संपूर्ण पाठ - नॉलेज हाइपरमार्केट। घेरा

आइए मामलों को याद करें सापेक्ष स्थितिसीधी रेखा और वृत्त.

केंद्र O और त्रिज्या r वाला एक वृत्त दिया गया है। सीधी रेखा P, केंद्र से सीधी रेखा की दूरी, यानी OM के लंबवत, d के बराबर है।

केस 1- वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है:

हमने साबित कर दिया है कि उस स्थिति में जब दूरी d वृत्त r की त्रिज्या से कम है, सीधी रेखा और वृत्त में केवल दो सामान्य बिंदु होते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. केस 1 के लिए चित्रण

केस दो- वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है:

हमने साबित कर दिया है कि इस मामले में केवल एक ही सामान्य बिंदु है (चित्र 2)।

चावल। 2. केस 2 के लिए चित्रण

केस 3- वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक होती है:

हमने सिद्ध कर दिया है कि इस मामले में वृत्त और सीधी रेखा में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. केस 3 के लिए चित्रण

पर यह सबकहम दूसरे मामले में रुचि रखते हैं, जब सीधी रेखा और वृत्त में एक ही उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

परिभाषा:

एक सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु हो, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है; एक उभयनिष्ठ बिंदु रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है।

सीधी रेखा p एक स्पर्शरेखा है, बिंदु A एक स्पर्शरेखा बिंदु है (चित्र 4)।

चावल। 4. स्पर्शरेखा

प्रमेय:

वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है (चित्र 5)।

चावल। 5. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

इसके विपरीत, मान लीजिए कि OA सीधी रेखा r पर लंबवत नहीं है। इस मामले में, हम बिंदु O से सीधी रेखा p पर एक लंब डालते हैं, जो वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी होगी:

एक समकोण त्रिभुज से हम कह सकते हैं कि कर्ण OH पैर OA से छोटा है, अर्थात सीधी रेखा और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं, सीधी रेखा p एक छेदक है। इस प्रकार, हमें एक विरोधाभास प्राप्त हुआ है, जिसका अर्थ है कि प्रमेय सिद्ध है।

चावल। 6. प्रमेय के लिए चित्रण

व्युत्क्रम प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय:

यदि कोई रेखा किसी वृत्त पर पड़ी त्रिज्या के अंत से होकर गुजरती है और इस त्रिज्या के लंबवत है, तो यह एक स्पर्शरेखा है।

सबूत:

चूँकि सीधी रेखा त्रिज्या के लंबवत है, दूरी OA सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी है और यह त्रिज्या के बराबर है:। अर्थात्, और इस मामले में, जैसा कि हमने पहले साबित किया था, रेखा और वृत्त में एकमात्र उभयनिष्ठ बिंदु है - बिंदु A, इस प्रकार परिभाषा के अनुसार रेखा p वृत्त की स्पर्शरेखा है (चित्र 7)।

चावल। 7. प्रमेय के लिए चित्रण

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों को निम्नानुसार जोड़ा जा सकता है (चित्र 8):

केंद्र O, सीधी रेखा p, त्रिज्या OA वाला एक वृत्त दिया गया है

चावल। 8. प्रमेय के लिए चित्रण

प्रमेय:

एक सीधी रेखा किसी वृत्त की स्पर्शरेखा होती है यदि और केवल तभी जब स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या उस पर लंबवत हो।

इस प्रमेय का अर्थ है कि यदि कोई रेखा स्पर्शरेखा है, तो स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या उस पर लंबवत होती है, और इसके विपरीत, OA और p की लंबवतता से यह निष्कर्ष निकलता है कि p एक स्पर्शरेखा है, अर्थात सीधी रेखा है और वृत्त में एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है।

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं पर विचार करें।

प्रमेय:

एक बिंदु से खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं और इस बिंदु और वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

एक वृत्त दिया गया है, केंद्र O, वृत्त के बाहर बिंदु A है। बिंदु A से दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, बिंदु B और C स्पर्शरेखा के बिंदु हैं। आपको यह सिद्ध करना होगा कि कोण 3 और 4 बराबर हैं।

चावल। 9. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

प्रमाण त्रिभुजों की समानता पर आधारित है . आइए त्रिभुजों की समानता की व्याख्या करें। वे आयताकार हैं क्योंकि संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है। इसका मतलब यह है कि कोण समकोण और बराबर दोनों हैं। पैर OB और OS बराबर हैं, क्योंकि वे वृत्त की त्रिज्या हैं। कर्ण AO सामान्य है।

इस प्रकार, पैर और कर्ण की समानता के संदर्भ में त्रिभुज बराबर हैं। यहाँ से यह स्पष्ट है कि पैर AB और AC भी बराबर हैं। विपरीत कोण भी बराबर भुजाएँ, बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि कोण और, बराबर हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

तो, हम वृत्त की स्पर्शरेखा की अवधारणा से परिचित हो गए हैं, अगले पाठ में हम देखेंगे डिग्री मापएक वृत्त के चाप.

संदर्भ

1. अलेक्जेंड्रोव ए.डी. आदि। ज्यामिति 8वीं कक्षा। - एम.: शिक्षा, 2006।
2. बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोव वी.वी. ज्यामिति 8. - एम.: शिक्षा, 2011।
3. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एस.एम. ज्यामिति आठवीं कक्षा। - एम.: वेंटाना-ग्राफ, 2009।

1. Univer.omsk.su ()।
2. Oldskola1.naroad.ru ()।
3. School6.aviel.ru ()।

गृहकार्य

1. अतानास्यान एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी. और अन्य, ज्यामिति 7-9, संख्या 634-637, पृ. 168.

आइए एक रेखा और एक वृत्त की सापेक्ष स्थिति के मामलों को याद करें।

केंद्र O और त्रिज्या r वाला एक वृत्त दिया गया है। सीधी रेखा P, केंद्र से सीधी रेखा की दूरी, यानी OM के लंबवत, d के बराबर है।

केस 1- वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम है:

हमने साबित कर दिया है कि उस स्थिति में जब दूरी d वृत्त r की त्रिज्या से कम है, सीधी रेखा और वृत्त में केवल दो सामान्य बिंदु होते हैं (चित्र 1)।

चावल। 1. केस 1 के लिए चित्रण

केस दो- वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है:

हमने साबित कर दिया है कि इस मामले में केवल एक ही सामान्य बिंदु है (चित्र 2)।

चावल। 2. केस 2 के लिए चित्रण

केस 3- वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक होती है:

हमने सिद्ध कर दिया है कि इस मामले में वृत्त और सीधी रेखा में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं (चित्र 3)।

चावल। 3. केस 3 के लिए चित्रण

इस पाठ में हम दूसरे मामले में रुचि रखते हैं, जब एक रेखा और एक वृत्त में एक ही उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

परिभाषा:

एक सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ एक ही उभयनिष्ठ बिंदु हो, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है; एक उभयनिष्ठ बिंदु रेखा और वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु कहलाता है।

सीधी रेखा p एक स्पर्शरेखा है, बिंदु A एक स्पर्शरेखा बिंदु है (चित्र 4)।

चावल। 4. स्पर्शरेखा

प्रमेय:

वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है (चित्र 5)।

चावल। 5. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

इसके विपरीत, मान लीजिए कि OA सीधी रेखा r पर लंबवत नहीं है। इस मामले में, हम बिंदु O से सीधी रेखा p पर एक लंब डालते हैं, जो वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा तक की दूरी होगी:

एक समकोण त्रिभुज से हम कह सकते हैं कि कर्ण OH पैर OA से छोटा है, अर्थात सीधी रेखा और वृत्त में दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं, सीधी रेखा p एक छेदक है। इस प्रकार, हमें एक विरोधाभास प्राप्त हुआ है, जिसका अर्थ है कि प्रमेय सिद्ध है।

चावल। 6. प्रमेय के लिए चित्रण

व्युत्क्रम प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय:

यदि कोई रेखा किसी वृत्त पर पड़ी त्रिज्या के अंत से होकर गुजरती है और इस त्रिज्या के लंबवत है, तो यह एक स्पर्शरेखा है।

सबूत:

चूँकि सीधी रेखा त्रिज्या के लंबवत है, दूरी OA सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी है और यह त्रिज्या के बराबर है:। अर्थात्, और इस मामले में, जैसा कि हमने पहले साबित किया था, रेखा और वृत्त में एकमात्र उभयनिष्ठ बिंदु है - बिंदु A, इस प्रकार परिभाषा के अनुसार रेखा p वृत्त की स्पर्शरेखा है (चित्र 7)।

चावल। 7. प्रमेय के लिए चित्रण

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों को निम्नानुसार जोड़ा जा सकता है (चित्र 8):

केंद्र O, सीधी रेखा p, त्रिज्या OA वाला एक वृत्त दिया गया है

चावल। 8. प्रमेय के लिए चित्रण

प्रमेय:

एक सीधी रेखा किसी वृत्त की स्पर्शरेखा होती है यदि और केवल तभी जब स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या उस पर लंबवत हो।

इस प्रमेय का अर्थ है कि यदि कोई रेखा स्पर्शरेखा है, तो स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या उस पर लंबवत होती है, और इसके विपरीत, OA और p की लंबवतता से यह निष्कर्ष निकलता है कि p एक स्पर्शरेखा है, अर्थात सीधी रेखा है और वृत्त में एक ही उभयनिष्ठ बिंदु है।

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं पर विचार करें।

प्रमेय:

एक बिंदु से खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं और इस बिंदु और वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

एक वृत्त दिया गया है, केंद्र O, वृत्त के बाहर बिंदु A है। बिंदु A से दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, बिंदु B और C स्पर्शरेखा के बिंदु हैं। आपको यह सिद्ध करना होगा कि कोण 3 और 4 बराबर हैं।

चावल। 9. प्रमेय के लिए चित्रण

सबूत:

प्रमाण त्रिभुजों की समानता पर आधारित है . आइए त्रिभुजों की समानता की व्याख्या करें। वे आयताकार हैं क्योंकि संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा के लंबवत है। इसका मतलब यह है कि कोण समकोण और बराबर दोनों हैं। पैर OB और OS बराबर हैं, क्योंकि वे वृत्त की त्रिज्या हैं। कर्ण AO सामान्य है।

इस प्रकार, पैर और कर्ण की समानता के संदर्भ में त्रिभुज बराबर हैं। यहाँ से यह स्पष्ट है कि पैर AB और AC भी बराबर हैं। साथ ही, समान भुजाओं के विपरीत स्थित कोण भी बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि कोण और, बराबर हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

तो, हम एक वृत्त की स्पर्शरेखा की अवधारणा से परिचित हो गए हैं; अगले पाठ में हम एक वृत्त के चाप की डिग्री माप को देखेंगे।

संदर्भ

1. अलेक्जेंड्रोव ए.डी. आदि। ज्यामिति 8वीं कक्षा। - एम.: शिक्षा, 2006।
2. बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोव वी.वी. ज्यामिति 8. - एम.: शिक्षा, 2011।
3. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एस.एम. ज्यामिति आठवीं कक्षा। - एम.: वेंटाना-ग्राफ, 2009।

1. Univer.omsk.su ()।
2. Oldskola1.naroad.ru ()।
3. School6.aviel.ru ()।

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1. अतानास्यान एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी. और अन्य, ज्यामिति 7-9, संख्या 634-637, पृ. 168.

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प्रत्यक्ष ( एम.एन.), वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है ( ए), बुलाया स्पर्शरेखा वृत्त को.

इस मामले में सामान्य बिंदु कहा जाता है संपर्क का बिंदु।

अस्तित्व की संभावना स्पर्शरेखा, और, इसके अलावा, किसी भी बिंदु के माध्यम से खींचा गया घेरा, स्पर्शरेखा के एक बिंदु के रूप में, निम्नानुसार सिद्ध होता है प्रमेय.

इसे निभाना जरूरी है घेराकेंद्र के साथ हे स्पर्शरेखाबिंदु के माध्यम से ए. इस बिंदु से ऐसा करने के लिए ए,केंद्र से, हम वर्णन करते हैं आर्क RADIUS ए.ओ., और बिंदु से हे, केंद्र के रूप में, हम इस चाप को बिंदुओं पर काटते हैं बीऔर साथदिए गए वृत्त के व्यास के बराबर एक कम्पास समाधान।

खर्च करने के बाद फिर कॉर्ड्स ओ.बी.और ओएस, बिंदु कनेक्ट करें एबिंदुओं के साथ डीऔर ई, जिस पर ये जीवाएं किसी दिए गए वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करती हैं। प्रत्यक्ष विज्ञापनऔर ए.ई. - एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हे. दरअसल, निर्माण से यह स्पष्ट है कि त्रिकोण एओबीऔर एओसी समद्विबाहु(एओ = एबी = एसी) आधारों के साथ ओ.बी.और ओएस, वृत्त के व्यास के बराबर हे.

क्योंकि ओ.डी.और ओ.ई.- त्रिज्या, फिर डी - मध्य ओ.बी., ए ई- मध्य ओएस, मतलब विज्ञापनऔर ए.ई. - माध्यिकाओं, समद्विबाहु त्रिभुजों के आधारों की ओर खींचा गया है, और इसलिए इन आधारों के लंबवत है। अगर सीधा है डी.ए.और ई.ए.त्रिज्या के लंबवत ओ.डी.और ओ.ई., तब वे - स्पर्शरेखा.

परिणाम।

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएं बराबर होती हैं और इस बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाती हैं.

इसलिए एडी=एईऔर ∠ ओ.ए.डी. = ∠OAEक्योंकि समकोण त्रिभुज एओडीऔर एओई, एक आम होना कर्ण ए.ओ.और बराबर है पैर ओ.डी.और ओ.ई.(त्रिज्या के रूप में), बराबर हैं। ध्यान दें कि यहाँ शब्द "स्पर्शरेखा" का वास्तव में अर्थ है " स्पर्शरेखा खंड"किसी दिए गए बिंदु से संपर्क बिंदु तक।