. Du studerer mange matematiske objekter (heltal og rationelle tal, polynomier, vektorer, mængder) i et skolealgebrakursus, hvor du bliver fortrolig med grene af matematikken som tallenes algebra, polynomiers algebra, algebraen af mængder osv.

For datalogi er en gren af matematikken kaldet logisk algebra vigtig; Objekterne for logikkens algebra er udsagn.

For eksempel kan vi med hensyn til sætningerne "Den store russiske videnskabsmand M.V. Lomonosov blev født i 1711" og "To plus seks er otte" sige, at de er sande. Sætningen "Sparrows hibernate in winter" er falsk. Derfor er disse sætninger udsagn.

For eksempel er sætningen "Denne sætning er falsk" ikke et udsagn, fordi det ikke kan siges, om det er sandt eller falsk uden at opnå en modsigelse. Faktisk, hvis vi accepterer, at sætningen er sand, så modsiger dette det, der blev sagt. Hvis vi accepterer, at sætningen er falsk, så følger det, at den er sand.

Med hensyn til sætningen "Computergrafik er det mest interessante emne i skolens datamatikeruddannelse", er det heller ikke muligt at sige entydigt, om det er sandt eller falsk. Tænk selv hvorfor.

For eksempel er sætninger som: "Skriv dine lektier ned", "Hvordan kommer du til biblioteket?", "Hvem kom til os?" "

Eksempler på udsagn kunne være:

"Na er metal" (sandt udsagn);
"Newtons anden lov er udtrykt ved formlen F=m a" (sandt udsagn);
"Omkredsen af et rektangel med sidelængder a u b er lig med a b" (falsk udsagn).

Numeriske udtryk er ikke udsagn, men ud fra to taludtryk kan man lave et udsagn ved at forbinde dem med ligheds- eller ulighedstegn. For eksempel:

"34-5 = 2 4" (sandt udsagn);
"II4-VI > VIII" (falsk udsagn).

1.3.2. Logiske operationer

Udsagn kan være enkle eller komplekse. Et udsagn kaldes simpelt, hvis ingen del af det i sig selv er et udsagn. Komplekse (sammensatte) udsagn er konstrueret ud fra simple udsagn ved hjælp af logiske operationer.

Lad os overveje de grundlæggende logiske operationer defineret på udsagn. Alle af dem svarer til bindemidler, der bruges i naturligt sprog.

Konjunktion

For at skrive en ledsætning bruges følgende tegn: , , И, &. For eksempel: A B, A B, A OG B, A&B.

Konjunktionen kan beskrives i form af en tabel, som kaldes en sandhedstabel:

Sandhedstabellen viser alle mulige værdier af de oprindelige udsagn (kolonne A og B), og de tilsvarende binære tal er normalt arrangeret i stigende rækkefølge: 00, 01, 10, 11. Den sidste kolonne registrerer resultatet af den logiske operation for de tilsvarende operander.

Ellers kaldes konjunktionen logisk multiplikation. Tænk hvorfor.

Disjunktion

Bestem uafhængigt sandheden eller falskheden af de tre overvejede udsagn.

For at skrive en disjunktion bruges følgende tegn: v, |, OR, +. For eksempel: AvB, A|B, A ELLER B, A+B.

Disjunktionen er defineret af følgende sandhedstabel:

Ellers kaldes disjunktion logisk addition. Tænk hvorfor.

Inversion

For at skrive inversion bruges følgende tegn: NOT, ¬, ‾. For eksempel: IKKE, ¬, ‾.

Inversionen bestemmes af følgende sandhedstabel:

Inversion kaldes ellers logisk negation.

Negationen af udsagnet "Jeg har en computer derhjemme" vil være udsagnet "Det er ikke sandt, at jeg har en computer derhjemme" eller, som er det samme på russisk, "Jeg har ikke en computer derhjemme." Negationen af udsagnet "Jeg kan ikke kinesisk" vil være udsagnet "Det er ikke sandt, at jeg ikke kan kinesisk" eller, som er det samme på russisk, "Jeg kan kinesisk." Negationen af udsagnet "Alle 9. klasses drenge er fremragende elever" er udsagnet "Det er ikke sandt, at alle 9. klasses drenge er fremragende elever," med andre ord, "Ikke alle 9. klasses drenge er fremragende studerende."

Eksempel 1. Lad A = "Ordet "krydser" vises på websiden," B = "Ordet "slagskib" vises på websiden." Vi overvejer et bestemt segment af internettet, der indeholder 5.000.000 websider. I den er sætning A sand for 4800 sider, sætning B er sand for 4500 sider, og sætning A v B er sand for 7000 sider. For hvor mange websider vil følgende udtryk og udsagn være sande i dette tilfælde?

a) IKKE (A ELLER B);

c) Ordet "cruiser" vises på websiden, men ordet "slagskib" vises ikke.

Løsning. Lad os skildre sættet af alle websider i internetsektoren under overvejelse som en cirkel, inden for hvilken vi vil placere to cirkler: en af dem svarer til sættet af websider, hvor udsagn A er sand, den anden - hvor udsagn B er sand (fig. 1.3).

Ris. 1.3.
Grafisk repræsentation af flere websider

Lad os grafisk afbilde de sæt af websider, for hvilke udtryk og udsagn a) - c) er sande (fig. 1.4)

Ris. 1.4.
Grafisk repræsentation af sæt af websider, for hvilke udtryk og udsagn a) - c) er sande

De konstruerede diagrammer hjælper os med at besvare spørgsmålene i opgaven.

Udtrykket A v B er sandt for de websider, hvor A (4800) er sandt, såvel som de websider, hvor B (4500) er sandt. Hvis alle websider var forskellige, ville udtrykket A v B være sandt for 9300 (4800 + 4500) websider. Men ifølge betingelsen er der kun 7000 sådanne websider. Dette betyder, at på 2300 (9300 - 7000) websider vises begge ord samtidigt. Derfor gælder udtryk A & B for 2300 websider.

Skriv det logiske udtryk ned, der svarer til det betragtede udsagn.

Hjemmesiden for Federal Center for Information and Educational Resources (http://fcoir.edu.ru/) indeholder informationsmodulet "Statement. Enkle og komplekse udsagn. Grundlæggende logiske operationer". At lære denne ressource at kende vil give dig mulighed for at udvide din forståelse af det emne, du studerer.

1.3.3. Konstruktion af sandhedstabeller til logiske udtryk

For et logisk udtryk kan du bygge en sandhedstabel, der viser, hvilke værdier udtrykket tager for alle værdisæt af de variable, der er inkluderet i det. For at konstruere en sandhedstabel skal du:

tæl n - antallet af variable i udtrykket;
tælle det samlede antal logiske operationer i et udtryk;
fastlægge rækkefølgen af logiske operationer under hensyntagen til parenteser og prioriteter;
bestemme antallet af kolonner i tabellen: antal variabler + antal operationer;
udfylde tabellens overskrift, inklusive variabler og operationer i overensstemmelse med rækkefølgen fastsat i stk.
bestemme antallet af rækker i tabellen (tæller ikke tabeloverskriften) m = 2n;
nedskriv sæt af inputvariabler under hensyntagen til, at de repræsenterer en hel række af n-bit binære tal fra 0 til 2 n - 1;
udfyld tabellen kolonne for kolonne, udfør logiske operationer i overensstemmelse med den etablerede sekvens.

Lad os bygge en sandhedstabel for det logiske udtryk A v A & B. Den indeholder to variable, to operationer, og først udføres konjunktionen og derefter disjunktionen. Tabellen vil have fire kolonner i alt:

Sæt af inputvariable er heltal fra O til 3, præsenteret i tocifret binær kode: 00, 01, 10, 11. Den udfyldte sandhedstabel ser sådan ud:

Bemærk, at den sidste kolonne (resultat) er den samme som kolonne A. I dette tilfælde siges det logiske udtryk A v A & B at være ækvivalent med det logiske udtryk A.

1.3.4. Egenskaber for logiske operationer

Lad os overveje de grundlæggende egenskaber (love) for logikkens algebra.

Lovene for logisk algebra kan bevises ved hjælp af sandhedstabeller.

Lad os bevise distributionsloven for logisk addition:

A v (B & C) = (A V B) & (A v C).

Sammenfaldet af de kolonner, der svarer til de logiske udtryk på venstre og højre side af ligheden, beviser fordelingslovens gyldighed for logisk addition.

Eksempel 2. Lad os finde værdien af et logisk udtryk for tallet X = 0.

Løsning. Når X = 0 får vi følgende logiske udtryk: . Da logiske udtryk er 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Løsning af logiske problemer

Lad os se på flere måder at løse logiske problemer på.

Opgave 1. Kolya, Vasya og Seryozha besøgte deres bedstemor om sommeren. En dag knækkede en af drengene ved et uheld sin bedstemors yndlingsvase. Da de blev spurgt, hvem der knækkede vasen, gav de følgende svar:

Seryozha: 1) Jeg brød det ikke. 2) Vasya brød det ikke.

Vasya: 3) Seryozha brød det ikke. 4) Kolya knækkede vasen.

Kolya: 5) Jeg brød det ikke. 6) Seryozha knækkede vasen.

Løsning. Lad K = "Kolya knækkede en vase", B = "Vasya knuste en vase", C = "Seryozha knækkede en vase". Lad os lave en sandhedstabel, hvormed vi præsenterer hver drengs udsagn 1.

1 Under hensyntagen til, at vasen blev knækket af et barnebarn, var det muligt at oprette ikke hele bordet, men kun dets fragment indeholdende følgende sæt inputvariabler: 001, 010, 100.

Opgave 2. Alla, Valya, Sima og Dasha deltager i gymnastikkonkurrencer. Fans kom med forslag om mulige vindere:

Sima bliver først, Valya bliver anden;
Sima bliver anden, Dasha bliver tredje;
Alla bliver nummer to, Dasha bliver nummer fire.

Løsning. Lad os se på nogle simple udsagn:

C 1 = "Sima tog førstepladsen";

B 2 = "Valya tog andenpladsen";

C 2 = "Sima tog andenpladsen";

D 3 = "Dasha tog tredjepladsen";

A 2 = "Alla tog andenpladsen";

D 4 = "Dasha tog fjerdepladsen."

Da i hver af de tre antagelser et af udsagn er sandt og det andet er falsk, kan vi konkludere følgende:

C1 + B2 = 1, C1B2 = 0;
C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
A2 + D4 = 1, A2D4 = 0.

Det logiske produkt af sande udsagn vil være sande:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Baseret på distributionsloven transformerer vi venstre side af dette udtryk:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Yderligere transformation af venstre side af denne lighed og udelukkelse af åbenlyst falske udsagn giver:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Af den sidste lighed følger, at C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Det betyder, at Sima tog førstepladsen, Alla tog andenpladsen, Dasha tog tredjepladsen. Som følge heraf tog Valya fjerdepladsen.

Du kan stifte bekendtskab med andre måder at løse logiske problemer på, samt deltage i internet-olympiader og konkurrencer for at løse dem på webstedet "Mathematics for Schoolchildren" (http://www.kenqyry.com/).

På hjemmesiden http://www.kaser.com/ kan du downloade en demoversion af et meget nyttigt Sherlock-logik-puslespil, der udvikler logik og ræsonnement.

1.3.6. Logiske elementer

Logikkens algebra er en gren af matematikken, der spiller en vigtig rolle i design af automatiske enheder og udvikling af hardware og software til informations- og kommunikationsteknologier.

Du ved allerede, at enhver information kan repræsenteres i diskret form - som et fast sæt af individuelle værdier. Enheder, der behandler sådanne værdier (signaler), kaldes diskrete. En diskret konverter, der efter at have behandlet binære signaler producerer værdien af en af de logiske operationer, kaldes et logisk element.

I fig. 1.5 viser symboler (diagrammer) af logiske elementer, der implementerer logisk multiplikation, logisk addition og inversion.

Figur 1.5.
Logiske elementer

Det logiske AND-element (konjunktoren) implementerer den logiske multiplikationsoperation (fig. 1.5, a). En enhed ved udgangen af dette element vises kun, når der er enheder ved alle indgange.

Det logiske OR-element (disjunktoren) implementerer den logiske additionsoperation (fig. 1.5, b). Hvis mindst én indgang er én, så vil udgangen af elementet også være én.

Det logiske NOT-element (inverter) implementerer negationsoperationen (fig. 1.5, c). Hvis elementets input er O, er outputtet 1 og omvendt.

Computerenheder, der udfører operationer på binære tal og celler, der lagrer data, er elektroniske kredsløb, der består af individuelle logiske elementer. Disse problemstillinger vil blive behandlet mere detaljeret i datalogikurset for klassetrin 10-11.

Eksempel 3. Lad os analysere det elektroniske kredsløb, det vil sige finde ud af, hvilket signal der skal være ved udgangen for hvert muligt sæt signaler ved indgangene.

At arbejde med logisk simulator (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) vil hjælpe dig med at få en mere fuldstændig forståelse af logiske elementer og elektroniske kredsløb.