Gyldne snit. nyt udseende

Det gyldne snit er en universel manifestation af strukturel harmoni. Det findes i naturen, videnskaben, kunsten - i alt, hvad en person kan komme i kontakt med. Efter at have stiftet bekendtskab med den gyldne regel, forrådte menneskeheden den ikke længere.

Definition.
Den mest omfattende definition af det gyldne snit siger, at den mindre del relaterer sig til den større, da den større del vedrører helheden. Dens omtrentlige værdi er 1,6180339887 I en afrundet procentværdi vil andelen af delene af helheden svare til 62 % til 38 %. Dette forhold i form af rum og tid fungerer.

De gamle så det gyldne snit som en afspejling af kosmisk orden, og Johannes Kepler kaldte det en af geometriens skatte. Moderne videnskab betragter det gyldne snit som "asymmetrisk symmetri", og kalder det i bred forstand en universel regel, der afspejler strukturen og ordenen i vores verdensorden.

Historie.
De gamle egyptere havde en idé om de gyldne proportioner, de kendte til dem i Rusland, men for første gang blev det gyldne snit videnskabeligt forklaret af munken Luca Pacioli i bogen "Divine Proportion" (1509), illustrationer, som angiveligt blev lavet af Leonardo da Vinci. Pacioli så den guddommelige treenighed i det gyldne snit: det lille segment personificerede sønnen, det store segment faderen og hele den hellige ånd.

Navnet på den italienske matematiker Leonardo Fibonacci er direkte forbundet med reglen om det gyldne snit. Som et resultat af at løse et af problemerne kom videnskabsmanden med en talsekvens, nu kendt som Fibonacci-serien: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 osv. Kepler henledte opmærksomheden på forholdet mellem denne sekvens og det gyldne snit: "Det er arrangeret på en sådan måde, at de to yngre medlemmer af denne uendelige andel af summen giver det tredje medlem, og eventuelle to sidste medlemmer, hvis tilføjet, giver det næste medlem, desuden , den samme Andel er bevaret til Uendelighed." Nu er Fibonacci-serien det aritmetiske grundlag for at beregne proportionerne af det gyldne snit i alle dets manifestationer

Fibonacci-tal er en harmonisk division, et mål for skønhed. Det gyldne snit i natur, menneske, kunst, arkitektur, skulptur, design, matematik, musik https://psihologiyaotnoshenij.com/stati/zolotoe-sechenie-kak-eto-rabotaet

Leonardo da Vinci brugte også meget tid på at studere funktionerne i det gyldne snit højst sandsynligt, selve udtrykket tilhører ham. Hans tegninger af et stereometrisk legeme dannet af regulære femkanter beviser, at hver af rektanglerne opnået ved snit giver sideforholdet i den gyldne division.

Med tiden blev reglen om det gyldne snit en akademisk rutine, og kun filosoffen Adolf Zeising gav den et andet liv i 1855. Han bragte proportionerne af det gyldne snit til det absolutte, hvilket gjorde dem universelle for alle fænomener i den omgivende verden. Men hans "matematiske æstetik" forårsagede en del kritik.

Natur.
Selv uden at gå i beregninger, kan det gyldne snit let findes i naturen. Så forholdet mellem en firbens hale og krop, afstandene mellem bladene på en gren falder under det, der er et gyldent forhold i form af et æg, hvis en betinget linje trækkes gennem dens bredeste del.

Den hviderussiske videnskabsmand Eduard Soroko, der studerede formerne for gyldne opdelinger i naturen, bemærkede, at alt, der vokser og stræber efter at tage sin plads i rummet, er udstyret med proportionerne af det gyldne snit. Efter hans mening er en af de mest interessante former spiraldrejning.
Arkimedes, der var opmærksom på spiralen, udledte en ligning baseret på dens form, som stadig bruges i teknologi. Senere bemærkede Goethe naturens tiltrækning til spiralformer og kaldte spiralen "livets kurve". Moderne videnskabsmænd har fundet ud af, at sådanne manifestationer af spiralformer i naturen som en snegleskal, arrangementet af solsikkefrø, edderkoppevævsmønstre, bevægelsen af en orkan, strukturen af DNA og endda strukturen af galakser indeholder Fibonacci-serien.

Human.
Modedesignere og tøjdesignere laver alle beregninger baseret på proportionerne af det gyldne snit. Mennesket er en universel form til at teste lovene for det gyldne snit. Naturligvis har ikke alle mennesker ideelle proportioner, hvilket skaber visse vanskeligheder med udvælgelsen af tøj.

I Leonardo da Vincis dagbog er der en tegning af en nøgen mand indskrevet i en cirkel, i to overlejrede positioner. Baseret på forskning fra den romerske arkitekt Vitruvius forsøgte Leonardo på samme måde at fastslå proportionerne af den menneskelige krop. Senere skabte den franske arkitekt Le Corbusier ved hjælp af Leonardos "Vitruvianske mand" sin egen skala af "harmoniske proportioner", som påvirkede det 20. århundredes arkitekturs æstetik.

Adolf Zeising, der udforskede proportionaliteten af en person, gjorde et kolossalt stykke arbejde. Han målte omkring to tusinde menneskekroppe, såvel som mange gamle statuer, og konkluderede, at det gyldne snit udtrykker den gennemsnitlige statistiske lov. Hos en person er næsten alle dele af kroppen underordnet det, men hovedindikatoren for det gyldne snit er opdelingen af kroppen ved navlepunktet.
Som et resultat af målinger fandt forskeren ud af, at proportionerne af den mandlige krop 13:8 er tættere på det gyldne snit end proportionerne af den kvindelige krop - 8:5.

De rumlige formers kunst.
Kunstneren Vasily Surikov sagde, "at der i en komposition er en uforanderlig lov, når du i et billede ikke kan fjerne eller tilføje noget, kan du ikke engang sætte et ekstra punkt, dette er ægte matematik." I lang tid kunstnere fulgte denne lov intuitivt, men efter Leonardo da Vinci kan processen med at skabe et maleri ikke længere udføres uden at løse geometriske problemer. For eksempel brugte Albrecht Durer det proportionale kompas, han opfandt, til at bestemme punkterne i det gyldne snit.

Kunstkritiker F. v. Kovalev, efter at have undersøgt i detaljer Nikolai Ges maleri "Alexander Sergeevich Pushkin i landsbyen Mikhailovskoye," bemærker, at hver detalje af lærredet, det være sig en pejs, en reol, en lænestol eller digteren selv, er strengt indskrevet i gyldne proportioner .

Forskere af det gyldne snit studerer og måler utrætteligt arkitektoniske mesterværker og hævder, at de blev sådanne, fordi de blev skabt i henhold til de gyldne kanoner: på deres liste er de store pyramider i Giza, katedralen Notre Dame af Paris, St. Basil's Cathedral, Parthenon.
Og i dag, i enhver kunst af rumlige former, forsøger de at følge det gyldne snits proportioner, da de ifølge kunstkritikere letter opfattelsen af værket og danner en æstetisk følelse hos beskueren.

Ord, lyd og film.
Formularer er midlertidige? Go-kunsten demonstrerer på deres egen måde princippet om den gyldne opdeling. Litteraturforskere, for eksempel, har bemærket, at det mest populære antal linjer i digte sen periode Pushkins kreativitet svarer til Fibonacci-serien - 5, 8, 13, 21, 34.

Reglen om det gyldne snit gælder også i individuelle værker af den russiske klassiker. Således er klimakset i "Spadedronningen" den dramatiske scene for Herman og grevinden, der slutter med sidstnævntes død. Historien har 853 linjer, og klimakset indtræffer på linje 535 (853: 535 = 1, 6) - det er punktet i det gyldne snit.

Den sovjetiske musikforsker E. K. Rosenov bemærker den fantastiske nøjagtighed af forholdet mellem det gyldne snit i de strenge og frie former for Johann Sebastian Bachs værker, hvilket svarer til mesterens tankevækkende, koncentrerede, teknisk verificerede stil. Det gælder også andre komponisters fremragende værker, hvor den mest slående eller uventede musikalske løsning normalt opstår ved det gyldne snit.
Filminstruktøren Sergei Eisenstein koordinerede bevidst manuskriptet til sin film "Battleship Potemkin" med reglen om det gyldne snit, og opdelte filmen i fem dele. I de første tre afsnit foregår handlingen på skibet, og i de sidste to - i Odessa. Overgangen til scener i byen er filmens gyldne midte.

Eksempler på det gyldne snit. Sådan får du det gyldne snit

Så det gyldne snit er gyldne snit, som også er en harmonisk division. For at forklare dette mere klart, lad os se på nogle funktioner i formularen. Nemlig: en form er noget helt, og helheden består til gengæld altid af nogle dele. Disse dele har højst sandsynligt forskellige egenskaber, i det mindste forskellige størrelser. Nå, sådanne dimensioner står altid i et bestemt forhold, både indbyrdes og i forhold til helheden.

Det betyder med andre ord, at vi kan sige, at det gyldne snit er et forhold mellem to størrelser, som har sin egen formel. Brug af dette forhold, når du opretter en form, hjælper med at gøre den så smuk og harmonisk som muligt for det menneskelige øje.

Der er meget at sige til en spiraltatovering mere mening end det ser ud ved første øjekast. Sådan et enkelt mønster er bygget efter det såkaldte gyldne snit-princip, som findes overalt i naturen. Desuden har dette princip været kendt siden oldtiden, hvilket fremgår af dets tilstedeværelse ved bunden af de egyptiske pyramider.

Symbolik af spiral tatoveringer

I Ta-moko tatoveringer eller i de samme keltiske mønstre findes spiraler meget ofte, og det er ikke overraskende. Fraværet af rette vinkler i denne figur symboliserer forbindelsen med naturen, som ikke kan lide rette vinkler og altid forsøger at udjævne dem. En spiraltatovering betyder enhed med naturen, som regel laver rolige, fornuftige mennesker en sådan tatovering.

Men dette er kun en generel betydning, ofte forsøger folk at finde ud af betydningen af en spiraltatovering, faktisk forveksler det med andre tatoveringer. Spiralshell-tatoveringen vildleder ofte folk, den er blevet ret populær på det seneste. Den ene har en helt anden betydning, den passer til lukkede mennesker, enspændere, som normalt har lidt en form for chok og ikke vil dele om det, men til hans ære laver de sådan en tatovering.

En bølgetatovering, som symboliserer kærlighed til havet, eller en sort soltatovering, hvis betydning vi skrev i detaljer, ligner meget en spiral.

Ofte er en spiraltatovering lavet som en talisman, da det er et symbol på livets cykliske natur, det formidler energien i verden og tilværelsen. Spiralbilledet kan påføres skuldre, underarme, bryst og ryg. Tatoveringen er mere velegnet til kvinder, da en anden betydning af tatoveringen er det feminine princip.

Det menes, at Pythagoras var den første til at introducere begrebet det gyldne snit. Euklids værker har overlevet den dag i dag (han brugte det gyldne snit til at bygge regulære femkanter, hvorfor en sådan femkant kaldes "gyldne"), og nummeret på det gyldne snit er opkaldt efter den antikke græske arkitekt Phidias. Det vil sige, at dette er vores nummer "phi" (betegnet græsk bogstavφ), og det er lig med 1,6180339887498948482... Denne værdi er naturligvis afrundet: φ = 1,618 eller φ = 1,62, og i procent ser det gyldne snit ud som 62% og 38%.

Hvad er unikt ved denne andel (og tro mig, det er den)? Lad os først prøve at finde ud af det ved hjælp af et eksempel på et segment. Så vi tager et segment og deler det op i ulige dele på en sådan måde, at dets mindre del relaterer til den større, som den største del relaterer til helheden. Jeg forstår, det er ikke meget klart endnu, hvad der er hvad, jeg vil prøve at illustrere det mere tydeligt ved hjælp af eksemplet med segmenter:

Så vi tager et segment og deler det i to andre, så det mindre segment a relaterer til det større segment b, ligesom segmentet b relaterer til helheden, altså hele linjen (a + b). Matematisk ser det sådan ud:

Denne regel virker i det uendelige, du kan opdele segmenter, så længe du vil. Og se, hvor enkelt det er. Det vigtigste er at forstå én gang, og det er det.

Men lad os nu se nærmere komplekst eksempel, hvilket kommer på tværs af meget ofte, da det gyldne snit også er repræsenteret i form af et gyldent rektangel (hvis billedformatet er φ = 1,62). Dette er et meget interessant rektangel: Hvis vi "skærer" en firkant fra det, får vi igen et gyldent rektangel. Og så videre i det uendelige. Se:

Men matematik ville ikke være matematik, hvis den ikke havde formler. Så venner, nu vil det "gøre lidt ondt". Jeg gemte løsningen til det gyldne snit under en spoiler, der er mange formler, men jeg vil ikke forlade artiklen uden dem.

Princippet om det gyldne snit. Vellykket skabelse eller reglen om det gyldne snit

At fange øjeblikket - dette er netop det øjeblik, hvor en kunstner eller fotograf bliver skabt. Ud over inspiration skal mesteren følge strengt definerede regler, som inkluderer: kontrast, placering, balance, reglen om tredjedele og mange andre. Men reglen om det gyldne snit, også kendt som reglen om tredjedele, anerkendes stadig som en prioritet.

Bare noget kompliceret

Hvis vi præsenterer grundlaget for reglen om det gyldne snit i en forenklet form, så er det faktisk opdelingen af det reproducerede moment i ni lige store dele (tre lodret og tre vandret). For første gang introducerede Leonardo da Vinci det specifikt og arrangerede alle sine kompositioner i dette ejendommelige gitter. Det var ham, der praktisk talt bekræftede, at nøgleelementerne i billedet skulle koncentreres ved skæringspunkterne mellem lodrette og vandrette linjer.

Reglen om det gyldne snit i fotografering er underlagt en vis korrektion. Ud over ni-segmentgitteret anbefales det at bruge såkaldte trekanter. Princippet om deres konstruktion er baseret på reglen om tredjedele. For at gøre dette tegnes en diagonal fra det yderste øvre punkt til det nederste, og fra det modsatte øvre punkt tegnes en stråle, der deler den allerede eksisterende diagonal ved et af gitterets indre skæringspunkter. Nøgleelementet i sammensætningen skal vises i den gennemsnitlige størrelse af de resulterende trekanter. Det er værd at gøre en bemærkning her: det givne diagram til at konstruere trekanter afspejler kun deres princip, og derfor giver det mening at eksperimentere med de givne instruktioner.

Hvordan bruger man gitter og trekanter?

Reglen om det gyldne snit i fotografering fungerer efter visse standarder afhængigt af, hvad der er afbildet i den.

Horisont faktor. Ifølge tredjedelsreglen skal den placeres langs vandrette linjer. Desuden, hvis det fangede objekt er over horisonten, så passerer faktoren gennem bundlinjen og omvendt.

Placering af hovedobjektet. Det klassiske arrangement er et, hvor det centrale element er placeret ved et af skæringspunkterne. Hvis fotografen vælger to objekter, skal de være diagonale eller i parallelle punkter.

Brug af trekanter. Reglen for det gyldne snit i den pågældende sag afviger fra kanonerne, men kun lidt. Objektet behøver ikke at være placeret i skæringspunktet, men er så tæt som muligt på det i den midterste trekant.

Retning. Dette optagelsesprincip bruges i dynamisk fotografering og består i, at to tredjedele af billedrummet skal forblive foran det bevægelige objekt. Dette vil give effekten af at bevæge sig fremad og angive målet. Ellers kan billedet forblive misforstået.

Rettelse af reglen om det gyldne snit

På trods af at tredjedelsreglen i den eksisterende teori om komposition betragtes som klassisk, er flere og flere fotografer tilbøjelige til at opgive den. Deres motivation er enkel: analyse af malerier af berømte kunstnere viser, at reglen om det gyldne snit ikke holder stik. Man kan argumentere med dette udsagn.

Lad os overveje den velkendte Mona Lisa, som modstandere af at bruge tredjedelsreglen nævner som eksempel (glemmer at da Vinci selv var i begyndelsen af dens praktiske brug). Deres argument er, at mesteren ikke anså det for nødvendigt at arrangere billedets nøgleelementer ved skæringspunkterne, som krævet af det klassiske billede. Men de overser faktoren med vandrette linjer, ifølge hvilke hovedet og torsoen på den afbildede person er placeret på en sådan måde, at silhuetten som helhed ikke "skader øjet". Desuden i dette arbejde i højere grad der bruges en spiral, som for det meste er glemt af fototeoretikere. Og så er det muligt at tilbagevise udsagn om næsten enhver skabning, der er nævnt som et eksempel.

Reglen om det gyldne snit kan bruges eller opgives, hvis du vil understrege disharmonien i kompositionen. Det er dog umuligt at sige, at det ikke er nøglen til dannelsen af et kunstobjekt.

Det gyldne snit i arkitekturen. Sådan får du det gyldne snit

Det gyldne snit er nemmest repræsenteret som forholdet mellem to dele af en genstand forskellige længder, adskilt af en prik.

Kort sagt, hvor mange længder af et lille segment vil passe inde i et stort, eller forholdet mellem den største del og hele længden af et lineært objekt. I det første tilfælde er det gyldne snit 0,63, i det andet tilfælde er billedformatet 1,618034.

I praksis er det gyldne snit kun en proportion, forholdet mellem segmenter af en vis længde, sider af et rektangel eller andre geometriske former, beslægtede eller konjugerede dimensionelle karakteristika for rigtige objekter.

Til at begynde med blev de gyldne proportioner udledt empirisk ved hjælp af geometriske konstruktioner. Der er flere måder at konstruere eller udlede harmoniske proportioner på:

Den klassiske opdeling af en af siderne i en retvinklet trekant og konstruktionen af vinkelrette og sekantbuer. For at gøre dette fra den ene ende af segmentet er det nødvendigt at genoprette en vinkelret med en højde på ½ dens længde og konstruere retvinklet trekant, som i diagrammet.
Hvis vi plotter højden af vinkelret på hypotenusen, så med en radius lig med det resterende segment, skæres basen i to segmenter med længder proportionale med det gyldne snit;
Ved at bruge metoden til at konstruere pentagrammet af Dürer, den geniale tyske grafiker og geometer. I dag kender vi Dürers metode med det gyldne snit som en metode til at konstruere en stjerne eller pentagram indskrevet i en cirkel, hvori der er mindst fire segmenter af harmonisk proportion;
I arkitektur og byggeri bruges det gyldne snit ofte i en forbedret form. I dette tilfælde bruges opdelingen af en retvinklet trekant ikke langs benet, men langs hypotenusen, som et diagram.

Til din information! I modsætning til det klassiske gyldne snit, indebærer den arkitektoniske version et billedformat på 44:56.

Hvis standardversionen af det gyldne snit for levende væsener, malerier, grafik, skulpturer og gamle bygninger blev beregnet til 37:63, så begyndte det gyldne snit i arkitekturen fra slutningen af det 17. århundrede i stigende grad at blive brugt som 44:56. De fleste eksperter anser ændringen til fordel for mere "firkantede" proportioner for at være spredningen af højhusbyggeri.

Mange mennesker drømmer om et ideelt udseende, men ikke alle har en klar idé om, hvilke proportioner der kan betragtes som harmoniske. Formlen for ansigtets gyldne snit er uløseligt forbundet med tallet 1.618 og andre forhold. Således kan skønhedens proportioner beskrives som følger:

forholdet mellem højden og bredden af ansigtet skal være 1,618;
hvis man deler mundens længde og bredden af næsevingerne, får man 1,618;
når man dividerer afstandene mellem pupillerne og øjenbrynene, igen er resultatet 1,618;
øjnenes længde skal passe til afstanden mellem dem, såvel som næsens bredde;
områderne af ansigtet fra hårgrænsen til øjenbrynene, fra næseryggen til næsespidsen og den nederste del til hagen skal være lige store;
hvis du tegner fra eleverne lodrette linjer til hjørnerne af læberne får du tre sektioner lige brede.

Du skal forstå, at i naturen er sammenfaldet af alle parametre ret sjældent. Men det er der ikke noget galt med. Det betyder slet ikke, at personer, der ikke overholder perfekte proportioner, kan kaldes grim eller uskøn. Tværtimod er det "defekter", der nogle gange giver et ansigt en uforglemmelig charme.

Det gyldne snit i sammensætningen af tegninger i paint.net
Matematisk kan det "gyldne forhold" beskrives som følger: forholdet mellem helheden og dens største del skal være lig med forholdet mellem den større del og den mindre. Lad os illustrere med eksemplet på et segment.

I vores tilfælde er hele segmentet B opdelt i to dele - større A og mindre B. Så, hvis B / A er lig med A / B, vil opdelingen af segmentet blive udført i henhold til princippet kaldet "Golden Afsnit".
Ikke helt præcis, men tæt på det gyldne snit, for eksempel et forhold på 2/3 eller 5/8. Tal i sådanne forhold kaldes ofte "gyldne".
Hvorfor har vi brug for disse oplysninger til at tegne i paint.net? Det gyldne snit er vigtigt for kompositionen. Det antages, at genstande, der indeholder det "gyldne snit", opfattes af mennesker som de mest harmoniske. Det var i lignende forhold, at berømte kunstnere valgte størrelsen af værter til deres malerier.
Lad os overveje en forenklet version af at konstruere det "gyldne snit" til sammensætningen af en tegning eller "tredjedelsreglen". Tredjedelsreglen er, at vi mentalt deler rammen i tre dele vandret og lodret, og ved skæringspunkterne mellem imaginære linjer placerer vi de vigtigste og vigtige detaljer i vores tegning eller fotocollage.

Princippet om det "gyldne snit" kan anvendes, når du beskærer et billede. Så for eksempel kan en ramme dannet i henhold til reglen om "gyldne forhold" fra et stort fotografi se sådan ud.

Det gyldne snit i musik. Gyldne snitmetode i musikværker

Det "gyldne snit" er snarere et matematisk begreb, og dets undersøgelse er en videnskabens opgave. Dette er opdelingen af en vis mængde i to dele i et sådant forhold, at den største del vil være relateret til den mindre, som helheden er til den større. Denne holdning viser sig at være lig med det transcendentale tal Ф=1,6180339... med fantastiske egenskaber.

Den gyldne snitmetode er en søgning efter funktionsværdier på et givet interval. Denne metode er baseret på princippet om at opdele et segment i det såkaldte gyldne snit. Mest udbredt det blev opnået for at søge efter ekstreme værdier ved løsning af optimeringsproblemer. Ud over matematik bruges det gyldne snit-metoden på en række forskellige områder, lige fra arkitektur, kunst til astronomi. For eksempel brugte den berømte sovjetiske instruktør Sergei Eisenstein det i sin film "Battleship Potemkin", og Leonardo da Vinci brugte det, da han skrev den berømte "La Gioconda."

Det gyldne snit metoden bruges også i musik. Det viste sig, at denne gyldne proportion forekommer meget ofte i musikalske værker. I begyndelsen af det 20. århundrede, på et møde i Moscow Music Circle, blev der lavet en meddelelse, der indeholdt information om anvendelsen af det gyldne snit i musik. Beskeden blev lyttet til med stor interesse af medlemmer af den musikalske kreds, komponisterne S. Rachmaninov, S. Taneyev, R. Gliere og andre. Rapport af musikforsker E.K. Rosenov "The Law of the Golden Ratio in Music and Poetry" markerede begyndelsen på forskning i matematiske mønstre forbundet med det gyldne snit i musik. Han analyserede de musikalske værker af Mozart, Bach, Beethoven, Wagner, Chopin, Glinka og andre komponister og viste, at denne "guddommelige proportion" var til stede i deres værker.

Klimakset af mange musikalske værker er ikke placeret i centrum, men er lidt forskudt mod slutningen af værket i forholdet 62:38 - det er pointen med den gyldne proportion. Doktor i kunsthistorie, professor L. Mazel bemærkede, mens han studerede Chopins, Beethovens, Scriabins otte takts melodier, at i mange værker af disse komponister falder klimakset som regel på det svage taktslag af kvint, dvs. , ved det gyldne snit - 5/8. L. Mazel mente, at næsten enhver komponist, der holder sig til den harmoniske stil, kan finde en lignende musikalsk struktur: fem opstigningsbjælker og tre nedstigningsbjælker. Dette tyder på, at det gyldne snit-metoden blev brugt aktivt af komponister, enten bevidst eller ubevidst. Sandsynligvis giver dette strukturelle arrangement af klimatiske øjeblikke det musikalske værk en harmonisk lyd og følelsesmæssig farve.

En seriøs undersøgelse af musikværker til manifestation af den gyldne proportion i dem blev foretaget af komponist og musikolog L. Sabaneev. Han studerede omkring to tusinde værker af forskellige komponister og kom til den konklusion, at i cirka 75% af tilfældene var det gyldne snit til stede i et musikværk mindst én gang. De fleste stort antal værker, hvor den gyldne proportion forekommer, bemærkede han hos komponister som Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Scriabin (90%), Chopin (92%), Schubert (91%). Han studerede Chopins etuder på det nærmeste og kom til den konklusion, at det gyldne snit blev bestemt i 24 ud af 27 etuder. Kun i tre af Chopins etuder blev det gyldne snit ikke fundet. Nogle gange omfattede strukturen af et musikalsk værk både symmetri og det gyldne snit. For eksempel er mange af Beethovens værker opdelt i symmetriske dele, og i hver af dem optræder det gyldne snit.

Så vi kan sige, at tilstedeværelsen af det gyldne snit i et musikstykke er et af kriterierne for harmonien i en musikalsk komposition.

En person skelner genstande omkring ham ved deres form. Interessen for et objekts form kan dikteres af vital nødvendighed, eller det kan være forårsaget af formens skønhed. Formen, hvis konstruktion er baseret på en kombination af symmetri og det gyldne snit, bidrager til den bedste visuelle opfattelse og fremkomsten af en følelse af skønhed og harmoni. Helheden består altid af dele, dele af forskellig størrelse står i et vist forhold til hinanden og til helheden. Princippet om det gyldne snit er den højeste manifestation af den strukturelle og funktionelle perfektion af helheden og dens dele i kunst, videnskab, teknologi og natur.

Gyldent snit - harmonisk proportion

I matematik del(lat. proportio) kalder ligheden mellem to relationer: -en : b = c : d.

Lige segment AB kan opdeles i to dele på følgende måder:

i to lige store dele - AB : AC = AB : Sol;

i to ulige dele i enhver henseende (sådanne dele danner ikke proportioner);

altså hvornår AB : AC = AC : Sol.

Sidstnævnte er den gyldne opdeling eller opdeling af et segment i ekstreme og gennemsnitlige forhold.

Det gyldne snit er en sådan proportional opdeling af et segment i ulige dele, hvor hele segmentet er relateret til den større del, som den større del selv er relateret til den mindre; eller med andre ord, det mindre segment er til det større, som det større er for helheden

-en : b = b : c eller Med : b = b : EN.

Ris. 1. Geometrisk billede af det gyldne snit

Praktisk bekendtskab med det gyldne snit begynder med at dele et lige linjesegment i den gyldne proportion ved hjælp af et kompas og lineal.

Ris. 2. Opdeling af et lige linjestykke ved hjælp af det gyldne snit. B.C. = 1/2 AB; CD = B.C.

Fra punktet I en vinkelret lig med halvdelen gendannes AB. Modtaget point MED forbundet med en linje til et punkt EN. Et segment plottes på den resulterende linje Sol slutter med en prik D. Segment AD overført til direkte AB. Det resulterende punkt E opdeler et segment AB i det gyldne snit.

Segmenter af det gyldne snit udtrykkes som en uendelig irrationel fraktion A.E.= 0,618..., hvis AB tage som en VÆRE= 0,382... Til praktiske formål bruges der ofte omtrentlige værdier på 0,62 og 0,38. Hvis segmentet AB taget som 100 dele, så er den største del af segmentet lig med 62, og den mindre del er 38 dele.

Egenskaberne for det gyldne snit er beskrevet ved ligningen:

x 2 - x - 1 = 0.

Løsning til denne ligning:

Egenskaberne ved det gyldne snit har skabt en romantisk aura af mystik og næsten mystisk tilbedelse omkring dette nummer.

Andet gyldne snit

Det bulgarske magasin "Fatherland" (nr. 10, 1983) publicerede en artikel af Tsvetan Tsekov-Karandash "Om det andet gyldne snit", som følger af hovedafsnittet og giver endnu et forhold på 44:56.

Denne andel findes i arkitekturen og forekommer også, når man konstruerer kompositioner af billeder i et langstrakt vandret format.

Ris. 3. Konstruktion af det andet gyldne snit

Opdelingen udføres som følger (se fig. 3). Segment AB opdelt efter det gyldne snit. Fra punktet MED vinkelret gendannes CD. Radius AB der er en pointe D, som er forbundet med en linje til et punkt EN. Ret vinkel ACD er delt i to. Fra punktet MED en linje tegnes indtil den skærer linjen AD. Prik E opdeler et segment AD i forhold til 56:44.

Ris. 4. Opdeling af et rektangel med linjen i det andet gyldne snit

I fig. Figur 4 viser positionen af linjen i det andet gyldne snit. Den er placeret midt mellem det gyldne forholdslinje og rektanglets midterlinje.

Gyldne Trekant

For at finde segmenter af den gyldne del af den stigende og faldende række, kan du bruge pentagram.

Ris. 5. Konstruktion af en regulær femkant og pentagram

For at bygge et pentagram skal du bygge en almindelig femkant. Metoden til dens konstruktion blev udviklet af den tyske maler og grafiker Albrecht Durer (1471...1528). Lade O- midten af cirklen, EN- et punkt på en cirkel og E- midten af segmentet OA. Vinkelret på radius OA, gendannet på punktet OM, skærer cirklen i punktet D. Brug et kompas til at tegne et segment på diameteren C.E. = ED. Sidelængden af en regulær femkant indskrevet i en cirkel er DC. Læg segmenter ud på cirklen DC og vi får fem point for at tegne en regulær femkant. Vi forbinder hjørnerne af femkanten gennem hinanden med diagonaler og får et pentagram. Alle diagonaler i femkanten deler hinanden i segmenter forbundet med det gyldne snit.

Hver ende af den femkantede stjerne repræsenterer en gylden trekant. Dens sider danner en vinkel på 36° i spidsen, og bunden, lagt på siden, deler den i forholdet til det gyldne snit.

Ris. 6. Konstruktion af den gyldne trekant

Vi udfører en direkte AB. Fra punkt EN læg et segment på det tre gange OM vilkårlig værdi gennem det resulterende punkt R tegne en vinkelret på linjen AB, på vinkelret til højre og venstre for punktet R læg segmenterne til side OM. Modtaget point d Og d 1 forbindes med lige linjer til et punkt EN. Segment dd sæt 1 på stregen Ad 1, får et point MED. Hun delte linjen Ad 1 i forhold til det gyldne snit. Linjer Ad 1 og dd 1 bruges til at konstruere et "gyldent" rektangel.

Historien om det gyldne snit

Det er almindeligt accepteret, at begrebet den gyldne opdeling blev introduceret til videnskabelig brug af Pythagoras, en oldgræsk filosof og matematiker (VI århundrede f.Kr.). Der er en antagelse om, at Pythagoras lånte sin viden om den gyldne opdeling fra egypterne og babylonierne. Faktisk indikerer proportionerne af Cheops-pyramiden, templerne, basrelieffer, husholdningsartikler og smykker fra Tutankhamons grav, at egyptiske håndværkere brugte forholdet mellem den gyldne division, da de skabte dem. Den franske arkitekt Le Corbusier fandt ud af, at i relieffet fra farao Seti I's tempel i Abydos og i relieffet, der afbilder farao Ramses, svarer figurernes proportioner til værdierne af den gyldne division. Arkitekten Khesira, afbildet på et relief af en træplade fra en grav opkaldt efter ham, holder i sine hænder måleinstrumenter, hvor proportionerne af den gyldne division er registreret.

Grækerne var dygtige geometre. De underviste endda deres børn i regne ved hjælp af geometriske former. Pythagoras kvadrat og diagonalen af denne firkant var grundlaget for konstruktionen af dynamiske rektangler.

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Facaden på det antikke græske tempel Parthenon har gyldne proportioner. Under dens udgravninger blev der opdaget kompasser, der blev brugt af arkitekter og billedhuggere fra den antikke verden. Det pompeianske kompas (museum i Napoli) indeholder også proportionerne af den gyldne inddeling.

Ris. 8. Antik kompas med gyldne snit

I den antikke litteratur, der er kommet ned til os, blev den gyldne inddeling først nævnt i Euklids elementer. I den 2. bog af "Principlene" er der givet en geometrisk konstruktion af den gyldne inddeling Efter Euklid blev undersøgelsen af den gyldne inddeling udført af Hypsicles (II århundrede f.Kr.), Pappus (III århundrede e.Kr.) og andre. middelalderlige Europa vi stiftede bekendtskab med den gyldne division igennem Arabiske oversættelser Euklids "Begyndelser". Oversætteren J. Campano fra Navarra (III århundrede) fremsatte kommentarer til oversættelsen. Hemmelighederne bag den gyldne division blev nidkært bevogtet og holdt i streng hemmelighed. De var kun kendt af indviede.

Under renæssancen steg interessen for den gyldne opdeling blandt videnskabsmænd og kunstnere på grund af dens brug i både geometri og kunst, især inden for arkitektur, Leonardo da Vinci, en kunstner og videnskabsmand, så, at italienske kunstnere havde meget empirisk erfaring, men kun lidt. viden. Han undfangede og begyndte at skrive en bog om geometri, men på det tidspunkt dukkede en bog af munken Luca Pacioli op, og Leonardo opgav sin idé. Ifølge samtidige og videnskabshistorikere var Luca Pacioli en rigtig lyskilde, Italiens største matematiker i perioden mellem Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev af kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøger, hvoraf den ene hed "On Perspective in Painting." Han betragtes som skaberen af beskrivende geometri.

Luca Pacioli forstod perfekt videnskabens betydning for kunsten. I 1496 kom han på invitation af hertugen af Moreau til Milano, hvor han holdt foredrag om matematik. Leonardo da Vinci arbejdede også i Milano ved Moro-hoffet på det tidspunkt. I 1509 blev Luca Paciolis bog "The Divine Proportion" udgivet i Venedig med glimrende udførte illustrationer, hvorfor det menes, at de er lavet af Leonardo da Vinci. Bogen var en begejstret salme til det gyldne snit. Blandt de mange fordele ved den gyldne proportion undlod munken Luca Pacioli ikke at nævne dens "guddommelige essens" som et udtryk for den guddommelige treenighed - Gud sønnen, Gud faderen og Gud den hellige ånd (det blev antydet, at den lille segmentet er personificeringen af Gud sønnen, det større segment - Gud faderen, og hele segmentet - Helligåndens Gud).

Leonardo da Vinci var også meget opmærksom på studiet af den gyldne division. Han lavede sektioner af en stereometrisk krop dannet af regulære femkanter, og hver gang fik han rektangler med aspektforhold i den gyldne division. Det var derfor, han gav denne afdeling navnet gyldne snit. Så det forbliver stadig som det mest populære.

Samtidig arbejdede Albrecht Dürer i det nordlige Europa, i Tyskland, med de samme problemer. Han skitserer indledningen til den første version af afhandlingen om proportioner. Dürer skriver. ”Det er nødvendigt, at en, der ved, hvordan man gør noget, skal lære det til andre, der har brug for det. Det er, hvad jeg satte mig for at gøre."

At dømme efter et af Dürers breve mødtes han med Luca Pacioli, mens han var i Italien. Albrecht Durer udvikler i detaljer teorien om proportioner af den menneskelige krop. Dürer tildelte det gyldne snit en vigtig plads i sit system af relationer. En persons højde er opdelt i gyldne proportioner af bæltets linje, såvel som af en linje trukket gennem spidserne af langfingrene på de sænkede hænder, den nederste del af ansigtet ved munden osv. Dürers proportionalkompas er velkendt.

Stor astronom fra det 16. århundrede. Johannes Kepler kaldte det gyldne snit for en af geometriens skatte. Han var den første til at henlede opmærksomheden på vigtigheden af den gyldne proportion for botanik (plantevækst og deres struktur).

Kepler kaldte den gyldne proportion selv-fortsættende "Den er struktureret på en sådan måde," skrev han, "at de to laveste led i denne uendelige andel lægger op til det tredje led, og alle to sidste led, hvis de lægges sammen. , giv det næste led, og det samme forhold bibeholdes indtil det uendelige."

Konstruktionen af en række segmenter af den gyldne proportion kan udføres både i retning af stigning (stigende serie) og i retning af fald (faldende serie).

Hvis du er på en lige linje af vilkårlig længde, skal du lægge segmentet til side m, sæt segmentet ved siden af M. Baseret på disse to segmenter bygger vi en skala af segmenter af den gyldne del af de stigende og faldende serier

Ris. 9. Konstruktion af en skala af gyldne proportionssegmenter

I de efterfølgende århundreder blev reglen om den gyldne proportion til en akademisk kanon, og da kampen mod den akademiske rutine med tiden begyndte i kunsten, "smed de i kampens hede barnet ud med badevandet." Det gyldne snit blev "opdaget" igen i midten af 1800-tallet. I 1855 udgav den tyske forsker i det gyldne snit, professor Zeising, sit værk "Aesthetic Studies". Det, der skete med Zeising, var præcis, hvad der uundgåeligt skulle ske for en forsker, der betragter et fænomen som sådan, uden sammenhæng med andre fænomener. Han absolutiserede andelen af det gyldne snit og erklærede det universelt for alle natur- og kunstfænomener. Zeising havde adskillige tilhængere, men der var også modstandere, der erklærede hans doktrin om proportioner for at være "matematisk æstetik."

Ris. 10. Gyldne proportioner i dele af menneskekroppen

Zeising gjorde et fantastisk stykke arbejde. Han målte omkring to tusinde menneskekroppe og kom til den konklusion, at det gyldne snit udtrykker den gennemsnitlige statistiske lov. At dele kroppen med navlespidsen - den vigtigste indikator gyldne snit. Andelene af den mandlige krop svinger inden for det gennemsnitlige forhold på 13: 8 = 1,625 og er noget tættere på det gyldne snit end proportionerne af den kvindelige krop, i forhold til hvilket den gennemsnitlige værdi af andelen er udtrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, i en alder af 13 er den 1,6, og i en alder af 21 er den lig med en mands. Proportionerne af det gyldne snit viser sig også i forhold til andre dele af kroppen - længden af skulder, underarm og hånd, hånd og fingre mv.

Ris. 11. Gyldne proportioner i den menneskelige figur

Zeising testede gyldigheden af sin teori på græske statuer. Han udviklede proportionerne af Apollo Belvedere i de mest detaljerede. Græske vaser og arkitektoniske strukturer blev undersøgt forskellige epoker, planter, dyr, fugleæg, musikalske toner, poetiske metre. Zeising gav en definition af det gyldne snit og viste, hvordan det udtrykkes i lige linjestykker og i tal. Da tallene, der udtrykte længderne af segmenterne, blev opnået, så Zeising, at de udgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsættes i det uendelige i den ene eller den anden retning. Hans næste bog fik titlen "Den gyldne division som den grundlæggende morfologiske lov i naturen og kunsten." I 1876 blev en lille bog, nærmest en brochure, udgivet i Rusland, der skitserede Zeisings arbejde. Forfatteren søgte tilflugt under initialerne Yu.F.V. Denne udgave omtaler ikke et eneste malerværk.

I slutningen af XIX- begyndelsen af det 20. århundrede Der dukkede mange rent formalistiske teorier op om brugen af det gyldne snit i kunstværker og arkitektur. Med udviklingen af design og teknisk æstetik udvidede loven om det gyldne snit til design af biler, møbler mv.

Fibonacci-serien

Navnet på den italienske matematikermunk Leonardo af Pisa, bedre kendt som Fibonacci (søn af Bonacci), er indirekte forbundet med historien om det gyldne snit. Han rejste meget i østen, introducerede Europa til indiske (arabiske) tal. I 1202 udkom hans matematiske værk "The Book of the Abacus" (tællebræt), som samlede alle de problemer, der var kendt på det tidspunkt. Et af problemerne lød: "Hvor mange par kaniner bliver der født fra et par på et år." Efter at have reflekteret over dette emne byggede Fibonacci følgende serie af tal:

En række tal 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 osv. kendt som Fibonacci-serien. Det særlige ved talrækken er, at hver af dens medlemmer, startende fra den tredje, lig med summen to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellem tilstødende tal i rækken nærmer sig forholdet mellem den gyldne division. Så 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forhold er angivet med symbolet F. Kun dette forhold - 0,618: 0,382 - giver en kontinuerlig opdeling af et lige linjestykke i den gyldne proportion, hvilket øger eller formindsker det til det uendelige, når det mindre segment er relateret til det større, som det større er til helheden.

Fibonacci beskæftigede sig også med handelens praktiske behov: Hvad er det mindste antal vægte, der kan bruges til at veje et produkt? Fibonacci beviser, at det optimale vægtsystem er: 1, 2, 4, 8, 16...

Generaliseret gyldne snit

Fibonacci-serien kunne kun være forblevet en matematisk hændelse, hvis ikke for det faktum, at alle forskere af den gyldne division i plante- og dyreverdenen, for ikke at nævne kunst, uvægerligt kom til denne serie som et aritmetisk udtryk for loven om det gyldne afdeling.

Forskere fortsatte aktivt med at udvikle teorien om Fibonacci-tal og det gyldne snit. Yu Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved hjælp af Fibonacci-tal. Elegante metoder dukker op til at løse en række kybernetiske problemer (søgeteori, spil, programmering) ved hjælp af Fibonacci-tal og det gyldne snit. I USA oprettes endda Mathematical Fibonacci Association, som siden 1963 har udgivet et specialtidsskrift.

En af resultaterne på dette område er opdagelsen af generaliserede Fibonacci-tal og generaliserede gyldne snit.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serie af vægte opdaget af ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øjekast er helt anderledes. Men algoritmerne til deres konstruktion ligner hinanden meget: i det første tilfælde er hvert tal summen af det foregående tal med sig selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., i den anden - dette er summen af de to foregående tal 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Er det muligt at finde en generel matematisk formel, hvorfra vi får " binære serier og Fibonacci serier? Eller måske vil denne formel give os nyt nummersæt, besidder nogle nye unikke egenskaber?

Faktisk, lad os spørge numerisk parameter S, som kan have en hvilken som helst værdi: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Overvej en talserie, S+ 1, hvoraf de første led er enheder, og hver af de efterfølgende er lig med summen af to led af den foregående og adskilt fra den foregående med S trin. Hvis n Vi betegner det te led i denne række ved φ S ( n), så får vi generel formelφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Det er indlysende, at hvornår S= 0 fra denne formel får vi en "binær" serie, med S= 1 - Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. nye talrækker, som kaldes S-Fibonacci-tal.

Generelt gyldent S-Proportion er den positive rod af den gyldne ligning S-sektioner x S+1 - x S - 1 = 0.

Det er nemt at vise, hvornår S= 0, segmentet er delt i to, og hvornår S= 1 - det velkendte klassiske gyldne snit.

Relationer mellem naboer S- Fibonacci-tal falder sammen med absolut matematisk nøjagtighed i grænsen med guld S-proportioner! Matematikere siger i sådanne tilfælde, at guld S-sektioner er numeriske invarianter S-Fibonacci-tal.

Fakta, der bekræfter eksistensen af guld S-sektioner i naturen, citerer den hviderussiske videnskabsmand E.M. Soroko i bogen "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser sig for eksempel, at velundersøgte binære legeringer kun har særlige, udtalte funktionelle egenskaber (termisk stabile, hårde, slidbestandige, modstandsdygtige over for oxidation osv.), hvis de originale komponenters vægtfylde er relateret til hinanden af en af guld S-proportioner. Dette gjorde det muligt for forfatteren at fremsætte hypotesen om, at guld S-sektioner er numeriske invarianter af selvorganiserende systemer. Når først bekræftet eksperimentelt, kan denne hypotese være af fundamental betydning for udviklingen af synergetik - et nyt videnskabsområde, der studerer processer i selvorganiserende systemer.

Brug af gyldne koder S-Proportioner kan udtrykkes ved et hvilket som helst reelt tal som summen af guldmagter S-proportioner med heltalskoefficienter.

Den grundlæggende forskel mellem denne metode til indkodning af tal er, at baserne for de nye koder, som er gyldne S-proportioner, med S> 0 viser sig at være irrationelle tal. Således ser nye talsystemer med irrationelle baser ud til at sætte det historisk etablerede hierarki af relationer mellem rationelle og irrationelle tal "fra top til fod." Faktum er, at naturlige tal først blev "opdaget"; så er deres forhold rationelle tal. Og først senere - efter opdagelsen af inkommensurable segmenter af pythagoræerne - blev irrationelle tal født. For eksempel i decimale, quinære, binære og andre klassiske positionstalssystemer blev naturlige tal valgt som en slags grundlæggende princip - 10, 5, 2 - hvorfra, ifølge visse regler, alle andre naturlige tal såvel som rationelle tal. og irrationelle tal, blev konstrueret.

En slags alternativ til eksisterende notationsmetoder er et nyt, irrationelt system, som et grundlæggende princip, hvis begyndelse er et irrationelt tal (som, husker jeg, er roden til ligningen med det gyldne snit); andre reelle tal er allerede udtrykt gennem det.

I sådan et talsystem kan ethvert naturligt tal altid repræsenteres som endeligt – og ikke uendeligt, som man tidligere har troet! - summen af graderne af noget af guldet S-proportioner. Dette er en af grundene til, at "irrationel" aritmetik, der har en fantastisk matematisk enkelhed og elegance, ser ud til at have absorberet de bedste kvaliteter af klassisk binær og "Fibonacci" aritmetik.

Principper for dannelse i naturen

Alt, der antog en eller anden form, blev dannet, voksede, stræbte efter at tage plads i rummet og bevare sig selv. Dette ønske realiseres hovedsageligt i to muligheder - at vokse opad eller sprede sig over jordens overflade og sno sig i en spiral.

Skallen er snoet i en spiral. Folder du den ud, får du en længde lidt kortere end slangens længde. En lille ti-centimeter skal har en spiral på 35 cm. Spiraler er meget almindelige i naturen. Ideen om det gyldne snit vil være ufuldstændig uden at tale om spiralen.

Ris. 12. Archimedes spiral

Formen på den spiralkrøllede skal tiltrak Archimedes opmærksomhed. Han studerede det og fandt på en ligning for spiralen. Spiralen tegnet ifølge denne ligning kaldes ved hans navn. Forøgelsen af hendes skridt er altid ensartet. I øjeblikket er Archimedes-spiralen meget brugt i teknologi.

Goethe fremhævede også naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangement af blade på trægrene blev bemærket for længe siden. Spiralen blev set i arrangementet af solsikkefrø, kogler, ananas, kaktusser osv. Samarbejde Botanikere og matematikere kaster lys over disse fantastiske naturfænomener. Det viste sig, at Fibonacci-serien manifesterer sig i arrangementet af blade på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og fyrrekogler, og derfor manifesterer loven om det gyldne snit sig. Edderkoppen væver sit spind i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. Skræmt flok rensdyr spiraler væk. DNA-molekylet er snoet i en dobbelt helix. Goethe kaldte spiralen "livets kurve".

Blandt vejkantens urter vokser en umærkelig plante - cikorie. Lad os se nærmere på det. Et skud er dannet fra hovedstammen. Det første blad var placeret lige der.

Ris. 13. Cikorie

Skuddet laver et kraftigt udkast ud i rummet, stopper, udløser et blad, men denne gang er det kortere end det første, laver igen et udkast ud i rummet, men med mindre kraft, udløser et blad af endnu mindre størrelse og skydes ud igen . Hvis den første emission tages som 100 enheder, så er den anden lig med 62 enheder, den tredje - 38, den fjerde - 24 osv. Længden af kronbladene er også underlagt den gyldne proportion. I at vokse og erobre plads, opretholdt planten visse proportioner. Impulserne fra dens vækst faldt gradvist i forhold til det gyldne snit.

Ris. 14. Viviparøs firben

Ved første øjekast har firbenet proportioner, der er behagelige for vores øjne - længden af dens hale er relateret til længden af resten af kroppen som 62 til 38.

I både plante- og dyreverdenen bryder naturens dannelsestendens vedvarende igennem - symmetri om vækst- og bevægelsesretning. Her vises det gyldne snit i forholdet mellem dele vinkelret på vækstretningen.

Naturen har udført opdeling i symmetriske dele og gyldne proportioner. Delene afslører en gentagelse af helhedens struktur.

Ris. 15. fugleæg

Den store Goethe, en digter, naturforsker og kunstner (han tegnede og malede i akvareller), drømte om at skabe en samlet doktrin om form, dannelse og forvandling af organiske legemer. Det var ham, der introducerede begrebet morfologi i videnskabelig brug.

Pierre Curie i begyndelsen af vort århundrede formulerede en serie dybe ideer symmetri. Han argumenterede for, at man ikke kan overveje symmetrien af nogen krop uden at tage hensyn til miljøets symmetri.

Lovene om "gyldne" symmetri manifesteres i energiovergangene af elementarpartikler, i strukturen af nogle kemiske forbindelser, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturer af levende organismer. Disse mønstre, som angivet ovenfor, eksisterer i strukturen af individuelle menneskelige organer og kroppen som helhed og manifesterer sig også i hjernens biorytmer og funktion og visuel perception.

Gyldne forhold og symmetri

Det gyldne snit kan ikke betragtes alene, separat, uden forbindelse med symmetri. Den store russiske krystallograf G.V. Wulf (1863...1925) anså det gyldne snit for at være et af symmetriens manifestationer.

Den gyldne opdeling er ikke en manifestation af asymmetri, noget modsat symmetri Ifølge moderne ideer er den gyldne opdeling asymmetrisk symmetri. Videnskaben om symmetri omfatter sådanne begreber som statisk Og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kendetegner fred og balance, mens dynamisk symmetri kendetegner bevægelse og vækst. I naturen er statisk symmetri således repræsenteret af strukturen af krystaller, og i kunsten kendetegner den fred, balance og ubevægelighed. Dynamisk symmetri udtrykker aktivitet, karakteriserer bevægelse, udvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er karakteriseret ved lige store segmenter og lige værdier. Dynamisk symmetri er karakteriseret ved en stigning i segmenter eller deres fald, og det udtrykkes i værdierne af det gyldne snit i en stigende eller faldende serie.

De siger, at "guddommelige proportioner" er iboende i naturen og i mange ting omkring os. Du kan finde det i blomster, bistader, muslingeskaller og endda vores kroppe.

Dette guddommelige forhold, også kendt som det gyldne snit, det guddommelige snit eller det gyldne snit, kan anvendes på forskellige former for kunst og læring. Forskere siger, at jo tættere et objekt er på det gyldne snit, jo bedre opfatter den menneskelige hjerne det.

Siden dette forhold blev opdaget, har mange kunstnere og arkitekter brugt det i deres værker. Du kan finde det gyldne snit i adskillige renæssancemesterværker, arkitektur, maleri og meget mere. Resultatet er et smukt og æstetisk tiltalende mesterværk.

De færreste ved, hvad hemmeligheden bag det gyldne snit er, hvilket er så behageligt for vores øjne. Mange tror, at det faktum, at det optræder overalt og er en "universel" proportion, tvinger os til at acceptere det som noget logisk, harmonisk og organisk. Med andre ord, det "føler" simpelthen, hvad vi har brug for.

Så hvad er det gyldne snit?

Det gyldne snit, også kendt som "phi" på græsk, er en matematisk konstant. Det kan udtrykkes ved ligningen a/b=a+b/a=1,618033987, hvor a er større end b. Dette kan også forklares med Fibonacci-sekvensen, en anden guddommelig proportion. Fibonacci-sekvensen starter med 1 (nogle siger 0) og tilføjer det forrige tal til den for at få det næste (dvs. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...)

Hvis du forsøger at finde kvotienten af to efterfølgende Fibonacci-tal (dvs. 8/5 eller 5/3), er resultatet meget tæt på det gyldne snit på 1,6 eller phi.

Den gyldne spiral er skabt ved hjælp af et gyldent rektangel. Hvis du har et rektangel med henholdsvis kvadraterne 1, 1, 2, 3, 5 og 8 som vist på billedet ovenfor, kan du begynde at bygge det gyldne rektangel. Ved at bruge siden af kvadratet som radius, skaber du en bue, der rører punkterne på firkanten diagonalt. Gentag denne procedure med hver firkant i den gyldne trekant, og du vil ende med en gylden spiral.

Hvor kan vi se det i naturen

Golden Ratio og Fibonacci-sekvensen kan findes i blomsterblade. For de fleste blomster er antallet af kronblade reduceret til to, tre, fem eller flere, hvilket svarer til det gyldne snit. For eksempel har liljer 3 kronblade, ranunkler har 5, cikorieblomster har 21, og tusindfryd har 34. Blomsterfrø følger formentlig også det gyldne snit. For eksempel spirer solsikkefrø fra midten og vokser udad og fylder frøhovedet. De er normalt spiralformede og ligner en gylden spiral. Desuden er antallet af frø normalt reduceret til Fibonacci-tal.

Hænder og fingre er også et eksempel på det gyldne snit. Se nærmere! Håndfladen og spidsen af fingeren er opdelt i dele (knogler). Forholdet mellem en del i forhold til en anden er altid 1,618! Selv underarme og hænder er i samme forhold. Og fingre og ansigt, og listen fortsætter...

Anvendelse i kunst og arkitektur

Parthenon i Grækenland siges at være bygget med gyldne proportioner. Det antages, at de dimensionelle forhold mellem højde, bredde, søjler, afstand mellem søjler og endda størrelsen af portikoen er tæt på det gyldne snit. Dette er muligt, fordi bygningen ser forholdsmæssigt perfekt ud og har været sådan siden oldtiden.

Leonardo Da Vinci var også fan af det gyldne snit (og faktisk mange andre kuriositeter!). Mona Lisas forunderlige skønhed kan skyldes, at hendes ansigt og krop repræsenterer det gyldne snit, ligesom de rigtige. menneskelige ansigter i livet. Derudover er tallene på maleriet "Den sidste nadver" af Leonardo Da Vinci arrangeret i den rækkefølge, der bruges i det gyldne snit. Tegner du gyldne rektangler på lærredet, vil Jesus være lige i midterlappen.

Anvendelse i logo design

Det er ingen overraskelse, at du også kan finde brugen af det gyldne snit i mange moderne projekter, især design. Lad os indtil videre fokusere på, hvordan dette kan bruges i logodesign. Lad os først se på nogle af verdens mest berømte mærker, der har brugt det gyldne snit til at perfektionere deres logoer.

Tilsyneladende brugte Apple cirkler fra Fibonacci-tal, sammenføjede og skar formerne til for at skabe Apple-logoet. Det er uvist, om dette er sket med vilje eller ej. Resultatet er dog et perfekt og visuelt æstetisk logodesign.

Toyota-logoet bruger forholdet mellem a og b, og danner et gitter, hvori tre ringe er dannet. Læg mærke til, hvordan dette logo bruger rektangler i stedet for cirkler til at skabe det gyldne snit.

Pepsi-logoet er skabt af to krydsende cirkler, den ene større end den anden. Som vist på billedet ovenfor er den større cirkel proportional med den mindre cirkel - du gættede rigtigt! Deres seneste ikke-prægede logo er enkelt, effektivt og smukt!

Udover Toyota og Apple menes logoerne fra flere andre virksomheder såsom BP, iCloud, Twitter og Grupo Boticario også at have brugt det gyldne snit. Og vi ved alle, hvor berømte disse logoer er - alt sammen fordi billedet straks springer i øjnene!

Sådan kan du anvende det i dine projekter

Skitser et gyldent rektangel som vist ovenfor i gult. Dette kan opnås ved at konstruere firkanter med højde og bredde ud fra tal, der hører til det gyldne snit. Start med en blok og placer en anden ved siden af. Og placer en anden firkant, hvis areal er lig med de to, over dem. Du vil automatisk modtage en side af 3 blokke. Efter at have bygget denne 3 blok struktur, vil du ende med en side af 5 quads, hvorfra du kan lave en anden (5 blok område) boks. Dette kan fortsætte, så længe du vil, indtil du finder den størrelse, du har brug for!

Rektangelet kan bevæge sig i alle retninger. Vælg små rektangler, og brug hver enkelt til at sammensætte et layout, der vil fungere som et logodesigngitter.

Hvis logoet er mere afrundet, skal du bruge en cirkulær version af det gyldne rektangel. Du kan opnå dette ved at tegne cirkler, der er proportionale med Fibonacci-tallene. Opret et gyldent rektangel ved kun at bruge cirkler (dette betyder, at den største cirkel vil have en diameter på 8, og den mindre cirkel vil have en diameter på 5, og så videre). Adskil nu disse cirkler og placer dem, så du kan danne den grundlæggende omrids til dit logo. Her er et eksempel på Twitter-logoet:

Note: Du behøver ikke tegne alle de gyldne cirkler eller rektangler. Du kan også bruge den samme størrelse mere end én gang.

Sådan bruger du det i tekstdesign

Det er nemmere end at designe et logo. En simpel regel for at anvende det gyldne snit i tekst er, at efterfølgende større eller mindre tekst skal stemme overens med Phi. Lad os se på dette eksempel:

Hvis min skriftstørrelse er 11, så skal underteksten skrives med en større skrift. Jeg multiplicerer skrifttypen med det gyldne snit for at få større antal(11*1,6=17). Det betyder, at underteksten skal skrives i skriftstørrelse 17. Og nu titlen eller titlen. Jeg multiplicerer underteksten med proportionen og får 27 (1*1,6=27). Sådan! Din tekst er nu proportional med det gyldne snit.

Sådan anvender du det i webdesign

Men her er det lidt mere kompliceret. Du kan forblive tro mod det gyldne snit selv i webdesign. Hvis du er en erfaren webdesigner, har du allerede gættet, hvor og hvordan det kan anvendes. Ja, vi kan effektivt bruge det gyldne snit og anvende det på vores websidegitter og UI-layouts.

Tage samlet antal gitterpixel for bredde eller højde og brug det til at bygge et gyldent rektangel. Opdel den største bredde eller længde for at få mindre tal. Dette kan være bredden eller højden af dit hovedindhold. Det, der er tilbage, kan være sidebjælken (eller bundbjælken, hvis du har anvendt den i højden). Fortsæt nu med at bruge det gyldne rektangel for yderligere at anvende det på vinduer, knapper, paneler, billeder og tekst. Du kan også bygge et fuldt net baseret på små versioner af det gyldne rektangel placeret både vandret og lodret for at skabe mindre grænsefladeobjekter, der er proportionale med det gyldne rektangel. For at få proportionerne kan du bruge denne lommeregner.

Spiralformet

Du kan også bruge den gyldne spiral til at bestemme, hvor indholdet skal placeres på dit websted. Hvis din hjemmeside er fyldt med grafisk indhold, såsom en online butiks hjemmeside eller fotoblog, kan du bruge den gyldne spiralmetode, som mange kunstnere bruger i deres arbejde. Idéen er at placere det mest værdifulde indhold i midten af spiralen.

Indhold med grupperet materiale kan også placeres ved hjælp af et gyldent rektangel. Det betyder, at jo tættere spiralen bevæger sig på de centrale firkanter (til én firkantet blok), jo "tætte" indholdet der.

Du kan bruge denne teknik til at angive placeringen af din sidehoved, billeder, menuer, værktøjslinje, søgefelt og andre elementer. Twitter er berømt ikke kun for sin brug af det gyldne rektangel i sit logodesign, men også for sin brug i webdesign. Hvordan? Gennem brugen af det gyldne rektangel, eller med andre ord det gyldne spiralkoncept, på brugerens profilside.

Men det vil ikke være nemt at gøre på CMS-platforme, hvor indholdsforfatteren bestemmer layoutet i stedet for webdesigneren. The Golden Ratio er velegnet til WordPress og andre blogdesigns. Det skyldes nok, at en sidebar næsten altid er til stede i et blogdesign, som passer fint ind i det gyldne rektangel.

Nemmere måde

Meget ofte springer designere over kompleks matematik og anvender den såkaldte "tredjedelsregel". Det kan opnås ved at opdele området i tre lige store dele vandret og lodret. Resultatet er ni lige store dele. Skæringslinjen kan bruges som omdrejningspunkt for formen og designet. Du kan placere et nøgletema eller hovedelementer på et eller alle fokuspunkterne. Fotografer bruger også dette koncept til plakater.

Jo tættere rektanglerne er på forholdet 1:1,6, jo mere behageligt opfattes billedet af den menneskelige hjerne (da det er tættere på det gyldne snit).

Det gyldne snit - matematik

Gyldent snit - harmonisk proportion

I matematik er proportion (lat. proportio) ligheden mellem to forhold: a: b = c: d.
Et lige linjestykke AB kan opdeles i to dele på følgende måder:
i to lige store dele – AB: AC = AB: BC;
i to ulige dele i enhver henseende (sådanne dele danner ikke proportioner);
således, når AB: AC = AC: BC.
Sidstnævnte er den gyldne opdeling eller opdeling af et segment i ekstreme og gennemsnitlige forhold.
Det gyldne snit er en sådan proportional opdeling af et segment i ulige dele, hvor hele segmentet er relateret til den større del, som den større del selv er relateret til den mindre; eller med andre ord, det mindre segment er til det større, som det større er for helheden

a: b = b: c eller c: b = b: a.

Ris. 1. Geometrisk billede af det gyldne snit

Praktisk bekendtskab med det gyldne snit begynder med at dele et lige linjesegment i den gyldne proportion ved hjælp af et kompas og lineal.

Ris. 2. Inddeling af et lige linjestykke efter det gyldne snit. BC = 1/2 AB; CD = BC

Fra punkt B genoprettes en vinkelret lig med halvdelen AB. Det resulterende punkt C er forbundet med en linje til punktet A. Et stykke BC lægges på den resulterende linje, der slutter med punktet D. Stikstykket AD overføres til den rette linje AB. Det resulterende punkt E deler segmentet AB i den gyldne proportion.

Segmenter af det gyldne forhold udtrykkes ved den uendelige irrationelle fraktion AE = 0,618..., hvis AB tages som én, BE = 0,382... Til praktiske formål bruges der ofte omtrentlige værdier på 0,62 og 0,38. Hvis segment AB tages til at være 100 dele, så er den største del af segmentet 62, og den mindre del er 38 dele.

Egenskaberne for det gyldne snit er beskrevet ved ligningen:
x2 – x – 1 = 0.

Løsning til denne ligning:

Egenskaberne ved det gyldne snit har skabt en romantisk aura af mystik og næsten mystisk tilbedelse omkring dette nummer.

Andet gyldne snit

Det bulgarske magasin "Fatherland" (nr. 10, 1983) publicerede en artikel af Tsvetan Tsekov-Karandash "Om det andet gyldne snit", som følger af hovedafsnittet og giver endnu et forhold på 44:56.
Denne andel findes i arkitekturen og forekommer også, når man konstruerer kompositioner af billeder i et langstrakt vandret format.

Opdelingen udføres som følger. Segment AB er opdelt i forhold til det gyldne snit. Fra punkt C gendannes en vinkelret CD. Radius AB er punkt D, som er forbundet med en linje til punkt A. Ret vinkel ACD er delt i to. Der trækkes en linje fra punkt C til skæringspunktet med linje AD. Punktet deler segmentet AD i forholdet 56:44.

Ris. 3. Konstruktion af det andet gyldne snit

Ris. 4. Opdeling af et rektangel med linjen i det andet gyldne snit

Figuren viser positionen af linjen i det andet gyldne snit. Den er placeret midt mellem det gyldne forholdslinje og rektanglets midterlinje.

Gyldne Trekant

For at finde segmenter af den gyldne del af den stigende og faldende række, kan du bruge pentagrammet.

Ris. 5. Konstruktion af en regulær femkant og pentagram

For at bygge et pentagram skal du bygge en almindelig femkant. Metoden til dens konstruktion blev udviklet af den tyske maler og grafiker Albrecht Durer (1471...1528). Lad O være centrum af cirklen, A et punkt på cirklen og E midtpunktet af segment OA. Den vinkelrette på radius OA, gendannet ved punkt O, skærer cirklen ved punkt D. Brug et kompas til at plotte segmentet CE = ED på diameteren. Sidelængden af en regulær femkant indskrevet i en cirkel er lig med DC. Vi plotter segmenterne DC på cirklen og får fem point til at tegne en regulær femkant. Vi forbinder hjørnerne af femkanten gennem hinanden med diagonaler og får et pentagram. Alle diagonaler i femkanten deler hinanden i segmenter forbundet med det gyldne snit.
Hver ende af den femkantede stjerne repræsenterer en gylden trekant. Dens sider danner en vinkel på 36° i spidsen, og bunden, lagt på siden, deler den i forholdet til det gyldne snit.

Vi tegner lige AB. Fra punkt A lægger vi et segment af vilkårlig størrelse på det tre gange, gennem det resulterende punkt P trækker vi en vinkelret på linjen AB, på vinkelret til højre og venstre for punkt P lægger vi segmenter O. Vi forbinder de resulterende punkter d og d1 med lige linjer til punkt A. Vi lægger segment dd1 på linje Ad1 , og opnår punkt C. Hun delte linjen Ad1 i forhold til det gyldne snit. Linjerne Ad1 og dd1 bruges til at konstruere et "gyldent" rektangel.

Ris. 6. Konstruktion af den gyldne trekant

Historien om det gyldne snit

Ris. 7. Dynamiske rektangler

Platon (427...347 f.Kr.) kendte også til den gyldne division. Hans dialog "Timaeus" er viet til de matematiske og æstetiske synspunkter i den pythagoræiske skole og i særdeleshed til spørgsmålene om den gyldne opdeling.
Facaden på det antikke græske tempel Parthenon har gyldne proportioner. Under dens udgravninger blev der opdaget kompasser, der blev brugt af arkitekter og billedhuggere fra den antikke verden. Det pompeianske kompas (museum i Napoli) indeholder også proportionerne af den gyldne inddeling.

Ris. 8. Antik kompas med gyldne snit

I den antikke litteratur, der er kommet ned til os, blev den gyldne inddeling først nævnt i Euklids elementer. I den 2. bog af "Principlene" er den geometriske konstruktion af den gyldne inddeling givet middelalderlige Europa, med den gyldne opdeling Vi mødtes gennem arabiske oversættelser af Euklids elementer. Oversætteren J. Campano fra Navarra (III århundrede) fremsatte kommentarer til oversættelsen. Hemmelighederne bag den gyldne division blev nidkært bevogtet og holdt i streng hemmelighed. De var kun kendt af indviede.
Under renæssancen steg interessen for den gyldne opdeling blandt videnskabsmænd og kunstnere på grund af dens brug i både geometri og kunst, især inden for arkitektur, Leonardo da Vinci, en kunstner og videnskabsmand, så, at italienske kunstnere havde meget empirisk erfaring, men kun lidt. viden. Han undfangede og begyndte at skrive en bog om geometri, men på det tidspunkt dukkede en bog af munken Luca Pacioli op, og Leonardo opgav sin idé. Ifølge samtidige og videnskabshistorikere var Luca Pacioli en rigtig lyskilde, Italiens største matematiker i perioden mellem Fibonacci og Galileo. Luca Pacioli var en elev af kunstneren Piero della Franceschi, som skrev to bøger, hvoraf den ene hed "On Perspective in Painting." Han betragtes som skaberen af beskrivende geometri.
Luca Pacioli forstod perfekt videnskabens betydning for kunsten. I 1496 kom han på invitation af hertugen af Moreau til Milano, hvor han holdt foredrag om matematik. Leonardo da Vinci arbejdede også i Milano ved Moro-hoffet på det tidspunkt. I 1509 blev Luca Paciolis bog "The Divine Proportion" udgivet i Venedig med glimrende udførte illustrationer, hvorfor det menes, at de er lavet af Leonardo da Vinci. Bogen var en begejstret salme til det gyldne snit. Blandt de mange fordele ved den gyldne proportion undlod munken Luca Pacioli ikke at nævne dens "guddommelige essens" som et udtryk for den guddommelige treenighed - Gud Sønnen, Gud Faderen og Gud Helligånden (det blev antydet, at den lille segment er personificeringen af Gud Sønnen, det større segment er Faderens Gud, og hele segmentet - Helligåndens Gud).
Leonardo da Vinci var også meget opmærksom på studiet af den gyldne division. Han lavede sektioner af en stereometrisk krop dannet af regulære femkanter, og hver gang fik han rektangler med aspektforhold i den gyldne division. Derfor gav han denne inddeling navnet gyldne snit. Så det forbliver stadig som det mest populære.
Samtidig arbejdede Albrecht Dürer i det nordlige Europa, i Tyskland, med de samme problemer. Han skitserer indledningen til den første version af afhandlingen om proportioner. Dürer skriver. ”Det er nødvendigt, at en, der ved, hvordan man gør noget, skal lære det til andre, der har brug for det. Det er, hvad jeg satte mig for at gøre."
At dømme efter et af Dürers breve mødtes han med Luca Pacioli, mens han var i Italien. Albrecht Durer udvikler i detaljer teorien om proportioner af den menneskelige krop. Dürer tildelte det gyldne snit en vigtig plads i sit system af relationer. En persons højde er opdelt i gyldne proportioner af bæltets linje, såvel som af en linje trukket gennem spidserne af langfingrene på de sænkede hænder, den nederste del af ansigtet ved munden osv. Dürers proportionalkompas er velkendt.
Stor astronom fra det 16. århundrede. Johannes Kepler kaldte det gyldne snit for en af geometriens skatte. Han var den første til at henlede opmærksomheden på vigtigheden af den gyldne proportion for botanik (plantevækst og deres struktur).
Kepler kaldte den gyldne proportion selv-fortsættende "Den er struktureret på en sådan måde," skrev han, "at de to laveste led i denne uendelige andel lægger op til det tredje led, og alle to sidste led, hvis de lægges sammen. , giv det næste led, og det samme forhold forbliver indtil uendeligt."
Konstruktionen af en række segmenter af den gyldne proportion kan udføres både i retning af stigning (stigende serie) og i retning af fald (faldende serie).
Hvis du på en lige linje med vilkårlig længde sætter segment m til side, sætter vi segment M til side. Baseret på disse to segmenter bygger vi en skala af segmenter af den gyldne proportion af den stigende og faldende række.

Ris. 9. Konstruktion af en skala af segmenter af det gyldne snit

Ris. 10. Gyldne proportioner i dele af den menneskelige krop

Zeising gjorde et fantastisk stykke arbejde. Han målte omkring to tusinde menneskekroppe og kom til den konklusion, at det gyldne snit udtrykker den gennemsnitlige statistiske lov. Opdelingen af kroppen med navlepunktet er den vigtigste indikator for det gyldne snit. Andelene af den mandlige krop svinger inden for det gennemsnitlige forhold på 13: 8 = 1,625 og er noget tættere på det gyldne snit end proportionerne af den kvindelige krop, i forhold til hvilket den gennemsnitlige værdi af andelen er udtrykt i forholdet 8: 5 = 1,6. Hos en nyfødt er andelen 1:1, i en alder af 13 er den 1,6, og i en alder af 21 er den lig med en mands. Proportionerne af det gyldne snit viser sig også i forhold til andre dele af kroppen - længden af skulder, underarm og hånd, hånd og fingre mv.

Ris. 11. Gyldne proportioner i den menneskelige figur

Zeising testede gyldigheden af sin teori på græske statuer. Han udviklede proportionerne af Apollo Belvedere i de mest detaljerede. Græske vaser, arkitektoniske strukturer fra forskellige epoker, planter, dyr, fugleæg, musikalske toner og poetiske metre blev studeret. Zeising gav en definition af det gyldne snit og viste, hvordan det udtrykkes i lige linjestykker og i tal. Da tallene, der udtrykte længderne af segmenterne, blev opnået, så Zeising, at de udgjorde en Fibonacci-serie, som kunne fortsættes i det uendelige i den ene eller den anden retning. Hans næste bog fik titlen "Den gyldne division som den grundlæggende morfologiske lov i naturen og kunsten." I 1876 blev en lille bog, nærmest en brochure, udgivet i Rusland, der skitserede Zeisings arbejde. Forfatteren søgte tilflugt under initialerne Yu.F.V. Denne udgave omtaler ikke et eneste malerværk.

I slutningen af det 19. – begyndelsen af det 20. århundrede. Der dukkede mange rent formalistiske teorier op om brugen af det gyldne snit i kunstværker og arkitektur. Med udviklingen af design og teknisk æstetik udvidede loven om det gyldne snit til design af biler, møbler mv.

Fibonacci-serien

En række tal 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 osv. kendt som Fibonacci-serien. Det ejendommelige ved talrækken er, at hver af dens medlemmer, startende fra den tredje, er lig med summen af de to foregående 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 osv., og forholdet mellem tilstødende tal i rækken nærmer sig forholdet mellem den gyldne division. Så 21: 34 = 0,617 og 34: 55 = 0,618. Dette forhold er angivet med symbolet F. Kun dette forhold - 0,618: 0,382 - giver en kontinuerlig opdeling af et ret linjestykke i den gyldne proportion, hvilket øger det eller formindsker det til uendeligt, når det mindre segment er relateret til det større som den større er til alt.

Generaliseret gyldne snit

En af resultaterne på dette område er opdagelsen af generaliserede Fibonacci-tal og generaliserede gyldne snit.

Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" serie af vægte opdaget af ham 1, 2, 4, 8, 16... ved første øjekast er helt anderledes. Men algoritmerne til deres konstruktion ligner hinanden meget: i det første tilfælde er hvert tal summen af det foregående tal med sig selv 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2…, i det andet er det summen af de to foregående tal 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. Er det muligt at finde en generel matematisk formel, hvorfra både den "binære" serie og Fibonacci-serien er opnået? Eller måske vil denne formel give os nye numeriske sæt, der har nogle nye unikke egenskaber?

Faktisk, lad os indstille den numeriske parameter S, som kan have en hvilken som helst værdi: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Overvej en talserie, S+ 1 af de første led er enheder, og hver af de efterfølgende er lig med summen af to led af den foregående og adskilt fra den foregående med S trin. Hvis n Vi betegner det te led i denne række med φ S (n), så får vi den generelle formel φ S ( n) = φ S ( n– 1) + φ S (n – S – 1).

Det er indlysende, at hvornår S= 0 fra denne formel får vi en "binær" serie, med S= 1 – Fibonacci-serien, med S= 2, 3, 4. nye talrækker, som kaldes S-Fibonacci-tal.

Generelt gyldent S-Proportion er den positive rod af den gyldne ligning S-afsnit x S+1 – x S – 1 = 0.

Det er let at vise, at ved S = 0 er segmentet delt i to, og ved S = 1 opnås det velkendte klassiske gyldne snit.

Forholdet mellem tilstødende Fibonacci S-tal falder sammen med absolut matematisk nøjagtighed i grænsen med de gyldne S-forhold! Matematikere siger i sådanne tilfælde, at de gyldne S-forhold er numeriske invarianter af Fibonacci S-tallene.

Fakta, der bekræfter eksistensen af gyldne S-snit i naturen, er givet af den hviderussiske videnskabsmand E.M. Soroko i bogen "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Det viser sig for eksempel, at velundersøgte binære legeringer kun har særlige, udtalte funktionelle egenskaber (termisk stabile, hårde, slidbestandige, modstandsdygtige over for oxidation osv.), hvis de originale komponenters vægtfylde er relateret til hinanden ved en af gyldne S-forhold. Dette gjorde det muligt for forfatteren at fremsætte den hypotese, at de gyldne S-snit er numeriske invarianter af selvorganiserende systemer. Når først bekræftet eksperimentelt, kan denne hypotese være af fundamental betydning for udviklingen af synergetik, et nyt videnskabsområde, der studerer processer i selvorganiserende systemer.

Ved at bruge gyldne S-forholdskoder kan du udtrykke ethvert reelt tal som en sum af potenser af gyldne S-forhold med heltalskoefficienter.

Den grundlæggende forskel mellem denne metode til indkodning af tal er, at baserne for de nye koder, som er de gyldne S-forhold, viser sig at være irrationelle tal, når S> 0. Således ser nye talsystemer med irrationelle baser ud til at sætte det historisk etablerede hierarki af relationer mellem rationelle og irrationelle tal "fra top til fod." Faktum er, at naturlige tal først blev "opdaget"; så er deres forhold rationelle tal. Og først senere - efter at pythagoræerne opdagede inkommensurable segmenter - blev irrationelle tal født. For eksempel i decimale, quinære, binære og andre klassiske positionstalssystemer blev naturlige tal valgt som en slags grundlæggende princip - 10, 5, 2 - hvorfra, ifølge visse regler, alle andre naturlige tal såvel som rationelle tal. og irrationelle tal, blev konstrueret.

I sådan et talsystem kan ethvert naturligt tal altid repræsenteres som endeligt – og ikke uendeligt, som man tidligere har troet! – summen af potenser af enhver af de gyldne S-forhold. Dette er en af grundene til, at "irrationel" aritmetik, der har en fantastisk matematisk enkelhed og elegance, ser ud til at have absorberet de bedste kvaliteter af klassisk binær og "Fibonacci" aritmetik.

Principper for dannelse i naturen

Ris. 12. Archimedes Spiral

Goethe fremhævede også naturens tendens til spiralitet. Det spiralformede og spiralformede arrangement af blade på trægrene blev bemærket for længe siden. Spiralen blev set i arrangementet af solsikkefrø, kogler, ananas, kaktusser osv. Botanikeres og matematikeres fælles arbejde har kastet lys over disse fantastiske naturfænomener. Det viste sig, at Fibonacci-serien manifesterer sig i arrangementet af blade på en gren (phylotaxis), solsikkefrø og fyrrekogler, og derfor manifesterer loven om det gyldne snit sig. Edderkoppen væver sit spind i et spiralmønster. En orkan snurrer som en spiral. En skræmt flok rensdyr spreder sig i en spiral. DNA-molekylet er snoet i en dobbelt helix. Goethe kaldte spiralen "livets kurve".

Blandt vejkantens urter vokser en umærkelig plante - cikorie. Lad os se nærmere på det. Et skud er dannet fra hovedstammen. Det første blad var placeret lige der.

Ris. 13. Cikorie

Ris. 15. Fugleæg

Pierre Curie formulerede i begyndelsen af dette århundrede en række dybe ideer om symmetri. Han argumenterede for, at man ikke kan overveje symmetrien af nogen krop uden at tage hensyn til miljøets symmetri.

Gyldne forhold og symmetri

Det gyldne snit kan ikke betragtes alene, separat, uden forbindelse med symmetri. Den store russiske krystallograf G.V. Wolf (1863...1925) anså det gyldne snit for at være et af symmetriens manifestationer.

Den gyldne opdeling er ikke en manifestation af asymmetri, noget modsat symmetri Ifølge moderne ideer er den gyldne opdeling asymmetrisk symmetri. Videnskaben om symmetri omfatter sådanne begreber som statisk og dynamisk symmetri. Statisk symmetri kendetegner fred og balance, mens dynamisk symmetri kendetegner bevægelse og vækst. I naturen er statisk symmetri således repræsenteret af strukturen af krystaller, og i kunsten kendetegner den fred, balance og ubevægelighed. Dynamisk symmetri udtrykker aktivitet, karakteriserer bevægelse, udvikling, rytme, det er bevis på liv. Statisk symmetri er karakteriseret ved lige store segmenter og lige værdier. Dynamisk symmetri er karakteriseret ved en stigning i segmenter eller deres fald, og det udtrykkes i værdierne af det gyldne snit i en stigende eller faldende serie.

Eksempler på det gyldne snit i arkitektur kan findes overalt, så længe du kan se det. Selv et skolebarn kan finde ud af dette. I 2013 foretog 10. klasses elev Elena Sivakova sin egen forskning i bygninger fra det 19. og 20. århundrede. Lad os se, hvordan hun gjorde det og lære at se og identificere det i arkitektoniske strukturer på 5 minutter. Efter at have læst artiklen vil der ikke være nogen spørgsmål tilbage om, hvad det er, og om dets usædvanlige egenskaber kan bruges i dit liv.

7+ eksempler på det gyldne snit i russisk arkitektur

Sankt Petersborg

Bygninger historiske centrum St. Petersborg blev bygget i forskellige stilarter, såsom barok, imperium, eklektisk, nybarok, nygotisk. Adlyder de den gyldne regel?

Isak-katedralen

Alexander I's hofarkitekt, Auguste Montferrand, byggede denne katedral fra 1819 til 1858. Sen stil, hvor træk ved neo-renæssance og eklekticisme allerede er manifesteret. Elena spurgte sig selv: "Hvad er årsagen til harmonien i en ret omfangsrig bygning?"

Den første række bestemmes af bygningens bredde, som antages at være 400 enheder. og repræsenterer følgende tal: 400, 247, 153, 94, 58...

Hvis vi dividerer 400 med tallet ≈1,618, får vi cirka 247; gentag handlingen med følgende tal: 247: 1.618≈153.

Og sådan finder vi alle tallene. Se nu på tegningen. Hoveddelen med søjlerne passer ind i et rektangel med siderne 400 og 247. Da siderne er i forholdet Ф≈1,618, danner de et gyldent rektangel.

Den næste række er repræsenteret af bygningens højde: 370, 228, 140, 87, 53, 33, 20, 12. Disse dimensioner er indlejret i mindre detaljer. Lodret er St. Isaac's Cathedral delt af det gyldne snit i bunden af kuplen, hvilket gør forholdet mellem hoveddelen og kuplen harmonisk.

Den tredje række af størrelser begynder med 113, og viser bredden af bunden af hovedkuplen: 113, 69, 42, 26, 16. Tallene i denne række findes i størrelserne på vinduer, i højderne af kolonner og andre dele af katedralen.

Gylden rektangulær og ligebenet trekant og foregå i bygningen af St. Isaac's Cathedral, som det kan ses på billedet.

Kunstkamera

På Vasilievsky-øens universitetsdæmning er der Kunstkamera-bygningen, grundlagt i 1718 under ledelse af den tyske arkitekt Georg Mattarnovi: Petrovsky-barok, to 3-etagers bygninger og et komplekst kuppeltårn med flere niveauer.

Undersøgelsen begynder med hovedmængderne: højden og længden af bygningen, hvorfra den gyldne række er bygget. Længde - 450 enheder, derefter 277, 170, 105, 65, 40, 24. Disse mål kan ses i højden og bredden forskellige niveauer tårne, længde af skrog. Selve tårndelen er indskrevet i en gylden ligebenet trekant fra base til top. Det gyldne snit ses i højere grad i dette hovedelement, hvilket er arkitektonisk korrekt. Konklusion: Kunstkameraets grundlag adlyder den gyldne regel og opretholder kompositorisk harmoni.

Den nye gyldne række begynder med bygningens højde: 211, 130, 80, 49, 30. Ser man på målene på tegningen, bliver det klart, at valget af en tre-etagers type bygninger skyldes proportionaliteten mht. tårnet.

Handelshus "Esders og Scheyfals" i krydset mellem Moika og Gorokhovaya

Bygget i 1907 efter design af Vladimir Aleksandrovich Lipsky og Konstantin Nikolaevich de Rochefort (Rochefort). I 1905 indgav belgieren S. Esders og hollænderen N. Scheyfals en andragende om tilladelse til at bygge en fem-etagers bygning med kuppel og spir på et hjørnetårn til deres handelshus i stedet for det gamle.

Fra en bygningslængde på 671 enheder. serien af det gyldne snit begynder, observeret i størrelserne: 671, 414, 256, 158, 98, 60, 37, 23. Vi er opmærksomme på hovedelementet - spiret. Vi sørger for, at den kompositoriske løsning fuldendes med en harmonisk kombination af højdeværdier.

Bygget i 1941 efter Noah Abramovich Trotskys design. Bygning sovjetisk periode ses som en kreativ fortolkning. Den centrale portico med fjorten søjler fuldender det skulpturelle ensemble med temaet socialismens konstruktion og våbenskjoldet fra den russiske sovjetiske føderative socialistiske republik.

Fem-etagers bygninger er placeret symmetrisk på siderne. Husets længde når 1472 enheder, hvorfra der ved at dividere med tallet F opnås en række størrelser af bygningselementer: 1472, 909, 562, 34, 214, 132, 81, 50 (bilag 21): højde af konstruktionen, højden af indgangen mv.

Toppen af den gyldne ligebenede trekant falder sammen med toppen af bygningen, og dens sider passerer gennem de øverste punkter af hovedindgangen. En retvinklet gylden trekant dannes af hjørnerne i toppen af bygningen og for enden af indersiden af sidefløjen. Proportionalitet er indlysende, selvom det ikke har den store kompositoriske betydning.

Moskva

Moscow State University på Sparrow Hills

Et team ledet af B.M. Iofan arbejdede på hans projekt, som senere blev fjernet fra stillingen som chefarkitekt. Et eksempel på efterkrigstidens sovjetiske arkitektur, bygget fra 1949 til 1953.

B.M. Iofan foreslog en sammensætning af fem komponenter med et centralt tårn. Under byggeårene var det den højeste bygning i Europa.

Bygningens længde er 1472 enheder. og begynder serien: 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. Hovedsageligt højdemål er underlagt det gyldne snit. En anden serie følger af tårnets bredde: 538, 332, 205, 126, som er synlig i breddemål.

Den gyldne retvinklede trekant med dens hypotenuse løber gennem hjørnet af bygningen og dækker tilbygningerne.

I alle de undersøgte bygninger opdagede eleven således det gyldne snit, som bevarer harmonien.

5 yderligere eksempler

For at forenkle opgaven med at finde ZS, kan du tage rationelle brøker 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; og så videre. Mønsteret er klart: 3+2 =5; 5+3=8; 8+5=13... Eller endnu enklere. Lav dig selv et kompas for at bestemme proportionen i henhold til instruktionerne i videoen. Det vil tage omkring 10 minutter. De vil også fortælle og vise dig, hvordan du bruger dette kompas til at bestemme proportionaliteten af elementer.

Ved hjælp af denne metode finder vi den gyldne del af den russiske arkitekt Matvey Kazakov i Kremls senatbygning og i alle andre værker: Prechistensky Palace i Moskva, Noble Assembly, Golitsyn Hospital (opkaldt efter Pirogov) ...

Pashkov-huset i Moskva (det russiske statsbibliotek) blev skabt af en anden stor arkitekt Vasily Ivanovich Bazhenov og betragtes som et af eksemplerne på perfekte arkitektoniske monumenter, hvor det er let at identificere AP.

Det frygtelige symbol på Paris og det gyldne snit

Da Eiffeltårnet i metal blev samlet i Paris, var mange franskmænd indignerede. Kritikere skrev om det som "byens grimhed", "Paris vanære", "en tynd pyramide af metaltrapper." Blandt dem var Emile Zola, Dumas Jr., Guy de Maupassant. Nu er dette mest besøgte monument parisernes stolthed. Kan dette skyldes den "guddommelige" proportion?

Det er også observeret i den mest berømte franske katedral, Notre Dame de Paris.

Hele sandheden om de gamle bygherrer

Byggede store arkitekter intuitivt eller bevidst bygninger med disse proportioner i tankerne? Gamle matematikere kendte til det gyldne snit siden Pythagoras tid. Der findes flere og flere beviser for dets brug i arkitektoniske proportioner. Der kan dog ikke findes en eneste gammel optegnelse med en direkte anbefaling om at bruge den "guddommelige proportion". Heller ikke Vitruvius (1. århundrede f.Kr.), der skrev "Ti bøger om arkitektur", hvori han blandt andet diskuterede proportionalitet. Mærkeligt faktum, ikke?

Måske er alle ovenstående undersøgelser en tilpasning til et kendt resultat? Det er ikke så svært at vælge blandt de mange arkitektoniske elementer dem, der bekræfter hypotesen, da ingen kræver absolut nøjagtighed. Et logisk spørgsmål at overveje er: "Hvad nu hvis grækerne IKKE brugte det gyldne snit?"

For Luca Pacioli, der skrev værket "Divine Proportion" i 1509, var dets anvendte betydning faktisk ikke så vigtig. Det var vigtigt at underbygge dens mystiske natur. Og de begyndte først at bruge det bevidst fra det øjeblik, bogen udkom.

Mysteriet om arkitekturen i det antikke Grækenland

Smukke og harmoniske objekter overholder altid GS-reglen, og ved analyse af mængder bestemmes denne proportionalitet. Kunsthistorikere studerede omhyggeligt det græske Parthenon, opført til ære for sejren over perserne - gudinden Athenas tempel. Forholdet mellem templets længde og bredden giver det gyldne tal med en lille fejl. Hvis man trækker 14 cm fra strukturens længde og lægger den til bredden, får man et fuldstændigt sammenfald med den matematiske værdi. Bygningens facade indsnævrer lidt mod toppen og afviger fra sin rektangulære form. Under hensyntagen til visuel opfattelse gjorde bygherrerne dette bevidst. Derfor er det ikke helt korrekt at betragte det som et rektangel af det gyldne snit. Men proportionerne respekteres, så det er logisk at antage, at arkitekterne Iktin og Kallikrates bevidst har indarbejdet reglen i projektet?

Myter og mærkelige fakta om pyramiden

Cheops-pyramiden blev også bygget under hensyntagen til denne betingelse. Uden at gå ind på det matematiske bevis for tilstedeværelsen af den gyldne formel, vil vi kun sige, at den indeholder en retvinklet gylden trekant, hvis sider er højden og halvdelen af siden af bygningens base. Er det overraskende?

Men så opstår spørgsmålet om niveauet af gammel egyptisk matematik. Det viser sig, at Pythagoras teorem var kendt for dem to tusinde år før videnskabsmandens fødsel. Opmærksomheden henledes på det faktum, at arvingerne til Cheops byggede deres pyramider med forskellige proportioner. Hvorfor?

Det er blevet fastslået, at pyramideformede strukturer med terrestriske strukturer har en fænomenal effekt på dem i dem: planter vokser bedre, metaller bliver stærkere, vand forbliver friskt i lang tid. Forskere har arbejdet med disse mysterier i mange år, men mysteriet består.

Det bemærkes, at pyramiden bringer rummets struktur i en harmonisk tilstand. Alt, hvad der falder inden for handlingszonen, er også organiseret på lignende måde: menneskers psyko-emotionelle tilstand forbedres, stråling, der er skadelig for mennesker, aftager, og geopatogene zoner forsvinder. Internettet hævder, at hvis størrelsen af figuren fordobles, øges pyramidens indflydelse hundrede gange.

Hvordan kan du bygge et "gyldt" hus til dig selv?

Den korrekte fordeling af energier inde i huset, harmoniske designs i kombination med økologien og sikkerheden af byggematerialer tilskynder moderne arkitekter og designere til at bruge principperne og koncepterne i det gyldne snit. Dette øger estimatet og skaber indtryk af en dyb undersøgelse af projektet. Omkostningerne stiger med 60-80%.

For talentfulde kunstnere og arkitekter forbliver reglen intuitiv under kreativ proces. Nogle af dem implementerer dog bevidst denne bestemmelse.

I naturen findes en sådan proportionalitet overalt. Enhver, der føler harmonien i rummet, vil skabe en proportional bygning uden nogen særlig indsats.

For eksempel byggede vores forfædre palæer proportionalt med en person. Højde og længde blev målt i favne, alen, arshins, spændvidder. Er der nogen, der protesterer mod, at den gyldne proportion observeres i menneskekroppen? Armlængden fra spidsen af fingrene til armhulen er relateret til afstanden fra samme punkt til albuen, da denne værdi er til håndfladens størrelse.

Den berømte franske arkitekt Le Corbusier brugte ejerens højde som en startenhed til at beregne parametrene for det fremtidige hus og interiør. Alle hans værker er virkelig individuelle og harmoniske.

5 måder at følge reglen i interiøret

I et hus bygget uden at tage højde for proportioner, kan rum omorganiseres, så proportionerne passer.
Nogle gange er det nok at omarrangere møblerne eller lave en ekstra skillevæg.
Højden og længden af vinduer og døre ændres på samme måde.
I farvedesign opnås et forenklet forhold ved at bruge 60 % af primærfarven, 30 % som skyggefarve og de resterende 10 % som toner, der forbedrer opfattelsen.
Højden og længden af møblerne skal stå i forhold til højden af lofterne og bredden af skillevæggene.

Anvendelsen af denne norm i, som et arkitektonisk designet rum, kombineres med begreberne selvorganisering, rekursion, asymmetri og skønhed.

Om det gyldne snit i simple ord

Hvad er det her? Segmenter af det gyldne forhold udtrykkes som en uendelig irrationel brøk, hvis decimalværdi er omtrent lig med tallet Ф≈1.618 eller Ф≈1.62. Med andre ord: Hvis vi tager helheden og deler den i to dele, så den ene er 62% og den anden er 38%, får vi den Gyldne Proportion.

Gyldent rektangel: når vi dividerer længden af den større side med længden af den mindre og får tallet F. Når vi dividerer den mindre side med den større, får vi den omvendte værdi φ ≈ 0,618.

Gylden ligebenet trekant: hvis forholdet mellem størrelsen af den ene side og størrelsen af basen er det gyldne tal Ф; vinkel imellem lige sider lig med 36°.

Keplers gyldne retvinklede trekant kombinerer Pythagoras sætning og GS: forholdet mellem kvadraterne på dens sider er 1,618.

Se en pædagogisk video om emnet