संख्या से ln की गणना करें. EXCEL में प्राकृतिक लघुगणक की गणना के लिए LN और LOG कार्य करते हैं

प्राकृतिक लघुगणक, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन एलएन एक्स का प्रतिनिधित्व के मूल गुण दिए गए हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

पर आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है ई:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) सीधी रेखा y = x के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब द्वारा घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक को परिभाषित किया गया है सकारात्मक मूल्यचर एक्स.

यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है। 0 x → पर

प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है।

जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। धनात्मक घातांक वाला कोई भी घात फलन x a लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा कार्य

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

यदि , तो

यदि, तो.

व्युत्पन्न एलएन एक्स
.
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:

सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न
.
अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:

इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक
.
जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें: आइए जटिल चर को व्यक्त करेंजेड मॉड्यूल के माध्यम सेआर φ :
.
और तर्क
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में, एक एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

प्रयुक्त साहित्य:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

बिल्कुल भी बुरा नहीं है, है ना? जबकि गणितज्ञ आपको एक लंबी, भ्रमित करने वाली परिभाषा देने के लिए शब्दों की खोज करते हैं, आइए इस सरल और स्पष्ट परिभाषा पर करीब से नज़र डालें।

संख्या ई का अर्थ है वृद्धि

संख्या ई का अर्थ है निरंतर वृद्धि। जैसा कि हमने पिछले उदाहरण में देखा, ईएक्स हमें ब्याज और समय को जोड़ने की अनुमति देता है: "चक्रवृद्धि ब्याज" मानते हुए, 100% वृद्धि पर 3 वर्ष 300% पर 1 वर्ष के समान है।

आप किसी भी प्रतिशत और समय मान (4 वर्षों के लिए 50%) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, लेकिन सुविधा के लिए प्रतिशत को 100% के रूप में सेट करना बेहतर है (यह 2 वर्षों के लिए 100% हो जाता है)। 100% पर जाकर, हम केवल समय घटक पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं:

ई एक्स = ई प्रतिशत * समय = ई 1.0 * समय = ई समय

जाहिर है ई एक्स का मतलब है:

• समय की x इकाइयों के बाद मेरा योगदान कितना बढ़ेगा (100% निरंतर वृद्धि मानकर)।
• उदाहरण के लिए, 3 समय अंतराल के बाद मुझे ई 3 = 20.08 गुना अधिक "चीज़ें" प्राप्त होंगी।

ई एक्स एक स्केलिंग कारक है जो दर्शाता है कि हम एक्स समय में किस स्तर तक बढ़ेंगे।

प्राकृतिक लघुगणक का अर्थ है समय

प्राकृतिक लघुगणक ई का व्युत्क्रम है, जो विपरीत के लिए एक फैंसी शब्द है। विचित्रताओं की बात हो रही है; लैटिन में इसे लॉगरिदमस नेचुरली कहा जाता है, इसलिए इसका संक्षिप्त नाम ln है।

और इस व्युत्क्रम या विपरीत का क्या अर्थ है?

• ई एक्स हमें समय को प्रतिस्थापित करने और विकास प्राप्त करने की अनुमति देता है।
• ln(x) हमें विकास या आय लेने और इसे उत्पन्न करने में लगने वाले समय का पता लगाने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए:

• ई 3 20.08 के बराबर है। तीन अवधियों के बाद, हमारे पास जितना हमने शुरू किया था उससे 20.08 गुना अधिक होगा।
• एलएन(20.08) लगभग 3 होगा। यदि आप 20.08 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आपको 3 समय अवधि की आवश्यकता होगी (फिर से, 100% निरंतर वृद्धि मानते हुए)।

अभी भी पढ़ रहे हैं? प्राकृतिक लघुगणक वांछित स्तर तक पहुँचने के लिए आवश्यक समय दिखाता है।

यह अमानक लघुगणक गणना

क्या आप लघुगणक से गुज़रे हैं? अजीब जीव. उन्होंने गुणन को जोड़ में बदलने का प्रबंधन कैसे किया? विभाजन को घटाव में बदलने के बारे में क्या? चलो देखते हैं।

ln(1) किसके बराबर है? सहज रूप से, सवाल यह है: मेरे पास जो है उससे 1 गुना अधिक पाने के लिए मुझे कितनी देर तक इंतजार करना चाहिए?

शून्य। शून्य। बिल्कुल नहीं। आपके पास यह पहले से ही एक बार है. लेवल 1 से लेवल 1 तक जाने में ज्यादा समय नहीं लगता।

• लॉग(1) = 0

ठीक है, भिन्नात्मक मान के बारे में क्या? हमारे पास उपलब्ध मात्रा का 1/2 भाग शेष रहने में कितना समय लगेगा? हम जानते हैं कि 100% निरंतर वृद्धि के साथ, ln(2) का मतलब दोगुना होने में लगने वाला समय है। हम अगर आइए समय को पीछे घुमाएँ(यानी, नकारात्मक समय तक प्रतीक्षा करें), फिर हमारे पास जो है उसका आधा हिस्सा हमें मिलेगा।

• एलएन(1/2) = -एलएन(2) = -0.693

तार्किक, सही? यदि हम (समय पीछे) 0.693 सेकंड पर जाएं, तो हमें आधी मात्रा उपलब्ध मिलेगी। सामान्य तौर पर, आप भिन्न को पलट कर ले सकते हैं नकारात्मक मूल्य: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. इसका मतलब यह है कि यदि हम समय में 1.09 गुना पीछे जाएं, तो हमें वर्तमान संख्या का केवल एक तिहाई ही मिलेगा।

ठीक है, ऋणात्मक संख्या के लघुगणक के बारे में क्या? 1 से -3 तक बैक्टीरिया की एक कॉलोनी को "विकसित" होने में कितना समय लगता है?

ऐसा हो ही नहीं सकता! आप नकारात्मक जीवाणु गणना प्राप्त नहीं कर सकते, क्या आप कर सकते हैं? आप अधिकतम (एर...न्यूनतम) शून्य प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे आप इन छोटे क्रिटर्स से ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकें। में ऋणात्मक संख्याबैक्टीरिया का कोई मतलब नहीं है।

• ln(ऋणात्मक संख्या) = अपरिभाषित

"अपरिभाषित" का अर्थ है कि नकारात्मक मान प्राप्त करने के लिए इतना समय नहीं लगाना पड़ेगा।

लघुगणकीय गुणन अत्यंत हास्यास्पद है

चार गुना बढ़ने में कितना समय लगेगा? निःसंदेह, आप केवल ln(4) ले सकते हैं। लेकिन यह बहुत आसान है, हम दूसरे रास्ते पर जायेंगे।

आप चौगुनी वृद्धि को दोगुना करने (ln(2) इकाइयों के समय की आवश्यकता) और फिर दोबारा दोगुनी करने (अन्य ln(2) इकाइयों के समय की आवश्यकता) के रूप में सोच सकते हैं:

• 4 गुना बढ़ने का समय = ln(4) = दोगुना होने और फिर दोगुना होने का समय = ln(2) + ln(2)

दिलचस्प। किसी भी विकास दर, मान लीजिए 20, को 10 गुना वृद्धि के ठीक बाद दोगुना माना जा सकता है। या 4 गुना वृद्धि, और फिर 5 गुना। या तिगुना और फिर 6.666 गुना बढ़ जाना। पैटर्न देखें?

• एलएन(ए*बी) = एलएन(ए) + एलएन(बी)

A गुना B का लघुगणक log(A) + log(B) है। विकास के संदर्भ में देखने पर यह रिश्ता तुरंत समझ में आता है।

यदि आप 30x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आप एक बैठक में ln(30) प्रतीक्षा कर सकते हैं, या तीन गुना के लिए ln(3) प्रतीक्षा कर सकते हैं, और फिर 10x के लिए दूसरी ln(10) प्रतीक्षा कर सकते हैं। अंतिम परिणाम वही है, इसलिए निश्चित रूप से समय स्थिर रहना चाहिए (और ऐसा होता है)।

विभाजन के बारे में क्या? विशेष रूप से, ln(5/3) का अर्थ है: 5 गुना बढ़ने और फिर उसका 1/3 प्राप्त करने में कितना समय लगेगा?

बढ़िया, 5 गुना वृद्धि ln(5) है। 1/3 गुना वृद्धि में -ln(3) इकाई समय लगेगा। इसलिए,

• एलएन(5/3) = एलएन(5) - एलएन(3)

इसका मतलब है: इसे 5 गुना बढ़ने दें, और फिर "समय में पीछे जाएं" उस बिंदु पर जहां उस राशि का केवल एक तिहाई ही बचता है, इसलिए आपको 5/3 वृद्धि मिलती है। सामान्य तौर पर यह पता चला है

• एलएन(ए/बी) = एलएन(ए) - एलएन(बी)

मुझे आशा है कि लघुगणक का अजीब अंकगणित आपको समझ में आने लगा है: विकास दर को गुणा करना विकास समय इकाइयों को जोड़ना बन जाता है, और विभाजित करना समय इकाइयों को घटाना बन जाता है। नियमों को याद रखने की जरूरत नहीं है, उन्हें समझने की कोशिश करें।

मनमानी वृद्धि के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करना

ठीक है, बिल्कुल," आप कहते हैं, "अगर विकास 100% है तो यह सब अच्छा है, लेकिन मुझे जो 5% मिलता है उसका क्या होगा?"

कोई बात नहीं। जिस "समय" की गणना हम ln() से करते हैं वह वास्तव में ब्याज दर और समय का एक संयोजन है, जो कि e x समीकरण से समान X है। हमने सरलता के लिए प्रतिशत को 100% पर सेट करने का निर्णय लिया है, लेकिन हम किसी भी संख्या का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।

मान लीजिए कि हम 30 गुना वृद्धि हासिल करना चाहते हैं: ln(30) लें और 3.4 प्राप्त करें इसका मतलब है:

• ई एक्स = ऊंचाई
• ई 3.4 = 30

जाहिर है, इस समीकरण का अर्थ है "3.4 वर्षों में 100% रिटर्न 30 गुना वृद्धि देता है।" हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

• ई एक्स = ई दर*समय
• ई 100% * 3.4 वर्ष = 30

हम "शर्त" और "समय" के मूल्यों को बदल सकते हैं, जब तक कि शर्त * का समय 3.4 रहता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 30 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो हमें 5% की ब्याज दर पर कब तक इंतजार करना होगा?

• एलएन(30) = 3.4
• दर * समय = 3.4
• 0.05 * समय = 3.4
• समय = 3.4 / 0.05 = 68 वर्ष

मेरा तर्क इस प्रकार है: "एलएन(30) = 3.4, इसलिए 100% वृद्धि पर 3.4 वर्ष लगेंगे। यदि मैं विकास दर को दोगुना कर दूं, तो आवश्यक समय आधा हो जाएगा।"

• 3.4 वर्षों के लिए 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 वर्ष में 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 वर्षों के लिए 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 वर्ष से अधिक 5% = .05 * 68 = 3.4.

बढ़िया, है ना? प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किसी भी ब्याज दर और समय के साथ किया जा सकता है क्योंकि उनका उत्पाद स्थिर रहता है। आप वैरिएबल मानों को जितना चाहें उतना स्थानांतरित कर सकते हैं।

बढ़िया उदाहरण: बहत्तर का नियम

बहत्तर-दो का नियम एक गणितीय तकनीक है जो आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि आपका पैसा दोगुना होने में कितना समय लगेगा। अब हम इसका निष्कर्ष निकालेंगे (हाँ!), और इसके अलावा, हम इसके सार को समझने की कोशिश करेंगे।

100% सालाना चक्रवृद्धि ब्याज पर आपका पैसा दोगुना होने में कितना समय लगेगा?

उफ़. हमने निरंतर वृद्धि के मामले के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया, और अब आप वार्षिक चक्रवृद्धि के बारे में बात कर रहे हैं? क्या यह फार्मूला ऐसे मामले के लिए अनुपयुक्त नहीं हो जाएगा? हां, यह होगा, लेकिन 5%, 6% या यहां तक ​​कि 15% जैसी वास्तविक ब्याज दरों के लिए, वार्षिक चक्रवृद्धि और निरंतर वृद्धि के बीच का अंतर छोटा होगा। तो मोटा अनुमान काम करता है, उम, मोटे तौर पर, इसलिए हम दिखावा करेंगे कि हमारे पास पूरी तरह से निरंतर संचय है।

अब प्रश्न सरल है: आप 100% वृद्धि के साथ कितनी जल्दी दोगुना हो सकते हैं? एलएन(2) = 0.693. 100% की निरंतर वृद्धि के साथ हमारी राशि को दोगुना करने में 0.693 यूनिट समय (हमारे मामले में वर्ष) लगता है।

तो, क्या होगा यदि ब्याज दर 100% नहीं है, बल्कि 5% या 10% है?

आसानी से! चूंकि शर्त * समय = 0.693, हम राशि दोगुनी कर देंगे:

• दर * समय = 0.693
• समय = 0.693/शर्त

इससे पता चलता है कि यदि वृद्धि 10% है, तो इसे दोगुना होने में 0.693 / 0.10 = 6.93 वर्ष लगेंगे।

गणना को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें, फिर हम "0.10" के बजाय "10" कह सकते हैं:

• दोगुना होने का समय = 69.3/शर्त, जहां शर्त को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अब 5% की दर से दोगुना होने का समय है, 69.3/5 = 13.86 वर्ष। हालाँकि, 69.3 सबसे सुविधाजनक लाभांश नहीं है। आइए एक करीबी संख्या 72 चुनें, जिसे 2, 3, 4, 6, 8 और अन्य संख्याओं से विभाजित करना सुविधाजनक है।

• दोगुना करने का समय = 72/शर्त

जो बहत्तर का नियम है. सब कुछ ढका हुआ है.

यदि आपको तिगुना होने का समय ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आप ln(3) ~109.8 का उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

• तिगुना करने का समय = 110/शर्त

दूसरा क्या है उपयोगी नियम. "72 का नियम" ऊंचाई पर लागू होता है ब्याज दरें, जनसंख्या वृद्धि, जीवाणु संस्कृतियाँ, और वह सब कुछ जो तेजी से बढ़ता है।

आगे क्या होगा?

मुझे आशा है कि प्राकृतिक लघुगणक अब आपको समझ में आ गया है - यह किसी भी संख्या को तेजी से बढ़ने में लगने वाले समय को दर्शाता है। मुझे लगता है कि इसे प्राकृतिक कहा जाता है क्योंकि यह विकास का एक सार्वभौमिक उपाय है, इसलिए इस पर विचार किया जा सकता है सार्वभौमिक तरीके सेयह निर्धारित करना कि इसे बढ़ने में कितना समय लगेगा।

हर बार जब आप ln(x) देखें, तो याद रखें "इसे X गुना बढ़ने में लगने वाला समय"। आगामी लेख में मैं ई और एलएन का एक साथ वर्णन करूंगा ताकि गणित की ताज़ा खुशबू हवा में भर जाए।

परिशिष्ट: ई का प्राकृतिक लघुगणक

त्वरित प्रश्नोत्तरी: एलएन(ई) क्या है?

• एक गणित रोबोट कहेगा: चूँकि उन्हें एक दूसरे के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, यह स्पष्ट है कि ln(e) = 1।
• समझने वाला व्यक्ति: ln(e) वह संख्या है जो "e" गुना (लगभग 2.718) बढ़ने में लगती है। हालाँकि, संख्या e स्वयं 1 के कारक द्वारा वृद्धि का माप है, इसलिए ln(e) = 1।

स्पष्टता से सोचो.

9 सितंबर 2013

लोगारित्मकिसी दी गई संख्या का वह घातांक कहलाता है जिससे दूसरी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए, कहा जाता है आधारइस संख्या को प्राप्त करने के लिए लघुगणक. उदाहरण के लिए, 100 का आधार 10 लघुगणक 2 है। दूसरे शब्दों में, 100 प्राप्त करने के लिए 10 का वर्ग करना होगा (10 2 = 100)। अगर एन- एक दी गई संख्या, बी– आधार और एल- फिर लघुगणक बी एल = एन. संख्या एनइसे बेस एंटीलोगारिथ्म भी कहा जाता है बीनंबर एल. उदाहरण के लिए, 2 से आधार 10 का प्रतिलघुगणक 100 के बराबर है। इसे संबंध लॉग के रूप में लिखा जा सकता है बी एन = एलऔर एंटीलॉग बी एल = एन.

लघुगणक के मूल गुण:

कोई सकारात्मक संख्या, एकता को छोड़कर, लघुगणक के आधार के रूप में कार्य कर सकता है, लेकिन, दुर्भाग्य से, यह पता चला है कि यदि बीऔर एनपरिमेय संख्याएँ हैं, तो दुर्लभ मामलों में ऐसी कोई परिमेय संख्या होती है एल, क्या बी एल = एन. हालाँकि, एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित करना संभव है एल, उदाहरण के लिए, जैसे कि 10 एल= 2; यह एक अपरिमेय संख्या है एलकिसी भी आवश्यक सटीकता के साथ अनुमान लगाया जा सकता है भिन्नात्मक संख्याएं. यह दिए गए उदाहरण से पता चलता है एललगभग 0.3010 के बराबर है, और 2 के आधार 10 लघुगणक का यह अनुमान चार अंकों की तालिकाओं में पाया जा सकता है दशमलव लघुगणक. आधार 10 लघुगणक (या आधार 10 लघुगणक) का उपयोग गणना में इतना सामान्यतः किया जाता है कि उन्हें कहा जाता है साधारणलघुगणक और लघुगणक के आधार के स्पष्ट संकेत को छोड़कर, log2 = 0.3010 या log2 = 0.3010 के रूप में लिखा जाता है। आधार के लिए लघुगणक ई, लगभग 2.71828 के बराबर एक पारलौकिक संख्या कहलाती है प्राकृतिकलघुगणक. वे मुख्य रूप से कार्यों में पाए जाते हैं गणितीय विश्लेषणऔर विभिन्न विज्ञानों में इसके अनुप्रयोग। प्राकृतिक लघुगणक भी आधार को स्पष्ट रूप से इंगित किए बिना लिखे जाते हैं, लेकिन विशेष संकेतन ln का उपयोग करते हुए: उदाहरण के लिए, ln2 = 0.6931, क्योंकि ई 0,6931 = 2.

साधारण लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करना।

किसी संख्या का नियमित लघुगणक एक घातांक होता है जिसमें दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए 10 को बढ़ाया जाना चाहिए। चूँकि 10 0 = 1, 10 1 = 10 और 10 2 = 100, हमें तुरंत पता चलता है कि लॉग1 = 0, लॉग10 = 1, लॉग100 = 2, आदि। पूर्णांक घातों को बढ़ाने के लिए 10. इसी प्रकार, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 और इसलिए log0.1 = -1, log0.01 = -2, आदि। सभी पूर्णांकों के लिए नकारात्मक शक्तियां 10. शेष संख्याओं के सामान्य लघुगणक संख्या 10 की निकटतम पूर्णांक घातों के लघुगणक के बीच समाहित होते हैं; log2 0 और 1 के बीच होना चाहिए, log20 1 और 2 के बीच होना चाहिए, और log0.2 -1 और 0 के बीच होना चाहिए। इस प्रकार, लघुगणक में दो भाग होते हैं, एक पूर्णांक और दशमलव, 0 और 1 के बीच संलग्न पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषतालघुगणक और संख्या से ही निर्धारित होता है, भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांशऔर तालिकाओं से पाया जा सकता है। साथ ही, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 का लघुगणक 0.3010 है, इसलिए log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010। इसी प्रकार, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. घटाने के बाद, हमें log0.2 = – 0.6990 मिलता है। हालाँकि, log0.2 को 0.3010 - 1 या 9.3010 - 10 के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है; तैयार किया जा सकता है और सामान्य नियम: किसी दी गई संख्या को 10 की घात से गुणा करने पर प्राप्त सभी संख्याओं का एक ही मंटिसा होता है, जो दी गई संख्या के मंटिसा के बराबर होता है। अधिकांश तालिकाएँ 1 से 10 तक की संख्याओं के मंटिसा को दर्शाती हैं, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं के मंटिसा को तालिका में दिए गए संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।

अधिकांश तालिकाएँ चार या पाँच दशमलव स्थानों के साथ लघुगणक देती हैं, हालाँकि सात अंकों की तालिकाएँ और इससे भी अधिक दशमलव स्थानों वाली तालिकाएँ हैं। ऐसी तालिकाओं का उपयोग करना सीखने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों से है। लॉग3.59 को खोजने के लिए, सबसे पहले, हम ध्यान दें कि संख्या 3.59 10 0 और 10 1 के बीच समाहित है, इसलिए इसकी विशेषता 0 है। हम तालिका में संख्या 35 (बाईं ओर) पाते हैं और पंक्ति के साथ चलते हैं वह स्तंभ जिसके शीर्ष पर संख्या 9 है; इस स्तंभ और पंक्ति 35 का प्रतिच्छेदन 5551 है, इसलिए लॉग3.59 = 0.5551। चार वाली संख्या का मंटिसा ज्ञात करना महत्वपूर्ण लोग, प्रक्षेप का सहारा लेना आवश्यक है। कुछ तालिकाओं में, तालिकाओं के प्रत्येक पृष्ठ के दाईं ओर अंतिम नौ स्तंभों में दिए गए अनुपात से प्रक्षेप की सुविधा होती है। आइए अब log736.4 खोजें; संख्या 736.4 10 2 और 10 3 के बीच स्थित है, इसलिए इसके लघुगणक की विशेषता 2 है। तालिका में हमें बाईं ओर एक पंक्ति मिलती है जिसके बाईं ओर 73 और स्तंभ 6 है। इस पंक्ति और इस स्तंभ के चौराहे पर है संख्या 8669। रैखिक भागों में हम स्तंभ 4 पाते हैं। पंक्ति 73 और स्तंभ 4 के प्रतिच्छेदन पर संख्या 2 है। 8669 में 2 जोड़ने पर, हमें मंटिसा मिलता है - यह 8671 के बराबर है। इस प्रकार, लॉग736.4 = 2.8671.

प्राकृतिक लघुगणक.

तालिकाएँ और गुण प्राकृतिक लघुगणकसामान्य लघुगणक की तालिकाओं और गुणों के समान हैं। दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि प्राकृतिक लघुगणक का पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु की स्थिति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण नहीं है, और इसलिए मंटिसा और विशेषता के बीच का अंतर कोई विशेष भूमिका नहीं निभाता है। संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक 5.432; 54.32 और 543.2 क्रमशः 1.6923 के बराबर हैं; 3.9949 और 6.2975. यदि हम उनके बीच के अंतरों पर विचार करें तो इन लघुगणक के बीच संबंध स्पष्ट हो जाएगा: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; अंतिम संख्यासंख्या 10 के प्राकृतिक लघुगणक से अधिक कुछ नहीं है (इस तरह लिखा गया है: ln10); लॉग543.2 - लॉग5.432 = 4.6052; अंतिम संख्या 2ln10 है. लेकिन 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा एआप संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं, उत्पादों के बराबरनंबर एकिसी भी डिग्री के लिए एनसंख्या 10 यदि एल.एन ए ln10 को गुणा करके जोड़ें एन, यानी एलएन( एґ10एन) = लॉग ए + एनएलएन10 = एलएन ए + 2,3026एन. उदाहरण के लिए, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. इसलिए, सामान्य लघुगणक की तालिकाओं की तरह, प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं में आमतौर पर केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक होते हैं। प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली में, कोई एंटीलघुगणक के बारे में बात कर सकता है, लेकिन अधिक बार वे इसके बारे में बात करते हैं घातांक प्रकार्यया प्रदर्शक के बारे में. अगर एक्स= लॉग य, वह य = पूर्व, और यका प्रतिपादक कहा जाता है एक्स(टाइपोग्राफ़िक सुविधा के लिए, वे अक्सर लिखते हैं य= ऍक्स्प एक्स). घातांक संख्या के प्रतिलघुगणक की भूमिका निभाता है एक्स.

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करके, आप 10 और के अलावा किसी भी आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं ई. यदि लॉग करें बी ० ए = एक्स, वह बी एक्स = ए, और इसलिए लॉग करें सी बी एक्स=लॉग सी एया एक्सलकड़ी का लट्ठा सी बी=लॉग सी ए, या एक्स=लॉग सी ए/लकड़ी का लट्ठा सी बी=लॉग बी ० ए. इसलिए, आधार लघुगणक तालिका से इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करें सीआप किसी अन्य आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं बी. गुणक 1/लॉग सी बीबुलाया संक्रमण मॉड्यूलआधार से सीआधार तक बी. उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करने या लघुगणक की एक प्रणाली से दूसरे में संक्रमण करने, सामान्य लघुगणक की तालिका से प्राकृतिक लघुगणक खोजने या विपरीत संक्रमण करने से कुछ भी नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, लॉग105.432 = लॉग ई 5.432/लॉग ई 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350। संख्या 0.4343, जिससे एक साधारण लघुगणक प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए संख्या के प्राकृतिक लघुगणक को गुणा किया जाना चाहिए, सामान्य लघुगणक की प्रणाली में संक्रमण का मापांक है।

विशेष टेबल.

लघुगणक का आविष्कार मूल रूप से इसलिए किया गया था ताकि, उनके गुणों का उपयोग करके लॉग किया जा सके अब=लॉग ए+ लॉग बीऔर लॉग करें ए/बी=लॉग ए-लकड़ी का लट्ठा बी, गुणनफल को योग में और भागफल को अंतर में बदलें। दूसरे शब्दों में, यदि लॉग एऔर लॉग करें बीज्ञात हैं, तो जोड़ और घटाव का उपयोग करके हम उत्पाद और भागफल का लघुगणक आसानी से पा सकते हैं। हालाँकि, खगोल विज्ञान में, अक्सर लॉग के मान दिए जाते हैं एऔर लॉग करें बीलॉग ढूंढने की आवश्यकता है( ए + बी) या लॉग( ए – बी). निःसंदेह, कोई भी सबसे पहले लघुगणक की तालिकाओं से पता लगा सकता है एऔर बी, फिर संकेतित जोड़ या घटाव करें और, फिर से तालिकाओं की ओर मुड़कर, आवश्यक लघुगणक खोजें, लेकिन ऐसी प्रक्रिया के लिए तालिकाओं को तीन बार संदर्भित करने की आवश्यकता होगी। 1802 में जेड लियोनेली ने तथाकथित की तालिकाएँ प्रकाशित कीं। गाऊसी लघुगणक- योगों और अंतरों को जोड़ने के लिए लघुगणक - जिससे स्वयं को तालिकाओं तक एक पहुंच तक सीमित करना संभव हो गया।

1624 में, आई. केप्लर ने आनुपातिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रस्तावित कीं, अर्थात्। संख्याओं के लघुगणक ए/एक्स, कहाँ ए– कुछ सकारात्मक स्थिरांक मान. इन तालिकाओं का उपयोग मुख्य रूप से खगोलविदों और नाविकों द्वारा किया जाता है।

आनुपातिक लघुगणक पर ए=1 कहलाते हैं लघुगणक द्वाराऔर गणना में उपयोग किया जाता है जब किसी को उत्पादों और भागफल से निपटना होता है। किसी संख्या का कोलोगैरिथ्म एन लघुगणक के बराबर पारस्परिक संख्या; वे। कोलॉग एन= लॉग1/ एन= – लॉग एन. यदि log2 = 0.3010, तो colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. कोलोगारिथ्म का उपयोग करने का लाभ यह है कि जैसे भावों के लघुगणक के मान की गणना करते समय पीक्यू/मॉड्यूल के माध्यम सेधनात्मक दशमलव का तिगुना योग लॉग करें पी+ लॉग क्यू+कोलॉग मॉड्यूल के माध्यम सेमिश्रित योग और अंतर लॉग की तुलना में इसे खोजना आसान है पी+ लॉग क्यू-लकड़ी का लट्ठा मॉड्यूल के माध्यम से.

कहानी।

लघुगणक की किसी भी प्रणाली के अंतर्निहित सिद्धांत को बहुत लंबे समय से जाना जाता है और इसका पता प्राचीन बेबीलोनियन गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व) में लगाया जा सकता है। उन दिनों, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए पूर्णांकों की सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों के तालिका मानों के बीच प्रक्षेप का उपयोग किया जाता था। बहुत बाद में, आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) ने तत्कालीन ज्ञात ब्रह्मांड को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत के कणों की संख्या की ऊपरी सीमा खोजने के लिए 108 की शक्तियों का उपयोग किया। आर्किमिडीज़ ने घातांकों की उस संपत्ति की ओर ध्यान आकर्षित किया जो लघुगणक की प्रभावशीलता को रेखांकित करती है: शक्तियों का उत्पाद घातांकों के योग से मेल खाता है। मध्य युग के अंत और आधुनिक युग की शुरुआत में, गणितज्ञों ने तेजी से ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंधों की ओर रुख करना शुरू कर दिया। एम. स्टिफ़ेल ने अपने निबंध में पूर्णांक अंकगणित(1544) ने संख्या 2 की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों की एक तालिका दी:

स्टिफ़ेल ने देखा कि पहली पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संख्याओं का योग नीचे की पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संगत संख्याओं के उत्पाद के बराबर है। इस तालिका के संबंध में, स्टिफ़ेल ने घातांक पर संचालन के लिए चार आधुनिक नियमों या लघुगणक पर संचालन के लिए चार नियमों के बराबर चार नियम तैयार किए: शीर्ष रेखा पर योग नीचे की रेखा पर उत्पाद से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर घटाव नीचे की रेखा पर विभाजन से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर गुणन नीचे की रेखा पर घातांक से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर विभाजन निचली रेखा पर रूटिंग से मेल खाता है।

जाहिरा तौर पर, स्टिफ़ेल के नियमों के समान नियमों ने जे. नेपर को औपचारिक रूप से अपने काम में लघुगणक की पहली प्रणाली पेश करने के लिए प्रेरित किया। लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण, 1614 में प्रकाशित। लेकिन नेपियर के विचार तभी से उत्पादों को रकम में परिवर्तित करने की समस्या में व्यस्त थे, अपने काम के प्रकाशन से दस साल से अधिक पहले, नेपियर को डेनमार्क से खबर मिली कि टाइको ब्राहे वेधशाला में उनके सहायकों के पास एक विधि थी जो बनाई गई थी उत्पादों को रकम में परिवर्तित करना संभव है। नेपियर को प्राप्त संदेश में उल्लिखित विधि उपयोग पर आधारित थी त्रिकोणमितीय सूत्रप्रकार

इसलिए नेपर की तालिकाओं में मुख्य रूप से लघुगणक शामिल थे त्रिकोणमितीय कार्य. यद्यपि नेपियर द्वारा प्रस्तावित परिभाषा में आधार की अवधारणा को स्पष्ट रूप से शामिल नहीं किया गया था, उनके सिस्टम में लघुगणक प्रणाली के आधार के बराबर भूमिका संख्या (1 - 10 -7)ґ10 7 द्वारा निभाई गई थी, जो लगभग 1/ के बराबर थी। ई.

नेपर से स्वतंत्र रूप से और लगभग उसके साथ ही, जे. बर्गी द्वारा प्राग में लघुगणक की एक प्रणाली का आविष्कार और प्रकाशन किया गया था, जो 1620 में प्रकाशित हुआ था। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति तालिकाएँ. ये आधार (1 + 10 -4) ґ10 4 के प्रति लघुगणक की तालिकाएँ थीं, जो संख्या का काफी अच्छा अनुमान था ई.

नेपर प्रणाली में, संख्या 10 7 का लघुगणक शून्य माना जाता था, और जैसे-जैसे संख्याएँ घटती गईं, लघुगणक बढ़ते गए। जब जी. ब्रिग्स (1561-1631) ने नेपियर का दौरा किया, तो दोनों इस बात पर सहमत हुए कि संख्या 10 को आधार के रूप में उपयोग करना और एक के लघुगणक को शून्य मानना ​​​​अधिक सुविधाजनक होगा। फिर, जैसे-जैसे संख्याएँ बढ़ती गईं, उनके लघुगणक भी बढ़ते गए। तो हमें मिल गया आधुनिक प्रणालीदशमलव लघुगणक, जिसकी एक तालिका ब्रिग्स ने अपने काम में प्रकाशित की लघुगणक अंकगणित(1620). आधार के लिए लघुगणक ई, हालांकि नेपर द्वारा पेश किए गए बिल्कुल नहीं, अक्सर उन्हें नेपर कहा जाता है। ब्रिग्स द्वारा "विशेषतावादी" और "मेंटिसा" शब्द प्रस्तावित किए गए थे।

बल में प्रथम लघुगणक ऐतिहासिक कारणसंख्याओं के लिए प्रयुक्त सन्निकटन 1/ ईऔर ई. कुछ समय बाद, प्राकृतिक लघुगणक का विचार हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्रों के अध्ययन से जुड़ा होने लगा xy= 1 (चित्र 1)। 17वीं सदी में यह दिखाया गया कि इस वक्र, अक्ष से घिरा क्षेत्र एक्सऔर निर्देशांक एक्स= 1 और एक्स = ए(चित्र 1 में यह क्षेत्र मोटे और विरल बिंदुओं से ढका हुआ है) में वृद्धि होती है अंकगणितीय प्रगति, कब एतेजी से बढ़ता है. यह वह निर्भरता है जो घातांक और लघुगणक के साथ संचालन के नियमों में उत्पन्न होती है। इसने नेपेरियन लघुगणक को "अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक" कहने को जन्म दिया।

लघुगणकीय कार्य.

एक समय था जब लघुगणक को केवल गणना के साधन के रूप में माना जाता था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में, मुख्य रूप से यूलर के काम के लिए धन्यवाद, एक लघुगणक फ़ंक्शन की अवधारणा का गठन किया गया था। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= लॉग एक्स, जिसके निर्देशांक अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, जबकि भुज ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 2, ए. व्युत्क्रम, या घातीय (घातीय) फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = ई एक्स, जिनके निर्देशांक ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, और जिनके भुज अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, क्रमशः चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2, बी. (वक्र य=लॉग एक्सऔर य = 10एक्सआकार में वक्र के समान य= लॉग एक्सऔर य = पूर्व.) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषाएँ भी प्रस्तावित की गई हैं, उदाहरण के लिए।

केपीआई; और, इसी तरह, संख्या -1 के प्राकृतिक लघुगणक (2) के रूप की जटिल संख्याएँ हैं के + 1)अनुकरणीय, कहाँ के- पूर्णांक। समान कथन सामान्य लघुगणक या लघुगणक की अन्य प्रणालियों के लिए सत्य हैं। इसके अतिरिक्त, जटिल संख्याओं के जटिल लघुगणक को शामिल करने के लिए यूलर की पहचान का उपयोग करके लघुगणक की परिभाषा को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक वैकल्पिक परिभाषा कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा प्रदान की जाती है। अगर एफ(एक्स) - एक वास्तविक संख्या का निरंतर कार्य एक्स, जिसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: एफ (1) = 0, एफ (बी) = 1, एफ (पराबैंगनी) = एफ (यू) + एफ (वी), वह एफ(एक्स) को संख्या के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है एक्सपर आधारित बी. इस लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा की तुलना में इस परिभाषा के कई फायदे हैं।

अनुप्रयोग।

लघुगणक का उपयोग मूल रूप से केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया गया था, और यह एप्लिकेशन अभी भी उनके सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। उत्पादों, भागफलों, घातों और मूलों की गणना न केवल लघुगणक की प्रकाशित तालिकाओं की व्यापक उपलब्धता से, बल्कि तथाकथित के उपयोग से भी सुगम होती है। स्लाइड नियम - एक कम्प्यूटेशनल उपकरण जिसका संचालन सिद्धांत लघुगणक के गुणों पर आधारित है। रूलर लघुगणकीय पैमानों से सुसज्जित है, अर्थात्। नंबर 1 से किसी भी नंबर की दूरी एक्सलॉग के बराबर चुना गया एक्स; एक पैमाने को दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित करके, लघुगणक के योग या अंतर को आलेखित करना संभव है, जिससे सीधे पैमाने से संबंधित संख्याओं के उत्पादों या भागफल को पढ़ना संभव हो जाता है। आप संख्याओं को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करने के लाभों का भी लाभ उठा सकते हैं। ग्राफ़ बनाने के लिए लॉगरिदमिक पेपर (दोनों समन्वय अक्षों पर लॉगरिदमिक स्केल वाला पेपर मुद्रित होता है)। यदि कोई फ़ंक्शन प्रपत्र के शक्ति नियम को संतुष्ट करता है y = kxn, तो इसका लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि लकड़ी का लट्ठा य=लॉग के + एनलकड़ी का लट्ठा एक्स- लॉग के संबंध में समीकरण रैखिक यऔर लॉग करें एक्स. इसके विपरीत, यदि किसी कार्यात्मक निर्भरता का लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, तो यह निर्भरता एक शक्ति कानून है। सेमी-लॉग पेपर (जहां y-अक्ष में एक लघुगणकीय पैमाना होता है और x-अक्ष में एक समान पैमाना होता है) तब उपयोगी होता है जब आपको घातीय कार्यों की पहचान करने की आवश्यकता होती है। प्रपत्र के समीकरण वाई = केबी आरएक्सयह तब होता है जब कोई मात्रा, जैसे जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा, या बैंक बैलेंस, उपलब्ध के अनुपातिक दर से घटती या बढ़ती है इस समयनिवासियों की संख्या, रेडियोधर्मी पदार्थया पैसा. यदि ऐसी निर्भरता अर्ध-लघुगणक कागज पर अंकित की जाती है, तो ग्राफ़ एक सीधी रेखा जैसा दिखेगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विभिन्न प्रकार के प्राकृतिक रूपों के संबंध में उत्पन्न होता है। सूरजमुखी के पुष्पक्रम में फूल लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, और मोलस्क के गोले मुड़े हुए होते हैं। नॉटिलस, सींग का पहाड़ी भेड़और तोते की चोंच. ये सभी प्राकृतिक आकृतियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल के रूप में जाने जाने वाले वक्र के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं, क्योंकि एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, इसका समीकरण है आर = एई बीक्यू, या एल.एन मॉड्यूल के माध्यम से= लॉग ए + bq. इस तरह के वक्र को एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसके ध्रुव से दूरी ज्यामितीय प्रगति में बढ़ती है, और इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित कोण अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है। इस तरह के वक्र की सर्वव्यापकता, और इसलिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की, इस तथ्य से अच्छी तरह से चित्रित होती है कि यह एक विलक्षण कैमरे के समोच्च और प्रकाश की ओर उड़ने वाले कुछ कीड़ों के प्रक्षेपवक्र के रूप में इतने दूर और पूरी तरह से अलग क्षेत्रों में होता है।

प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन का ग्राफ़. जैसे-जैसे यह बढ़ता है, फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सऔर जब तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सकिसी की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज़") हो जाता है शक्ति समारोहसे एक्स).

प्राकृतिकआधार का लघुगणक है , कहाँ ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)- लगभग 2.72 के बराबर एक अपरिमेय स्थिरांक। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), लॉग ई ⁡ एक्स (\displaystyle \लॉग _(ई)x)या कभी-कभी बस लॉग ⁡ x (\displaystyle \लॉग x), यदि आधार ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)निहित. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स- यह एक प्रतिपादक है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए ईपाने के एक्स. इस परिभाषा को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है।

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), क्योंकि e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), क्योंकि e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक को ज्यामितीय रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))बीच में [1 ; ए ] (\डिस्प्लेस्टाइल). इस परिभाषा की सरलता, जो इस लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है, "प्राकृतिक" नाम की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर का वास्तविक फलन मानते हैं, तो यह घातीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

ई एलएन ⁡ ए = ए (ए > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) एलएन ⁡ ई ए = ए (ए > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

सभी लघुगणक की तरह, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ से जोड़ता है:

एलएन ⁡ एक्स वाई = एलएन ⁡ एक्स + एलएन ⁡ वाई . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे कि a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है। इसके अलावा, लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए जो 1 के बराबर न हो। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 मिलती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि आधार -2 का लघुगणक 4 है 2 के बराबर है.

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

ए लॉग ए बी = बी (ए > 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं पक्ष की परिभाषा का दायरा अलग-अलग है। बाईं ओर को केवल b>0, a>0 और a ≠ 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दाईं ओर को किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी a पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से OD में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए > 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए > 0, ए ≠ 1) (4)

दरअसल, जब संख्या a को पहली घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय इन सूत्रों का बिना सोचे-समझे उपयोग करने के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। उनका उपयोग "बाएं से दाएं" करते समय, ODZ संकीर्ण हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

दरअसल, अभिव्यक्ति लॉग ए (एफ (एक्स) जी (एक्स)) को दो मामलों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक होते हैं या जब एफ (एक्स) और जी (एक्स) दोनों शून्य से कम होते हैं।

इस अभिव्यक्ति को योग लॉग ए एफ (एक्स) + लॉग ए जी (एक्स) में परिवर्तित करते हुए, हम खुद को केवल उस स्थिति तक सीमित करने के लिए मजबूर होते हैं जब एफ (एक्स)> 0 और जी (एक्स)> 0। क्षेत्र में संकुचन हो रहा है स्वीकार्य मूल्य, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधानों का नुकसान हो सकता है। सूत्र (6) के लिए भी ऐसी ही समस्या मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0) (7)

और मैं फिर से सटीकता की मांग करना चाहूँगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता का बायाँ भाग स्पष्ट रूप से शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए परिभाषित है। दाहिना भाग केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से डिग्री निकालकर, हम फिर से ODZ को संकीर्ण कर देते हैं। विपरीत प्रक्रिया से स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का विस्तार होता है। ये सभी टिप्पणियाँ न केवल घात 2 पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी सम घात पर भी लागू होती हैं।

नई नींव पर जाने का सूत्र

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब परिवर्तन के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार सी को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का फॉर्मूला पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें एक महत्वपूर्ण मिलता है विशेष मामलासूत्र (8):

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1. गणना करें: लॉग2 + लॉग50।
समाधान। लॉग2 + लॉग50 = लॉग100 = 2। हमने लघुगणक सूत्र (5) के योग और दशमलव लघुगणक की परिभाषा का उपयोग किया।

उदाहरण 2. गणना करें: lg125/lg5.
समाधान। लॉग125/लॉग5 = लॉग 5 125 = 3। हमने नए आधार (8) पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

ए लॉग ए बी = बी (ए > 0, ए ≠ 1)

लॉग a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए > 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1)