Come calcolare l'errore medio assoluto. Calcolo degli errori delle misurazioni dirette

Le scienze naturali esatte si basano sulle misurazioni. Durante la misurazione, i valori delle quantità sono espressi sotto forma di numeri che indicano quante volte la quantità misurata è maggiore o minore di un'altra quantità, il cui valore viene preso come unità. I valori numerici delle varie quantità ottenute a seguito delle misurazioni possono dipendere l'uno dall'altro. La relazione tra tali quantità è espressa sotto forma di formule che mostrano come i valori numerici di alcune quantità possono essere trovati dai valori numerici di altre.

Gli errori si verificano inevitabilmente durante le misurazioni. È necessario padroneggiare i metodi utilizzati nell'elaborazione dei risultati ottenuti dalle misurazioni. Ciò consentirà di imparare come ottenere risultati più vicini alla verità da un insieme di misurazioni, notare tempestivamente incongruenze ed errori, organizzare in modo intelligente le misurazioni stesse e valutare correttamente l'accuratezza dei valori ottenuti.

Se la misurazione consiste nel confrontare una determinata quantità con un'altra quantità omogenea presa come unità, la misurazione in questo caso si dice diretta.

Misurazioni dirette (dirette).- si tratta di misurazioni in cui si ottiene il valore numerico della grandezza misurata sia per confronto diretto con una misura (standard), sia con l'ausilio di strumenti calibrati in unità della grandezza misurata.

Tuttavia, tale confronto non viene sempre effettuato direttamente. Nella maggior parte dei casi, non è la quantità che ci interessa ad essere misurata, ma altre quantità ad essa associate da determinate relazioni e schemi. In questo caso, per misurare la quantità richiesta, è necessario prima misurare diverse altre quantità, il cui valore determina mediante calcolo il valore della quantità desiderata. Questa misurazione è chiamata indiretta.

Misure indirette consistono in misurazioni dirette di una o più quantità associate alla quantità determinata da una dipendenza quantitativa e calcoli della quantità determinata da questi dati.

Le misurazioni coinvolgono sempre strumenti di misura, che mettono in corrispondenza un valore con un altro ad esso associato, accessibile alla valutazione quantitativa con l'aiuto dei nostri sensi. Ad esempio, la forza attuale corrisponde all'angolo di deviazione della freccia su una scala graduata. In questo caso devono essere soddisfatte due condizioni principali del processo di misurazione: univocità e riproducibilità del risultato. queste due condizioni sono sempre soddisfatte solo approssimativamente. Ecco perché Il processo di misurazione contiene, oltre alla ricerca del valore desiderato, una valutazione dell'imprecisione della misurazione.

Un ingegnere moderno deve essere in grado di valutare l'errore dei risultati di misurazione tenendo conto dell'affidabilità richiesta. Pertanto, viene prestata molta attenzione all'elaborazione dei risultati delle misurazioni. La familiarità con i metodi di base del calcolo degli errori è uno dei compiti principali del laboratorio di laboratorio.

Perché si verificano errori?

Ci sono molte ragioni per cui si verificano errori di misurazione. Elenchiamone alcuni.

· i processi che si verificano durante l'interazione del dispositivo con l'oggetto di misurazione modificano inevitabilmente il valore misurato. Ad esempio, misurare le dimensioni di una parte utilizzando un calibro porta alla compressione della parte, ovvero a una modifica delle sue dimensioni. A volte l'influenza dell'apparecchio sul valore misurato può essere relativamente piccola, ma a volte è paragonabile o addirittura supera il valore misurato stesso.

· Qualsiasi dispositivo ha capacità limitate per determinare in modo inequivocabile il valore misurato a causa della sua imperfezione progettuale. Ad esempio, l'attrito tra varie parti nel blocco dell'indicatore di un amperometro porta al fatto che una variazione della corrente di una quantità piccola, ma finita, non causerà una modifica dell'angolo di deflessione dell'indicatore.

· Partecipa sempre a tutti i processi di interazione tra il dispositivo e l'oggetto da misurare. ambiente esterno, i cui parametri possono cambiare e, spesso, in modi imprevedibili. Ciò limita la riproducibilità delle condizioni di misurazione e quindi il risultato della misurazione.

· Quando si effettuano visivamente le letture dello strumento, potrebbe esserci ambiguità nella lettura delle letture dello strumento a causa di disabilità il nostro occhio.

· La maggior parte delle quantità vengono determinate indirettamente in base alla nostra conoscenza della relazione della quantità desiderata con altre quantità misurate direttamente dagli strumenti. Ovviamente, l'errore della misurazione indiretta dipende dagli errori di tutte le misurazioni dirette. Inoltre, i limiti della nostra conoscenza dell'oggetto misurato, la semplificazione della descrizione matematica delle relazioni tra le quantità e l'ignoranza dell'influenza di quelle quantità la cui influenza è considerata insignificante durante il processo di misurazione contribuiscono ad errori nella misurazione indiretta.

Classificazione degli errori

Valore di errore le misurazioni di una certa quantità sono solitamente caratterizzate da:

1. Errore assoluto: la differenza tra il valore trovato sperimentalmente (misurato) e il valore reale di una determinata quantità

. (1)

L'errore assoluto mostra quanto ci sbagliamo quando misuriamo un certo valore di X.

2. Errore relativo uguale al rapporto errore assoluto al valore reale della quantità misurata X

L'errore relativo mostra di quale frazione del vero valore di X ci sbagliamo.

Qualità i risultati delle misurazioni di alcune quantità sono caratterizzati da un errore relativo. Il valore può essere espresso in percentuale.

Dalle formule (1) e (2) ne consegue che per trovare gli errori di misurazione assoluti e relativi, dobbiamo conoscere non solo il valore misurato, ma anche il valore reale della quantità a cui siamo interessati. Ma se si conosce il valore reale, non è necessario effettuare misurazioni. Lo scopo delle misurazioni è sempre quello di scoprire il valore di una certa quantità che non è nota in anticipo e di trovare, se non il suo vero valore, almeno un valore che differisce leggermente da esso. Pertanto le formule (1) e (2), che determinano l’entità degli errori, non sono adatte nella pratica. Nelle misurazioni pratiche, gli errori non vengono calcolati, ma piuttosto stimati. Le valutazioni tengono conto delle condizioni sperimentali, dell'accuratezza della metodologia, della qualità degli strumenti e di una serie di altri fattori. Il nostro compito: imparare a costruire una metodologia sperimentale e utilizzare correttamente i dati ottenuti dall'esperienza per trovare valori delle quantità misurate sufficientemente vicini ai valori reali e per valutare ragionevolmente gli errori di misurazione.

Parlando di errori di misurazione, dovremmo prima menzionare errori grossolani (mancati) derivanti dalla svista dello sperimentatore o dal malfunzionamento dell’attrezzatura. Bisognerebbe evitare errori gravi. Se viene accertato che si sono verificati, le misurazioni corrispondenti devono essere scartate.

Gli errori sperimentali non associati ad errori grossolani sono divisi in casuali e sistematici.

Conerrori casuali. Ripetendo più volte le stesse misurazioni, puoi notare che molto spesso i loro risultati non sono esattamente uguali tra loro, ma “danzano” attorno a una media (Fig. 1). Gli errori che cambiano grandezza e segno da esperimento a esperimento sono detti casuali. Errori casuali vengono introdotti involontariamente dallo sperimentatore a causa dell'imperfezione degli organi di senso, casuali fattori esterni ecc. Se l'errore di ogni singola misurazione è fondamentalmente imprevedibile, il valore della quantità misurata viene modificato in modo casuale. Questi errori possono essere valutati solo utilizzando l'elaborazione statistica di misurazioni multiple della quantità desiderata.

Sistematico errori può essere associato ad errori dello strumento (scala errata, molla che si allunga in modo non uniforme, passo della vite micrometrica non uniforme, bracci di bilanciamento non uguali, ecc.) e all'esperimento stesso. Mantengono la loro grandezza (e segno!) durante l'esperimento. A causa di errori sistematici, i risultati sperimentali sparsi a causa di errori casuali non fluttuano attorno al valore reale, ma attorno a un certo valore distorto (Fig. 2). l'errore di ogni misurazione del valore desiderato può essere previsto in anticipo, conoscendo le caratteristiche del dispositivo.

Calcolo degli errori delle misurazioni dirette

Errori sistematici. Errori sistematici modificano naturalmente i valori della quantità misurata. Gli errori introdotti nelle misurazioni dagli strumenti sono più facilmente valutabili se sono correlati caratteristiche del progetto i dispositivi stessi. Questi errori sono indicati nei passaporti dei dispositivi. Gli errori di alcuni dispositivi possono essere valutati senza fare riferimento alla scheda tecnica. Per molti strumenti di misura elettrici la classe di precisione è indicata direttamente sulla scala.

Classe di precisione dello strumento- questo è il rapporto tra l'errore assoluto del dispositivo e il valore massimo della quantità misurata, che può essere determinato utilizzando questo dispositivo (questo è l'errore relativo sistematico di questo dispositivo, espresso come percentuale del valore della scala).

.

Quindi l'errore assoluto di tale dispositivo è determinato dalla relazione:

.

Per gli strumenti di misura elettrici sono state introdotte 8 classi di precisione: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2.0; 2,5; 4.

Più il valore misurato si avvicina al valore nominale, più accurato sarà il risultato della misurazione. La massima precisione (ovvero il più piccolo errore relativo) che un dato dispositivo può fornire è uguale alla classe di precisione. Questa circostanza deve essere presa in considerazione quando si utilizzano strumenti multiscala. La scala deve essere scelta in modo tale che il valore misurato, pur rimanendo all'interno della scala, si avvicini il più possibile al valore nominale.

Se la classe di precisione del dispositivo non è specificata, è necessario seguire le seguenti regole:

· L'errore assoluto degli strumenti dotati di nonio è pari alla precisione del nonio.

· L'errore assoluto degli strumenti con passo della freccia fisso è pari al valore della divisione.

· L'errore assoluto dei dispositivi digitali è pari ad una cifra minima.

· Per tutti gli altri strumenti si assume che l'errore assoluto sia pari alla metà del valore della divisione.

Errori casuali. Questi errori sono di natura statistica e sono descritti dalla teoria della probabilità. È stato stabilito che con un numero molto elevato di misurazioni, la probabilità di ottenere l'uno o l'altro risultato in ogni singola misurazione può essere determinata utilizzando la distribuzione normale gaussiana. Con un numero limitato di misurazioni, la descrizione matematica della probabilità di ottenere l'uno o l'altro risultato della misurazione è chiamata distribuzione di Student (puoi leggere di più al riguardo nel manuale "Errori di misurazione delle quantità fisiche").

Come valutare il valore reale della quantità misurata?

Supponiamo che misurando un certo valore abbiamo ricevuto N risultati: . La media aritmetica di una serie di misurazioni è più vicina al valore reale della quantità misurata rispetto alla maggior parte delle misurazioni individuali. Per ottenere il risultato della misurazione di un determinato valore, viene utilizzato il seguente algoritmo.

1). Calcolato media serie di N misure dirette:

2). Calcolato errore casuale assoluto di ciascuna misurazioneè la differenza tra la media aritmetica di una serie di N misurazioni dirette e questa misurazione:

.

3). Calcolato errore quadratico medio assoluto:

.

4). Calcolato errore casuale assoluto. Altrimenti elevato numero misurazioni, l'errore casuale assoluto può essere calcolato attraverso l'errore quadratico medio e un certo coefficiente chiamato coefficiente di Student:

,

Il coefficiente di Student dipende dal numero di misurazioni N e dal coefficiente di affidabilità (la Tabella 1 mostra la dipendenza del coefficiente di Student dal numero di misurazioni a un valore fisso del coefficiente di affidabilità).

Fattore di affidabilitàè la probabilità con cui il valore vero del valore misurato rientra nell'intervallo di confidenza.

Intervallo di confidenza è un intervallo numerico nel quale rientra con una certa probabilità il vero valore della grandezza misurata.

Pertanto, il coefficiente di Student è il numero per il quale deve essere moltiplicato l'errore quadratico medio per garantire l'affidabilità specificata del risultato per un dato numero di misurazioni.

Maggiore è l'affidabilità richiesta per un dato numero di misurazioni, maggiore è il coefficiente di Student. D'altra parte, che numero maggiore misurazioni, minore è il coefficiente di Student per una data affidabilità. Nel lavoro di laboratorio della nostra officina, assumeremo che l'affidabilità sia data e pari a 0,9. Valori numerici dei coefficienti di Student a questa affidabilità per numeri diversi le misure sono riportate nella tabella 1.

Tabella 1

Numero di misurazioni N

Coefficiente dello studente

5). Calcolato errore assoluto totale. In ogni misurazione ci sono errori sia casuali che sistematici. Calcolare l'errore di misurazione assoluto totale (totale) non è un compito facile, poiché questi errori sono di natura diversa.

Per le misurazioni ingegneristiche, ha senso sommare gli errori assoluti sistematici e casuali

.

Per semplicità di calcolo, è consuetudine stimare l'errore assoluto totale come la somma degli errori casuali assoluti e sistematici (strumentali) assoluti, se gli errori sono dello stesso ordine di grandezza, e trascurare uno degli errori se è più di un ordine di grandezza (10 volte) inferiore all'altro.

6). L'errore e il risultato vengono arrotondati. Poiché il risultato della misurazione viene presentato come un intervallo di valori, il cui valore è determinato dall'errore assoluto totale, è importante il corretto arrotondamento del risultato e dell'errore.

L'arrotondamento inizia con errore assoluto!!! Il numero di cifre significative che rimangono nel valore dell'errore, in generale, dipende dal coefficiente di affidabilità e dal numero di misurazioni. Tuttavia, anche per molto misurazioni precise(ad esempio astronomico), in cui è importante il valore esatto dell'errore, non lasciare più di due cifre significative. Un numero maggiore di numeri non ha senso, poiché la stessa definizione di errore ha il proprio errore. La nostra pratica ha un coefficiente di affidabilità relativamente piccolo e un numero limitato di misurazioni. Pertanto, quando si arrotonda (con eccesso), l'errore assoluto totale viene lasciato a una cifra significativa.

La cifra significativa dell'errore assoluto determina la cifra della prima cifra dubbia nel valore del risultato. Di conseguenza, il valore del risultato stesso deve essere arrotondato (con correzione) a quella cifra significativa la cui cifra coincide con la cifra significativa dell'errore. La regola formulata dovrebbe essere applicata anche nei casi in cui alcuni numeri sono zeri.

Se il risultato ottenuto misurando il peso corporeo è , è necessario scrivere degli zeri alla fine del numero 0,900. La registrazione significherebbe che non si sapeva nulla delle successive cifre significative, mentre le misurazioni mostravano che erano pari a zero.

7). Calcolato errore relativo.

Nell'arrotondamento dell'errore relativo è sufficiente lasciare due cifre significative.

R il risultato di una serie di misurazioni di una determinata quantità fisica è presentato sotto forma di un intervallo di valori, indicando la probabilità che il valore vero rientri in questo intervallo, ovvero il risultato deve essere scritto nella forma:

Ecco l'errore assoluto totale, arrotondato alla prima cifra significativa, ed è il valore medio del valore misurato, arrotondato tenendo conto dell'errore già arrotondato. Quando si registra un risultato di misurazione è necessario indicare l'unità di misura del valore.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

1. Supponiamo che misurando la lunghezza di un segmento, abbiamo ottenuto il seguente risultato: cm e cm Come scrivere correttamente il risultato della misurazione della lunghezza di un segmento? Per prima cosa arrotondiamo l'errore assoluto con l'eccesso, lasciando una cifra significativa, vedi. Quindi, con la correzione, arrotondiamo il valore medio al centesimo più vicino, cioè alla cifra significativa la cui cifra coincide con la cifra significativa dell'errore vedere Calcolare l'errore relativo

.

cm; ; .

2. Supponiamo che calcolando la resistenza del conduttore abbiamo ottenuto il seguente risultato: E . Per prima cosa arrotondiamo l’errore assoluto, lasciando una cifra significativa. Quindi arrotondiamo la media all'intero più vicino. Calcolare l'errore relativo

.

Scriviamo il risultato della misurazione come segue:

; ; .

3. Supponiamo che calcolando la massa del carico abbiamo ricevuto il seguente risultato: kg e kg. Per prima cosa arrotondiamo l’errore assoluto, lasciando una cifra significativa kg. Poi arrotondiamo la media alle decine più vicine kg. Calcolare l'errore relativo

.

.

Domande e compiti sulla teoria degli errori

1. Cosa significa misurare una grandezza fisica? Dare esempi.

2. Perché si verificano errori di misurazione?

3. Cos'è l'errore assoluto?

4. Cos'è l'errore relativo?

5. Quale errore caratterizza la qualità della misurazione? Dare esempi.

6. Cos'è un intervallo di confidenza?

7. Definire il concetto di “errore sistematico”.

8. Quali sono le cause degli errori sistematici?

9. Qual è la classe di precisione strumento di misura?

10. Come vengono determinati gli errori assoluti dei vari strumenti fisici?

11. Quali errori sono chiamati casuali e come si presentano?

12. Descrivi la procedura per calcolare l'errore quadratico medio.

13. Descrivere la procedura per calcolare l'errore casuale assoluto delle misurazioni dirette.

14. Cos'è un “fattore di affidabilità”?

15. Da quali parametri e come dipende il coefficiente Studente?

16. Come viene calcolato l'errore assoluto totale delle misurazioni dirette?

17. Scrivere formule per determinare gli errori relativi e assoluti delle misurazioni indirette.

18. Formulare le regole per arrotondare il risultato con un errore.

19. Trova l'errore relativo nel misurare la lunghezza del muro utilizzando un metro a nastro con un valore di divisione di 0,5 cm. Il valore misurato era 4,66 m.

20. Quando si misurava la lunghezza dei lati A e B del rettangolo, venivano commessi rispettivamente errori assoluti ΔA e ΔB. Scrivi una formula per calcolare l'errore assoluto ΔS ottenuto quando si determina l'area dai risultati di queste misurazioni.

21. La misurazione della lunghezza del bordo del cubo L aveva un errore ΔL. Scrivi una formula per determinare l'errore relativo del volume di un cubo in base ai risultati di queste misurazioni.

22. Un corpo si muove uniformemente accelerato da uno stato di riposo. Per calcolare l'accelerazione, abbiamo misurato il percorso S percorso dal corpo e il tempo del suo movimento t. Gli errori assoluti di queste misurazioni dirette erano rispettivamente ΔS e Δt. Derivare una formula per calcolare l'errore di accelerazione relativa da questi dati.

23. Nel calcolare la potenza del dispositivo di riscaldamento in base ai dati di misurazione, sono stati ottenuti i valori Pav = 2361,7893735 W e ΔР = 35,4822 W. Registrare il risultato come intervallo di confidenza, arrotondando se necessario.

24. Nel calcolare il valore di resistenza in base ai dati di misurazione, sono stati ottenuti i seguenti valori: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Registrare il risultato come intervallo di confidenza, arrotondando se necessario.

25. Nel calcolare il coefficiente di attrito sulla base dei dati di misurazione, sono stati ottenuti i valori μav = 0,7823735 e Δμ = 0,03348. Registrare il risultato come intervallo di confidenza, arrotondando se necessario.

26. Una corrente di 16,6 A è stata determinata utilizzando un dispositivo con una classe di precisione di 1,5 e una scala nominale di 50 A. Trova gli errori strumentali e relativi assoluti di questa misurazione.

27. In una serie di 5 misurazioni del periodo di oscillazione del pendolo, sono stati ottenuti i seguenti valori: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Trova l'errore casuale assoluto nel determinare il periodo da questi dati.

28. L'esperimento di far cadere un carico da una certa altezza è stato ripetuto 6 volte. In questo caso sono stati ottenuti i seguenti valori del tempo di caduta del carico: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Trova l'errore relativo nel determinare il momento della caduta.

Il valore di divisione è un valore misurato che fa deviare il puntatore di una divisione. Il valore della divisione è determinato come rapporto tra il limite superiore di misurazione del dispositivo e il numero di divisioni della scala.

A causa degli errori inerenti allo strumento di misura, al metodo scelto e alla procedura di misurazione, differenze condizioni esterne, in cui viene eseguita la misurazione, per motivi stabiliti e altri, il risultato di quasi ogni misurazione è gravato da errori. Questo errore viene calcolato o stimato e assegnato al risultato ottenuto.

Errore nel risultato della misurazione(in breve - errore di misurazione) - la deviazione del risultato della misurazione dal valore reale del valore misurato.

Il vero valore della quantità rimane sconosciuto a causa della presenza di errori. Viene utilizzato per risolvere problemi teorici di metrologia. In pratica viene utilizzato il valore reale della quantità, che sostituisce il valore vero.

L'errore di misura (Δx) si trova utilizzando la formula:

x = x mis. - x valido (1.3)

dove x mis. - il valore della quantità ottenuta in base alle misurazioni; x valido — il valore della quantità considerata reale.

Per le misurazioni singole, il valore effettivo è spesso considerato il valore ottenuto utilizzando uno strumento di misura standard; per misurazioni multiple, la media aritmetica dei valori delle singole misurazioni incluse in una determinata serie.

Gli errori di misurazione possono essere classificati secondo i seguenti criteri:

Per la natura delle manifestazioni: sistematiche e casuali;

Secondo il metodo di espressione: assoluto e relativo;

Secondo le condizioni di variazione del valore misurato - statico e dinamico;

Secondo il metodo di elaborazione di una serie di misurazioni: medie aritmetiche e radice quadrata;

Secondo la completezza della copertura dell'attività di misurazione: parziale e completa;

In relazione a un'unità di quantità fisica - errori nella riproduzione dell'unità, nella memorizzazione dell'unità e nella trasmissione della dimensione dell'unità.

Errore sistematico di misurazione(in breve - errore sistematico) - una componente dell'errore del risultato di una misurazione che rimane costante per una determinata serie di misurazioni o cambia naturalmente con misurazioni ripetute della stessa quantità fisica.

Secondo la natura della loro manifestazione, gli errori sistematici si dividono in permanenti, progressivi e periodici. Errori sistematici costanti(in breve - errori costanti) - errori, a lungo mantenendo il loro valore (ad esempio, durante l'intera serie di misurazioni). Questo è il tipo di errore più comune.

Errori sistematici progressivi(in breve - errori progressivi) - errori in continuo aumento o diminuzione (ad esempio, errori derivanti dall'usura delle punte di misurazione che entrano in contatto con la parte durante il processo di rettifica quando la si monitora con un dispositivo di controllo attivo).

Errore sistematico periodico(brevemente - errore periodico) - un errore, il cui valore è una funzione del tempo o una funzione del movimento dell'indice di un dispositivo di misurazione (ad esempio, la presenza di eccentricità nei dispositivi goniometrici con scala circolare provoca un sistematico errore che varia secondo una legge periodica).

In base alle ragioni della comparsa di errori sistematici, si distingue tra errori strumentali, errori di metodo, errori soggettivi ed errori dovuti a deviazioni delle condizioni esterne di misurazione da quelle stabilite dai metodi.

Errore di misura strumentale(brevemente - errore strumentale) è una conseguenza di una serie di motivi: usura delle parti del dispositivo, attrito eccessivo nel meccanismo del dispositivo, marcatura imprecisa dei tratti sulla scala, discrepanza tra i valori effettivi e nominali della misura, ecc.

Errore nel metodo di misurazione(in breve - errore di metodo) può verificarsi a causa dell'imperfezione del metodo di misurazione o delle sue semplificazioni stabilite dalla metodologia di misurazione. Ad esempio, tale errore può essere dovuto a prestazioni insufficienti degli strumenti di misura utilizzati quando si misurano i parametri di processi veloci o a impurità non contabilizzate quando si determina la densità di una sostanza in base ai risultati della misurazione della sua massa e volume.

Errore di misurazione soggettivo(in breve - errore soggettivo) è dovuto agli errori individuali dell'operatore. Questo errore è talvolta chiamato differenza personale. È causato, ad esempio, da un ritardo o da un anticipo nell'accettazione di un segnale da parte dell'operatore.

Errore dovuto a deviazione(in una direzione) le condizioni di misurazione esterne rispetto a quelle stabilite dalla tecnica di misurazione portano all'emergere di una componente sistematica dell'errore di misurazione.

Gli errori sistematici distorcono il risultato della misurazione, quindi devono essere eliminati il ​​più possibile introducendo correzioni o regolando il dispositivo per ridurre gli errori sistematici ad un minimo accettabile.

Errore sistematico non escluso(in breve - errore non escluso) è l'errore del risultato della misurazione, dovuto all'errore nel calcolo e all'introduzione di una correzione per l'azione di un errore sistematico, o un piccolo errore sistematico, la cui correzione non viene introdotta a causa alla sua piccolezza.

A volte viene chiamato questo tipo di errore residui di errore sistematico non esclusi(in breve: saldi non esclusi). Ad esempio, durante la misurazione della lunghezza di un metro lineare nelle lunghezze d'onda della radiazione di riferimento, sono stati identificati diversi errori sistematici non esclusi (i): dovuti a misurazione imprecisa della temperatura - 1; a causa della determinazione imprecisa dell'indice di rifrazione dell'aria - 2, a causa della lunghezza d'onda imprecisa - 3.

Di solito viene presa in considerazione la somma degli errori sistematici non esclusi (vengono fissati i loro limiti). Quando il numero di termini è N ≤ 3, i limiti degli errori sistematici non esclusi vengono calcolati utilizzando la formula

Quando il numero di termini è N ≥ 4, per i calcoli viene utilizzata la formula

(1.5)

dove k è il coefficiente di dipendenza degli errori sistematici non esclusi dalla probabilità di confidenza selezionata P quando sono uniformemente distribuiti. A P = 0,99, k = 1,4, a P = 0,95, k = 1,1.

Errore di misurazione casuale(in breve - errore casuale) - una componente dell'errore del risultato di una misurazione che cambia casualmente (in segno e valore) in una serie di misurazioni della stessa dimensione di una quantità fisica. Ragioni degli errori casuali: errori di arrotondamento durante l'acquisizione delle letture, variazione delle letture, cambiamenti nelle condizioni di misurazione casuale e così via.

Gli errori casuali causano la dispersione dei risultati della misurazione in una serie.

La teoria degli errori si basa su due principi, confermati dalla pratica:

1. Con un gran numero di misurazioni, errori casuali delle stesse valore numerico, Ma segno diverso, si verificano altrettanto spesso;

2. Gli errori grandi (in valore assoluto) sono meno comuni di quelli piccoli.

Dalla prima posizione segue una conclusione importante per la pratica: all'aumentare del numero di misurazioni, l'errore casuale del risultato ottenuto da una serie di misurazioni diminuisce, poiché la somma degli errori delle singole misurazioni di una data serie tende a zero, cioè

(1.6)

Ad esempio, come risultato delle misurazioni, sono stati ottenuti numerosi valori resistenza elettrica(corretto per errori sistematici): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15,6 Ohm e R 5 = 15,4 Ohm . Quindi R = 15,5 Ohm. Le deviazioni da R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm e R 5 = -0,1 Ohm) sono errori casuali delle singole misurazioni di questa serie. È facile verificare che la somma R i = 0,0. Ciò indica che gli errori nelle singole misurazioni di questa serie sono stati calcolati correttamente.

Nonostante il fatto che con l’aumentare del numero delle misurazioni la somma degli errori casuali tende a zero (in in questo esempio si è rivelato accidentalmente uguale a zero), è necessario valutare l'errore casuale del risultato della misurazione. Nella teoria delle variabili casuali, la caratteristica della dispersione dei valori è variabile casuale funge da dispersione di O2. "|/o2 = a è chiamata deviazione quadratica media della popolazione o deviazione standard.

È più conveniente della dispersione, poiché la sua dimensione coincide con la dimensione della grandezza misurata (ad esempio, il valore della grandezza si ottiene in volt, anche la deviazione standard sarà in volt). Poiché nella pratica delle misurazioni abbiamo a che fare con il termine “errore”, il termine derivato “errore quadratico medio” dovrebbe essere utilizzato per caratterizzare un numero di misurazioni. Una caratteristica di una serie di misurazioni può essere l'errore medio aritmetico o l'intervallo dei risultati della misurazione.

Intervallo dei risultati di misurazione (span in breve) - differenza algebrica i risultati più grandi e più piccoli delle singole misurazioni che formano una serie (o campione) di n misurazioni:

R n = X massimo - X minimo (1.7)

dove R n è l'intervallo; X max e X min: il più grande e valore più piccolo valori in una data serie di misurazioni.

Ad esempio, su cinque misurazioni del diametro del foro d, i valori R 5 = 25,56 mm e R 1 = 25,51 mm si sono rivelati i valori massimo e minimo. In questo caso, R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Ciò significa che gli errori rimanenti in questa serie sono inferiori a 0,05 mm.

Errore medio aritmetico di una singola misurazione in una serie(brevemente - errore medio aritmetico) - una caratteristica generalizzata della dispersione (dovuta a ragioni casuali) dei risultati delle misurazioni individuali (della stessa quantità) inclusi in una serie di n misurazioni indipendenti di uguale precisione, calcolate dalla formula

(1.8)

dove X i è il risultato della i-esima misura inclusa nella serie; x è la media aritmetica di n valori: |Х і - X| — valore assoluto dell'errore della i-esima misurazione; r è l'errore medio aritmetico.

Il vero valore dell'errore aritmetico medio p è determinato dalla relazione

p = lim r, (1.9)

Con il numero di misurazioni n > 30 tra la media aritmetica (r) e la radice quadrata (S) ci sono correlazioni tra gli errori

s = 1,25 r; r e= 0,80 s. (1.10)

Il vantaggio dell'errore medio aritmetico è la semplicità del suo calcolo. Tuttavia, l'errore quadratico medio viene determinato più spesso.

Errore quadratico medio misurazione individuale in una serie (in breve - errore quadratico medio) - una caratteristica generalizzata della dispersione (dovuta a ragioni casuali) dei risultati di misurazione individuali (dello stesso valore) inclusi in una serie di P misurazioni indipendenti di uguale precisione, calcolate dalla formula

(1.11)

Errore quadratico medio per campione generale o, che è il limite statistico di S, può essere calcolato in /i-mx > utilizzando la formula:

Σ = lim S (1.12)

In realtà il numero di misurazioni è sempre limitato, quindi non è σ , e il suo valore approssimativo (o stima), che è s. Più P, quanto più s è vicino al suo limite σ .

A legge normale distribuzione, la probabilità che l'errore di una misurazione individuale in una serie non superi l'errore quadratico medio calcolato è piccola: 0,68. Pertanto, in 32 casi su 100 o 3 casi su 10, l'errore effettivo potrebbe essere maggiore di quello calcolato.

Figura 1.2 Diminuzione del valore dell'errore casuale del risultato di misurazioni multiple con un aumento del numero di misurazioni in una serie

In una serie di misurazioni, esiste una relazione tra l'errore quadratico medio di una singola misurazione s e l'errore quadratico medio della media aritmetica S x:

che viene spesso chiamata la “regola delle Nazioni Unite”. Da questa regola segue che l'errore di misurazione dovuto a cause casuali può essere ridotto di n volte se vengono eseguite n misurazioni della stessa dimensione di qualsiasi quantità e la media aritmetica viene presa come risultato finale (Fig. 1.2).

L'esecuzione di almeno 5 misurazioni in serie consente di ridurre l'influenza degli errori casuali di oltre 2 volte. Con 10 misurazioni, l'influenza dell'errore casuale viene ridotta di 3 volte. Un ulteriore aumento del numero di misurazioni non è sempre economicamente fattibile e di norma viene effettuato solo per misurazioni critiche che richiedono un'elevata precisione.

L'errore quadratico medio di una singola misurazione da un numero di misurazioni doppie omogenee S α viene calcolato mediante la formula

(1.14)

dove x" i e x"" i sono i risultati i-esimi delle misurazioni della stessa quantità nelle direzioni avanti e indietro con uno strumento di misura.

In caso di misurazioni disuguali, l'errore quadratico medio della media aritmetica nella serie è determinato dalla formula

(1.15)

dove p i è il peso della i-esima misurazione in una serie di misurazioni disuguali.

L'errore quadratico medio del risultato delle misurazioni indirette del valore Y, che è una funzione di Y = F (X 1, X 2, X n), viene calcolato utilizzando la formula

(1.16)

dove S 1, S 2, S n sono gli errori quadratici medi dei risultati della misurazione delle quantità X 1, X 2, X n.

Se, per una maggiore affidabilità nell'ottenimento di un risultato soddisfacente, vengono eseguite più serie di misurazioni, l'errore quadratico medio di una singola misurazione della serie m (S m) si trova con la formula

(1.17)

Dove n è il numero di misurazioni nella serie; N- numero totale misurazioni in tutte le serie; m è il numero di serie.

Con un numero limitato di misurazioni, spesso è necessario conoscere l'errore quadratico medio. Per determinare l'errore S, calcolato con la formula (2.7), e l'errore S m, calcolato con la formula (2.12), è possibile utilizzare le seguenti espressioni

(1.18)

(1.19)

dove S e S m sono gli errori quadratici medi rispettivamente di S e S m .

Ad esempio, elaborando i risultati di una serie di misurazioni della lunghezza x, abbiamo ottenuto

= 86 mm2 in n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm o S = ±0,7 mm

Il valore S = ±0,7 mm significa che a causa dell'errore di calcolo s è compreso tra 2,4 e 3,8 mm, quindi i decimi di millimetro in questo caso non sono affidabili. Nel caso considerato dobbiamo scrivere: S = ±3 mm.

Per avere maggiore sicurezza nella valutazione dell'errore di un risultato di misurazione, calcolare l'errore di confidenza o i limiti di confidenza dell'errore. Secondo la legge della distribuzione normale, i limiti di confidenza dell'errore sono calcolati come ±t-s o ±t-s x, dove s e s x sono rispettivamente gli errori quadratici medi di una singola misurazione nella serie e la media aritmetica; t è un numero che dipende dalla probabilità di confidenza P e dal numero di misurazioni n.

Un concetto importante è l’affidabilità del risultato della misurazione (α), cioè la probabilità che il valore desiderato della grandezza misurata rientri in un dato intervallo di confidenza.

Ad esempio, quando si elaborano parti su macchine utensili in una modalità tecnologica stabile, la distribuzione degli errori obbedisce alla legge normale. Supponiamo che la tolleranza sulla lunghezza della parte sia impostata su 2a. In questo caso, l'intervallo di confidenza in cui si trova il valore desiderato della lunghezza della parte a sarà (a - a, a + a).

Se 2a = ±3s, l'affidabilità del risultato è a = 0,68, ovvero in 32 casi su 100 ci si dovrebbe aspettare che la dimensione della parte superi la tolleranza 2a. Quando si valuta la qualità di un pezzo secondo una tolleranza di 2a = ±3s, l'affidabilità del risultato sarà 0,997. In questo caso si può prevedere che solo tre pezzi su 1000 superino la tolleranza stabilita. Tuttavia, un aumento dell'affidabilità è possibile solo riducendo l'errore nella lunghezza del pezzo. Pertanto, per aumentare l'affidabilità da a = 0,68 a a = 0,997, l'errore nella lunghezza del pezzo deve essere ridotto di tre volte.

IN Ultimamente Il termine “affidabilità della misurazione” è diventato molto diffuso. In alcuni casi, viene utilizzato irragionevolmente al posto del termine “accuratezza della misurazione”. Ad esempio, in alcune fonti è possibile trovare l'espressione "stabilire l'unità e l'affidabilità delle misurazioni nel paese". Mentre sarebbe più corretto dire “che stabilisce l’unità e la necessaria accuratezza delle misurazioni”. Consideriamo l'affidabilità come una caratteristica qualitativa che riflette la vicinanza allo zero degli errori casuali. Può essere determinato quantitativamente attraverso l'inaffidabilità delle misurazioni.

Inaffidabilità delle misurazioni(in breve - inaffidabilità) - una valutazione della discrepanza tra i risultati in una serie di misurazioni dovuta all'influenza dell'influenza totale di errori casuali (determinati con metodi statistici e non statistici), caratterizzati dall'intervallo di valori in cui si trova il vero valore del valore misurato.

In conformità con le raccomandazioni dell'Ufficio internazionale dei pesi e delle misure, l'inaffidabilità è espressa sotto forma di un errore quadratico medio totale di misurazione - Su, compreso l'errore quadratico medio S (determinato con metodi statistici) e l'errore quadratico medio u (determinato con metodi non statistici), vale a dire

(1.20)

Errore massimo di misurazione(brevemente - errore massimo) - l'errore massimo di misurazione (più, meno), la cui probabilità non supera il valore P, mentre la differenza 1 - P è insignificante.

Ad esempio, con una legge di distribuzione normale, la probabilità di un errore casuale pari a ±3s è 0,997 e la differenza 1-P = 0,003 è insignificante. Pertanto, in molti casi, l'errore di confidenza di ±3 s viene considerato il massimo, ovvero pr = ±3s. Se necessario, pr può avere altre relazioni con s con un P sufficientemente grande (2s, 2.5s, 4s, ecc.).

Dato che negli standard GSI, invece del termine “errore quadratico medio”, viene utilizzato il termine “deviazione quadratica media”, nelle discussioni successive ci atterremo proprio a questo termine.

Errore assoluto di misura(in breve - errore assoluto) - errore di misurazione espresso in unità del valore misurato. Pertanto, l'errore X nella misurazione della lunghezza di una parte X, espresso in micrometri, rappresenta un errore assoluto.

Non vanno confusi i termini “errore assoluto” e “valore assoluto dell’errore”, inteso come valore dell’errore senza tener conto del segno. Pertanto, se l'errore di misurazione assoluto è ±2 μV, il valore assoluto dell'errore sarà 0,2 μV.

Errore di misura relativo(in breve - errore relativo) - errore di misurazione, espresso in frazioni del valore del valore misurato o in percentuale. L'errore relativo δ si ricava dalle relazioni:

(1.21)

Ad esempio, esiste un valore reale della lunghezza della parte x = 10,00 mm e un valore assoluto dell'errore x = 0,01 mm. L'errore relativo sarà

Errore statico— errore del risultato della misurazione dovuto alle condizioni di misurazione statica.

Errore dinamico— errore del risultato della misurazione dovuto alle condizioni di misurazione dinamica.

Errore di riproduzione dell'unità— errore nel risultato delle misurazioni effettuate durante la riproduzione di un'unità di grandezza fisica. Pertanto, l'errore nel riprodurre un'unità utilizzando uno standard statale è indicato sotto forma delle sue componenti: l'errore sistematico non escluso, caratterizzato dal suo confine; errore casuale caratterizzato da deviazione standard s e instabilità nell'anno ν.

Errore di trasmissione della dimensione dell'unità— errore nel risultato delle misurazioni effettuate durante la trasmissione della dimensione di un'unità. L'errore nella trasmissione della dimensione unitaria comprende errori sistematici non esclusi ed errori casuali del metodo e dei mezzi di trasmissione della dimensione unitaria (ad esempio, un comparatore).

In questo argomento scriverò qualcosa come un breve cheat sheet sugli errori. Ancora una volta, questo testo non è in alcun modo ufficiale e il riferimento ad esso è inaccettabile. Sarei grato per la correzione di eventuali errori o inesattezze che potrebbero essere presenti in questo testo.

Cos'è l'errore?

Registrare il risultato di un esperimento nella forma () significa che se conduciamo molti esperimenti identici, nel 70% i risultati ottenuti si troveranno nell'intervallo e nel 30% no.

Oppure, che è la stessa cosa, se ripetiamo l'esperimento, allora nuovo risultato rientrerà nell'intervallo di confidenza con una probabilità pari alla probabilità di confidenza.

Come arrotondare l'errore e il risultato?

L'errore viene arrotondato alla prima cifra significativa, se non è uno. Se uno, quindi fino a due. In cui figura significativa viene chiamata qualsiasi cifra del risultato tranne gli zeri iniziali.

Arrotonda a o o ma in nessuna circostanza oppure , poiché ci sono 2 cifre significative: 2 e 0 dopo le due.

Arrotondare per eccesso a o

Arrotondare per eccesso a o O

Arrotondiamo il risultato in modo che sia l'ultimo figura significativa il risultato corrispondeva all'ultima cifra significativa dell'errore.

Esempi inserimento corretto:

mm

Ehm, manteniamo l'errore qui a 2 cifre significative perché la prima cifra significativa nell'errore è una.

mm

Esempi immissione errata:

Mm. Qui di conseguenza un segno in più. mm sarà corretto.

mm. Qui segno in più sia per errore che di conseguenza. mm sarà corretto.

Nel mio lavoro utilizzo il valore che mi viene dato semplicemente come un numero. Ad esempio, una massa di pesi. Qual è il suo margine di errore?

Se l'errore non è indicato esplicitamente, puoi prenderne uno nell'ultima cifra. Cioè, se viene scritto m = 1,35 g, allora l'errore dovrebbe essere considerato pari a 0,01 g.

Esiste una funzione di diverse quantità Ciascuna di queste quantità ha il proprio errore. Per trovare l'errore della funzione è necessario effettuare le seguenti operazioni:

Il simbolo indica la derivata parziale di f rispetto a x. Maggiori informazioni sulle derivate parziali.

Supponiamo di aver misurato la stessa quantità X più (n) volte. Abbiamo ricevuto una serie di valori. . È necessario calcolare l'errore di dispersione, calcolare l'errore dello strumento e sommarli insieme.

I punti.

1. Calcoliamo l'errore di spread

Se tutti i valori coincidono non hai spread. Altrimenti è necessario calcolare un errore di dispersione. Per cominciare, viene calcolato l'errore quadratico medio della media:

Qui si intende la media complessiva.
L'errore di dispersione si ottiene moltiplicando l'errore quadratico medio della media per il coefficiente di Student, che dipende dalla probabilità di confidenza scelta e dal numero di misurazioni N:

Prendiamo i coefficienti di Student dalla tabella seguente. La probabilità di confidenza è generata arbitrariamente, il numero di misurazioni N lo sappiamo anche.

2. Consideriamo l'errore strumentale della media

Se gli errori di diversi punti sono diversi, quindi secondo la formula

Naturalmente, la probabilità di fiducia di tutti dovrebbe essere la stessa.

3. Aggiungi la media con lo spread

Gli errori si sommano sempre come radice dei quadrati:

In questo caso, è necessario assicurarsi che le probabilità di confidenza con cui sono state calcolate coincidano.

Come determinare l'errore strumentale della media da un grafico? Bene, cioè utilizzando il metodo dei punti accoppiati o il metodo minimi quadrati, troveremo l'errore nello spread della resistenza media. Come trovare l'errore strumentale della resistenza media?

Sia il metodo dei minimi quadrati che il metodo dei punti accoppiati possono dare una risposta rigorosa a questa domanda. Per il forum MLS di Svetozarov c'è ("Nozioni di base...", una sezione sul metodo dei minimi quadrati), e per i punti accoppiati la prima cosa che mi viene in mente (sulla fronte, come si suol dire) è calcolare il valore strumentale errore di ciascuno pendenza. Bene, più avanti su tutti i punti...

Se non vuoi soffrire, nei libri di laboratorio c’è un modo semplice per farlo valutazioni errore strumentale del coefficiente angolare, vale a dire dal seguente MNC (ad esempio, prima del lavoro 1 nel libro di laboratorio "Strumenti di misura elettrici...." ultima pagina delle Raccomandazioni metodologiche).

Dov'è il valore della deviazione massima lungo l'asse Y di un punto con un errore dalla linea retta tracciata e il denominatore è la larghezza dell'area del nostro grafico lungo l'asse Y. Allo stesso modo per l'asse X.

La classe di precisione è scritta sul caricatore della resistenza: 0,05/4*10^-6? Come trovare l'errore dello strumento da questo?

Ciò significa che l'errore relativo massimo del dispositivo (in percentuale) ha la forma:
, Dove
- valore più alto resistenza del negozio, a è il valore nominale della resistenza inclusa.
È facile vedere che il secondo termine è importante quando lavoriamo con resistenze molto basse.

Maggiori dettagli sono sempre disponibili nel passaporto del dispositivo. Il passaporto può essere trovato su Internet digitando su Google la marca del dispositivo.

Letteratura sugli errori

Tanto maggiori informazioni sull'argomento si trova il libro consigliato alle matricole:
V.V. Svetozarov "Elaborazione elementare dei risultati di misurazione"

Come letteratura aggiuntiva (per le matricole aggiuntive) possiamo raccomandare:
V.V. Svetozarov "Fondamenti dell'elaborazione statistica dei risultati delle misurazioni"

E chi vuole finalmente capire tutto dovrebbe assolutamente guardare qui:
J.Taylor. "Introduzione alla teoria degli errori"

Grazie per aver trovato e pubblicato questi meravigliosi libri sul tuo sito.

1. Introduzione

Il lavoro di chimici, fisici e rappresentanti di altre professioni legate alle scienze naturali spesso comporta l'esecuzione di misurazioni quantitative di varie quantità. In questo caso, si pone la questione di analizzare l'affidabilità dei valori ottenuti, elaborare i risultati delle misurazioni dirette e valutare gli errori dei calcoli che utilizzano i valori delle caratteristiche misurate direttamente (quest'ultimo processo è anche chiamato elaborazione dei risultati indiretto misurazioni). Per una serie di ragioni oggettive, la conoscenza dei laureati della Facoltà di Chimica dell'Università Statale di Mosca sugli errori di calcolo non è sempre sufficiente per la corretta elaborazione dei dati ricevuti. Uno di questi motivi è l'assenza nel curriculum della facoltà di un corso sull'elaborazione statistica dei risultati delle misurazioni.

A in questo momento la questione degli errori di calcolo è stata, ovviamente, studiata in modo esaustivo. Esiste un gran numero di sviluppi metodologici, libri di testo, ecc., in cui è possibile trovare informazioni sul calcolo degli errori. Sfortunatamente, la maggior parte di questi lavori sono sovraccarichi di ulteriori e non sempre informazione necessaria. In particolare, la maggior parte del lavoro dei laboratori degli studenti non richiede azioni come il confronto di campioni, la valutazione della convergenza, ecc. Pertanto, sembra opportuno creare un breve sviluppo che delinei gli algoritmi per i calcoli più frequentemente utilizzati, che è ciò che questo sviluppo è dedicato a.

2. Notazione adottata in questo lavoro

Il valore misurato, - il valore medio del valore misurato, - l'errore assoluto del valore medio del valore misurato, - l'errore relativo del valore medio del valore misurato.

3. Calcolo degli errori delle misurazioni dirette

Quindi, supponiamo che siano stati eseguiti N misurazioni della stessa quantità nelle stesse condizioni. In questo caso è possibile calcolare il valore medio di questo valore nelle misurazioni effettuate:

(1)

Come calcolare l'errore? Secondo la seguente formula:

(2)

Questa formula utilizza il coefficiente di Student. Vengono forniti i suoi valori con diverse probabilità e valori di confidenza.

3.1. Un esempio di calcolo degli errori delle misurazioni dirette:

Compito.

È stata misurata la lunghezza della barra di metallo. Sono state effettuate 10 misurazioni e sono stati ottenuti i seguenti valori: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. È necessario trovare il valore medio della quantità misurata (lunghezza della barra) e il suo errore.

Soluzione.

Utilizzando la formula (1) troviamo:

mm

Ora, utilizzando la formula (2), troviamo l'errore assoluto del valore medio con probabilità di confidenza e il numero di gradi di libertà (usiamo il valore = 2.262, tratto da):

Scriviamo il risultato:

10,8±0,70,95 mm

4. Calcolo degli errori delle misurazioni indirette

Supponiamo che durante l'esperimento vengano misurate le quantità , poi C Utilizzando i valori ottenuti, il valore viene calcolato utilizzando la formula . In questo caso gli errori delle grandezze misurate direttamente vengono calcolati come descritto al paragrafo 3.

Il calcolo del valore medio di una quantità viene effettuato in base alla dipendenza utilizzando i valori medi degli argomenti.

Il valore dell'errore viene calcolato utilizzando la seguente formula:

,(3)

dove è il numero di argomenti, è la derivata parziale della funzione rispetto agli argomenti, è l'errore assoluto del valore medio dell'argomento.

L'errore assoluto, come nel caso delle misurazioni dirette, viene calcolato utilizzando la formula.

4.1. Un esempio di calcolo degli errori delle misurazioni dirette:

Compito.

Sono state effettuate 5 misurazioni dirette di e. Per il valore sono stati ottenuti i seguenti valori: 50, 51, 52, 50, 47; per la quantità sono stati ottenuti i seguenti valori: 500, 510, 476, 354, 520. È necessario calcolare il valore della quantità determinata dalla formula e trovare l'errore del valore ottenuto.

Nella nostra epoca, l'uomo ha inventato e utilizza un'enorme varietà di tutti i tipi di strumenti di misura. Ma non importa quanto sia perfetta la tecnologia per la loro produzione, tutti presentano un errore maggiore o minore. Questo parametro, di norma, è indicato sullo strumento stesso e per valutare l'accuratezza del valore determinato è necessario essere in grado di capire cosa significano i numeri indicati sulla marcatura. Inoltre, durante i calcoli matematici complessi si verificano inevitabilmente errori relativi e assoluti. È ampiamente utilizzato nelle statistiche, nell'industria (controllo della qualità) e in numerosi altri settori. Come viene calcolato questo valore e come interpretarlo: questo è esattamente ciò che verrà discusso in questo articolo.

Errore assoluto

Indichiamo con x il valore approssimativo di una grandezza, ottenuto, ad esempio, attraverso un'unica misurazione, e con x 0 il suo valore esatto. Ora calcoliamo l'entità della differenza tra questi due numeri. L'errore assoluto è esattamente il valore che abbiamo ottenuto come risultato di questa semplice operazione. Nel linguaggio delle formule, questa definizione può essere scritta in questa forma: Δ x = | x - x 0 |.

Errore relativo

La deviazione assoluta presenta un importante inconveniente: non consente di valutare il grado di importanza dell'errore. Ad esempio, compriamo 5 kg di patate al mercato e un venditore senza scrupoli, misurando il peso, ha commesso un errore di 50 grammi a suo favore. Cioè, l'errore assoluto era di 50 grammi. Per noi una simile svista sarà una sciocchezza e non le presteremo nemmeno attenzione. Immagina cosa accadrebbe se si verificasse un errore simile durante la preparazione del medicinale? Qui tutto sarà molto più serio. E quando si carica un vagone merci, è probabile che si verifichino deviazioni molto maggiori di questo valore. Pertanto, l’errore assoluto in sé non è molto informativo. Oltre a ciò, molto spesso calcolano anche la deviazione relativa, pari al rapporto tra l'errore assoluto e valore esatto numeri. Questo si scrive con la seguente formula: δ = Δ x / x 0 .

Proprietà dell'errore

Supponiamo di avere due quantità indipendenti: x e y. Dobbiamo calcolare la deviazione del valore approssimativo della loro somma. In questo caso, possiamo calcolare l'errore assoluto come la somma delle deviazioni assolute precalcolate di ciascuno di essi. In alcune misurazioni può accadere che gli errori nella determinazione dei valori x e y si annullino a vicenda. Oppure può accadere che in seguito all'addizione le deviazioni si intensifichino al massimo. Pertanto, quando si calcola l’errore assoluto totale, è necessario considerare lo scenario peggiore. Lo stesso vale per la differenza tra errori di diverse quantità. Questa proprietàè caratteristico solo dell'errore assoluto e non può essere applicato alla deviazione relativa, poiché ciò porterà inevitabilmente a un risultato errato. Esaminiamo questa situazione utilizzando il seguente esempio.

Supponiamo che le misurazioni all'interno del cilindro abbiano mostrato che il raggio interno (R 1) è 97 mm e il raggio esterno (R 2) è 100 mm. È necessario determinare lo spessore della sua parete. Per prima cosa troviamo la differenza: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Se il problema non indica quale sia l'errore assoluto, allora viene considerato pari alla metà della divisione della scala del dispositivo di misurazione. Pertanto, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. L'errore assoluto totale è: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Ora calcoliamo la deviazione relativa di tutti i valori:

δ(R1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Come puoi vedere, l'errore nella misurazione di entrambi i raggi non supera il 5,2% e l'errore nel calcolo della loro differenza - lo spessore della parete del cilindro - è stato pari al 33,(3)%!

La seguente proprietà afferma: la deviazione relativa del prodotto di più numeri è approssimativamente uguale alla somma delle deviazioni relative dei singoli fattori:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Inoltre questa regolaè vero indipendentemente dal numero di valori da valutare. La terza e ultima proprietà dell'errore relativo è la stima relativa numeri kesimi grado approssimativamente in | k | volte l'errore relativo del numero originale.