कोसाइन अल्फा क्या है. न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट

एक विज्ञान के रूप में त्रिकोणमिति की उत्पत्ति प्राचीन पूर्व में हुई थी। पहला त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा सितारों द्वारा सटीक कैलेंडर और अभिविन्यास बनाने के लिए प्राप्त किया गया था। ये गणनाएँ गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित हैं, जबकि स्कूल पाठ्यक्रमएक समतल त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के अनुपात का अध्ययन करें।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों और त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों से संबंधित है।

पहली सहस्राब्दी ईस्वी में संस्कृति और विज्ञान के उत्कर्ष के दौरान, ज्ञान का प्रसार हुआ प्राचीन पूर्वग्रीस के लिए. लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोजें अरब खलीफा के लोगों की योग्यता हैं। विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मरज़वी ने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जैसे कार्यों की शुरुआत की, और साइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए मूल्यों की पहली तालिकाएँ संकलित कीं। साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तुत की गईं। यूक्लिड, आर्किमिडीज़ और एराटोस्थनीज जैसी प्राचीन काल की महान हस्तियों के कार्यों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया गया।

त्रिकोणमिति की मूल मात्राएँ

एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट।

इन मात्राओं के मानों की गणना के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। यह सूत्रीकरण स्कूली बच्चों को बेहतर ज्ञात है: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं," क्योंकि प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण का उपयोग करके दिया गया है।

साइन, कोसाइन और अन्य रिश्ते किसी भी समकोण त्रिभुज के न्यून कोण और भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं। आइए कोण A के लिए इन मात्राओं की गणना के लिए सूत्र प्रस्तुत करें और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का पता लगाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, tg और ctg व्युत्क्रम फलन हैं। यदि हम पैर ए को पाप ए और कर्ण सी के उत्पाद के रूप में कल्पना करते हैं, और पैर बी को कॉस ए * सी के रूप में कल्पना करते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त

ग्राफ़िक रूप से, उल्लिखित मात्राओं के बीच संबंध को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस मामले में, वृत्त हर चीज़ का प्रतिनिधित्व करता है संभावित मानकोण α - 0° से 360° तक। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक फ़ंक्शन एक नकारात्मक या लेता है सकारात्मक मूल्यकोण के आकार पर निर्भर करता है. उदाहरण के लिए, यदि α वृत्त की पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित है, यानी यह 0° से 180° की सीमा में है, तो पाप α में "+" चिह्न होगा। α के लिए 180° से 360° (III और IV तिमाही) तक, पाप α केवल एक नकारात्मक मान हो सकता है।

आइए विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय तालिकाएँ बनाने का प्रयास करें और मात्राओं का अर्थ जानें।

30°, 45°, 60°, 90°, 180° इत्यादि के बराबर α के मान विशेष मामले कहलाते हैं। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जाती है और विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन कोणों को यादृच्छिक रूप से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए है। रेड वह कोण है जिस पर किसी वृत्त के चाप की लंबाई उसकी त्रिज्या से मेल खाती है। यह मान सार्वभौमिक निर्भरता स्थापित करने के लिए पेश किया गया था, जब रेडियन में गणना की जाती है, तो सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई मायने नहीं रखती है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन मानों के अनुरूप होते हैं:

इसलिए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि 2π है पूर्ण वृत्तया 360°.

त्रिकोणमितीय फलनों के गुण: ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल गुणों पर विचार करने और तुलना करने के लिए, उनके कार्यों को चित्रित करना आवश्यक है। इसे द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।

साइन और कोसाइन के गुणों की तुलनात्मक तालिका पर विचार करें:

साइन लहर	कोज्या
y = सिनक्स	y = क्योंकि x
ओडीजेड [-1; 1]	ओडीजेड [-1; 1]
पाप x = 0, x = πk के लिए, जहाँ k ϵ Z	क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk के लिए, जहां k ϵ Z
पाप x = 1, x = π/2 + 2πk के लिए, जहाँ k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk पर, जहां k ϵ Z
पाप x = - 1, x = 3π/2 + 2πk पर, जहाँ k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk के लिए, जहां k ϵ Z
पाप (-x) = - पाप x, अर्थात फलन विषम है	cos (-x) = cos x, अर्थात फलन सम है
	फ़ंक्शन आवधिक है, सबसे छोटी अवधि 2π है
पाप x › 0, x के साथ पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित या 0° से 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x के साथ I और IV क्वार्टर से संबंधित या 270° से 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
पाप x ‹ 0, जिसमें x तीसरी और चौथी तिमाही से संबंधित है या 180° से 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x के साथ दूसरी और तीसरी तिमाही से संबंधित या 90° से 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
अंतराल में वृद्धि [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	अंतराल पर बढ़ता है [-π + 2πk, 2πk]
अंतराल पर घटती है [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	अंतराल पर घटता जाता है
व्युत्पन्न (sin x)' = cos x	व्युत्पन्न (cos x)' = - पाप x

यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन सम है या नहीं, बहुत सरल है। कल्पना करना ही काफी है त्रिकोणमितीय वृत्तत्रिकोणमितीय मात्राओं के संकेतों के साथ और OX अक्ष के सापेक्ष ग्राफ़ को मानसिक रूप से "गुना" करें। यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो फलन सम है, अन्यथा विषम है।

रेडियन का परिचय और साइन और कोसाइन तरंगों के मूल गुणों की सूची हमें निम्नलिखित पैटर्न प्रस्तुत करने की अनुमति देती है:

यह सत्यापित करना बहुत आसान है कि सूत्र सही है। उदाहरण के लिए, x = π/2 के लिए, ज्या 1 है, जैसा कि x = 0 की कोज्या है। जाँच तालिकाओं से परामर्श करके या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शन वक्रों का पता लगाकर की जा सकती है।

टैंगेंजेंटोइड्स और कोटेंजेंटोइड्स के गुण

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के ग्राफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन से काफी भिन्न होते हैं। मान tg और ctg एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

वाई = टैन एक्स.
स्पर्शरेखा x = π/2 + πk पर y के मानों की ओर प्रवृत्त होती है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुँचती है।
स्पर्शरेखा का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त π है।
Tg (- x) = - tg x, अर्थात फलन विषम है।
Tg x = 0, x = πk के लिए।
कार्य बढ़ रहा है.
टीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
टीजी x ‹ 0, x ϵ के लिए (- π/2 + πk, πk)।
व्युत्पन्न (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

पाठ में नीचे कोटैंजेंटॉइड के चित्रमय प्रतिनिधित्व पर विचार करें।

कोटैंजेंटोइड्स के मुख्य गुण:

वाई = खाट एक्स.
साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, स्पर्शरेखा में Y सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मान ले सकता है।
कोटैंजेंटॉइड x = πk पर y के मान की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।
कोटैंजेंटॉइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
सीटीजी (- एक्स) = - सीटीजी एक्स, यानी फ़ंक्शन विषम है।
सीटीजी x = 0, x = π/2 + πk के लिए।
कार्य कम हो रहा है.
सीटीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
सीटीजी x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) के लिए।
व्युत्पन्न (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x सही

जहां एक समकोण त्रिभुज को हल करने की समस्याओं पर विचार किया गया, मैंने साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद करने के लिए एक तकनीक प्रस्तुत करने का वादा किया। इसके प्रयोग से आपको हमेशा याद रहेगा कि कौन सा पक्ष कर्ण (आसन्न या विपरीत) का है। मैंने निर्णय लिया कि इसे अधिक समय तक नहीं टालूँगा, आवश्यक सामग्रीनीचे, कृपया पढ़ें 😉

तथ्य यह है कि मैंने बार-बार देखा है कि कक्षा 10-11 के छात्रों को इन परिभाषाओं को याद रखने में कठिनाई होती है। उन्हें अच्छी तरह से याद है कि पैर कर्ण को संदर्भित करता है, लेकिन कौन सा- वे भूल जाते हैं और अस्पष्ट। जैसा कि आप जानते हैं कि परीक्षा में एक गलती की कीमत एक खोया हुआ अंक होती है।

जो जानकारी मैं सीधे प्रस्तुत करूंगा उसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह आलंकारिक सोच और मौखिक-तार्किक संचार के तरीकों से जुड़ा है। ठीक इसी तरह से मैं इसे एक बार और हमेशा के लिए याद रखता हूँपरिभाषा डेटा. यदि आप उन्हें भूल जाते हैं, तो प्रस्तुत तकनीकों का उपयोग करके आप उन्हें हमेशा आसानी से याद रख सकते हैं।

मैं आपको समकोण त्रिभुज में ज्या और कोज्या की परिभाषाएँ याद दिलाना चाहता हूँ:

कोज्या तीव्र कोणएक समकोण त्रिभुज में, यह आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है:

साइनसएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

तो, कोसाइन शब्द से आपका क्या संबंध है?

संभवतः हर किसी का अपना 😉 होता हैलिंक याद रखें:

इस प्रकार, अभिव्यक्ति तुरंत आपकी स्मृति में प्रकट होगी -

«… आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात».

कोसाइन निर्धारित करने की समस्या हल हो गई है।

यदि आपको समकोण त्रिभुज में ज्या की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो कोसाइन की परिभाषा को याद करके, आप आसानी से स्थापित कर सकते हैं कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है। आख़िरकार, केवल दो पैर हैं; यदि आसन्न पैर कोसाइन द्वारा "कब्जा" कर लिया गया है, तो केवल विपरीत पैर साइन के साथ रहता है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या? उलझन तो वही है. छात्र जानते हैं कि यह पैरों का रिश्ता है, लेकिन समस्या यह याद रखना है कि कौन सा किसको संदर्भित करता है - या तो आसन्न के विपरीत, या इसके विपरीत।

परिभाषाएँ:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है:

कोटैंजेंटएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात होता है:

कैसे याद रखें? दो तरीके हैं. एक मौखिक-तार्किक संबंध का भी उपयोग करता है, दूसरा गणितीय संबंध का उपयोग करता है।

गणितीय विधि

ऐसी परिभाषा है - एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

*सूत्र को याद करके, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है।

वैसे ही।किसी न्यून कोण का कोटैंजेंट कोण की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात होता है:

इसलिए! इन सूत्रों को याद करके, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं:

- एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्शरेखा, विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है

- एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात होता है।

शब्द-तार्किक विधि

स्पर्शरेखा के बारे में. लिंक याद रखें:

अर्थात्, यदि आपको स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद रखने की आवश्यकता है, तो इस तार्किक संबंध का उपयोग करके, आप आसानी से याद कर सकते हैं कि यह क्या है

"...विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात"

यदि हम कोटैंजेंट की बात करें तो स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद करके आप आसानी से कोटैंजेंट की परिभाषा बता सकते हैं -

"...आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात"

वेबसाइट पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को याद रखने की एक दिलचस्प ट्रिक है " गणितीय अग्रानुक्रम " , देखना।

सार्वभौमिक विधि

आप इसे बस याद कर सकते हैं.लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मौखिक-तार्किक कनेक्शन के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति लंबे समय तक जानकारी याद रखता है, न कि केवल गणितीय जानकारी।

मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

महत्वपूर्ण नोट्स!
1. यदि आपको फ़ॉर्मूले के स्थान पर गॉब्लेडगूक दिखाई देता है, तो अपना कैश साफ़ करें। अपने ब्राउज़र में यह कैसे करें, यह यहां लिखा गया है:
2. इससे पहले कि आप लेख पढ़ना शुरू करें, सबसे पहले हमारे नेविगेटर पर ध्यान दें उपयोगी संसाधनके लिए

ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

साइन (), कोसाइन (), टेंगेंट (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। पहली नज़र में, जटिल अवधारणाओं (जो कई स्कूली बच्चों में भय की स्थिति का कारण बनती हैं) की अच्छी समझ रखने के लिए, और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना भयानक नहीं है जितना उसे चित्रित किया गया है," आइए शुरुआत करें बहुत शुरुआत और कोण की अवधारणा को समझें।

कोण अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर देखें. वेक्टर एक निश्चित मात्रा में बिंदु के सापेक्ष "मुड़" गया है। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन की माप होगी कोना.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, बेशक, कोण इकाइयाँ!

ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

कोण (एक डिग्री) वृत्त में केंद्रीय कोण है जो वृत्त के भाग के बराबर एक वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित होता है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

अर्थात्, ऊपर दिया गया चित्र बराबर कोण दर्शाता है, अर्थात् यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर टिका है।

रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण होता है जो एक वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या आपने इसका पता लगा लिया? यदि नहीं, तो आइए इसे चित्र से समझें।

तो, चित्र एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर टिका होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई के बराबर होती है या त्रिज्या बराबर होती है) चाप की लंबाई) इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियन में केन्द्रीय कोण कहाँ होता है?

खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन समाहित हैं? हां, इसके लिए आपको परिधि का फॉर्मूला याद रखना होगा. यह रहा:

खैर, अब आइए इन दोनों सूत्रों को सहसंबंधित करें और पता लगाएं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द हटा दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

कितने रेडियन हैं? यह सही है!

समझ गया? फिर आगे बढ़ें और इसे ठीक करें:

कठिनाइयाँ हो रही हैं? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोण की कोटैंजेंट

तो, हमने कोण की अवधारणा को समझ लिया। लेकिन किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाएं। इसके लिए यह हमारी मदद करेगा.' सही त्रिकोण.

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो विपरीत स्थित है समकोण(हमारे उदाहरण में यह पक्ष है); पैर दो शेष भुजाएं हैं और (जो समकोण से सटे हुए हैं), और यदि हम कोण के सापेक्ष पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण की कोज्या- यह आसन्न (करीबी) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण की स्पर्श रेखा- यह विपरीत (दूर) पक्ष का आसन्न (निकट) पक्ष से अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किसमें विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह वाला:

कोज्या→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न;

कोटैंजेंट→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न।

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इन भुजाओं की लंबाई (एक ही कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। मुझ पर विश्वास नहीं है? फिर चित्र देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से:, लेकिन हम एक त्रिभुज से एक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं:। आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करता है।

यदि आप परिभाषाएँ समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें समेकित करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या तुम्हें यह मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएँ: कोण के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं अकेला. त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय यह बहुत उपयोगी होगा। इसलिए, आइए इसे थोड़ा और विस्तार से देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, दिया गया चक्रकार्टेशियन समन्वय प्रणाली में निर्मित। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र निर्देशांक के मूल पर स्थित है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष निर्देशांक और अक्ष निर्देशांक। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उनका मौजूदा विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, हमें सुविचारित समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखना होगा। उपरोक्त चित्र में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें. यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज किसके बराबर है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है, जिसका अर्थ है। आइए इस मान को कोसाइन के हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

त्रिभुज किसके बराबर है? बेशक! इस सूत्र में त्रिज्या मान रखें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? क्या होगा यदि आपको इसका एहसास हो और आप केवल संख्याएँ हों? यह किस निर्देशांक से मेल खाता है? खैर, निःसंदेह, निर्देशांक! और यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, निर्देशांक! इस प्रकार, अवधि.

तो फिर क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संबंधित परिभाषाओं का उपयोग करें और प्राप्त करें, ए।

यदि कोण बड़ा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, जैसे इस चित्र में:

में क्या बदलाव आया है इस उदाहरण में? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: कोण (एक कोण के आसन्न के रूप में)। किसी कोण के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान क्या हैं? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

खैर, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संबंधित अनुपातों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घूर्णन पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित मूल्य का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और जब दक्षिणावर्त घुमाते हैं - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि एक वृत्त के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की एक संपूर्ण क्रांति है या। क्या त्रिज्या सदिश को इधर-उधर घुमाना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण या (जहां कोई पूर्णांक है) से भिन्न होते हैं, वे त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने आदि से मेल खाती है। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र या (कोई पूर्णांक कहां है) द्वारा लिखा जा सकता है

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानकर और इकाई वृत्त का उपयोग करके, उत्तर देने का प्रयास करें कि मान क्या हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कठिनाइयाँ आ रही हैं? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहां से, हम कुछ कोण मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, आइए क्रम से शुरू करें: कोण निर्देशांक वाले एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:

अस्तित्व में नहीं है;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। इसे जानने से संबंधित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निर्धारित करना आसान होता है। पहले इसे स्वयं आज़माएँ, और फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद रखना चाहिए:

डरिए मत, अब हम आपको एक उदाहरण दिखाएंगे संबंधित मूल्यों को याद रखना काफी सरल है:

इस विधि का उपयोग करने के लिए, कोण () के सभी तीन मापों के लिए साइन के मान, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी सरल है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात:

यह जानकर, आप मानों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। कोटैंजेंट मान चित्र में दर्शाए गए तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद रखते हैं, तो यह तालिका से सभी मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या किसी वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?

खैर, बेशक आप कर सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें सामान्य सूत्रकिसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए.

उदाहरण के लिए, यहाँ हमारे सामने एक वृत्त है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर है. किसी बिंदु को डिग्री द्वारा घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का निर्देशांक खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। किसी खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास बिंदु समन्वय के लिए वह है।

उसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक मान पाते हैं। इस प्रकार,

तो, में सामान्य रूप से देखेंबिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

वृत्त त्रिज्या,

वेक्टर त्रिज्या का घूर्णन कोण.

जैसा कि आप देख सकते हैं, जिस इकाई वृत्त पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं और त्रिज्या एक के बराबर है:

खैर, आइए एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करके इन सूत्रों को आज़माएँ?

1. बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

5. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

क्या आपको वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ढूंढने में परेशानी हो रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या उन्हें हल करने में कुशल हो जाएं) और आप उन्हें ढूंढना सीख जाएंगे!

सारांश और बुनियादी सूत्र

किसी कोण की ज्या विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

किसी कोण की कोज्या आसन्न (निकट) पैर और कर्ण का अनुपात है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) भुजा और आसन्न (नज़दीकी) भुजा का अनुपात है।

किसी कोण का कोटैंजेंट आसन्न (निकट) पैर और विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

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बिंदु A पर केन्द्रित.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

स्पर्शरेखा ( टैन α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC|

आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| . कोटैंजेंट () सीटीजी α

एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB|

विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| . स्पर्शरेखाकहाँ

एन
.
;
;
.

- साबुत।

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:

विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| . स्पर्शरेखाकहाँ

स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़, y = tan x
.
कोटैंजेंट
;
;
.

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:

निम्नलिखित नोटेशन भी स्वीकार किए जाते हैं:

कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण दौराफ़ंक्शंस y = टीजी एक्सऔर y =

सीटीजी एक्स

अवधि π के साथ आवर्ती हैं।

समता

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य विषम हैं। स्पर्शरेखापरिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते

	स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य उनकी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( दौरा	स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य उनकी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( टीजी एक्स
- साबुत)।
आप=	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
दायरा और निरंतरता		-
मूल्यों की सीमा	-
की बढ़ती	-	-
अवरोही 0
चरम 0	स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य उनकी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( 0	-

शून्य, y =

कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x =

; ;
; ;
;

सूत्रों

साइन और कोसाइन का उपयोग करते हुए अभिव्यक्तियाँ

योग और अंतर से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सूत्र

उदाहरण के लिए, शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है

स्पर्शरेखाओं का गुणनफल

स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

;
;

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

; .

.
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ
.
संजात

फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:

स्पर्शरेखा के लिए सूत्र व्युत्पन्न करना > > > ; कोटैंजेंट के लिए > > >

अभिन्न शृंखला विस्तारऔर x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगेपाप एक्स

क्योंकि x

और इन बहुपदों को एक दूसरे से विभाजित करें।
इससे निम्नलिखित सूत्र तैयार होते हैं। पर ।पर ।
;
;
कहाँ
बटालियन

- बर्नौली संख्याएँ। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:

कहाँ ।

या लाप्लास के सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्य स्पर्शरेखाकहाँ

स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के व्युत्क्रम फलन क्रमशः चापस्पर्शज्या और चापस्पर्शज्या हैं।

उलटा कार्य स्पर्शरेखाकहाँ

आर्कटिक, आर्कटेंजेंट
, कहाँ
आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं, जो गणित की एक शाखा है, और कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान में महारत हासिल करने के लिए सूत्रों और प्रमेयों को याद रखने और समझने के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की भी आवश्यकता होती है। यही कारण है कि त्रिकोणमितीय गणनाएँ अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए कठिनाइयों का कारण बनती हैं। उन पर काबू पाने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको पहले यह समझना होगा कि एक समकोण त्रिभुज और एक वृत्त में एक कोण क्या हैं, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90 डिग्री का हो, आयताकार होता है। ऐतिहासिक रूप से, इस आकृति का उपयोग अक्सर वास्तुकला, नेविगेशन, कला और खगोल विज्ञान में लोगों द्वारा किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करके, लोग इसके मापदंडों के संबंधित अनुपात की गणना करने लगे।

समकोण त्रिभुजों से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण समकोण के विपरीत त्रिभुज की भुजा है। पैर, क्रमशः, शेष दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक भाग है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे व्यावहारिक विज्ञान में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की विशेषता यह है कि इसके कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, कोण की ज्या वांछित कोण के विपरीत पैर और त्रिभुज के कर्ण का अनुपात है। तदनुसार, कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का परिमाण हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से लंबा होता है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा वांछित कोण के विपरीत पक्ष और आसन्न पक्ष के अनुपात या साइन से कोसाइन के अनुपात के बराबर होती है। कोटैंजेंट, बदले में, वांछित कोण के आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात है। किसी कोण की स्पर्शरेखा को स्पर्शरेखा मान से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

इकाई वृत्त

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया जाता है, जिसमें वृत्त का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा के साथ निर्धारित की जाती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक हैं: XX और YY, अर्थात, भुज और कोटि के निर्देशांक। XX तल में वृत्त पर किसी भी बिंदु का चयन करके और उसमें से भुज अक्ष पर एक लंब गिराकर, हम चयनित बिंदु (अक्षर C द्वारा निरूपित) की त्रिज्या द्वारा निर्मित एक समकोण त्रिभुज प्राप्त करते हैं, जो कि X अक्ष पर खींचा गया लंब है। (प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर G द्वारा निरूपित किया जाता है), और भुज अक्ष का खंड निर्देशांक की उत्पत्ति (बिंदु को अक्षर A द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है) और प्रतिच्छेदन बिंदु G के बीच है। परिणामी त्रिभुज ACG एक समकोण त्रिभुज है जो खुदा हुआ है एक वृत्त, जहां AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। वृत्त AC की त्रिज्या और पदनाम AG के साथ भुज अक्ष के खंड के बीच के कोण को α (अल्फा) के रूप में परिभाषित किया गया है। तो, cos α = AG/AC। यह मानते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चलता है कि cos α=AG। इसी प्रकार, पाप α=CG.

इसके अलावा, इस डेटा को जानकर, आप वृत्त पर बिंदु C का निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं, क्योंकि cos α=AG, और syn α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक (cos α;sin α) हैं। यह जानते हुए कि स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tan α = y/x, और cot α = x/y। ऋणात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों पर विचार करके, आप गणना कर सकते हैं कि कुछ कोणों की ज्या और कोज्या मान ऋणात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मान

इकाई वृत्त के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, हम कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मान प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न शामिल होता है अज्ञात मूल्य, त्रिकोणमिति कहलाते हैं। मान के साथ पहचान पाप x = α, k - कोई भी पूर्णांक:

पाप x = 0, x = πk.
2. पाप x = 1, x = π/2 + 2πk।
पाप x = -1, x = -π/2 + 2πk.
पाप x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
पाप x = ए, |ए| ≦ 1, x = (-1)^k * आर्क्सिन α + πk।

मान cos x = a के साथ पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk.
क्योंकि x = 1, x = 2πk.
क्योंकि x = -1, x = π + 2πk.
क्योंकि x = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं.
क्योंकि x = ए, |ए| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

मान tg x = a वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

tan x = 0, x = π/2 + πk.
tan x = a, x = arctan α + πk।

ctg x = a मान वाली पहचान, जहां k कोई पूर्णांक है:

खाट x = 0, x = π/2 + πk.
सीटीजी एक्स = ए, एक्स = आर्कसीटीजी α + πk।

न्यूनीकरण सूत्र

स्थिर सूत्रों की यह श्रेणी उन तरीकों को दर्शाती है जिनके साथ आप प्रपत्र के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, यानी, किसी भी मूल्य के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को कोण के संबंधित संकेतकों तक कम कर सकते हैं। गणना में अधिक आसानी के लिए 0 से 90 डिग्री तक का अंतराल।

किसी कोण की ज्या के लिए फ़ंक्शन को कम करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:

पाप(900 - α) = α;
पाप(900 + α) = क्योंकि α;
पाप(1800 - α) = पाप α;
पाप(1800 + α) = -sin α;
पाप(2700 - α) = -cos α;
पाप(2700 + α) = -cos α;
पाप(3600 - α) = -sin α;
पाप(3600 + α) = पाप α.

कोण की कोज्या के लिए:

cos(900 - α) = पाप α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = पाप α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

पाप से पाप तक;
कॉस से पाप तक;
टीजी से सीटीजी तक;
सीटीजी से टीजी तक.

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है तो फ़ंक्शन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए फ़ंक्शन का चिह्न नहीं बदलता है: यदि यह प्रारंभ में सकारात्मक था, तो यह वैसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के साथ भी ऐसा ही है।

अतिरिक्त सूत्र

ये सूत्र अपने त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से दो घूर्णन कोणों के योग और अंतर के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान को व्यक्त करते हैं। आमतौर पर कोणों को α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस प्रकार दिखते हैं:

पाप(α ± β) = पाप α * क्योंकि β ± क्योंकि α * पाप।
कॉस(α ± β) = कॉस α * कॉस β ∓ पाप α * पाप।
tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)।
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

दोहरे और तिहरे कोण त्रिकोणमितीय सूत्र ऐसे सूत्र हैं जो क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों को कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ते हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

पाप2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2 α.
tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
syn3α = 3sinα - 4sin^3 α.
cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = पाप(x+y) + पाप(x-y), इस सूत्र को सरल बनाते हुए, हम पहचान पापα + पापβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार पापα - पापβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * पाप(α − β)/2; tanα + tanβ = पाप(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = पाप(α - β) / cosα * cosβ; cosα + synα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पाद से योग तक संक्रमण

ये सूत्र किसी राशि के उत्पाद में परिवर्तन की पहचान से अनुसरण करते हैं:

पापα * पापβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
पापα *cosβ = 1/2*.

डिग्री कम करने के सूत्र

इन पहचानों में, साइन और कोसाइन की वर्ग और घन शक्तियों को एकाधिक कोण की पहली शक्ति के साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

पाप^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
पाप^3 α = (3 * पापα - पाप3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
पाप^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन के सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में व्यक्त करते हैं।

पाप x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn के साथ;
cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), जहां x = π + 2πn;
cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn के साथ।

विशेष स्थितियां

प्रोटोजोआ के विशेष मामले त्रिकोणमितीय समीकरणनीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

ज्या के लिए भागफल:

पाप x मान	x मान
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk या 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk या -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk या 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk या -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk या 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk या -2π/3 + 2πk

कोज्या के लिए भागफल:

क्योंकि x मान	x मान
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

स्पर्शरेखा के लिए भागफल:

टीजी एक्स मान	x मान
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

कोटैंजेंट के लिए उद्धरण:

सीटीजी x मान	x मान
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

प्रमेयों

ज्या का प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ। इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, γ क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक मनमाना त्रिभुज के लिए विस्तारित साइन प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R। इस पहचान में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिया गया त्रिभुज अंकित है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित की जाती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α भुजा a के विपरीत कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्शरेखाओं और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को व्यक्त करता है। भुजाओं को a, b, c से लेबल किया गया है और संगत विपरीत कोण α, β, γ हैं। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)।

कोटैंजेंट प्रमेय

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ता है। यदि a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C क्रमशः उनके विपरीत कोण हैं, r अंकित वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, तो निम्नलिखित पहचान मान्य हैं:

खाट ए/2 = (पी-ए)/आर;
खाट बी/2 = (पी-बी)/आर;
खाट सी/2 = (पी-सी)/आर।

आवेदन

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा एक सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुण, प्रमेय और नियम विभिन्न उद्योगों द्वारा व्यवहार में उपयोग किये जाते हैं। मानवीय गतिविधि- खगोल विज्ञान, हवाई और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, मापने का काम, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कार्टोग्राफी, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनकी सहायता से कोई त्रिभुज में कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच संबंधों को गणितीय रूप से व्यक्त कर सकता है, और सर्वसमिकाओं, प्रमेयों और नियमों के माध्यम से आवश्यक मात्राएँ ज्ञात कर सकता है।