समद्विबाहु त्रिकोण। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2020)

समद्विबाहु त्रिभुज के गुण निम्नलिखित प्रमेयों द्वारा व्यक्त किये जाते हैं।

प्रमेय 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर बने कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय 2. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया समद्विभाजक माध्यिका और ऊंचाई है।

प्रमेय 3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार से खींची गई माध्यिका समद्विभाजक और ऊंचाई होती है।

प्रमेय 4. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार से खींची गई ऊँचाई समद्विभाजक और माध्यिका होती है।

आइए हम उनमें से एक को सिद्ध करें, उदाहरण के लिए प्रमेय 2.5।

सबूत। आइए आधार BC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC पर विचार करें और सिद्ध करें कि ∠ B = ∠ C. माना AD त्रिभुज ABC का समद्विभाजक है (चित्र 1)। त्रिभुज ABD और ACD त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न के अनुसार बराबर हैं (AB = AC शर्त के अनुसार, AD एक उभयनिष्ठ भुजा है, ∠ 1 = ∠ 2, क्योंकि AD एक समद्विभाजक है)। इन त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ B = ∠ C. प्रमेय सिद्ध है।

प्रमेय 1 का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित प्रमेय स्थापित किया जाता है।

प्रमेय 5. त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड। यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (चित्र 2)।

टिप्पणी। उदाहरण 1 और 2 में स्थापित वाक्य एक खंड के लंबवत समद्विभाजक के गुणों को व्यक्त करते हैं। इन प्रस्तावों से यह निष्कर्ष निकलता है त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं.

उदाहरण 1।सिद्ध करें कि किसी खंड के सिरों से समान दूरी पर स्थित समतल में एक बिंदु इस खंड के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होता है।

समाधान। मान लीजिए बिंदु M खंड AB के सिरों से समान दूरी पर है (चित्र 3), अर्थात AM = BM।

तब Δ AMV समद्विबाहु है। आइए हम खंड AB के बिंदु M और मध्यबिंदु O से होकर एक सीधी रेखा p खींचें। निर्माण के अनुसार, खंड MO समद्विबाहु त्रिभुज AMB का माध्यिका है, और इसलिए (प्रमेय 3), और ऊंचाई, यानी, सीधी रेखा MO, खंड AB का लंबवत समद्विभाजक है।

उदाहरण 2.सिद्ध करें कि किसी खंड के लंबवत समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु उसके सिरों से समान दूरी पर होता है।

समाधान। मान लीजिए p खंड AB का लंबवत समद्विभाजक है और बिंदु O खंड AB का मध्यबिंदु है (चित्र 3 देखें)।

सीधी रेखा p पर स्थित एक मनमाने बिंदु M पर विचार करें। आइए खंड AM और BM बनाएं। त्रिभुज AOM और BOM बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष O पर उनके कोण समकोण हैं, पैर OM उभयनिष्ठ है, और पैर OA शर्त के अनुसार पैर OB के बराबर है। त्रिभुज AOM और BOM की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि AM = BM है।

उदाहरण 3.त्रिभुज ABC में (चित्र 4 देखें) AB = 10 सेमी, BC = 9 सेमी, AC = 7 सेमी; त्रिभुज DEF में DE = 7 सेमी, EF = 10 सेमी, FD = 9 सेमी।

त्रिभुज ABC और DEF की तुलना करें। संगत समान कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान। तीसरी कसौटी के अनुसार ये त्रिभुज बराबर हैं। तदनुसार, समान कोण: A और E (समान भुजाओं BC और FD के विपरीत स्थित), B और F (समान भुजाओं AC और DE के विपरीत स्थित), C और D (समान भुजाओं AB और EF के विपरीत स्थित)।

उदाहरण 4.चित्र 5 में, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°।

कोण D ज्ञात कीजिए.

समाधान। त्रिभुज ABC और ADC पर विचार करें। तीसरी कसौटी के अनुसार वे बराबर हैं (एबी = डीसी, बीसी = एडी शर्त के अनुसार और पक्ष एसी उभयनिष्ठ है)। इन त्रिभुजों की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠ B = ∠ D, लेकिन कोण B 100° के बराबर है, जिसका अर्थ है कि कोण D 100° के बराबर है।

उदाहरण 5.आधार AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, शीर्ष C पर बाह्य कोण 123° है। कोण ABC का आकार ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

वीडियो समाधान.

हमारी सभ्यता के पहले इतिहासकार - प्राचीन यूनानी - मिस्र को ज्यामिति के जन्मस्थान के रूप में उल्लेख करते हैं। यह जानकर उनसे असहमत होना मुश्किल है कि फिरौन की विशाल कब्रें कितनी अद्भुत सटीकता से बनाई गई थीं। पिरामिडों के तलों की सापेक्ष व्यवस्था, उनका अनुपात, मुख्य बिंदुओं की ओर उन्मुखीकरण - ज्यामिति की मूल बातें जाने बिना ऐसी पूर्णता प्राप्त करना अकल्पनीय होगा।

शब्द "ज्यामिति" का अनुवाद "पृथ्वी का माप" के रूप में किया जा सकता है। इसके अलावा, "पृथ्वी" शब्द एक ग्रह के रूप में नहीं - सौर मंडल का हिस्सा, बल्कि एक विमान के रूप में प्रकट होता है। कृषि के लिए क्षेत्रों को चिह्नित करना संभवतः ज्यामितीय आकृतियों, उनके प्रकारों और गुणों के विज्ञान का मूल आधार है।

त्रिभुज प्लैनिमेट्री की सबसे सरल स्थानिक आकृति है, जिसमें केवल तीन बिंदु होते हैं - शीर्ष (कम नहीं हैं)। नींव का आधार, शायद इसीलिए उसमें कुछ रहस्यमय और प्राचीन प्रतीत होता है। त्रिभुज के अंदर सब कुछ देखने वाली आंख सबसे पहले ज्ञात गुप्त संकेतों में से एक है, और इसके वितरण का भूगोल और समय सीमा बस आश्चर्यजनक है। प्राचीन मिस्र, सुमेरियन, एज़्टेक और अन्य सभ्यताओं से लेकर दुनिया भर में फैले हुए जादू प्रेमियों के अधिक आधुनिक समुदायों तक।

त्रिभुज क्या हैं?

एक साधारण स्केलीन त्रिभुज एक बंद ज्यामितीय आकृति है जिसमें अलग-अलग लंबाई और तीन कोणों के तीन खंड होते हैं, जिनमें से कोई भी सही नहीं होता है। इसके अतिरिक्त भी कई विशेष प्रकार हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज के सभी कोण 90 डिग्री से कम होते हैं। दूसरे शब्दों में, ऐसे त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण होते हैं।

एक समकोण त्रिभुज, जिस पर प्रमेयों की प्रचुरता के कारण स्कूली बच्चे हमेशा रोते रहे हैं, उसका एक कोण 90 डिग्री का होता है या, जैसा कि इसे एक सीधी रेखा भी कहा जाता है।

एक अधिक त्रिभुज की पहचान इस बात से होती है कि इसका एक कोण अधिक कोण होता है, अर्थात इसका आकार 90 डिग्री से अधिक होता है।

एक समबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। ऐसी आकृति में सभी कोण भी बराबर होते हैं।

और अंत में, एक समद्विबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं, जिनमें से दो एक दूसरे के बराबर होती हैं।

विशिष्ट सुविधाएं

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण इसके मुख्य, मुख्य अंतर को भी निर्धारित करते हैं - इसकी दोनों भुजाओं की समानता। इन समान भुजाओं को आमतौर पर कूल्हे (या, अधिक बार, भुजाएँ) कहा जाता है, और तीसरी भुजा को "आधार" कहा जाता है।

विचाराधीन चित्र में, a = b.

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए दूसरा मानदंड ज्या प्रमेय का अनुसरण करता है। चूँकि भुजाएँ a और b बराबर हैं, उनके सम्मुख कोणों की ज्याएँ भी बराबर हैं:

a/sin γ = b/sin α, जहां से हमारे पास है: पाप γ = पाप α।

ज्या की समानता से कोणों की समानता का अनुसरण होता है: γ = α।

तो, समद्विबाहु त्रिभुज का दूसरा चिन्ह आधार से सटे दो कोणों की समानता है।

तीसरा लक्षण. एक त्रिभुज में ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका जैसे तत्व होते हैं।

यदि, समस्या को हल करने की प्रक्रिया में, यह पता चलता है कि प्रश्न में त्रिभुज में इनमें से कोई भी दो तत्व मेल खाते हैं: समद्विभाजक के साथ ऊंचाई; माध्यिका के साथ समद्विभाजक; ऊंचाई के साथ माध्यिका - हम निश्चित रूप से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज समद्विबाहु है।

किसी आकृति के ज्यामितीय गुण

1. समद्विबाहु त्रिभुज के गुण। आकृति के विशिष्ट गुणों में से एक आधार से सटे कोणों की समानता है:

<ВАС = <ВСА.

2. ऊपर एक और संपत्ति पर चर्चा की गई थी: एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका, समद्विभाजक और ऊंचाई मेल खाते हैं यदि वे इसके शीर्ष से इसके आधार तक बने होते हैं।

3. आधार पर शीर्षों से खींचे गए समद्विभाजकों की समानता:

यदि AE कोण BAC का समद्विभाजक है, और CD कोण BCA का समद्विभाजक है, तो: AE = DC.

4. समद्विबाहु त्रिभुज के गुण आधार पर शीर्षों से खींची गई ऊँचाइयों की समानता भी प्रदान करते हैं।

यदि हम शीर्ष A और C से त्रिभुज ABC (जहाँ AB = BC) की ऊँचाई बनाते हैं, तो परिणामी खंड CD और AE बराबर होंगे।

5. आधार पर कोनों से खींची गई माध्यिकाएँ भी बराबर होंगी।

इसलिए, यदि AE और DC माध्यिकाएँ हैं, अर्थात AD = DB, और BE = EC, तो AE = DC।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई

भुजाओं और उनके साथ कोणों की समानता विचाराधीन आकृति के तत्वों की लंबाई की गणना में कुछ विशेषताएं पेश करती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊँचाई आकृति को 2 सममित समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनके कर्ण भुजाओं पर होते हैं। इस मामले में ऊंचाई पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार एक पैर के रूप में निर्धारित की जाती है।

किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हो सकती हैं, तो वह समबाहु कहलाएगा। एक समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई इसी प्रकार निर्धारित की जाती है, केवल गणना के लिए केवल एक मान जानना पर्याप्त है - इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई।

आप ऊंचाई को दूसरे तरीके से निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, आधार और उससे सटे कोण को जानकर।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका

विचाराधीन त्रिभुज का प्रकार, इसकी ज्यामितीय विशेषताओं के कारण, प्रारंभिक डेटा के न्यूनतम सेट का उपयोग करके काफी सरलता से हल किया जा सकता है। चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका उसकी ऊँचाई और उसके समद्विभाजक दोनों के बराबर होती है, इसलिए इसे निर्धारित करने के लिए एल्गोरिदम इन तत्वों की गणना करने की प्रक्रिया से अलग नहीं है।

उदाहरण के लिए, आप ज्ञात पार्श्व पक्ष और शीर्ष कोण के परिमाण द्वारा माध्यिका की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं।

परिधि का निर्धारण कैसे करें

चूँकि विचाराधीन समतल आकृति की दोनों भुजाएँ हमेशा बराबर होती हैं, परिधि निर्धारित करने के लिए आधार की लंबाई और किसी एक भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त है।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें जब आपको ज्ञात आधार और ऊंचाई का उपयोग करके त्रिभुज की परिधि निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

परिमाप आधार के योग के बराबर और भुजा की लंबाई का दोगुना है। बदले में, पार्श्व भुजा को एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। इसकी लंबाई ऊंचाई के वर्ग और आधे आधार के वर्ग के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक नियम के रूप में, समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने से कोई कठिनाई नहीं होती है। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और उसकी ऊंचाई के आधे गुणनफल के रूप में निर्धारित करने का सार्वभौमिक नियम, निश्चित रूप से, हमारे मामले में लागू होता है। हालाँकि, समद्विबाहु त्रिभुज के गुण फिर से कार्य को आसान बनाते हैं।

आइए मान लें कि आधार से सटे ऊंचाई और कोण ज्ञात हैं। आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है। यह इस तरह से किया जा सकता है.

चूँकि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, इसलिए कोण का आकार निर्धारित करना कठिन नहीं है। इसके बाद, ज्या प्रमेय के अनुसार संकलित अनुपात का उपयोग करके, त्रिभुज के आधार की लंबाई निर्धारित की जाती है। सब कुछ, आधार और ऊंचाई - क्षेत्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त डेटा - उपलब्ध हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के अन्य गुण

एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के केंद्र की स्थिति शीर्ष कोण के परिमाण पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज न्यूनकोण है, तो वृत्त का केंद्र आकृति के अंदर स्थित होता है।

एक अधिक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र इसके बाहर स्थित है। और अंत में, यदि शीर्ष पर कोण 90° है, तो केंद्र बिल्कुल आधार के मध्य में स्थित होता है, और वृत्त का व्यास आधार से ही होकर गुजरता है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने के लिए, भुजा की लंबाई को शीर्ष कोण के आधे कोज्या के दोगुने से विभाजित करना पर्याप्त है।

सभी त्रिभुजों में, दो विशेष प्रकार होते हैं: समकोण त्रिभुज और समद्विबाहु त्रिभुज। इस प्रकार के त्रिभुज इतने विशेष क्यों हैं? खैर, सबसे पहले, ऐसे त्रिकोण अक्सर पहले भाग में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं में मुख्य पात्र बन जाते हैं। और दूसरी बात, समकोण और समद्विबाहु त्रिभुजों की समस्याओं को अन्य ज्यामिति समस्याओं की तुलना में हल करना बहुत आसान है। आपको बस कुछ नियमों और गुणों को जानना होगा। संबंधित विषय में सभी सबसे दिलचस्प चीजों पर चर्चा की गई है, लेकिन अब आइए समद्विबाहु त्रिभुजों पर नजर डालें। और सबसे पहले, समद्विबाहु त्रिभुज क्या है? या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा क्या है?

देखें यह कैसा दिखता है:

एक समकोण त्रिभुज की तरह, एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं के लिए विशेष नाम होते हैं। दो समान भुजाएँ कहलाती हैं दोनों पक्ष, और तीसरा पक्ष - आधार.

और फिर से चित्र पर ध्यान दें:

निःसंदेह, यह इस प्रकार हो सकता है:

तो सावधान रहो: पार्श्व पक्ष - दो समान भुजाओं में से एकएक समद्विबाहु त्रिभुज में, और आधार कोई तीसरा पक्ष है.

एक समद्विबाहु त्रिभुज इतना अच्छा क्यों है? इसे समझने के लिए, आइए आधार की ऊंचाई बनाएं। क्या आपको याद है ऊंचाई क्या होती है?

क्या हुआ? एक समद्विबाहु त्रिभुज से हमें दो आयताकार त्रिभुज मिलते हैं।

यह पहले से ही अच्छा है, लेकिन यह किसी भी, यहां तक ​​कि सबसे "तिरछे" त्रिकोण में भी होगा।

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए चित्र किस प्रकार भिन्न है? फिर देखो:

खैर, सबसे पहले, निश्चित रूप से, इन अजीब गणितज्ञों के लिए केवल देखना ही पर्याप्त नहीं है - उन्हें निश्चित रूप से साबित करना होगा। अन्यथा, अचानक ये त्रिकोण थोड़े अलग होंगे, लेकिन हम इन्हें एक ही मानेंगे।

लेकिन चिंता न करें: इस मामले में, साबित करना देखने जितना ही आसान है।

हम शुरू करेंगे क्या? ध्यान से देखें, हमारे पास है:

और उसका अर्थ यह निकलता है! क्यों? हां, हम बस पायथागॉरियन प्रमेय से और, और पाएंगे (उसी समय याद रखें)

क्या आपको यकीन है? खैर, अब हमारे पास है

और तीन तरफ - त्रिकोणों की समानता का सबसे आसान (तीसरा) संकेत।

खैर, हमारा समद्विबाहु त्रिभुज दो समान आयताकार त्रिभुजों में विभाजित हो गया है।

देखो यह कितना दिलचस्प है? ऐसा पता चला कि:

गणितज्ञ आमतौर पर इस बारे में कैसे बात करते हैं? आइए क्रम से चलें:

(यहां याद रखें कि माध्यिका एक शीर्ष से खींची गई एक रेखा है जो भुजा को आधे में विभाजित करती है, और समद्विभाजक कोण है।)

खैर, यहां हमने चर्चा की कि यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया जाए तो कौन सी अच्छी चीजें देखी जा सकती हैं। हमने निष्कर्ष निकाला कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर कोण बराबर होते हैं, और आधार पर खींची गई ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका संपाती होती हैं।

और अब एक और सवाल उठता है: समद्विबाहु त्रिभुज को कैसे पहचानें? अर्थात्, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, क्या हैं समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण?

और यह पता चला है कि आपको बस सभी कथनों को दूसरी तरह से "चालू" करने की आवश्यकता है। बेशक, ऐसा हमेशा नहीं होता है, लेकिन एक समद्विबाहु त्रिभुज अभी भी एक महान चीज़ है! "टर्नओवर" के बाद क्या होता है?

देखना:
यदि ऊँचाई और माध्यिका संपाती हो, तो:

यदि ऊँचाई और समद्विभाजक संपाती हों, तो:


यदि समद्विभाजक और माध्यिका संपाती हों, तो:

खैर, मत भूलिए और उपयोग कीजिए:

• यदि आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है, तो बेझिझक ऊँचाई खींचें, दो समकोण त्रिभुज प्राप्त करें और एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्या का समाधान करें।
• यदि वह दिया जाए दो कोण बराबर हैं, फिर एक त्रिकोण बिल्कुलसमद्विबाहु और आप ऊंचाई खींच सकते हैं और...(द हाउस दैट जैक बिल्ट...)।
• यदि यह पता चलता है कि ऊंचाई आधे में विभाजित है, तो त्रिभुज सभी आगामी बोनस के साथ समद्विबाहु है।
• यदि यह पता चलता है कि ऊँचाई फर्शों के बीच के कोण को विभाजित करती है - तो यह भी समद्विबाहु है!
• यदि कोई समद्विभाजक किसी भुजा को आधे में विभाजित करता है या माध्यिका किसी कोण को विभाजित करती है, तो ऐसा भी होता है केवलएक समद्विबाहु त्रिभुज में

आइए देखें कि यह कार्यों में कैसा दिखता है।

समस्या 1(सबसे आसान)

एक त्रिभुज में, भुजाएँ और बराबर होती हैं, a. खोजो।

हमने निर्णय किया:

सबसे पहले ड्राइंग.

यहाँ आधार क्या है? निश्चित रूप से, ।

आइए याद रखें क्या होगा अगर, फिर और।

अद्यतन ड्राइंग:

आइए निरूपित करें। एक त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है? ?

हम उपयोग करते हैं:

वह है उत्तर: .

मुश्किल नहीं है, है ना? मुझे ऊंचाई भी समायोजित नहीं करनी पड़ी।

समस्या 2(बहुत पेचीदा भी नहीं, लेकिन हमें विषय दोहराना होगा)

एक त्रिकोण में, . खोजो।

हमने निर्णय किया:

त्रिभुज समद्विबाहु है! हम ऊंचाई खींचते हैं (यह वह तरकीब है जिससे अब सब कुछ तय हो जाएगा)।

आइए अब "जीवन से बाहर निकलें", आइए बस इसे देखें।

तो हमारे पास:

आइए कोसाइन के सारणीबद्ध मान याद रखें (ठीक है, या चीट शीट देखें...)

जो कुछ बचा है उसे ढूंढना है: .

उत्तर: .

ध्यान दें कि हम यहां हैं बहुतसमकोण त्रिभुजों और "सारणीबद्ध" ज्याओं और कोज्याओं के संबंध में आवश्यक ज्ञान। बहुत बार ऐसा होता है: विषय, "समद्विबाहु त्रिभुज" और समस्याओं में एक साथ चलते हैं, लेकिन अन्य विषयों के साथ बहुत अनुकूल नहीं होते हैं।

समद्विबाहु त्रिकोण। औसत स्तर।

इन दो बराबर भुजाएँकहा जाता है दोनों पक्ष, ए तीसरी भुजा समद्विबाहु त्रिभुज का आधार है।

चित्र को देखें: और - भुजाएँ, - समद्विबाहु त्रिभुज का आधार।

ऐसा क्यों होता है यह समझने के लिए आइए एक तस्वीर का उपयोग करें। आइए एक बिंदु से एक ऊंचाई बनाएं।

इसका मतलब यह है कि सभी संगत तत्व समान हैं।

सभी! उन्होंने एक झटके में (ऊँचाई से) सभी कथनों को एक साथ सिद्ध कर दिया।

और याद रखें: एक समद्विबाहु त्रिभुज के बारे में किसी समस्या को हल करने के लिए, अक्सर समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की ऊंचाई को कम करना और इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करना बहुत उपयोगी होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण

विपरीत कथन भी सत्य हैं:

इनमें से लगभग सभी कथनों को फिर से "एक झटके में" सिद्ध किया जा सकता है।

1. तो, चलो बराबर हो गए और।

आइए ऊंचाई की जांच करें। तब

2. क) अब किसी त्रिभुज में चलो ऊँचाई और समद्विभाजक संपाती हैं.

2. बी) और यदि ऊंचाई और माध्यिका संपाती हो? सब कुछ लगभग वैसा ही है, कोई अधिक जटिल नहीं!

- दो तरफ

2. ग) लेकिन अगर ऊंचाई नहीं है, जिसे एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर उतारा जाता है, तो प्रारंभ में कोई समकोण त्रिभुज नहीं होता है। बुरी तरह!

लेकिन एक रास्ता है - इसे सिद्धांत के अगले स्तर पर पढ़ें, क्योंकि यहां प्रमाण अधिक जटिल है, लेकिन अभी के लिए बस यह याद रखें कि यदि माध्यिका और समद्विभाजक मेल खाते हैं, तो त्रिभुज भी समद्विबाहु बन जाएगा, और ऊँचाई अभी भी इन समद्विभाजक और माध्यिका के साथ मेल खाएगी।

आइए संक्षेप में बताएं:

1. यदि त्रिभुज समद्विबाहु है, तो आधार पर कोण बराबर होते हैं, और आधार पर खींची गई ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका संपाती होती हैं।
2. यदि किसी त्रिभुज में दो बराबर कोण हों, या तीन रेखाओं (द्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई) में से कुछ दो एक समान हों, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

समद्विबाहु त्रिकोण। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

समद्विबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी दो भुजाएँ समान होती हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण:

1. यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हैं, तो वह समद्विबाहु है।
2. यदि किसी त्रिभुज में वे संपाती हों:
   ए) ऊंचाई और द्विभाजकया
   बी) ऊंचाई और माध्यिकाया
   वी) माध्यिका और द्विभाजक,
   एक ओर खींचा जाए तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

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