Ko sauc par skaitļa logaritmu. Logaritmiskās izteiksmes

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu noteikta persona vai sazināties ar viņu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad vietnē iesniedzat pieprasījumu, mēs varam savākt dažāda informācija, tostarp jūsu vārds, tālruņa numurs, adrese e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedriski svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

log a r b r =log a b vai log a b= log a r b r

Logaritma vērtība nemainīsies, ja logaritma bāze un skaitlis zem logaritma zīmes tiks paaugstināti vienā pakāpē.

Zem logaritma zīmes var būt tikai pozitīvi skaitļi, un logaritma bāze nav vienāda ar vienu.

Piemēri.

1) Salīdziniet log 3 9 un log 9 81.

log 3 9=2, jo 3 2 =9;

log 9 81=2, kopš 9 2 =81.

Tātad log 3 9 = log 9 81.

Ņemiet vērā, ka otrā logaritma bāze ir vienāda ar pirmā logaritma bāzes kvadrātu: 9=3 2, un skaitlis zem otrā logaritma zīmes ir vienāds ar skaitļa kvadrātu zem pirmā logaritma zīmes logaritms: 81=9 2. Izrādās, ka gan numurs, gan pirmā bāze logaritma žurnāls 3 9 tika paaugstināti uz otro pakāpi, un logaritma vērtība nemainījās:

Tālāk, kopš ieguves saknes n th grāds no vidus A ir skaitļa paaugstināšana A līdz pakāpei ( 1/n), tad no log 9 81 var iegūt log 3 9, ņemot skaitļa kvadrātsakni un no logaritma bāzes:

2) Pārbaudīt vienlīdzību: log 4 25=log 0,5 0,2.

Apskatīsim pirmo logaritmu. Izvilksim kvadrātsakne no pamatnes 4 un no vidus 25 ; mēs iegūstam: log 4 25 = log 2 5.

Apskatīsim otro logaritmu. Logaritma bāze: 0,5 = 1/2. Skaitlis zem šī logaritma zīmes: 0,2= 1/5. Palielināsim katru no šiem skaitļiem līdz mīnus pirmajai pakāpei:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Tātad log 0,5 0,2 = log 2 5. Secinājums: šī vienlīdzība ir patiesa.

Atrisiniet vienādojumu:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Samazināsim logaritmus no kreisās puses uz bāzi 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Ņemiet kvadrātsakni no skaitļa un pirmā logaritma pamatnes. Izņemiet skaitļa ceturto sakni un otrā logaritma bāzi.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Pārvērtiet logaritmu summu reizinājuma logaritmā.

3x2 =5x+2. Saņemts pēc potencēšanas.

3x2 -5x-2=0. Izlemsim kvadrātvienādojums Autors vispārējā formula pilnīgam kvadrātvienādojumam:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2-4ac=(-5) 2-4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 īstas saknes.

Pārbaude.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5, 2 + 2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ n)∙ log a b

Skaitļa logaritms b pamatojoties uz a n vienāds ar produktu frakcijas 1/ n uz skaitļa logaritmu b pamatojoties uz a.

Atrast:1) 21log 8 3+40 log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 , ja tas ir zināms log 2 3=b,log 5 2=c.

Risinājums.

Atrisiniet vienādojumus:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Risinājums.

Samazināsim šos logaritmus līdz 2. bāzei. Lietojiet formulu: log a n b=(1/ n)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Šeit ir līdzīgi termini:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

žurnāls 2 x=3. Pēc logaritma definīcijas:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3) = 0,25.

Risinājums. Pārveidosim logaritmu uz 16. bāzi uz 4. bāzi.

0,5log 4 (x-2)+0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Pārveidosim logaritmu summu reizinājuma logaritmā.

log 4 ((x-2) (x-3)) = 0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6) = 0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Pēc logaritma definīcijas:

x 2 -5x+4=0. Saskaņā ar Vietas teorēmu:

x 1 = 1; x 2 =4. Pirmā x vērtība nedarbosies, jo pie x = 1 šīs vienādības logaritmi nepastāv, jo Zem logaritma zīmes var atrasties tikai pozitīvi skaitļi.

Pārbaudīsim šo vienādojumu pie x=4.

Pārbaude.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Skaitļa logaritms b pamatojoties uz A vienāds ar logaritmu cipariem b uz jauna pamata Ar, dalīts ar vecās bāzes logaritmu A uz jauna pamata Ar.

Piemēri:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Aprēķināt:

1) žurnāls 5 7, ja tas ir zināms lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / žurnāls c a.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Atbilde: žurnāls 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) žurnāls 5 7 , ja tas ir zināms ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Risinājums. Izmantojiet formulu: log a b =log c b / žurnāls c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Atbilde: žurnāls 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Atrast x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Mēs izmantojam formulu: log c b / žurnāls c a = log a b . Mēs iegūstam:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Mēs izmantojam formulu: log c b / žurnāls c a = log a b . Mēs iegūstam:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

1. lapa no 1 1

Dotas funkcijas ln x naturālā logaritma, grafa, definīcijas apgabala, vērtību kopas, pamatformulas, atvasinājuma, integrāļa, pakāpju rindas paplašināšanas un attēlojuma pamatīpašības, izmantojot kompleksos skaitļus.

Definīcija

Dabiskais logaritms ir funkcija y = ln x, eksponenciāla apgrieztā vērtība, x = e y, un ir skaitļa e bāzes logaritms: ln x = log e x.

Dabisko logaritmu plaši izmanto matemātikā, jo tā atvasinājumam ir visvienkāršākā forma: (ln x)′ = 1/x.

Pamatojoties uz definīcijas, naturālā logaritma bāze ir skaitlis e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funkcijas y = grafiks ln x.

Dabiskā logaritma grafiks (funkcijas y = ln x) iegūst no eksponenciālā grafika ar spoguļatstarošanos attiecībā pret taisni y = x.

Dabiskais logaritms ir definēts pie pozitīvas vērtības mainīgais x.

Tas monotoni palielinās savā definīcijas jomā. 0 Pie x →

naturālā logaritma robeža ir mīnus bezgalība (-∞). Kā x → + ∞, naturālā logaritma robeža ir plus bezgalība (+ ∞). Lielam x logaritms palielinās diezgan lēni. Jebkurš jaudas funkcija

x a ar pozitīvu eksponentu a aug ātrāk nekā logaritms.

Dabiskā logaritma īpašības

Definīcijas joma, vērtību kopa, galējība, pieaugums, samazinājums

Dabiskais logaritms ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tam nav ekstrēmu. Galvenās naturālā logaritma īpašības ir parādītas tabulā.

ln x vērtības

ln 1 = 0

Dabisko logaritmu pamatformulas

Formulas, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:

Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas

Bāzes nomaiņas formula

Jebkuru logaritmu var izteikt naturālajos logaritmos, izmantojot bāzes aizstāšanas formulu:

Šo formulu pierādījumi ir sniegti sadaļā "Logaritms".

Apgrieztā funkcija

Dabiskā logaritma apgrieztā vērtība ir eksponents.

Ja, tad

Ja, tad.

Atvasinājums ln x
.
Dabiskā logaritma atvasinājums:
.
Moduļa x naturālā logaritma atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:

Formulu atvasināšana >>>

Integrāls
.
Integrāli aprēķina, integrējot pa daļām:

Tātad,

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
.
Apsveriet kompleksā mainīgā z funkciju: Izteiksim komplekso mainīgo z caur moduli r φ :
.
un arguments
.
Izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or
Arguments φ nav unikāli definēts. Ja tu ieliec
, kur n ir vesels skaitlis,

tas būs viens un tas pats skaitlis dažādiem n.

Tāpēc naturālais logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.

Jaudas sērijas paplašināšana

Kad notiek paplašināšana:
Izmantotā literatūra:

Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b *a c = a b+c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselo skaitļu eksponentu tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur ir nepieciešams vienkāršot apgrūtinošu reizināšanu ar vienkāršu saskaitīšanu. Ja veltīsiet 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkāršā un pieejamā valodā.

Definīcija matemātikā

Logaritms ir šādas formas izteiksme: log a b=c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir jebkura pozitīva) logaritms “b” līdz tā bāzei “a” tiek uzskatīts par pakāpju “c”. ”, līdz kuram jāpaaugstina bāze “a”, lai galu galā iegūtu vērtību “b”. Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāatrod tāda jauda, lai no 2 līdz vajadzīgajai jaudai iegūtu 8. Pēc dažu aprēķinu veikšanas galvā mēs iegūstam skaitli 3! Un tā ir taisnība, jo 2 līdz 3 dod atbildi kā 8.

Logaritmu veidi

Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nemaz nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs atsevišķi logaritmisko izteiksmju veidi:

Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
Decimāldaļa a, kur bāze ir 10.
Jebkura skaitļa b logaritms uz bāzi a>1.

Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, risinot tos, jāatceras to īpašības un darbību secība.

Noteikumi un daži ierobežojumi

Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav diskutējami un ir patiesība. Piemēram, skaitļus nav iespējams dalīt ar nulli, kā arī nav iespējams iegūt pāra sakni negatīvi skaitļi. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:

Bāzei “a” vienmēr jābūt lielākai par nulli, nevis vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo “1” un “0” jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
ja a > 0, tad a b >0, izrādās, ka arī “c” ir jābūt lielākam par nulli.

Kā atrisināt logaritmus?

Piemēram, ir dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x = 100. Tas ir ļoti vienkārši, jums jāizvēlas jauda, paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram mēs iegūstam 100. Tas, protams, ir 10 2 = 100.

Tagad attēlosim šo izteiksmi logaritmiskā formā. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu jaudu, līdz kurai jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.

Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:

Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehnisks prāts un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr par lielas vērtības jums būs nepieciešama grādu tabula. To var izmantot pat tie, kas neko nezina par kompleksu matemātiskās tēmas. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Krustojumā šūnās ir skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!

Vienādojumi un nevienādības

Izrādās, ka noteiktos apstākļos eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādību. Piemēram, 3 4 =81 var uzrakstīt kā 81 bāzes 3 logaritmu, kas vienāds ar četriem (log 3 81 = 4). Par negatīvās spējas noteikumi ir vienādi: 2 -5 = 1/32 mēs to rakstām kā logaritmu, mēs iegūstam log 2 (1/32) = -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Tālāk mēs apskatīsim vienādojumu piemērus un risinājumus, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.

Tiek dota šāda izteiksme: log 2 (x-1) > 3 - tā ir logaritmiska nevienādība, jo nezināmā vērtība “x” atrodas zem logaritmiskās zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzināti divi lielumi: vēlamā skaitļa logaritms bāzei divi ir lielāks par skaitli trīs.

Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tā, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemēram, logaritms 2 x = √9) ietver vienu vai vairākas konkrētas atbildes. skaitliskās vērtības, savukārt risinot nevienlīdzības tiek definētas kā reģions pieņemamām vērtībām, un šīs funkcijas pārtraukuma punktus. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā atbildē uz vienādojumu, bet gan nepārtraukta skaitļu sērija vai kopa.

Pamatteorēmas par logaritmiem

Risinot primitīvus logaritma vērtību atrašanas uzdevumus, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Vēlāk apskatīsim vienādojumu piemērus, vispirms aplūkosim katru īpašumu sīkāk.

Galvenā identitāte izskatās šādi: a logaB =B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāks par 0, nav vienāds ar vienu, un B ir lielāks par nulli.
Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā obligāts nosacījums ir: d, s 1 un s 2 > 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmiskajai formulai ar piemēriem un risinājumu. Pieņemsim, ka log a s 1 = f 1 un log a s 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (īpašības grādi ), un pēc tam pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kas ir tas, kas bija jāpierāda.
Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teorēma formulas formā pārņem nākamais skats: log a q b n = n/q log a b.

Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz dabiskiem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.

Lai log a b = t, izrādās a t =b. Ja abas daļas paaugstinām pakāpē m: a tn = b n ;

bet tā kā a tn = (a q) nt/q = b n, tāpēc log a q b n = (n*t)/t, tad log a q b n = n/q log a b. Teorēma ir pierādīta.

Problēmu un nevienlīdzību piemēri

Visizplatītākie logaritmu problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās uzdevumu grāmatās, kā arī ir obligāta matemātikas eksāmenu sastāvdaļa. Lai iestātos augstskolā vai nokārtotu iestājpārbaudījumus matemātikā, jums jāzina, kā pareizi atrisināt šādus uzdevumus.

Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas risināšanai un noteikšanai nezināma vērtība Nav tādas lietas kā logaritms, bet jūs varat to piemērot katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam. noteikti noteikumi. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai novest pie tā vispārējais izskats. Jūs varat vienkāršot garās logaritmiskās izteiksmes, ja pareizi izmantojat to īpašības. Ātri iepazīsim tos.

Risinot logaritmiskos vienādojumus, ir jānosaka, kāda veida logaritms mums ir: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.

Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka viņiem ir jānosaka jauda, kurai bāze 10 būs attiecīgi vienāda ar 100 un 1026. Risinājumiem naturālie logaritmi jums ir jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko problēmu risināšanas piemērus.

Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem

Tātad, aplūkosim logaritmu pamata teorēmu izmantošanas piemērus.

Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur nepieciešams paplašināt lieliska vērtība skaitļus b vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzat, izmantojot logaritma jaudas ceturto īpašību, mums izdevās atrisināt šķietami sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Jums vienkārši jāaprēķina bāze un pēc tam jāizņem eksponenta vērtības no logaritma zīmes.

Vienotā valsts eksāmena uzdevumi

Logaritmi bieži tiek atrasti iestājeksāmeni, īpaši daudz logaritmisko uzdevumu Vienotajā valsts eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolas absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vienkāršākais testa daļa eksāmenu), bet arī C daļā (sarežģītākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmenam nepieciešamas precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu “Dabas logaritmi”.

Problēmu piemēri un risinājumi ņemti no oficiālā Vienotā valsts eksāmena iespējas. Apskatīsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.

Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstīsim izteiksmi, nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2, pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.

Vislabāk ir samazināt visus logaritmus līdz vienai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
Visas izteiksmes zem logaritma zīmes tiek norādītas kā pozitīvas, tāpēc, kad izteiksmes eksponents, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tās bāze, tiek izņemts kā reizinātājs, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.

Sabiedrībai attīstoties un ražošanai kļūstot sarežģītākai, attīstījās arī matemātika. Kustība no vienkāršas uz sarežģītu. No parastās grāmatvedības, izmantojot saskaitīšanas un atņemšanas metodi, ar to atkārtotu atkārtošanu mēs nonācām pie reizināšanas un dalīšanas jēdziena. Atkārtotas reizināšanas darbības samazināšana kļuva par kāpināšanas jēdzienu. Pirmās tabulas par skaitļu atkarību no bāzes un pakāpju skaitļiem tālajā 8. gadsimtā sastādīja indiešu matemātiķis Varasena. No tiem var saskaitīt logaritmu rašanās laiku.

Vēsturiskā skice

Eiropas atdzimšana 16. gadsimtā veicināja arī mehānikas attīstību. T prasīja lielu aprēķinu apjomu kas saistīti ar daudzciparu skaitļu reizināšanu un dalīšanu. Senie galdi lieliski noderēja. Viņi atļāva nomainīt sarežģītas operācijas uz vienkāršākiem - saskaitīšanu un atņemšanu. Liels solis uz priekšu bija 1544. gadā publicētais matemātiķa Maikla Stīfela darbs, kurā viņš realizēja daudzu matemātiķu ideju. Tas ļāva formā izmantot tabulas ne tikai grādiem pirmskaitļi, bet arī patvaļīgi racionāliem.

1614. gadā skots Džons Napiers, attīstot šīs idejas, pirmo reizi ieviesa jauno terminu “skaitļa logaritms”. Jauns sarežģītas tabulas sinusu un kosinusu logaritmu, kā arī tangenšu aprēķināšanai. Tas ievērojami samazināja astronomu darbu.

Sāka parādīties jaunas tabulas, kuras zinātnieki veiksmīgi izmantoja trīs gadsimtus. Pagāja daudz laika, līdz jaunā darbība algebrā ieguva savu gatavo formu. Tika dota logaritma definīcija un izpētītas tā īpašības.

Tikai 20. gadsimtā, parādoties kalkulatoram un datoram, cilvēce atteicās no senajām tabulām, kas veiksmīgi darbojās visu 13. gadsimtu.

Šodien mēs saucam logaritmu b, lai bāzētu a skaitli x, kas ir a jauda, lai izveidotu b. To raksta kā formulu: x = log a(b).

Piemēram, log 3(9) būtu vienāds ar 2. Tas ir acīmredzami, ja sekojat definīcijai. Ja mēs palielinām 3 līdz 2 pakāpei, mēs iegūstam 9.

Tādējādi formulētā definīcija nosaka tikai vienu ierobežojumu: skaitļiem a un b jābūt reāliem.

Logaritmu veidi

Klasisko definīciju sauc par reālo logaritmu, un tā faktiski ir vienādojuma a x = b risinājums. Opcija a = 1 ir robežlīnija un neinteresē. Uzmanību: 1 jebkurai pakāpei ir vienāds ar 1.

Logaritma reālā vērtība definēts tikai tad, ja bāze un arguments ir lielāki par 0 un bāze nedrīkst būt vienāda ar 1.

Īpaša vieta matemātikas jomā atskaņojiet logaritmus, kas tiks nosaukti atkarībā no to bāzes lieluma:

Noteikumi un ierobežojumi

Logaritmu pamatīpašība ir noteikums: reizinājuma logaritms ir vienāds ar logaritmisko summu. log abp = log a(b) + log a(p).

Kā šī apgalvojuma variants tas būs: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), koeficienta funkcija ir vienāda ar funkciju starpību.

No iepriekšējiem diviem noteikumiem ir viegli redzēt, ka: log a(b p) = p * log a(b).

Citas īpašības ietver:

komentēt. Nepieļaujiet bieži sastopamu kļūdu - summas logaritms nav vienāds ar summu logaritmi.

Daudzus gadsimtus logaritma atrašana bija diezgan laikietilpīgs uzdevums. Matemātiķi izmantoja labi zināmo polinoma paplašināšanas logaritmiskās teorijas formulu:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kur n - dabiskais skaitlis lielāks par 1, kas nosaka aprēķina precizitāti.

Logaritmi ar citām bāzēm tika aprēķināti, izmantojot teorēmu par pāreju no vienas bāzes uz otru un reizinājuma logaritma īpašību.

Tā kā šī metode ir ļoti darbietilpīga un risinot praktiskas problēmas grūti īstenot, izmantojām iepriekš sastādītas logaritmu tabulas, kas ievērojami paātrināja visu darbu.

Atsevišķos gadījumos tika izmantoti speciāli sastādīti logaritmu grafiki, kas deva mazāku precizitāti, bet ievērojami paātrināja vēlamās vērtības meklēšanu. Funkcijas y = log a(x) līkne, kas veidota vairākos punktos, ļauj izmantot parasto lineālu, lai atrastu funkcijas vērtību jebkurā citā punktā. Inženieri ilgu laikuŠiem nolūkiem tika izmantots tā sauktais grafiskais papīrs.

17. gadsimtā parādījās pirmie analogās skaitļošanas palīgnosacījumi, kas 19. gadsimts ieguva gatavu izskatu. Visveiksmīgākā ierīce tika saukta par slaidu kārtulu. Neskatoties uz ierīces vienkāršību, tās izskats ievērojami paātrināja visu inženiertehnisko aprēķinu procesu, un to ir grūti pārvērtēt. Pašlaik tikai daži cilvēki ir pazīstami ar šo ierīci.

Kalkulatoru un datoru parādīšanās padarīja jebkuru citu ierīču izmantošanu bezjēdzīgu.

Vienādojumi un nevienādības

Lai atrisinātu dažādus vienādojumus un nevienādības, izmantojot logaritmus, tiek izmantotas šādas formulas:

Pārejot no vienas bāzes uz otru: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Iepriekšējās opcijas rezultātā: log a(b) = 1 / log b(a).

Lai atrisinātu nevienlīdzības, ir noderīgi zināt:

Logaritma vērtība būs pozitīva tikai tad, ja bāze un arguments ir gan lielāki, gan mazāki par vienu; ja tiek pārkāpts vismaz viens nosacījums, logaritma vērtība būs negatīva.
Ja logaritma funkcija tiek piemērota nevienādības labajā un kreisajā pusē un logaritma bāze ir lielāka par vienu, tad nevienādības zīme tiek saglabāta; pretējā gadījumā tas mainās.

Problēmu paraugi

Apsvērsim vairākas logaritmu un to īpašību izmantošanas iespējas. Vienādojumu risināšanas piemēri:

Apsveriet iespēju ievietot logaritmu pakāpē:

Uzdevums 3. Aprēķināt 25^log 5(3). Risinājums: problēmas apstākļos ieraksts ir līdzīgs šim (5^2)^log5(3) vai 5^(2 * log 5(3)). Rakstīsim savādāk: 5^log 5(3*2), vai skaitļa kvadrātu kā funkcijas argumentu var uzrakstīt kā pašas funkcijas kvadrātu (5^log 5(3))^2. Izmantojot logaritmu īpašības, šī izteiksme ir vienāda ar 3^2. Atbilde: aprēķina rezultātā mēs iegūstam 9.

Praktisks pielietojums

Tā kā tas ir tīri matemātisks rīks, tas šķiet tālu no tā īstā dzīve ka logaritms pēkšņi ieguva lielu nozīmi objektu aprakstīšanā reālā pasaule. Grūti atrast zinātni, kur tā netiek izmantota. Tas pilnībā attiecas ne tikai uz dabas, bet arī uz humanitārajām zināšanu jomām.

Logaritmiskās atkarības

Šeit ir daži skaitlisko atkarību piemēri:

Mehānika un fizika

Vēsturiski mehānika un fizika vienmēr ir attīstījušās, izmantojot matemātiskās metodes pētījumos un vienlaikus kalpoja kā stimuls matemātikas, tostarp logaritmu, attīstībai. Lielākās daļas fizikas likumu teorija ir uzrakstīta matemātikas valodā. Sniegsim tikai divus piemērus fizisko likumu aprakstīšanai, izmantojot logaritmu.

Tik sarežģīta lieluma kā raķetes ātruma aprēķināšanas problēmu var atrisināt, izmantojot Ciolkovska formulu, kas lika pamatu kosmosa izpētes teorijai:

V = I * ln (M1/M2), kur

V ir gaisa kuģa galīgais ātrums.
I – dzinēja specifiskais impulss.
M 1 – raķetes sākotnējā masa.
M 2 – gala masa.

Vēl viens svarīgs piemērs- to izmanto cita izcilā zinātnieka Maksa Planka formulā, kas kalpo līdzsvara stāvokļa novērtēšanai termodinamikā.

S = k * ln (Ω), kur

S – termodinamiskā īpašība.
k – Bolcmaņa konstante.
Ω ir dažādu stāvokļu statistiskais svars.

Ķīmija

Mazāk acīmredzama ir tādu formulu izmantošana ķīmijā, kas satur logaritmu attiecību. Sniegsim tikai divus piemērus:

Nernsta vienādojums, vides redokspotenciāla stāvoklis attiecībā pret vielu aktivitāti un līdzsvara konstante.
Arī tādu konstantu kā autolīzes indeksa un šķīduma skābuma aprēķins nevar tikt veikts bez mūsu funkcijas.

Psiholoģija un bioloģija

Un nepavisam nav skaidrs, kāds ar to ir saistīts ar psiholoģiju. Izrādās, ka sajūtas stiprumu šī funkcija labi raksturo kā stimula intensitātes vērtības apgriezto attiecību pret zemāko intensitātes vērtību.

Pēc iepriekš minētajiem piemēriem vairs nav jābrīnās, ka logaritmu tēma tiek plaši izmantota bioloģijā. Par bioloģiskās formas, kas atbilst logaritmiskām spirālēm, var uzrakstīt veselus sējumus.

Citas jomas

Šķiet, ka pasaules pastāvēšana nav iespējama bez saiknes ar šo funkciju, un tā valda visus likumus. It īpaši, ja dabas likumi ir saistīti ar ģeometrisko progresiju. Ir vērts pievērsties MatProfi vietnei, un ir daudz šādu piemēru šādās darbības jomās: