Un trapezio è un quadrilatero convesso in cui due lati opposti sono paralleli e gli altri due non paralleli. Se un quadrilatero ha tutti i lati opposti paralleli a coppie, allora è un parallelogramma.

Ne avrai bisogno

• - tutti i lati del trapezio (AB, BC, CD, DA).

Istruzioni

• Lati non paralleli trapezi si chiamano laterali, mentre quelli paralleli si chiamano basi. La linea tra le basi, perpendicolare ad esse - altezza trapezi. Se i lati trapezi sono uguali, allora si dice isoscele. Per prima cosa diamo un'occhiata alla soluzione per trapezi, che non è isoscele.
• Traccia il segmento BE dal punto B alla base inferiore AD parallelamente al lato trapezi CD. Poiché BE e CD sono paralleli e disegnati tra basi parallele trapezi BC e DA, allora BCDE è un parallelogramma e i suoi lati opposti BE e CD sono uguali. ESSERE=CD.
• Consideriamo il triangolo ABE. Calcolare l'AE laterale. AE=AD-ED. Ragioni trapezi BC e AD sono noti, e nel parallelogramma BCDE i lati opposti ED e BC sono uguali. ED=BC, quindi AE=AD-BC.
• Ora scopri l'area del triangolo ABE utilizzando la formula di Erone calcolando il semiperimetro. S=radice(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In questa formula, p è il semiperimetro del triangolo ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Per calcolare l'area conosci tutti i dati necessari: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Successivamente, scrivi l'area del triangolo ABE in un modo diverso: è uguale alla metà del prodotto dell'altezza del triangolo BH e del lato AE su cui è disegnato. S=1/2*BH*AE.
• Esprimere da questa formula altezza triangolo, che è anche l'altezza trapezi. BH=2*S/AE. Calcolalo.

Se il trapezio è isoscele la soluzione può essere fatta diversamente. Consideriamo il triangolo ABH. È rettangolare perché uno degli angoli, BHA, è giusto.

• Scorri dal vertice C altezza CF.
• Studia la cifra HBCF. HBCF è un rettangolo perché due dei suoi lati sono altezze e gli altri due sono basi trapezi, cioè gli angoli sono retti e i lati opposti sono paralleli. Ciò significa che BC=HF.
• Guardare triangoli rettangoli ABH e FCD. Gli angoli alle altezze BHA e CFD sono retti, e gli angoli ai lati BAH e CDF sono uguali, poiché il trapezio ABCD è isoscele, il che significa che i triangoli sono simili. Poiché le altezze BH e CF sono uguali ovvero i lati laterali di un isoscele trapezi AB e CD sono congruenti, allora i triangoli simili sono congruenti. Ciò significa che anche i loro lati AH e FD sono uguali.
• Trova AH. AH+FD=AD-HF. Poiché da un parallelogramma HF=BC, e dai triangoli AH=FD, allora AH=(AD-BC)*1/2.
• Successivamente, dal triangolo rettangolo ABH, utilizzando il teorema di Pitagora, calcola altezza B.H. Quadrato dell'ipotenusa AB pari alla somma quadrati di gambe AH e BH. BH=radice(AB*AB-AH*AH).

Trapezio si chiama quadrilatero il cui solo due i lati sono paralleli tra loro.

Si chiamano basi della figura, il resto si chiama lati. I parallelogrammi sono considerati casi speciali di una figura. Esiste anche un trapezio curvo, che include il grafico di una funzione. Le formule per l'area di un trapezio includono quasi tutti i suoi elementi e soluzione migliore viene selezionato in base ai valori specificati.
I ruoli principali nel trapezio sono assegnati all'altezza e alla linea mediana. Linea di mezzo- Questa è una linea che collega i punti medi dei lati. Altezza Il trapezio è disegnato ad angolo retto dall'angolo superiore alla base.
L'area di un trapezio attraverso la sua altezza è uguale al prodotto della metà della somma delle lunghezze delle basi moltiplicata per l'altezza:

Se la linea media è nota in base alle condizioni, questa formula è notevolmente semplificata, poiché è uguale alla metà della somma delle lunghezze delle basi:

Se, in base alle condizioni, vengono fornite le lunghezze di tutti i lati, possiamo considerare un esempio di calcolo dell'area di un trapezio utilizzando questi dati:

Supponiamo di avere un trapezio con basi a = 3 cm, b = 7 cm e lati c = 5 cm, d = 4 cm Troviamo l'area della figura:

Area di un trapezio isoscele

Un trapezio isoscele o, come viene anche chiamato, un trapezio isoscele, è considerato un caso separato.
Un caso speciale è trovare l'area di un trapezio isoscele (equilatero). La formula è derivata in vari modi– attraverso le diagonali, attraverso gli angoli adiacenti alla base e al raggio del cerchio inscritto.
Se la lunghezza delle diagonali è specificata in base alle condizioni e l'angolo tra loro è noto, è possibile utilizzare la seguente formula:

Ricorda che le diagonali di un trapezio isoscele sono uguali tra loro!

Cioè, conoscendo una delle loro basi, lato e angolo, puoi facilmente calcolare l'area.

Area di un trapezio curvo

Un caso speciale è trapezio curvo. Si trova sull'asse delle coordinate ed è limitato dal grafico di una funzione positiva continua.

La sua base si trova sull'asse X ed è limitata a due punti:
Gli integrali aiutano a calcolare l'area trapezio curvo.
La formula è scritta così:

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un trapezio curvo. La formula richiede alcune conoscenze con cui lavorare certi integrali. Innanzitutto, diamo un'occhiata al valore dell'integrale definito:

Qui F(a) è il valore funzione antiderivativa f(x) nel punto a, F(b) è il valore della stessa funzione f(x) nel punto b.

Ora risolviamo il problema. La figura mostra un trapezio curvo delimitato dalla funzione. Funzione
Dobbiamo trovare l'area della figura selezionata, che è un trapezio curvilineo delimitato superiormente dal grafico, a destra dalla retta x =(-8), a sinistra dalla retta x =(-10 ) e l'asse OX sottostante.
Calcoleremo l'area di questa figura utilizzando la formula:

Le condizioni del problema ci danno una funzione. Usandolo troveremo i valori dell'antiderivativa in ciascuno dei nostri punti:


Ora
Risposta: L'area di un dato trapezio curvo è 4.

Non c'è nulla di complicato nel calcolare questo valore. L'unica cosa importante è la massima cura nei calcoli.

Esistono molti modi per trovare l'area di un trapezio. Solitamente un tutor di matematica conosce diversi metodi per calcolarlo, vediamoli più nel dettaglio:
1) , dove AD e BC sono le basi e BH è l'altezza del trapezio. Dimostrazione: traccia la diagonale BD ed esprimi le aree dei triangoli ABD e CDB attraverso il semiprodotto delle loro basi e delle loro altezze:

, dove DP è l'altezza esterna in

Sommiamo queste uguaglianze termine per termine e tenendo conto che le altezze BH e DP sono uguali, otteniamo:

Mettiamolo fuori parentesi

Q.E.D.

Corollario alla formula per l'area di un trapezio:
Poiché la semisomma delle basi è uguale a MN, quindi la linea mediana del trapezio

2) Applicazione formula generale area di un quadrilatero.
L'area di un quadrilatero è pari alla metà del prodotto delle diagonali moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro
Per dimostrarlo basta dividere il trapezio in 4 triangoli, esprimere l’area di ciascuno tramite “metà del prodotto delle diagonali per il seno dell’angolo compreso tra loro” (preso come angolo, sommare le espressioni risultanti, toglili dalla parentesi e fattorizza questa parentesi utilizzando il metodo di raggruppamento per ottenere la sua uguaglianza con l'espressione Quindi

3) Metodo dello spostamento diagonale
Questo è il mio nome. Un tutor di matematica non incontrerà un titolo del genere nei libri di testo scolastici. Una descrizione della tecnica può essere trovata solo in allegato libri di testo come esempio di risoluzione di un problema. Noto che la maggior parte delle cose interessanti e fatti utili i tutor di matematica della planimetria rivelano agli studenti in fase di esecuzione lavoro pratico. Questo è estremamente non ottimale, perché lo studente deve isolarli in teoremi separati e chiamarli “ grandi nomi" Uno di questi è lo “spostamento diagonale”. Riguardo a cosa stiamo parlando?Tracciamo una linea parallela ad AC passante per il vertice B fino ad intersecare la base inferiore nel punto E. In questo caso il quadrilatero EBCA sarà un parallelogramma (per definizione) e quindi BC=EA ed EB=AC. La prima uguaglianza è importante per noi adesso. Abbiamo:

Nota che il triangolo BED, la cui area è uguale all'area del trapezio, ha molte altre proprietà notevoli:
1) La sua area è uguale all'area del trapezio
2) Il suo isoscele avviene contemporaneamente agli isoscele del trapezio stesso
3) Il suo angolo superiore al vertice B è uguale all'angolo tra le diagonali del trapezio (che viene utilizzato molto spesso nei problemi)
4) La sua mediana BK è uguale alla distanza QS tra i punti medi delle basi del trapezio. Recentemente mi sono imbattuto nell'uso di questa proprietà mentre preparavo uno studente per Meccanica e Matematica all'Università statale di Mosca utilizzando il libro di testo di Tkachuk, versione 1973 (il problema è riportato in fondo alla pagina).

Tecniche speciali per un insegnante di matematica.

A volte propongo problemi utilizzando un modo molto complicato per trovare l'area di un trapezio. La classifico come una tecnica speciale perché in pratica il tutor le usa estremamente raramente. Se hai bisogno di prepararti per l’Esame di Stato Unificato di matematica solo nella Parte B, non sei obbligato a leggerli. Per gli altri ti dirò di più. Si scopre che l'area del trapezio è raddoppiata più area un triangolo con i vertici alle estremità di un lato e al centro dell'altro, cioè il triangolo ABS nella figura:
Dimostrazione: traccia le altezze SM e SN nei triangoli BCS e ADS ed esprimi la somma delle aree di questi triangoli:

Poiché il punto S è il punto medio di CD, allora (dimostralo tu stesso) Trova la somma delle aree dei triangoli:

Poiché questa somma era pari alla metà dell'area del trapezio, quindi la sua seconda metà. Ecc.

Includerei nella raccolta di tecniche speciali del tutor la forma di calcolo dell'area di un trapezio isoscele lungo i suoi lati: dove p è il semiperimetro del trapezio. Non darò prove. Altrimenti, il tuo tutor di matematica rimarrà senza lavoro :). Vieni a lezione!

Problemi sull'area di un trapezio:

Nota dell'insegnante di matematica: L'elenco seguente non è un accompagnamento metodologico all'argomento, è solo una piccola selezione di compiti interessanti basati sulle tecniche discusse sopra.

1) La base inferiore di un trapezio isoscele è 13 e quella superiore è 5. Trova l'area del trapezio se la sua diagonale è perpendicolare al lato.
2) Trova l'area di un trapezio se le sue basi sono 2 cm e 5 cm e i suoi lati sono 2 cm e 3 cm.
3) In un trapezio isoscele, la base maggiore è 11, il lato è 5 e la diagonale è Trova l'area del trapezio.
4) La diagonale di un trapezio isoscele è 5 e la linea mediana è 4. Trova l'area.
5) In un trapezio isoscele le basi sono 12 e 20 e le diagonali sono tra loro perpendicolari. Calcola l'area di un trapezio
6) La diagonale di un trapezio isoscele forma un angolo con la sua base inferiore. Trova l'area del trapezio se la sua altezza è 6 cm.
7) L'area del trapezio è 20 e uno dei suoi lati è 4 cm Trova la distanza dal centro del lato opposto.
8) La diagonale di un trapezio isoscele lo divide in triangoli con aree di 6 e 14. Trova l'altezza se il lato laterale è 4.
9) In un trapezio, le diagonali sono uguali a 3 e 5 e il segmento che collega i punti medi delle basi è uguale a 2. Trova l'area del trapezio (Mekhmat MSU, 1970).

Non ho scelto i problemi più difficili (non abbiate paura dell'ingegneria meccanica!) con l'aspettativa di poterli risolvere in modo indipendente. Decidi per la tua salute! Se hai bisogno di preparazione per l'esame di stato unificato in matematica, senza la partecipazione a questo processo, potrebbero sorgere formule per l'area di un trapezio problemi seri anche con il problema B6 e ancor di più con C4. Non aprire l'argomento e in caso di difficoltà chiedere aiuto. Un tutor di matematica è sempre felice di aiutarti.

Kolpakov A.N.
Tutor di matematica a Mosca, preparazione all'Esame di Stato Unificato a Strogino.

Un trapezio è un quadrilatero in rilievo in cui due lati opposti sono paralleli e gli altri due non paralleli. Se un quadrilatero ha tutti i lati opposti a coppie paralleli allora è un parallelogramma.

Ne avrai bisogno

• – tutti i lati del trapezio (AB, BC, CD, DA).

Istruzioni

1. Non parallelo lati trapezi si chiamano lati laterali, mentre i lati paralleli si chiamano basi. La linea tra le basi, perpendicolare ad esse - altezza trapezi. Se laterale lati trapezi sono uguali, allora si dice isoscele. Innanzitutto, diamo un'occhiata alla soluzione per trapezi, che non è isoscele.

2. Traccia il segmento BE dal punto B alla base inferiore AD parallelamente al lato trapezi CD. Perché BE e CD sono paralleli e disegnati tra basi parallele trapezi BC e DA, allora BCDE è un parallelogramma e il suo opposto lati BE e CD sono uguali. ESSERE=CD.

3. Osserva il triangolo ABE. Calcolare l'AE laterale. AE=AD-ED. Ragioni trapezi BC e AD sono noti e in un parallelogramma BCDE sono opposti lati ED e BC sono uguali. ED=BC, quindi AE=AD-BC.

4. Ora scopri l'area del triangolo ABE utilizzando la formula di Erone calcolando il semiperimetro. S=radice(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In questa formula, p è il semiperimetro del triangolo ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Per calcolare l'area conosci tutti i dati necessari: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Esprimi da questa formula l'altezza del triangolo, che è anche l'altezza trapezi. BH=2*S/AE. Calcolalo.

7. Se il trapezio è isoscele la soluzione può essere eseguita diversamente. Osserva il triangolo ABH. È rettangolare perché uno degli angoli, BHA, è giusto.

8. Disegna l'altezza CF dal vertice C.

9. Studia la cifra HBCF. Rettangolo HBCF, perché ce ne sono due lati sono altezze e le altre due sono basi trapezi, cioè gli angoli sono retti e viceversa lati parallelo. Ciò significa che BC=HF.

10. Osserva i triangoli rettangoli ABH e FCD. Gli angoli alle altezze BHA e CFD sono retti e gli angoli ai laterali lati x BAH e CDF sono uguali perché il trapezio ABCD è isoscele, il che significa che i triangoli sono simili. Perché le altezze BH e CF sono uguali o laterali lati isoscele trapezi AB e CD sono congruenti, allora i triangoli simili sono congruenti. Quindi loro lati Anche AH e FD sono uguali.

11. Scopri AH. AH+FD=AD-HF. Perché da un parallelogramma HF=BC, e dai triangoli AH=FD, allora AH=(AD-BC)*1/2.

Trapezio – figura geometrica, che è un quadrilatero in cui due lati, detti basi, sono paralleli, e gli altri due non sono paralleli. Si chiamano lati trapezi. Il segmento tracciato attraverso i punti medi dei lati laterali è chiamato linea mediana trapezi. Un trapezio può avere lati diversi o identici, in questo caso si dice isoscele. Se uno dei lati è perpendicolare alla base, il trapezio sarà rettangolare. Ma è molto più pratico sapere come rilevarlo piazza trapezi .

Ne avrai bisogno

• Righello con divisioni millimetriche

Istruzioni

1. Misura tutti i lati trapezi: AB, BC, CD e DA. Registra le tue misurazioni.

2. Sul segmento AB, segna il punto centrale K. Sul segmento DA, segna il punto L, che è anche al centro del segmento AD. Combina i punti K e L, il segmento risultante KL sarà la linea mediana trapezi ABCD. Misurare il segmento KL.

3. Dall'alto trapezi– lancia C, abbassa la perpendicolare alla sua base AD sul segmento CE. Sarà l'altezza trapezi ABCD. Misurare il segmento CE.

4. Chiameremo quindi il segmento KL con la lettera m, e il segmento CE con la lettera h piazza S trapezi L'ABCD si calcola utilizzando la formula: S=m*h, dove m è la linea mediana trapezi ABCD, h – altezza trapezi ABCD.

5. C'è un'altra formula che ti permette di calcolare piazza trapezi ABCD. Base inferiore trapezi– Chiamiamo AD la lettera b, e la base superiore BC la lettera a. L'area è determinata dalla formula S=1/2*(a+b)*h, dove aeb sono le basi trapezi, h – altezza trapezi .

Video sull'argomento

Suggerimento 3: come trovare l'altezza di un trapezio se l'area è nota

Un trapezio è un quadrilatero in cui due dei quattro lati sono paralleli tra loro. I lati paralleli ne sono la base trapezi, gli altri due sono i lati laterali di questo trapezi. Scoprire altezza trapezi, se conosci la sua zona, sarà molto semplice.

Istruzioni

1. Dobbiamo capire come calcolare l'area dell'iniziale trapezi. Esistono diverse formule per questo, a seconda dei dati iniziali: S = ((a+b)*h)/2, dove a e b sono le lunghezze delle basi trapezi, e h è la sua altezza (Height trapezi– perpendicolare, ribassato da una base trapezi a un altro);S = m*h, dove m è la linea mediana trapezi(La linea mediana è un segmento parallelo alle basi trapezi e collega i punti medi dei suoi lati).

2. Ora, conosciamo le formule per calcolare l'area trapezi, è consentito ricavarne di nuovi per trovare l'altezza trapezi:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Per rendere più chiaro come risolvere problemi simili, puoi guardare degli esempi: Esempio 1: Dato un trapezio la cui area è 68 cm?, la cui linea mediana è 8 cm, devi trovare altezza dato trapezi. Per risolvere questo problema è necessario utilizzare la formula ricavata in precedenza: h = 68/8 = 8,5 cm Risposta: l'altezza di questo trapeziè 8,5 cmEsempio 2: Sia y trapezi l'area è 120 cm?, la lunghezza delle basi è data trapezi sono pari rispettivamente a 8 cm e 12 cm, è necessario rilevarli altezza Questo trapezi. Per fare ciò è necessario applicare una delle formule derivate: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cm Risposta: altezza del dato trapezi pari a 12 cm

Video sull'argomento

Fai attenzione!
Qualsiasi trapezio ha una serie di proprietà: - la linea mediana di un trapezio è uguale alla metà della somma delle sue basi; - il segmento che collega le diagonali del trapezio è uguale alla metà della differenza delle sue basi; è disegnato per i punti medi delle basi, allora intersecherà il punto di intersezione delle diagonali del trapezio - Puoi inscrivere una circonferenza in un trapezio se la somma delle basi di un dato trapezio è uguale alla somma delle sue; lati Utilizzare queste proprietà durante la risoluzione dei problemi.

Suggerimento 4: come trovare l'altezza di un triangolo date le coordinate dei punti

L'altezza in un triangolo è il segmento di retta che collega il vertice della figura al lato opposto. Questo segmento deve necessariamente essere perpendicolare al lato quindi da ogni vertice è consentito tracciarne uno solo; altezza. Poiché in questa figura ci sono tre vertici, ci sono lo stesso numero di altezze. Se un triangolo è dato dalle coordinate dei suoi vertici, la lunghezza di ciascuna altezza può essere calcolata, ad esempio, utilizzando la formula per trovare l'area e calcolare le lunghezze dei lati.

Istruzioni

1. Procedi nei tuoi calcoli dal fatto che l'area triangoloè uguale alla metà del prodotto della lunghezza di ciascuno dei suoi lati per la lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato. Da questa definizione ne consegue che per trovare l'altezza è necessario conoscere l'area della figura e la lunghezza del lato.

2. Inizia calcolando le lunghezze dei lati triangolo. Designare le coordinate dei vertici della figura come segue: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) e C(X?,Y?,Z?). Quindi puoi calcolare la lunghezza del lato AB utilizzando la formula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Per gli altri 2 lati, queste formule saranno simili a queste: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) e AC = ?(( X?-X?) + (Y?-Y?) + (Z?-Z?)?). Diciamo per triangolo con le coordinate A(3,5,7), B(16,14,19) e C(1,2,13) ​​la lunghezza del lato AB sarà?((3-16)? + (5-14 ) + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Le lunghezze dei lati BC e AC, calcolate con lo stesso metodo, saranno uguali?(15? + 12? + 6?) =?405? 20.12 e?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Conoscere la lunghezza dei 3 lati ottenuta nel passaggio precedente è sufficiente per calcolare l'area triangolo(S) secondo la formula di Erone: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Diciamo, dopo aver sostituito in questa formula i valori ottenuti dalle coordinate triangolo-esempio dal passaggio precedente, questa formula darà il seguente valore: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. In base alla zona triangolo, calcolato nel passaggio precedente, e le lunghezze dei lati ottenute nel secondo passaggio, calcolare le altezze per ciascuno dei lati. Poiché l'area è pari alla metà del prodotto tra l'altezza e la lunghezza del lato su cui è disegnata, per trovare l'altezza dividere l'area raddoppiata per la lunghezza del lato desiderato: H = 2*S/a. Per l'esempio utilizzato sopra, l'altezza abbassata sul lato AB sarà 2*68.815/16.09? 8.55, l'altezza dal lato BC avrà una lunghezza di 2*68.815/20.12? 6.84, e per il lato AC questo valore sarà pari a 2*68.815/7? 19.66.

La pratica dell'esame di stato unificato e dell'esame di stato dell'anno scorso mostra che i problemi di geometria causano difficoltà a molti scolari. Puoi affrontarli facilmente se memorizzi tutte le formule necessarie e ti eserciti a risolvere i problemi.

In questo articolo vedrai le formule per trovare l'area di un trapezio, nonché esempi di problemi con soluzioni. Potresti imbatterti negli stessi nei KIM durante gli esami di certificazione o alle Olimpiadi. Pertanto, trattali con attenzione.

Cosa devi sapere sul trapezio?

Per cominciare, ricordiamocelo trapezio si chiama quadrilatero in cui due lati opposti, detti anche basi, sono paralleli, e gli altri due no.

In un trapezio l'altezza (perpendicolare alla base) può anche essere abbassata. Viene tracciata la linea di mezzo: questa è una linea retta parallela alle basi e uguale alla metà della loro somma. Così come le diagonali che possono intersecarsi formando angoli acuti e ottusi. O, in alcuni casi, ad angolo retto. Inoltre, se il trapezio è isoscele, in esso è inscritto un cerchio. E descrivi un cerchio attorno ad esso.

Formule dell'area del trapezio

Per prima cosa, diamo un'occhiata alle formule standard per trovare l'area di un trapezio. Di seguito considereremo i modi per calcolare l'area degli isoscele e dei trapezi curvilinei.

Quindi, immagina di avere un trapezio con basi a e b, in cui l'altezza h è abbassata alla base maggiore. Calcolare l'area di una figura in questo caso è facile come sgusciare le pere. Devi solo dividere la somma delle lunghezze delle basi per due e moltiplicare il risultato per l'altezza: S = 1/2(a+b)*h.

Prendiamo un altro caso: supponiamo che in un trapezio, oltre all'altezza, ci sia una linea mediana m. Conosciamo la formula per trovare la lunghezza della linea mediana: m = 1/2(a + b). Pertanto, possiamo giustamente semplificare la formula per l'area di un trapezio il seguente tipo: S = m* h. In altre parole, per trovare l'area di un trapezio, devi moltiplicare la linea centrale per l'altezza.

Consideriamo un'altra opzione: il trapezio contiene le diagonali d 1 e d 2, che non si intersecano ad angolo retto α. Per calcolare l'area di un tale trapezio, è necessario dividere il prodotto delle diagonali per due e moltiplicare il risultato per il peccato dell'angolo tra di loro: S= 1/2d 1 d 2 *senα.

Consideriamo ora la formula per trovare l'area di un trapezio se non si sa altro che la lunghezza di tutti i suoi lati: a, b, c e d. Questa è una formula macchinosa e complessa, ma ti sarà utile ricordarla per ogni evenienza: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

A proposito, gli esempi sopra riportati valgono anche nel caso in cui sia necessaria la formula per l'area di un trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, il cui lato confina con le basi ad angolo retto.

Trapezio isoscele

Un trapezio i cui lati sono uguali si dice isoscele. Considereremo diverse opzioni per la formula per l'area di un trapezio isoscele.

Prima opzione: nel caso in cui un cerchio di raggio r sia inscritto in un trapezio isoscele e il lato e la base maggiore formino angolo acutoα. Un cerchio può essere inscritto in un trapezio purché la somma delle lunghezze delle sue basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

L'area di un trapezio isoscele si calcola come segue: moltiplica il quadrato del raggio del cerchio inscritto per quattro e dividi il tutto per sinα: S = 4r 2 /senα. Un'altra formula dell'area è un caso speciale per l'opzione quando l'angolo tra la base grande e il lato è 30 0: S = 8r2.

Seconda opzione: questa volta prendiamo un trapezio isoscele, nel quale sono disegnate in aggiunta le diagonali d 1 e d 2, nonché l'altezza h. Se le diagonali di un trapezio sono tra loro perpendicolari, l'altezza è la metà della somma delle basi: h = 1/2(a + b). Sapendo questo, è facile trasformare la formula per l'area di un trapezio già familiare in questa forma: S = h2.

Formula per l'area di un trapezio curvo

Cominciamo scoprendo cos'è un trapezio curvo. Immagina un asse delle coordinate e un grafico di una funzione continua e non negativa f che non cambia segno all'interno di un dato segmento sull'asse x. Un trapezio curvilineo è formato dal grafico della funzione y = f(x) - in alto, l'asse x è in basso (segmento), e sui lati - linee rette tracciate tra i punti a e b e il grafico di la funzione.

È impossibile calcolare l'area di una figura così non standard utilizzando i metodi sopra indicati. Qui devi candidarti analisi matematica e utilizzare l'integrale. Vale a dire: la formula di Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In questa formula, F è l'antiderivativa della nostra funzione sul segmento selezionato. E l'area di un trapezio curvilineo corrisponde all'incremento della primitiva su un dato segmento.

Problemi di esempio

Per rendere tutte queste formule più facili da comprendere nella tua testa, ecco alcuni esempi di problemi per trovare l'area di un trapezio. Sarebbe meglio se prima provassi a risolvere i problemi da solo e solo allora confrontassi la risposta che riceverai con la soluzione già pronta.

Compito n. 1: Dato un trapezio. La sua base più grande è di 11 cm, quella più piccola è di 4 cm. Il trapezio ha le diagonali, una lunga 12 cm, la seconda 9 cm.

Soluzione: costruire un trapezio AMRS. Traccia una linea retta РХ passante per il vertice P in modo che sia parallela alla diagonale MC e intersechi la retta AC nel punto X. Otterrai un triangolo APХ.

Considereremo due figure ottenute come risultato di queste manipolazioni: triangolo APX e parallelogramma CMRX.

Grazie al parallelogramma apprendiamo che PX = MC = 12 cm e CX = MR = 4 cm. Da dove possiamo calcolare il lato AX del triangolo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Possiamo anche dimostrare che il triangolo APX è rettangolo (per fare ciò applichiamo il teorema di Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). E calcola la sua area: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Successivamente dovrai dimostrare che i triangoli AMP e PCX hanno la stessa area. La base sarà l'uguaglianza delle parti MR e CX (già dimostrata sopra). E anche le altezze che abbassi su questi lati sono uguali all'altezza del trapezio AMRS.

Tutto ciò ti permetterà di dire che S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Compito n. 2:È dato il trapezio KRMS. Sui suoi lati laterali ci sono i punti O ed E, mentre OE e KS sono paralleli. È anche noto che le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5. RM = a e KS = b. Devi trovare OE.

Soluzione: traccia una linea parallela a RK passante per il punto M, e designa il punto della sua intersezione con OE come T. A è il punto di intersezione di una linea tracciata attraverso il punto E parallela a RK con la base KS.

Introduciamo un'altra notazione: OE = x. E anche l'altezza h 1 per il triangolo TME e l'altezza h 2 per il triangolo AEC (puoi dimostrare indipendentemente la somiglianza di questi triangoli).

Supponiamo che b > a. Le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5, il che ci dà il diritto di creare la seguente equazione: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Trasformiamo e otteniamo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Poiché i triangoli TME e AEC sono simili, abbiamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combiniamo entrambe le voci e otteniamo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Pertanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusione

La geometria non è la scienza più semplice, ma puoi sicuramente affrontare le domande dell'esame. Basta mostrare un po' di perseveranza nella preparazione. E, naturalmente, ricorda tutte le formule necessarie.

Abbiamo provato a raccogliere tutte le formule per calcolare l'area di un trapezio in un unico posto in modo che tu possa usarle quando ti prepari per gli esami e ripassi il materiale.

Assicurati di parlare di questo articolo ai tuoi compagni di classe e ai tuoi amici. reti sociali. Che ci siano più buoni voti per l'Esame di Stato Unificato e per gli Esami di Stato!

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