Du trenger

• - egenskaper til symmetriske punkter;
• - egenskapene til symmetriske figurer;
• - linjal;
• - firkantet;
• - kompass;
• - blyant;
• - et ark papir;
• - en datamaskin med et grafikkredigeringsprogram.

Instruksjoner

Tegn en rett linje a, som vil være symmetriaksen. Hvis koordinatene ikke er spesifisert, tegner du den vilkårlig. Plasser et vilkårlig punkt A på den ene siden av denne linjen. Du må finne et symmetrisk punkt.

Nyttige råd

Symmetriegenskaper brukes konstant i AutoCAD. For å gjøre dette, bruk Mirror-alternativet. For å konstruere en likebenet trekant eller likebenet trapes, er det nok å tegne den nedre basen og vinkelen mellom den og siden. Reflekter dem ved å bruke den angitte kommandoen og forleng sidene til ønsket størrelse. Når det gjelder en trekant, vil dette være skjæringspunktet deres, og for en trapes vil dette være en gitt verdi.

Du støter stadig på symmetri i grafiske redaktører når du bruker alternativet "flip vertikalt/horisontalt". I dette tilfellet tas symmetriaksen til å være en rett linje som tilsvarer en av de vertikale eller horisontale sidene av bilderammen.

Kilder:

• hvordan tegne sentral symmetri

Å konstruere et tverrsnitt av en kjegle er ikke en så vanskelig oppgave. Det viktigste er å følge en streng sekvens av handlinger. Da vil denne oppgaven være lett å utføre og vil ikke kreve mye arbeid fra deg.

Du trenger

• - papir;
• - penn;
• - sirkel;
• - linjal.

Instruksjoner

Når du svarer på dette spørsmålet, må du først bestemme hvilke parametere som definerer seksjonen.
La dette være den rette skjæringslinjen til planet l med planet og punktet O, som er skjæringspunktet med dets snitt.

Konstruksjonen er illustrert i fig. 1. Det første trinnet i å konstruere en seksjon er gjennom midten av seksjonen av dens diameter, utvidet til l vinkelrett på denne linjen. Resultatet er punkt L. Tegn deretter en rett linje LW gjennom punkt O, og konstruer to styrekjegler som ligger i hovedseksjonen O2M og O2C. I skjæringspunktet mellom disse føringene ligger punktet Q, samt det allerede viste punktet W. Dette er de to første punktene i ønsket snitt.

Tegn nå en vinkelrett MS ved bunnen av kjeglen BB1 og konstruer generatriser av den vinkelrette seksjonen O2B og O2B1. I denne delen, gjennom punkt O, tegner du en rett linje RG parallelt med BB1. Т.R og Т.G er ytterligere to punkter i ønsket seksjon. Hvis tverrsnittet til ballen var kjent, kunne den bygges allerede på dette stadiet. Dette er imidlertid ikke en ellipse i det hele tatt, men noe elliptisk som har symmetri med hensyn til segmentet QW. Derfor bør du konstruere så mange seksjonspunkter som mulig for å koble dem senere med en jevn kurve for å få den mest pålitelige skissen.

Konstruer et vilkårlig seksjonspunkt. For å gjøre dette, tegn en vilkårlig diameter AN ved bunnen av kjeglen og konstruer de tilsvarende føringene O2A og O2N. Gjennom t.O, tegn en linje som går gjennom PQ og WG til den skjærer de nykonstruerte føringene ved punktene P og E. Dette er ytterligere to punkter av ønsket snitt. Fortsetter du på samme måte, kan du finne så mange poeng du vil.

Riktignok kan prosedyren for å få dem forenkles litt ved å bruke symmetri med hensyn til QW. For å gjøre dette kan du tegne rette linjer SS’ i planet til ønsket seksjon, parallelt med RG til de krysser overflaten av kjeglen. Konstruksjonen fullføres ved å avrunde den konstruerte polylinjen fra akkorder. Det er nok å konstruere halvparten av ønsket seksjon på grunn av den allerede nevnte symmetrien med hensyn til QW.

Video om emnet

Tips 3: Hvordan lage en graf trigonometrisk funksjon

Du må tegne rute trigonometrisk funksjoner? Mestre algoritmen for handlinger ved å bruke eksemplet med å konstruere en sinusoid. For å løse problemet, bruk forskningsmetoden.

Du trenger

• - linjal;
• - blyant;
• - kunnskap om det grunnleggende innen trigonometri.

Instruksjoner

Video om emnet

Vær oppmerksom på

Hvis de to halvaksene til en enkelt-strips hyperboloid er like, kan figuren oppnås ved å rotere en hyperbel med halvakser, hvorav den ene er den ovenfor, og den andre, forskjellig fra de to like, rundt imaginær akse.

Nyttige råd

Når man undersøker denne figuren i forhold til Oxz- og Oyz-aksene, er det klart at hoveddelene er hyperbler. Og når denne romlige rotasjonsfiguren kuttes av Oxy-planet, er dens seksjon en ellipse. Halsellipsen til en enkelt-strips hyperboloid går gjennom origo for koordinater, fordi z=0.

Halsellipsen er beskrevet av ligningen x²/a² +y²/b²=1, og de andre ellipsene er sammensatt av ligningen x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Kilder:

• Ellipsoider, paraboloider, hyperboloider. Rettlinjede generatorer

Formen til en femspiss stjerne har vært mye brukt av mennesker siden antikken. Vi anser dens form som vakker fordi vi ubevisst gjenkjenner forholdene til det gylne snitt i den, dvs. skjønnheten til den femtakkede stjernen er matematisk begrunnet. Euklid var den første som beskrev konstruksjonen av en femspiss stjerne i sine elementer. La oss bli med på hans erfaring.

Du trenger

• hersker;
• blyant;
• kompass;
• gradskive.

Instruksjoner

Konstruksjonen av en stjerne kommer ned til konstruksjonen og den påfølgende koblingen av toppene til hverandre sekvensielt gjennom en. For å bygge den riktige, må du dele sirkelen i fem.
Konstruer en vilkårlig sirkel ved hjelp av et kompass. Merk midten med punktet O.

Merk punkt A og bruk en linjal til å tegne linjestykke OA. Nå må du dele segmentet OA i to for å gjøre dette, fra punkt A, tegne en bue med radius OA til den skjærer sirkelen i to punkter M og N. Konstruer segmentet MN. Punktet E der MN skjærer OA vil halvere segment OA.

Gjenopprett den perpendikulære OD til radius OA og koble punktene D og E. Lag et hakk B på OA fra punkt E med radius ED.

Nå, bruk linjestykket DB, merk sirkelen i fem like deler. Merk toppunktene til den regulære femkanten sekvensielt med tall fra 1 til 5. Koble prikkene i følgende rekkefølge: 1 med 3, 2 med 4, 3 med 5, 4 med 1, 5 med 2. Her er den vanlige femspiss stjerne, inn i en vanlig femkant. Det er akkurat slik jeg bygde det

Så, når det gjelder geometri: det er tre hovedtyper av symmetri.

For det første sentral symmetri (eller symmetri om et punkt) - dette er en transformasjon av planet (eller rommet), der et enkelt punkt (punkt O - symmetrisenteret) forblir på plass, mens de resterende punktene endrer posisjon: i stedet for punkt A får vi punkt A1 slik at punkt O er midten av segmentet AA1. For å konstruere en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф i forhold til punktet O, må du tegne en stråle gjennom hvert punkt på figuren Ф, som går gjennom punktet O (symmetrisenter), og på denne strålen legges et punkt som er symmetrisk. til den valgte i forhold til punktet O. Settet med punkter konstruert på denne måten vil gi figuren F1.

Av stor interesse er figurer som har et symmetrisenter: med symmetri om punktet O blir et hvilket som helst punkt i figuren Φ igjen forvandlet til et bestemt punkt i figuren Φ Det er mange slike figurer i geometrien. For eksempel: et segment (midten av segmentet er symmetrisenteret), en rett linje (hvilket som helst punkt på det er sentrum av dets symmetri), en sirkel (sentrum av sirkelen er symmetrisenteret), en rektangel (skjæringspunktet mellom diagonalene er symmetrisenteret). Mange sentralt symmetriske objekter i levende og livløs natur(studentmelding). Ofte lager folk selv objekter som har en sentersymmetrier (eksempler fra håndverk, eksempler fra maskinteknikk, eksempler fra arkitektur og mange andre eksempler).

For det andre aksial symmetri (eller symmetri om en rett linje) - dette er en transformasjon av et plan (eller rom), der bare punktene på den rette linjen p forblir på plass (denne rette linjen er symmetriaksen), mens de resterende punktene endrer posisjon: i stedet for punkt B få et punkt B1 slik at den rette linjen p er halveringslinjen vinkelrett på segmentet BB1 . For å konstruere en figur Ф1, symmetrisk til figuren Ф, i forhold til den rette linjen р, er det nødvendig for hvert punkt i figuren Ф å konstruere et punkt som er symmetrisk til den i forhold til den rette linjen р. Settet med alle disse konstruerte punktene gir ønsket figur F1. Det er mange geometriske former har en symmetriakse.

Et rektangel har to, et kvadrat har fire, en sirkel har en rett linje som går gjennom midten. Hvis du ser nøye på bokstavene i alfabetet, kan du blant dem finne de som har horisontale eller vertikale, og noen ganger begge, symmetriakser. Gjenstander med symmetriakser finnes ganske ofte i levende og livløs natur (studentrapporter). I sin aktivitet lager en person mange gjenstander (for eksempel ornamenter) som har flere symmetriakser.

______________________________________________________________________________________________________

For det tredje, plan (speil) symmetri (eller symmetri om et plan) - dette er en transformasjon av rommet der bare punkter i ett plan beholder sin plassering (α-symmetriplan), de gjenværende punktene i rommet endrer posisjon: i stedet for punkt C, oppnås et punkt C1 slik at planet α passerer gjennom midten av segmentet CC1, vinkelrett på det.

For å konstruere en figur Ф1, symmetrisk med figuren Ф i forhold til planet α, er det nødvendig for hvert punkt i figuren Ф å bygge punkter symmetriske i forhold til α, de danner figuren Ф1.

Oftest møter vi tredimensjonale kropper i tingenes og gjenstandenes verden rundt oss. Og noen av disse kroppene har symmetriplan, noen ganger til og med flere. Og mennesket selv, i sine aktiviteter (konstruksjon, håndverk, modellering, ...) skaper objekter med symmetriplan.

Det er verdt å merke seg at, sammen med de tre listede typene symmetri, er det (i arkitektur)bærbar og roterende, som i geometri er sammensetninger av flere bevegelser.

Aksial symmetri og begrepet perfeksjon

Aksial symmetri er iboende i alle former i naturen og er en av grunnleggende prinsipper skjønnhet. Siden antikken har mennesket prøvd

å forstå betydningen av perfeksjon. Dette konseptet ble først underbygget av kunstnere, filosofer og matematikere Antikkens Hellas. Og selve ordet "symmetri" ble oppfunnet av dem. Det betegner proporsjonalitet, harmoni og identitet til delene av helheten. Den gamle greske tenkeren Platon hevdet at bare et objekt som er symmetrisk og proporsjonalt kan være vakkert. Faktisk, de fenomenene og formene som er proporsjonale og fullstendige "behager øyet." Vi kaller dem riktige.

Aksial symmetri som konsept

Symmetri i verden av levende vesener manifesteres i det vanlige arrangementet av identiske deler av kroppen i forhold til sentrum eller aksen. Oftere i

Aksial symmetri forekommer i naturen. Det avgjør ikke bare generell struktur organisme, men også mulighetene for dens etterfølgende utvikling. De geometriske formene og proporsjonene til levende vesener er dannet av "aksial symmetri". Definisjonen er formulert som følger: dette er egenskapen til objekter som skal kombineres under ulike transformasjoner. De gamle trodde at sfæren besitter prinsippet om symmetri i full utstrekning. De betraktet denne formen som harmonisk og perfekt.

Aksial symmetri i levende natur

Hvis du ser på noen levende skapning, fanger symmetrien til kroppens struktur umiddelbart øyet. Menneske: to armer, to ben, to øyne, to ører og så videre. Hver dyreart har en karakteristisk farge. Hvis et mønster vises i fargen, speiles det som regel på begge sider. Dette betyr at det er en viss linje langs hvilken dyr og mennesker visuelt kan deles inn i to identiske halvdeler, det vil si at deres geometriske struktur er basert på aksial symmetri. Naturen skaper enhver levende organisme ikke kaotisk og meningsløst, men iht generelle lover verdensorden, fordi ingenting i universet har et rent estetisk, dekorativt formål. Tilgjengelighet ulike former også på grunn av naturlig nødvendighet.

Aksial symmetri i livløs natur

I verden er vi omgitt overalt av slike fenomener og gjenstander som: tyfon, regnbue, dråpe, blader, blomster, etc. Deres speil, radielle, sentrale, aksiale symmetri er åpenbar. Det skyldes i stor grad tyngdekraftsfenomenet. Ofte refererer begrepet symmetri til regelmessigheten av endringer i visse fenomener: dag og natt, vinter, vår, sommer og høst, og så videre. I praksis eksisterer denne egenskapen uansett hvor orden observeres. Og selve naturlovene - biologiske, kjemiske, genetiske, astronomiske - er underlagt symmetriprinsippene som er felles for oss alle, siden de har en misunnelsesverdig systematikk. Dermed har balanse og identitet som prinsipp et universelt virkeområde. Aksial symmetri i naturen er en av "hjørnesteinslovene" som universet som helhet er basert på.

Aksial symmetri. Med aksial symmetri går hvert punkt i figuren til et punkt som er symmetrisk i forhold til en fast rett linje.

Bilde 35 fra presentasjonen «Ornament» for geometritimer om emnet "Symmetri"

Dimensjoner: 360 x 260 piksler, format: jpg.

For å laste ned et gratis bilde for en geometritime, høyreklikk på bildet og klikk "Lagre bilde som...".

For å vise bilder i leksjonen kan du også laste ned hele presentasjonen «Ornament.ppt» med alle bildene i et zip-arkiv gratis. Arkivstørrelsen er 3324 KB.

Last ned presentasjon Symmetri"Symmetripunkt" -

Sentral symmetri

. A a A1. Aksial og sentral symmetri. Punkt C kalles symmetrisenteret. Symmetri i hverdagen. En sirkulær kjegle har aksial symmetri; symmetriaksen er kjeglens akse. Figurer som har mer enn to symmetriakser. Et parallellogram har bare sentral symmetri.

"Symmetri i naturen" - En av hovedegenskapene til geometriske former er symmetri. Temaet ble ikke valgt ved en tilfeldighet, for neste år må vi begynne å studere et nytt fag - geometri. Fenomenet symmetri i levende natur ble lagt merke til tilbake i antikkens Hellas. Vi studerer i skolens vitenskapelige samfunn fordi vi elsker å lære noe nytt og ukjent.

"Bevegelse i geometri" - Matematikk er vakkert og harmonisk! Gi eksempler på bevegelse. Bevegelse i geometri. Hva er bevegelse? Hvilke vitenskaper gjelder bevegelse for? Hvordan bevegelse brukes i ulike felt menneskelig aktivitet? En gruppe teoretikere. Bevegelsesbegrepet Aksial symmetri Sentral symmetri. Kan vi se bevegelse i naturen?

"Symmetri i kunst" - Levitan. RAPHAEL. II.1. Andel i arkitektur. Rytme er et av hovedelementene for uttrykksevnen til en melodi. R. Descartes. Ship Grove. A.V. Voloshinov. Velazquez "Surrender of Breda" Eksternt kan harmoni manifestere seg i melodi, rytme, symmetri, proporsjonalitet. II.4. Andel i litteratur.

Det er totalt 32 presentasjoner i emnet

I århundrer har symmetri forblitt et emne som har fascinert filosofer, astronomer, matematikere, kunstnere, arkitekter og fysikere. De gamle grekerne var helt besatt av det - og selv i dag har vi en tendens til å møte symmetri i alt fra møbelarrangement til hårklipp.

Bare husk at når du først innser dette, vil du sannsynligvis føle en overveldende trang til å se etter symmetri i alt du ser.

(Totalt 10 bilder)

Post sponsor: Program for nedlasting av musikk på VKontakte: Ny versjon Catch in Contact-programmet gir deg muligheten til enkelt og raskt å laste ned musikk og videoer lagt ut av brukere fra sidene til de mest kjente sosialt nettverk vkontakte.ru.

1. Brokkoli Romanesco

Kanskje du så Romanesco-brokkoli i butikken og trodde det var nok et eksempel på et genmodifisert produkt. Men faktisk er dette et annet eksempel på naturens fraktale symmetri. Hver brokkolibukk har et logaritmisk spiralmønster. Romanesco ligner i utseende på brokkoli, men i smak og konsistens - blomkål. Den er rik på karotenoider, samt vitamin C og K, noe som gjør den ikke bare vakker, men også sunn mat.

I tusenvis av år har folk undret seg over den perfekte sekskantede formen til honningkaker og spurt seg selv hvordan bier instinktivt kunne lage en form som mennesker bare kunne reprodusere med kompass og linjal. Hvordan og hvorfor har bier en lidenskap for å lage sekskanter? Matematikere tror at dette er perfekt form, som lar dem lagre maksimalt mulig mengde honning ved hjelp av minimumsmengde voks. Uansett er alt et produkt av naturen, og det er forbaska imponerende.

3. Solsikker

Solsikker skryte av radiell symmetri og interessant fyr symmetri kjent som Fibonacci-sekvensen. Fibonacci-sekvens: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. (hvert tall bestemmes av summen av de to foregående tallene). Hvis vi tok oss god tid og telte antall frø i en solsikke, ville vi funnet ut at antall spiraler vokser i henhold til prinsippene i Fibonacci-sekvensen. Det er mange planter i naturen (inkludert Romanesco-brokkoli) hvis kronblader, frø og blader samsvarer med denne sekvensen, og det er derfor det er så vanskelig å finne en kløver med fire blader.

Men hvorfor følger solsikker og andre planter matematiske regler? Som sekskantene i en bikube, er det et spørsmål om effektivitet.

4. Nautilus Shell

I tillegg til planter følger noen dyr, som Nautilus, Fibonacci-sekvensen. Skallet til Nautilus vrir seg inn i en Fibonacci-spiral. Skallet prøver å opprettholde samme proporsjonale form, noe som gjør at det kan opprettholde det hele livet (i motsetning til mennesker, som endrer proporsjoner gjennom hele livet). Ikke alle Nautiluses har et Fibonacci-skall, men de følger alle en logaritmisk spiral.

Før du misunner mattemuslingene, husk at de ikke gjør dette med vilje, det er bare at denne formen er den mest rasjonelle for dem.

5. Dyr

De fleste dyr har bilateral symmetri, noe som betyr at de kan deles i to identiske halvdeler. Selv mennesker har bilateral symmetri, og noen forskere mener at menneskelig symmetri er den mest viktig faktor, som påvirker oppfatningen av vår skjønnhet. Med andre ord, hvis du har et ensidig ansikt, kan du bare håpe at det blir kompensert av andre gode egenskaper.

Noen går til fullstendig symmetri i et forsøk på å tiltrekke seg en kompis, for eksempel påfuglen. Darwin ble positivt irritert over fuglen, og skrev i et brev at "Synet av halefjærene til en påfugl, når jeg ser på den, gjør meg kvalm!" For Darwin virket halen tungvint og ga ingen evolusjonær mening, siden den ikke passet med hans teori om «survival of the fittest». Han var rasende helt til han kom med teorien om seksuell seleksjon, som sier at dyr utvikler seg visse funksjoner for å øke sjansene for parring. Derfor har påfugler forskjellige tilpasninger for å tiltrekke seg en partner.

Det er rundt 5000 typer edderkopper, og de skaper alle en nesten perfekt sirkulær vev med radielle støttetråder nesten lik avstand og spiralstoff for å fange byttedyr. Forskere er ikke sikre på hvorfor edderkopper elsker geometri så mye, ettersom tester har vist at en rund klut ikke vil lokke mat bedre enn et lerret uregelmessig form. Forskere teoretiserer at radiell symmetri jevnt fordeler slagkraften når byttedyr fanges i nettet, noe som resulterer i færre brudd.

Gi et par lure et brett, klippere og mørkets sikkerhet, og du vil se at folk også lager symmetriske former. På grunn av kompleksiteten i designet og den utrolige symmetrien til kornsirkler, selv etter at skaperne av sirklene tilsto og demonstrerte ferdighetene sine, tror mange fortsatt at de ble laget av romvesener.

Etter hvert som sirklene blir mer komplekse, blir deres kunstige opphav stadig tydeligere. Det er ulogisk å anta at romvesener vil gjøre meldingene deres stadig vanskeligere når vi ikke engang kunne tyde de første.

Uansett hvordan de ble til, er kornsirkler en fryd å se på, hovedsakelig fordi geometrien deres er imponerende.

Selv små formasjoner som snøfnugg er styrt av symmetrilovene, siden de fleste snøflak har sekskantet symmetri. Dette skjer delvis på grunn av måten vannmolekyler stiller opp når de størkner (krystalliserer). Vannmolekyler tilegner seg fast tilstand, danner svak hydrogenbindinger, justerer de seg i et ryddig arrangement som balanserer kreftene til tiltrekning og frastøting, og danner den sekskantede formen til snøfnugget. Men samtidig er hvert snøfnugg symmetrisk, men ikke ett snøfnugg er likt det andre. Dette skjer fordi når hvert snøfnugg faller ned fra himmelen, opplever det unike atmosfæriske forhold som får krystallene til å ordne seg på en bestemt måte.

9. Melkeveisgalaksen

Som vi allerede har sett, symmetri og matematiske modeller eksisterer nesten overalt, men er disse naturlovene begrenset til vår planet? Åpenbart ikke. Nylig åpnet en ny seksjon på Galaxy's Edge Melkeveien, og astronomer mener at galaksen er et nesten perfekt speilbilde av seg selv.

10. Sol-måne symmetri

Tatt i betraktning at solen har en diameter på 1,4 millioner km, og månen - 3474 km, virker det nesten umulig at månen kan blokkere sollys og gir oss omtrent fem solformørkelser hvert annet år. Hvordan fungerer dette? Tilfeldigvis, mens solen er omtrent 400 ganger bredere enn månen, er solen også 400 ganger lenger unna. Symmetri sikrer at solen og månen er like store når de sees fra jorden, slik at månen kan skjule solen. Selvfølgelig kan avstanden fra jorden til solen øke, og det er derfor vi noen ganger ser ringformede og delvise formørkelser. Men hvert eller hvert annet år skjer en fin justering, og vi er vitne til en spektakulær begivenhet kjent som komplett solformørkelse. Astronomer vet ikke hvor vanlig denne symmetrien er blant andre planeter, men de tror den er ganske sjelden. Vi bør imidlertid ikke anta at vi er spesielle, da det hele er et spørsmål om tilfeldigheter. For eksempel, hvert år beveger månen seg omtrent 4 cm fra jorden, noe som betyr at for milliarder av år siden ville hver solformørkelse ha vært en total formørkelse. Hvis ting fortsetter slik, vil totale formørkelser til slutt forsvinne, og dette vil bli ledsaget av at ringformørkelser forsvinner. Det viser seg at vi rett og slett er på rett sted til rett tid for å se dette fenomenet.