Afdeling. Teknologisk lektion kort

Emne: Afdeling naturlige tal(5. klasse) lærer Golikova Tatyana

Georgievna

Mål: gentag metoden til at løse eksempler ved division, tabel

multiplikation, divisionsegenskaber, regler for division med cifferenhed,

typer af vinkler, "hvad vil det sige at løse en ligning," at finde ukendte

elementer i ligningen;

udvikle matematisk tale, opmærksomhed, udsigter,

kognitiv aktivitet, evne til at analysere, gøre

antagelser, retfærdiggør dem, klassificer dem;

tilføre færdigheder og evner praktisk anvendelse matematik,

tegnefærdigheder;

udvikling logisk tænkning, evne til at analysere afhængighed

mellem værdier, positiv opfattelse af ukrainsk

opretholde sundhed, evnen til at vurdere sin viden, skabe en situation

succes, følelsen af "JEG KAN", "JEG KAN GØRE ALT",

øget selvværd, udvikle intern aktivitet igennem

følelser og forståelse af materialet, bevidsthed om vigtigheden af viden i livet

person.

Lektionstype: øve færdigheder og evner

Metoder: forklarende - illustrativt, gaming, interaktivt

Formularer: heuristisk samtale, pararbejde, gensidig kontrol, arbejde i små grupper, "jeg selv - alle sammen", rollespil

Udstyr: interaktiv tavle, kort forskellige typer, markør,

7 ark A4, farvekodet, tape.

Lektionsplan

1. Spirituel - æstetisk 2 min

2. Motiverende 3min

3. Kontrol af lektier 5 min

5. Idræt minut 3 min

7. Lektier 2 min

8. Refleksion 4min

9.Evaluerende 4min

1 Spirituel - æstetisk

Alle børn rejste sig hurtigt.

God eftermiddag, sæt dig venligst ned

For at blive klar til arbejde foreslår jeg at gentage multiplikationstabellen

Tag en blyant, et kort og løs de foreslåede eksempler på 1,5 minutter, og læs derefter ordene i stigende rækkefølge af tal.

Find hvilket tal "undslap" fra rækken af naturlige tal?

Lad os tjekke unisont. Læreren ringer til nummeret, og eleverne kalder ordet.

6:3=2 27:9=3 16:4=4

At drive skibe

30:6=5 42:6=7 72:9=8 36:4=9

At flyve ind i himlen

30:3=10 44:4=11 36:3=12

Du skal vide meget

26:2=13 42:3=14 150:10=15

Der er meget at vide.

Lad dette kvad være mottoet for dagens lektion

2. Motiverende

Jeg foreslår at løse gåden på ukrainsk

LEDINE, NILDIK, KASCHAT, TOKBUDO

Hvor længe semantiske grupper kan disse begreber adskilles?

(Du skal modtage to svarmuligheder og begrunde dem)

Emne for dagens lektion AFDELING

De åbnede deres notesbøger og skrev nummeret ned, flot arbejde

3. Kontrol af lektier. Opdatering af viden

Vi byttede notesbøger og tjekkede "kære kolleger"

Er der nogle, der ikke har afsluttet arbejdet?

Hvem fandt mere end to fejl?

Takket være inspektørerne, returner notesbøgerne til dine naboer.

Hvilken regel stødte du på, da du udførte d/z?

Hvilke andre ejendomme kan du nævne?

4.1 opgave 1

Jeg foreslår, at du tager på tur "I dyrenes verden"

Tag eksempelkortene og løs dem i dine notesbøger. Bemærk venligst, at ikke alle eksempler er løst skriftligt.

Arbejdet gives 4-5 minutter. Efter afslutningen accepterer læreren svarene, tjekker dem med den tilsvarende gruppe og skriver med en markør på arkene. Grupper svarer i vilkårlig rækkefølge. Læreren foreslår at arrangere arkene i den rigtige rækkefølge for at få en historie (arkene er bestilt som en regnbue)

Rød Orange Gul Grøn

1) 13000:1000; 1)120000:1000; 1) 300000:10000; 1) 35000:100;

2) 432:24; 2) 476:28; 2) 960:64; 2) 4485:23;

3) 11092:47 3) 6765:123. 3) 7956:234 3) 2790:62.

Lyseblå Blå Lilla

1) 43000:1000; 1) 11000:100; 1) 1400000:100000;

2) 1856:64 ; 2) 1734:34; 2) 5166:63;

3) 9126:234. 3) 3608:164. 3) 3210:214.

Gorilla sover 13000:1000= 13 timer om dagen, hver dag 432:24=18 timer om dagen, og i en dvaletilstand, kan et pindsvin overleve uden mad 11092:47=236 dage

Orange

Fiskens hastighed er sværdet 120000:1000120 km/t, og aborrens hastighed

476:28=17 km/t, og en hajs hastighed 6765: 12355 km/t

Heste lever op til 300000:10000=30 år, og hunde op til 960:64=15 år gammel, og hundens livsrekord er 7956:234=34 år gammel

Vægt isbjørn når 35000:100=350kg, blåhval op til 4485:23=195 tons, og vægten af den østeuropæiske hyrde 2790:62=45 kg

Hos mennesker normal temperatur krop 36.6 0 , den højeste af alle varmblodede duer og ænder, op til 43000:1000=43 0 , og den laveste er i myreslugeren 1856:64=29 0 , hundens kropstemperatur 9126:234= 39 0 .

Vindruesnegl tåler 11000:100=110 0 frost, men dør når 1734:34= 51 0 varme. Behagelig lufttemperatur for mennesker 3608:164=22 0

Violet

Længden af en stor anakonda fundet i Sydamerika, kan nå 1400000:100000=14m og i diameter 5166:63= 82 cm. Og afrikanske termitkrigeres bygninger når en højde 3210:214=15m

4.2 opgave 2.

Det er okay, hvis vi ikke kender svaret på et spørgsmål. Det vigtigste er at ville finde svaret. Vi har allerede fortalt dig, at hvis du er syg eller går glip af en lektion af en eller anden grund, eller noget ikke fungerer for dig, har vi en vidunderlig LÆREBOG-assistent! Vi vil nu løse ligninger, hvis nogen har glemt, hvordan man finder et ukendt element i en ligning, så vær ikke doven til at læse side 124 i lærebogen;

Løs ligning nr. 470(3,4,6)

Ved vinduet nr. 470(3)

Mellem №470(4)

Ved døren nr. 470(6)

Ved hjælp af repræsentanten fra rækken løses ligninger. En ekstra opgave for dem, der hurtigt mestrede ligningen "JEG ER GODT DET! »

"JEG ER FANTASTISK! » (10x-4x)∙21=2268.

№470(3) №470(4) №470(6)

Jeg er fantastisk!

11x+6x=408; 33m- m=1024 ; 476:x=14 (10x-4x)∙21=2268.

x=24m=32 x=34 x=18

Nøgler til ligninger

X=204, P=32, M=304, !=18; Yu=302, A=34, U=24, K=3.

De rigtige svar er "HURRA!"

5. Idrætsminut

Vi er trætte af at sidde,

Du behøver kun en lille smule læsning.

Hænderne op, hænderne ned,

Forundre dig over susida!

Hænderne op, hænderne på hofterne,

І tjen nogle skoki.

Shvidko satte sig ned og satte sig.

Benene blev matte.

Plask i dalen en gang.

Til arbejde. Alt er fantastisk!

De rettede ryggen og lagde hænderne på skrivebordet.

For at organisere opmærksomheden, spillet "CORNERS"

Vis mig spids vinkel, lige, stump, udvidet, 30 0, 70 0, 97 0, 150 0 osv., rhumb?

Opgave nr. 487

Vi læser, tegner et diagram, analyserer, finder en løsning, skriver ned.

Lad os se, hvad der sker på diaset

Lad os iscenesætte det med eleverne.

At lave et bord


			24 km mindre

1) 58∙4=232(km) det første tog kørte

2) 232+24=256(km) det andet tog kørte

3) 256:4=64(km/t)

Svar: det andet tog kørte med en hastighed på 64 km/t

7. Hjemmearbejde

Kan du klare denne opgave derhjemme? Lad os skrive d/z ned.

nr. 488, nr. 471 (II kolonne), gentag reglerne for løsning af ligninger, kreativ opgave (rumb)

8. Refleksion

Game of Know and Dunno

Znayka spørger Dunno om egenskaberne ved division, reglerne for at finde elementerne i en ligning, hvordan kvotienten vil ændre sig, hvis...

Og ved ikke svar!

Vi havde nogle ubrugte blade på bordet. De viser prikker. Hvilken type arbejde er det her? (grafisk diktat)

Hvor mange prikker er der på stykket papir? Hvor mange spørgsmål vil der være? Jeg minder dig om svarene

"ja"; "Nej" ; ikke sikker

· · · · · · · ·

1. Tal, når de divideres, kaldes dividende, divisor, kvotient

2. Jeg indså, at division slet ikke er svært

3. At finde ukendt divisor, skal du dividere udbyttet med kvotienten

4. For at finde en ukendt faktor skal du dividere produktet med den kendte faktor

5. I dag i klassen var jeg interesseret.

6. Jeg arbejdede samvittighedsfuldt i klassen.

7. Jeg er stolt af mig selv.

Assistenterne samler kort på række, og læreren annoncerer karaktererne.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 13000:1000;

2) 432:24;

3) 11092:47.

1)120000:1000;

2) 476:28;

3) 6765:123.

1) 300000:10000;

2) 960:64;

3) 7956:234.

1) 35000:100;

2) 4485:23;

3) 2790:62.

1) 1400000:100000;

2) 5166:63;

3) 3210:214.

1) 11000:100;

2) 1734:34;

.3) 3608:164.

1) 43000:1000;

2) 1856:64;

3) 9126:234.

· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·
· · · · · · · ·	· · · · · · · ·	· · · · · · · ·

I denne artikel vil vi se på reglerne og algoritmerne til at dividere naturlige tal. Lad os straks bemærke, at vi her kun ser på division som helhed, det vil sige uden en rest. Læs om at dividere naturlige tal med en rest i vores separate materiale.

Før du formulerer reglen for at dividere naturlige tal, skal du forstå sammenhængen mellem division og multiplikation. Efter at vi har etableret denne forbindelse, vil vi sekventielt overveje de enkleste tilfælde: at dividere et naturligt tal med sig selv og med et. Dernæst vil vi analysere division ved hjælp af multiplikationstabellen, division med sekventiel subtraktion, division med tal, der er multipla af 10, forskellige potenser af 10.

For hvert enkelt tilfælde vil vi give og overveje eksempler i detaljer. I slutningen af artiklen viser vi, hvordan man kontrollerer divisionsresultatet.

Sammenhæng mellem division og multiplikation

For at spore sammenhængen mellem division og multiplikation skal du huske, at division er repræsenteret som opdeling af den oprindelige delbare mængde i flere identiske mængder. Multiplikation involverer at kombinere flere identiske sæt til ét.

Division er den omvendte virkning af multiplikation. Hvad betyder det? Lad os give en analogi. Lad os forestille os, at vi har b-sæt, som hver indeholder c objekter. Samlet mængde objekter i alle mængder er lig med a. Multiplikation er foreningen af alle mængder til én. Matematisk vil det blive skrevet sådan her:

Den omvendte proces med at opdele det resulterende generelle sæt i b sæt objekter svarer hver til division:

Baseret på det, der er blevet sagt, kan vi gå videre til følgende udtalelse:

Hvis produktet af naturlige tal c og b er lig med a, så er kvotienten af a og b lig med c. Lad os omskrive det i brevform.

Hvis b c = a, så er a ÷ b = c

Ved at bruge den kommutative egenskab ved multiplikation kan vi skrive:

Det følger også, at a ÷ c = b.

Ud fra ovenstående kan vi formulere generel konklusion. Hvis produktet af tallene c og b er lig med a, så er kvotienterne a ÷ b og a ÷ c lig med henholdsvis c og b.

Lad os opsummere alt ovenstående og give en definition af division af naturlige tal.

Division af naturlige tal

Division - at finde en ukendt faktor ved berømt værk og en anden kendt multiplikator.

Denne definition vil blive grundlaget for, at vi bygger regler og metoder til at dividere naturlige tal.

Division ved sekventiel subtraktion

Vi har lige talt om division i forbindelse med multiplikation. Ud fra denne viden kan delingsoperationen udføres. Der er dog en anden tilgang, der er ret enkel og værd at være opmærksom på - division ved sekventiel subtraktion. Denne metode er intuitiv, så lad os se på den ved hjælp af et eksempel uden at give teoretiske beregninger.

Overskrift

Hvad er 12 divideret med 4?

Med andre ord kan dette problem formuleres som følger: Der er 12 genstande (for eksempel appelsiner), og de skal opdeles i lige store grupper af 4 genstande (sat i kasser med 4 stykker). Hvor mange sådanne grupper eller kasser med fire appelsiner hver vil der være?

Trin for trin trækker vi 4 appelsiner fra den oprindelige mængde og danner grupper på 4, indtil appelsinerne løber tør. Antallet af skridt, vi skal tage, vil være svaret på det oprindelige spørgsmål.

Af de 12 appelsiner skal du lægge de første fire i en æske. Herefter er der 12 - 4 = 8 citrusfrugter tilbage i den oprindelige bunke af appelsiner. Af disse otte tager vi 4 mere med i en anden boks. Nu er der 8 - 4 = 4 appelsiner tilbage i den originale bunke appelsiner. Af disse fire stykker kan du blot danne en mere, separat tredje kasse, hvorefter 4 - 4 = 0 appelsiner vil blive tilbage i den originale bunke.

Så vi modtog 3 kasser, 4 genstande hver. Med andre ord dividerede vi 12 med 4, og resultatet blev 3.

Når du arbejder med tal, behøver du ikke tegne en analogi med objekter hver gang. Hvad gjorde vi med udbytte og divisor? Vi trak successivt divisoren fra dividenden, indtil vi fik en rest på nul.

Vigtig!

Når der divideres med den sekventielle subtraktionsmetode, er antallet af subtraktionsoperationer, indtil der opnås en rest på nul, kvotienten af divisionen.

For at forstærke dette, lad os se på et andet, mere komplekst eksempel.

Eksempel 1: Division ved sekventiel subtraktion

Lad os beregne resultatet af at dividere tallet 108 med 27 ved hjælp af den sekventielle subtraktionsmetode.

Første handling: 108 - 27 = 81.

Anden handling: 81 - 27 = 54.

Tredje handling: 54 - 27 = 27.

Fjerde handling: 27 - 27 = 0.

Der kræves ingen yderligere handling. Vi fik svaret:

Bemærk, at denne metode kun er praktisk i tilfælde, hvor det nødvendige antal successive subtraktioner er lille. I andre tilfælde er det tilrådeligt at anvende delingsreglerne, som vi vil overveje nedenfor.

Division af lige store naturlige tal

I henhold til de naturlige tals egenskaber formulerer vi en regel for, hvordan man deler lige naturlige tal.

Division af lige store naturlige tal

Kvotienten af et naturligt tal divideret med dets lige naturlige tal er lig med en!

For eksempel:

1 ÷ 1 = 1; 141 ÷ 141 = 1; 2589 ÷ 2589 = 1; 100000000 ÷ 100000000 = 1.

Division med en

Ud fra naturlige tals egenskaber kan vi også formulere en regel for at dividere et naturligt tal med et.

At dividere et naturligt tal med et

Kvotienten af ethvert naturligt tal divideret med et er lig med selve tallet, der divideres.

For eksempel:

1 ÷ 1 = 1; 141 ÷ 1 = 141; 2589 ÷ 1 = 2589; 100000000 ÷ 1 = 100000000.

Multiplikationstabellen er et praktisk værktøj, der giver dig mulighed for at finde produkter af etcifrede naturlige tal. Den kan dog også bruges til opdeling.

Multiplikationstabellen giver dig mulighed for at finde ikke kun resultatet af et produkt af faktorer, men også en faktor fra et kendt produkt og en anden faktor. Som vi fandt ud af tidligere, er division netop at finde en ukendt faktor fra et kendt produkt og en anden faktor.

Ved hjælp af multiplikationstabellen kan du dividere et hvilket som helst tal på en gul baggrund med et hvilket som helst naturligt encifret tal. Vi viser dig, hvordan du gør det. Der er to metoder, hvis brug vi vil overveje med eksempler.

Divider 48 med 6.

Metode et.

I kolonnen, hvis øverste celle indeholder divisor 6, finder vi udbyttet 48. Resultatet af delingen er i cellen længst til venstre i rækken, der indeholder udbyttet. Den er cirklet med blåt.

Metode to.

Først i linjen med divisor 6 finder vi udbytte 48. Resultatet af delingen er i den øverste celle i kolonnen, der indeholder udbyttet. Den er cirklet med blåt.

Så vi dividerede 48 med 6 og fik 8. Resultatet blev fundet ved hjælp af multiplikationstabellen på to måder. Begge metoder er fuldstændig identiske.

For at forstærke dette, lad os se på et andet eksempel. Divider 7 med 1. Her er nogle billeder, der illustrerer opdelingsprocessen.

Som et resultat af at dividere tallet 7 med 1, du gættede det, opnås tallet 7. Ved division ved brug af multiplikationstabellen er det meget vigtigt at kende denne tabel udenad, da det ikke altid er muligt at have den ved hånden.

Division med 10, 100, 1000 osv.

Lad os straks formulere reglen for at dividere naturlige tal med 10, 100, 1000 osv. Lad os straks antage, at opdeling uden rest er mulig.

Division med 10, 100, 1000 osv.

Resultatet af at dividere et naturligt tal med 10, 100, 1000 osv. er et naturligt tal, hvis notation er hentet fra notationen af udbyttet, hvis 1, 2, 3 osv. kasseres til højre for det. nuller.

Der kasseres lige så mange nuller, som der er i divisorindgangen!

For eksempel, 30 ÷ 10 = 3. Vi fjernede et nul fra tallet 30.

Kvotienten på 120000 ÷ 1000 er lig med 120 - fra tallet 120000 kasserer vi tre nuller til højre, det er hvor mange der er indeholdt i divisoren.

Begrundelsen for reglen er baseret på reglen om at gange et naturligt tal med 10, 100, 1000 osv. Lad os give et eksempel. Lad os sige, at vi skal dividere 10200 med 100.

10200 = 102100

10200 ÷ 100 = 102 100 100 = 102.

Repræsentation af udbyttet som et produkt

Når du dividerer naturlige tal, skal du ikke glemme egenskaben ved at dividere produktet af to tal med et naturligt tal. Nogle gange kan udbyttet repræsenteres som et produkt, hvor en af faktorerne divideres med divisoren.

Lad os se på typiske tilfælde.

Eksempel 2. Repræsentation af udbyttet som et produkt

Divider 30 med 3.

Udbyttet 30 kan repræsenteres som produktet 30 = 3 10.

Vi har: 30 ÷ 3 = 3 10 ÷ 3

Ved at bruge egenskaben til at dividere produktet af to tal får vi:

3 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 10 = 1 10 = 10

Lad os give nogle flere lignende eksempler.

Eksempel 3. Repræsentation af udbyttet som et produkt

Lad os beregne kvotienten 7200 ÷ 72.

Vi repræsenterer udbyttet som 7200 = 72 100. I dette tilfælde vil resultatet af divisionen være som følger:

7200 ÷ 72 = 72 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100

Eksempel 4. Repræsentation af udbyttet som et produkt

Lad os beregne kvotienten: 1600000 ÷ 160.

1600000 = 16010000

1600000 ÷ 160 = 160 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 10000 = 10000

I mere komplekse eksempler Det er praktisk at bruge multiplikationstabellen. Lad os illustrere dette.

Eksempel 5. Repræsentation af udbyttet som et produkt

Divider 5400 med 9.

Multiplikationstabellen fortæller os, at 54 er deleligt med 9, så det er tilrådeligt at repræsentere udbyttet som et produkt:

5400 = 54 100.

Lad os nu afslutte opdelingen:

5400 ÷ 9 = 54 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 100 = 6 100 = 600

For at sikre af dette materiale Lad os se på et andet eksempel uden detaljerede verbale forklaringer.

Eksempel 6. Repræsentation af udbyttet som et produkt

Lad os beregne, hvor meget 120 divideret med 4 er.

120 ÷ 4 = 12 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 10 = 3 10 = 30

At dividere naturlige tal, der ender på nul

Når man dividerer tal, der ender på 0, er det nyttigt at huske egenskaben ved at dividere et naturligt tal med produktet af to tal. I dette tilfælde er divisoren repræsenteret som et produkt af to faktorer, hvorefter denne egenskab bruges i forbindelse med multiplikationstabellen.

Som altid vil vi forklare dette med eksempler.

Eksempel 7. At dividere naturlige tal, der ender på 0

Divider 490 med 70.

Lad os skrive 70 som:

Ved at bruge egenskaben til at dividere et naturligt tal med et produkt kan vi skrive:

490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7.

Vi har allerede diskuteret division med 10 i det foregående afsnit.

490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7

For at forstærke dette, lad os se på et andet, mere komplekst eksempel.

Eksempel 8: At dividere naturlige tal, der ender på 0

Lad os tage tallene 54000 og 5400 og dividere dem.

54000 ÷ 5400 = ?

Lad os repræsentere 5400 som 54 100 og skrive:

54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54.

Nu repræsenterer vi udbyttet 540 som 54 10 og skriver:

540 ÷ 54 = 54 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 10 = 10

54000 ÷ 5400 = 10.

Lad os opsummere, hvad der står i dette afsnit.

Vigtig!

Hvis indtastningerne til udbytte og divisor indeholder nuller til højre, så skal du af med det samme antal nuller i både udbytte og divisor. Efter dette skal du dividere de resulterende tal.

For eksempel vil dividering af tallene 64000 og 8000 blive reduceret til at dividere tallene 64 og 8.

Privat valgmetode

Før vi overvejer denne opdelingsmetode, introducerer vi nogle betingelser.

Lad tallene a og b være delelige med hinanden, og produktet b · 10 giver et tal større end a. I dette tilfælde er kvotienten a ÷ b et naturligt tal med en enkelt værdi. Det er med andre ord et tal fra 1 til 9. Dette er en typisk situation, når kvotientudvælgelsesmetoden er praktisk og anvendelig. Rækkefølge gange divisor med 1, 2, 3, . . , 9 og sammenligne resultatet med udbyttet, kan du finde kvotienten.

Lad os se på et eksempel.

Eksempel 9. Valg af privat

Divider 108 med 27.

Det er let at se, at 27 · 10 = 270; 270 > 108.

Lad os begynde at vælge en privat.

27 1 = 27 27 2 = 54 27 3 = 81 27 4 = 108

Bingo! Kvotienten blev fundet ved hjælp af udvælgelsesmetoden:

Bemærk, at i tilfælde hvor b · 10 > a er det også praktisk at finde kvotienten ved hjælp af sekventiel subtraktion.

Repræsenterer udbyttet som en sum

En anden måde, der kan hjælpe med at finde kvotienten, er at repræsentere udbyttet som summen af flere naturlige tal, som hver enkelt er let delelige med divisoren. Herefter skal vi bruge egenskaben til at dividere summen af naturlige tal med et tal. Sammen med et eksempel vil vi overveje algoritmen og besvare spørgsmålet: i form af hvilke vilkår skal vi repræsentere udbyttet?

Lad udbyttet være 8551 og divisoren være 17.

Lad os beregne, hvor mange flere cifre der er i notationen af udbyttet end i notationen af divisoren. I vores tilfælde indeholder divisor to tegn, og dividenden indeholder fire. Det betyder, at udbyttet har to decimaler mere. Husk nummer 2.
Tilføj to nuller til højre for divisoren. Hvorfor to? I det foregående afsnit har vi netop bestemt dette tal. Men hvis det resulterende tal viser sig at være større end divisoren, skal du trække 1 fra tallet opnået i det foregående afsnit. I vores eksempel, ved at tilføje nuller til divisoren, fik vi tallet 1700< 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
Til tallet 1 til højre tildeler vi nuller i mængden bestemt af tallet fra det foregående afsnit. Dermed får vi en arbejdsenhed af udledningen, som vi vil arbejde videre med. I vores tilfælde er to nuller tildelt en. Arbejdskategori - hundredvis.
Vi gange sekventielt divisoren med 1, 2, 3 osv. enheder af arbejdscifferet, indtil vi får et tal større end udbyttet. 17 100 = 1700; 17 · 200 = 3400; 17 · 300 = 5100; 17 · 400 = 6400; 17 · 500 = 8500; 17 · 600 = 10200 Vi er interesserede i det næstsidste resultat, da det næste resultat af produktet efter det er større end udbyttet. Tallet 8500, som blev opnået i det næstsidste multiplikationstrin, er den første tilføjelse. Husk ligestillingen, som vi vil bruge yderligere: 8500 = 17 500.
Vi beregner forskellen mellem udbyttet og den fundne løbetid. Hvis det ikke er lig med nul, vender vi tilbage til det første punkt og begynder søgningen efter det andet led ved at bruge den allerede opnåede forskel i stedet for udbyttet. Vi gentager trinene, indtil resultatet er nul. I vores eksempel er forskellen 8551 - 8500 = 51. 51 ≠ 0, gå derfor til punkt 1.

Vi gentager algoritmen:

Vi sammenligner antallet af cifre i det nye udbytte 51 og divisoren 17. Begge poster har to cifre, forskellen i antallet af tegn er nul. Husk tallet 0.
Da vi husker tallet 0, er det ikke nødvendigt at tilføje yderligere nuller til divisoren.
Vi vil heller ikke tilføje nuller til en. Igen, fordi vi i første afsnit huskede tallet 0. Vores arbejdsciffer er således enheder
Vi gange successivt 17 med 1, 2, 3, . . osv. Vi får: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34; 17 3 = 51.
I det tredje trin fik vi naturligvis et tal svarende til divisoren. Dette er den anden periode. Da 51 - 51 = 0, stopper vi på dette stadium søgningen efter termer - den er afsluttet.

Nu er der kun tilbage at finde kvotienten. Vi præsenterede udbyttet 8551 som summen 8500 + 51. Lad os skrive ned:

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17.

Resultaterne af opdelinger i parentes er kendt for os fra tidligere handlinger.

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503.

Resultat af division: 8551 ÷ 17 = 503.

Lad os se på nogle flere eksempler uden at kommentere hver enkelt handling så detaljeret.

Eksempel 10. At dividere naturlige tal

Lad os finde kvotienten: 64 ÷ 2.

1. Udbyttet har et tegn mere end divisor. Husk nummer 1.

2. Vi tildeler et nul til højre for divisoren.

3. Vi tilføjer et nul til tallet 1 og får enheden for arbejdscifferet - 10. Arbejdskategorien er således tiere.

4. Vi begynder sekventiel multiplikation af divideren med enheder af arbejdscifferet. 2 · 10 = 20; 220 = 40; 2 · 30 = 60; 2 · 40 = 80; 80 > 64.

Det første led, der blev fundet, er tallet 60.

Ligheden 60 ÷ 2 = 30 vil være nyttig for os i fremtiden.

5. Vi leder efter anden periode. For at gøre dette skal du beregne forskellen 64 - 60 = 4. Tallet 4 er deleligt med 2 uden en rest, dette er naturligvis det andet led.

Nu finder vi kvotienten:

64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32.

Eksempel 11. Division af naturlige tal

Lad os løse: 1178 ÷ 31 = ?

1. Vi ser, at udbyttet har to flere cifre end divisoren. Husk nummer 2.

2. Tilføj to nuller til divisoren til højre. Vi får tallet 3100.

3100 > 1178, så det huskede nummer 2 fra det første punkt skal reduceres med én.

3. Vi tilføjer et nul til det til højre og får arbejdscifferet - tiere.

4. Gang 31 med 10, 20, 30, . . osv.

31 · 10 = 310; 31 · 20 = 620; 31 · 30 = 930; 31 40 = 1240

1240 > 1178, derfor er det første led tallet 930.

5. Beregn forskellen 1178 - 930 = 248. Med tallet 248 i stedet for udbyttet begynder vi at lede efter den anden periode.

1. Tallet 248 har et ciffer mere end tallet 31. Husk nummer 1.

2. Til 31 tilføjer vi et nul til højre. Siden 310 > 248 reducerer vi enheden opnået i det foregående afsnit, og som et resultat har vi tallet 0.

3. Da vi husker tallet 0, er det ikke nødvendigt at tilføje yderligere nuller til enheden, og et-cifferet er arbejdscifferet.

4. Gang 31 konsekvent med 1, 2, 3, . . osv., sammenligne resultatet med udbyttet.

31 · 1 = 31; 31 · 2 = 62; 31 · 3 = 93; 31 · 4 = 124; 31 · 5 = 155; 31 · 6 = 186; 31 · 7 = 217; 31 8 = 248

Det er således tallet 248, der er det andet led, som er deleligt med 31.

5. Forskellen 248 - 248 er nul. Vi afslutter søgningen efter termer, husk forholdet 248 ÷ 31 = 8 og find kvotienten.

1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38.

Vi øger gradvist kompleksiteten af eksemplerne.

Eksempel 12. Division af naturlige tal

Divider 13984 med 32.

I dette tilfælde skal den ovenfor beskrevne algoritme anvendes tre gange. Vi vil ikke give alle beregningerne, vi vil blot angive i form af hvilke udtryk divisoren vil være repræsenteret. Du kan selv teste og lave beregningerne.

Det første led er lig med 12800.

12800 ÷ 32 = 400.

Det andet led er lig med 960.

960 ÷ 32 = 30.

Det tredje led er lig med 224.

Resultat:

13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437.

Det ser ud til, at vi har overvejet næsten alt mulige måder division af naturlige tal. På dette tidspunkt kan emnet betragtes som lukket. Der findes dog en metode, der i nogle tilfælde gør det muligt at foretage opdeling hurtigere og mere rationelt.

Lad os se på det en sidste gang.

Repræsentation af udbyttet som forskellen mellem naturlige tal

Nogle gange er det nemmere og mere bekvemt at repræsentere udbyttet som en forskel frem for en sum. Dette kan i høj grad fremskynde og lette opdelingsprocessen. Hvordan præcist? Lad os vise det med et eksempel.

Eksempel 13. Division af naturlige tal

Divider 594 med 6.

Hvis vi bruger algoritmen fra det foregående afsnit, får vi resultatet:

594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99.

Men hvis tallet 594 er repræsenteret som forskellen 600 - 6, bliver alt meget mere indlysende. Begge tal 600 og 6) er delelige med 6. Ved egenskaben at dividere forskellen mellem naturlige tal får vi:

594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99

Resultatet er det samme, men handlingerne er objektivt set nemmere og enklere.

Lad os løse et andet eksempel ved at bruge samme metode. Bemærk, at det er vigtigt at være i stand til korrekt at lægge mærke til, hvilken manipulation der skal gøres med tal for at udføre divisionen let. Lad os endda sige, at der er et element af kunst i dette.

Eksempel 14. Division af naturlige tal

Lad os huske multiplikationstabellen og forstå: tallet 483 kan bekvemt repræsenteres som 483 = 490 - 7.

490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1

Vi udfører opdelingen:

483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69.

Kontrol af divisionsresultatet

Kontrol er aldrig overflødigt, især hvis vi delte store tal. Hvordan kontrollerer man, om naturlige tal er opdelt korrekt? Brug af multiplikation!

For at kontrollere, om divisionen er udført korrekt, skal du gange kvotienten med divisoren. Resultatet bør være udbyttet.

Betydningen af denne handling er meget enkel. For eksempel havde vi a objekter, og vi delte disse a objekter op i b bunker. Hver bunke indeholdt genstande. Matematisk ser det sådan ud:

Lad os nu kombinere alle b bunker af c elementer. Resultatet skal være den samme samling af objekter a.

Lad os se på testen med to eksempler.

Eksempel 15. Kontrol af resultatet af at dividere naturlige tal

Tallet 475 er divideret med 19. Resultatet blev 25. Er opdelingen udført korrekt?

Lad os gange kvotienten af 25 med divisoren af 19 og finde ud af, om tallene blev divideret korrekt.

25 19 = 475.

Tallet 475 er lig med udbyttet, hvilket betyder, at opdelingen er udført korrekt.

Eksempel 16. Kontrol af resultatet af at dividere naturlige tal

Del og tjek resultatet:

Vi vil repræsentere udbyttet som en sum af vilkår og gennemføre opdelingen.

1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32.

Lad os tjekke resultatet:

32 32 = 1024.

Konklusion: divisionen blev udført korrekt.

Kontrol af resultatet af at dividere tal med division

Verifikationsmetoden diskuteret ovenfor er baseret på multiplikation. Der er også en divisionstest. Hvordan udføres det?

Kontrol af divisionsresultatet

For at kontrollere, om kvotienten blev fundet korrekt, skal du dividere udbyttet med den resulterende kvotient. Resultatet skal være en divisor.

Hvis det viser sig anderledes, kan vi konkludere, at der har sneget sig en fejl ind et sted.

Reglen bygger på samme sammenhæng mellem udbytte, divisor og kvotient som reglen fra forrige afsnit.

Lad os se på eksempler.

Eksempel 17. Kontrol af resultatet af at dividere naturlige tal

Er ligestillingen sand:

Lad os dividere udbyttet med kvotienten:

104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13.

Resultatet er en divisor, hvilket betyder, at divisionen er udført korrekt.

Eksempel 18. Kontrol af resultatet af at dividere naturlige tal

Lad os beregne og kontrollere: 240 ÷ 15 = ?

Ved at repræsentere udbyttet som en sum får vi:

240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16.

Lad os tjekke resultatet:

240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15.

Opdelingen er udført korrekt.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Selvom matematik virker svært for de fleste, er det langt fra sandt. Mange matematiske operationer er ret nemme at forstå, især hvis du kender reglerne og formlerne. Så når du kender multiplikationstabellen, kan du hurtigt gange i dit hoved. Det vigtigste er konstant at træne og ikke glemme multiplikationsreglerne. Det samme kan siges om division.

Lad os se på opdelingen af heltal, brøker og negativer. Lad os huske de grundlæggende regler, teknikker og metoder.

Divisionsdrift

Lad os måske starte med selve definitionen og navnet på de numre, der deltager i denne operation. Dette vil i høj grad lette yderligere præsentation og opfattelse af information.

Division er en af de fire grundlæggende matematiske operationer. Dens undersøgelse begynder i folkeskolen. Det er derefter, at børnene får vist det første eksempel på at dividere et tal med et tal, og reglerne forklares.

Operationen involverer to tal: dividenden og divisoren. Det første er det tal, der divideres med, det andet er det tal, der divideres med. Resultatet af division er kvotienten.

Der er flere notationer til at skrive denne operation: ":", "/" og en vandret streg - skrivning i form af en brøk, når udbyttet er øverst, og divisor er under, under linjen.

Regler

Når man studerer en bestemt matematisk operation, er læreren forpligtet til at introducere eleverne til de grundlæggende regler, som de bør kende. Sandt nok huskes de ikke altid så godt, som vi gerne ville. Derfor besluttede vi at genopfriske din hukommelse lidt om de fire grundlæggende regler.

Grundlæggende regler for at dividere tal, som du altid skal huske:

1. Du kan ikke dividere med nul. Denne regel skal huskes først.

2. Du kan dividere nul med et hvilket som helst tal, men resultatet vil altid være nul.

3. Hvis et tal divideres med et, får vi det samme tal.

4. Hvis et tal divideres med sig selv, får vi et.

Som du kan se, er reglerne ret enkle og nemme at huske. Selvom nogle måske glemmer en så simpel regel som umulighed eller forveksler divisionen af nul med et tal med den.

pr nummer

En af de mest brugbare regler- et tegn, hvormed muligheden for at dividere et naturligt tal med et andet uden rest bestemmes. Således skelnes tegnene på delelighed med 2, 3, 5, 6, 9, 10. Lad os overveje dem mere detaljeret. De gør det meget nemmere at udføre operationer på tal. Vi giver også et eksempel for hver regel om at dividere et tal med et tal.

Disse regel-tegn er ret meget brugt af matematikere.

Test for delelighed med 2

Det nemmeste tegn at huske. Et tal, der ender med et lige ciffer (2, 4, 6, 8) eller 0, er altid deleligt med to. Ret nem at huske og bruge. Så tallet 236 ender med et lige ciffer, hvilket betyder, at det er deleligt med to.

Lad os tjekke: 236:2 = 118. Faktisk er 236 deleligt med 2 uden en rest.

Denne regel er bedst kendt ikke kun for voksne, men også for børn.

Test for delelighed med 3

Hvordan dividerer man korrekt tal med 3? Husk følgende regel.

Et tal er deleligt med 3, hvis summen af dets cifre er et multiplum af tre. Lad os for eksempel tage tallet 381. Summen af alle cifre vil være 12. Dette er tre, hvilket betyder, at det er deleligt med 3 uden en rest.

Lad os også tjekke dette eksempel. 381: 3 = 127, så er alt korrekt.

Delbarhedstest for tal med 5

Alt er også enkelt her. Du kan dividere med 5 uden en rest kun de tal, der ender på 5 eller 0. Lad os f.eks. tage tal som 705 eller 800. Det første ender på 5, det andet på nul, derfor er de begge delelige med 5. Dette er en af de enkleste regler, der giver dig mulighed for hurtigt at dividere med et encifret tal 5.

Lad os tjekke dette tegn ved hjælp af følgende eksempler: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Som du kan se, virker skiltet.

Delbarhed med 6

Hvis du vil finde ud af, om et tal er deleligt med 6, skal du først finde ud af, om det er deleligt med 2, og derefter med 3. Hvis ja, så kan tallet divideres med 6 uden en rest , tallet 216 er deleligt med 2, da det ender med et lige ciffer, og med 3, da summen af cifrene er 9.

Lad os tjekke: 216:6 = 36. Eksemplet viser, at dette tegn er gyldigt.

Delbarhed med 9

Lad os også tale om, hvordan man dividerer tal med 9. Summen af de cifre, hvis delelige med 9 er divideret med dette tal. Svarende til reglen om at dividere med 3. For eksempel tallet 918. Lad os lægge alle cifrene sammen og få 18. - et tal, der er et multiplum af 9. Så det er deleligt med 9 uden en rest.

Lad os løse dette eksempel for at kontrollere: 918:9 = 102.

Delbarhed med 10

Et sidste tegn at vide. Kun de tal, der ender på 0, er delelige med 10. Dette mønster er ganske enkelt og nemt at huske. Så 500:10 = 50.

Det er alle de vigtigste tegn. Ved at huske dem kan du gøre dit liv lettere. Selvfølgelig er der andre tal, for hvilke der er tegn på delelighed, men vi har kun fremhævet de vigtigste.

Delingstabel

I matematik er der ikke kun en multiplikationstabel, men også en divisionstabel. Når du har lært det, kan du nemt udføre operationer. Grundlæggende er en divisionstabel en multiplikationstabel omvendt. At kompilere det selv er ikke svært. For at gøre dette skal du omskrive hver linje fra multiplikationstabellen på denne måde:

1. Sæt produktet af tallet på førstepladsen.

2. Sæt et divisionstegn og skriv den anden faktor ned fra tabellen.

3. Efter lighedstegnet skal du skrive den første faktor ned.

Tag for eksempel følgende linje fra multiplikationstabellen: 2*3= 6. Nu omskriver vi den efter algoritmen og får: 6 ÷ 3 = 2.

Ganske ofte bliver børn bedt om at lave et bord på egen hånd og dermed udvikle deres hukommelse og opmærksomhed.

Hvis du ikke har tid til at skrive det, kan du bruge den, der er præsenteret i artiklen.

Opdelingstyper

Lad os tale lidt om typerne af division.

Lad os starte med, at vi kan skelne mellem division af heltal og brøker. Desuden kan vi i det første tilfælde tale om operationer med heltal og decimaler, og i den anden - kun om brøktal. I dette tilfælde kan en brøk være enten dividenden eller divisoren eller begge dele på samme tid. Dette skyldes det faktum, at operationer på brøker er forskellige fra operationer på heltal.

Ud fra de tal, der deltager i operationen, kan der skelnes mellem to typer opdeling: i enkeltcifrede tal og i flercifrede. Den enkleste er division med et enkeltcifret tal. Her skal du ikke foretage besværlige beregninger. Derudover kan et divisionstabel være en god hjælp. Del i andre - to -, trecifrede tal- tungere.

Lad os se på eksempler på disse typer opdeling:

14:7 = 2 (division med et enkeltcifret tal).

240:12 = 20 (division med et tocifret tal).

45387: 123 = 369 (division med et trecifret tal).

Den sidste kan skelnes ved division, som involverer positive og negative tal. Når du arbejder med sidstnævnte, bør du kende reglerne for, at et resultat tildeles en positiv eller negativ værdi.

Når man deler tal med forskellige tegn(dividenden er et positivt tal, divisoren er negativ eller omvendt) får vi negativt tal. Når man dividerer tal med samme fortegn (både udbytte og divisor er positive eller omvendt), får vi et positivt tal.

For klarhedens skyld kan du overveje følgende eksempler:

Inddeling af brøker

Så vi har set på de grundlæggende regler, givet et eksempel på at dividere et tal med et tal, lad os nu tale om, hvordan man korrekt udfører de samme operationer med brøker.

Selvom at dele brøker kan virke som meget arbejde i starten, er det faktisk ikke så svært at arbejde med dem. At dividere en brøk er stort set på samme måde som at gange, men med én forskel.

For at dividere en brøk skal du først gange tælleren for udbyttet med nævneren af divisoren og registrere det resulterende resultat som tælleren for kvotienten. Derefter ganges nævneren af udbyttet med tælleren af divisor og skrive resultatet som nævneren af kvotienten.

Det kan gøres enklere. Omskriv divisorbrøken ved at bytte tælleren med nævneren, og gange derefter de resulterende tal.

Lad os for eksempel dividere to brøker: 4/5:3/9. Lad os først vende divisoren og få 9/3. Lad os nu gange brøkerne: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Som du kan se, er alt ret nemt og ikke sværere end at dividere med et enkeltcifret tal. Eksemplerne er ikke nemme at løse, hvis du ikke glemmer denne regel.

Konklusioner

Division er en af de matematiske operationer, som hvert barn lærer i folkeskolen. Spise visse regler, som du bør kende, teknikker, der gør denne operation lettere. Division kan være med eller uden en rest, der kan være division af negative tal og brøktal.

Det er ret nemt at huske funktionerne i denne matematiske operation. Vi har ordnet det meste vigtige punkter, vi så på mere end ét eksempel på at dividere et tal med et tal, vi talte endda om, hvordan man arbejder med brøktal.

Hvis du vil forbedre din viden om matematik, råder vi dig til at huske disse enkle regler. Derudover kan vi råde dig til at udvikle hukommelse og hovedregningsfærdigheder ved at lave matematiske diktater eller blot forsøge at beregne kvotienten af to tilfældige tal verbalt. Tro mig, disse færdigheder vil aldrig være overflødige.

Lad os overveje begrebet division i problemet:
Der var 12 æbler i kurven. Seks børn sorterede æblerne. Hvert barn fik det samme antal æbler. Hvor mange æbler har hvert barn?

Løsning:
Vi skal bruge 12 æbler til at dele mellem seks børn. Lad os nedskrive opgave 12:6 matematisk.
Eller du kan sige det på en anden måde. Hvilket tal skal tallet 6 ganges med for at få tallet 12? Lad os skrive problemet i form af en ligning. Vi kender ikke antallet af æbler, så lad os betegne dem med variablen x.

For at finde det ukendte x har vi brug for 12:6=2
Svar: 2 æbler til hvert barn.

Lad os se nærmere på eksemplet 12:6=2:

Nummeret 12 kaldes delelig. Dette er det tal, der bliver delt.
Tallet 6 kaldes skillevæg. Dette er det tal, der divideres med.
Og resultatet af at dividere tallet 2 kaldes privat. Kvotienten viser, hvor mange gange udbyttet er større end divisoren.

Bogstaveligt talt ser opdelingen således ud:
a:b=c
-en- delelig,
b- skillevæg,
c– privat.

Så hvad er division?

Afdeling- dette er den omvendte virkning af en faktor, vi kan finde en anden faktor.

Division kontrolleres ved multiplikation, dvs.
-en: b= c, tjek med⋅b= -en
18:9=2, check 2⋅9=18

Ukendt multiplikator.

Lad os overveje problemet:
Hver pakke indeholder 3 stykker julekugler. Til at pynte juletræet skal vi bruge 30 kugler. Hvor mange pakker julekugler skal vi bruge?

Løsning:
x – ukendt antal pakker med bolde.
3 – stykker i én pakke balloner.
30 bolde i alt.

x⋅3=30 vi skal tage 3 så mange gange for at få i alt 30. x er en ukendt faktor. det vil sige For at finde det ukendte skal du dividere produktet med den kendte faktor.
x=30:3
x=10.

Svar: 10 pakker balloner.

Ukendt udbytte.

Lad os overveje problemet:
Hver pakke indeholder 6 farveblyanter. Der er 3 pakker i alt. Hvor mange blyanter var der i alt, før de blev lagt i pakker?

Løsning:
x – i alt blyanter,
6 blyanter i hver pakke,
3 – pakker med blyanter.

Lad os skrive problemets ligning i divisionsform.
x:6=3
x er det ukendte udbytte. For at finde det ukendte udbytte skal du gange kvotienten med divisoren.
x=3⋅6
x=18

Svar: 18 blyanter.

Ukendt divisor.

Lad os se på problemet:
Der var 15 bolde i butikken. I løbet af dagen kom 5 kunder i butikken. Købere købte lige mange balloner. Hvor mange balloner købte hver kunde?

Løsning:
x – antallet af bolde, som en køber købte,
5 – antal købere,
15 – antal bolde.
Lad os skrive problemets ligning i form af division:
15:x=5
x – i denne ligning er en ukendt divisor. For at finde den ukendte divisor dividerer vi udbyttet med kvotienten.
x=15:5
x=3

Svar: 3 bolde til hver køber.

Egenskaber ved at dividere et naturligt tal med et.

Opdelingsregel:
Ethvert tal divideret med 1 resulterer i det samme tal.

7:1=7
-en:1= -en

Egenskaber ved at dividere et naturligt tal med nul.

Lad os se på et eksempel: 6:2=3, du kan kontrollere, om vi har divideret rigtigt ved at gange 2⋅3=6.
Hvis vi er 3:0, så vil vi ikke være i stand til at kontrollere, fordi ethvert tal ganget med nul vil være nul. Derfor giver det ingen mening at optage 3:0.
Opdelingsregel:
Du kan ikke dividere med nul.

Egenskaber ved at dividere nul med et naturligt tal.

0:3=0 denne post giver mening. Hvis vi deler noget i tre dele, får vi intet.
0: -en=0
Opdelingsregel:
Når du dividerer 0 med ethvert naturligt tal, der ikke er lig med nul, vil resultatet altid være 0.

Egenskaben til at dividere identiske tal.

3:3=1
-en: -en=1
Opdelingsregel:
Når man dividerer et tal med sig selv, der ikke er lig med nul, vil resultatet være 1.

Spørgsmål om emnet "Afdeling":

Hvad er kvotient her i posten a:b=c?
Svar: a:b og c.

Hvad er privat?
Svar: kvotienten viser, hvor mange gange udbyttet er større end divisoren.

Ved hvilken værdi af m er indtastningen 0⋅m=5?
Svar: ganges med nul, vil svaret altid være 0. Indtastningen giver ikke mening.

Er der sådan et n sådan, at 0⋅n=0?
Svar: Ja, indlægget giver mening. Når et hvilket som helst tal ganges med 0, vil det være 0, så n er et hvilket som helst tal.

Eksempel #1:
Find værdien af udtrykket: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Svar: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41

Eksempel #2:
For hvilke værdier af variablerne er ligheden sand: a) x:6=8 b) 54:x=9

a) x – i dette eksempel er deleligt. For at finde udbyttet skal du gange kvotienten med divisoren.
x – ukendt udbytte,
6 - divisor,
8 – kvotient.
x=8⋅6
x=48

b) 54 – udbytte,
x er en divisor,
9 – kvotient.
For at finde en ukendt divisor skal du dividere udbyttet med kvotienten.
x=54:9
x=6

Opgave #1:
Sasha har 15 mark, og Misha har 45 mark. Hvor mange gange flere frimærker har Misha end Sasha?
Løsning:
Problemet kan løses på to måder. Første vej:
15+15+15=45
Det kræver 3 tal 15 for at få 45, derfor har Misha 3 gange flere karakterer end Sasha.
Anden vej:
45:15=3

Svar: Misha har 3 gange flere frimærker end Sasha.

Etcifrede naturlige tal er nemme at dele i dit hoved. Men hvordan deler man flercifrede tal? Hvis et tal allerede har mere end to cifre, kan mental optælling tage meget tid, og sandsynligheden for fejl, når man arbejder med flercifrede tal, stiger.

Kolonnedeling er en praktisk metode, der ofte bruges til at dividere flercifrede naturlige tal. Det er denne metode, som denne artikel er viet til. Nedenfor vil vi se på, hvordan man udfører lang division. Lad os først se på algoritmen til at dividere et flercifret tal med et enkeltcifret tal i en kolonne og derefter flercifret med flercifret tal. Ud over teori giver artiklen praktiske eksempler på lang division.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Det er mest bekvemt at føre noter på kvadratisk papir, da linjerne forhindrer dig i at blive forvirret i cifrene, når du laver beregninger. Først skrives udbytte og divisor fra venstre mod højre på én linje og adskilles derefter særligt tegn opdeling i en kolonne, der ser sådan ud:

Lad os sige, at vi skal dividere 6105 med 55, lad os skrive:

Vi vil skrive mellemregninger under udbyttet, og resultatet skrives under divisoren. Generelt ser kolonneopdelingsskemaet således ud:

Husk, at beregninger kræver ledig plads på siden. Desuden end mere forskel i udbytte- og divisor-cifrene, jo flere beregninger vil der være.

For eksempel vil det at dividere tallene 614.808 og 51.234 kræve mindre plads end at dividere tallet 8.058 med 4. Selvom tallene i det andet tilfælde er mindre, er forskellen i antallet af cifre større, og beregningerne bliver mere besværlige. Lad os illustrere dette:

Det er mest praktisk at øve praktiske færdigheder på simple eksempler. Lad os derfor opdele tallene 8 og 2 i en kolonne. Selvfølgelig er denne operation let at udføre i dit hoved eller ved hjælp af multiplikationstabellen, men detaljeret analyse Det vil være nyttigt for klarheden, selvom vi allerede ved, at 8 ÷ 2 = 4.

Så først nedskriver vi udbytte og divisor i henhold til kolonneopdelingsmetoden.

Næste skridt er at finde ud af, hvor mange divisorer udbyttet indeholder. Hvordan gør man dette? Vi gange successivt divisoren med 0, 1, 2, 3. . Det gør vi indtil resultatet er et tal lig med eller større end udbyttet. Hvis resultatet umiddelbart resulterer i et tal svarende til udbyttet, så skriver vi under divisoren det tal, som divisoren blev ganget med.

Ellers, når vi får et tal større end udbyttet, skriver vi under divisoren tallet beregnet på næstsidste trin. I stedet for den ufuldstændige kvotient skriver vi det tal, som divisoren blev ganget med på næstsidste trin.

Lad os gå tilbage til eksemplet.

2 · 0 = 0; 2 · 1 = 2; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 4 = 8

Så vi fik straks et tal svarende til udbyttet. Vi skriver det under udbyttet, og skriver tallet 4, som vi gangede divisoren med, i stedet for kvotienten.

Nu er der kun tilbage at trække tallene under divisoren (også ved hjælp af kolonnemetoden). I vores tilfælde er 8 - 8 = 0.

Dette eksempel- division af tal uden rest. Tallet opnået efter subtraktion er resten af divisionen. Hvis det er lig med nul, divideres tallene uden en rest.

Lad os nu se på et eksempel, hvor tal er divideret med en rest. Divider det naturlige tal 7 med det naturlige tal 3.

I dette tilfælde skal du sekventielt gange tre med 0, 1, 2, 3. . vi får som resultat:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Under udbyttet skriver vi tallet opnået i næstsidste trin. Ved hjælp af divisor skriver vi tallet 2 ned - den ufuldstændige kvotient opnået i næstsidste trin. Det var med to, at vi gangede divisoren, da vi fik 6.

For at fuldføre operationen skal du trække 6 fra 7 og få:

Dette eksempel er at dividere tal med en rest. Delkvotienten er 2 og resten er 1.

Nu, efter at have overvejet elementære eksempler, lad os gå videre til at opdele flercifrede naturlige tal i enkeltcifrede.

Vi vil overveje kolonneopdelingsalgoritmen ved at bruge eksemplet med at dividere det flercifrede tal 140288 med tallet 4. Lad os sige med det samme, at det er meget lettere at forstå essensen af metoden ved hjælp af praktiske eksempler, og dette eksempel blev ikke valgt tilfældigt, da det illustrerer alle de mulige nuancer ved at dividere naturlige tal i en kolonne.

1. Skriv tallene sammen med divisionssymbolet i en kolonne. Se nu på det første ciffer til venstre i udbyttenotationen. To tilfælde er mulige: tallet defineret af dette ciffer er større end divisoren og omvendt. I det første tilfælde arbejder vi med dette nummer, i det andet tager vi desuden det næste ciffer i udbytteposten og arbejder med det tilsvarende tocifret nummer. I overensstemmelse med dette punkt, lad os i eksemplet fremhæve det nummer, som vi vil arbejde med i første omgang. Dette tal er 14, fordi det første ciffer i udbytte 1 er mindre end divisor 4.

2. Bestem, hvor mange gange tælleren er indeholdt i det resulterende tal. Lad os betegne dette tal som x = 14. Vi multiplicerer successivt divisor 4 med hvert medlem af rækken af naturlige tal ℕ, inklusive nul: 0, 1, 2, 3 og så videre. Det gør vi indtil vi får x eller et tal større end x som resultat. Når resultatet af multiplikationen er tallet 14, skriver vi det under det fremhævede tal efter reglerne for at skrive subtraktion i en kolonne. Faktoren, som divisoren blev ganget med, er skrevet under divisoren. Hvis resultatet af multiplikationen er et tal større end x, skriver vi under det fremhævede tal det tal, der blev opnået på næstsidste trin, og i stedet for den ufuldstændige kvotient (under divisoren) skriver vi den faktor, som multiplikationen blev udført med på næstsidste trin.

I overensstemmelse med algoritmen har vi:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Under det fremhævede tal skriver vi tallet 12 opnået i næstsidste trin. I stedet for kvotienten skriver vi faktoren 3.

3. Træk 12 fra 14 ved hjælp af en kolonne, og skriv resultatet under den vandrette linje. I analogi med det første punkt sammenligner vi det resulterende tal med divisoren.

4. Nummer 2 mindre antal 4, derfor skriver vi ned under den vandrette linje efter de to tallet placeret i det næste ciffer i udbyttet. Hvis der ikke er flere cifre i udbyttet, slutter divisionsoperationen. I vores eksempel, efter tallet 2 opnået i det foregående afsnit, skriver vi det næste ciffer i udbyttet - 0. Som et resultat fejrer vi noget nyt arbejdsnummer - 20 .

Vigtig!

Punkt 2 - 4 gentages cyklisk indtil slutningen af operationen med at dividere naturlige tal med en kolonne.

2. Lad os igen tælle, hvor mange divisorer der er indeholdt i tallet 20. Multiplicer 4 med 0, 1, 2, 3. . vi får:

Da vi modtog et tal svarende til 20 som et resultat, skriver vi det under det markerede tal, og i stedet for kvotienten skriver vi i det næste ciffer 5 - den faktor, som multiplikationen blev udført med.

3. Vi udfører subtraktionen i en kolonne. Da tallene er ens, er resultatet tallet nul: 20 - 20 = 0.

4. Vi vil ikke skrive tallet nul ned, da dette trin ikke er slutningen af divisionen. Lad os lige huske det sted, hvor vi kunne skrive det ned og skrive ved siden af tallet fra det næste ciffer i udbyttet. I vores tilfælde er tallet 2.

Vi tager dette tal som et arbejdstal og udfører igen algoritmens trin.

2. Gang divisoren med 0, 1, 2, 3. . og sammenlign resultatet med det markerede tal.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Følgelig skriver vi under det markerede tal tallet 0, og under divisoren i det næste ciffer i kvotienten skriver vi også 0.

3. Udfør subtraktionsoperationen og skriv resultatet under linjen.

4. Tilføj tallet 8 til højre under linjen, da dette er det næste ciffer i det tal, der deles.

Dermed får vi et nyt arbejdsnummer - 28. Vi gentager punkterne i algoritmen igen.

Efter at have gjort alt efter reglerne får vi resultatet:

Vi flytter det sidste ciffer i udbyttet under linjen - 8. I sidste gang Vi gentager algoritme punkt 2 - 4 og får:

I den nederste linje skriver vi tallet 0. Dette nummer skrives kun på det sidste trin af divisionen, når operationen er afsluttet.

Således er resultatet af at dividere tallet 140228 med 4 tallet 35072. Dette eksempel er blevet analyseret meget detaljeret, og ved løsning af praktiske opgaver er det ikke nødvendigt at beskrive alle handlingerne så grundigt.

Vi vil give andre eksempler på opdeling af tal i en kolonne og eksempler på skriveløsninger.

Eksempel 1. Kolonnedeling af naturlige tal

Divider det naturlige tal 7136 med det naturlige tal 9.

Efter andet, tredje og fjerde trin af algoritmen vil posten have formen:

Lad os gentage cyklussen:

Den sidste gennemgang, og vi læser resultatet:

Svar: Den partielle kvotient af 7136 og 9 er 792 og resten er 8.

Ved løsning af praktiske eksempler er det ideelt slet ikke at bruge forklaringer i form af verbale kommentarer.

Eksempel 2. Opdeling af naturlige tal i en kolonne

Divider tallet 7042035 med 7.

Svar: 1006005

Algoritmen til at dividere flercifrede tal i en kolonne er meget lig den tidligere omtalte algoritme til at dividere et flercifret tal med et enkeltcifret tal. For at være mere præcis vedrører ændringerne kun det første punkt, mens punkt 2 - 4 forbliver uændret.
Hvis vi, når vi dividerer med et enkeltcifret tal, kun kiggede på det første ciffer i dividenden, vil vi nu se på lige så mange cifre, som der er i divisoren. vi tager det som arbejdsnummer. Ellers tilføjer vi endnu et ciffer fra det næste ciffer i udbyttet. Derefter følger vi trinene i algoritmen beskrevet ovenfor.

Lad os overveje anvendelsen af algoritmen til at dividere flercifrede tal ved hjælp af et eksempel.

Eksempel 3. Opdeling af naturlige tal i en kolonne

Lad os dividere 5562 med 206.

Divisoren indeholder tre tegn, så lad os straks vælge tallet 556 i udbyttet.
556 > 206, så vi tager dette tal som et arbejdstal og går videre til punkt 2 i agloritmen.
Multiplicer 206 med 0, 1, 2, 3. . og vi får:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556, så under divisoren skriver vi resultatet af den næstsidste handling, og under dividenden skriver vi faktoren 2

Udfør kolonnesubtraktion

Som et resultat af subtraktion har vi tallet 144. Til højre for resultatet, under linjen, skriver vi tallet fra det tilsvarende ciffer i udbyttet og får et nyt arbejdsnummer - 1442.

Vi gentager punkt 2 - 4 med ham. Vi får:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Under det markerede arbejdsnummer skriver vi 1442, og i det næste kvotientciffer skriver vi tallet 7 - multiplikatoren.

Vi udfører subtraktionen i en kolonne, og vi forstår, at dette er slutningen af divisionsoperationen: Der er ikke flere cifre i divisoren at skrive til højre for subtraktionsresultatet.