Moltiplicazione di numeri con segni diversi (6a elementare). Frazioni

In questo articolo ci occuperemo di moltiplicando i numeri con segni diversi . Qui formuleremo prima la regola per moltiplicare i numeri positivi e negativi, la giustificheremo e quindi considereremo l'applicazione di questa regola quando risolviamo gli esempi.

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Regola per moltiplicare numeri con segni diversi

La moltiplicazione di un numero positivo per un numero negativo, nonché di un numero negativo per un numero positivo, viene eseguita come segue: la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi: per moltiplicare numeri con segni diversi, è necessario moltiplicare e anteporre il segno meno al prodotto risultante.

Scriviamolo questa regola sotto forma di lettera. Per ogni numero reale positivo a e ogni numero reale negativo −b, l'uguaglianza a·(−b)=−(|a|·|b|) , e anche per un numero negativo −a e un numero positivo b l'uguaglianza (−a)·b=−(|a|·|b|) .

La regola per moltiplicare numeri con segni diversi è pienamente coerente con proprietà delle operazioni con numeri reali. Infatti, sulla base di essi è facile dimostrare che per i numeri reali e positivi aeb esiste una catena di uguaglianze della forma a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, il che dimostra che a·(−b) e a·b sono numeri opposti, il che implica l'uguaglianza a·(−b)=−(a·b) . E da ciò consegue la validità della regola di moltiplicazione in questione.

Va notato che la regola indicata per moltiplicare numeri con segni diversi è valida sia per i numeri reali che per i numeri razionali e per gli interi. Ciò deriva dal fatto che le operazioni con numeri razionali e interi hanno le stesse proprietà utilizzate nella dimostrazione precedente.

È chiaro che moltiplicare numeri con segni diversi secondo la regola risultante si riduce a moltiplicare numeri positivi.

Resta solo da considerare esempi di applicazione della regola di moltiplicazione smontata quando si moltiplicano numeri con segni diversi.

Esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi

Consideriamo diverse soluzioni esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Cominciamo con un caso semplice per concentrarci sui passaggi della regola piuttosto che sulla complessità computazionale.

Esempio.

Moltiplicare un numero negativo −4 per numero positivo 5 .

Soluzione.

Secondo la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi, dobbiamo prima moltiplicare i valori assoluti dei fattori originali. Il modulo di −4 è 4 e il modulo di 5 è 5, e moltiplicando i numeri naturali 4 e 5 si ottiene 20. Infine, resta da mettere un segno meno davanti al numero risultante, abbiamo −20. Questo completa la moltiplicazione.

In breve, la soluzione può essere scritta come segue: (−4) 5=−(4 5)=−20.

Risposta:

(−4)·5=−20.

Quando si moltiplicano frazioni con segni diversi, è necessario essere in grado di moltiplicare le frazioni ordinarie, moltiplicare i decimali e le loro combinazioni con numeri naturali e misti.

Esempio.

Moltiplicare i numeri con segni diversi 0, (2) e .

Soluzione.

Convertendo una frazione decimale periodica in una frazione comune, e anche convertendo da un numero misto a una frazione impropria, dal prodotto originale arriveremo al prodotto delle frazioni ordinarie con diversi segni della forma. Questo prodotto, secondo la regola della moltiplicazione dei numeri con segni diversi, è uguale a . Non resta che moltiplicare le frazioni ordinarie tra parentesi, abbiamo .

In questo articolo ci occuperemo di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Qui formuleremo prima la regola per moltiplicare i numeri positivi e negativi, la giustificheremo e quindi considereremo l'applicazione di questa regola quando risolviamo gli esempi.

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Regola per moltiplicare numeri con segni diversi

La moltiplicazione di un numero positivo per un numero negativo, nonché di un numero negativo per un numero positivo, viene eseguita come segue: la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi: per moltiplicare numeri con segni diversi, è necessario moltiplicare e anteporre il segno meno al prodotto risultante.

Scriviamo questa regola in forma di lettera. Per ogni numero reale positivo a e ogni numero reale negativo −b, l'uguaglianza a·(−b)=−(|a|·|b|) , e anche per un numero negativo −a e un numero positivo b l'uguaglianza (−a)·b=−(|a|·|b|) .

La regola per moltiplicare numeri con segni diversi è pienamente coerente con proprietà delle operazioni con numeri reali. Infatti, sulla base di essi è facile dimostrare che per i numeri reali e positivi aeb esiste una catena di uguaglianze della forma a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, il che dimostra che a·(−b) e a·b sono numeri opposti, il che implica l'uguaglianza a·(−b)=−(a·b) . E da ciò consegue la validità della regola di moltiplicazione in questione.

Va notato che la regola indicata per moltiplicare numeri con segni diversi è valida sia per i numeri reali che per numeri razionali e per gli interi. Ciò deriva dal fatto che le operazioni con numeri razionali e interi hanno le stesse proprietà utilizzate nella dimostrazione precedente.

È chiaro che moltiplicare numeri con segni diversi secondo la regola risultante si riduce a moltiplicare numeri positivi.

Resta solo da considerare esempi di applicazione della regola di moltiplicazione smontata quando si moltiplicano numeri con segni diversi.

Esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi

Consideriamo diverse soluzioni esempi di moltiplicazione di numeri con segni diversi. Cominciamo con un caso semplice per concentrarci sui passaggi della regola piuttosto che sulla complessità computazionale.

Moltiplica il numero negativo −4 per il numero positivo 5.

Secondo la regola per moltiplicare i numeri con segni diversi, dobbiamo prima moltiplicare i valori assoluti dei fattori originali. Il modulo −4 è uguale a 4 e il modulo 5 è uguale a 5 e la moltiplicazione numeri naturali 4 e 5 danno 20. Infine, resta da mettere un segno meno davanti al numero risultante, abbiamo −20. Questo completa la moltiplicazione.

In breve, la soluzione può essere scritta come segue: (−4) 5=−(4 5)=−20.

(−4)·5=−20.

Quando si moltiplicano frazioni con segni diversi, è necessario essere in grado di moltiplicare le frazioni ordinarie, moltiplicare i decimali e le loro combinazioni con numeri naturali e misti.

Moltiplicare i numeri con segni diversi 0, (2) e.

Effettuata la conversione di una frazione decimale periodica in frazione ordinaria, ed effettuato anche il passaggio da numero misto a frazione impropria, dal prodotto originario arriveremo al prodotto di frazioni ordinarie con segni della forma diversi . Questo prodotto è uguale alla regola per moltiplicare numeri con segni diversi. Non resta che moltiplicare le frazioni ordinarie tra parentesi, abbiamo .

.

Separatamente, vale la pena menzionare la moltiplicazione di numeri con segni diversi, quando lo sono uno o entrambi i fattori

Ora occupiamoci di moltiplicazione e divisione.

Diciamo che dobbiamo moltiplicare +3 per -4. Come farlo?

Consideriamo un caso del genere. Tre persone si sono indebitate e ciascuna aveva 4 dollari di debito. Qual è il debito totale? Per trovarlo devi sommare tutti e tre i debiti: 4 dollari + 4 dollari + 4 dollari = 12 dollari. Abbiamo deciso che la somma dei tre numeri 4 viene indicata come 3x4. Poiché in questo caso si parla di debito, prima del 4 è presente il segno “-”. Sappiamo che il debito totale è pari a 12$, quindi il nostro problema ora diventa 3x(-4)=-12.

Otterremo lo stesso risultato se, secondo il problema, ciascuna delle quattro persone ha un debito di 3$. In altre parole, (+4)x(-3)=-12. E poiché l'ordine dei fattori non ha importanza, otteniamo (-4)x(+3)=-12 e (+4)x(-3)=-12.

Riassumiamo i risultati. Quando moltiplichi un numero positivo e un numero negativo, il risultato sarà sempre un numero negativo. Il valore numerico della risposta sarà lo stesso del caso dei numeri positivi. Prodotto (+4)x(+3)=+12. La presenza del segno “-” influisce solo sul segno, ma non influisce sul valore numerico.

Come moltiplicare due numeri negativi?

Sfortunatamente, è molto difficile trovare un esempio di vita reale adeguato su questo argomento. È facile immaginare un debito di 3 o 4 dollari, ma è assolutamente impossibile immaginare -4 o -3 persone che si siano indebitate.

Forse andremo in una direzione diversa. Nella moltiplicazione, quando cambia il segno di uno dei fattori, cambia il segno del prodotto. Se cambiamo i segni di entrambi i fattori, dobbiamo cambiare due volte marchio di lavoro, prima da positivo a negativo, e poi viceversa, da negativo a positivo, cioè il prodotto avrà un segno iniziale.

Pertanto è abbastanza logico, anche se un po' strano, che (-3) x (-4) = +12.

Posizione del segno una volta moltiplicato cambia in questo modo:

• numero positivo x numero positivo = numero positivo;
• un numero negativo x numero positivo = numero negativo;
• numero positivo x numero negativo = numero negativo;
• numero negativo x numero negativo = numero positivo.

In altre parole, moltiplicando due numeri con lo stesso segno otteniamo un numero positivo. Moltiplicando due numeri con segni diversi otteniamo un numero negativo.

La stessa regola vale per l'azione opposta alla moltiplicazione - per.

Puoi verificarlo facilmente eseguendo operazioni di moltiplicazione inversa. In ciascuno degli esempi precedenti, se moltiplichi il quoziente per il divisore, otterrai il dividendo e ti assicurerai che abbia lo stesso segno, ad esempio (-3)x(-4)=(+12).

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Questo articolo fornisce una panoramica dettagliata dividere numeri con segni diversi. Innanzitutto viene fornita la regola per dividere i numeri con segni diversi. Di seguito sono riportati esempi di divisione dei numeri positivi per negativi e dei numeri negativi per positivi.

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Regola per dividere i numeri con segni diversi

Nell'articolo divisione dei numeri interi è stata ottenuta una regola per dividere i numeri interi con segni diversi. Può essere esteso sia ai numeri razionali che ai numeri reali ripetendo tutto il ragionamento dell'articolo precedente.

COSÌ, regola per dividere i numeri con segni diversi ha la seguente formulazione: per dividere un numero positivo per uno negativo o un numero negativo per uno positivo, è necessario dividere il dividendo per il modulo del divisore e anteporre il segno meno al numero risultante.

Scriviamo questa regola di divisione usando le lettere. Se i numeri a e b hanno segni diversi la formula è valida a:b=−|a|:|b| .

Dalla regola indicata è chiaro che il risultato della divisione di numeri con segni diversi è un numero negativo. Infatti, poiché il modulo del dividendo e il modulo del divisore sono numeri positivi, il loro quoziente è un numero positivo e il segno meno rende questo numero negativo.

Si noti che la regola considerata riduce la divisione dei numeri con segno diverso alla divisione dei numeri positivi.

Puoi dare un'altra formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi: per dividere il numero a per il numero b, devi moltiplicare il numero a per il numero b −1, l'inverso del numero b. Questo è, a:b=a b −1 .

Questa regola può essere utilizzata quando è possibile andare oltre l'insieme degli interi (poiché non tutti gli interi hanno un inverso). In altre parole, si applica sia all’insieme dei numeri razionali che a quello dei numeri reali.

È chiaro che questa regola per dividere i numeri con segni diversi ti consente di passare dalla divisione alla moltiplicazione.

La stessa regola viene utilizzata quando si dividono i numeri negativi.

Resta da considerare come viene applicata questa regola per dividere i numeri con segni diversi durante la risoluzione degli esempi.

Esempi di divisione di numeri con segni diversi

Consideriamo le soluzioni per diverse caratteristiche esempi di divisione di numeri con segni diversi comprendere il principio di applicazione delle regole del paragrafo precedente.

Dividi il numero negativo −35 per il numero positivo 7.

La regola per dividere i numeri con segni diversi prescrive di trovare prima i moduli del dividendo e del divisore. Il modulo di −35 è 35 e il modulo di 7 è 7. Ora dobbiamo dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore, cioè dobbiamo dividere 35 per 7. Ricordando come viene eseguita la divisione dei numeri naturali, otteniamo 35:7=5. L'ultimo passaggio rimasto nella regola per dividere i numeri con segni diversi è mettere un meno davanti al numero risultante, abbiamo −5.

Ecco la soluzione completa: .

È stato possibile procedere da una diversa formulazione della regola per dividere i numeri con segni diversi. In questo caso troviamo prima l'inverso del divisore 7. Questo numero è la frazione comune 1/7. Così, . Resta da moltiplicare i numeri con segni diversi: . Ovviamente siamo arrivati ​​allo stesso risultato.

(−35):7=−5 .

Calcolare il quoziente 8:(−60) .

Secondo la regola per dividere i numeri con segni diversi, abbiamo 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . L'espressione risultante corrisponde a una frazione ordinaria negativa (vedi il segno di divisione come una barra di frazione), puoi ridurre la frazione di 4, otteniamo .

Scriviamo brevemente tutta la soluzione: .

.

Quando si dividono numeri razionali frazionari con segni diversi, il loro dividendo e divisore sono solitamente rappresentati come frazioni ordinarie. Ciò è dovuto al fatto che non è sempre conveniente eseguire la divisione con numeri in un'altra notazione (ad esempio in decimale).

Il modulo del dividendo è uguale e il modulo del divisore è 0,(23) . Per dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore passiamo alle frazioni ordinarie.

IN questa lezione Vengono considerate la moltiplicazione e la divisione dei numeri razionali.

Contenuto della lezione

Moltiplicazione dei numeri razionali

Le regole per la moltiplicazione degli interi valgono anche per i numeri razionali. In altre parole, per moltiplicare i numeri razionali bisogna saperlo fare

Inoltre, è necessario conoscere le leggi fondamentali della moltiplicazione, come: la legge commutativa della moltiplicazione, la legge associativa della moltiplicazione, la legge distributiva della moltiplicazione e la moltiplicazione per zero.

Esempio 1. Trova il valore di un'espressione

Questa è la moltiplicazione di numeri razionali con segni diversi. Per moltiplicare i numeri razionali con segni diversi, devi moltiplicare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante.

Per vedere chiaramente che si tratta di numeri con segni diversi, racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni

Il modulo del numero è uguale a e il modulo del numero è uguale a . Dopo aver moltiplicato i moduli risultanti come frazioni positive, abbiamo ricevuto la risposta, ma prima della risposta abbiamo messo un segno meno, come ci richiedeva la regola. Per garantire questo meno prima della risposta, la moltiplicazione dei moduli è stata eseguita tra parentesi, preceduta da un meno.

La soluzione breve è simile alla seguente:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Questa è la moltiplicazione dei numeri razionali negativi. Per moltiplicare i numeri razionali negativi, devi moltiplicare i loro moduli e mettere un segno più davanti alla risposta risultante

Soluzione per questo esempio si può scrivere brevemente:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:

Esempio 5. Trova il valore di un'espressione

Questa è la moltiplicazione di numeri razionali con segni diversi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante

La soluzione breve sembrerà molto più semplice:

Esempio 6. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo il numero misto in una frazione impropria. Riscriviamo il resto così com'è

Abbiamo ottenuto la moltiplicazione dei numeri razionali con segni diversi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante. La voce con i moduli può essere saltata per non ingombrare l'espressione

La soluzione di questo esempio può essere scritta brevemente

Esempio 7. Trova il valore di un'espressione

Questa è la moltiplicazione di numeri razionali con segni diversi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante

Inizialmente la risposta si è rivelata una frazione impropria, ma in essa abbiamo evidenziato l'intera parte. notare che intera parteè stato separato dal modulo della frazione. Il numero misto risultante è stato racchiuso tra parentesi preceduto da un segno meno. Questo viene fatto per garantire che il requisito della regola sia soddisfatto. E la regola prevedeva che la risposta ricevuta fosse preceduta da un meno.

La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:

Esempio 8. Trova il valore di un'espressione

Per prima cosa moltiplichiamo ee moltiplichiamo il numero risultante per il numero rimanente 5. Salteremo la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione.

Risposta: valore espressivo è uguale a −2.

Esempio 9. Trova il significato dell'espressione:

Traduciamo numeri misti alle frazioni improprie:

Abbiamo ottenuto la moltiplicazione dei numeri razionali negativi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno più davanti alla risposta risultante. La voce con i moduli può essere saltata per non ingombrare l'espressione

Esempio 10. Trova il valore di un'espressione

L'espressione è composta da diversi fattori. Secondo la legge associativa della moltiplicazione, se un'espressione è composta da più fattori, il prodotto non dipenderà dall'ordine delle azioni. Ciò ci consente di valutare una determinata espressione in qualsiasi ordine.

Non reinventiamo la ruota, ma calcoliamo questa espressione da sinistra a destra nell'ordine dei fattori. Saltiamo la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione

Terza azione:

Quarta azione:

Risposta: il valore dell'espressione è

Esempio 11. Trova il valore di un'espressione

Ricordiamo la legge della moltiplicazione per zero. Questa legge afferma che un prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Nel nostro esempio uno dei fattori è uguale a zero, quindi senza perdere tempo rispondiamo che il valore dell'espressione è uguale a zero:

Esempio 12. Trova il valore di un'espressione

Il prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero.

Nel nostro esempio uno dei fattori è uguale a zero, quindi senza perdere tempo rispondiamo che il valore dell'espressione è uguale a zero:

Esempio 13. Trova il valore di un'espressione

Puoi utilizzare l'ordine delle azioni e prima calcolare l'espressione tra parentesi e moltiplicare la risposta risultante per una frazione.

Puoi anche utilizzare la legge distributiva della moltiplicazione: moltiplica ciascun termine della somma per una frazione e somma i risultati risultanti. Utilizzeremo questo metodo.

Secondo l'ordine delle operazioni, se un'espressione contiene addizione e moltiplicazione, è necessario eseguire prima la moltiplicazione. Pertanto, nella nuova espressione risultante, mettiamo tra parentesi i parametri che devono essere moltiplicati. In questo modo possiamo vedere chiaramente quali azioni eseguire prima e quali dopo:

Terza azione:

Risposta: valore espressivo equivale

La soluzione per questo esempio può essere scritta molto più breve. Apparirà così:

È chiaro che questo esempio potrebbe essere risolto anche nella propria mente. Pertanto, dovresti sviluppare l'abilità di analizzare un'espressione prima di risolverla. È probabile che possa essere risolto mentalmente e risparmiare molto tempo e nervi. E nei test e negli esami, come sai, il tempo è molto prezioso.

Esempio 14. Trova il valore dell'espressione −4,2 × 3,2

Questa è la moltiplicazione di numeri razionali con segni diversi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante

Nota come sono stati moltiplicati i moduli dei numeri razionali. In questo caso, per moltiplicare i moduli dei numeri razionali, occorrevano .

Esempio 15. Trova il valore dell'espressione −0,15 × 4

Questa è la moltiplicazione di numeri razionali con segni diversi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante

Nota come sono stati moltiplicati i moduli dei numeri razionali. In questo caso, per moltiplicare i moduli dei numeri razionali, era necessario saperlo fare.

Esempio 16. Trova il valore dell'espressione −4,2 × (−7,5)

Questa è la moltiplicazione dei numeri razionali negativi. Moltiplichiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno più davanti alla risposta risultante

Divisione dei numeri razionali

Le regole per la divisione degli interi valgono anche per i numeri razionali. In altre parole, per poter dividere i numeri razionali, bisogna saperlo fare

Altrimenti si utilizzano gli stessi metodi per dividere le frazioni ordinarie e decimali. Per dividere una frazione comune per un'altra frazione, devi moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda frazione.

E dividere decimale per passare ad un'altra frazione decimale, è necessario spostare verso destra la virgola del dividendo e del divisore di tante cifre quante sono dopo la virgola del divisore, quindi eseguire la divisione come con un numero normale.

Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:

Questa è la divisione dei numeri razionali con segni diversi. Per calcolare tale espressione, è necessario moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda.

Quindi moltiplichiamo la prima frazione per il reciproco della seconda.

Abbiamo ottenuto la moltiplicazione dei numeri razionali con segni diversi. E sappiamo già come calcolare tali espressioni. Per fare ciò, moltiplica i moduli di questi numeri razionali e metti un segno meno davanti alla risposta risultante.

Completiamo questo esempio fino alla fine. La voce con i moduli può essere saltata per non ingombrare l'espressione

Quindi il valore dell'espressione è

La soluzione dettagliata è la seguente:

Una soluzione breve sarebbe simile a questa:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Questa è la divisione dei numeri razionali con segni diversi. Per calcolare questa espressione, devi moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda.

Il reciproco della seconda frazione è la frazione . Moltiplichiamo la prima frazione per essa:

Una soluzione breve sarebbe simile a questa:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Questa è la divisione dei numeri razionali negativi. Per calcolare questa espressione, devi nuovamente moltiplicare la prima frazione per il reciproco della seconda.

Il reciproco della seconda frazione è la frazione . Moltiplichiamo la prima frazione per essa:

Abbiamo ottenuto la moltiplicazione dei numeri razionali negativi. Sappiamo già come viene calcolata tale espressione. Devi moltiplicare i moduli dei numeri razionali e mettere un segno più davanti alla risposta risultante.

Concludiamo questo esempio fino alla fine. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

Per calcolare questa espressione, devi moltiplicare il primo numero −3 per la frazione inversa di .

Il reciproco di una frazione è la frazione . Moltiplica il primo numero −3 per esso

Esempio 6. Trova il valore di un'espressione

Per calcolare questa espressione, devi moltiplicare la prima frazione per il numero reciproco del numero 4.

Il reciproco del numero 4 è una frazione. Moltiplica la prima frazione per essa

Esempio 5. Trova il valore di un'espressione

Per calcolare questa espressione, devi moltiplicare la prima frazione per l'inverso di −3

L'inverso di −3 è una frazione. Moltiplichiamo la prima frazione per essa:

Esempio 6. Trova il valore dell'espressione −14.4: 1.8

Questa è la divisione dei numeri razionali con segni diversi. Per calcolare questa espressione, devi dividere il modulo del dividendo per il modulo del divisore e mettere un segno meno prima della risposta risultante.

Nota come il modulo del dividendo è stato diviso per il modulo del divisore. In questo caso, per farlo correttamente, era necessario poterlo fare.

Se non vuoi scherzare con i decimali (e questo accade spesso), allora questi, poi converti questi numeri misti in frazioni improprie, e poi esegui la divisione stessa.

Calcoliamo l'espressione precedente −14.4: 1.8 in questo modo. Convertiamo i decimali in numeri misti:

Ora convertiamo i numeri misti risultanti in frazioni improprie:

Ora puoi eseguire direttamente la divisione, ovvero dividere una frazione per una frazione. Per fare ciò, devi moltiplicare la prima frazione per la frazione inversa della seconda:

Esempio 7. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo la frazione decimale −2,06 in una frazione impropria e moltiplichiamo questa frazione per il reciproco della seconda frazione:

Frazioni multipiano

Spesso puoi imbatterti in un'espressione in cui la divisione delle frazioni è scritta utilizzando una linea di frazione. Ad esempio, l'espressione potrebbe essere scritta come segue:

Qual è la differenza tra le espressioni e ? Non c'è davvero alcuna differenza. Queste due espressioni hanno lo stesso significato e tra di loro può essere posto un segno di uguale:

Nel primo caso il segno di divisione è costituito dai due punti e l'espressione è scritta su una riga. Nel secondo caso, la divisione delle frazioni viene scritta utilizzando una linea di frazione. Il risultato è una frazione che le persone accettano di chiamare multipiano.

Quando incontri tali espressioni a più piani, devi applicare le stesse regole per dividere le frazioni ordinarie. La prima frazione deve essere moltiplicata per il reciproco della seconda.

È estremamente scomodo utilizzare tali frazioni in una soluzione, quindi puoi scriverle in una forma comprensibile utilizzando i due punti anziché la linea frazionaria come segno di divisione.

Ad esempio, scriviamo una frazione a più piani in una forma comprensibile. Per fare ciò, devi prima capire dove si trova la prima frazione e dove si trova la seconda, perché non è sempre possibile farlo correttamente. Le frazioni multipiano hanno diverse linee di frazione che possono creare confusione. La linea di frazione principale, che separa la prima frazione dalla seconda, è solitamente più lunga del resto.

Dopo aver determinato la linea frazionaria principale, puoi facilmente capire dove si trova la prima frazione e dove si trova la seconda:

Esempio 2.

Troviamo la linea di frazione principale (è la più lunga) e vediamo che l'intero −3 è diviso per una frazione comune

E se prendessimo erroneamente la seconda linea frazionaria come principale (quella più breve), si scoprirebbe che stiamo dividendo la frazione per l'intero 5. In questo caso, anche se questa espressione viene calcolata correttamente, il il problema verrà risolto in modo errato, poiché il dividendo in questo caso, il numero è −3 e il divisore è la frazione .

Esempio 3. Scriviamo la frazione multilivello in una forma comprensibile

Troviamo la linea di frazione principale (è la più lunga) e vediamo che la frazione è divisa per l'intero 2

E se prendessimo erroneamente la prima linea frazionaria come quella iniziale (quella più corta), si scoprirebbe che stiamo dividendo il numero intero −5 per la frazione. In questo caso, anche se questa espressione viene calcolata correttamente, il problema verrà risolto in modo errato, poiché il dividendo in questo caso è la frazione e il divisore è l'intero 2.

Nonostante il fatto che sia scomodo lavorare con le frazioni multilivello, le incontreremo molto spesso, soprattutto quando studiamo la matematica superiore.

Naturalmente, sono necessari tempo e spazio aggiuntivi per convertire una frazione a più piani in una forma comprensibile. Pertanto, puoi usarne di più metodo rapido. Questo metodo è conveniente e l'output consente di ottenere un'espressione già pronta in cui la prima frazione è già stata moltiplicata per la frazione reciproca della seconda.

Questo metodo è implementato come segue:

Se, ad esempio, la frazione è a quattro piani, il numero che si trova al primo piano viene elevato all'ultimo piano. E la figura situata al secondo piano viene elevata al terzo piano. I numeri risultanti devono essere collegati con i segni di moltiplicazione (×)

Di conseguenza, saltando la notazione intermedia, otteniamo una nuova espressione in cui la prima frazione è già stata moltiplicata per la frazione reciproca della seconda. Convenienza e basta!

Per evitare errori quando si utilizza questo metodo, è possibile seguire la seguente regola:

Dal primo al quarto. Dal secondo al terzo.

Nella regola stiamo parlando riguardo ai pavimenti. La figura dal primo piano deve essere elevata al quarto piano. E la figura dal secondo piano deve essere portata al terzo piano.

Proviamo a calcolare una frazione a più piani utilizzando la regola sopra.

Quindi alziamo il numero situato dal primo piano al quarto piano e alziamo il numero situato dal secondo piano al terzo piano

Di conseguenza, saltando la notazione intermedia, otteniamo una nuova espressione in cui la prima frazione è già stata moltiplicata per la frazione reciproca della seconda. Successivamente, puoi utilizzare le tue conoscenze esistenti:

Proviamo a calcolare una frazione multilivello utilizzando un nuovo schema.

Ci sono solo il primo, secondo e quarto piano. Non esiste un terzo piano. Ma non ci discostiamo dallo schema di base: innalziamo la figura dal primo al quarto piano. E poiché non esiste il terzo piano, lasciamo così com'è il numero situato al secondo piano

Di conseguenza, aggirando la notazione intermedia, abbiamo ricevuto una nuova espressione in cui il primo numero −3 è già stato moltiplicato per la frazione reciproca del secondo. Successivamente, puoi utilizzare le tue conoscenze esistenti:

Proviamo a calcolare la frazione multipiano utilizzando il nuovo schema.

Ci sono solo il secondo, terzo e quarto piano. Non c'è il primo piano. Poiché non esiste il primo piano, non c'è nulla per salire al quarto piano, ma possiamo alzare la figura dal secondo al terzo:

Di conseguenza, aggirando la notazione intermedia, abbiamo ricevuto una nuova espressione in cui la prima frazione è già stata moltiplicata per l'inverso del divisore. Successivamente, puoi utilizzare le tue conoscenze esistenti:

Utilizzo delle variabili

Se l'espressione è complessa e ti sembra che ti confonderà nel processo di risoluzione del problema, allora parte dell'espressione può essere inserita in una variabile e quindi lavorare con questa variabile.

I matematici lo fanno spesso. Un problema complesso viene suddiviso in sottoattività più semplici e risolto. Quindi le attività secondarie risolte vengono raccolte in un unico insieme. Questo processo creativo e questo è qualcosa che si impara negli anni attraverso un duro allenamento.

L'uso delle variabili è giustificato quando si lavora con frazioni multilivello. Per esempio:

Trova il valore di un'espressione

Quindi, c'è un'espressione frazionaria nel numeratore e nel denominatore di cui espressioni frazionarie. In altre parole, ci troviamo ancora una volta di fronte a una frazione a più piani, che non ci piace tanto.

L'espressione al numeratore può essere inserita in una variabile con qualsiasi nome, ad esempio:

Ma in matematica, in questi casi, è consuetudine denominare le variabili utilizzando le lettere latine maiuscole. Non rompiamo questa tradizione e denotiamo la prima espressione con un big Lettera latina UN

E l'espressione al denominatore può essere denotata dalla lettera maiuscola B

Ora la nostra espressione originale assume la forma . Cioè, abbiamo effettuato una sostituzione espressione numerica ad una lettera, avendo precedentemente inserito il numeratore e il denominatore nelle variabili A e B.

Ora possiamo calcolare separatamente i valori della variabile A e il valore della variabile B. Inseriremo i valori finiti nell'espressione.

Troviamo il valore della variabile UN

Troviamo il valore della variabile B

Ora sostituiamo i loro valori nell'espressione principale al posto delle variabili A e B:

Abbiamo ottenuto una frazione a più piani in cui possiamo utilizzare lo schema “dal primo al quarto, dal secondo al terzo”, cioè aumentare il numero situato dal primo piano al quarto piano, e aumentare quello numero situato dal secondo al terzo piano. Ulteriori calcoli non saranno difficili:

Pertanto, il valore dell'espressione è −1.

Naturalmente abbiamo considerato esempio più semplice, ma il nostro obiettivo era imparare come utilizzare le variabili per semplificarci le cose e ridurre al minimo la possibilità di errori.

Si noti inoltre che la soluzione di questo esempio può essere scritta senza utilizzare variabili. Sembrerà

Questa soluzione è più veloce e più breve, e in questo caso ha più senso scriverla in questo modo, ma se l'espressione risulta essere complessa, composta da più parametri, parentesi, radici e potenze, allora è consigliabile calcolarla in diverse fasi, inserendo parte delle sue espressioni in variabili.

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