दशमलव लघुगणक का व्युत्क्रम. लघुगणक की परिभाषा और उसके गुण: सिद्धांत और समस्या समाधान

अनुपात में

दी गई अन्य दो संख्याओं में से किसी भी तीन संख्या को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। यदि ए और फिर एन दिया गया है, तो वे घातांक द्वारा पाए जाते हैं। यदि N और फिर a को घात x का मूल लेकर (या इसे घात तक बढ़ाकर) दिया जाता है। अब उस मामले पर विचार करें, जब ए और एन दिए जाने पर, हमें एक्स खोजने की जरूरत है।

माना कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है:।

परिभाषा। आधार a पर संख्या N का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या N प्राप्त करने के लिए a को उठाया जाना चाहिए; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है

इस प्रकार, समानता (26.1) में घातांक को आधार a के लघुगणक N के रूप में पाया जाता है। पदों

एक ही अर्थ है. समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मुख्य पहचान कहा जाता है; वास्तव में यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। द्वारा यह परिभाषालघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक और एकता से भिन्न होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में कोई लघुगणक नहीं होता। यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या में एक अच्छी तरह से परिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता आवश्यक है. ध्यान दें कि शर्त यहां आवश्यक है; अन्यथा, निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।

उदाहरण 1. खोजें

समाधान। कोई संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को घात तक बढ़ाना होगा।

ऐसे उदाहरणों को हल करते समय आप निम्नलिखित रूप में नोट्स बना सकते हैं:

उदाहरण 2. खोजें ।

समाधान। हमारे पास है

उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक संख्या का प्रतिनिधित्व करके आसानी से वांछित लघुगणक पाया। सामान्य स्थिति में, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस बयान से जुड़े एक मुद्दे पर ध्यान दें. अनुच्छेद 12 में हमने किसी दिए गए किसी भी वास्तविक डिग्री को निर्धारित करने की संभावना की अवधारणा दी है सकारात्मक संख्या. लघुगणक की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्यतः अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।

आइए लघुगणक के कुछ गुणों पर नजर डालें।

संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार बराबर हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार बराबर हैं।

सबूत। चलो एक लघुगणक की परिभाषा से हमारे पास है और कहाँ से

इसके विपरीत, परिभाषा के अनुसार फिर चलो

गुण 2. किसी भी आधार का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

सबूत। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहाँ से

क्यू.ई.डी.

विपरीत कथन भी सत्य है: यदि, तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास है।

लघुगणक की अगली संपत्ति तैयार करने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों c से बड़े हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से कम है, तो हम कहेंगे कि वे साथ-साथ हैं अलग-अलग पक्षगांव से

गुण 3. यदि संख्या और आधार एक ही तरफ हों, तो लघुगणक धनात्मक होता है; यदि संख्या और आधार एक के विपरीत दिशा में स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।

संपत्ति 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक सकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक नकारात्मक है तो ए की शक्ति एक से अधिक है। एक घात एक से कम है यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक नकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक सकारात्मक है।

विचार करने के लिए चार मामले हैं:

हम उनमें से पहले का विश्लेषण करने तक ही सीमित रहेंगे; बाकी पर पाठक स्वयं विचार करेगा।

मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो नकारात्मक हो सकता है और न ही शून्य के बराबर हो सकता है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जैसा कि सिद्ध किया जाना आवश्यक है।

उदाहरण 3. पता लगाएं कि नीचे दिए गए लघुगणक में से कौन सा सकारात्मक है और कौन सा नकारात्मक है:

समाधान, ए) चूँकि संख्या 15 और आधार 12 एक ही तरफ स्थित हैं;

बी) चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक तरफ स्थित हैं; इस मामले में, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आधार लघुगणकीय संख्या से बड़ा हो;

ग) चूँकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;

जी) ; क्यों?

डी) ; क्यों?

निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानकर, उनमें से प्रत्येक के उत्पाद, भागफल और शक्ति के लघुगणक को खोजने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति 4 (उत्पाद लघुगणक नियम)। किसी दिए गए आधार पर अनेक धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक योग के बराबरइन संख्याओं के लघुगणक एक ही आधार पर।

सबूत। माना कि दी गई संख्याएँ धनात्मक हैं।

उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम समानता (26.1) लिखते हैं जो लघुगणक को परिभाषित करता है:

यहां से हम ढूंढ लेंगे

पहले और अंतिम भाव के घातांकों की तुलना करने पर, हमें आवश्यक समानता प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो के गुणनफल का लघुगणक नकारात्मक संख्याएँसमझ में आता है, लेकिन इस मामले में हम पाते हैं

सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के निरपेक्ष मानों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

गुण 5 (भागफल का लघुगणक लेने का नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक एक ही आधार पर लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। सबूत। हम लगातार पाते हैं

क्यू.ई.डी.

संपत्ति 6 (शक्ति लघुगणक नियम)। किसी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक लघुगणक के बराबरइस संख्या को घातांक से गुणा किया जाता है।

सबूत। आइए संख्या के लिए मुख्य पहचान (26.1) फिर से लिखें:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। किसी धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल के घातांक से विभाजित मूलांक के लघुगणक के बराबर होता है:

इस परिणाम की वैधता को कैसे और संपत्ति 6 का उपयोग करके कल्पना करके सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 4. आधार a पर लघुगणक लें:

ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);

बी) (ऐसा माना जाता है)।

समाधान, क) इस अभिव्यक्ति में भिन्नात्मक घातों पर जाना सुविधाजनक है:

समानताओं (26.5)-(26.7) के आधार पर, अब हम लिख सकते हैं:

हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर संख्याओं की तुलना में सरल संक्रियाएँ की जाती हैं: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित करते समय, उन्हें घटाया जाता है, आदि।

इसीलिए कंप्यूटिंग अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया जाता है (पैराग्राफ 29 देखें)।

लघुगणक की व्युत्क्रम क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा किसी संख्या के दिए गए लघुगणक से संख्या स्वयं पाई जाती है। मूलतः, पोटेंशिएशन नहीं है विशेष क्रिया: यह आधार को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए आता है ( लघुगणक के बराबरसंख्याएँ)। शब्द "पोटेंशियेशन" को "एक्सपोनेंशियेशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।

पोटेंशिएट करते समय, किसी को लघुगणक के नियमों के विपरीत नियमों का उपयोग करना चाहिए: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलें, आदि। विशेष रूप से, यदि सामने कोई कारक है लघुगणक के चिह्न के, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के चिह्न के तहत घातांक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5. यदि यह ज्ञात हो तो N ज्ञात कीजिए

समाधान। पोटेंशिएशन के अभी बताए गए नियम के संबंध में, हम इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने खड़े कारक 2/3 और 1/3 को इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक में स्थानांतरित करेंगे; हम पाते हैं

अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से प्रतिस्थापित करते हैं:

समानता की इस श्रृंखला में अंतिम भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले भिन्न को हर में अतार्किकता से मुक्त कर दिया (धारा 25)।

गुण 7. यदि आधार एक से बड़ा हो तो बड़ी संख्याइसका लघुगणक बड़ा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक होता है), यदि आधार एक से कम है, तो बड़ी संख्या का लघुगणक छोटा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक बड़ा होता है)।

यह गुण असमानताओं के लघुगणक लेने के नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों पक्ष सकारात्मक हैं:

जब असमानताओं के लघुगणक को एक से बड़े आधार पर लिया जाता है, तो असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, और जब एक से कम आधार पर लघुगणक लिया जाता है, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है (पैराग्राफ 80 भी देखें)।

प्रमाण गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस मामले पर विचार करें जब यदि, तब और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहाँ से

स्थिति इस प्रकार है, पाठक स्वयं ही इसका पता लगा लेगा।

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

x का आधार लघुगणक वह शक्ति है जिस तक x प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।

पदनाम: लॉग ए एक्स = बी, जहां ए आधार है, एक्स तर्क है, बी वह है जो लघुगणक वास्तव में बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ लघुगणक 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहा जाता है। तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем अधिक डिग्रीदो, संख्या जितनी बड़ी होगी.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद करना: लघुगणक एक शक्ति है, जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है। इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंध कहलाते हैं क्षेत्र स्वीकार्य मूल्य (ओडीजेड)। यह पता चलता है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लघुगणक 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। कार्यों के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

आइए अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना देखें। इसमें तीन चरण होते हैं:

आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका न्यूनतम संभव आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;
चर b के लिए समीकरण हल करें: x = a b ;
परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। दशमलव भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य अंशों में बदल दें, तो बहुत कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

हमें उत्तर मिला: 2.

काम। लघुगणक की गणना करें:

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 ⇒ 2 2बी = 2 6 ⇒ 2बी = 6 ⇒ बी = 3;
हमें उत्तर मिला: 3.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒ 2 4बी = 2 0 ⇒ 4बी = 0 ⇒ बी = 0 ;
हमें उत्तर मिला: 0.

काम। लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;
उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

काम। पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

आइए हम यह भी ध्यान दें कि हम स्वयं प्रमुख संख्यावे हमेशा स्वयं की सटीक डिग्री होते हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

x का दशमलव लघुगणक आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलजी एक्स.

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। इसके बारे मेंप्राकृतिक लघुगणक के बारे में.

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e का लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या e को बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स .

कई लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सही मूल्यढूंढना और रिकॉर्ड करना असंभव है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459...

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1 ; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी का प्राकृतिक लघुगणक तर्कसंगत संख्यातर्कहीन. बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉग ए एक्सऔर लॉग करें ए य. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लकड़ी का लट्ठा ए एक्स+लॉग ए य=लॉग ए (एक्स · य);
लकड़ी का लट्ठा ए एक्स− लॉग ए य=लॉग ए (एक्स : य).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: मुख्य बिंदुयहाँ - समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय अभिव्यक्तितब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों की गिनती नहीं की जाती है (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

इसे दिया जाए लघुगणक लॉग ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी≠ 1, समानता सत्य है:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]
विशेष रूप से, यदि हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:
[तस्वीर के लिए कैप्शन]

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र पारंपरिक रूप में बहुत कम पाए जाते हैं संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ. लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

[तस्वीर के लिए कैप्शन]

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

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आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

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बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क में स्थिति की डिग्री का सूचक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह सिर्फ एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

दरअसल, नंबर से क्या होगा बीइतनी घात तक बढ़ाएँ कि संख्या बीइस शक्ति को संख्या देता है ए? यह सही है: आपको यही नंबर मिलेगा ए. इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
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ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

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यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लकड़ी का लट्ठा ए ए= 1 एक लघुगणकीय इकाई है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार पर लघुगणक एइसी से आधार एक के बराबर है।
लकड़ी का लट्ठा ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है. आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

लघुगणकीय अभिव्यक्तियाँ, उदाहरण हल करना। इस लेख में हम लघुगणक को हल करने से संबंधित समस्याओं पर गौर करेंगे। कार्य किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजने का प्रश्न पूछते हैं। ज्ञात हो कि लघुगणक की अवधारणा का उपयोग कई कार्यों में किया जाता है और इसका अर्थ समझना बेहद महत्वपूर्ण है। एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, लघुगणक का उपयोग समीकरणों को हल करते समय, लागू समस्याओं में और कार्यों के अध्ययन से संबंधित कार्यों में भी किया जाता है।

आइए लघुगणक के अर्थ को समझने के लिए उदाहरण दें:

मूल लघुगणकीय पहचान:

लघुगणक के गुण जिन्हें हमेशा याद रखना चाहिए:

*उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है।

* * *

*भागफल (अंश) का लघुगणक गुणनखंडों के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है।

* * *

*डिग्री का लघुगणक उत्पाद के बराबरइसके आधार के लघुगणक द्वारा प्रतिपादक।

* * *

*एक नई नींव में परिवर्तन

* * *

अधिक गुण:

* * *

लघुगणक की गणना का घातांक के गुणों के उपयोग से गहरा संबंध है।

आइए उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करें:

सार इस संपत्ति काइस तथ्य में निहित है कि जब अंश को हर में स्थानांतरित किया जाता है और इसके विपरीत, तो घातांक का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। उदाहरण के लिए:

इस संपत्ति से एक परिणाम:

* * *

किसी घात को घात तक बढ़ाने पर आधार वही रहता है, लेकिन घातांक कई गुना बढ़ जाते हैं।

* * *

जैसा कि आपने देखा, लघुगणक की अवधारणा स्वयं सरल है। मुख्य बात यह है कि आपको अच्छे अभ्यास की आवश्यकता है, जो आपको एक निश्चित कौशल प्रदान करता है। निःसंदेह, सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है। यदि प्राथमिक लघुगणक को परिवर्तित करने का कौशल विकसित नहीं किया गया है, तो सरल कार्यों को हल करते समय आप आसानी से गलती कर सकते हैं।

अभ्यास करें, पहले गणित पाठ्यक्रम के सबसे सरल उदाहरणों को हल करें, फिर अधिक जटिल उदाहरणों की ओर बढ़ें। भविष्य में, मैं निश्चित रूप से दिखाऊंगा कि "डरावने" लघुगणक कैसे हल किए जाते हैं; वे एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल नहीं होंगे, लेकिन वे रुचिकर हैं, उन्हें देखने से न चूकें!

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

लघुगणक की परिभाषा

आधार a पर b का लघुगणक वह घातांक है जिस पर b प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए।

संख्या ईगणित में यह उस सीमा को दर्शाने की प्रथा है जिस तक कोई अभिव्यक्ति प्रयास करती है

संख्या ईहै अपरिमेय संख्या- एक संख्या जो एक के अनुरूप नहीं है, इसे पूर्णांक या भिन्न के रूप में सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है तर्कसंगतसंख्या।

पत्र ई- प्रथम पत्र लैटिन शब्द प्रतिपादक- दिखावा करना, इसलिए गणित में नाम घातीय- घातांक प्रकार्य।

संख्या ईगणित और सभी विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो किसी न किसी तरह से अपनी आवश्यकताओं के लिए गणितीय गणनाओं का उपयोग करते हैं।

लघुगणक. लघुगणक के गुण

परिभाषा: किसी धनात्मक संख्या b का उसके आधार से लघुगणक, c का घातांक होता है, जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को बढ़ाया जाना चाहिए।

मूल लघुगणकीय पहचान:

7) नये आधार पर जाने का फार्मूला:

एलएनए = लॉग ई ए, ई ≈ 2.718…

"लघुगणक" विषय पर समस्याएं और परीक्षण। लघुगणक के गुण"

लघुगणक - महत्वपूर्ण विषयगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा दोहराने के लिए

इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणक पहचान, दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषाएँ जाननी चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार की समस्याएं लघुगणकीय अभिव्यक्तियों की गणना और परिवर्तन से जुड़ी समस्याएं हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों का उपयोग करके उनके समाधान पर विचार करें।

समाधान:लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

समाधान:डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

1) (2 2) लघुगणक 2 5 =(2 लघुगणक 2 5) 2 =5 2 =25

लघुगणक के गुण, सूत्रीकरण और प्रमाण।

लघुगणक की संख्या होती है विशिष्ट गुण. इस लेख में हम मुख्य बातों पर गौर करेंगे लघुगणक के गुण. यहां हम उनके सूत्रीकरण देंगे, लघुगणक के गुणों को सूत्रों के रूप में लिखेंगे, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाएंगे, और लघुगणक के गुणों का प्रमाण भी प्रदान करेंगे।

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लघुगणक, सूत्रों के मूल गुण

याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, आइए कल्पना करें लघुगणक के मूल गुणसूत्रों की सूची के रूप में. में अगला बिंदुहम उनके सूत्रीकरण, साक्ष्य, उपयोग के उदाहरण और आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।

एकता के लघुगणक की संपत्ति: किसी भी a>0, a≠1 के लिए 1=0 लॉग करें।

आधार के बराबर संख्या का लघुगणक: a>0, a≠1 के लिए a a=1 लॉग करें।

आधार की शक्ति के लघुगणक की संपत्ति: लॉग ए एपी =पी, जहां ए>0, ए≠1 और पी कोई वास्तविक संख्या है।

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
और n धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के लघुगणक का गुण: log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0।

भागफल के लघुगणक की संपत्ति:

, जहां a>0, a≠1, x>0, y>0।

किसी संख्या की घात का लघुगणक: log a b p =p·log a |b| , जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।

परिणाम:

, जहां a>0, a≠1, n – प्राकृतिक संख्या, एक से अधिक, b>0.

परिणाम 1:

, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

परिणाम 2:

, a>0 , a≠1 , b>0 , p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, q≠0 , विशेष रूप से b=a के लिए हमारे पास है

गुणों का निरूपण एवं प्रमाण

हम लघुगणक के लिखित गुणों के निर्माण और प्रमाण के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा और उससे निकलने वाली मूल लघुगणकीय पहचान के साथ-साथ डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होते हैं।

आइये शुरू करते हैं एक के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0, a≠1 के लिए। प्रमाण कठिन नहीं है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो साबित करने के लिए समानता लॉग a 1=0 लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है।

आइए हम विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0, लॉग1=0 और।

आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0, a≠1 के लिए। वास्तव में, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 है।

लघुगणक के इस गुण के उपयोग के उदाहरण समानताएं लॉग 5 5=1, लॉग 5.6 5.6 और एलएनई=1 हैं।

लघुगणक के आधार के बराबर किसी संख्या की घात का लघुगणक घातांक के बराबर होता है. लघुगणक का यह गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है लॉग ए एपी =पी, जहां a>0, a≠1 और p - कोई वास्तविक संख्या। यह गुण सीधे लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है। ध्यान दें कि यह आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देता है, यदि आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक चिह्न के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है तो हम लघुगणक की गणना करने वाले लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे;

उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (एक्स वाई)=लॉग ए एक्स+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम किसी उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान के अनुसार a log a x =x और a log a y =y, तो a log a x ·a log a y =x·y. इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x·y, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, समानता सिद्ध की जा रही है।

आइए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और .

किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति को सकारात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के उत्पाद के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (एक्स 1 · एक्स 2 ·…·एक्स एन)= लॉग ए एक्स 1 +लॉग ए एक्स 2 +…+लॉग ए एक्स एन. गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके इस समानता को बिना किसी समस्या के सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल के लघुगणक का गुण प्रपत्र के सूत्र से मेल खाता है , जहां a>0, a≠1, x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता किसी उत्पाद के लघुगणक के सूत्र के साथ-साथ सिद्ध होती है: चूंकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं घात के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। आइए किसी घात के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखें: लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी|, जहां a>0, a≠1, b और p ऐसी संख्याएं हैं कि डिग्री b p समझ में आती है और b p >0।

पहले हम इस गुण को सकारात्मक बी के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति के गुण के कारण, a p·log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p = a p·log a b पर आते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p·log a b।

इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी। फिर बी पी =|बी| पी =(ए लॉग ए |बी|) पी =ए पी·लॉग ए |बी| , जहां से लॉग ए बी पी =पी·लॉग ए |बी| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक की संपत्ति: nवें मूल का लघुगणक मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक द्वारा भिन्न 1/n के गुणनफल के बराबर है, अर्थात, जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, b>0 .

प्रमाण समानता पर आधारित है (भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक बी के लिए मान्य है, और घातांक के लघुगणक की संपत्ति: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

अब आइए साबित करें नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्रदयालु . ऐसा करने के लिए, समानता लॉग सी बी=लॉग ए बी·लॉग सी ए की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक के गुण का उपयोग करना बाकी है: log c a log a b =log a b·log c a . इससे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध होती है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है .

आइए लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और .

नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक में बदलने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। नए लघुगणक आधार पर जाने का सूत्र, कुछ मामलों में, किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

अक्सर प्रयोग किया जाता है विशेष मामलाप्रपत्र के c=b के साथ लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र। इससे पता चलता है कि log a b और log b a परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, .

सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है, जो लघुगणक के मान ज्ञात करने के लिए सुविधाजनक है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना करने के लिए कैसे किया जा सकता है। हमारे पास है . सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक a के नए आधार पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक की तुलना के गुणों को सिद्ध करना बाकी है।

आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1, a 2 >1 और a 1 2 और 0 1 के लिए, log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों के अनुसार, समानताएँ b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 कायम रहनी चाहिए, अर्थात a 1 ≥a 2। तो हम स्थिति 1 2 के विरोधाभास पर आ गए। इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

लघुगणक के मूल गुण

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लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लघुगणक x और लघुगणक y। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

लॉग ए एक्स एन = एन · लॉग ए एक्स ;

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , यानी आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

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एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए कि लघुगणक लॉग a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

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विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

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ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

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काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

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आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

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बुनियादी लघुगणकीय पहचान

एन = लॉग ए ए एन
पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहा जाता है: बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

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ध्यान दें कि लघुगणक 25 64 = लघुगणक 5 8 - हमने केवल लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया है। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

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यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।
1. log a a = 1 एक लघुगणकीय इकाई है। एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।
बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

लघुगणक. लघुगणक के गुण (जोड़ और घटाव)।

लघुगणक के गुणइसकी परिभाषा से अनुसरण करें। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एको उस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है ए एक्स =बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय घातों के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं जोड़, घटाव की क्रियाएँऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लघुगणक पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

लघुगणक जोड़ना और घटाना.

आइए समान आधार वाले दो लघुगणक लें: एक x लॉग करेंऔर एक y लॉग इन करें. फिर जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

जैसा कि हम देखते हैं, लघुगणक का योगउत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक- भागफल का लघुगणक. इसके अलावा, यदि संख्याएँ सच हैं ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1.

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू वही आधार हैं। यदि आधार भिन्न हैं तो ये नियम लागू नहीं होते!

समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ने और घटाने के नियम न केवल बाएँ से दाएँ पढ़े जाते हैं, बल्कि इसके विपरीत भी पढ़े जाते हैं। परिणामस्वरूप, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।

उत्पाद का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ उनके लघुगणक के योग के बराबर होती हैं ; इस प्रमेय की व्याख्या करने पर हमें निम्नलिखित संख्याएँ प्राप्त होती हैं ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:

भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होती हैं। इसे दूसरे तरीके से कहें तो, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और ए ≠ 1, वह:

आइए उपरोक्त प्रमेयों को हल करने के लिए लागू करें उदाहरण:

यदि संख्याएँ एक्सऔर परतो फिर, नकारात्मक हैं उत्पाद लघुगणक सूत्रअर्थहीन हो जाता है. इस प्रकार, यह लिखना मना है:

चूँकि व्यंजक लॉग 2 (-8) और लॉग 2 (-4) बिल्कुल भी परिभाषित नहीं हैं (लघुगणकीय फ़ंक्शन पर= लॉग 2 एक्सकेवल के लिए परिभाषित किया गया है सकारात्मक मूल्यतर्क एक्स).

उत्पाद प्रमेययह न केवल दो के लिए, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी लागू होता है। इसका मतलब यह है कि हर प्राकृतिक के लिए केऔर कोई भी सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,एक्स एनएक पहचान है:

से लघुगणक भागफल प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सामान्य ज्ञान है कि लॉग करें एइसलिए, 1= 0

इसका मतलब है कि समानता है:

दो परस्पर के लघुगणक पारस्परिक संख्याएँ एक ही कारण से केवल संकेत द्वारा एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लघुगणक. लघुगणक के गुण

लघुगणक. लघुगणक के गुण

आइए समानता पर विचार करें. हमें और का मान बताएं और हम इसका मान ज्ञात करना चाहते हैं।

अर्थात्, हम उस प्रतिपादक की तलाश कर रहे हैं जिसके द्वारा हमें इसे प्राप्त करने के लिए कॉक करना होगा।

होने देना एक वेरिएबल कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, तो वेरिएबल्स पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं: o" title='a>o'/> , 1″ title='a1″/>, 0″ title='b>0″ />

यदि हम और का मान जानते हैं, और हमें अज्ञात को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इस उद्देश्य के लिए एक गणितीय ऑपरेशन शुरू किया जाता है, जिसे कहा जाता है लोगारित्म.

हम जो मूल्य लेते हैं उसे खोजने के लिए किसी संख्या का लघुगणकद्वारा आधार :

किसी संख्या का उसके आधार से लघुगणक वह घातांक होता है जिसे प्राप्त करने के लिए उसे बढ़ाया जाना चाहिए।

वह है बुनियादी लघुगणकीय पहचान:

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मूलतः एक गणितीय संकेतन है लघुगणक की परिभाषा.

लघुगणक की गणितीय संक्रिया घातांक की संक्रिया का व्युत्क्रम है, इसलिए लघुगणक के गुणडिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित हैं।

आइए मुख्य सूचीबद्ध करें लघुगणक के गुण:

(o" title='a>o'/>, 1″ title='a1″/>, 0″ title='b>0″/>, 0,

d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

4.

5.

गुणों का निम्नलिखित समूह आपको किसी अभिव्यक्ति के घातांक को लघुगणक के चिह्न के नीचे, या लघुगणक के आधार पर लघुगणक के चिह्न के सामने गुणांक के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है:

6.

7.

8.

9.

सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार वाले लघुगणक से मनमाना आधार वाले लघुगणक की ओर बढ़ने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है नये आधार पर जाने के सूत्र:

10.

12. (संपत्ति 11 से परिणाम)

निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन उनका उपयोग अक्सर लघुगणक समीकरणों को हल करते समय, या लघुगणक वाले अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय किया जाता है:

13.

14.

15.

विशेष स्थितियां:

— दशमलव लघुगणक

— प्राकृतिक

लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाते समय, एक सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है:

1. परिचय दशमलवसामान्य के रूप में.

2. मिश्रित संख्याएँअनुचित भिन्नों के रूप में दर्शाया गया है।

3. हम लघुगणक के आधार पर और लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं।

4. हम सभी लघुगणक को एक ही आधार पर लाने का प्रयास करते हैं।

5. लघुगणक के गुण लागू करें.

आइए लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1.

गणना करें:

आइए सभी घातांकों को सरल बनाएं: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में घटाना है, जिसका आधार घातांक के आधार के समान संख्या है।

==(संपत्ति 7 द्वारा)=(संपत्ति 6 द्वारा) =

आइए उन संकेतकों को प्रतिस्थापित करें जो हमें मूल अभिव्यक्ति में मिले थे। हम पाते हैं:

उत्तर: 5.25

उदाहरण 2. गणना करें:

आइए सभी लघुगणक को आधार 6 तक कम करें (इस मामले में, भिन्न के हर से लघुगणक अंश में "माइग्रेट" हो जाएंगे):

आइए लघुगणक चिह्न के अंतर्गत संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विघटित करें:

आइए गुण 4 और 6 लागू करें:

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें

हम पाते हैं:

उत्तर: 1

लोगारित्म . बुनियादी लघुगणकीय पहचान.

लघुगणक के गुण. दशमलव लघुगणक. प्राकृतिक।

लोगारित्म आधार से धनात्मक संख्या N (बी > 0, बी 1) वह घातांक x है जिससे N प्राप्त करने के लिए b को बढ़ाया जाना चाहिए .

यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है: बी एक्स = एन .

उदाहरण: लॉग 3 81 = 4, चूँकि 3 4 = 81;

लॉग 1/3 27 = – 3, चूँकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:

लघुगणक के मूल गुण।

2) लॉग 1 = 0, चूँकि बी 0 = 1 .

3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:

5) किसी घात का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:

इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: जड़ का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक को मूल की घात से विभाजित करने के बराबर:

6) यदि लघुगणक का आधार एक डिग्री है, तो मान घातांक के व्युत्क्रम को लॉग कविता के रूप में निकाला जा सकता है:

अंतिम दो संपत्तियों को एक में जोड़ा जा सकता है:

7) संक्रमण मापांक सूत्र (अर्थात एक लघुगणक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण):

विशेष मामले में जब एन=एहमारे पास है:

दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. इसे एलजी नामित किया गया है, यानी। लॉग 10 एन= लॉग एन. संख्याओं 10, 100, 1000, के लघुगणक। p क्रमशः 1, 2, 3, … हैं, अर्थात्। बहुत सारे सकारात्मक हैं

इकाइयाँ, एक लघुगणकीय संख्या में एक के बाद कितने शून्य होते हैं। संख्याओं के लघुगणक 0.1, 0.01, 0.001, . p क्रमशः -1, -2, -3, ..., अर्थात् हैं। उतने ही ऋणात्मक होते हैं जितने लघुगणकीय संख्या में एक से पहले शून्य होते हैं (शून्य पूर्णांक सहित)। अन्य संख्याओं के लघुगणक का एक भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांश. संपूर्ण भागलघुगणक कहलाता है विशेषता. व्यावहारिक उपयोग के लिए, दशमलव लघुगणक सबसे सुविधाजनक हैं।

प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक ई. इसे ln द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। लकड़ी का लट्ठा ई एन= लॉग एन. संख्या ईअपरिमेय है, इसका अनुमानित मान 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिस तक संख्या प्रवृत्त होती है (1 + 1 / एन) एनअसीमित वृद्धि के साथ एन(सेमी। पहला अद्भुत सीमा "संख्या अनुक्रम सीमाएँ" पृष्ठ पर)।
यह अजीब लग सकता है, लेकिन प्राकृतिक लघुगणक क्रियान्वित करते समय बहुत सुविधाजनक साबित हुए विभिन्न प्रकारफ़ंक्शन विश्लेषण से संबंधित संचालन। आधार पर लघुगणक की गणना ईकिसी भी अन्य कारण की तुलना में बहुत तेजी से किया गया।

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