Bevis og utledning av formlene for den deriverte av eksponentialen (e i potensen av x) og eksponentiell funksjon(a til x-potensen). Eksempler på beregning av derivater av e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater av høyere orden.

Den deriverte av en eksponent er lik eksponenten selv (den deriverte av e til x-potensen er lik e til x-potensen):
(1) (e x )′ = e x.

Den deriverte av en eksponentiell funksjon med basis av grad a er lik funksjonen selv multiplisert med naturlig logaritme fra en:
(2) .

Avledning av formelen for den deriverte av eksponentialen, e til x potens

En eksponential er en eksponentiell funksjon hvis potensbase er lik tallet e, som er følgende grense:
.
Her kan det enten være et naturlig tall eller et reelt tall. Deretter utleder vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.

Avledning av eksponentiell derivatformel

Tenk på eksponentialen, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funksjonen er definert for alle.
(3) .

La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x.
Per definisjon er derivatet følgende grense: La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette trenger vi følgende fakta:
(4) ;
EN) Eksponentegenskap:
(5) ;
B) Egenskapen til logaritmen:
(6) .
I)
Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon: Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
(7) .

G)
;
.

Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
La oss bruke disse fakta til vår grense (3). Vi bruker eiendom (4):
.
La oss gjøre en erstatning.
.

Deretter ; .
.

På grunn av kontinuiteten til eksponentialen,
Derfor, når , .
.

Som et resultat får vi:
.
La oss gjøre en erstatning. Deretter . Kl , . Og vi har: La oss bruke logaritme-egenskapen (5):
.

.

Deretter

La oss bruke eiendom (6). Siden det er en positiv grense og logaritmen er kontinuerlig, så:
(8)
Her brukte vi også den andre

bemerkelsesverdig grense (7). Deretter Dermed fikk vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.
;
.
Derivasjon av formelen for den deriverte av en eksponentiell funksjon
.

Nå utleder vi formel (2) for den deriverte av eksponentialfunksjonen med en base av grad a.

Det tror vi og .
(14) .
(1) .

Vi ser at den deriverte av funksjon (14) er lik funksjon (14) i seg selv. Ved å differensiere (1), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.

Dette viser at den n-te ordens deriverte også er lik den opprinnelige funksjonen:
.

Høyere ordens deriverte av eksponentialfunksjonen

Tenk nå på en eksponentiell funksjon med basis av grad a:
.
Vi fant dens førsteordens derivat:
(15) .

Ved å differensiere (15), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.

Vi ser at hver differensiering fører til multiplikasjon av den opprinnelige funksjonen med .
.

Derfor har den n-te ordens deriverte følgende form:
Komplekse derivater. Logaritmisk derivert.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi fortsetter å forbedre vår differensieringsteknikk. I denne leksjonen vil vi konsolidere materialet vi har dekket, se på mer komplekse derivater, og også bli kjent med nye teknikker og triks for å finne en derivat, spesielt med den logaritmiske derivater. De leserne som har et lavt nivå av forberedelse bør henvise til artikkelen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger , som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye Derivat av en kompleks funksjon , forstå og løse Alle eksemplene jeg ga. Denne leksjonen logisk sett den tredje, og etter å ha mestret det, vil du trygt skille ganske komplekse funksjoner. Det er uønsket å innta posisjonen «Hvor ellers? Ja, det er nok, siden alle eksempler og løsninger er hentet fra ekte tester

og blir ofte møtt i praksis. , som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye La oss starte med repetisjon. På timen Vi så på en rekke eksempler med detaljerte kommentarer. Under studiet av differensialregning og andre seksjoner matematisk analyse

– du må skille veldig ofte, og det er ikke alltid praktisk (og ikke alltid nødvendig) å beskrive eksempler i detalj. Derfor vil vi øve på å finne derivater muntlig. De mest passende "kandidatene" for dette er derivater av de enkleste av komplekse funksjoner, for eksempel: :

I henhold til regelen om differensiering av komplekse funksjoner Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er det oftest ikke nødvendig med et slikt detaljert opptak, at studenten vet hvordan man finner slike derivater på autopilot. La oss tenke oss at klokken 3 om morgenen ringte telefonen og en hyggelig stemme .

spurte: "Hva er den deriverte av tangenten til to X-er?" Dette bør etterfølges av et nesten øyeblikkelig og høflig svar:

Det første eksemplet vil umiddelbart være ment for uavhengig løsning.

Finn følgende derivater muntlig, i én handling, for eksempel: . For å fullføre oppgaven trenger du bare å bruke tabell over derivater av elementære funksjoner(hvis du ikke har husket det ennå). Hvis du har noen problemer, anbefaler jeg å lese leksjonen på nytt , som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar på slutten av leksjonen

Komplekse derivater

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. De følgende to eksemplene kan virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), vil nesten alt annet i differensialregning virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar for eksempel den eksperimentelle betydningen av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne betydningen med det "forferdelige uttrykket".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den mest eksterne funksjonen er Kvadratrot:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon brukes i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det ser ikke ut til å være noen feil...

(1) Ta den deriverte av kvadratroten.

(2) Vi tar den deriverte av differansen ved å bruke regelen

(3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

(4) Ta derivatet av cosinus.

(5) Ta den deriverte av logaritmen.

(6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Komplett løsning og svaret på slutten av leksjonen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produktet av tre faktorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med «y» betegner produktet av to funksjoner: , og med «ve» betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? er det mulig – dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan også bli vridd og sette noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles? La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og la oss bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når den "forferdelige" logaritmen foreslås for differensiering

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du gå langt ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

Men det aller første skrittet kaster deg umiddelbart ut i motløshet - du må ta det ubehagelige avledet av brøkkraft, og da også fra brøken.

Derfor før hvordan ta den deriverte av en "sofistikert" logaritme, den forenkles først ved å bruke kjente skoleegenskaper:

! Hvis du har en øvelsesnotisbok for hånden, kopier disse formlene direkte dit. Hvis du ikke har en notatbok, kopier dem over på et stykke papir, siden de resterende eksemplene i leksjonen vil dreie seg om disse formlene.

Selve løsningen kan skrives slik:

La oss transformere funksjonen:

Finne den deriverte:

Forhåndskonvertering av selve funksjonen forenklet løsningen betraktelig. Når en lignende logaritme foreslås for differensiering, er det derfor alltid tilrådelig å "bryte den ned".

Og nå et par enkle eksempler som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Alle transformasjoner og svar er på slutten av leksjonen.

Logaritmisk derivert

Hvis den deriverte av logaritmer er så søt musikk, oppstår spørsmålet: er det i noen tilfeller mulig å organisere logaritmen kunstig? Kan! Og til og med nødvendig.

Eksempel 11

Finn den deriverte av en funksjon

Vi har nylig sett på lignende eksempler. Hva å gjøre? Du kan sekvensielt bruke regelen for differensiering av kvotienten, og deretter regelen for differensiering av produktet. Ulempen med denne metoden er at du ender opp med en enorm tre-etasjers brøkdel, som du ikke ønsker å håndtere i det hele tatt.

Men i teori og praksis er det en så fantastisk ting som den logaritmiske deriverte. Logaritmer kan organiseres kunstig ved å "henge" dem på begge sider:

Nå må du "bryte opp" logaritmen til høyre side så mye som mulig (formler foran øynene dine?). Jeg vil beskrive denne prosessen i detalj:

La oss starte med differensiering.
Vi konkluderer begge deler under primtall:

Avledningen av høyresiden er ganske enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du leser denne teksten, bør du kunne håndtere den med trygghet.

Hva med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funksjon. Jeg forutser spørsmålet: "Hvorfor, er det én bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er at dette "en bokstav spillet" - ER SELV EN FUNKSJON(hvis det ikke er veldig tydelig, se artikkelen Derivert av en funksjon spesifisert implisitt). Derfor er logaritmen en ekstern funksjon, og "y" er en intern funksjon. Og vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

På venstre side, som ved et trylleslag, har vi en derivativ. I henhold til proporsjonsregelen overfører vi deretter "y" fra nevneren på venstre side til toppen av høyre side:

Og la oss nå huske hva slags "spiller"-funksjon vi snakket om under differensiering? La oss se på tilstanden:

Endelig svar:

Eksempel 12

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Et eksempeldesign av et eksempel av denne typen er på slutten av leksjonen.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte var det mulig å løse hvilket som helst av eksemplene nr. 4-7, en annen ting er at funksjonene der er enklere, og kanskje er bruken av den logaritmiske deriverte lite berettiget.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Denne funksjonen Vi har ikke sett på det ennå. En potens-eksponentiell funksjon er en funksjon som både graden og grunntallet avhenger av "x". Et klassisk eksempel som vil bli gitt til deg i en hvilken som helst lærebok eller forelesning:

Hvordan finne den deriverte av en potenseksponentiell funksjon?

Det er nødvendig å bruke teknikken som nettopp er diskutert - den logaritmiske deriverte. Vi henger logaritmer på begge sider:

Som regel tas graden på høyre side ut fra logaritmen:

Som et resultat, på høyre side har vi produktet av to funksjoner, som vil bli differensiert i henhold til standardformelen .

Vi finner den deriverte for å gjøre dette, vi omslutter begge deler under streker:

Ytterligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, vennligst les forklaringene til eksempel #11 nøye på nytt.

I praktiske oppgaver vil potens-eksponentialfunksjonen alltid være mer kompleks enn det omtalte forelesningseksemplet.

Eksempel 13

Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker den logaritmiske deriverte.

På høyre side har vi en konstant og produktet av to faktorer - "x" og "logaritmen av logaritmen x" (en annen logaritme er nestet under logaritmen). Når du differensierer, som vi husker, er det bedre å umiddelbart flytte konstanten ut av det deriverte tegnet slik at det ikke kommer i veien; og vi bruker selvfølgelig den kjente regelen :

Som du kan se, inneholder ikke algoritmen for bruk av den logaritmiske deriverte noen spesielle triks eller triks, og å finne den deriverte av en potenseksponentiell funksjon er vanligvis ikke assosiert med "pine."

Avledet beregning- en av de viktigste operasjonene i differensialregning. Nedenfor er en tabell for å finne derivater enkle funksjoner. Mer komplekse regler differensiering, se andre leksjoner:

• Tabell over deriverte av eksponentielle og logaritmiske funksjoner

Bruk de gitte formlene som referanseverdier. De vil hjelpe til med å løse differensialligninger og problemer. På bildet, i tabellen over derivater av enkle funksjoner, er det et "jukseark" med hovedtilfellene for å finne et derivat i en form som er forståelig for bruk, ved siden av er det forklaringer for hvert tilfelle.

Derivater av enkle funksjoner

1. Den deriverte av et tall er null
с´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den deriverte viser hastigheten med hvilken verdien av en funksjon endres når argumentet endres. Siden tallet ikke endres på noen måte under noen forhold, er endringshastigheten alltid null.

2. Derivat av en variabel lik en
x´ = 1

Forklaring:
Med hver økning av argumentet (x) med én, øker verdien av funksjonen (resultatet av beregningen) med samme beløp. Dermed er endringshastigheten i verdien av funksjonen y = x nøyaktig lik endringshastigheten i verdien av argumentet.

3. Den deriverte av en variabel og en faktor er lik denne faktoren
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I dette tilfellet, hver gang funksjonsargumentet endres ( X) verdien (y) øker i Med en gang. Dermed er endringshastigheten til funksjonsverdien i forhold til endringshastigheten til argumentet nøyaktig lik verdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
det vil si at differensialen til den lineære funksjonen y=kx+b er lik skråningen helningen til den rette linjen (k).

4. Modulo-deriverte av en variabel lik kvotienten til denne variabelen til dens modul
|x|"= x / |x| forutsatt at x ≠ 0
Forklaring:
Siden den deriverte av en variabel (se formel 2) er lik enhet, skiller den deriverte av modulen seg bare ved at verdien av endringshastigheten til funksjonen endres til det motsatte når du krysser opprinnelsespunktet (prøv å tegne en graf av funksjonen y = |x| og se selv Dette er nøyaktig hvilken verdi og returnerer uttrykket x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil si når negative verdier variabel x, med hver økning i argument, synker verdien av funksjonen med nøyaktig samme verdi, og for positive øker den tvert imot, men med nøyaktig samme verdi.

5. Derivert av en variabel til en potens lik produktet av et tall av denne potensen og en variabel til potensen redusert med én
(x c)"= cx c-1, forutsatt at x c og cx c-1 er definert og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
For å huske formelen:
Flytt graden av variabelen ned som en faktor, og reduser deretter selve graden med én. For eksempel, for x 2 - de to var foran x, og så ga den reduserte kraften (2-1 = 1) oss ganske enkelt 2x. Det samme skjedde for x 3 - vi "flytter ned" trippelen, reduserer den med en og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil si 3x 2. Litt "uvitenskapelig" men veldig lett å huske.

6.Derivat av en brøk 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Eksempel:
Siden en brøk kan representeres ved å heve den til negativ grad
(1/x)" = (x -1)", så kan du bruke formelen fra regel 5 i tabellen med derivater
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat av en brøk med en variabel av vilkårlig grad i nevneren
(1 / x c)" = - c / x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivat av roten(derivert av variabel under kvadratrot)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyr at du kan bruke formelen fra regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivert av en variabel under roten av en vilkårlig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Definisjon av potens-eksponentiell funksjon. Utlede en formel for å beregne dens deriverte. Eksempler på beregning av deriverte av potens-eksponentielle funksjoner analyseres i detalj.

Power-eksponentiell funksjon er en funksjon som har form av en potensfunksjon
y = u v ,
der basen u og eksponenten v er noen funksjoner av variabelen x:
u = u (x); (x).
v = v Denne funksjonen kalles også eksponentiell

eller .
.
Merk at potens-eksponentialfunksjonen kan representeres i eksponentiell form: Derfor kalles det også.

kompleks eksponentiell funksjon

Beregning med logaritmisk derivert
(2) ,
La oss finne den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen
hvor og er funksjoner til variabelen.
.
For å gjøre dette, logaritmer vi ligningen (2), ved å bruke egenskapen til logaritmen:
(3) .
Differensier med hensyn til variabelen x: Vi søker regler for å differensiere komplekse funksjoner
;
.

og fungerer:
.
Vi erstatter i (3):
.

Herfra
(1) .
Så vi fant den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen:
.
Hvis eksponenten er konstant, så .
.
Da er den deriverte lik den deriverte av en kompleks potensfunksjon:

Hvis bunnen av graden er konstant, så .

Da er den deriverte lik den deriverte av en kompleks eksponentiell funksjon:
(2) ,
Når og er funksjoner av x, så er den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen lik summen av de deriverte av kompleks potens og eksponentialfunksjoner.
(4) .

Beregning av den deriverte ved reduksjon til en kompleks eksponentiell funksjon
.
La oss nå finne den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen

.
presenterer det som en kompleks eksponentiell funksjon:

La oss skille produktet:

Vi bruker regelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:
.

Og vi fikk igjen formel (1).

Eksempel 1
Finn den deriverte av følgende funksjon: .

Løsning
;
.
Vi regner med den logaritmiske deriverte. La oss logaritme den opprinnelige funksjonen:
.
(A1.1)
.
Fra tabellen over derivater finner vi:
,
Ved å bruke produktderivatformelen har vi:
.

Vi skiller (A1.1):

Fordi det

At
.

Og vi fikk igjen formel (1).

Svar
Eksempel 2 .

Finn den deriverte av funksjonen

La oss logaritme den opprinnelige funksjonen: (A2.1) (2019)

Første nivå

Aksen er et visst nivå på null høyde; i livet bruker vi havnivået som det.

Når vi beveger oss fremover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (bevegelse langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva slags verdi kan dette være? Det er veldig enkelt: hvor mye høyden vil endre seg når du beveger deg en viss avstand fremover. Faktisk, på forskjellige deler av veien, når vi beveger oss fremover (langs x-aksen) med en kilometer, vil vi stige eller falle med forskjellige mengder meter i forhold til havnivået (langs ordinataksen).

La oss betegne fremgang (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i mengde, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelsesorden.

Viktig: et uttrykk er en enkelt helhet, én variabel. Aldri skille "delta" fra "x" eller noen annen bokstav!

Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til funksjonen, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi beveger oss fremover, stiger vi høyere.

Verdien er lett å beregne: hvis vi i begynnelsen var i en høyde, og etter å ha flyttet vi befant oss i en høyde, da. Hvis endepunktet er lavere enn startpunktet, vil det være negativt - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

La oss gå tilbake til "bratthet": dette er en verdi som viser hvor mye (bratt) høyden øker når du beveger deg en avstandsenhet fremover:

La oss anta at på en del av veien, når man beveger seg en kilometer fremover, stiger veien opp med en kilometer. Da er helningen på dette stedet lik. Og hvis veien, mens den beveget seg fremover med m, sank med km? Da er helningen lik.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Litt over en strekning på kilometer kan mye endre seg. Det er nødvendig å vurdere mindre områder for en mer adekvat og nøyaktig vurdering av bratthet. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg én meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt passere den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige livÅ måle avstander til nærmeste millimeter er mer enn nok. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig liten, det vil si at den absolutte verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at en mengde er uendelig, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er null! Men veldig nærme det. Dette betyr at du kan dele på det.

Konseptet motsatt til infinitesimal er uendelig stort (). Du har sikkert allerede kommet over det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er modulo større enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med det størst mulige tallet, multipliserer du det med to og du får et enda større tall. Og uendeligheten er enda større enn det som skjer. Faktisk er det uendelig store og det uendelig små det motsatte av hverandre, det vil si ved, og omvendt: at.

La oss nå gå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et infinitesimalt segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig forskyvning vil høydeendringen også være uendelig. Men la meg minne deg på at infinitesimal ikke betyr lik null. Hvis du deler infinitesimale tall med hverandre, kan du få et helt ordinært tall, for eksempel . Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig ganger større enn en annen.

Hva er alt dette til for? Veien, brattheten... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet avledet

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet.

Inkrementelt i matematikk kaller de endring. I hvilken grad argumentet () endres når det beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og angis hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg en avstand fremover langs aksen funksjonsøkning og er utpekt.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et primtall øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Kan den deriverte være lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Og det er sant, høyden endres ikke i det hele tatt. Slik er det med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er lik null for en hvilken som helst.

La oss huske eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet langs forskjellige sider fra toppen, slik at høyden i endene er den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at forskjellen i høyder i endene er lik null (den pleier ikke, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppunktet øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi fant ut tidligere, når en funksjon øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (siden veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor, mellom negativ og positive verdier det må definitivt være. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for trauet (området der funksjonen til venstre avtar og til høyre øker):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til størrelsesorden. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har det (argumentet) blitt til nå? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: vi øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, gjør også funksjonen: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

1. Finn økningen til funksjonen på et punkt når økningen av argumentet er lik.
2. Det samme gjelder funksjonen på et punkt.

Løsninger:

På forskjellige punkter med samme argumentøkning vil funksjonen inkrement være forskjellig. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt er forskjellig (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien er forskjellig på forskjellige punkter). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon er en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Dessuten - i noen grad: .

Det enkleste tilfellet er når eksponenten er:

La oss finne dens deriverte på et punkt. La oss huske definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er økningen av funksjonen?

Inkrement er dette. Men en funksjon til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er lik:

Den deriverte av er lik:

b) Vurder nå kvadratisk funksjon (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av det andre begrepet:

Så vi kom opp med en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: Åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller faktoriser hele uttrykket ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv ved å bruke en av de foreslåtte metodene.

Så jeg fikk følgende:

Og igjen la oss huske det. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Regelen kan formuleres med ordene: "graden føres frem som en koeffisient, og deretter reduseres med ."

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjonene:

1. (på to måter: ved formel og ved å bruke definisjonen av derivert - ved å beregne økningen av funksjonen);

1. . Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er dette? Hvor er graden?", husk emnet ""!
   Ja, ja, roten er også en grad, bare brøk: .
   Dette betyr at kvadratroten vår bare er en potens med en eksponent:
   .
   Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:

   Hvis det på dette tidspunktet blir uklart igjen, gjenta emnet ""!!! (omtrent en grad med negativ eksponent)

2. . Nå eksponenten:

   Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
   ;
   .
   Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
   .

3. . Kombinasjon av tidligere saker: .

Trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Med uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året på instituttet (og for å komme dit må du bestå Unified State Exam godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - kuttes punktet på grafen ut. Men jo nærmere verdien, jo nærmere er funksjonen. Dette er det som "måler".

I tillegg kan du sjekke denne regelen ved hjelp av en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på Unified State Exam ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere er verdien av forholdet.

a) Vurder funksjonen. Som vanlig, la oss finne økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""): .

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig mengde kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får følgende regel: den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabellform") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, siden de brukes oftest.

Øve på:

1. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt;
2. Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

1. Først, la oss finne den deriverte i generelt syn, og erstatte deretter verdien:
   ;
   .
2. Her har vi noe lignende strømfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
   normal visning:
   .
   Flott, nå kan du bruke formelen:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Hva er dette????

Ok, du har rett, vi vet ennå ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en funksjon i matematikk hvis deriverte for en hvilken som helst verdi er lik verdien av selve funksjonen på samme tid. Det kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen er en konstant - den er uendelig desimal, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", og det er derfor det er angitt med en bokstav.

Så, regelen:

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritmen er unikt enkle funksjoner fra et derivert perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? Igjen en ny periode, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - noen konstant antall(konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

1. på et tidspunkt;
2. på et tidspunkt;
3. på et tidspunkt;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss gå inn ny funksjon og finn økningen:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn de deriverte av funksjonene og;
2. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å bringe funksjonen vår til en ny base:

Til dette vil vi bruke enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned mer i enkel form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og så firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Viktig funksjon komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

1. Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
2. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladeplaten vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokoladen i en innpakning). og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.