Finn den deriverte: Algoritme og eksempler på løsninger. Derivert av en funksjon

Avledning av derivatformelen strømfunksjon(x i potensen av a). Derivater fra røttene til x vurderes. Formel for den deriverte av en potensfunksjon av høyere orden. Eksempler på beregning av derivater.

Den deriverte av x i potensen av a er lik a ganger x i potensen av en minus en:
(1) .

Den deriverte av den n-te roten av x til mte potens er:
(2) .

Avledning av formelen for den deriverte av en potensfunksjon

Sak x > 0

Tenk på en potensfunksjon av variabelen x med eksponent a:
(3) .
Her er a et vilkårlig reelt tall. La oss først vurdere saken.

For å finne den deriverte av funksjon (3), bruker vi egenskapene til en potensfunksjon og transformerer den til følgende form:
.

Nå finner vi den deriverte ved å bruke:
;
.
Her .

Formel (1) er bevist.

Avledning av formelen for den deriverte av en rot av grad n av x til graden av m

Tenk nå på en funksjon som er roten til følgende form:
(4) .

For å finne den deriverte transformerer vi roten til en potensfunksjon:
.
Sammenligner vi med formel (3) ser vi det
.
Da
.

Ved å bruke formel (1) finner vi den deriverte:
(1) ;
;
(2) .

I praksis er det ikke nødvendig å memorere formel (2). Det er mye mer praktisk å først transformere røttene til potensfunksjoner, og deretter finne deres deriverte ved å bruke formel (1) (se eksempler på slutten av siden).

Tilfelle x = 0

Hvis , er potensfunksjonen definert for verdien av variabelen x = 0 . 0 La oss finne den deriverte av funksjon (3) ved x =
.

. 0 :
.
For å gjøre dette bruker vi definisjonen av et derivat:

La oss erstatte x =
.
I dette tilfellet mener vi med avledet den høyre grensen for hvilken .
Så vi fant:
Så vi fant:
Av dette er det klart at for .
(1) .
Kl , . 0 .

Dette resultatet er også hentet fra formel (1):< 0

Derfor er formel (1) også gyldig for x =
(3) .
Tilfelle x Vurder funksjon (3) igjen: For visse verdier av konstanten a er den også definert for negative verdier variabel x.
,
Nemlig la være rasjonelt tall.

. Da kan det representeres som en irreduserbar brøk: 3 hvor m og n er heltall uten 1 felles deler
.
Hvis n er oddetall, er potensfunksjonen også definert for negative verdier av variabelen x.

For eksempel når n = og m = vi har terningroten av x:
.
Det er også definert for negative verdier av variabelen x.
.
Vi finner den deriverte ved å plassere konstanten utenfor tegnet til den deriverte og bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

.
Her . Men
.
Siden da
.
Da
.
Det vil si at formel (1) også er gyldig for:
(1) .

Høyere ordens derivater

La oss nå finne høyere ordens deriverte av potensfunksjonen
(3) .
Vi har allerede funnet den første ordensderiverten:
.

Ved å ta konstanten a utenfor tegnet til den deriverte, finner vi andreordens deriverte:
.
På samme måte finner vi derivater av tredje og fjerde orden:
;

.

Av dette er det klart at avledet av vilkårlig n-te orden har følgende form:
.

Merk at hvis a er et naturlig tall, da er den n-te deriverte konstant:
.
Da er alle påfølgende derivater lik null:
,
kl.

Eksempler på beregning av derivater

Eksempel

Finn den deriverte av funksjonen:
.

Løsning

La oss konvertere røtter til potenser:
;
.
Deretter har den opprinnelige funksjonen formen:
.

Finne deriverte av potenser:
;
.
Den deriverte av konstanten er null:
.

Avledet beregning- en av de viktigste operasjonene i differensialregning. Nedenfor er en tabell for å finne deriverte av enkle funksjoner. Flere komplekse regler differensiering, se andre leksjoner:

Tabell over deriverte av eksponentielle og logaritmiske funksjoner

Bruk de gitte formlene som referanseverdier. De vil hjelpe til med å løse differensialligninger og problemer. På bildet, i tabellen over derivater av enkle funksjoner, er det et "jukseark" med hovedtilfellene for å finne et derivat i en form som er forståelig for bruk, ved siden av er det forklaringer for hvert tilfelle.

Derivater av enkle funksjoner

1. Den deriverte av et tall er null
с´ = 0
Eksempel:
5' = 0

Forklaring:
Den deriverte viser hastigheten med hvilken verdien av en funksjon endres når argumentet endres. Siden tallet ikke endres på noen måte under noen forhold, er endringshastigheten alltid null.

2. Derivat av en variabel lik en
x´ = 1

Forklaring:
Med hver økning av argument (x) med én, øker verdien av funksjonen (resultatet av beregninger) med samme beløp. Dermed er endringshastigheten i verdien av funksjonen y = x nøyaktig lik endringshastigheten i verdien av argumentet.

3. Den deriverte av en variabel og en faktor er lik denne faktoren
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I dette tilfellet, hver gang funksjonsargumentet endres ( X) verdien (y) øker i Med en gang. Dermed er endringshastigheten til funksjonsverdien i forhold til endringshastigheten til argumentet nøyaktig lik verdien Med.

Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
det vil si at differensialen til den lineære funksjonen y=kx+b er lik skråning helningen til den rette linjen (k).

4. Modulo-deriverte av en variabel lik kvotienten til denne variabelen til dens modul
|x|"= x / |x| forutsatt at x ≠ 0
Forklaring:
Siden den deriverte av en variabel (se formel 2) er lik én, skiller den deriverte av modulen seg bare ved at verdien av endringshastigheten til funksjonen endres til det motsatte når du krysser opprinnelsespunktet (prøv å tegne en graf av funksjonen y = |x| og se selv Dette er nøyaktig hvilken verdi og returnerer uttrykket x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil si at for negative verdier av variabelen x, med hver økning i endringen i argumentet, reduseres verdien av funksjonen med nøyaktig samme verdi, og for positive verdier, tvert imot, øker den, men med nøyaktig samme verdi.

5. Derivert av en variabel til en potens lik produktet av et tall av denne potensen og en variabel til potensen redusert med én
(x c)"= cx c-1, forutsatt at x c og cx c-1 er definert og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
For å huske formelen:
Flytt graden av variabelen ned som en faktor, og reduser deretter selve graden med én. For eksempel, for x 2 - var de to foran x, og så ga den reduserte kraften (2-1 = 1) oss ganske enkelt 2x. Det samme skjedde for x 3 - vi "flytter ned" trippelen, reduserer den med en og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil si 3x 2. Litt "uvitenskapelig" men veldig lett å huske.

6.Derivat av en brøk 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Eksempel:
Siden en brøk kan representeres ved å heve den til negativ grad
(1/x)" = (x -1)", så kan du bruke formelen fra regel 5 i tabellen med derivater
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat av en brøk med en variabel av vilkårlig grad i nevneren
(1 / x c)" = - c / x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivat av roten(derivert av variabel under kvadratrot)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyr at du kan bruke formelen fra regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivert av en variabel under roten av en vilkårlig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Med denne videoen begynner jeg en lang rekke leksjoner om derivater. Denne leksjonen består av flere deler.

Først av alt vil jeg fortelle deg hva derivater er generelt og hvordan du beregner dem, men ikke på et sofistikert akademisk språk, men måten jeg forstår det selv og hvordan jeg forklarer det til elevene mine. For det andre vil vi vurdere den enkleste regelen for å løse problemer der vi vil se etter deriverte av summer, deriverte av forskjeller og deriverte av en potensfunksjon.

Vi vil se på mer komplekse kombinerte eksempler, hvor du spesielt vil lære at lignende problemer som involverer røtter og til og med brøker kan løses ved å bruke formelen for den deriverte av en potensfunksjon. I tillegg vil det selvfølgelig være mange problemer og eksempler på løsninger for de fleste ulike nivåer kompleksitet.

Generelt skulle jeg i utgangspunktet spille inn en kort 5-minutters video, men du kan se hvordan det ble. Så nok av tekstene - la oss komme i gang.

Hva er et derivat?

Så, la oss starte på avstand. For mange år siden, da trærne var grønnere og livet var morsommere, tenkte matematikere på dette: tenk på en enkel funksjon definert av grafen, kall den $y=f\left(x \right)$. Selvfølgelig eksisterer ikke grafen alene, så du må tegne $x$-aksene så vel som $y$-aksen. La oss nå velge hvilket som helst punkt på denne grafen, absolutt hvilket som helst. La oss kalle abscissen $((x)_(1))$, ordinaten, som du kanskje gjetter, vil være $f\left(((x)_(1)) \right)$.

La oss se på et annet punkt på samme graf. Det spiller ingen rolle hvilken, det viktigste er at den skiller seg fra den originale. Den har igjen en abscisse, la oss kalle den $((x)_(2))$, og også en ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Så vi har to poeng: de har forskjellige abscisser og derfor, forskjellige betydninger funksjoner, selv om sistnevnte er valgfritt. Men det som virkelig er viktig er at vi vet fra planimetrikurset: gjennom to punkter kan du tegne en rett linje og dessuten bare en. Så la oss gjennomføre det.

La oss nå tegne en rett linje gjennom den aller første av dem, parallelt med abscisseaksen. Vi får rettvinklet trekant. La oss kalle det $ABC$, rett vinkel $C$. Denne trekanten har en veldig interessant eiendom: faktum er at vinkelen $\alpha $ faktisk er lik vinkelen som den rette linjen $AB$ skjærer med fortsettelsen av abscisseaksen. Døm selv:

den rette linjen $AC$ er parallell med $Ox$-aksen ved konstruksjon,
linje $AB$ skjærer $AC$ under $\alpha $,
derfor skjærer $AB$ $Ox$ under samme $\alpha $.

Hva kan vi si om $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ikke noe spesifikt, bortsett fra at i trekanten $ABC$ er forholdet mellom ben $BC$ og ben $AC$ lik tangenten til denne vinkelen. Så la oss skrive det ned:

Selvfølgelig er $AC$ i dette tilfellet lett beregnet:

På samme måte for $BC$:

Med andre ord kan vi skrive følgende:

\[\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\venstre(((x)_(2)) \høyre)-f\venstre( ((x)_(1)) \høyre))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Nå som vi har fått alt dette ut av veien, la oss gå tilbake til grafen vår og se på nytt punkt$B$. La oss slette de gamle verdiene og ta $B$ et sted nærmere $((x)_(1))$. La oss igjen betegne abscissen med $((x)_(2))$, og ordinaten med $f\left(((x)_(2)) \right)$.

La oss se igjen på vår lille trekant $ABC$ og $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ inne i den. Det er ganske åpenbart at dette vil være en helt annen vinkel, tangenten vil også være annerledes fordi lengdene på segmentene $AC$ og $BC$ har endret seg betydelig, men formelen for tangens til vinkelen har ikke endret seg i det hele tatt - dette er fortsatt forholdet mellom en endring i funksjonen og en endring i argumentet.

Til slutt fortsetter vi å flytte $B$ nærmere det opprinnelige punktet $A$, som et resultat vil trekanten bli enda mindre, og den rette linjen som inneholder segmentet $AB$ vil se mer og mer ut som en tangent til grafen til funksjonen.

Som et resultat, hvis vi fortsetter å bringe punktene nærmere hverandre, dvs. redusere avstanden til null, vil den rette linjen $AB$ faktisk bli til en tangent til grafen ved et gitt punkt, og $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ vil transformere fra et vanlig trekantelement til vinkelen mellom tangenten til grafen og den positive retningen til $Ox$-aksen.

Og her går vi jevnt videre til definisjonen av $f$, nemlig at den deriverte av en funksjon i punktet $((x)_(1))$ er tangenten til vinkelen $\alpha $ mellom tangenten til graf ved punktet $((x)_( 1))$ og den positive retningen til $Ox$-aksen:

\[(f)"\venstre(((x)_(1)) \right)=\operatørnavn(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]

For å gå tilbake til grafen vår, bør det bemerkes at $((x)_(1))$ kan være et hvilket som helst punkt på grafen. For eksempel, med samme suksess kunne vi fjerne slaget på punktet vist i figuren.

La oss kalle vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen $\beta$. Følgelig vil $f$ i $((x)_(2))$ være lik tangenten til denne vinkelen $\beta $.

\[(f)"\venstre(((x)_(2)) \right)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]

Hvert punkt på grafen vil ha sin egen tangent, og derfor sin egen funksjonsverdi. I hvert av disse tilfellene, i tillegg til punktet der vi ser etter den deriverte av en forskjell eller sum, eller den deriverte av en potensfunksjon, er det nødvendig å ta et annet punkt som ligger i en avstand fra det, og deretter lede dette peker på den opprinnelige og, selvfølgelig, finn ut hvordan i prosessen en slik bevegelse vil endre tangens til helningsvinkelen.

Derivat av en potensfunksjon

Dessverre passer ikke en slik definisjon oss i det hele tatt. Alle disse formlene, bildene, vinklene gir oss ikke den minste idé om hvordan vi beregner den virkelige deriverte i virkelige problemer. La oss derfor gå litt bort fra den formelle definisjonen og vurdere mer effektive formler og teknikker som du allerede kan løse reelle problemer med.

La oss starte med de enkleste konstruksjonene, nemlig funksjoner av formen $y=((x)^(n))$, dvs. strømfunksjoner. I dette tilfellet kan vi skrive følgende: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Med andre ord, graden som var i eksponenten vises i frontmultiplikatoren, og selve eksponenten reduseres med enhet. For eksempel:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Her er et annet alternativ:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\venstre(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\venstre(x \høyre))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Bruker disse enkle regler, la oss prøve å fjerne streken i følgende eksempler:

Så vi får:

\[((\venstre(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

La oss nå løse det andre uttrykket:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Selvfølgelig var disse veldig enkle oppgaver. Imidlertid er virkelige problemer mer komplekse og de er ikke begrenset til bare funksjonsgrader.

Så, regel nr. 1 - hvis en funksjon presenteres i form av de to andre, så er den deriverte av denne summen lik summen av de deriverte:

\[((\venstre(f+g \høyre))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

På samme måte er den deriverte av forskjellen mellom to funksjoner lik forskjellen av de deriverte:

\[((\venstre(f-g \høyre))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\venstre(((x)^(2))+x \høyre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\ prime ))+((\venstre(x \høyre))^(\prime ))=2x+1\]

I tillegg er det en til viktig regel: hvis noen $f$ innledes med en konstant $c$, som denne funksjonen multipliseres med, beregnes $f$ for hele denne konstruksjonen som følger:

\[((\venstre(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\venstre(3((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))=3((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\ primtall ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Til slutt, en veldig viktig regel til: i oppgaver er det ofte et eget begrep som ikke inneholder $x$ i det hele tatt. For eksempel kan vi observere dette i våre uttrykk i dag. Den deriverte av en konstant, det vil si et tall som ikke på noen måte er avhengig av $x$, er alltid lik null, og det spiller ingen rolle i det hele tatt hva konstanten $c$ er lik:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Eksempel på løsning:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Hovedpunkter igjen:

Den deriverte av summen av to funksjoner er alltid lik summen av de deriverte: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Av lignende grunner er den deriverte av differansen av to funksjoner lik differansen av to deriverte: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Hvis en funksjon har en konstant faktor, kan denne konstanten tas ut som et derivert tegn: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Hvis hele funksjonen er en konstant, er dens deriverte alltid null: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

La oss se hvordan det hele fungerer med ekte eksempler. Så:

Vi skriver ned:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\venstre) (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\venstre(((x)^(2)) \høyre))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

I dette eksemplet ser vi både den deriverte av summen og den deriverte av differansen. Totalt er den deriverte lik $5((x)^(4))-6x$.

La oss gå videre til den andre funksjonen:

La oss skrive ned løsningen:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=(\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\venstre(2x \høyre))^(\prime))+(2)"= \\& =3((\venstre(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Her har vi funnet svaret.

La oss gå videre til den tredje funksjonen - den er mer alvorlig:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\venstre(2((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))-((\venstre(3((x)^(2)) \høyre ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\venstre(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Vi har funnet svaret.

La oss gå videre til det siste uttrykket - det mest komplekse og lengste:

Så vi vurderer:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\venstre(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Men løsningen slutter ikke der, fordi vi blir bedt om ikke bare å fjerne et slag, men å beregne verdien på et bestemt punkt, så vi erstatter −1 i stedet for $x$ i uttrykket:

\[(y)"\venstre(-1 \høyre)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

La oss gå videre og gå videre til enda mer komplekse og interessante eksempler. Faktum er at formelen for å løse potensderiverten $((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ har et enda bredere omfang enn man vanligvis tror. Med dens hjelp kan du løse eksempler med brøker, røtter osv. Dette skal vi gjøre nå.

Til å begynne med, la oss igjen skrive ned formelen som vil hjelpe oss å finne den deriverte av en potensfunksjon:

Og nå oppmerksomhet: så langt har vi kun vurdert som $n$ naturlige tall, men ingenting hindrer oss i å vurdere brøker og partall negative tall. Vi kan for eksempel skrive følgende:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Ikke noe komplisert, så la oss se hvordan denne formelen vil hjelpe oss når vi løser mer komplekse problemer. Så, et eksempel:

La oss skrive ned løsningen:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\venstre(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]

La oss gå tilbake til vårt eksempel og skrive:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]

Dette er en så vanskelig avgjørelse.

La oss gå videre til det andre eksemplet - det er bare to begreper, men hver av dem inneholder både en klassisk grad og røtter.

Nå skal vi lære hvordan du finner den deriverte av en potensfunksjon, som i tillegg inneholder roten:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\venstre(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\venstre(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Begge ledd er regnet ut, det gjenstår bare å skrive ned det endelige svaret:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Vi har funnet svaret.

Derivert av en brøk gjennom en potensfunksjon

Men mulighetene til formelen for å løse den deriverte av en potensfunksjon slutter ikke der. Faktum er at med dens hjelp kan du beregne ikke bare eksempler med røtter, men også med brøker. Dette er nettopp den sjeldne muligheten som i stor grad forenkler løsningen av slike eksempler, men som ofte ignoreres ikke bare av elever, men også av lærere.

Så nå skal vi prøve å kombinere to formler samtidig. På den ene siden den klassiske deriverte av en potensfunksjon

\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

På den annen side vet vi at et uttrykk på formen $\frac(1)(((x)^(n)))$ kan representeres som $((x)^(-n))$. Derfor,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\venstre(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\venstre(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\venstre(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Dermed beregnes også de deriverte av enkle brøker, der telleren er en konstant og nevneren er en grad, ved hjelp av den klassiske formelen. La oss se hvordan dette fungerer i praksis.

Så den første funksjonen:

\[((\venstre(\frac(1)(((x)^(2))) \høyre))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(-2)) \ høyre))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Det første eksemplet er løst, la oss gå videre til det andre:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\venstre(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\venstre(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\venstre( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\venstre(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...

Nå samler vi alle disse begrepene i en enkelt formel:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Vi har fått svar.

Før du går videre, vil jeg imidlertid gjøre deg oppmerksom på formen for å skrive selve originaluttrykkene: i det første uttrykket skrev vi $f\left(x \right)=...$, i det andre: $y =...$ Mange elever går seg vill når de ser forskjellige former poster. Hva er forskjellen mellom $f\left(x \right)$ og $y$? Ingenting egentlig. De er bare forskjellige oppføringer med samme betydning. Det er bare det at når vi sier $f\left(x \right)$, da vi snakker om, først og fremst om en funksjon, og når vi snakker om $y$, mener vi oftest grafen til en funksjon. Ellers er dette det samme, det vil si at den deriverte i begge tilfeller anses som den samme.

Komplekse problemer med derivater

Avslutningsvis vil jeg vurdere et par komplekse kombinerte oppgaver som bruker alt vi har vurdert i dag. De inneholder røtter, brøker og summer. Imidlertid vil disse eksemplene bare være komplekse i dagens videoopplæring, fordi virkelig komplekse avledede funksjoner vil vente på deg fremover.

Så, den siste delen av dagens videoleksjon, som består av to kombinerte oppgaver. La oss starte med den første av dem:

\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime) )=3((x)^(2)) \\& ((\venstre(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ venstre(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Den deriverte av funksjonen er lik:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Det første eksemplet er løst. La oss vurdere det andre problemet:

I det andre eksemplet går vi frem på samme måte:

\[((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\venstre(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\venstre (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

La oss telle hvert ledd separat:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) )(((x)^(5))) \\& ((\venstre(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=(\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\venstre(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Alle vilkår er beregnet. Nå går vi tilbake til den opprinnelige formelen og legger sammen alle tre leddene. Vi får at det endelige svaret blir slik:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Og det er alt. Dette var vår første leksjon. I de følgende leksjonene skal vi se på mer komplekse konstruksjoner, og også finne ut hvorfor derivater er nødvendig i utgangspunktet.

Definisjon av maktlov eksponentiell funksjon. Utlede en formel for å beregne dens deriverte. Eksempler på beregning av deriverte av potens-eksponentielle funksjoner analyseres i detalj.

Power-eksponentiell funksjon er en funksjon som har form av en potensfunksjon
y = u v ,
der basen u og eksponenten v er noen funksjoner av variabelen x:
u = u (x); (x).
v = v Denne funksjonen kalles også eksponentiell

eller .
.
Merk at potens-eksponentialfunksjonen kan representeres i eksponentiell form: Derfor kalles det også.

kompleks eksponentiell funksjon

Beregning med logaritmisk derivert
(2) ,
La oss finne den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen
hvor og er funksjoner til variabelen.
.
For å gjøre dette, logaritmer vi ligningen (2), ved å bruke egenskapen til logaritmen:
(3) .
Differensier med hensyn til variabelen x: Vi søker regler for å skille komplekse funksjoner
;
.

og fungerer:
.
Vi erstatter i (3):
.

Herfra
(1) .
Så vi fant den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen:
.
Hvis eksponenten er konstant, så .
.
Da er den deriverte lik den deriverte av en kompleks potensfunksjon:

Hvis basisen til graden er konstant, så .

Da er den deriverte lik den deriverte av en kompleks eksponentiell funksjon:
(2) ,
Når og er funksjoner av x, så er den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen lik summen av de deriverte av kompleks potens og eksponentialfunksjoner.
(4) .

Beregning av den deriverte ved reduksjon til en kompleks eksponentiell funksjon
.
La oss nå finne den deriverte av potens-eksponentialfunksjonen presenterer det som en kompleks eksponentiell funksjon::

.
La oss skille produktet:

Bruk regelen for å finne den deriverte

kompleks funksjon
.

Løsning

Og vi fikk igjen formel (1).
Eksempel 1 .

Finn den deriverte av følgende funksjon:
;
.
Vi regner med den logaritmiske deriverte. La oss logaritme den opprinnelige funksjonen:
.
(A1.1)
.
Fra tabellen over derivater finner vi:
,
Ved å bruke produktderivatformelen har vi:
.

Vi skiller (A1.1):

Fordi

At
.

Løsning

Svare
Eksempel 2 .

Finn den deriverte av funksjonen

La oss logaritme den opprinnelige funksjonen: (A2.1) Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.

Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig

For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.

Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.

Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi skiller som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor det kan tas ut av det deriverte tegnet:

Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha gjort seg kjent med tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.

Tabell over deriverte av enkle funksjoner

1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte
2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge
3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser.
4. Derivert av en variabel i potensen -1
5. Derivat kvadratrot
6. Derivert av sinus
7. Derivat av cosinus
8. Derivert av tangent
9. Derivat av cotangens
10. Derivat av arcsine
11. Derivat av buekosinus
12. Derivat av arctangens
13. Derivat av lysbue cotangens
14. Derivert av den naturlige logaritmen
15. Derivert av en logaritmisk funksjon
16. Derivert av eksponenten
17. Derivert av en eksponentiell funksjon

Regler for differensiering

1. Derivert av en sum eller differanse
2. Derivat av produktet
2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor
3. Derivat av kvotienten
4. Derivat av en kompleks funksjon

Regel 1.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt

de. den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik algebraisk sum derivater av disse funksjonene.

Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.

Regel 2.Hvis funksjonene

er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt

de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.

Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:

Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.

For eksempel for tre multiplikatorer:

Regel 3.Hvis funksjonene

differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og

de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.

Hvor du kan se etter ting på andre sider

Når man finner derivatet til et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".

Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dens deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, tas den ut av tegnet til de deriverte. Dette typisk feil, som oppstår på det innledende stadiet av å studere derivater, men ettersom gjennomsnittsstudenten løser flere en- og todelte eksempler, gjør han ikke lenger denne feilen.

Og hvis du, når du skiller et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).

Annen vanlig feil- mekanisk løsning av den deriverte av en kompleks funksjon som en derivert av en enkel funksjon. Det er derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.

Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .

Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som , følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."

Hvis du har en oppgave som , så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".

Steg-for-steg eksempler - hvordan finne den deriverte

Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:

Deretter bruker vi regelen for sumdifferensiering: den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:

Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:

Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:

Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:

Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. , så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .

Hvis du trenger å lære mer om derivatene av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .

Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:

Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi: