Derivati complessi. Derivata logaritmica

Su cui abbiamo analizzato i derivati più semplici e abbiamo anche conosciuto le regole di differenziazione e alcune metodi tecnici trovare le derivate. Pertanto, se non sei molto bravo con le derivate di funzioni o alcuni punti di questo articolo non ti sono del tutto chiari, leggi prima la lezione precedente. Per favore, mettetevi di umore serio: il materiale non è semplice, ma cercherò comunque di presentarlo in modo semplice e chiaro.

In pratica con la derivata funzione complessa devi affrontare molto spesso, direi addirittura, quasi sempre, quando ti vengono affidati compiti per trovare derivati.

Osserviamo la tabella sulla regola (n. 5) per differenziare una funzione complessa:

Scopriamolo. Prima di tutto prestiamo attenzione all'inserimento. Qui abbiamo due funzioni – e , e la funzione, in senso figurato, è annidata all'interno della funzione . Una funzione di questo tipo (quando una funzione è annidata all'interno di un'altra) è chiamata funzione complessa.

Chiamerò la funzione funzione esterna e la funzione – funzione interna (o annidata)..

! Queste definizioni non sono teoriche e non dovrebbero apparire nella progettazione finale degli incarichi. Utilizzo le espressioni informali “funzione esterna”, funzione “interna” solo per facilitare la comprensione del materiale.

Per chiarire la situazione, considerare:

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione

Sotto il seno non abbiamo solo la lettera “X”, ma un'intera espressione, quindi trovare la derivata direttamente dalla tabella non funzionerà. Notiamo anche che qui è impossibile applicare le prime quattro regole, sembra che ci sia una differenza, ma il fatto è che il seno non può essere “fatto a pezzi”:

IN in questo esempioÈ già intuitivamente chiaro dalle mie spiegazioni che una funzione è una funzione complessa e che il polinomio è una funzione interna (incorporamento) e una funzione esterna.

Primo passo quello che devi fare per trovare la derivata di una funzione complessa è capire quale funzione è interna e quale è esterna.

Nel caso semplici esempi Sembra chiaro che sotto il seno si trova un polinomio. Ma cosa succede se tutto non è ovvio? Come determinare con precisione quale funzione è esterna e quale è interna? Per fare ciò, suggerisco di utilizzare la seguente tecnica, che può essere eseguita mentalmente o in bozza.

Immaginiamo di dover calcolare il valore dell'espressione at su una calcolatrice (invece di uno può esserci un numero qualsiasi).

Cosa calcoleremo per primo? Prima di tutto dovrai eseguire la seguente azione: , quindi il polinomio sarà una funzione interna:

In secondo luogo dovrà essere trovato, quindi seno – sarà una funzione esterna:

Dopo noi ESAURITO con le funzioni interne ed esterne, è tempo di applicare la regola della differenziazione delle funzioni complesse .

Iniziamo a decidere. Dalla lezione Come trovare la derivata? ricordiamo che il progetto di una soluzione a qualsiasi derivata inizia sempre così: racchiudiamo l'espressione tra parentesi e inseriamo un tratto in alto a destra:

All'inizio troviamo la derivata della funzione esterna (seno), guardiamo la tabella delle derivate delle funzioni elementari e notiamo che . Tutte le formule della tabella sono applicabili anche se "x" viene sostituito con un'espressione complessa, in questo caso:

notare che funzione interna non è cambiato, non lo tocchiamo.

Beh, è abbastanza ovvio

Il risultato dell'applicazione della formula nella sua forma finale assomiglia a questo:

Il fattore costante è solitamente posto all'inizio dell'espressione:

In caso di malintesi, scrivere la soluzione su carta e leggere nuovamente le spiegazioni.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Come sempre scriviamo:

Scopriamo dove abbiamo una funzione esterna e dove ne abbiamo una interna. Per fare ciò, proviamo (mentalmente o in una bozza) a calcolare il valore dell'espressione a . Cosa dovresti fare prima? Innanzitutto bisogna calcolare a cosa equivale la base: quindi il polinomio è la funzione interna:

E solo allora viene eseguito l'elevamento a potenza, quindi la funzione di potenza è una funzione esterna:

Secondo la formula , per prima cosa devi trovare la derivata della funzione esterna, in questo caso il grado. Cerchiamo nella tabella la formula richiesta: . Ripetiamo ancora: qualsiasi formula tabulare è valida non solo per “X”, ma anche per un'espressione complessa. Pertanto, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa Prossimo:

Sottolineo ancora una volta che quando prendiamo la derivata della funzione esterna, la nostra funzione interna non cambia:

Ora non resta che trovare una derivata molto semplice della funzione interna e modificare leggermente il risultato:

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Per consolidare la tua comprensione della derivata di una funzione complessa, darò un esempio senza commenti, proverò a capirlo da solo, ragionando su dove si trova la funzione esterna e dove è interna, perché i compiti vengono risolti in questo modo?

Esempio 5

a) Trovare la derivata della funzione

b) Trovare la derivata della funzione

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Qui abbiamo una radice e per differenziare la radice bisogna rappresentarla come una potenza. Pertanto, per prima cosa portiamo la funzione nella forma appropriata per la differenziazione:

Analizzando la funzione, arriviamo alla conclusione che la somma dei tre termini è una funzione interna, mentre l'elevazione a potenza è una funzione esterna. Applichiamo la regola della differenziazione delle funzioni complesse :

Rappresentiamo nuovamente il grado come radicale (radice) e per la derivata della funzione interna applichiamo una semplice regola per differenziare la somma:

Pronto. Puoi anche ridurre l'espressione a un denominatore comune tra parentesi e scrivere tutto come una frazione. È bello, ovviamente, ma quando ottieni derivate lunghe ingombranti, è meglio non farlo (è facile confondersi, commettere un errore non necessario e sarà scomodo per l'insegnante controllare).

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

È interessante notare che a volte invece della regola per differenziare una funzione complessa, si può usare la regola per differenziare un quoziente , ma una soluzione del genere sembrerà una perversione insolita. Ecco un tipico esempio:

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi usare la regola di differenziazione del quoziente , ma è molto più vantaggioso trovare la derivata attraverso la regola di derivazione di una funzione complessa:

Prepariamo la funzione per la differenziazione: spostiamo il meno fuori dal segno della derivata e innalziamo il coseno al numeratore:

Il coseno è una funzione interna, l'elevamento a potenza è una funzione esterna.
Usiamo la nostra regola :

Troviamo la derivata della funzione interna e ripristiniamo il coseno:

Pronto. Nell'esempio considerato è importante non confondersi nei segni. A proposito, prova a risolverlo usando la regola , le risposte devono corrispondere.

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo (risposta alla fine della lezione).

Finora abbiamo esaminato i casi in cui avevamo un solo annidamento in una funzione complessa. Nelle attività pratiche, puoi spesso trovare derivati, dove, come le bambole che nidificano, una dentro l'altra, vengono annidate 3 o anche 4-5 funzioni contemporaneamente.

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Comprendiamo gli allegati di questa funzione. Proviamo a calcolare l'espressione utilizzando il valore sperimentale. Come potremmo contare su una calcolatrice?

Per prima cosa devi trovare , il che significa che l'arcoseno è l'incorporamento più profondo:

Questo arcoseno di uno dovrebbe quindi essere quadrato:

E infine eleviamo sette a potenza:

Cioè, in questo esempio abbiamo tre funzioni diverse e due incorporamenti, mentre la funzione più interna è l'arcoseno e la funzione più esterna è la funzione esponenziale.

Iniziamo a decidere

Secondo la regola Per prima cosa devi prendere la derivata della funzione esterna. Guardiamo la tabella dei derivati e troviamo il derivato funzione esponenziale: L'unica differenza è che al posto di “x” abbiamo un'espressione complessa, che non nega la validità di questa formula. Quindi, il risultato dell'applicazione della regola per differenziare una funzione complessa Prossimo.

Nel derivare la primissima formula della tabella, procederemo dalla definizione della funzione derivativa in un punto. Portiamo dove X– qualsiasi numero reale, cioè X– qualsiasi numero del dominio di definizione della funzione. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento in:

È da notare che sotto il segno limite si ottiene l'espressione che non è l'incertezza dello zero diviso zero, poiché il numeratore non contiene un valore infinitesimo, ma appunto zero. In altre parole, l'incremento di una funzione costante è sempre zero.

Così, derivata di una funzione costanteè uguale a zero in tutto il dominio di definizione.

Derivata di una funzione di potenza.

Formula derivativa funzione di potenza sembra , dove l'esponente P– qualsiasi numero reale.

Dimostriamo prima la formula per l'esponente naturale, cioè per p = 1, 2, 3, …

Utilizzeremo la definizione di derivata. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione di potenza e l'incremento dell'argomento:

Per semplificare l'espressione al numeratore, ricorriamo alla formula binomiale di Newton:

Quindi,

Ciò dimostra la formula per la derivata di una funzione di potenza per un esponente naturale.

Derivata di una funzione esponenziale.

Presentiamo la derivazione della formula della derivata in base alla definizione:

Siamo arrivati all’incertezza. Per espanderlo, introduciamo una nuova variabile e in . Poi . Nell'ultima transizione abbiamo utilizzato la formula per passare a una nuova base logaritmica.

Sostituiamo nel limite originale:

Se ricordiamo il secondo limite notevole, arriviamo alla formula per la derivata della funzione esponenziale:

Derivata di una funzione logaritmica.

Dimostriamo la formula per la derivata di una funzione logaritmica per tutti X dal dominio di definizione e tutti i valori validi della base UN logaritmo Per definizione di derivata abbiamo:

Come hai notato, durante la dimostrazione le trasformazioni sono state effettuate sfruttando le proprietà del logaritmo. Uguaglianza è vero a causa del secondo limite notevole.

Derivate di funzioni trigonometriche.

Per derivare le formule per le derivate delle funzioni trigonometriche, dovremo ricordare alcune formule di trigonometria, nonché il primo limite notevole.

Per definizione della derivata della funzione seno che abbiamo .

Usiamo la formula della differenza dei seni:

Resta da passare al primo limite notevole:

Quindi, la derivata della funzione peccato x C'è cos x.

La formula per la derivata del coseno si dimostra esattamente allo stesso modo.

Pertanto, la derivata della funzione cos x C'è –peccato x.

Deriveremo le formule per la tabella delle derivate per tangente e cotangente utilizzando regole comprovate di differenziazione (derivata di una frazione).

Derivate di funzioni iperboliche.

Le regole di derivazione e la formula per la derivata della funzione esponenziale dalla tabella delle derivate ci permettono di ricavare formule per le derivate del seno iperbolico, coseno, tangente e cotangente.

Derivata della funzione inversa.

Per evitare confusione durante la presentazione, indichiamo in pedice l'argomento della funzione con cui viene eseguita la differenziazione, cioè è la derivata della funzione f(x) Di X.

Ora formuliamo regola per trovare la derivata di una funzione inversa.

Passiamo alle funzioni y = f(x) E x = g(y) reciprocamente inverse, definite sugli intervalli e rispettivamente. Se in un punto esiste una derivata finita diversa da zero della funzione f(x), allora nel punto esiste una derivata finita della funzione inversa g(y), E . In un altro post .

Questa regola può essere riformulata per qualsiasi X dall'intervallo , quindi otteniamo .

Verifichiamo la validità di queste formule.

Troviamo la funzione inversa per il logaritmo naturale (Qui sìè una funzione e X- discussione). Avendo risolto questa equazione per X, otteniamo (qui Xè una funzione e sì– la sua argomentazione). Questo è, e funzioni reciprocamente inverse.

Dalla tabella dei derivati lo vediamo E .

Assicuriamoci che le formule per trovare le derivate della funzione inversa ci portino agli stessi risultati:

Calcolo derivativo- una delle operazioni più importanti nel calcolo differenziale. Di seguito è riportata una tabella per trovare le derivate di funzioni semplici. Di più regole complesse differenziazione, vedere altre lezioni:

Tavola delle derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche

Utilizzare le formule fornite come valori di riferimento. Aiuteranno a risolvere equazioni differenziali e problemi. Nell'immagine, nella tabella delle derivate di funzioni semplici, c'è un "cheat sheet" dei principali casi di ricerca di una derivata in una forma comprensibile per l'uso, accanto ad essa ci sono le spiegazioni per ciascun caso.

Derivate di funzioni semplici

1. La derivata di un numero è zero
с´ = 0
Esempio:
5´ = 0

Spiegazione:
La derivata mostra la velocità con cui cambia il valore di una funzione quando cambia il suo argomento. Poiché il numero non cambia in alcuna condizione, il tasso della sua variazione è sempre pari a zero.

2. Derivata di una variabile uguale a uno
x´ = 1

Spiegazione:
Con ogni incremento dell'argomento (x) di uno, il valore della funzione (il risultato dei calcoli) aumenta della stessa quantità. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione y = x è esattamente uguale alla velocità di variazione del valore dell'argomento.

3. La derivata di una variabile e di un fattore è uguale a questo fattore
сx´ = с
Esempio:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Spiegazione:
In questo caso, ogni volta che cambia l'argomento della funzione ( X) il suo valore (y) aumenta di Con una volta. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione rispetto alla velocità di variazione dell'argomento è esattamente uguale al valore Con.

Da ciò consegue ciò
(cx + b)" = c
cioè il differenziale della funzione lineare y=kx+b è uguale a pendenza pendenza della retta (k).

4. Derivata modulo di una variabile uguale al quoziente di questa variabile al suo modulo
|x|"=x/|x| a condizione che x ≠ 0
Spiegazione:
Poiché la derivata di una variabile (vedi formula 2) è uguale a uno, la derivata del modulo differisce solo per il fatto che il valore del tasso di variazione della funzione cambia al contrario quando attraversa il punto di origine (prova a disegnare un grafico della funzione y = |x| e verifica tu stesso questo è esattamente il valore e restituisce l'espressione x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Cioè, quando valori negativi variabile x, ad ogni aumento dell'argomento, il valore della funzione diminuisce esattamente dello stesso valore, e per quelli positivi, al contrario, aumenta, ma esattamente dello stesso valore.

5. Derivata di una variabile rispetto a una potenza pari al prodotto di un numero di questa potenza e di una variabile alla potenza ridotta di uno
(x c)"= cx c-1, a condizione che siano definiti x c e cx c-1 e c ≠ 0
Esempio:
(x2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Per ricordare la formula:
Sposta il grado della variabile verso il basso come fattore, quindi riduci il grado stesso di uno. Ad esempio, per x 2 - due erano davanti a x, e quindi la potenza ridotta (2-1 = 1) ci dava semplicemente 2x. La stessa cosa è successa per x 3: "spostamo verso il basso" la tripla, la riduciamo di uno e invece del cubo abbiamo un quadrato, cioè 3x 2. Un po' "non scientifico" ma molto facile da ricordare.

6.Derivata di una frazione 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esempio:
Poiché una frazione può essere rappresentata elevandola a grado negativo
(1/x)" = (x -1)", allora puoi applicare la formula della regola 5 della tabella delle derivate
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivata di una frazione con una variabile di grado arbitrario al denominatore
(1/xc)" = -c/xc+1
Esempio:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivato della radice(derivata della variabile sotto radice quadrata)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Esempio:
(√x)" = (x 1/2)" significa che puoi applicare la formula della regola 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivata di una variabile sotto la radice di grado arbitrario
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Derivati complessi. Derivata logaritmica.
Derivata di una funzione esponenziale potenza

Continuiamo a migliorare la nostra tecnica di differenziazione. In questa lezione consolideremo il materiale trattato, esamineremo le derivate più complesse e conosceremo anche nuove tecniche e trucchi per trovare una derivata, in particolare, con la derivata logaritmica.

Quei lettori che hanno un basso livello di preparazione dovrebbero fare riferimento all'articolo Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni, che ti permetterà di affinare le tue competenze quasi da zero. Successivamente, è necessario studiare attentamente la pagina Derivata di una funzione complessa, comprendere e risolvere Tutto gli esempi che ho fatto. Questa lezione logicamente il terzo, e dopo averlo padroneggiato differenzierai con sicurezza funzioni abbastanza complesse. Non è auspicabile assumere la posizione di “Dove altro? Sì, basta!”, poiché tutti gli esempi e le soluzioni sono presi dalla realtà test e si incontrano spesso nella pratica.

Cominciamo con la ripetizione. In classe Derivata di una funzione complessa Abbiamo esaminato una serie di esempi con commenti dettagliati. Durante lo studio del calcolo differenziale e di altre sezioni analisi matematica– dovrai differenziare molto spesso, e non è sempre conveniente (e non sempre necessario) descrivere gli esempi in grande dettaglio. Pertanto, ci eserciteremo a trovare i derivati oralmente. I “candidati” più adatti a questo scopo sono i derivati della più semplice delle funzioni complesse, ad esempio:

Secondo la regola della differenziazione delle funzioni complesse :

Quando si studiano altri argomenti matan in futuro, molto spesso non è necessaria una registrazione così dettagliata, si presume che lo studente sappia come trovare tali derivati con il pilota automatico; Immaginiamo che alle 3 del mattino squilli il telefono e voce piacevole ha chiesto: “Qual è la derivata della tangente di due X?” Questo dovrebbe essere seguito da una risposta quasi istantanea ed educata: .

Il primo esempio sarà immediatamente destinato a una soluzione indipendente.

Esempio 1

Trova oralmente, in un'unica azione, i seguenti derivati, ad esempio: . Per completare l'attività è sufficiente utilizzare tavola delle derivate delle funzioni elementari(se non te lo sei ancora ricordato). In caso di difficoltà, consiglio di rileggere la lezione Derivata di una funzione complessa.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Risposte alla fine della lezione

Derivati complessi

Dopo la preparazione preliminare dell'artiglieria, gli esempi con 3-4-5 nidificazioni di funzioni faranno meno paura. I seguenti due esempi possono sembrare complicati ad alcuni, ma se li capisci (qualcuno soffrirà), quasi tutto il resto del calcolo differenziale sembrerà uno scherzo di un bambino.

Esempio 2

Trova la derivata di una funzione

Come già notato, quando si trova la derivata di una funzione complessa, prima di tutto è necessario Giusto COMPRENDI i tuoi investimenti. Nei casi in cui ci sono dubbi, te lo ricordo trucco utile: prendiamo ad esempio il significato sperimentale di “x” e proviamo (mentalmente o in una bozza) a sostituire questo significato nell'“espressione terribile”.

1) Per prima cosa dobbiamo calcolare l'espressione, il che significa che la somma è l'incorporamento più profondo.

2) Quindi devi calcolare il logaritmo:

4) Quindi fai il cubo del coseno:

5) Al quinto passaggio la differenza:

6) E infine, la funzione più esterna è radice quadrata:

Formula per differenziare una funzione complessa vengono applicati in ordine inverso, dalla funzione più esterna a quella più interna. Decidiamo:

Sembra che non ci siano errori...

(1) Calcola la derivata della radice quadrata.

(2) Prendiamo la derivata della differenza usando la regola

(3) La derivata della tripla è zero. Nel secondo termine prendiamo la derivata del grado (cubo).

(4) Prendiamo la derivata del coseno.

(5) Prendiamo la derivata del logaritmo.

(6) E infine, prendiamo la derivata dell'immersione più profonda.

Può sembrare troppo difficile, ma questo non è l’esempio più brutale. Prendi, ad esempio, la collezione di Kuznetsov e apprezzerai tutta la bellezza e la semplicità del derivato analizzato. Ho notato che a loro piace dare una cosa simile in un esame per verificare se uno studente capisce come trovare la derivata di una funzione complessa o non capisce.

L'esempio seguente deve essere risolto da solo.

Esempio 3

Trova la derivata di una funzione

Suggerimento: per prima cosa applichiamo le regole di linearità e la regola di differenziazione del prodotto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

È ora di passare a qualcosa di più piccolo e più carino.
Non è raro che un esempio mostri il prodotto non di due, ma di tre funzioni. Come trovare la derivata del prodotto di tre fattori?

Esempio 4

Trova la derivata di una funzione

Per prima cosa guardiamo, è possibile trasformare il prodotto di tre funzioni nel prodotto di due funzioni? Ad esempio, se nel prodotto avessimo due polinomi, potremmo aprire le parentesi. Ma nell'esempio in esame tutte le funzioni sono diverse: grado, esponente e logaritmo.

In questi casi è necessario in sequenza applicare la regola della differenziazione del prodotto due volte

Il trucco è che con “y” indichiamo il prodotto di due funzioni: , e con “ve” indichiamo il logaritmo: . Perché è possibile farlo? È davvero? – questo non è il prodotto di due fattori e la regola non funziona?! Non c'è niente di complicato:

Ora resta da applicare la norma una seconda volta tra parentesi:

Puoi anche distorcerti e togliere qualcosa tra parentesi, ma in questo caso è meglio lasciare la risposta esattamente in questa forma: sarà più facile da controllare.

L’esempio considerato può essere risolto nel secondo modo:

Entrambe le soluzioni sono assolutamente equivalenti.

Esempio 5

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio di soluzione indipendente; nell'esempio viene risolta utilizzando il primo metodo.

Diamo un'occhiata ad esempi simili con le frazioni.

Esempio 6

Trova la derivata di una funzione

Puoi andare qui in diversi modi:

O così:

Ma la soluzione sarà scritta in modo più compatto se utilizziamo prima la regola di differenziazione del quoziente , prendendo per l'intero numeratore:

In linea di principio l'esempio è risolto e, se lasciato così com'è, non sarà un errore. Ma se si ha tempo, è sempre consigliabile verificare una bozza per vedere se la risposta può essere semplificata? Riduciamo l'espressione del numeratore a un denominatore comune e liberiamoci della frazione di tre piani:

Lo svantaggio di ulteriori semplificazioni è che c'è il rischio di commettere un errore non quando si trova la derivata, ma durante banali trasformazioni scolastiche. D'altra parte, gli insegnanti spesso rifiutano il compito e chiedono di “ricordargli” il derivato.

Un esempio più semplice da risolvere da solo:

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione

Continuiamo a padroneggiare i metodi per trovare la derivata e ora considereremo un caso tipico in cui viene proposto un logaritmo “terribile” per la differenziazione

Esempio 8

Trova la derivata di una funzione

Qui puoi andare oltre, usando la regola per differenziare una funzione complessa:

Ma il primo passo ti getta immediatamente nello sconforto: devi prendere il derivato spiacevole di potere frazionario, e quindi anche dalla frazione.

Ecco perché Prima come derivare un logaritmo “sofisticato”, viene prima semplificato utilizzando proprietà scolastiche ben note:

! Se hai un quaderno di esercizi a portata di mano, copia queste formule direttamente lì. Se non hai un quaderno, copiali su un foglio di carta, poiché i restanti esempi della lezione ruoteranno attorno a queste formule.

La soluzione stessa può essere scritta in questo modo:

Trasformiamo la funzione:

Trovare la derivata:

La preconversione della funzione stessa ha notevolmente semplificato la soluzione. Pertanto, quando si propone per la differenziazione un logaritmo simile, è sempre consigliabile “scomponerlo”.

E ora un paio di semplici esempi da risolvere da solo:

Esempio 9

Trova la derivata di una funzione

Esempio 10

Trova la derivata di una funzione

Tutte le trasformazioni e le risposte sono alla fine della lezione.

Derivata logaritmica

Se la derivata dei logaritmi è una musica così dolce, allora sorge la domanda: in alcuni casi è possibile organizzare artificialmente il logaritmo? Potere! E perfino necessario.

Esempio 11

Trova la derivata di una funzione

Recentemente abbiamo esaminato esempi simili. Cosa fare? È possibile applicare in sequenza la regola di differenziazione del quoziente, e poi la regola di differenziazione del prodotto. Lo svantaggio di questo metodo è che ti ritroverai con un'enorme frazione di tre piani, con la quale non vuoi assolutamente occuparti.

Ma in teoria e in pratica esiste una cosa meravigliosa come la derivata logaritmica. I logaritmi possono essere organizzati artificialmente “appendendoli” su entrambi i lati:

Ora devi “spezzare” il più possibile il logaritmo della parte destra (le formule davanti ai tuoi occhi?). Descriverò questo processo in grande dettaglio:

Cominciamo con la differenziazione.
Completiamo entrambe le parti:

La derivata del secondo membro è abbastanza semplice; non la commenterò, perché se stai leggendo questo testo dovresti essere in grado di gestirla con sicurezza.

E il lato sinistro?

Sul lato sinistro abbiamo funzione complessa. Prevedo la domanda: "Perché, c'è una lettera "Y" sotto il logaritmo?"

Il fatto è che questo "gioco di una lettera" - È STESSO UNA FUNZIONE(se non è molto chiaro fare riferimento all'articolo Derivata di una funzione specificata implicitamente). Pertanto, il logaritmo è una funzione esterna e la “y” è una funzione interna. E usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Sul lato sinistro, come per magia, abbiamo un derivato. Successivamente, secondo la regola delle proporzioni, trasferiamo la “y” dal denominatore del lato sinistro alla parte superiore del lato destro:

E ora ricordiamo di che tipo di funzione “giocatore” abbiamo parlato durante la differenziazione? Consideriamo la condizione:

Risposta finale:

Esempio 12

Trova la derivata di una funzione

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Alla fine della lezione si trova un disegno di esempio di questo tipo.

Usando la derivata logaritmica, è stato possibile risolvere qualsiasi degli esempi n. 4-7, un'altra cosa è che le funzioni sono più semplici e, forse, l'uso della derivata logaritmica non è molto giustificato.

Derivata di una funzione esponenziale potenza

Non abbiamo ancora considerato questa funzione. Una funzione esponenziale di potenza è una funzione per la quale sia il grado che la base dipendono dalla “x”. Un classico esempio che ti verrà fornito in qualsiasi libro di testo o lezione:

Come trovare la derivata di una funzione esponenziale potenza?

È necessario utilizzare la tecnica appena discussa: la derivata logaritmica. Appendiamo i logaritmi su entrambi i lati:

Di norma, sul lato destro il grado viene tolto da sotto il logaritmo:

Di conseguenza, sul lato destro avremo il prodotto di due funzioni, che verrà differenziato secondo la formula standard .

Troviamo la derivata; per fare ciò racchiudiamo entrambe le parti sotto i tratti:

Ulteriori azioni sono semplici:

Finalmente:

Se qualche conversione non è del tutto chiara, rileggi attentamente le spiegazioni dell'Esempio n. 11.

Nei compiti pratici, la funzione esponenziale della potenza sarà sempre più complicata rispetto all'esempio della lezione considerata.

Esempio 13

Trova la derivata di una funzione

Usiamo la derivata logaritmica.

Sul lato destro abbiamo una costante e il prodotto di due fattori: "x" e "logaritmo del logaritmo x" (un altro logaritmo è annidato sotto il logaritmo). Quando si differenzia, come ricordiamo, è meglio spostare immediatamente la costante fuori dal segno della derivata in modo che non sia d'intralcio; e, naturalmente, applichiamo la regola familiare :

Come puoi vedere, l'algoritmo per l'utilizzo della derivata logaritmica non contiene trucchi o trucchi speciali e la ricerca della derivata di una funzione esponenziale di potenza di solito non è associata al "tormento".

Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza (x elevato a a). Vengono considerate le derivate dalle radici di x. Formula per la derivata di una funzione potenza di ordine superiore. Esempi di calcolo delle derivate.

La derivata di x elevato a a è uguale a a moltiplicato x elevato a meno uno:
(1) .

La derivata della radice n-esima di x elevata alla potenza m-esima è:
(2) .

Derivazione della formula per la derivata di una funzione potenza

Caso x > 0

Consideriamo una funzione potenza della variabile x con esponente a:
(3) .
Qui a è un numero reale arbitrario. Consideriamo innanzitutto il caso.

Per trovare la derivata della funzione (3), utilizziamo le proprietà di una funzione potenza e la trasformiamo nella seguente forma:
.

Ora troviamo la derivata utilizzando:
;
.
Qui .

La formula (1) è stata dimostrata.

Derivazione della formula per la derivata di una radice di grado n di x nel grado di m

Consideriamo ora una funzione che sia la radice della seguente forma:
(4) .

Per trovare la derivata trasformiamo la radice in una funzione potenza:
.
Confrontando con la formula (3) lo vediamo
.
Poi
.

Usando la formula (1) troviamo la derivata:
(1) ;
;
(2) .

In pratica non è necessario memorizzare la formula (2). È molto più conveniente trasformare prima le radici in funzioni potenza e poi trovare le loro derivate utilizzando la formula (1) (vedi esempi a fine pagina).

Caso x = 0

Se , allora la funzione potenza è definita per il valore della variabile x = 0 . 0 Troviamo la derivata della funzione (3) in x =
.

. 0 :
.
In questo caso per derivata si intende il limite destro per il quale .

Quindi abbiamo trovato:
.
Da ciò è chiaro che per , .
A , .
A , .
Questo risultato si ottiene anche dalla formula (1):
(1) .
Pertanto la formula (1) vale anche per x = 0 .

Caso X< 0

Consideriamo nuovamente la funzione (3):
(3) .
Per determinati valori della costante a è definito anche per valori negativi della variabile x. Cioè, lascia stare numero razionale
,
. Quindi può essere rappresentata come una frazione irriducibile: dove m e n sono numeri interi senza.

divisore comune 3 Se n è dispari, allora la funzione potenza è definita anche per valori negativi della variabile x. 1 Ad esempio, quando n =
.
e m =

abbiamo la radice cubica di x: È definito anche per valori negativi della variabile x. Troviamo la derivata della funzione potenza (3) per e per
.
valori razionali
.
costante a per la quale è definita. Per fare ciò, rappresentiamo x nella seguente forma:

.
Poi ,
.
Troviamo la derivata ponendo la costante fuori dal segno della derivata e applicando la regola per derivare una funzione complessa:
.
Poi
.
Qui . Ma
(1) .

Da allora

La formula (1) vale cioè anche per:
(3) .
Derivate di ordine superiore
.

Ora troviamo le derivate di ordine superiore della funzione potenza
.
Abbiamo già trovato la derivata del primo ordine:
;

.

Prendendo la costante a fuori dal segno della derivata, troviamo la derivata del secondo ordine: Allo stesso modo, troviamo le derivate del terzo e del quarto ordine: Da questo è chiaro che
.

derivata di ordine n-esimo arbitrario ha la seguente forma: Notare che se a è
.
numero naturale
,
, allora la derivata n-esima è costante: