Cos'è un nok di numeri. Multiplo minimo comune di MCM

Agli scolari vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono problemi con la seguente formulazione: ci sono due significati. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con le frazioni quando denominatori diversi. In questo articolo vedremo come trovare LOC e concetti di base.

Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto suona come segue: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto. Quindi, per 4, i multipli saranno 8, 12, 16, 20,. e così via, fino al limite richiesto.

Inoltre, il numero di divisori per un valore specifico può essere limitato, ma i multipli sono infiniti. Lo stesso valore vale anche per i valori naturali. Questo è un indicatore che viene suddiviso in essi senza resto. Avendo compreso il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.

Trovare il NOC

Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale interamente divisibile per tutti i numeri specificati.

Esistono diversi modi per trovare tale valore, considerare i seguenti metodi:

Se i numeri sono piccoli, scrivi su una riga tutti quelli divisibili per essa. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Per iscritto sono indicati con la lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
Se questi sono grandi o devi trovare un multiplo di 3 o più valori, dovresti utilizzare un'altra tecnica che prevede la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi quello più grande elencato, poi tutti gli altri. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per quello più piccolo, sottolinea i fattori e aggiungili a quello più grande. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
Quando si trovano 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dell'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nell'espansione del più grande. Li sommiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.

Ora sappiamo cosa metodologia generale trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Esistono però anche metodi privati, aiutando a cercare NOC se i precedenti non aiutano.

Come trovare GCD e NOC.

Metodi privati di ricerca

Come per ogni sezione matematica, esistono casi speciali per trovare LCM che aiutano in situazioni specifiche:

se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (il MCM di 60 e 15 è 15);
i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni. Il loro valore più piccolo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi per i numeri 7 e 8 sarà 56;
la stessa regola vale per altri casi, anche particolari, di cui si può leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche i casi di scomposizione di numeri composti, che sono oggetto di singoli articoli e persino delle tesi dei candidati.

I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni, dove ci sono denominatori disuguali.

Pochi esempi

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi che ti aiuteranno a comprendere il principio per trovare il minimo multiplo:

Trova la LOC (35; 40). Prima scomponiamo 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungi 8 al numero più piccolo e ottieni LOC 280.
NOC (45; 54). Li scomponiamo ciascuno: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Sommiamo il numero da 6 a 45. Otteniamo un LCM pari a 270.
Bene, l'ultimo esempio. Esistono 5 e 4. Non esistono multipli primi, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, pari a 20.

Grazie agli esempi, puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.

Trovare NOC è molto più semplice di quanto possa sembrare inizialmente. Per fare ciò, vengono utilizzate sia la semplice espansione che la moltiplicazione valori semplici L'un l'altro. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio degli argomenti matematici, in particolare delle frazioni gradi diversi le difficoltà.

Non dimenticare di risolvere periodicamente gli esempi vari metodi, questo sviluppa l'apparato logico e permette di ricordare numerosi termini. Impara come trovare un esponente di questo tipo e riuscirai a far bene il resto delle sezioni di matematica. Buon apprendimento della matematica!

video

Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come trovare il minimo comune multiplo.

L'argomento "Multipli" viene studiato al grado 5 scuola media. Il suo obiettivo è migliorare le capacità di calcolo matematico scritto e orale. In questa lezione vengono introdotti nuovi concetti: "numeri multipli" e "divisori", viene praticata la tecnica per trovare divisori e multipli di un numero naturale e la capacità di trovare LCM in vari modi.

Questo argomento è molto importante. La sua conoscenza può essere applicata quando si risolvono esempi con le frazioni. Per fare ciò, è necessario trovare il denominatore comune calcolando il minimo comune multiplo (LCM).

Un multiplo di A è un numero intero divisibile per A senza resto.

Ogni numero naturale ha infiniti multipli di esso. È esso stesso considerato il più piccolo. Il multiplo non può essere inferiore al numero stesso.

Devi dimostrare che il numero 125 è un multiplo di 5. Per fare ciò, devi dividere il primo numero per il secondo. Se 125 è divisibile per 5 senza resto, la risposta è sì.

Questo metodo è applicabile per piccoli numeri.

Esistono casi speciali nel calcolo del LOC.

1. Se devi trovare un multiplo comune di 2 numeri (ad esempio, 80 e 20), dove uno di essi (80) è divisibile per l'altro (20), allora questo numero (80) è il minimo multiplo di questi due numeri.

MCM(80, 20) = 80.

2. Se due non hanno un divisore comune, allora possiamo dire che il loro MCM è il prodotto di questi due numeri.

MCM(6, 7) = 42.

Diamo un'occhiata all'ultimo esempio. 6 e 7 rispetto a 42 sono divisori. Dividono un multiplo di un numero senza resto.

In questo esempio, 6 e 7 sono fattori accoppiati. Il loro prodotto è uguale al numero più multiplo (42).

Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso o per 1 (3:1=3; 3:3=1). Il resto si chiama composito.

Un altro esempio riguarda la determinazione se 9 è un divisore di 42.

42:9=4 (resto 6)

Risposta: 9 non è un divisore di 42 perché la risposta ha resto.

Un divisore differisce da un multiplo in quanto il divisore è il numero per cui vengono divisi i numeri naturali e il multiplo stesso è diviso per questo numero.

Massimo comun divisore di numeri UN E B, moltiplicato per il loro minimo multiplo, darà il prodotto dei numeri stessi UN E B.

Vale a dire: mcd (a, b) x mcd (a, b) = a x b.

I multipli comuni per i numeri più complessi si trovano nel modo seguente.

Ad esempio, trova l'LCM per 168, 180, 3024.

Scomponiamo questi numeri in fattori primi e li scriviamo come prodotto di potenze:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

VLCM(168, 180, 3024) = 15120.

Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. Il minimo comune multiplo (LCM) di un gruppo di numeri è il numero più piccolo divisibile per ciascun numero del gruppo senza lasciare resto. Per trovare il minimo comune multiplo è necessario trovare i fattori primi di determinati numeri. L'LCM può anche essere calcolato utilizzando una serie di altri metodi che si applicano a gruppi di due o più numeri.

Passi

Serie di multipli

Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è inferiore a 10. Se vengono forniti numeri più grandi, utilizzare un metodo diverso.

Ad esempio, trova il minimo comune multiplo di 5 e 8. Questi sono numeri piccoli, quindi puoi utilizzare questo metodo.

Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. I multipli si trovano nella tavola pitagorica.
- Ad esempio, i numeri multipli di 5 sono: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Scrivi una serie di numeri multipli del primo numero. Fallo sotto i multipli del primo numero per confrontare due serie di numeri.
- Ad esempio, i numeri multipli di 8 sono: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.
Trova il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli. Potrebbe essere necessario scrivere lunghe file multipli da trovare numero totale. Il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli è il minimo comune multiplo.
- Per esempio, il numero più piccolo, che è presente nella serie dei multipli di 5 e 8, è il numero 40. Pertanto 40 è il minimo comune multiplo di 5 e 8.
fattorizzazione in numeri primi
1. Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è maggiore di 10. Se vengono forniti numeri più piccoli, utilizzare un metodo diverso.
  - Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 20 e 84. Ciascun numero è maggiore di 10, quindi puoi utilizzare questo metodo.
2. Fattorizza il primo numero in fattori primi. Cioè, devi trovare i numeri primi che, una volta moltiplicati, daranno un determinato numero. Una volta trovati i fattori primi, scrivili come uguaglianze.
  - Per esempio, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) E 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Pertanto, i fattori primi del numero 20 sono i numeri 2, 2 e 5. Scrivili come espressione: .
3. Fattorizza il secondo numero in fattori primi. Fallo nello stesso modo in cui hai scomposto il primo numero, cioè trova i numeri primi che, una volta moltiplicati, produrranno il numero dato.
  - Per esempio, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) E 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Pertanto, i fattori primi del numero 84 sono i numeri 2, 7, 3 e 2. Scrivili come espressione: .
4. Scrivi i fattori comuni a entrambi i numeri. Scrivi tali fattori come un'operazione di moltiplicazione. Mentre scrivi ciascun fattore, cancellalo in entrambe le espressioni (espressioni che descrivono la fattorizzazione dei numeri in fattori primi).
  - Ad esempio, entrambi i numeri hanno un fattore comune pari a 2, quindi scrivi 2 × (\displaystyle 2\times ) e cancella il 2 in entrambe le espressioni.
  - Ciò che entrambi i numeri hanno in comune è un altro fattore 2, quindi scrivi 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) e cancella il secondo 2 in entrambe le espressioni.
5. Aggiungi i restanti fattori all'operazione di moltiplicazione. Si tratta di fattori che non vengono cancellati in entrambe le espressioni, cioè di fattori che non sono comuni a entrambi i numeri.
  - Ad esempio, nell'espressione 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\volte 2\volte 5) Entrambi i due (2) sono cancellati perché sono fattori comuni. Il fattore 5 non è cancellato, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
  - Nell'espressione 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\volte 7\volte 3\volte 2) anche entrambi i due (2) sono cancellati. I fattori 7 e 3 non vengono cancellati, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
6. Calcola il minimo comune multiplo. Per fare ciò, moltiplica i numeri nell'operazione di moltiplicazione scritta.
  - Per esempio, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Quindi il minimo comune multiplo tra 20 e 84 è 420.
Trovare fattori comuni
1. Disegna una griglia come per il gioco del tris. Tale griglia è composta da due linee parallele che si intersecano (ad angolo retto) con altre due linee parallele. Questo ti darà tre righe e tre colonne (la griglia assomiglia molto all'icona #). Scrivi il primo numero nella prima riga e nella seconda colonna. Scrivi il secondo numero nella prima riga e nella terza colonna.
  - Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 18 e 30. Scrivi il numero 18 nella prima riga e nella seconda colonna e scrivi il numero 30 nella prima riga e nella terza colonna.
2. Trova il divisore comune ad entrambi i numeri. Scrivilo nella prima riga e nella prima colonna. È meglio cercare i fattori primi, ma questo non è un requisito.
  - Ad esempio, 18 e 30 lo sono numeri pari, quindi il loro divisore comune il numero sarà 2. Quindi scrivi 2 nella prima riga e nella prima colonna.
3. Dividi ogni numero per il primo divisore. Scrivi ciascun quoziente sotto il numero appropriato. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri.
  - Per esempio, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), quindi scrivi 9 sotto 18.
  - 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), quindi scrivi 15 sotto 30.
4. Trova il divisore comune ad entrambi i quozienti. Se non esiste un tale divisore, salta due prossimi passi. Altrimenti scrivi il divisore nella seconda riga e nella prima colonna.
  - Ad esempio, 9 e 15 sono divisibili per 3, quindi scrivi 3 nella seconda riga e nella prima colonna.
5. Dividi ciascun quoziente per il suo secondo divisore. Scrivi il risultato di ogni divisione sotto il quoziente corrispondente.
  - Per esempio, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), quindi scrivi 3 sotto 9.
  - 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), quindi scrivi 5 sotto 15.
6. Se necessario, aggiungi ulteriori celle alla griglia. Ripeti i passaggi descritti finché i quozienti non hanno un divisore comune.
7. Cerchia i numeri nella prima colonna e nell'ultima riga della griglia. Quindi scrivi i numeri selezionati come operazione di moltiplicazione.
  - Ad esempio, i numeri 2 e 3 sono nella prima colonna e i numeri 3 e 5 nell'ultima riga, quindi scrivi l'operazione di moltiplicazione in questo modo: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).
8. Trova il risultato della moltiplicazione dei numeri. Questo calcolerà il minimo comune multiplo di due numeri dati.
  - Per esempio, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Quindi il minimo comune multiplo tra 18 e 30 è 90.
Algoritmo di Euclide
1. Ricordare la terminologia associata all'operazione di divisione. Il dividendo è il numero che viene diviso. Il divisore è il numero per cui viene diviso. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri. Il resto è il numero rimasto quando si dividono due numeri.
  - Ad esempio, nell'espressione 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
    15 è il dividendo
    6 è un divisore
    2 è il quoziente
    3 è il resto.

Per capire come calcolare l’LCM è necessario innanzitutto determinare il significato del termine “multiplo”.

Un multiplo di A è un numero naturale divisibile per A senza resto. Pertanto, i numeri multipli di 5 possono essere considerati 15, 20, 25 e così via.

Possono esserci divisori di un numero specifico quantità limitata, ma i multipli sono infiniti.

Multiplo comune numeri naturali- un numero divisibile per loro senza resto.

Come trovare il minimo comune multiplo dei numeri

Il minimo comune multiplo (MCM) dei numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale divisibile per tutti questi numeri.

Per trovare il LOC, puoi utilizzare diversi metodi.

Per i numeri piccoli è conveniente scrivere tutti i multipli di questi numeri su una riga finché non si trova qualcosa in comune tra loro. I multipli si indicano con la lettera maiuscola K.

Ad esempio, i multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Pertanto, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa notazione viene eseguita come segue:

MCM(4, 6) = 24

Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio utilizzare un altro metodo per calcolare l'LCM.

Per completare l'attività, è necessario scomporre i numeri indicati in fattori primi.

Per prima cosa devi scrivere la scomposizione del numero più grande su una riga e, sotto di essa, il resto.

Nell'espansione di ogni numero ci può essere quantità diversa moltiplicatori.

Ad esempio, scomponiamo in fattori primi i numeri 50 e 20.

Nell'espansione del numero minore è necessario sottolineare i fattori che mancano nell'espansione del primo. elevato numero, quindi aggiungerli ad esso. Nell'esempio presentato manca il due.

Ora puoi calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.

MCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Quindi il prodotto dei fattori primi Di più e i fattori del secondo numero che non sono stati inclusi nell'espansione del numero più grande saranno il minimo comune multiplo.

Per trovare il MCM di tre o più numeri, dovresti scomporli tutti in fattori primi, come nel caso precedente.

Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Pertanto, solo due due dell'espansione di sedici non sono stati inclusi nella fattorizzazione di un numero maggiore (uno è nell'espansione di ventiquattro).

Pertanto, devono essere aggiunti all'espansione di un numero maggiore.

MCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Esistono casi particolari di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.

Ad esempio, il LCM di dodici e ventiquattro è ventiquattro.

Se hai bisogno di trovare il minimo comune multiplo tra loro numeri primi, che non hanno divisori identici, il loro MCM sarà uguale al loro prodotto.

Ad esempio, MCM (10, 11) = 110.