कैसे सिद्ध करें कि एक रैखिक कोण एक द्विफलकीय कोण है। गणित पाठ नोट्स "डायहेड्रल कोण"

$\blacktriangleright$ डायहेड्रल कोण दो अर्ध-तलों और एक सीधी रेखा $a$ से बना कोण है, जो उनकी सामान्य सीमा है।

$\blacktriangleright$ समतल $\xi$ और $\pi$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, आपको रैखिक कोण ज्ञात करना होगा (और मसालेदारया प्रत्यक्ष) समतल $\xi$ और $\pi$ द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोण :

चरण 1: मान लीजिए $\xi\cap\pi=a$ (विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा)। समतल $\xi$ में हम एक मनमाना बिंदु $F$ चिह्नित करते हैं और $FA\perp a$ बनाते हैं;

चरण 2: $FG\perp \pi$ निष्पादित करें;

चरण 3: टीटीपी ($FG$ - लंबवत, $FA$ - तिरछा, $AG$ - प्रक्षेपण) के अनुसार हमारे पास है: $AG\perp a$ ;

चरण 4: कोण $\कोण FAG$ को समतल $\xi$ और $\pi$ द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

ध्यान दें कि त्रिभुज $AG$ समकोण है।
यह भी ध्यान दें कि इस तरह से निर्मित विमान $AFG$ दोनों विमानों $\xi$ और $\pi$ के लंबवत है। इसलिए, हम इसे अलग ढंग से कह सकते हैं: समतलों के बीच का कोण$\xi$ और $\pi$ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं $c\in \xi$ और $b\in\pi$ के बीच का कोण है, जो और $\xi$ के लंबवत एक समतल बनाती है। ) , और $\pi$ .

कार्य 1 #2875

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

एक चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है, जिसके सभी किनारे बराबर हैं और आधार एक वर्ग है। $6\cos \alpha$ खोजें, जहां $\alpha$ इसके आसन्न पार्श्व फलकों के बीच का कोण है।

मान लीजिए $SABCD$ एक दिया गया पिरामिड है ($S$ एक शीर्ष है) जिसके किनारे $a$ के बराबर हैं। परिणामस्वरूप, सभी पार्श्व फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं। आइए फलकों $SAD$ और $SCD$ के बीच का कोण ज्ञात करें।

चलिए $CH\perp SD$ करते हैं। क्योंकि $\त्रिभुज SAD=\त्रिभुज SCD$, तो $AH$ $\triangle SAD$ की ऊंचाई भी होगी। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, $\कोण AHC=\alpha$ फलकों $SAD$ और $SCD$ के बीच के द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है।
चूँकि आधार एक वर्ग है, तो $AC=a\sqrt2$ । यह भी ध्यान दें कि $CH=AH$ भुजा $a$ वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई है, इसलिए, $CH=AH=\frac(\sqrt3)2a$ ।
फिर, $\triangle AHC$ से कोसाइन प्रमेय द्वारा: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

उत्तर:-2

कार्य 2 #2876

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

समतल $\pi_1$ और $\pi_2$ एक ऐसे कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं जिसकी कोसाइन $0.2$ के बराबर है। समतल $\pi_2$ और $\pi_3$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और समतल $\pi_1$ और $\pi_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा समकोण पर प्रतिच्छेद रेखा के समानांतर है विमान $\pi_2$ और $\ pi_3$ . समतल $\pi_1$ और $\pi_3$ के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

माना कि $\pi_1$ और $\pi_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा एक सीधी रेखा $a$ है, $\pi_2$ और $\pi_3$ की प्रतिच्छेदन रेखा एक सीधी रेखा है रेखा $b$, और प्रतिच्छेदन रेखा $\pi_3$ और $\pi_1$ - सीधी रेखा $c$ । चूँकि $a\parallel b$ , तो $c\parallel a\parallel b$ (सैद्धांतिक संदर्भ "अंतरिक्ष में ज्यामिति" के खंड से प्रमेय के अनुसार $\rightarrow$ "स्टीरियोमेट्री का परिचय, समानता”)।

आइए बिंदुओं को चिह्नित करें $A\in a, B\in b$ ताकि $AB\perp a, AB\perp b$ (यह संभव है क्योंकि $a\parallel b$ )। आइए हम $C\in c$ को चिह्नित करें ताकि $BC\perp c$ हो, इसलिए, $BC\perp b$ हो। फिर $AC\perp c$ और $AC\perp a$ ।
दरअसल, चूँकि $AB\perp b, BC\perp b$ , तो $b$ समतल $ABC$ के लंबवत है। चूँकि $c\parallel a\parallel b$, तो रेखाएँ $a$ और $c$ भी समतल $ABC$ के लंबवत हैं, और इसलिए इस तल से किसी भी रेखा के लिए, विशेष रूप से , रेखा \ (AC\) .

यह उसी का अनुसरण करता है $\कोण BAC=\कोण (\pi_1, \pi_2)$, $\कोण ABC=\कोण (\pi_2, \pi_3)=90^\circ$, $\कोण BCA=\कोण (\pi_3, \pi_1)$. इससे पता चलता है कि $\त्रिभुज ABC$ आयताकार है, जिसका अर्थ है \[\sin \कोण BCA=\cos \कोण BAC=0.2.\]

उत्तर: 0.2

कार्य 3 #2877

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

दी गई सीधी रेखाएँ $a, b, c$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और उनमें से किन्हीं दो के बीच का कोण $60^\circ$ के बराबर है। $\cos^(-1)\alpha$ खोजें, जहां $\alpha$ रेखाओं $a$ और $c$ से बने तल और रेखाओं $ से बने तल के बीच का कोण है) b\ ) और \(c$ . अपना उत्तर डिग्री में दें।

मान लीजिए कि रेखाएँ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि उनमें से किन्हीं दो के बीच का कोण $60^\circ$ के बराबर है, तो तीनों सीधी रेखाएँ एक ही तल में नहीं हो सकतीं। आइए रेखा $a$ पर बिंदु $A$ को चिह्नित करें और $AB\perp b$ और $AC\perp c$ बनाएं। तब $\त्रिकोण AOB=\त्रिकोण AOC$कर्ण और न्यून कोण के अनुदिश आयताकार के रूप में। इसलिए, $OB=OC$ और $AB=AC$ ।
चलिए $AH\perp (BOC)$ करते हैं। फिर तीन लंबों के बारे में प्रमेय द्वारा $HC\perp c$ , $HB\perp b$ । चूँकि $AB=AC$ , तो $\त्रिकोण AHB=\त्रिकोण AHC$कर्ण और पैर के साथ आयताकार के रूप में। इसलिए, $HB=HC$ । इसका मतलब है कि $OH$ कोण $BOC$ का समद्विभाजक है (चूंकि बिंदु $H$ कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है)।

ध्यान दें कि इस तरह हमने रेखाओं $a$ और $c$ से बने तल और रेखाओं $b$ और $c) से बने तल से बने डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का भी निर्माण किया है। $ . यह कोण $ACH$ है।

आइए इस कोण को खोजें. चूँकि हमने बिंदु $A$ को मनमाने ढंग से चुना है, आइए हम इसे इस प्रकार चुनें कि $OA=2$ । फिर आयताकार $\त्रिकोण AOC$ में: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]चूँकि $OH$ एक समद्विभाजक है, तो $\कोण HOC=30^\circ$ , इसलिए, एक आयताकार $\त्रिकोण HOC$ में: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]फिर आयताकार $\triangle ACH$ से : \[\cos\कोण \alpha=\cos\कोण ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

उत्तर: 3

कार्य 4 #2910

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

समतल $\pi_1$ और $\pi_2$ सीधी रेखा $l$ के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं जिस पर बिंदु $M$ और $N$ स्थित हैं। खंड $MA$ और $MB$ सीधी रेखा $l$ के लंबवत हैं और क्रमशः समतल $\pi_1$ और $\pi_2$ में स्थित हैं, और $MN = 15 $ , $AN = 39$ , $BN = 17$ , $AB = 40$ . $3\cos\alpha$ खोजें, जहां $\alpha$ समतल $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण है।

त्रिभुज $AMN$ समकोण है, $AN^2 = AM^2 + MN^2$, जहां से \ त्रिभुज $BMN$ समकोण है, $BN^2 = BM^2 + MN^2$, जिससे \हम त्रिभुज $AMB$ के लिए कोज्या प्रमेय लिखते हैं: \ तब \ चूँकि तलों के बीच का कोण $\alpha$ है तीव्र कोण, और $\कोण AMB$ कुंठित निकला, तो $\cos\alpha=\dfrac5(12)$ । तब \

उत्तर: 1.25

कार्य 5 #2911

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ एक समांतर चतुर्भुज है, $ABCD$ भुजा $a$ वाला एक वर्ग है, बिंदु $M$ बिंदु $A_1$ से समतल \ पर गिराए गए लंबवत का आधार है ((ABCD)\) , इसके अलावा, $M$ वर्ग $ABCD$ के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ह ज्ञात है कि $A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a$. समतल $(ABCD)$ और $(AA_1B_1B)$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, आइए $AB$ पर लंबवत $MN$ की रचना करें।

चूँकि $ABCD$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $a$ और $MN\perp AB$ और $BC\perp AB$ है, तो $MN\parallel BC$ है। चूँकि $M$ वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो $M$ $AC$ का मध्य है, इसलिए, $MN$ मध्य रेखा है और $MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a$.
$MN$ समतल $(ABCD)$ पर $A_1N$ का प्रक्षेपण है, और $MN$ $AB$ पर लंबवत है, फिर, तीन लंबवत के प्रमेय द्वारा, \ (A_1N\) $AB $ के लंबवत है और समतल $(ABCD)$ और $(AA_1B_1B)$ के बीच का कोण $\कोण A_1NM$ है।
\[\mathrm(tg)\, \कोण A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\राइटएरो\qquad\कोण A_1NM = 60^(\circ)\]

उत्तर: 60

कार्य 6 #1854

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

एक वर्ग में $ABCD$ : $O$ - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु; $S$ – वर्ग के तल में स्थित नहीं है, $SO \perp ABC$ . यदि $SO = 5$ और $AB = 10$ हो तो समतल $ASD$ और $ABC$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समकोण त्रिभुज $\त्रिकोण SAO$ और $\त्रिकोण एसडीओ$ दो भुजाओं में बराबर हैं और उनके बीच का कोण ($SO \perp ABC$ $\Rightarrow$ है $\कोण SOA = \कोण SOD = 90^\circ$; $AO = DO$ , क्योंकि $O$ - वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, $SO$ - उभयनिष्ठ भुजा) $\राइटएरो$ $AS = SD$ $\राइटएरो$ $\त्रिभुज एएसडी$ - समद्विबाहु। बिंदु $K$ $AD$ के मध्य में है, तो $SK$ त्रिभुज $\triangal ASD$ में ऊंचाई है, और $OK$ त्रिभुज में ऊंचाई है $ AOD$ $\ Rightarrow$ समतल $SOK$ समतल $ASD$ और $ABC$ $\Rightarrow$ $\कोण SKO$ के लंबवत है - रैखिक कोण वांछित के बराबर है डायहेड्रल कोण.

$\त्रिकोण SKO$ में: $ठीक = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO$$\राइटएरो$ $\ट्राइंगल SOK$ – समद्विबाहु समकोण त्रिकोण $\राइटएरो$ $\एंगल SKO = 45^\circ$ .

उत्तर: 45

कार्य 7 #1855

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा से अधिक कठिन

एक वर्ग में $ABCD$ : $O$ - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु; $S$ – वर्ग के तल में स्थित नहीं है, $SO \perp ABC$ . यदि $SO = 5$ और $AB = 10$ हो तो समतल $ASD$ और $BSC$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समकोण त्रिभुज $\त्रिकोण SAO$ , $\त्रिकोण एसडीओ$ , $\त्रिकोण SOB$ और $\त्रिकोण SOC$ दो भुजाओं में बराबर हैं और उनके बीच का कोण ($SO \perp ABC) है $ $\दाहिना तीर$ $\कोण SOA = \कोण SOD = \कोण SOB = \कोण SOC = 90^\circ$; $एओ = ओडी = ओबी = ओसी$, क्योंकि $O$ - वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, $SO$ - उभयनिष्ठ भुजा) $\राइटएरो$ $AS = DS = BS = CS$ $\राइटएरो$ $ \त्रिकोण ASD$ और $\त्रिकोण BSC$ समद्विबाहु हैं। बिंदु $K$ $AD$ के मध्य में है, तो $SK$ त्रिभुज $\triangal ASD$ में ऊंचाई है, और $OK$ त्रिभुज में ऊंचाई है $ AOD$ $\ Rightarrow$ समतल $SOK$ समतल $ASD$ के लंबवत है। बिंदु $L$ $BC$ के मध्य में है, तो $SL$ त्रिभुज $\triangle BSC$ में ऊंचाई है, और $OL$ त्रिभुज में ऊंचाई है $ BOC$ $\ Rightarrow$ समतल $SOL$ (उर्फ समतल $SOK$) समतल $BSC$ के लंबवत है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि $\कोण KSL$ वांछित डायहेड्रल कोण के बराबर एक रैखिक कोण है।

$KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10$$\राइटएरो$ $OL = 5$ ; $एसके = एसएल$ - समान ऊंचाई समद्विबाहु त्रिभुज, जिसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है: $SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50$. ऐसा नोटिस किया जा सकता है $SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2$$\राइटएरो$ एक त्रिभुज $\ट्राइंगल केएसएल$ के लिए व्युत्क्रम पायथागॉरियन प्रमेय $\राइटएरो$ $\ट्राइंगल केएसएल$ को धारण करता है - समकोण त्रिकोण $\राइटएरो$ $\एंगल केएसएल = 90 ^\सर्कल$ .

उत्तर: 90

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा देने के लिए छात्रों को तैयार करना, एक नियम के रूप में, बुनियादी सूत्रों को दोहराने से शुरू होता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जो आपको विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ज्यामिति का यह खंड पर्याप्त विस्तार से कवर किया गया है स्कूल के पाठ्यक्रम, कई स्नातकों को बुनियादी सामग्री दोहराने की आवश्यकता होती है। यह समझकर कि विमानों के बीच के कोण को कैसे खोजा जाए, हाई स्कूल के छात्र किसी समस्या को हल करते समय तुरंत सही उत्तर की गणना करने में सक्षम होंगे और एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों पर अच्छे अंक प्राप्त करने पर भरोसा करेंगे।

मुख्य बारीकियाँ

यह सुनिश्चित करने के लिए कि डायहेड्रल कोण को खोजने का प्रश्न कठिनाइयों का कारण न बने, हम एक समाधान एल्गोरिदम का पालन करने की सलाह देते हैं जो आपको एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों से निपटने में मदद करेगा।

सबसे पहले आपको उस सीधी रेखा को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं।

फिर आपको इस रेखा पर एक बिंदु चुनना होगा और उस पर दो लंबवत रेखाएँ खींचनी होंगी।

अगला कदम- ढूँढना त्रिकोणमितीय फलनलम्बवत् द्वारा निर्मित द्विफलकीय कोण। ऐसा करने का सबसे सुविधाजनक तरीका परिणामी त्रिभुज की मदद से है, जिसका कोण एक हिस्सा है।

उत्तर कोण या उसके त्रिकोणमितीय फलन का मान होगा।

शकोल्कोवो के साथ परीक्षा की तैयारी करना आपकी सफलता की कुंजी है

एक दिन पहले कक्षाओं के दौरान एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करनाकई स्कूली बच्चों को ऐसी परिभाषाएँ और सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है जो उन्हें 2 विमानों के बीच के कोण की गणना करने की अनुमति देते हैं। स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा जरूरत पड़ने पर ही उपलब्ध नहीं होती। और उनके सही अनुप्रयोग के आवश्यक सूत्रों और उदाहरणों को खोजने के लिए, जिसमें इंटरनेट पर ऑनलाइन विमानों के बीच के कोण का पता लगाना भी शामिल है, कभी-कभी आपको बहुत समय बिताने की आवश्यकता होती है।

शकोल्कोवो गणितीय पोर्टल राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है। हमारी वेबसाइट पर कक्षाएं छात्रों को अपने लिए सबसे कठिन अनुभागों की पहचान करने और ज्ञान में अंतराल को भरने में मदद करेंगी।

हमने सब कुछ तैयार किया है और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया है आवश्यक सामग्री. बुनियादी परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक जानकारी" अनुभाग में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम उचित अभ्यासों का अभ्यास करने का भी सुझाव देते हैं। उदाहरण के लिए, जटिलता की विभिन्न डिग्री के कार्यों का एक बड़ा चयन "कैटलॉग" अनुभाग में प्रस्तुत किया गया है। सभी कार्यों में सही उत्तर खोजने के लिए एक विस्तृत एल्गोरिदम होता है। वेबसाइट पर अभ्यासों की सूची लगातार पूरक और अद्यतन की जाती है।

उन समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते समय, जिनमें दो तलों के बीच का कोण खोजने की आवश्यकता होती है, छात्रों के पास किसी भी कार्य को ऑनलाइन "पसंदीदा" के रूप में सहेजने का अवसर होता है। इसके लिए धन्यवाद, वे आवश्यकतानुसार कई बार इस पर लौट सकेंगे और इसके समाधान की प्रगति पर चर्चा कर सकेंगे स्कूल शिक्षकया एक शिक्षक.

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डायहेड्रल कोण की अवधारणा

डायहेड्रल कोण की अवधारणा का परिचय देने के लिए, आइए सबसे पहले स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों में से एक को याद करें।

किसी भी तल को इस तल में स्थित रेखा $a$ के दो अर्ध-तलों में विभाजित किया जा सकता है। इस मामले में, एक ही आधे तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $a$ के एक तरफ स्थित होते हैं, और विभिन्न आधे तल में स्थित बिंदु एक ही तरफ होते हैं। अलग-अलग पक्षसीधी रेखा $a$ से (चित्र 1)।

चित्र 1.

डायहेड्रल कोण के निर्माण का सिद्धांत इसी सिद्धांत पर आधारित है।

परिभाषा 1

आकृति कहलाती है डायहेड्रल कोण, यदि इसमें एक रेखा और इस रेखा के दो आधे तल शामिल हैं जो एक ही तल से संबंधित नहीं हैं।

इस स्थिति में, डायहेड्रल कोण के अर्ध-तल कहलाते हैं किनारों, और आधे तलों को अलग करने वाली सीधी रेखा है डायहेड्रल किनारा(चित्र .1)।

चित्र 2. डायहेड्रल कोण

डायहेड्रल कोण का डिग्री माप

परिभाषा 2

आइए किनारे पर एक मनमाना बिंदु $A$ चुनें। विभिन्न अर्ध-तलों में स्थित, एक किनारे के लंबवत और बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को कहा जाता है रैखिक विकर्ण कोण(चित्र 3)।

चित्र तीन।

जाहिर है, प्रत्येक डायहेड्रल कोण में अनंत संख्या में रैखिक कोण होते हैं।

प्रमेय 1

एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

आइए दो रैखिक कोणों $AOB$ और $A_1(OB)_1$ पर विचार करें (चित्र 4)।

चित्र 4.

चूँकि किरणें $OA$ और $(OA)_1$ एक ही अर्ध-तल $\alpha $ में स्थित हैं और एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे सह-दिशात्मक हैं। चूँकि किरणें $OB$ और $(OB)_1$ एक ही अर्ध-तल $\beta $ में स्थित हैं और एक ही सीधी रेखा के लंबवत हैं, तो वे सह-दिशात्मक हैं। इस तरह

\[\कोण AOB=\कोण A_1(OB)_1\]

रैखिक कोणों के चयन की मनमानी के कारण। एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

प्रमेय सिद्ध है.

परिभाषा 3

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का डिग्री माप है।

नमूना समस्याएँ

उदाहरण 1

आइए हमें दो गैर-लंबवत विमान $\alpha $ और $\beta $ दिए जाएं जो सीधी रेखा $m$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु $A$ समतल $\बीटा$ से संबंधित है। $AB$ रेखा $m$ पर लंबवत है। $AC$ समतल $\alpha $ के लंबवत है (बिंदु $C$ $\alpha $ से संबंधित है)। साबित करें कि कोण $ABC$ एक डायहेड्रल कोण का एक रैखिक कोण है।

सबूत।

आइए समस्या की स्थितियों के अनुसार एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

चित्र 5.

इसे सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित प्रमेय को याद करें

प्रमेय 2:किसी झुकी हुई वस्तु के आधार से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा उसके प्रक्षेपण के लंबवत होती है।

चूँकि $AC$ समतल $\alpha $ के लंबवत है, तो बिंदु $C$, समतल $\alpha $ पर बिंदु $A$ का प्रक्षेपण है। इसलिए, $BC$ तिरछे $AB$ का प्रक्षेपण है। प्रमेय 2 के अनुसार, $BC$ डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत है।

फिर, कोण $ABC$ एक रैखिक डायहेड्रल कोण को परिभाषित करने के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

उदाहरण 2

डायहेड्रल कोण $30^\circ$ है। एक फलक पर एक बिंदु $A$ है, जो दूसरे फलक से $4$ सेमी की दूरी पर स्थित है। बिंदु $A$ से डायहेड्रल कोण के किनारे तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए चित्र 5 देखें।

शर्त के अनुसार, हमारे पास $AC=4\cm$ है।

एक डायहेड्रल कोण की डिग्री माप की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यह है कि कोण $ABC$ $30^\circ$ के बराबर है।

त्रिभुज $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है। न्यून कोण की ज्या की परिभाषा के अनुसार

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

पाठ का विषय: "डायहेड्रल कोण।"

पाठ का उद्देश्य: डायहेड्रल कोण और उसके रैखिक कोण की अवधारणा का परिचय।

कार्य:

शैक्षिक: इन अवधारणाओं के अनुप्रयोग पर कार्यों पर विचार करें, विमानों के बीच के कोण को खोजने का रचनात्मक कौशल विकसित करें;

विकासात्मक: विकास रचनात्मक सोचछात्र, छात्रों का व्यक्तिगत आत्म-विकास, छात्रों के भाषण का विकास;

शैक्षिक: मानसिक कार्य, संचारी संस्कृति, चिंतनशील संस्कृति की संस्कृति का पोषण करना।

पाठ का प्रकार: नया ज्ञान सीखने का पाठ

शिक्षण विधियाँ: व्याख्यात्मक और उदाहरणात्मक

उपकरण: कंप्यूटर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड।

साहित्य:

ज्यामिति. ग्रेड 10-11: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। स्तर / [एल. एस. अतानास्यान, वी. एफ. बुटुज़ोव, एस. बी. कदोमत्सेव, आदि] - 18वां संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2009. - 255 पी.

शिक्षण योजना:

संगठनात्मक क्षण(2 मिनट)

ज्ञान अद्यतन करना (5 मिनट)

नई सामग्री सीखना (12 मिनट)

सीखी गई सामग्री का सुदृढीकरण (21 मिनट)

होमवर्क (2 मिनट)

संक्षेप में (3 मिनट)

पाठ की प्रगति:

1. संगठनात्मक क्षण.

इसमें शिक्षक का कक्षा में अभिवादन करना, पाठ के लिए कमरा तैयार करना और अनुपस्थित लोगों की जाँच करना शामिल है।

2. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

अध्यापक: पिछले पाठ में आपने लिखा था स्वतंत्र कार्य. सामान्य तौर पर, काम अच्छा लिखा गया था। अब इसे थोड़ा दोहराते हैं. समतल में बने कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: किसी समतल पर कोण एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी एक आकृति है।

अध्यापक: अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच के कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण इन रेखाओं की किरणों द्वारा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर शीर्ष के साथ बनने वाले कोणों में सबसे छोटा होता है।

विद्यार्थी: प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण क्रमशः डेटा के समानांतर प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण होता है।

अध्यापक: एक सीधी रेखा और समतल के बीच के कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोणएक सीधी रेखा और इस तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच के किसी भी कोण को कहा जाता है।

3. नई सामग्री का अध्ययन.

अध्यापक: स्टीरियोमेट्री में ऐसे कोणों के साथ-साथ एक अन्य प्रकार का कोण भी माना जाता है - डायहेड्रल कोण। आपने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया होगा कि आज के पाठ का विषय क्या है, इसलिए अपनी नोटबुक खोलें, आज की तारीख और पाठ का विषय लिखें।

बोर्ड और नोटबुक में लिखें:

10.12.14.

डायहेड्रल कोण.

अध्यापक : डायहेड्रल कोण की अवधारणा का परिचय देने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि किसी दिए गए तल में खींची गई कोई भी सीधी रेखा इस तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है(चित्र 1, ए)

अध्यापक : आइए कल्पना करें कि हमने विमान को एक सीधी रेखा के साथ मोड़ दिया है ताकि सीमा वाले दो आधे विमान अब एक ही विमान में न हों (चित्र 1, बी)। परिणामी आकृति डायहेड्रल कोण है। डायहेड्रल कोण एक सीधी रेखा और एक सामान्य सीमा वाले दो अर्ध-तलों से बनी एक आकृति है जो एक ही तल से संबंधित नहीं होती है। एक द्विफलकीय कोण बनाने वाले आधे तल इसके फलक कहलाते हैं। एक द्विफलकीय कोण की दो भुजाएँ होती हैं, इसलिए इसे द्विफलकीय कोण कहा जाता है। सीधी रेखा - आधे तलों की सामान्य सीमा - को डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है। इसकी परिभाषा अपनी नोटबुक में लिखिए।

डायहेड्रल कोण एक सीधी रेखा और एक सामान्य सीमा वाले दो अर्ध-तलों से बनी एक आकृति है जो एक ही तल से संबंधित नहीं होती है।

अध्यापक : रोजमर्रा की जिंदगी में हमारा सामना अक्सर ऐसी वस्तुओं से होता है जिनका आकार डायहेड्रल कोण जैसा होता है। उदाहरण दीजिए.

विद्यार्थी : आधा खुला हुआ फोल्डर.

विद्यार्थी : कमरे की दीवार फर्श से सटी हुई है।

विद्यार्थी : इमारतों की विशाल छतें।

अध्यापक : सही। और ऐसे उदाहरण बड़ी संख्या में हैं।

अध्यापक : जैसा कि आप जानते हैं, समतल में कोणों को डिग्री में मापा जाता है। आपके मन में संभवतः यह प्रश्न होगा कि डायहेड्रल कोणों को कैसे मापा जाता है? यह अग्रानुसार होगा।आइए डायहेड्रल कोण के किनारे पर कुछ बिंदु चिह्नित करें और प्रत्येक चेहरे पर इस बिंदु से किनारे पर लंबवत एक किरण खींचें। इन किरणों से बनने वाले कोण को डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है। अपनी नोटबुक में एक चित्र बनाएं।

बोर्ड और नोटबुक में लिखें.

के बारे में ∈ ए, जेएससी ⊥ ए, वीओ ⊥ ए, एसएबी.डी- डायहेड्रल कोण,∠ एओबी– डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण.

अध्यापक : एक द्विफलकीय कोण के सभी रैखिक कोण बराबर होते हैं। अपने लिए ऐसी ही एक और ड्राइंग बनाएं.

अध्यापक : आइए इसे साबित करें. दो रैखिक कोणों AOB और पर विचार करेंपीक्यूआर. किरणें OA औरक्यूपीएक ही मुख पर लेटें और लंबवत होंOQ, जिसका अर्थ है कि वे सह-निर्देशित हैं। इसी प्रकार, किरणें ओबी औरQRसह-निर्देशित। मतलब,∠ एओबी= ∠ पीक्यूआर(संरेखित भुजाओं वाले कोणों की तरह)।

अध्यापक : खैर, अब हमारे प्रश्न का उत्तर यह है कि डायहेड्रल कोण को कैसे मापा जाता है।एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप उसके रैखिक कोण का डिग्री माप है। पृष्ठ 48 पर पाठ्यपुस्तक से न्यून, समकोण और अधिक डायहेड्रल कोण की छवियां दोबारा बनाएं।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

अध्यापक : कार्यों के लिए चित्र बनाएं.

№ 1 . दिया गया: Δएबीसी, AC = BC, AB समतल में स्थित हैα, सीडी ⊥ α, सी∉ α. द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिएसीएबीडी.

विद्यार्थी : समाधान:सेमी। ⊥ अब, डीसी ⊥ एबी.∠ अध्यक्ष एवं प्रबंध निदेशक - मांग में।

№ 2. दिया गया: Δएबीसी, ∠ सी= 90°, BC समतल पर स्थित हैα, जेएससी⊥ α, ए∈ α.

द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिएएबीसीओ.

विद्यार्थी : समाधान:अब ⊥ ईसा पूर्व, जेएससी⊥ BC का अर्थ है OS⊥ सूरज।∠ एसीओ - मांग में।

№ 3 . दिया गया: Δएबीसी, ∠ C = 90°, AB समतल में स्थित हैα, सीडी⊥ α, सी∉ α. निर्माणरैखिक विकर्ण कोणडीएबीसी.

विद्यार्थी : समाधान: सी.के. ⊥ अब, डीसी ⊥ एबी,डीके ⊥ एबी का मतलब है∠ डीकेसी - मांग में।

№ 4 . दिया गया:डीएबीसी- चतुष्फलक,करना⊥ एबीसी.डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करेंए बी सी डी.

विद्यार्थी : समाधान:डीएम ⊥ सूरज,करना ⊥ VS का मतलब ओम है⊥ सूरज;∠ ओ.एम.डी - मांग में।

5. सारांश.

अध्यापक: आज आपने कक्षा में क्या नया सीखा?

छात्र : डायहेड्रल कोण, रैखिक कोण किसे कहते हैं, डायहेड्रल कोण कैसे मापा जाता है।

अध्यापक : उन्होंने क्या दोहराया?

छात्र : समतल पर कोण किसे कहते हैं; सीधी रेखाओं के बीच का कोण.

6.गृहकार्य।

बोर्ड पर और अपनी डायरियों में लिखें: अनुच्छेद 22, संख्या 167, संख्या 170।

डायहेड्रल कोण. रैखिक विकर्ण कोण. डायहेड्रल कोण दो अर्ध-तलों से बनी एक आकृति है जो एक ही तल से संबंधित नहीं होती है और उनकी एक सामान्य सीमा होती है - सीधी रेखा ए। एक डायहेड्रल कोण बनाने वाले आधे-तलों को इसके फलक कहा जाता है, और इन आधे-तलों की सामान्य सीमा को डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है। डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण वह कोण होता है जिसकी भुजाएँ किरणें होती हैं जिनके अनुदिश डायहेड्रल कोण के फलक डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित होते हैं। प्रत्येक डायहेड्रल कोण में किसी भी संख्या में रैखिक कोण होते हैं: किनारे के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से कोई इस किनारे पर लंबवत एक विमान खींच सकता है; किरणें जिनके अनुदिश यह तल एक डायहेड्रल कोण के फलकों को काटता है, रैखिक कोण बनाती हैं।

एक द्विफलकीय कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि यदि पिरामिड KABC के आधार के तल और उसके पार्श्व फलकों के तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोण बराबर हैं, तो शीर्ष K से खींचे गए लंब का आधार त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त का केंद्र है।

सबूत। सबसे पहले, आइए समान डायहेड्रल कोणों के रैखिक कोण बनाएं। परिभाषा के अनुसार, एक रैखिक कोण का तल डायहेड्रल कोण के किनारे पर लंबवत होना चाहिए। इसलिए, एक द्विफलकीय कोण का किनारा रैखिक कोण की भुजाओं के लंबवत होना चाहिए। यदि KO आधार तल पर लंबवत है, तो हम OR लंबवत AC, OR लंबवत SV, OQ लंबवत AB खींच सकते हैं, और फिर बिंदु P, Q, R को बिंदु K से जोड़ सकते हैं। इस प्रकार, हम झुके हुए RK, QK का एक प्रक्षेपण बनाएंगे। , आरके ताकि किनारे AC, NE, AB इन प्रक्षेपणों के लंबवत हों। नतीजतन, ये किनारे स्वयं झुके हुए किनारों के लंबवत हैं। और इसलिए त्रिभुज ROK, QOK, ROK के तल डायहेड्रल कोण के संगत किनारों के लंबवत हैं और उन समान रैखिक कोणों का निर्माण करते हैं जिनका उल्लेख स्थिति में किया गया है। समकोण त्रिभुज ROK, QOK, ROK सर्वांगसम हैं (क्योंकि उनका एक उभयनिष्ठ पैर OK है और इस पैर के विपरीत कोण बराबर हैं)। इसलिए, OR = OR = OQ. यदि हम केंद्र O और त्रिज्या OP के साथ एक वृत्त खींचते हैं, तो त्रिभुज ABC की भुजाएँ त्रिज्या OP, OR और OQ के लंबवत होती हैं और इसलिए इस वृत्त की स्पर्शरेखा होती हैं।

विमानों की लंबवतता. अल्फा और बीटा विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके चौराहे पर बने डायहेड्रल कोणों में से एक का रैखिक कोण 90 के बराबर है।" दो विमानों की लंबवतता के संकेत यदि दो विमानों में से एक दूसरे विमान के लंबवत रेखा से गुजरता है, तब ये तल लंबवत होते हैं।

चित्र एक आयताकार समांतर चतुर्भुज को दर्शाता है। इसका आधार आयत ABCD और A1B1C1D1 हैं। और पार्श्व पसलियां AA1 BB1, CC1, DD1 आधारों के लंबवत हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि AA1, AB पर लंबवत है, अर्थात पार्श्व फलक एक आयत है। इस प्रकार, संपत्तियों का औचित्य सिद्ध करना संभव है आयताकार समांतर चतुर्भुज: एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं। एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का प्रमेय वर्ग योग के बराबरइसके तीन आयामों के वर्ग। आइए हम फिर से चित्र की ओर मुड़ें, और सिद्ध करें कि AC12 = AB2 + AD2 + AA12 चूँकि किनारा CC1 आधार ABCD के लंबवत है, कोण ACC1 समकोण है। से सही त्रिकोण ACC1 पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम AC12=AC2+CC12 प्राप्त करते हैं। लेकिन AC, आयत ABCD का एक विकर्ण है, इसलिए AC2 = AB2 + AD2 है। इसके अलावा, CC1 = AA1. अतः AC12=AB2+AD2+AA12 प्रमेय सिद्ध है।