Gyldent snitt. Et nytt utseende

En person skiller gjenstander rundt seg ved deres form. Interessen for formen til et objekt kan dikteres av vital nødvendighet, eller det kan være forårsaket av formens skjønnhet. Formen, hvis konstruksjon er basert på en kombinasjon av symmetri og det gylne snitt, bidrar til den beste visuelle oppfatningen og utseendet til en følelse av skjønnhet og harmoni. Helheten består alltid av deler, deler av ulik størrelse står i et visst forhold til hverandre og til helheten. Prinsippet om det gylne snitt er den høyeste manifestasjonen av den strukturelle og funksjonelle perfeksjonen av helheten og dens deler i kunst, vitenskap, teknologi og natur.

Gyldent forhold - harmonisk proporsjon

I matematikk proporsjon(lat. proportio) kaller likheten mellom to relasjoner: en : b = c : d.

Rett segment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:

i to like deler - AB : AC = AB : Sol;

i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);

altså når AB : AC = AC : Sol.

Sistnevnte er den gylne inndelingen eller inndelingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold.

Det gylne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den større delen som den større delen selv er relatert til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er til det større som det større er for helheten

en : b = b : c eller Med : b = b : EN.

Ris. 1. Geometrisk bilde av det gylne snitt

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Ris. 2. Dele et rett linjestykke ved hjelp av det gylne snitt. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Fra punkt I en perpendikulær lik halvparten gjenopprettes AB. Mottatt poeng MED forbundet med en linje til et punkt EN. Et segment plottes på den resulterende linjen Sol slutter med en prikk D. Linjestykke AD overført til direkte AB. Det resulterende punktet E deler et segment AB i det gylne snitt.

Segmenter av det gylne snitt uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøkdel A.E.= 0,618..., hvis AB ta som en VÆRE= 0,382... For praktiske formål brukes ofte omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38. Hvis segmentet AB tatt som 100 deler, så er den største delen av segmentet lik 62, og den mindre delen er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:

x 2 - x - 1 = 0.

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt har skapt en romantisk aura av mystikk og nesten mystisk tilbedelse rundt dette nummeret.

Andre gylne snitt

Denne andelen finnes i arkitektur, og oppstår også når man konstruerer komposisjoner av bilder av et langstrakt horisontalt format.

Ris. 3. Konstruksjon av det andre gylne snitt

Inndelingen utføres som følger (se fig. 3). Linjestykke AB delt etter det gylne snitt. Fra punkt MED perpendikulæren gjenopprettes CD. Radius AB det er et poeng D, som er forbundet med en linje til et punkt EN. Rett vinkel ACD er delt i to. Fra punkt MED tegne en linje til den skjærer en linje AD. Punktum E deler et segment AD i forhold til 56:44.

Ris. 4.Å dele et rektangel med linjen til det andre gylne snittet

I fig. Figur 4 viser posisjonen til linjen til det andre gylne snitt. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

Gylden trekant

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagram.

Ris. 5. Konstruksjon av en vanlig femkant og pentagram

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for konstruksjonen ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Durer (1471...1528). La O- sentrum av sirkelen, EN- et punkt på en sirkel og E- midten av segmentet OA. Vinkelrett på radius OA, gjenopprettet på punktet OM, skjærer sirkelen i punktet D. Bruk et kompass til å tegne et segment på diameteren C.E. = ED. Sidelengden til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er DC. Legg ut segmenter på sirkelen DC og vi får fem poeng for å trekke en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene av femkanten gjennom hverandre med diagonaler og får et femkant. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.

Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Ris. 6. Konstruksjon av den gylne trekanten

Vi gjennomfører en direkte AB. Fra punkt EN legg et segment på den tre ganger OM vilkårlig verdi, gjennom det resulterende punktet R tegne en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punktet R sett til side segmentene OM. Fikk poeng d Og d 1 koble med rette linjer til et punkt EN. Linjestykke dd sett 1 på streken Annonse 1, får et poeng MED. Hun delte linjen Annonse 1 i forhold til det gylne snitt. Linjer Annonse 1 og dd 1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Historien om det gylne snitt

Det er generelt akseptert at konseptet med den gylne inndelingen ble introdusert i vitenskapelig bruk av Pythagoras, en gammel gresk filosof og matematiker (VI århundre f.Kr.). Det er en antagelse om at Pythagoras lånte sin kunnskap om den gylne divisjonen fra egypterne og babylonerne. Faktisk indikerer proporsjonene til Cheops-pyramiden, templene, bas-relieffer, husholdningsartikler og smykker fra graven til Tutankhamun at egyptiske håndverkere brukte forholdene til den gylne divisjonen når de laget dem. Den franske arkitekten Le Corbusier fant at i relieffet fra tempelet til farao Seti I i Abydos og i relieffet som skildrer farao Ramses, samsvarer proporsjonene til figurene med verdiene til den gyldne divisjonen. Arkitekten Khesira, avbildet på et relieff av en treplate fra en grav oppkalt etter ham, holder i hendene måleinstrumenter der proporsjonene til den gylne inndelingen er registrert.

Grekerne var dyktige geometre. De lærte til og med regning til barna sine ved hjelp av geometriske former. Det pytagoreiske kvadratet og diagonalen til dette kvadratet var grunnlaget for konstruksjonen av dynamiske rektangler.

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Fasaden til det gamle greske tempelet i Parthenon har gylne proporsjoner. Under utgravningene ble det oppdaget kompass som ble brukt av arkitekter og skulptører fra den antikke verden. Det pompeianske kompasset (museet i Napoli) inneholder også proporsjonene til den gylne inndelingen.

Ris. 8. Antikt kompass med gyldne snitt

I den gamle litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gyldne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I den andre boken til "Prinsippene" er en geometrisk konstruksjon av den gylne inndelingen gitt. Etter Euklid ble studien av den gylne inndelingen utført av Hypsicles (II århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre. middelalderens Europa Vi ble kjent med den gylne inndelingen fra arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.

Under renessansen økte interessen for den gyldne divisjonen blant forskere og kunstnere på grunn av dens bruk i både geometri og kunst, spesielt innen arkitekturen Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann italienske artister det er mye empirisk erfaring, men lite kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.

Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "The Divine Proportion" utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med den gyldne proporsjon, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten - Gud sønnen, Gud faren og Gud den hellige ånd (det ble antydet at den lille segmentet er personifiseringen av Gud sønnen, det større segmentet - Gud faren, og hele segmentet - Den Hellige Ånds Gud).

Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i den gylne inndelingen. Det var derfor han ga denne avdelingen navnet gyldne snitt. Så den er fortsatt den mest populære.

Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."

Etter et av Dürers brev å dømme møtte han Luca Pacioli mens han var i Italia. Albrecht Durer utvikler i detalj teorien om proporsjoner av menneskekroppen. Dürer tildelte det gylne snitt en viktig plass i sitt system av relasjoner. En persons høyde er delt i gylne proporsjoner av beltets linje, så vel som av en linje trukket gjennom tuppene av langfingrene på de senkede hendene, den nedre delen av ansiktet ved munnen, etc. Dürers proporsjonalkompass er velkjent.

Stor astronom på 1500-tallet. Johannes Kepler kalte det gylne snitt for en av geometriens skatter. Han var den første som gjorde oppmerksom på betydningen av den gyldne proporsjon for botanikk (plantevekst og deres struktur).

Kepler kalte den gyldne andelen selv-fortsatt "Den er strukturert på en slik måte," skrev han, "at de to laveste leddene i denne uendelige andelen summerer seg til den tredje termen, og eventuelle to siste ledd, hvis de legges sammen. , gi neste ledd, og den samme proporsjonen opprettholdes til uendelig."

Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).

Hvis du er på en rett linje med vilkårlig lengde, sett til side segmentet m, sett segmentet ved siden av M. Basert på disse to segmentene bygger vi en skala av segmenter av den gyldne andelen av stigende og synkende serier

Ris. 9. Konstruksjon av en skala av gylne proporsjonssegmenter

I de påfølgende århundrene ble regelen om den gyldne proporsjon til en akademisk kanon, og da kampen mot akademisk rutine over tid begynte i kunsten, i kampens hete, "kastet de ut babyen med badevannet." Det gyldne snitt ble "oppdaget" igjen på midten av 1800-tallet. I 1855 publiserte den tyske forskeren av det gylne snitt, professor Zeising, sitt arbeid "Estetiske studier". Det som skjedde med Zeising var akkurat det som uunngåelig skulle skje med en forsker som vurderer et fenomen som sådan, uten sammenheng med andre fenomener. Han absolutterte andelen av det gyldne snitt, og erklærte det universelt for alle fenomener av natur og kunst. Zeising hadde mange tilhengere, men det var også motstandere som erklærte hans proporsjonsdoktrine for å være «matematisk estetikk».

Ris. 10. Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Proporsjoner mannlig kropp svinge innenfor gjennomsnittsforholdet 13: 8 = 1,625 og er noe nærmere det gyldne snitt enn proporsjonene til kvinnekroppen, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

Ris. elleve. Gylne proporsjoner i menneskefiguren

Zeising testet gyldigheten av teorien hans på greske statuer. Han utviklet proporsjonene til Apollo Belvedere mest detaljert. Greske vaser, arkitektoniske strukturer fra ulike tidsepoker, planter, dyr, fugleegg, musikalske toner og poetiske metre ble studert. Zeising ga en definisjon av det gylne snitt og viste hvordan det uttrykkes i rette linjesegmenter og i tall. Da tallene som uttrykker lengdene til segmentene ble oppnådd, så Zeising at de utgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsettes i det uendelige i den ene eller den andre retningen. Hans neste bok fikk tittelen "Den gylne divisjon som den grunnleggende morfologiske loven i natur og kunst." I 1876 ble en liten bok, nesten en brosjyre, utgitt i Russland som skisserte dette arbeidet til Zeising. Forfatteren søkte tilflukt under initialene Yu.F.V. Denne publikasjonen nevner ikke et eneste maleri.

I sent XIX- tidlig på 1900-tallet Mange rent formalistiske teorier dukket opp om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt seg til design av biler, møbler osv.

Fibonacci-serien

Navnet på den italienske matematikermunken Leonardo av Pisa, bedre kjent som Fibonacci (sønn av Bonacci), er indirekte forbundet med historien til det gylne snitt. Han reiste mye i øst, introduserte Europa for indiske (arabiske) tall. I 1202 ble hans matematiske verk "The Book of the Abacus" (tellebrett) utgitt, som samlet alle problemene som var kjent på den tiden. Et av problemene var "Hvor mange par kaniner vil bli født fra ett par på ett år." Etter å ha reflektert over dette emnet, bygde Fibonacci følgende serie med tall:

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallrekkefølgen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, lik summen to tidligere 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så, 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forholdet er angitt med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618: 0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjesegment i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer det til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som det større er til helheten.

Fibonacci tok også for seg de praktiske behovene til handel: hva er det minste antallet vekter som kan brukes til å veie et produkt? Fibonacci beviser at det optimale vektsystemet er: 1, 2, 4, 8, 16...

Generalisert gyldent snitt

Fibonacci-serien kunne ha forblitt bare en matematisk hendelse, hvis ikke for det faktum at alle forskere av den gylne divisjonen i plante- og dyreverdenen, for ikke å nevne kunst, alltid kom til denne serien som et aritmetisk uttrykk for loven om det gylne. inndeling.

Forskere fortsatte å aktivt utvikle teorien om Fibonacci-tall og det gylne snitt. Yu Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved å bruke Fibonacci-tall. Det dukker opp elegante metoder for å løse en rekke kybernetiske problemer (søketeori, spill, programmering) ved hjelp av Fibonacci-tall og det gylne snitt. I USA opprettes til og med Mathematical Fibonacci Association, som har publisert et spesialtidsskrift siden 1963.

En av prestasjonene på dette feltet er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serien med vekter oppdaget av ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øyekast er helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., i det andre er det summen av de to foregående tallene 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2... Er det mulig å finne en generell matematisk formel som vi henter fra og " binære serier og Fibonacci serier? Eller kanskje denne formelen vil gi oss nye tallsett, besitter noen nye unike egenskaper?

Faktisk, la oss spørre numerisk parameter S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tenk på en tallserie, S+ 1 hvorav de første leddene er enheter, og hver av de påfølgende er lik summen av to ledd av den forrige og atskilt fra den forrige med S trinn. Hvis n Vi betegner det tredje leddet i denne serien med φ S ( n), så får vi generell formelφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Det er åpenbart at når S= 0 fra denne formelen får vi en "binær" serie, med S= 1 - Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. ny serie med tall, som kalles S-Fibonacci-tall.

I generelt syn gylden S-proporsjon er den positive roten til den gyldne ligningen S-seksjoner x S+1 - x S - 1 = 0.

Det er lett å vise at når S= 0, segmentet er delt i to, og når S= 1 - det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdet mellom naboer S- Fibonacci-tall sammenfaller med absolutt matematisk nøyaktighet i grensen med gull S-proporsjoner! Matematikere i slike tilfeller sier at gull S-seksjoner er numeriske invarianter S-Fibonacci-tall.

Fakta som bekrefter eksistensen av gull S-seksjoner i naturen, siterer den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre av en av gull S-proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at gull S-seksjoner er numeriske invarianter av selvorganiserende systemer. Når den først er bekreftet eksperimentelt, kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk – et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Bruker gullkoder S-proporsjoner kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall som summen av gullkrefter S-proporsjoner med heltallskoeffisienter.

Den grunnleggende forskjellen mellom denne metoden for å kode tall er at basene til de nye kodene, som er gylne S-proporsjoner, med S> 0 viser seg å være irrasjonelle tall. Dermed ser nye tallsystemer med irrasjonelle baser ut til å sette det historisk etablerte hierarkiet av relasjoner mellom rasjonelle og irrasjonelle tall "fra topp til fot." Faktum er at naturlige tall først ble "oppdaget"; da er forholdstallene deres rasjonelle tall. Og først senere - etter oppdagelsen av inkommensurable segmenter av pytagoreerne - ble irrasjonelle tall født. For eksempel, i desimal-, quinær-, binær- og andre klassiske posisjonstallsystemer ble naturlige tall valgt som et slags grunnleggende prinsipp - 10, 5, 2 - hvorav visse regler alle andre naturlige tall, så vel som rasjonelle og irrasjonelle tall, ble konstruert.

Et slags alternativ til eksisterende notasjonsmetoder er et nytt, irrasjonelt system, som et grunnleggende prinsipp, hvis begynnelse er et irrasjonelt tall (som, husker du, er roten til det gyldne snitt-ligningen); andre reelle tall er allerede uttrykt gjennom den.

I et slikt tallsystem kan evt naturlig tall alltid representert som endelig - og ikke uendelig, som tidligere antatt! - summen av grader av noe av gullet S-proporsjoner. Dette er en av grunnene til at "irrasjonell" aritmetikk, med fantastisk matematisk enkelhet og eleganse, ser ut til å ha absorbert beste kvaliteter klassisk binær og Fibonacci-aritmetikk.

Prinsipper for dannelse i naturen

Alt som tok en eller annen form ble dannet, vokste, strebet etter å ta plass i rommet og bevare seg selv. Dette ønsket realiseres hovedsakelig i to alternativer - å vokse oppover eller spre seg over jordens overflate og vri seg i en spiral.

Skallet er vridd i en spiral. Bretter du den ut får du en lengde litt kortere enn lengden på slangen. Et lite ti-centimeters skall har en spiral på 35 cm. Spiraler er svært vanlige i naturen. Ideen om det gylne snitt vil være ufullstendig uten å snakke om spiralen.

Ris. 12. Arkimedes spiral

Formen på det spiralkrøllede skallet tiltrakk seg oppmerksomheten til Archimedes. Han studerte det og kom opp med en ligning for spiralen. Spiralen tegnet i henhold til denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i teknologi.

Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Samarbeid Botanikere og matematikere kaster lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at Fibonacci-serien manifesterer seg i arrangementet av blader på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og furukongler, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. Skremt flokk reinsdyr spiraler bort. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Ris. 1. 3. Sikori

Skuddet gjør et kraftig utkast ut i rommet, stopper, slipper et blad, men denne gangen er det kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av en enda mindre størrelse og skytes ut igjen . Hvis det første utslippet tas som 100 enheter, er det andre lik 62 enheter, det tredje - 38, det fjerde - 24, etc. Lengden på kronbladene er også underlagt den gyldne proporsjonen. I å vokse og erobre plass opprettholdt planten visse proporsjoner. Vekstimpulsene avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.

Ris. 14. Viviparøs øgle

Ved første øyekast har øglen proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Både i plante- og dyreverdenen bryter naturens dannelsestendens vedvarende gjennom - symmetri om vekstretning og bevegelsesretning. Her vises det gylne snitt i proporsjonene av deler vinkelrett på vekstretningen.

Naturen har gjennomført inndeling i symmetriske deler og gylne proporsjoner. Delene avslører en repetisjon av strukturen i helheten.

Ris. 15. fugleegg

Den store Goethe, en poet, naturforsker og kunstner (han tegnet og malte i akvareller), drømte om å skape en enhetlig doktrine om form, dannelse og transformasjon av organiske kropper. Det var han som introduserte begrepet morfologi i vitenskapelig bruk.

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av dette århundret en rekke dyptgripende ideer om symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til miljøets symmetri.

Mønstrene til "gylden" symmetri manifesteres i energioverganger elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetarisk og romsystemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, eksisterer i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og manifesterer seg også i biorytmene og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

Gyldent snitt og symmetri

Det gylne snitt kan ikke vurderes alene, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wulf (1863...1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

Den gyldne divisjonen er ikke en manifestasjon av asymmetri, noe motsatt av symmetri I følge moderne ideer er den gyldne divisjon asymmetrisk symmetri. Vitenskapen om symmetri inkluderer slike begreper som statisk Og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kjennetegner fred og balanse, mens dynamisk symmetri kjennetegner bevegelse og vekst. I naturen er statisk symmetri således representert av strukturen til krystaller, og i kunsten karakteriserer den fred, balanse og immobilitet. Dynamisk symmetri uttrykker aktivitet, karakteriserer bevegelse, utvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er preget av like segmenter og like verdier. Dynamisk symmetri er preget av en økning i segmenter eller deres reduksjon, og det uttrykkes i verdiene til det gyldne snitt i en økende eller avtagende serie.

Enhver person som i det minste indirekte har møtt geometrien til romlige objekter i interiørdesign og arkitektur er sannsynligvis godt klar over prinsippet om det gylne snitt. Inntil nylig, for flere tiår siden, var populariteten til det gylne snitt så høy at mange tilhengere av mystiske teorier og verdens struktur kaller det den universelle harmoniske regelen.

Essensen av universell proporsjon

Overraskende annerledes. Årsaken til den partiske, nesten mystiske holdningen til en så enkel numerisk avhengighet var flere uvanlige egenskaper:

Et stort antall gjenstander i den levende verden, fra virus til mennesker, har grunnleggende kropps- eller lemmerproporsjoner svært nær verdien av det gylne snitt;
Avhengigheten på 0,63 eller 1,62 er typisk bare for biologiske skapninger og noen typer livløse gjenstander, fra mineraler til landskapselementer, har ekstremt sjelden geometrien til det gylne snitt;
Gyldne proporsjoner i kroppsstruktur viste seg å være det mest optimale for overlevelse av ekte biologiske objekter.

I dag finnes det gylne snitt i strukturen til dyrekroppen, skjell og skjell av bløtdyr, proporsjoner av blader, grener, stammer og rotsystemer av ganske stort nummer busker og urter.

Mange tilhengere av teorien om universaliteten til det gylne snitt har gjentatte ganger gjort forsøk på å bevise det faktum at proporsjonene er de mest optimale for biologiske organismer under betingelsene for deres eksistens.

Strukturen til skallet til Astreae Heliotropium, en av de marine bløtdyrene, er vanligvis gitt som et eksempel. Skallet er et kveilet kalsittskall med en geometri som praktisk talt sammenfaller med proporsjonene til det gylne snitt.

Et mer forståelig og åpenbart eksempel er et vanlig kyllingegg.

Forholdet mellom hovedparametrene, nemlig det store og det lille fokuset, eller avstandene fra ekvidistante punkter på overflaten til tyngdepunktet, vil også tilsvare det gylne snitt. Samtidig er formen på et fugleeggskall den mest optimale for overlevelse av fuglen som biologisk art. I dette tilfellet spiller ikke styrken på skallet noen stor rolle.

Til din informasjon! Det gyldne snitt, også kalt den universelle andelen av geometri, ble oppnådd som et resultat av et stort antall praktiske målinger og sammenligninger av størrelsene på ekte planter, fugler og dyr.

Opprinnelsen til universell proporsjon

De gamle greske matematikerne Euklid og Pythagoras visste om det gylne snittet i snittet. I et av monumentene gammel arkitektur- Cheops-pyramiden har et forhold mellom sider og base, individuelle elementer og veggbasrelieffer er laget i samsvar med den universelle proporsjonen.

Det gylne snitt-teknikken ble mye brukt i middelalderen av kunstnere og arkitekter, mens essensen av universelle proporsjoner ble ansett som en av universets hemmeligheter og ble nøye skjult for den vanlige mannen. Sammensetningen av mange malerier, skulpturer og bygninger ble bygget strengt i samsvar med proporsjonene til det gylne snitt.

Essensen av universelle proporsjoner ble først dokumentert i 1509 av fransiskanermunken Luca Pacioli, som hadde strålende matematiske evner. Men reell anerkjennelse fant sted etter at den tyske forskeren Zeising gjennomførte en omfattende studie av proporsjonene og geometrien til menneskekroppen, eldgamle skulpturer, kunstverk, dyr og planter.

I de fleste levende gjenstander er noen kroppsdimensjoner underlagt de samme proporsjonene. I 1855 konkluderte forskerne at proporsjonene til det gylne snitt er en slags standard for harmonien mellom kropp og form. Det handler om For det første, om levende vesener, er det gyldne snitt mye mindre vanlig.

Hvordan få det gylne snitt

Det gylne snitt er lettest representert som forholdet mellom to deler av en gjenstand forskjellige lengder, atskilt med en prikk.

Enkelt sagt, hvor mange lengder av et lite segment vil passe inn i et stort, eller forholdet mellom den største delen og hele lengden av et lineært objekt. I det første tilfellet er det gyldne snittet 0,63, i det andre tilfellet er sideforholdet 1,618034.

I praksis er det gyldne snitt bare en proporsjon, forholdet mellom segmenter av en viss lengde, sider av et rektangel eller andre geometriske former, relaterte eller konjugerte dimensjonale egenskaper til virkelige objekter.

Opprinnelig ble de gylne proporsjonene utledet empirisk ved hjelp av geometriske konstruksjoner. Det er flere måter å konstruere eller utlede harmoniske proporsjoner på:

Til din informasjon! I motsetning til det klassiske gylne snittet, innebærer den arkitektoniske versjonen et sideforhold på 44:56.

Hvis standardversjonen av det gylne snitt for levende vesener, malerier, grafikk, skulpturer og eldgamle bygninger ble beregnet til 37:63, så begynte det gyldne snitt i arkitekturen fra slutten av 1600-tallet i økende grad å bli brukt som 44:56. De fleste eksperter anser endringen til fordel for mer "firkantede" proporsjoner for å være spredningen av høyhuskonstruksjon.

Hovedhemmeligheten til det gylne snitt

Hvis de naturlige manifestasjonene av den universelle seksjonen i proporsjonene til kroppene til dyr og mennesker, kan stammebasen til planter fortsatt forklares av evolusjon og tilpasningsevne til påvirkningen fra det ytre miljø, så oppdagelsen av det gylne snitt i konstruksjonen av hus fra 1100- og 1800-tallet kom som en viss overraskelse. Dessuten ble det berømte antikke greske Parthenon bygget i samsvar med universelle proporsjoner, mange hus og slott til velstående adelsmenn og velstående mennesker i middelalderen ble bevisst bygget med parametere som var svært nær det gylne snitt.

Gyldent snitt i arkitektur

Mange av bygningene som har overlevd til i dag indikerer at middelalderens arkitekter visste om eksistensen av det gyldne snitt, og selvfølgelig ble de styrt av deres primitive beregninger og avhengigheter når de bygget et hus, med hjelp hvorav de prøvde å oppnå maksimal styrke. Ønsket om å bygge de vakreste og mest harmoniske husene var spesielt tydelig i bygningene til boliger til regjerende personer, kirker, rådhus og bygninger av spesiell samfunnsmessig betydning i samfunnet.

For eksempel har den berømte Notre Dame-katedralen i Paris mange seksjoner og dimensjonelle kjeder i sine proporsjoner som tilsvarer det gylne snitt.

Allerede før publiseringen av hans forskning i 1855 av professor Zeising, på slutten av 1700-tallet ble de berømte arkitektoniske kompleksene til Golitsyn-sykehuset og senatbygningen i St. Petersburg, Pashkov-huset og Petrovsky-palasset i Moskva bygget ved hjelp av proporsjoner av det gylne snitt.

Selvfølgelig har hus blitt bygget i streng overensstemmelse med regelen for det gylne snitt før. Det er verdt å nevne det gamle arkitektoniske monumentet til Church of the Intercession on the Nerl, vist i diagrammet.

Alle av dem er forent ikke bare av en harmonisk kombinasjon av former og høy kvalitet konstruksjon, men også for det første tilstedeværelsen av det gylne snitt i bygningens proporsjoner. Bygningens fantastiske skjønnhet blir enda mer mystisk hvis vi tar hensyn til dens alder. Bygningen til forbønnskirken dateres tilbake til 1200-tallet, men bygningen fikk sitt moderne arkitektoniske utseende på begynnelsen av 1600-tallet. resultat av restaurering og gjenoppbygging.

Funksjoner av det gylne snitt for mennesker

Den eldgamle arkitekturen til bygninger og hus fra middelalderen er fortsatt attraktiv og interessant for moderne mann av mange grunner:

Individuell kunststil i utformingen av fasader unngår den moderne klisjeer og sløvhet, hver bygning er et kunstverk;
Massiv bruk for å dekorere og dekorere statuer, skulpturer, stukkaturlister, uvanlige kombinasjoner av byggeløsninger fra forskjellige tidsepoker;
Bygningens proporsjoner og sammensetning trekker blikket til de viktigste elementene i bygget.

Viktig! Når du skal designe et hjem og utvikle utseende middelalderske arkitekter brukte regelen om det gylne snitt, ubevisst ved å bruke særegenhetene ved oppfatningen av den menneskelige underbevisstheten.

Moderne psykologer har eksperimentelt bevist at det gyldne snitt er en manifestasjon av en persons ubevisste ønske eller reaksjon på en harmonisk kombinasjon eller proporsjon i størrelser, former og til og med farger. Det ble utført et eksperiment der en gruppe mennesker som ikke kjente hverandre, ikke hadde felles interesser, ulike yrker og alderskategorier, ble tilbudt en serie tester, blant annet oppgaven med å bøye et ark i det meste. optimal sideandel. Basert på testresultatene ble det funnet at i 85 tilfeller av 100 ble arket bøyd av forsøkspersonene nesten nøyaktig i henhold til det gylne snitt.

Derfor moderne vitenskap mener at fenomenet med universelle proporsjoner er et psykologisk fenomen, og ikke handlingen til noen metafysiske krefter.

Bruker den universelle seksjonsfaktoren i moderne design og arkitektur

Prinsippene for å bruke den gyldne proporsjonen har blitt ekstremt populære i bygging av private hus de siste årene. I stedet for økologi og sikkerhet byggematerialer kom harmonien i designet og riktig fordeling av energi inne i huset.

Den moderne tolkningen av regelen om universell harmoni har lenge spredt seg utover den vanlige geometrien og formen til et objekt. I dag er regelen underlagt ikke bare de dimensjonale kjedene av lengden på portikoen og pedimentet, individuelle elementer av fasaden og høyden på bygningen, men også arealet av rom, vindus- og døråpninger, og til og med fargevalg av interiøret i rommet.

Den enkleste måten å bygge et harmonisk hus på er på modulbasert basis. I dette tilfellet er de fleste avdelinger og rom laget i form av uavhengige blokker eller moduler, designet i samsvar med regelen om det gylne snitt. Å bygge en bygning i form av et sett med harmoniske moduler er mye enklere enn å bygge en boks, der det meste av fasaden og interiøret må være innenfor den strenge rammen av proporsjonene i det gyldne snitt.

Mange byggefirmaer som designer private husholdninger bruker prinsippene og konseptene til det gylne snitt for å øke kostnadsestimatet og gi kundene inntrykk av at utformingen av huset er gjennomarbeidet. Som regel er et slikt hus erklært å være veldig praktisk og harmonisk å bruke. Et riktig valgt forhold mellom romområder garanterer åndelig komfort og utmerket helse til eierne.

Hvis huset ble bygget uten å ta hensyn til de optimale forholdene til det gylne snittet, kan du redesigne rommene slik at proporsjonene til rommet tilsvarer forholdet mellom veggene i forholdet 1:1,61. For å gjøre dette kan møbler flyttes eller flere skillevegger installeres inne i rommene. På samme måte endres dimensjonene på vindu og døråpninger slik at bredden på åpningen er 1,61 ganger mindre enn høyden på dørbladet. Møbelplanlegging gjøres på samme måte, husholdningsapparater, vegg- og gulvbehandling.

Det er vanskeligere å velge et fargevalg. I dette tilfellet, i stedet for det vanlige forholdet 63:37, vedtok tilhengere av den gyldne regelen en forenklet tolkning - 2/3. Det vil si at hovedfargebakgrunnen skal okkupere 60% av rommet i rommet, ikke mer enn 30% skal gis til skyggefargen, og resten tildeles forskjellige relaterte toner, designet for å forbedre oppfatningen av fargeskjemaet .

De innvendige veggene i rommet er delt av et horisontalt belte eller kant i en høyde på 70 cm installerte møbler skal stå i forhold til takhøyden i henhold til det gylne snitt. Den samme regelen gjelder for fordeling av lengder, for eksempel bør størrelsen på en sofa ikke overstige 2/3 av lengden på skilleveggen, og Totalt areal okkupert av møbler forholder seg til arealet av rommet som 1:1.61.

Den gyldne proporsjonen er vanskelig å bruke i praksis i stor skala på grunn av bare én tverrsnittsverdi, derfor tyr de ofte til en serie med Fibonacci-tall når de designer harmoniske bygninger. Dette lar deg utvide antall mulige alternativer for proporsjoner og geometriske former for hovedelementene i huset. I dette tilfellet kalles en serie med Fibonacci-tall sammenkoblet av et klart matematisk forhold harmonisk eller gyldent.

I den moderne metoden for å designe boliger basert på prinsippet om det gylne snitt, i tillegg til Fibonacci-serien, er prinsippet foreslått av den berømte franske arkitekten Le Corbusier mye brukt. I dette tilfellet velges høyden til den fremtidige eieren eller gjennomsnittshøyden til en person som startmåleenheten som alle parametere til bygningen og interiøret beregnes etter. Denne tilnærmingen lar deg designe et hus som ikke bare er harmonisk, men også virkelig individuelt.

Konklusjon

I praksis, ifølge anmeldelser fra de som bestemte seg for å bygge et hus i henhold til regelen for det gylne snitt, viser en godt bygget bygning seg faktisk å være ganske komfortabel å leve. Men kostnadene for bygningen på grunn av individuell design og bruk av byggematerialer av ikke-standardstørrelser øker med 60-70%. Og det er ikke noe nytt i denne tilnærmingen, siden de fleste bygninger i forrige århundre ble bygget spesielt under individuelle egenskaper fremtidige eiere.

Gyldent snitt - matematikk

Gyldent forhold - harmonisk proporsjon

I matematikk er proporsjon (lat. proportio) likheten mellom to forhold: a: b = c: d.
Et rett linjesegment AB kan deles inn i to deler på følgende måter:
i to like deler – AB: AC = AB: BC;
i to ulike deler på noen måte (slike deler danner ikke proporsjoner);
altså når AB: AC = AC: BC.
Sistnevnte er den gylne inndelingen eller inndelingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold.
Det gylne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet er relatert til den større delen som den større delen selv er relatert til den mindre; eller med andre ord, det mindre segmentet er til det større som det større er for helheten

a: b = b: c eller c: b = b: a.

Ris. 1. Geometrisk bilde av det gylne snitt

Praktisk bekjentskap med det gyldne snitt begynner med å dele et rett linjesegment i den gyldne proporsjonen ved hjelp av et kompass og linjal.

Ris. 2. Inndeling av et rett linjestykke i henhold til det gylne snitt. BC = 1/2 AB; CD = BC

Fra punkt B gjenopprettes en perpendikulær lik halve AB. Det resulterende punktet C er forbundet med en linje til punktet A. På den resulterende linjen legges et stykke BC, som slutter med punktet D. Stykket AD overføres til den rette linjen AB. Det resulterende punktet E deler segmentet AB i den gylne proporsjonen.

Segmenter av den gylne andelen uttrykkes ved den uendelige irrasjonelle brøken AE = 0,618..., hvis AB tas som en, BE = 0,382... For praktiske formål brukes ofte omtrentlige verdier på 0,62 og 0,38. Hvis segment AB tas til å være 100 deler, er den største delen av segmentet 62, og den mindre delen er 38 deler.

Egenskapene til det gylne snitt er beskrevet av ligningen:
x2 – x – 1 = 0.

Løsning på denne ligningen:

Egenskapene til det gylne snitt har skapt en romantisk aura av mystikk og nesten mystisk tilbedelse rundt dette nummeret.

Andre gylne snitt

Det bulgarske magasinet “Fatherland” (nr. 10, 1983) publiserte en artikkel av Tsvetan Tsekov-Karandash “On the second golden section”, som følger av hoveddelen og gir et annet forhold på 44:56.
Denne andelen finnes i arkitektur, og oppstår også når man konstruerer komposisjoner av bilder av et langstrakt horisontalt format.

Inndelingen utføres som følger. Segment AB er delt inn etter det gylne snitt. Fra punkt C gjenopprettes en vinkelrett CD. Radius AB er punkt D, som er forbundet med en linje til punkt A. Rett vinkel ACD er delt i to. Det trekkes en linje fra punkt C til skjæringspunktet med linje AD. Punktet deler segmentet AD i forholdet 56:44.

Ris. 3. Konstruksjon av det andre gylne snitt

Ris. 4. Å dele et rektangel med linjen til det andre gylne snittet

Figuren viser posisjonen til linjen til det andre gylne snittet. Den er plassert midt mellom den gyldne snittlinjen og midtlinjen i rektangelet.

Gylden trekant

For å finne segmenter av den gylne andelen av stigende og synkende serier, kan du bruke pentagrammet.

Ris. 5. Konstruksjon av en vanlig femkant og pentagram

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for konstruksjonen ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Durer (1471...1528). La O være sentrum av sirkelen, A et punkt på sirkelen og E midtpunktet av segment OA. Perpendikulæren til radius OA, gjenopprettet ved punkt O, skjærer sirkelen ved punkt D. Bruk et kompass og plott segmentet CE = ED på diameteren. Sidelengden til en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er lik DC. Vi plotter segmentene DC på sirkelen og får fem poeng for å tegne en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene av femkanten gjennom hverandre med diagonaler og får et femkant. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.
Hver ende av den femkantede stjernen representerer en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen, lagt på siden, deler den i forholdet til det gylne snitt.

Vi tegner rett AB. Fra punkt A legger vi et segment av vilkårlig størrelse på det tre ganger, gjennom det resulterende punktet P trekker vi en vinkelrett på linjen AB, på vinkelrett til høyre og venstre for punktet P legger vi segmenter O. Vi kobler de resulterende punktene d. og d1 med rette linjer til punkt A. Vi legger segmentet dd1 på linje Ad1, og oppnår punkt C. Hun delte linjen Ad1 i forhold til det gylne snitt. Linjene Ad1 og dd1 brukes til å konstruere et "gyllent" rektangel.

Ris. 6. Konstruksjon av den gylne trekanten

Historien om det gylne snitt

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) visste også om den gylne inndelingen. Dialogen hans "Timaeus" er viet til de matematiske og estetiske synspunktene til den pythagorasiske skolen og spesielt til spørsmålene om den gylne divisjonen.
Fasaden til det gamle greske tempelet i Parthenon har gylne proporsjoner. Under utgravningene ble det oppdaget kompass som ble brukt av arkitekter og skulptører fra den antikke verden. Det pompeianske kompasset (museet i Napoli) inneholder også proporsjonene til den gylne inndelingen.

Ris. 8. Antikk kompass med gyldne snitt

I den gamle litteraturen som har kommet ned til oss, ble den gyldne inndelingen først nevnt i Euklids elementer. I den andre boken til "Prinsipene" er den geometriske konstruksjonen av den gyldne inndelingen gitt etter Euclid, ble studien av den gyldne inndelingen utført av Hypsicles (2. århundre f.Kr.), Pappus (III århundre e.Kr.) og andre middelalderens Europa, med den gylne inndelingen Vi møttes gjennom arabiske oversettelser av Euklids elementer. Oversetteren J. Campano fra Navarra (III århundre) kom med kommentarer til oversettelsen. Hemmelighetene til den gylne divisjonen ble nidkjært bevoktet og holdt i streng hemmelighet. De var bare kjent for innviede.
Under renessansen økte interessen for den gyldne divisjonen blant forskere og kunstnere på grunn av dens bruk i både geometri og kunst, spesielt innen arkitektur, Leonardo da Vinci, en kunstner og vitenskapsmann, så at italienske kunstnere hadde mye empirisk erfaring, men lite. kunnskap. Han ble unnfanget og begynte å skrive en bok om geometri, men på den tiden dukket det opp en bok av munken Luca Pacioli, og Leonardo forlot ideen. I følge samtidige og vitenskapshistorikere var Luca Pacioli en ekte lysmann, den største matematikeren i Italia i perioden mellom Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev av kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøker, hvorav den ene ble kalt «On Perspective in Painting». Han regnes som skaperen av beskrivende geometri.
Luca Pacioli forsto perfekt betydningen av vitenskap for kunst. I 1496, på invitasjon fra hertugen av Moreau, kom han til Milano, hvor han foreleste om matematikk. Leonardo da Vinci jobbet også i Milano ved Moro-domstolen på den tiden. I 1509 ble Luca Paciolis bok "The Divine Proportion" utgitt i Venezia med strålende utførte illustrasjoner, og det er derfor det antas at de ble laget av Leonardo da Vinci. Boken var en entusiastisk salme til det gylne snitt. Blant de mange fordelene med den gyldne proporsjon, unnlot ikke munken Luca Pacioli å navngi dens "guddommelige essens" som et uttrykk for den guddommelige treenigheten - Gud Sønnen, Gud Faderen og Gud Den Hellige Ånd (det ble antydet at den lille segmentet er personifiseringen av Gud Sønnen, det større segmentet er Faderens Gud, og hele segmentet - Den Hellige Ånds Gud).
Leonardo da Vinci ga også mye oppmerksomhet til studiet av den gylne divisjonen. Han laget seksjoner av en stereometrisk kropp dannet av vanlige femkanter, og hver gang fikk han rektangler med sideforhold i den gylne inndelingen. Derfor ga han denne inndelingen navnet gyldne snitt. Så den er fortsatt den mest populære.
Samtidig, i Nord-Europa, i Tyskland, jobbet Albrecht Dürer med de samme problemene. Han skisserer innledningen til den første versjonen av avhandlingen om proporsjoner. Dürer skriver. «Det er nødvendig at noen som vet hvordan man gjør noe, skal lære det til andre som trenger det. Dette er hva jeg satte meg for å gjøre."
Etter et av Dürers brev å dømme møtte han Luca Pacioli mens han var i Italia. Albrecht Durer utvikler i detalj teorien om proporsjoner av menneskekroppen. Dürer tildelte det gylne snitt en viktig plass i sitt system av relasjoner. En persons høyde er delt i gylne proporsjoner av beltets linje, så vel som av en linje trukket gjennom tuppene av langfingrene på de senkede hendene, den nedre delen av ansiktet ved munnen, etc. Dürers proporsjonalkompass er velkjent.
Stor astronom på 1500-tallet. Johannes Kepler kalte det gylne snitt for en av geometriens skatter. Han var den første som gjorde oppmerksom på betydningen av den gyldne proporsjon for botanikk (plantevekst og deres struktur).
Kepler kalte den gyldne andelen selv-fortsatt "Den er strukturert på en slik måte," skrev han, "at de to laveste leddene i denne uendelige andelen summerer seg til den tredje termen, og eventuelle to siste ledd, hvis de legges sammen. , gi neste ledd, og den samme andelen forblir til uendelig."
Konstruksjonen av en serie segmenter av den gylne andelen kan gjøres både i retning av økning (økende serie) og i retning av nedgang (synkende serie).
Hvis vi legger til side segment m på en rett linje med vilkårlig lengde, legger vi til side segment M ved siden av. Basert på disse to segmentene bygger vi en skala av segmenter av den gyldne andelen av den stigende og synkende rekken.

Ris. 9. Konstruksjon av en skala av segmenter av det gylne snitt

Ris. 10. Gylne proporsjoner i deler av menneskekroppen

Zeising gjorde en kjempejobb. Han målte rundt to tusen menneskekropper og kom til den konklusjon at det gylne snitt uttrykker den gjennomsnittlige statistiske loven. Delingen av kroppen etter navlepunktet er den viktigste indikatoren på det gylne snitt. Andelene til den mannlige kroppen svinger innenfor gjennomsnittsforholdet 13: 8 = 1,625 og er noe nærmere det gyldne snitt enn proporsjonene til kvinnekroppen, i forhold til hvilken gjennomsnittsverdien av andelen er uttrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, ved 13 års alder er den 1,6, og ved 21 år er den lik en mann. Proporsjonene til det gyldne snitt vises også i forhold til andre deler av kroppen - lengden på skulderen, underarmen og hånden, hånd og fingre, etc.

Ris. 11. Gylne proporsjoner i menneskefiguren

På slutten av 1800-tallet – begynnelsen av 1900-tallet. Mange rent formalistiske teorier dukket opp om bruken av det gylne snitt i kunstverk og arkitektur. Med utviklingen av design og teknisk estetikk utvidet loven om det gylne snitt seg til design av biler, møbler osv.

Fibonacci-serien

En serie med tall 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. kjent som Fibonacci-serien. Det særegne ved tallsekvensen er at hver av dens medlemmer, fra den tredje, er lik summen av de to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellom tilstøtende tall i serien nærmer seg forholdet mellom den gylne divisjonen. Så, 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forholdet er betegnet med symbolet F. Bare dette forholdet - 0,618: 0,382 - gir en kontinuerlig inndeling av et rett linjesegment i den gylne proporsjonen, øker eller reduserer den til uendelig, når det mindre segmentet er relatert til det større som den større er til alt.

Generalisert gyldent snitt

En av prestasjonene på dette feltet er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serien med vekter oppdaget av ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øyekast er helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, i det andre er det summen av de to foregående tallene 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Er det mulig å finne en generell matematisk formel som både den "binære" serien og Fibonacci-serien er hentet fra? Eller kanskje denne formelen vil gi oss nye numeriske sett som har noen nye unike egenskaper?

Faktisk, la oss angi den numeriske parameteren S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tenk på en tallserie, S+ 1 av de første leddene er enheter, og hver av de påfølgende er lik summen av to ledd av den forrige og atskilt fra den forrige med S trinn. Hvis n Vi betegner det tredje leddet i denne rekken med φ S (n), så får vi den generelle formelen φ S ( n) = φ S ( n– 1) + φ S (n – S – 1).

Det er åpenbart at når S= 0 fra denne formelen får vi en "binær" serie, med S= 1 – Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. ny serie med tall, som kalles S-Fibonacci-tall.

Generelt gyldent S-proporsjon er den positive roten til den gyldne ligningen S-seksjoner x S+1 – x S – 1 = 0.

Det er lett å vise at ved S = 0 er segmentet delt i to, og ved S = 1 resulterer det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdene til nærliggende Fibonacci S-tall sammenfaller med absolutt matematisk nøyaktighet i grensen med de gylne S-proporsjonene! Matematikere sier i slike tilfeller at de gylne S-forholdene er numeriske invarianter av Fibonacci S-tallene.

Fakta som bekrefter eksistensen av gylne S-snitt i naturen er gitt av den hviterussiske forskeren E.M. Soroko i boken "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser seg for eksempel at godt studerte binære legeringer har spesielle, utpregede funksjonelle egenskaper (termisk stabile, harde, slitesterke, motstandsdyktige mot oksidasjon, etc.) bare hvis egenvekten til de originale komponentene er relatert til hverandre med en av gylne S-proporsjoner. Dette tillot forfatteren å fremsette hypotesen om at de gylne S-snittene er numeriske invarianter av selvorganiserende systemer. Når den først er bekreftet eksperimentelt, kan denne hypotesen være av grunnleggende betydning for utviklingen av synergetikk, et nytt vitenskapsfelt som studerer prosesser i selvorganiserende systemer.

Ved å bruke gylne S-proporsjonskoder kan du uttrykke et hvilket som helst reelt tall som en sum av potenser av gylne S-proporsjoner med heltallskoeffisienter.

Den grunnleggende forskjellen mellom denne metoden for å kode tall er at basisen til de nye kodene, som er de gyldne S-proporsjonene, viser seg å være irrasjonelle tall når S> 0. Dermed ser nye tallsystemer med irrasjonelle baser ut til å sette det historisk etablerte hierarkiet av relasjoner mellom rasjonelle og irrasjonelle tall "fra topp til fot." Faktum er at naturlige tall først ble "oppdaget"; da er forholdstallene deres rasjonelle tall. Og først senere - etter at pytagoreerne oppdaget inkommensurable segmenter - ble irrasjonelle tall født. For eksempel, i desimale, quinære, binære og andre klassiske posisjonelle tallsystemer ble naturlige tall valgt som et slags grunnleggende prinsipp - 10, 5, 2 - hvorfra, i henhold til visse regler, alle andre naturlige tall, så vel som rasjonelle tall. og irrasjonelle tall, ble konstruert.

I et slikt tallsystem kan ethvert naturlig tall alltid representeres som endelig – og ikke uendelig, som tidligere antatt! – summen av potensene til noen av de gylne S-proporsjonene. Dette er en av grunnene til at "irrasjonell" aritmetikk, med fantastisk matematisk enkelhet og eleganse, ser ut til å ha absorbert de beste egenskapene til klassisk binær og "Fibonacci" aritmetikk.

Prinsipper for dannelse i naturen

Ris. 12. Archimedes Spiral

Goethe la også vekt på naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, kongler, ananas, kaktus, etc. Botanikernes og matematikernes felles arbeid har kastet lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at Fibonacci-serien manifesterer seg i arrangementet av blader på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og furukongler, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen vever nettet i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant urtene langs veien vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. Et skudd har dannet seg fra hovedstammen. Det første bladet lå akkurat der.

Ris. 13. Sikori

Ris. 15. Fugleegg

Lovene om "gylden" symmetri manifesteres i energiovergangene til elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, eksisterer i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og manifesterer seg også i biorytmene og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

Gyldent snitt og symmetri

Det gylne snitt kan ikke vurderes alene, separat, uten sammenheng med symmetri. Den store russiske krystallografen G.V. Wolf (1863...1925) anså det gylne snitt for å være en av manifestasjonene av symmetri.

Den gyldne divisjonen er ikke en manifestasjon av asymmetri, noe motsatt av symmetri I følge moderne ideer er den gyldne divisjon asymmetrisk symmetri. Vitenskapen om symmetri inkluderer slike begreper som statisk og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kjennetegner fred og balanse, mens dynamisk symmetri kjennetegner bevegelse og vekst. I naturen er statisk symmetri således representert av strukturen til krystaller, og i kunsten karakteriserer den fred, balanse og immobilitet. Dynamisk symmetri uttrykker aktivitet, karakteriserer bevegelse, utvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er preget av like segmenter og like verdier. Dynamisk symmetri er preget av en økning i segmenter eller deres reduksjon, og det uttrykkes i verdiene til det gyldne snitt i en økende eller avtagende serie.

18.04.2011 A. F. Afanasyev Oppdatert 16.06.12

Dimensjoner og proporsjoner er en av hovedoppgavene i søket etter et kunstnerisk bilde av ethvert plastisk kunstverk. Det er klart at spørsmålet om størrelse avgjøres under hensyntagen til rommet der det skal ligge og gjenstandene rundt det.

Når vi snakker om proporsjoner (forholdet mellom dimensjonsverdier), tar vi hensyn til dem i formatet til et flatt bilde (maleri, marquetry), i forholdet mellom de totale dimensjonene (lengde, høyde, bredde) til et volumetrisk objekt, i forholdet mellom to objekter av ett ensemble forskjellig i høyde eller lengde, i forholdet størrelsene på to klart synlige deler av samme objekt, etc.

I klassikerne innen kunst i mange århundrer har en teknikk for å konstruere proporsjoner blitt sporet, kalt det gylne snitt, eller det gylne tallet (dette begrepet ble introdusert av Leonardo da Vinci). Prinsippet for det gyldne snitt, eller dynamisk symmetri, er at "forholdet mellom to deler av en enkelt helhet er lik forholdet mellom dens største del og helheten" (eller følgelig helheten til den større delen). Matematisk er dette

tallet er uttrykt som - 1 ± 2?5 - som gir 1,6180339... eller 0,6180339... I kunst er 1,62 tatt som det gylne tall, dvs. et omtrentlig uttrykk for forholdet mellom en større verdi i forhold til dens mindre verdi .
Fra omtrentlig til mer nøyaktig kan dette forholdet uttrykkes: osv., hvor: 5+3=8, 8+5=13 osv. Eller: 2,2:3,3:5,5:8 ,8 osv. ., hvor 2,2+3,3-5,5 osv.

Grafisk kan det gyldne snitt uttrykkes ved forholdet mellom segmenter oppnådd ved forskjellige konstruksjoner. Mer praktisk, etter vår mening, er konstruksjonen vist i fig. 169: hvis du legger den korte siden til diagonalen til en halv firkant, får du en verdi i forholdet mellom det gylne tallet og langsiden.

Ris. 169. Geometrisk konstruksjon av et rektangel i det gylne snitt 1,62: 1. Gyldent tall 1,62 i forhold til segmentene (a og b)

Ris. 170. Grafisk konstruksjon av funksjonen gyldne snitt 1,12:1

Andel av to gylne snitt

skaper en visuell følelse av harmoni og balanse. Det er et annet harmonisk forhold mellom to tilstøtende mengder, uttrykt med tallet 1,12. Det er en funksjon av det gyldne tallet: hvis du tar forskjellen mellom to verdier av det gyldne snitt, deler det også i det gyldne snitt og legger hver brøk til den minste verdien av det opprinnelige gyldne snitt, får du et forhold på 1,12 (fig. 170). I denne relasjonen er for eksempel det midterste elementet (hyllen) tegnet i bokstavene H, R, Z osv. i noen fonter, proporsjoner av høyde og bredde er tatt for brede bokstaver, denne relasjonen finnes også i naturen.

Det gylne tallet observeres i proporsjonene til en harmonisk utviklet person (fig. 171): lengden på hodet deler avstanden fra midjen til toppen av hodet i det gylne snitt; kneskålen deler også avstanden fra midjen til fotsålen; spissen av langfingeren til en utstrakt hånd deler hele høyden til en person i den gylne proporsjonen; Forholdet mellom fingrenes falanger er også et gyldent tall. Det samme fenomenet er observert i andre strukturer i naturen: i spiralene til bløtdyr, i kronene til blomster, etc.

Ris. 172. Gylne proporsjoner av et utskåret geraniumblad (pelargonium). Konstruksjon: 1) Ved hjelp av en skalagraf (se fig. 171) bygger vi? ABC,	Ris. 173. Fembladede og trebladede drueblader. Forholdet mellom lengde og bredde er 1,12. Det gylne snitt er uttrykt

I fig. 172 og 173 viser konstruksjonen av et mønster av et geranium (pelargonium) blad og et drueblad i proporsjonene av gylne tall 1,62 og 1,12. I et geraniumblad er konstruksjonen basert på to trekanter: ABC og CEF, hvor forholdet mellom høyden og bunnen av hver av dem er uttrykt med tallene 0,62 og 1,62, og avstandene mellom de tre parene av de fjerneste punktene av bladet er like: AB=CE=SF. Konstruksjonen er angitt på tegningen. Utformingen av et slikt blad er typisk for geranier, som har lignende utskårne blader.

Det generaliserte platanbladet (fig. 173) har samme proporsjoner som druebladet, i forholdet 1,12, men den største andelen av druebladet er lengden, og platanbladet er bredden. Platanbladet har tre proporsjonale størrelser i forholdet 1,62. En slik korrespondanse i arkitektur kalles en triade (for fire proporsjoner - tetrad og videre: pectad, heksode).

I fig. 174 viser en metode for å konstruere et lønneblad i proporsjonene til det gylne snitt. Med et forhold mellom bredde og lengde på 1,12 har den flere proporsjoner med tallet 1,62. Konstruksjonen er basert på to trapeser, der forholdet mellom høyden og lengden på basen er uttrykt med et gyldent tall. Konstruksjonen er vist på tegningen, og det er også gitt muligheter for formen til et lønneblad.

I kunstverk bruker en kunstner eller skulptør, bevisst eller ubevisst, som stoler på sitt trente øye, ofte forholdet mellom størrelser i det gylne snitt. Mens han jobbet med en kopi av Kristi hode (ifølge Michelangelo), la forfatteren av denne boken merke til at tilstøtende krøller i hårstrå i størrelsen gjenspeiler forholdet mellom det gylne snitt og i formen deres - den arkimedeiske spiralen , det involvente. Leseren kan selv se at i en rekke malerier av klassiske kunstnere er den sentrale figuren plassert fra sidene av formatet i avstander som utgjør andelen av det gylne snitt (for eksempel plasseringen av hodet både vertikalt og horisontalt i V . Borovikovskys portrett av M. I. Lopukhina posisjon langs det vertikale midten av hodet i portrettet av A. S. Pushkin av O. Kiprensky og andre). Det samme kan noen ganger sees med plasseringen av horisontlinjen (F. Vasiliev: "Wet Meadow", I. Levitan: "March", "Evening Bells").

Selvfølgelig er denne regelen ikke alltid en løsning på problemet med komposisjon, og den bør ikke erstatte intuisjonen av rytme og proporsjoner i kunstnerens arbeid. Det er for eksempel kjent at noen artister brukte forholdet mellom "musikalske tall" for sine komposisjoner: tredjedeler, fjerdedeler, femtedeler (2:3, 3:4, etc.). Kunsthistorikere, ikke uten grunn, bemerker at utformingen av ethvert klassisk arkitektonisk monument eller skulptur, om ønskelig, kan justeres til et hvilket som helst tallforhold. Vår oppgave i dette tilfellet, og spesielt oppgaven til en begynnende kunstner eller treskjærer, er å lære å bygge en bevisst komposisjon av hans verk, ikke i henhold til tilfeldige forhold, men i henhold til harmoniske proporsjoner, bevist ved praksis. Disse harmoniske proporsjonene må kunne identifiseres og fremheves av produktets design og form.

Som et eksempel på å finne en harmonisk proporsjon, vurder å bestemme størrelsen på rammen for arbeidet vist i fig. 175. Formatet på bildet som er plassert i det, er satt i forholdet til det gylne snitt. De ytre dimensjonene til rammen med samme bredde på sidene vil ikke gi den gylne proporsjonen. Derfor antas forholdet mellom lengden og bredden (ЗЗ0X220) å være litt mindre enn det gylne tallet, dvs. lik 1,5, og bredden på tverrleddene økes tilsvarende sammenlignet med sidesidene. Dette gjorde det mulig å komme frem til dimensjonene til rammen i lyset (for maleriet), noe som ga proporsjonene til det gylne snitt. Forholdet mellom bredden på rammens nedre ledd og bredden på øvre ledd justeres til et annet gyldent tall, dvs. 1,12. Dessuten er forholdet mellom bredden på den nedre lenken og bredden på sidelenken (94:63) nær 1,5 (i figuren - alternativet til venstre).

Nå skal vi gjøre et eksperiment: vi øker langsiden av rammen til 366 mm på grunn av bredden på den nedre lenken (den vil være 130 mm) (på bildet - alternativet til høyre), som vil bringe ikke bare forholdet nærmere, men også gullet
nummer 1,62 i stedet for 1,12. Resultatet er en ny komposisjon som kan brukes i et annet produkt, men for rammen er det et ønske om å gjøre den kortere. Dekk den nedre delen med en linjal så mye at øyet "aksepterer" den resulterende andelen, og vi vil få lengden på 330 mm, det vil si at vi nærmer oss den originale versjonen.

Altså, analyserer ulike alternativer(det kan være andre enn de to diskuterte), mesteren slår seg på den eneste mulige løsningen fra hans synspunkt.

Det er best å bruke prinsippet om det gyldne forholdet på jakt etter den ønskede sammensetningen ved hjelp av en enkel enhet, hvis grunnleggende designdiagram er vist i fig. 176. To linjaler til denne enheten kan, roterende rundt hengsel B, danne en vilkårlig vinkel. Hvis vi for en hvilken som helst vinkelløsning deler avstanden AC i det gylne snitt med et punkt K og monterer ytterligere to linjaler: KM\\BC og KE\\AB med hengsler i punktene K, E og M, så for enhver løsning AC denne avstanden vil deles med punktet K i forhold til det gylne snitt.

Denne harmonien er slående i sin skala...

Hei venner!

Har du hørt noe om Divine Harmony eller Golden Ratio? Har du noen gang tenkt på hvorfor noe virker ideelt og vakkert for oss, men noe frastøter oss?

Hvis ikke, har du kommet til denne artikkelen med hell, for i den vil vi diskutere det gylne snittet, finne ut hva det er, hvordan det ser ut i naturen og hos mennesker. La oss snakke om prinsippene, finne ut hva Fibonacci-serien er og mye mer, inkludert konseptet med det gylne rektangelet og den gylne spiralen.

Ja, artikkelen har mange bilder, formler, tross alt er det gyldne snitt også matematikk. Men alt er beskrevet nok på enkelt språk, helt klart. Og på slutten av artikkelen vil du finne ut hvorfor alle elsker katter så mye =)

Hva er det gylne snitt?

For å si det enkelt, er det gylne snitt en viss proporsjonsregel som skaper harmoni?. Det vil si at hvis vi ikke bryter reglene for disse proporsjonene, får vi en veldig harmonisk sammensetning.

Den mest omfattende definisjonen av det gylne snitt sier at den mindre delen er til den større som den større er til helheten.

Men i tillegg til dette er det gyldne snitt matematikk: det har en bestemt formel og et spesifikt tall. Mange matematikere anser det generelt som formelen for guddommelig harmoni, og kaller det "asymmetrisk symmetri".

Det gylne snitt har nådd vår samtid siden tiden Antikkens Hellas Det er imidlertid en oppfatning at grekerne selv allerede hadde sett det gylne snitt blant egypterne. Fordi mange kunstverk fra det gamle Egypt er tydelig bygget i henhold til kanonene i denne andelen.

Det antas at Pythagoras var den første som introduserte konseptet med det gylne snitt. Verkene til Euklid har overlevd til i dag (han brukte det gyldne snitt til å bygge vanlige femkanter, og det er grunnen til at en slik femkant kalles "gylden"), og nummeret på det gyldne snitt er oppkalt etter den gamle greske arkitekten Phidias. Det vil si at dette er tallet vårt "phi" (betegnet Gresk bokstavφ), og den er lik 1,6180339887498948482... Naturligvis er denne verdien avrundet: φ = 1,618 eller φ = 1,62, og prosentvis ser det gylne snitt ut som 62 % og 38 %.

Hva er unikt med denne andelen (og tro meg, den eksisterer)? La oss først prøve å finne det ut ved å bruke et eksempel på et segment. Så vi tar et segment og deler det inn i ulike deler på en slik måte at den mindre delen relaterer seg til den større, ettersom den større delen relaterer seg til helheten. Jeg forstår, det er ikke veldig klart ennå hva som er hva, jeg skal prøve å illustrere det tydeligere ved å bruke eksemplet med segmenter:

Så vi tar et segment og deler det i to andre, slik at det mindre segmentet a forholder seg til det større segmentet b, akkurat som segmentet b forholder seg til helheten, det vil si hele linjen (a + b). Matematisk ser det slik ut:

Denne regelen fungerer på ubestemt tid, du kan dele segmenter så lenge du vil. Og se hvor enkelt det er. Det viktigste er å forstå en gang, og det er det.

Men la oss nå se på et mer komplekst eksempel, som dukker opp veldig ofte, siden det gyldne forholdet også er representert i form av et gyllent rektangel (hvilket sideforhold er φ = 1,62). Dette er et veldig interessant rektangel: hvis vi "skjærer av" en firkant fra det, vil vi igjen få et gyllent rektangel. Og så videre i det uendelige. Se:

Men matematikk ville ikke vært matematikk hvis den ikke hadde formler. Så venner, nå vil det "gjøre litt vondt". Jeg gjemte løsningen til det gylne snittet under en spoiler, det er mange formler, men jeg vil ikke forlate artikkelen uten dem.

Fibonacci-serien og gyldent snitt

Vi fortsetter å skape og observere matematikkens magi og det gylne snitt. I middelalderen var det en slik kamerat - Fibonacci (eller Fibonacci, de staver det annerledes overalt). Han elsket matematikk og problemer, han hadde også et interessant problem med reproduksjon av kaniner =) Men det er ikke poenget. Han oppdaget en tallsekvens, tallene i den kalles "Fibonacci-tall".

Selve sekvensen ser slik ut:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... og så videre i det uendelige.

Fibonacci-sekvensen er med andre ord en tallsekvens der hvert påfølgende tall er lik summen av de to foregående.

Hva har det gylne snitt å gjøre med det? Du får se nå.

Fibonacci spiral

For å se og føle hele sammenhengen mellom Fibonacci-tallserien og det gylne snitt, må du se på formlene på nytt.

Med andre ord, fra 9. ledd i Fibonacci-sekvensen begynner vi å oppnå verdiene til det gylne snitt. Og hvis vi visualiserer hele dette bildet, vil vi se hvordan Fibonacci-sekvensen lager rektangler nærmere og nærmere det gylne rektangelet. Dette er forbindelsen.

La oss nå snakke om Fibonacci-spiralen, den kalles også den "gyldne spiralen".

Den gylne spiral er en logaritmisk spiral hvis vekstkoeffisient er lik φ4, hvor φ er det gylne snitt.

Generelt, fra et matematisk synspunkt, er det gyldne snitt en ideell andel. Men dette er bare begynnelsen på hennes mirakler. Nesten hele verden er underlagt prinsippene for det gyldne snitt naturen selv skapte denne andelen. Selv esoterikere ser numerisk kraft i det. Men vi vil definitivt ikke snakke om dette i denne artikkelen, så for ikke å gå glipp av noe, kan du abonnere på nettstedsoppdateringer.

Gyldent snitt i naturen, mennesket, kunsten

Før vi begynner, vil jeg avklare en rekke unøyaktigheter. For det første er ikke selve definisjonen av det gylne snitt i denne sammenhengen helt riktig. Faktum er at selve konseptet "seksjon" er et geometrisk begrep, som alltid angir et plan, men ikke en sekvens av Fibonacci-tall.

Og for det andre er tallserien og forholdet mellom den ene og den andre selvfølgelig blitt omgjort til en slags sjablong som kan brukes på alt som virker mistenkelig, og man kan være veldig glad når det er tilfeldigheter, men likevel , sunn fornuft bør ikke gå tapt.

Men "alt ble blandet sammen i vårt rike" og det ene ble synonymt med det andre. Så generelt går ikke meningen tapt fra dette. La oss nå komme i gang.

Du vil bli overrasket, men det gylne snittet, eller snarere proporsjonene så nært som mulig, kan sees nesten overalt, selv i speilet. Tro meg ikke? La oss begynne med dette.

Du vet, da jeg lærte å tegne, forklarte de oss hvor lettere det er å bygge en persons ansikt, kropp og så videre. Alt må beregnes i forhold til noe annet.

Alt, absolutt alt er proporsjonalt: bein, fingrene våre, håndflatene, avstander i ansiktet, avstanden til utstrakte armer i forhold til kroppen, og så videre. Men selv det er ikke alt intern struktur av kroppen vår, selv den, er lik eller nesten lik formelen med det gylne snitt. Her er avstander og proporsjoner:

fra skuldre til krone til hodestørrelse = 1:1.618

fra navlen til kronen til segmentet fra skuldrene til kronen = 1:1.618

fra navle til knær og fra knær til føtter = 1:1,618

fra hake til ekstreme punkt overleppe og fra den til nesen = 1:1.618

Er ikke dette fantastisk!? Harmoni i ren form, både inne og ute. Og det er derfor, på et underbevisst nivå, noen mennesker ikke virker vakre for oss, selv om de har en sterk, tonet kropp, fløyelsmyk hud, vakkert hår, øyne og sånt og alt annet. Men likevel, det minste brudd på proporsjonene til kroppen, og utseendet "sår allerede litt i øynene."

Kort sagt, jo vakrere en person virker for oss, desto nærmere er proporsjonene hans ideelle. Og dette er forresten ikke bare for Menneskekroppen kan tilskrives.

Gyldent snitt i naturen og dens fenomener

Et klassisk eksempel på det gylne snitt i naturen er skallet til bløtdyret Nautilus pompilius og ammonitten. Men dette er ikke alt, det er mange flere eksempler:

i krøllene til det menneskelige øret kan vi se en gylden spiral;

det samme (eller nær det) i spiralene som galaksene spinner langs;

og i DNA-molekylet;

I følge Fibonacci-serien er midten av en solsikke ordnet, kjegler vokser, midten av blomster, en ananas og mange andre frukter.

Venner, det er så mange eksempler at jeg bare legger igjen videoen her (den er like nedenfor) for ikke å overbelaste artikkelen med tekst. Fordi hvis du graver inn i dette emnet, kan du fordype deg i en slik jungel: til og med de gamle grekerne beviste at universet og generelt all plass er planlagt i henhold til prinsippet om det gylne snitt.

Du vil bli overrasket, men disse reglene kan bli funnet selv i lyd. Se:

Det høyeste lydpunktet som forårsaker smerte og ubehag i ørene våre er 130 desibel.

Vi deler andelen 130 på det gylne snitt tallet φ = 1,62 og vi får 80 desibel - lyden av et menneskeskrik.

Vi fortsetter å dele proporsjonalt og får, la oss si, det normale volumet av menneskelig tale: 80 / φ = 50 desibel.

Vel, den siste lyden vi får takket være formelen er en behagelig hviskelyd = 2,618.

Ved å bruke dette prinsippet er det mulig å bestemme optimalt-komfortabelt, minimum og maksimum antall temperatur, trykk og fuktighet. Jeg har ikke testet den, og jeg vet ikke hvor sann denne teorien er, men du må være enig, det høres imponerende ut.

Man kan lese den høyeste skjønnhet og harmoni i absolutt alt levende og ikke-levende.

Det viktigste er å ikke la seg rive med av dette, for hvis vi vil se noe i noe, vil vi se det, selv om det ikke er der. For eksempel la jeg merke til designen til PS4 og så det gylne snittet der =) Denne konsollen er imidlertid så kul at jeg ikke ville bli overrasket om designeren virkelig gjorde noe smart der.

Gyldent snitt i kunsten

Dette er også et veldig stort og omfattende tema som er verdt å vurdere separat. Her vil jeg bare merke meg noen få grunnleggende punkter. Det mest bemerkelsesverdige er at mange kunstverk og arkitektoniske mesterverk fra antikken (og ikke bare) ble laget i henhold til prinsippene for det gylne snitt.

Egyptiske og Maya-pyramider, Notre Dame de Paris, greske Parthenon og så videre.

I musikkverkene til Mozart, Chopin, Schubert, Bach og andre.

I maleri (dette er tydelig synlig): alle de mest kjente maleriene av kjente kunstnere er laget under hensyntagen til reglene for det gyldne snitt.

Disse prinsippene finnes i Pushkins dikt og i bysten til den vakre Nefertiti.

Allerede nå brukes reglene for det gylne snitt for eksempel i fotografering. Vel, og selvfølgelig i all annen kunst, inkludert kinematografi og design.

Gylne Fibonacci-katter

Og til slutt, om katter! Har du noen gang lurt på hvorfor alle elsker katter så mye? De har tatt over Internett! Katter er overalt og det er fantastisk =)

Og hele poenget er at katter er perfekte! Tro meg ikke? Nå skal jeg bevise det matematisk for deg!