Hvordan løse andregradsligninger. Løse komplette andregradsligninger

", det vil si ligninger av første grad. I denne leksjonen skal vi se på det som kalles en andregradsligning og hvordan løse det.

Hva er en andregradsligning?

Viktig!

Graden av en ligning bestemmes av den høyeste grad det ukjente står i.

Hvis den maksimale effekten der det ukjente er "2", har du en andregradsligning.

Eksempler på andregradsligninger

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Viktig! Den generelle formen for en kvadratisk ligning ser slik ut:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" og "c" er gitt tall.

• "a" er den første eller høyeste koeffisienten;
• "b" er den andre koeffisienten;
• "c" er et gratis medlem.

For å finne "a", "b" og "c" må du sammenligne ligningen din med den generelle formen til kvadratisk ligning "ax 2 + bx + c = 0".

La oss øve på å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" i andregradsligninger.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ligningen	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Hvordan løse kvadratiske ligninger

I motsetning til lineære ligninger, brukes en spesiell metode for å løse andregradsligninger. formel for å finne røtter.

Huske!

For å løse en kvadratisk ligning trenger du:

• bringe den andregradsligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0". Det vil si at bare "0" skal forbli på høyre side;
• bruk formel for røtter:

La oss se på et eksempel på hvordan du bruker formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning. La oss løse en andregradsligning.

X 2 − 3x − 4 = 0

Ligningen "x 2 − 3x − 4 = 0" er allerede redusert til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0" og krever ikke ytterligere forenklinger. For å løse det trenger vi bare å søke formel for å finne røttene til en andregradsligning.

La oss bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Den kan brukes til å løse enhver annengradsligning.

I formelen «x 1;2 =» erstattes ofte det radikale uttrykket
"b 2 − 4ac" for bokstaven "D" og kalles diskriminant. Begrepet en diskriminant diskuteres mer detaljert i leksjonen «Hva er en diskriminant».

La oss se på et annet eksempel på en andregradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

I denne formen er det ganske vanskelig å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c". La oss først redusere ligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nå kan du bruke formelen for røttene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Svar: x = 3

Det er tider når andregradsligninger ikke har noen røtter. Denne situasjonen oppstår når formelen inneholder et negativt tall under roten.

For å fortsette med emnet "Løse ligninger", vil materialet i denne artikkelen introdusere deg til kvadratiske ligninger.

La oss se på alt i detalj: essensen og notasjonen til en kvadratisk ligning, definere de medfølgende begrepene, analysere skjemaet for å løse ufullstendige og fullstendige ligninger, bli kjent med formelen for røtter og diskriminanten, etablere forbindelser mellom røttene og koeffisientene, og selvfølgelig vil vi gi en visuell løsning på praktiske eksempler.

Kvadratisk ligning, dens typer

Definisjon 1

Kvadratisk ligning er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c– noen tall, mens en er ikke null.

Ofte kalles andregradsligninger også andregradsligninger, siden en andregradsligning i hovedsak er en algebraisk ligning av andre grad.

La oss gi et eksempel for å illustrere den gitte definisjonen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, osv. Dette er andregradsligninger.

Definisjon 2

Tallene a, b og c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koeffisienten en kalles den første, eller senior, eller koeffisient ved x 2, b - den andre koeffisienten, eller koeffisient ved x, A c kalt et gratis medlem.

For eksempel i andregradsligningen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den ledende koeffisienten er 6, den andre koeffisienten er − 2 , og fritiden er lik − 11 . La oss ta hensyn til det faktum at når koeffisientene b og/eller c er negative, så brukes en kortform av formen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

La oss også klargjøre dette aspektet: hvis koeffisientene en og/eller b lik 1 eller − 1 , så tar de kanskje ikke en eksplisitt del i å skrive den kvadratiske ligningen, som forklares av særegenhetene ved å skrive de angitte numeriske koeffisientene. For eksempel i andregradsligningen y 2 − y + 7 = 0 den ledende koeffisienten er 1, og den andre koeffisienten er − 1 .

Reduserte og ureduserte kvadratiske ligninger

Basert på verdien av den første koeffisienten deles kvadratiske ligninger inn i redusert og uredusert.

Definisjon 3

Redusert andregradsligning er en kvadratisk ligning der den ledende koeffisienten er 1. For andre verdier av den ledende koeffisienten er kvadratisk ligning ikke-redusert.

La oss gi eksempler: kvadratiske ligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduseres, i hver av dem er den ledende koeffisienten 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- uredusert kvadratisk ligning, hvor den første koeffisienten er forskjellig fra 1 .

Enhver ikke-redusert kvadratisk ligning kan konverteres til en redusert ligning ved å dele begge sider med den første koeffisienten (ekvivalent transformasjon). Den transformerte ligningen vil ha de samme røttene som den gitte, ikke-reduserte ligningen eller vil heller ikke ha noen røtter i det hele tatt.

Betraktning av et spesifikt eksempel vil tillate oss å tydelig demonstrere overgangen fra en ikke-redusert kvadratisk ligning til en redusert.

Eksempel 1

Gitt ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendig å konvertere den opprinnelige ligningen til den reduserte formen.

Løsning

I henhold til skjemaet ovenfor deler vi begge sider av den opprinnelige ligningen med ledende koeffisient 6. Da får vi: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Dermed oppnås en ligning tilsvarende den gitte.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

La oss gå til definisjonen av en kvadratisk ligning. I den spesifiserte vi det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var nettopp firkantet, siden kl a = 0 den forvandles i hovedsak til en lineær ligning b x + c = 0.

I tilfellet når koeffisientene b Og c er lik null (noe som er mulig, både individuelt og sammen), kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon 4

Ufullstendig andregradsligning- en slik andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor minst én av koeffisientene b Og c(eller begge) er null.

Fullfør andregradsligningen– en kvadratisk ligning der alle numeriske koeffisienter ikke er lik null.

La oss diskutere hvorfor typene kvadratiske ligninger gis akkurat disse navnene.

Når b = 0, tar andregradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, som er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andregradsligningen skrives som a x 2 + b x + 0 = 0, som tilsvarer a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil ta formen a x 2 = 0. Ligningene som vi fikk, skiller seg fra den komplette andregradslikningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Faktisk ga dette faktum navnet til denne typen ligninger - ufullstendig.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andregradsligninger; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Definisjonen gitt ovenfor gjør det mulig å skille mellom følgende typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

• a x 2 = 0, tilsvarer denne ligningen koeffisientene b = 0 og c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ved b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ved c = 0.

La oss vurdere sekvensielt løsningen av hver type ufullstendig kvadratisk ligning.

Løsning av ligningen a x 2 =0

Som nevnt ovenfor tilsvarer denne ligningen koeffisientene b Og c, lik null. Ligningen a x 2 = 0 kan konverteres til en ekvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved å dele begge sider av den opprinnelige ligningen med tallet en, ikke lik null. Det åpenbare faktum er at roten til ligningen x 2 = 0 dette er null fordi 0 2 = 0 . Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som kan forklares med egenskapene til graden: for et hvilket som helst tall p, ikke lik null, er ulikheten sann p 2 > 0, hvorav det følger at når p ≠ 0 likestilling p 2 = 0 vil aldri bli oppnådd.

Definisjon 5

For den ufullstendige andregradsligningen a x 2 = 0 er det altså en unik rot x = 0.

Eksempel 2

La oss for eksempel løse en ufullstendig andregradsligning − 3 x 2 = 0. Det tilsvarer ligningen x 2 = 0, dens eneste rot er x = 0, så har den opprinnelige ligningen en enkelt rot - null.

Kort fortalt er løsningen skrevet som følger:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løse ligningen a x 2 + c = 0

Neste i rekken er løsningen av ufullstendige andregradsligninger, der b = 0, c ≠ 0, det vil si ligninger av formen a x 2 + c = 0. La oss transformere denne ligningen ved å flytte et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre, endre tegnet til det motsatte og dele begge sider av ligningen med et tall som ikke er lik null:

• overføre c til høyre side, som gir ligningen a x 2 = − c;
• dele begge sider av ligningen med en, vi ender opp med x = - c a .

Våre transformasjoner er tilsvarende, den resulterende ligningen er også ekvivalent med den opprinnelige, og dette faktum gjør det mulig å trekke konklusjoner om røttene til ligningen. Fra hva verdiene er en Og c verdien av uttrykket - c a avhenger: det kan ha et minustegn (for eksempel if a = 1 Og c = 2, deretter - c a = - 2 1 = - 2) eller et plusstegn (for eksempel if a = − 2 Og c = 6 så - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke null fordi c ≠ 0. La oss dvele mer detaljert ved situasjoner når - ca< 0 и - c a > 0 .

I tilfelle når - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s likheten p 2 = - c a kan ikke være sann.

Alt er annerledes når - c a > 0: husk kvadratroten, og det vil bli tydelig at roten til ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, siden - c a 2 = - c a. Det er ikke vanskelig å forstå at tallet - - c a også er roten til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke ha andre røtter. Vi kan demonstrere dette ved å bruke metoden for selvmotsigelse. Til å begynne med, la oss definere notasjonene for røttene ovenfor som x 1 Og − x 1. La oss anta at likningen x 2 = - c a også har en rot x 2, som er forskjellig fra røttene x 1 Og − x 1. Vi vet det ved å substituere inn i ligningen x sine røtter transformerer vi ligningen til en rettferdig numerisk likhet.

Til x 1 Og − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , og for x 2- x 2 2 = - c a . Basert på egenskapene til numeriske likheter, trekker vi ett korrekt likhetsledd for ledd fra et annet, noe som vil gi oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi bruker egenskapene til operasjoner med tall for å omskrive den siste likheten som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det er kjent at produktet av to tall er null hvis og bare hvis minst ett av tallene er null. Av ovenstående følger det x 1 − x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0, som er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = − x 1. En åpenbar motsetning oppsto, fordi man først var enige om at roten til ligningen x 2 skiller seg fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist at ligningen ikke har andre røtter enn x = - c a og x = - - c a.

La oss oppsummere alle argumentene ovenfor.

Definisjon 6

Ufullstendig andregradsligning a x 2 + c = 0 er ekvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

• vil ikke ha røtter ved - c a< 0 ;
• vil ha to røtter x = - c a og x = - - c a for - c a > 0.

La oss gi eksempler på løsning av likningene a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Gitt en andregradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendig å finne en løsning.

Løsning

La oss flytte frileddet til høyre side av ligningen, så vil ligningen ta formen 9 x 2 = − 7.
La oss dele begge sider av den resulterende ligningen med 9 , kommer vi til x 2 = - 7 9 . På høyre side ser vi et tall med et minustegn, som betyr: den gitte ligningen har ingen røtter. Deretter den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke ha røtter.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen røtter.

Eksempel 4

Ligningen må løses − x 2 + 36 = 0.

Løsning

La oss flytte 36 til høyre side: − x 2 = − 36.
La oss dele begge deler med − 1 , vi får x 2 = 36. På høyre side er det et positivt tall, som vi kan konkludere fra x = 36 eller x = -36.
La oss trekke ut roten og skrive ned det endelige resultatet: ufullstendig andregradsligning − x 2 + 36 = 0 har to røtter x=6 eller x = − 6.

Svar: x=6 eller x = − 6.

Løsning av ligningen a x 2 +b x=0

La oss analysere den tredje typen ufullstendige kvadratiske ligninger, når c = 0. Å finne en løsning på en ufullstendig andregradsligning a x 2 + b x = 0, vil vi bruke faktoriseringsmetoden. La oss faktorisere polynomet som er på venstre side av ligningen, og ta den felles faktoren ut av parentes x. Dette trinnet vil gjøre det mulig å transformere den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen til dens ekvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligningen tilsvarer i sin tur et sett med ligninger x = 0 Og a x + b = 0. Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rot: x = − b a.

Definisjon 7

Dermed den ufullstendige andregradsligningen a x 2 + b x = 0 vil ha to røtter x = 0 Og x = − b a.

La oss forsterke materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendig å finne en løsning på ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Løsning

Vi tar den ut x utenfor parentes får vi ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligningen er ekvivalent med ligningene x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nå skal du løse den resulterende lineære ligningen: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kort løsningen til ligningen slik:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for røttene til en andregradsligning

For å finne løsninger på kvadratiske ligninger, er det en rotformel:

Definisjon 8

x = - b ± D 2 · a, hvor D = b 2 − 4 a c– den såkalte diskriminanten til en kvadratisk ligning.

Å skrive x = - b ± D 2 · a betyr i hovedsak at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det ville være nyttig å forstå hvordan denne formelen ble utledet og hvordan man bruker den.

Utledning av formelen for røttene til en kvadratisk ligning

La oss stå overfor oppgaven med å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0. La oss utføre en rekke tilsvarende transformasjoner:

• del begge sider av ligningen med et tall en, forskjellig fra null, får vi følgende andregradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• La oss velge en komplett firkant på venstre side av den resulterende ligningen:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Etter dette vil ligningen ha formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nå er det mulig å overføre de to siste leddene til høyre side, endre tegnet til det motsatte, hvoretter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Til slutt transformerer vi uttrykket skrevet på høyre side av den siste likheten:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dermed kommer vi frem til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tilsvarende den opprinnelige likningen a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersøkte løsningen av slike ligninger i de foregående avsnittene (løsning av ufullstendige kvadratiske ligninger). Erfaringene som allerede er oppnådd gjør det mulig å trekke en konklusjon om røttene til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• når b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, er ligningen x + b 2 · a 2 = 0, så er x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste roten x = - b 2 · a åpenbar;

• for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vil følgende være sant: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , som er det samme som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ligningen har to røtter.

Det er mulig å konkludere med at tilstedeværelsen eller fraværet av røtter til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (og derfor den opprinnelige ligningen) avhenger av tegnet til uttrykket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrevet på høyre side. Og tegnet på dette uttrykket er gitt av tegnet på telleren, (nevner 4 a 2 vil alltid være positiv), det vil si tegnet på uttrykket b 2 − 4 a c. Dette uttrykket b 2 − 4 a c navnet er gitt - diskriminanten til den kvadratiske ligningen og bokstaven D er definert som dens betegnelse. Her kan du skrive ned essensen av diskriminanten - basert på dens verdi og fortegn kan de konkludere om den andregradsligningen vil ha reelle røtter, og i så fall hva er antallet røtter - en eller to.

La oss gå tilbake til likningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . La oss omskrive det med diskriminantnotasjon: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

La oss formulere våre konklusjoner igjen:

Definisjon 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle røtter;
• på D=0 ligningen har en enkelt rot x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ligningen har to røtter: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Basert på egenskapene til radikaler kan disse røttene skrives på formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Og når vi åpner modulene og bringer brøkene til en fellesnevner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet av resonnementet vårt var utledningen av formelen for røttene til en kvadratisk ligning:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D beregnet med formelen D = b 2 − 4 a c.

Disse formlene gjør det mulig å bestemme begge reelle røtter når diskriminanten er større enn null. Når diskriminanten er null, vil bruk av begge formlene gi samme rot som den eneste løsningen på kvadratisk ligning. I tilfellet der diskriminanten er negativ, hvis vi prøver å bruke kvadratisk rotformel, vil vi bli møtt med behovet for å ta kvadratroten av et negativt tall, noe som vil ta oss utenfor rekkevidden av reelle tall. Med en negativ diskriminant vil den kvadratiske ligningen ikke ha reelle røtter, men et par komplekse konjugerte røtter er mulig, bestemt av de samme rotformlene vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

Det er mulig å løse en andregradsligning ved å umiddelbart bruke rotformelen, men dette gjøres vanligvis når det er nødvendig å finne komplekse røtter.

I de fleste tilfeller betyr det vanligvis ikke å søke etter komplekse, men etter reelle røtter til en kvadratisk ligning. Da er det optimalt, før du bruker formlene for røttene til en kvadratisk ligning, først å bestemme diskriminanten og sørge for at den ikke er negativ (ellers vil vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og deretter fortsette med å beregne verdien av røttene.

Resonnementet ovenfor gjør det mulig å formulere en algoritme for å løse en andregradsligning.

Definisjon 10

For å løse en andregradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendig:

• i henhold til formelen D = b 2 − 4 a c finne den diskriminerende verdien;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0, finn den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - b 2 · a ;
• for D > 0, bestem to reelle røtter av kvadratisk ligning ved å bruke formelen x = - b ± D 2 · a.

Merk at når diskriminanten er null, kan du bruke formelen x = - b ± D 2 · a, det vil gi samme resultat som formelen x = - b 2 · a.

La oss se på eksempler.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

La oss gi løsninger på eksempler for ulike verdier av diskriminanten.

Eksempel 6

Vi må finne røttene til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Løsning

La oss skrive ned de numeriske koeffisientene til den kvadratiske ligningen: a = 1, b = 2 og c = − 6. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen, dvs. La oss begynne å beregne diskriminanten, som vi vil erstatte koeffisientene a, b Og c inn i diskriminantformelen: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, som betyr at den opprinnelige ligningen vil ha to reelle røtter.
For å finne dem bruker vi rotformelen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende verdiene, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. La oss forenkle det resulterende uttrykket ved å ta faktoren ut av rottegnet og deretter redusere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Eksempel 7

Må løse en andregradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

La oss definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne verdien av diskriminanten vil den opprinnelige ligningen bare ha én rot, bestemt av formelen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Eksempel 8

Ligningen må løses 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koeffisientene til denne ligningen vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruker disse verdiene for å finne diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminanten er negativ, så den opprinnelige kvadratiske ligningen har ingen reelle røtter.

I tilfellet når oppgaven er å indikere komplekse røtter, bruker vi rotformelen og utfører handlinger med komplekse tall:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: det er ingen reelle røtter; de komplekse røttene er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolens læreplan er det ikke noe standardkrav om å se etter komplekse røtter, derfor, hvis diskriminanten under løsningen bestemmes til å være negativ, blir svaret umiddelbart skrevet ned at det ikke er noen reelle røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Rotformelen x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) gjør det mulig å oppnå en annen formel, mer kompakt, slik at man kan finne løsninger på kvadratiske ligninger med en jevn koeffisient for x ( eller med en koeffisient på formen 2 · n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). La oss vise hvordan denne formelen er utledet.

La oss stå overfor oppgaven med å finne en løsning på den kvadratiske ligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsetter i henhold til algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), og bruker deretter rotformelen:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

La uttrykket n 2 − a · c betegnes som D 1 (noen ganger er det betegnet D "). Da vil formelen for røttene til den andregradsligningen som vurderes med den andre koeffisienten 2 · n ha formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 − a · c.

Det er lett å se at D = 4 · D 1, eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel av diskriminanten. Tydeligvis er tegnet på D 1 det samme som tegnet på D, noe som betyr at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator på tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til en kvadratisk ligning.

Definisjon 11

For å finne en løsning på en kvadratisk ligning med en andre koeffisient på 2 n, er det nødvendig:

• finn D 1 = n 2 − a · c ;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• når D 1 = 0, bestem den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen x = - n a;
• for D 1 > 0, bestem to reelle røtter ved å bruke formelen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendig å løse den kvadratiske ligningen 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Løsning

Vi kan representere den andre koeffisienten til den gitte ligningen som 2 · (− 3) . Deretter omskriver vi den gitte andregradsligningen til 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, hvor a = 5, n = − 3 og c = − 32.

La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende verdien er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter. La oss bestemme dem ved å bruke den tilsvarende rotformelen:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være mulig å utføre beregninger ved å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet vil løsningen være mer tungvint.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Forenkle formen til kvadratiske ligninger

Noen ganger er det mulig å optimalisere formen til den opprinnelige ligningen, noe som vil forenkle prosessen med å beregne røttene.

For eksempel er den andregradsligningen 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 klart mer praktisk å løse enn 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Oftere utføres forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider med et visst tall. For eksempel, ovenfor viste vi en forenklet representasjon av ligningen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, oppnådd ved å dele begge sider med 100.

En slik transformasjon er mulig når koeffisientene til den kvadratiske ligningen ikke er koprimtall. Da deler vi vanligvis begge sider av ligningen med den største felles divisoren av de absolutte verdiene til koeffisientene.

Som et eksempel bruker vi den andregradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. La oss bestemme GCD for de absolutte verdiene til koeffisientene: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. La oss dele begge sider av den opprinnelige andregradsligningen med 6 og få den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ved å multiplisere begge sider av en andregradsligning, blir du vanligvis kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet multipliserer de med det minste felles multiplum av nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis hver del av den kvadratiske ligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliseres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil den bli skrevet på en enklere form x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Til slutt legger vi merke til at vi nesten alltid kvitter oss med minus ved den første koeffisienten til en kvadratisk ligning ved å endre tegnene til hvert ledd i ligningen, som oppnås ved å multiplisere (eller dividere) begge sider med − 1. For eksempel, fra den andregradsligningen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå til dens forenklede versjon 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sammenheng mellom røtter og koeffisienter

Formelen for røttene til kvadratiske ligninger, allerede kjent for oss, x = - b ± D 2 · a, uttrykker røttene til ligningen gjennom dens numeriske koeffisienter. Basert på denne formelen har vi mulighet til å spesifisere andre avhengigheter mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige er formlene til Vietas teorem:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. For eksempel, ved å se på formen til kvadratisk ligning 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, er det mulig å umiddelbart bestemme at summen av røttene er 7 3 og produktet av røttene er 22 3.

Du kan også finne en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning. For eksempel kan summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning uttrykkes i termer av koeffisienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 11

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

Andregradsligningers historie

Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første grad, men også av andre, i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne arealer av landtomter, med utviklingen av astronomi og matematikk i seg selv. Kvadratiske ligninger kunne løses rundt 2000 f.Kr. e. babylonere. Reglene for å løse disse ligningene som er satt opp i de babylonske tekstene er i hovedsak de samme som moderne, men disse tekstene mangler konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Antikkens Hellas

I antikkens Hellas jobbet også forskere som Diophantus, Euclid og Heron med å løse andregradsligninger. Diophantus Diophantus av Alexandria er en gammel gresk matematiker som antagelig levde i det 3. århundre e.Kr. Hovedverket til Diophantus er "Aritmetikk" i 13 bøker. Euklid. Euklid er en gammel gresk matematiker, forfatteren av den første teoretiske avhandlingen om matematikk som har kommet ned til oss, Heron. Heron - gresk matematiker og ingeniør først i Hellas i det 1. århundre e.Kr. gir en rent algebraisk måte å løse en andregradsligning på

India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattiam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (VII århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form: ax2 + bx = c, a> 0. (1) I ligning (1) kan koeffisientene være negative. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt. Offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer var vanlig i India. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd mann overstråle sin herlighet i offentlige forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

Dette er et av problemene til den berømte indiske matematikeren på 1100-tallet. Bhaskars.

«En flokk med frekke aper

Og tolv langs vinstokkene hadde det gøy, etter å ha spist av hjertens lyst

De begynte å hoppe, hengende

Del åtte av dem er kvadratisk

Hvor mange aper var det?

Jeg koste meg i lysningen

Fortell meg, i denne pakken?

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren visste at røttene til kvadratiske ligninger er to-verdier. Bhaskar skriver ligningen som tilsvarer oppgaven som x2 - 64x = - 768, og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til 322 på begge sider, og får deretter: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratiske ligninger i Europa på 1600-tallet

Formler for å løse kvadratiske ligninger på linje med Al-Khorezmi i Europa ble først satt frem i Book of Abacus, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler påvirkningen av matematikk, både fra islams land og fra antikkens Hellas, utmerker seg ved sin fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på å løse problemer og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra Abacus-boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII. Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Viète, men Viète gjenkjente bare positive røtter. Italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. I tillegg til positive, tas også negative røtter i betraktning. Først på 1600-tallet. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

Definisjon av en andregradsligning

En ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er tall, kalles kvadratisk.

Kvadratiske ligningskoeffisienter

Tallene a, b, c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen a er den første koeffisienten (før x²), a ≠ 0 b er den andre koeffisienten (før x).

Hvilke av disse ligningene er ikke kvadratiske??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Typer andregradsligninger

Navn	Generell form for ligningen	Funksjon (hva er koeffisientene)	Eksempler på ligninger
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - andre tall enn 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Ufullstendig
			x 2 - 1/5x = 0
Gitt	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redusert er en andregradsligning der den ledende koeffisienten er lik én. En slik ligning kan oppnås ved å dele hele uttrykket med den ledende koeffisienten en:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

En kvadratisk ligning kalles fullstendig hvis alle koeffisientene ikke er null.

En andregradsligning kalles ufullstendig der minst én av koeffisientene, bortsett fra den ledende (enten den andre koeffisienten eller frileddet), er lik null.

Metoder for å løse andregradsligninger

Metode I Generell formel for beregning av røtter

For å finne røttene til en andregradsligning øks 2 + b + c = 0 Generelt bør du bruke algoritmen nedenfor:

Regn ut verdien av diskriminanten til en kvadratisk ligning: dette er uttrykket for den D= b 2 - 4ac

Utledning av formelen:

Merk: Det er åpenbart at formelen for en rot av multiplisitet 2 er et spesialtilfelle av den generelle formelen, oppnådd ved å erstatte likheten D=0 i den, og konklusjonen om fraværet av reelle røtter ved D0, og (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Den presenterte metoden er universell, men den er langt fra den eneste. Å løse en enkelt ligning kan tilnærmes på en rekke måter, med preferanser vanligvis avhengig av løseren. I tillegg, ofte for dette formålet, viser noen av metodene seg å være mye mer elegante, enkle og mindre arbeidskrevende enn standarden.

Metode II. Røttene til en andregradsligning med en jevn koeffisient b III metode. Løse ufullstendige andregradsligninger

IV metode. Bruke partielle forhold av koeffisienter

Det er spesielle tilfeller av kvadratiske ligninger der koeffisientene er i forhold til hverandre, noe som gjør dem mye lettere å løse.

Røttene til en kvadratisk ligning der summen av den ledende koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten

Hvis i en andregradsligning øks 2 + bx + c = 0 summen av den første koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten: a+b=c, da er røttene -1 og tallet motsatt av forholdet mellom frileddet og ledende koeffisient ( -c/a).

Derfor, før du løser en annengradsligning, bør du sjekke muligheten for å bruke denne teoremet på den: sammenlign summen av den ledende koeffisienten og det frie leddet med den andre koeffisienten.

Røttene til en kvadratisk ligning hvis sum av alle koeffisienter er null

Hvis summen av alle koeffisientene i en kvadratisk ligning er null, er røttene til en slik ligning 1 og forholdet mellom det frie leddet og den ledende koeffisienten ( c/a).

Derfor, før du løser en ligning ved hjelp av standardmetoder, bør du sjekke anvendeligheten til denne teoremet på den: legg sammen alle koeffisientene til denne ligningen og se om denne summen ikke er lik null.

V metode. Faktorering av et kvadratisk trinomium i lineære faktorer

Hvis trinomialet er av formen (visningsstil ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) kan på en eller annen måte representeres som et produkt av lineære faktorer (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), så kan vi finne røttene til ligningen øks 2 + bx + c = 0- de vil være -m/k og n/l, tross alt (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0Langvenstrepil kx+m=0kopp lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, og etter å ha løst de indikerte lineære ligningene, får vi ovenstående. Merk at det kvadratiske trinomialet ikke alltid dekomponeres til lineære faktorer med reelle koeffisienter: dette er mulig hvis den tilsvarende ligningen har reelle røtter.

La oss vurdere noen spesielle tilfeller

Bruke formelen for kvadratsum (forskjell).

Hvis det kvadratiske trinomialet har formen (visningsstil (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , så ved å bruke formelen ovenfor på det, kan vi faktorere det inn i lineære faktorer og finn derfor røtter:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Isolere hele kvadratet av summen (forskjell)

Formelen ovenfor brukes også ved å bruke en metode som kalles "velge hele kvadratet av summen (forskjellen)." I forhold til den ovennevnte kvadratiske ligningen med den tidligere introduserte notasjonen, betyr dette følgende:

Merk: Hvis du legger merke til, faller denne formelen sammen med den som er foreslått i avsnittet "Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen", som igjen kan fås fra den generelle formelen (1) ved å erstatte likheten a=1. Dette faktum er ikke bare en tilfeldighet: Ved å bruke den beskrevne metoden, om enn med noen ekstra resonnement, kan man utlede en generell formel og også bevise egenskapene til diskriminanten.

VI metode. Ved å bruke den direkte og inverse Vieta-setningen

Vietas direkte teorem (se nedenfor i avsnittet med samme navn) og dens inverse teorem lar deg løse de ovennevnte kvadratiske ligningene muntlig, uten å ty til ganske tungvinte beregninger ved å bruke formel (1).

I følge det omvendte teoremet er hvert par av tall (tall) (visningsstil x_(1),x_(2))x 1, x 2, som er en løsning på ligningssystemet nedenfor, røttene til ligningen

I det generelle tilfellet, det vil si for en ikke-redusert kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Et direkte teorem vil hjelpe deg med å finne tall som tilfredsstiller disse ligningene muntlig. Med dens hjelp kan du bestemme tegnene på røttene uten å kjenne røttene selv. For å gjøre dette, bør du følge regelen:

1) hvis frileddet er negativt, har røttene forskjellige fortegn, og den største i absoluttverdi av røttene har et fortegn motsatt tegnet til den andre koeffisienten i ligningen;

2) hvis frileddet er positivt, har begge røttene samme fortegn, og dette er tegnet motsatt av tegnet til den andre koeffisienten.

VII metode. Overføringsmetode

Den såkalte "overføringsmetoden" lar deg redusere løsningen av ikke-reduserte og irreduserbare ligninger til form av reduserte ligninger med heltallskoeffisienter ved å dele dem med den ledende koeffisienten til løsningen av reduserte ligninger med heltallskoeffisienter. Det er som følger:

Deretter løses ligningen muntlig på måten beskrevet ovenfor, så går de tilbake til den opprinnelige variabelen og finner røttene til ligningene (visningsstil y_(1)=ax_(1)) y 1 =øks 1 Og y 2 =øks 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

Geometrisk betydning

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og abscisseaksen. Hvis parabelen beskrevet av en kvadratisk funksjon ikke skjærer x-aksen, har ligningen ingen reelle røtter. Hvis en parabel skjærer x-aksen i ett punkt (ved toppunktet til parablen), har ligningen én reell rot (likningen sies også å ha to sammenfallende røtter). Hvis parabelen skjærer x-aksen i to punkter, har ligningen to reelle røtter (se bildet til høyre.)

Hvis koeffisient (visningsstil a) en positiv, grenene til parablen er rettet oppover og omvendt. Hvis koeffisienten (visningsstil b) bpositiv (hvis positiv (visningsstil a) en, hvis negativ, omvendt), så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan og omvendt.

Anvendelse av andregradsligninger i livet

Den kvadratiske ligningen er mye brukt. Det brukes i mange beregninger, strukturer, sport, og også rundt oss.

La oss vurdere og gi noen eksempler på anvendelsen av den kvadratiske ligningen.

Sport. Høye hopp: under hopperens oppkjøring brukes beregninger knyttet til parabelen for å oppnå klarest mulig innvirkning på startstangen og høyflyging.

Også lignende beregninger er nødvendig i kasting. Flyrekkevidden til et objekt avhenger av kvadratisk ligning.

Astronomi. Banen til planetene kan bli funnet ved hjelp av en kvadratisk ligning.

Flyreise. Flyavgang er hovedkomponenten i flygingen. Her tar vi beregningen for lav motstand og akselerasjon av start.

Kvadratiske ligninger brukes også i ulike økonomiske disipliner, i programmer for prosessering av lyd-, video-, vektor- og rastergrafikk.

Konklusjon

Som et resultat av arbeidet som ble gjort, viste det seg at kvadratiske ligninger tiltrakk seg forskere tilbake i gamle tider, de hadde allerede møtt dem når de løste noen problemer og prøvde å løse dem. Når jeg så på forskjellige måter å løse andregradsligninger på, kom jeg til den konklusjonen at ikke alle er enkle. Etter min mening er den beste måten å løse andregradsligninger på å løse dem ved hjelp av formler. Formlene er enkle å huske, denne metoden er universell. Hypotesen om at ligninger er mye brukt i livet og matematikken ble bekreftet. Etter å ha studert emnet, lærte jeg mange interessante fakta om kvadratiske ligninger, deres bruk, anvendelse, typer, løsninger. Og jeg vil gjerne fortsette å studere dem. Jeg håper dette vil hjelpe meg med å gjøre det bra på eksamenene mine.

Liste over brukt litteratur

Materialer på nettstedet:

Wikipedia

Åpen leksjon.rf

Håndbok i elementær matematikk Vygodsky M. Ya.

Kvadratiske ligninger. Generell informasjon.

I kvadratisk ligning det må være en x-kvadrat (det er derfor den kalles

"torget") I tillegg til det kan ligningen (eller kanskje ikke!) inneholde bare X (til første potens) og

bare et tall (gratis medlem). Og det skal ikke være noen X-er til en potens større enn to.

Algebraisk ligning av generell form.

Hvor x- fri variabel, en, b, c— koeffisienter, og en≠0 .

For eksempel:

Uttrykk kalt kvadratisk trinomium.

Elementene i en kvadratisk ligning har sine egne navn:

kalt den første eller høyeste koeffisienten,

· kalt den andre eller koeffisient ved ,

· kalt et gratis medlem.

Fullfør andregradsligningen.

Disse kvadratiske ligningene har et komplett sett med termer til venstre. X kvadrat c

koeffisient EN, x til første potens med koeffisient b Og gratis medlemMed. I alle koeffisienter

må være forskjellig fra null.

Ufullstendig er en andregradsligning der minst én av koeffisientene, unntatt

ledende ledd (enten den andre koeffisienten eller frileddet) er lik null.

La oss late som det b= 0, - X til første potens vil forsvinne. Det viser seg for eksempel:

2x 2 -6x=0,

Og så videre. Og hvis begge koeffisientene b Og c er lik null, så er alt enda enklere, For eksempel:

2x 2 =0,

Merk at x-kvadrat vises i alle ligninger.

Hvorfor EN kan ikke være lik null? Da vil x i annen forsvinne og ligningen blir lineær .

Og løsningen er en helt annen...

I det moderne samfunnet kan evnen til å utføre operasjoner med ligninger som inneholder en kvadratisk variabel være nyttig på mange aktivitetsområder og er mye brukt i praksis i vitenskapelig og teknisk utvikling. Bevis på dette kan finnes i utformingen av sjø- og elvefartøyer, fly og raketter. Ved å bruke slike beregninger bestemmes bevegelsesbanene til et bredt utvalg av kropper, inkludert romobjekter. Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger brukes ikke bare i økonomisk prognoser, i design og konstruksjon av bygninger, men også i de mest vanlige hverdagslige omstendigheter. De kan være nødvendige på fotturer, på sportsbegivenheter, i butikker ved kjøp og i andre svært vanlige situasjoner.

La oss dele uttrykket inn i dets komponentfaktorer

Graden av en ligning bestemmes av maksimalverdien til graden av variabelen som uttrykket inneholder. Hvis den er lik 2, kalles en slik ligning kvadratisk.

Hvis vi snakker på formlerspråket, kan de angitte uttrykkene, uansett hvordan de ser ut, alltid bringes til formen når venstre side av uttrykket består av tre ledd. Blant dem: akse 2 (det vil si en variabel kvadratisk med koeffisienten), bx (en ukjent uten kvadrat med koeffisienten) og c (en fri komponent, det vil si et vanlig tall). Alt dette på høyre side er lik 0. I tilfellet når et slikt polynom mangler en av sine konstituerende ledd, med unntak av akse 2, kalles det en ufullstendig andregradsligning. Eksempler med løsning av slike problemer, verdiene til variablene som er enkle å finne, bør vurderes først.

Hvis uttrykket ser ut som det har to ledd på høyre side, nærmere bestemt ax 2 og bx, er den enkleste måten å finne x ved å sette variabelen ut av parentes. Nå vil ligningen vår se slik ut: x(ax+b). Deretter blir det åpenbart at enten x=0, eller problemet kommer ned til å finne en variabel fra følgende uttrykk: ax+b=0. Dette er diktert av en av egenskapene til multiplikasjon. Regelen sier at produktet av to faktorer gir 0 bare hvis en av dem er null.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to røtter av ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger av denne typen kan beskrive bevegelsen til kropper under påvirkning av tyngdekraften, som begynte å bevege seg fra et bestemt punkt tatt som opprinnelsen til koordinatene. Her har den matematiske notasjonen følgende form: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved å erstatte de nødvendige verdiene, likestille høyresiden med 0 og finne mulige ukjente, kan du finne ut tiden som går fra det øyeblikket kroppen reiser seg til det øyeblikket den faller, samt mange andre størrelser. Men vi skal snakke om dette senere.

Faktorering av et uttrykk

Regelen beskrevet ovenfor gjør det mulig å løse disse problemene i mer komplekse saker. La oss se på eksempler på løsning av andregradsligninger av denne typen.

X 2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratiske trinomialet er komplett. La oss først transformere uttrykket og faktorisere det. Det er to av dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to røtter 8 og 25.

Eksempler med å løse andregradsligninger i grad 9 lar denne metoden finne en variabel i uttrykk ikke bare av andre, men til og med av tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når du faktoriserer høyre side inn i faktorer med en variabel, er det tre av dem, det vil si (x+1), (x-3) og (x+ 3).

Som et resultat blir det åpenbart at denne ligningen har tre røtter: -3; -1; 3.

Kvadratrot

Et annet tilfelle av en ufullstendig andreordens ligning er et uttrykk representert i bokstavspråket på en slik måte at høyresiden er konstruert av komponentene akse 2 og c. Her, for å få verdien av variabelen, overføres frileddet til høyre side, og deretter trekkes kvadratroten ut fra begge sider av likheten. Det skal bemerkes at i dette tilfellet er det vanligvis to røtter til ligningen. De eneste unntakene kan være likheter som ikke inneholder et ledd med i det hele tatt, hvor variabelen er lik null, samt varianter av uttrykk når høyresiden er negativ. I sistnevnte tilfelle er det ingen løsninger i det hele tatt, siden handlingene ovenfor ikke kan utføres med røtter. Eksempler på løsninger på andregradsligninger av denne typen bør vurderes.

I dette tilfellet vil røttene til ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning av landareal

Behovet for denne typen beregninger dukket opp i eldgamle tider, fordi utviklingen av matematikk i disse fjerne tider i stor grad ble bestemt av behovet for å bestemme med størst nøyaktighet arealene og omkretsene til tomter.

Vi bør også vurdere eksempler på løsning av andregradsligninger basert på problemer av denne typen.

Så la oss si at det er en rektangulær tomt, hvis lengde er 16 meter større enn bredden. Du bør finne lengden, bredden og omkretsen av stedet hvis du vet at området er 612 m2.

For å komme i gang, la oss først lage den nødvendige ligningen. La oss angi bredden på området med x, da vil lengden være (x+16). Av det som er skrevet følger det at arealet er bestemt av uttrykket x(x+16), som i henhold til betingelsene for vår oppgave er 612. Dette betyr at x(x+16) = 612.

Å løse komplette andregradsligninger, og dette uttrykket er akkurat det, kan ikke gjøres på samme måte. Hvorfor? Selv om venstre side fortsatt inneholder to faktorer, er produktet deres ikke lik 0 i det hele tatt, så forskjellige metoder brukes her.

Diskriminerende

Først og fremst vil vi gjøre de nødvendige transformasjonene, deretter vil utseendet til dette uttrykket se slik ut: x 2 + 16x - 612 = 0. Dette betyr at vi har mottatt uttrykket i en form som tilsvarer den tidligere spesifiserte standarden, hvor a=1, b=16, c= -612.

Dette kan være et eksempel på å løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant. Her gjøres nødvendige beregninger i henhold til skjemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjelpemengden gjør det ikke bare mulig å finne de nødvendige mengdene i en andreordens ligning, den bestemmer også antall mulige alternativer. Hvis D>0, er det to av dem; for D=0 er det én rot. I tilfelle D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om røtter og deres formel

I vårt tilfelle er diskriminanten lik: 256 - 4(-612) = 2704. Dette tyder på at problemet vårt har et svar. Hvis du kjenner k, må løsningen av andregradsligninger fortsettes ved å bruke formelen nedenfor. Den lar deg beregne røttene.

Dette betyr at i det presenterte tilfellet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andre alternativet i dette dilemmaet kan ikke være en løsning, fordi dimensjonene til tomten ikke kan måles i negative mengder, noe som betyr at x (det vil si bredden på tomten) er 18 m. Herfra beregner vi lengden: 18 +16=34, og omkretsen 2(34+ 18)=104(m2).

Eksempler og oppgaver

Vi fortsetter vår studie av kvadratiske ligninger. Eksempler og detaljerte løsninger på flere av dem vil bli gitt nedenfor.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

La oss flytte alt til venstre side av likheten, gjøre en transformasjon, det vil si at vi får den typen ligning som vanligvis kalles standard, og likestille den til null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ved å legge til lignende, bestemmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Dette betyr at ligningen vår vil ha to røtter. La oss beregne dem i henhold til formelen ovenfor, noe som betyr at den første av dem vil være lik 4/3, og den andre til 1.

2) La oss nå løse mysterier av et annet slag.

La oss finne ut om det er noen røtter her x 2 - 4x + 5 = 1? For å få et omfattende svar, la oss redusere polynomet til den tilsvarende vanlige formen og beregne diskriminanten. I eksemplet ovenfor er det ikke nødvendig å løse den kvadratiske ligningen, fordi dette ikke er essensen av problemet i det hele tatt. I dette tilfellet er D = 16 - 20 = -4, noe som betyr at det egentlig ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Det er praktisk å løse kvadratiske ligninger ved å bruke formlene ovenfor og diskriminanten, når kvadratroten er tatt fra verdien av sistnevnte. Men dette skjer ikke alltid. Imidlertid er det mange måter å få verdiene til variabler på i dette tilfellet. Eksempel: løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem. Hun er oppkalt etter som levde på 1500-tallet i Frankrike og gjorde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Portrettet hans kan sees i artikkelen.

Mønsteret som den berømte franskmannen la merke til var som følger. Han beviste at røttene til ligningen summerer seg numerisk til -p=b/a, og deres produkt tilsvarer q=c/a.

La oss nå se på spesifikke oppgaver.

3x 2 + 21x - 54 = 0

For enkelhets skyld, la oss transformere uttrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

La oss bruke Vietas teorem, dette vil gi oss følgende: summen av røttene er -7, og deres produkt er -18. Herfra får vi at røttene til ligningen er tallene -9 og 2. Etter å ha sjekket vil vi forsikre oss om at disse variabelverdiene virkelig passer inn i uttrykket.

Parabelgraf og ligning

Begrepene kvadratisk funksjon og andregradsligninger er nært beslektet. Eksempler på dette er allerede gitt tidligere. La oss nå se litt mer detaljert på noen matematiske gåter. Enhver ligning av den beskrevne typen kan representeres visuelt. Et slikt forhold, tegnet som en graf, kalles en parabel. De forskjellige typene er presentert i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil si et punkt der grenene kommer ut. Hvis a>0, går de høyt til uendelig, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle representasjoner av funksjoner hjelper til med å løse alle ligninger, inkludert kvadratiske. Denne metoden kalles grafisk. Og verdien av x-variabelen er abscissekoordinaten i punktene der graflinjen skjærer 0x. Koordinatene til toppunktet kan bli funnet ved å bruke formelen som nettopp er gitt x 0 = -b/2a. Og ved å erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen til funksjonen, kan du finne ut y 0, det vil si den andre koordinaten til toppunktet til parabelen, som tilhører ordinataksen.

Skjæringspunktet mellom grenene til en parabel med abscisseaksen

Det finnes mange eksempler på løsning av kvadratiske ligninger, men det er også generelle mønstre. La oss se på dem. Det er klart at skjæringspunktet mellom grafen og 0x-aksen for a>0 bare er mulig hvis 0 tar negative verdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fra grafen til parablen kan du også bestemme røttene. Det motsatte er også sant. Det vil si at hvis det ikke er lett å få en visuell representasjon av en kvadratisk funksjon, kan du likestille høyre side av uttrykket til 0 og løse den resulterende ligningen. Og når man kjenner skjæringspunktene med 0x-aksen, er det lettere å konstruere en graf.

Fra historien

Ved å bruke ligninger som inneholder en kvadratisk variabel, gjorde de i gamle dager ikke bare matematiske beregninger og bestemte arealene til geometriske figurer. De gamle trengte slike beregninger for store funn innen fysikk og astronomi, samt for å lage astrologiske prognoser.

Som moderne vitenskapsmenn antyder, var innbyggerne i Babylon blant de første som løste kvadratiske ligninger. Dette skjedde fire århundrer før vår tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger radikalt forskjellige fra de som for tiden er akseptert og viste seg å være mye mer primitive. For eksempel hadde mesopotamiske matematikere ingen anelse om eksistensen av negative tall. De var også ukjent med andre finesser som ethvert moderne skolebarn kjenner til.

Kanskje enda tidligere enn forskerne i Babylon begynte vismannen fra India Baudhayama å løse kvadratiske ligninger. Dette skjedde omtrent åtte århundrer før Kristi æra. Riktignok var andreordensligningene, metodene for å løse som han ga, de enkleste. Foruten ham var kinesiske matematikere også interessert i lignende spørsmål i gamle dager. I Europa begynte kvadratiske ligninger å bli løst først på begynnelsen av 1200-tallet, men senere ble de brukt i deres arbeider av så store forskere som Newton, Descartes og mange andre.