एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड। एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड का प्रमाण

आज हम आपके ध्यान में एक अद्भुत और रहस्यमय विषय - ज्यामिति पर एक और प्रस्तुति लेकर आए हैं। इस प्रस्तुति में हम आपको ज्यामितीय आकृतियों की एक नई संपत्ति से परिचित कराएंगे, विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों में आनुपातिक खंडों की अवधारणा से।

सबसे पहले, हमें यह याद रखना चाहिए कि त्रिभुज क्या है? यह सबसे सरल बहुभुज है, जिसमें तीन खंडों से जुड़े तीन शीर्ष हैं। जिस त्रिभुज का एक कोण 90 डिग्री के बराबर हो उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं। आपके ध्यान में प्रस्तुत हमारी पिछली शैक्षिक सामग्रियों में आप पहले ही उनके साथ अधिक विस्तार से परिचित हो चुके हैं।

तो, आज के अपने विषय पर लौटते हुए, आइए निरूपित करें कि 90 डिग्री के कोण से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है जो एक दूसरे के और मूल त्रिभुज दोनों के समान हैं। आपकी रुचि के सभी आंकड़े और ग्राफ़ प्रस्तावित प्रस्तुति में दिए गए हैं, और हम अनुशंसा करते हैं कि आप वर्णित स्पष्टीकरण के साथ उनका संदर्भ लें।

उपरोक्त थीसिस का एक ग्राफिक उदाहरण दूसरी स्लाइड पर देखा जा सकता है। त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न के आधार पर, त्रिभुज समरूप होते हैं क्योंकि उनमें दो समान कोण होते हैं। यदि हम अधिक विस्तार से निर्दिष्ट करें, तो कर्ण से नीचे की ऊंचाई इसके साथ एक समकोण बनाती है, अर्थात, पहले से ही समान कोण हैं, और प्रत्येक गठित कोण में मूल के रूप में एक सामान्य कोण भी होता है। परिणामस्वरुप दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। अर्थात् त्रिभुज समरूप हैं।

आइए हम यह भी निर्दिष्ट करें कि "आनुपातिक माध्य" या "ज्यामितीय माध्य" की अवधारणा का क्या अर्थ है? यह खंड AB और CD के लिए एक निश्चित XY खंड है, जब यह उनकी लंबाई के उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है।

जिससे यह भी पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और इस पैर के कर्ण पर प्रक्षेपण, यानी दूसरे पैर के बीच का ज्यामितीय माध्य है।

समकोण त्रिभुज का एक अन्य गुण यह है कि इसकी ऊंचाई, 90° के कोण से खींची गई, कर्ण पर पैरों के प्रक्षेपण के बीच औसत आनुपातिक है। यदि आप प्रस्तुतीकरण और आपके ध्यान में प्रस्तुत अन्य सामग्रियों की ओर रुख करें, तो आप देखेंगे कि इस थीसिस का प्रमाण बहुत ही सरल और सुलभ रूप में है। पहले, हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं कि परिणामी त्रिभुज एक दूसरे के और मूल त्रिभुज के समान हैं। फिर, इन ज्यामितीय आकृतियों के पैरों के अनुपात का उपयोग करके, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई सीधे उन खंडों के उत्पाद के वर्गमूल के समानुपाती होती है जो ऊंचाई कम करने के परिणामस्वरूप बने थे। मूल त्रिभुज का समकोण.

प्रस्तुति में अंतिम बात यह है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और उसके खंड के लिए ज्यामितीय माध्य है जो पैर और 90 डिग्री के बराबर कोण से खींची गई ऊंचाई के बीच स्थित है। इस मामले को इस दृष्टिकोण से माना जाना चाहिए कि संकेतित त्रिकोण एक दूसरे के समान हैं, और उनमें से एक का पैर दूसरे का कर्ण बन जाता है। लेकिन प्रस्तावित सामग्रियों का अध्ययन करके आप इससे अधिक परिचित हो जाएंगे।

समकोण त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

आइए सबसे पहले समकोण त्रिभुजों के लिए समानता मानदंड का परिचय दें।

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनमें से प्रत्येक में एक समान न्यूनकोण होता है (चित्र 1)।

चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज

सबूत।

मान लीजिए कि $\कोण B=\कोण B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, तो $\कोण A=\कोण A_1=(90)^0$. इसलिए, त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के अनुसार वे समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय

प्रमेय 2

समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है।

सबूत।

आइए हमें समकोण $C$ वाला एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। आइए ऊंचाई $CD$ बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय 2 का चित्रण

आइए हम साबित करें कि त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ त्रिकोण $ABC$ के समान हैं और त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ एक दूसरे के समान हैं।

चूँकि $\कोण ADC=(90)^0$, तो त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ का एक उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समरूप हैं।

चूँकि $\कोण BDC=(90)^0$, तो त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ का एक उभयनिष्ठ कोण $B$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समरूप हैं।

आइए अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ पर विचार करें

\[\कोण A=(90)^0-\कोण ACD\] \[\कोण BCD=(90)^0-\कोण ACD=\कोण A\]

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

औसत आनुपातिक

प्रमेय 3

समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई उन खंडों का औसत आनुपातिक है जिसमें ऊंचाई दिए गए त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।

सबूत।

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक समकोण त्रिभुज का पाद कर्ण और पाद के बीच घिरे कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच का माध्य आनुपातिक है।

सबूत।

प्रमेय के प्रमाण में हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समरूप हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पाठ मकसद:

1. दो खंडों के आनुपातिक माध्य (ज्यामितीय माध्य) की अवधारणा का परिचय दे सकेंगे;
2. एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंडों की समस्या पर विचार करें: एक समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई का गुण;
3. समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में अध्ययन किए गए विषय का उपयोग करने में छात्रों के कौशल को विकसित करना।

पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ.

योजना:

1. संगठन क्षण.
2. ज्ञान को अद्यतन करना।
3. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के गुण का अध्ययन:
   – प्रारंभिक चरण;
   - परिचय;
   - आत्मसात्करण.
4. दो खंडों के औसत आनुपातिक की अवधारणा का परिचय।
5. दो खंडों के औसत आनुपातिक की अवधारणा में महारत हासिल करना।
6. परिणामों का प्रमाण:
   - समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई उन खंडों के बीच औसत आनुपातिक है जिसमें कर्ण को इस ऊंचाई से विभाजित किया गया है;
   - एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर और ऊंचाई के बीच घिरे कर्ण के खंड के बीच का औसत आनुपातिक है।
7. समस्या को सुलझाना।
8. उपसंहार।
9. होमवर्क सेट करना.

पाठ प्रगति

I. संगठनात्मक क्षण

- नमस्कार दोस्तों, बैठिए। क्या हर कोई कक्षा के लिए तैयार है?

आइये काम शुरू करें.

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन किया गया

– पिछले पाठों में आपने कौन सी महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा सीखी? ( त्रिभुजों की समानता की अवधारणा के साथ)

- आइए याद करें कि कौन से दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं? (दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समरूप भुजाओं के समानुपाती हों))

– दो त्रिभुजों की समानता सिद्ध करने के लिए हम किसका प्रयोग करते हैं? (

– इन संकेतों को तैयार करें (त्रिभुजों की समरूपता के तीन चिन्ह बनाइए)

तृतीय. एक समकोण के शीर्ष से संचालित एक आयताकार त्रिभुज की ऊंचाई के गुणों का अध्ययन

ए) प्रारंभिक चरण

– दोस्तों, कृपया पहली स्लाइड देखें। ( आवेदन) यहां दो समकोण त्रिभुज दिखाए गए हैं - और। और क्रमश: ऊंचाइयां हैं। .

कार्य 1. ए)निर्धारित करें कि क्या और समान हैं।

– त्रिभुजों की समानता सिद्ध करने के लिए हम किसका प्रयोग करते हैं? ( त्रिभुजों की समानता के चिह्न)

(पहला संकेत, क्योंकि समस्या में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

. (दो जोड़े: 1. ∟B= ∟B1 (सीधे), 2. ∟A= ∟A 1)

- एक निष्कर्ष निकालो।( त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के अनुसार ~)

कार्य 1. बी)निर्धारित करें कि क्या और समान हैं।

– हम समानता के किस चिह्न का उपयोग करेंगे और क्यों? (पहला संकेत, क्योंकि समस्या में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

– हमें समान कोणों के कितने जोड़े खोजने की आवश्यकता है? इन जोड़ियों को खोजें (चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, तो समान कोणों का एक जोड़ा पर्याप्त है: ∟A= ∟A 1)

- एक निष्कर्ष निकालो। (त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ये त्रिभुज समरूप हैं)।

बातचीत के परिणामस्वरूप, स्लाइड 1 इस तरह दिखती है:

बी) प्रमेय की खोज

कार्य 2.

- निर्धारित करें कि क्या और समान हैं। बातचीत के परिणामस्वरूप, उत्तर बनते हैं जो स्लाइड पर प्रतिबिंबित होते हैं।

- चित्र से यही संकेत मिला है। क्या हमने असाइनमेंट प्रश्नों का उत्तर देते समय इस डिग्री माप का उपयोग किया था? ( नहीं, हमने इसका उपयोग नहीं किया)

– दोस्तों, एक निष्कर्ष निकालें: समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई से एक समकोण त्रिभुज किन त्रिभुजों में विभाजित होता है? (निष्कर्ष)

- प्रश्न उठता है: क्या ये दो समकोण त्रिभुज, जिनमें ऊँचाई समकोण त्रिभुज को विभाजित करती है, एक दूसरे के समान होंगे? आइए समान कोणों के जोड़े खोजने का प्रयास करें।

बातचीत के परिणामस्वरूप एक रिकॉर्ड बनता है:

– अब आइए पूरा निष्कर्ष निकालें।( निष्कर्ष: समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है समान

- वह। हमने एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के गुण के बारे में एक प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया।

आइए प्रमेय की संरचना स्थापित करें और एक चित्र बनाएं। प्रमेय में क्या दिया गया है और क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है? छात्र अपनी नोटबुक में लिखते हैं:

- आइए नई ड्राइंग के लिए प्रमेय का पहला बिंदु सिद्ध करें। हम किस समानता सुविधा का उपयोग करेंगे और क्यों? (पहला, क्योंकि प्रमेय में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

– हमें समान कोणों के कितने जोड़े खोजने की आवश्यकता है? इन जोड़ियों को खोजें. (इस मामले में, एक जोड़ी पर्याप्त है: ∟A-सामान्य)

- एक निष्कर्ष निकालो। त्रिभुज समरूप हैं. परिणामस्वरूप, प्रमेय का एक नमूना दिखाया गया है

– दूसरे और तीसरे बिंदु को घर पर स्वयं लिखें।

ग) प्रमेय में महारत हासिल करना

- तो, ​​प्रमेय फिर से तैयार करें (एक समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है समानसमकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक इसके समान है)

- निर्माण में समरूप त्रिभुजों के कितने जोड़े हैं "एक समकोण त्रिभुज में ऊंचाई समकोण के शीर्ष से खींची जाती है" क्या यह प्रमेय आपको खोजने की अनुमति देता है? ( तीन जोड़े)

छात्रों को निम्नलिखित कार्य दिए गए हैं:

चतुर्थ. दो खंडों के औसत आनुपातिक की अवधारणा का परिचय

- और अब हम आपके साथ एक नई अवधारणा का अध्ययन करेंगे।

ध्यान!

परिभाषा।खंड XYबुलाया औसत आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य)खंडों के बीच अबऔर सीडी, अगर

(इसे एक नोटबुक में लिख लें)।

V. दो खंडों के औसत आनुपातिक की अवधारणा को समझना

- अब अगली स्लाइड की ओर रुख करते हैं।

कार्य 1.औसत आनुपातिक खंड एमएन और केपी की लंबाई ज्ञात करें, यदि एमएन = 9 सेमी, केपी = 16 सेमी।

– समस्या में क्या दिया गया है? ( दो खंड और उनकी लंबाई: एमएन = 9 सेमी, केपी = 16 सेमी)

– आपको क्या खोजने की आवश्यकता है? ( औसत की लंबाई इन खंडों के समानुपाती होती है)

– कौन सा सूत्र आनुपातिक माध्य को व्यक्त करता है और हम इसे कैसे ज्ञात करते हैं?

(डेटा को सूत्र में रखें और औसत प्रोप की लंबाई ज्ञात करें।)

कार्य क्रमांक 2.यदि खंड AB और CD का आनुपातिक माध्य 90 सेमी और CD = 100 सेमी है, तो खंड AB की लंबाई ज्ञात करें

– समस्या में क्या दिया गया है? (खंड CD की लंबाई = 100 सेमी और खंड AB और CD का आनुपातिक औसत 90 सेमी है)

– समस्या में क्या पाया जाना चाहिए? ( खंड AB की लंबाई)

- हम समस्या का समाधान कैसे करेंगे? (आइए औसत आनुपातिक खंड एबी और सीडी के लिए सूत्र लिखें, लंबाई एबी को इससे व्यक्त करें और समस्या के डेटा को प्रतिस्थापित करें।)

VI. निहितार्थों का निष्कर्ष

- शाबाश दोस्तों। आइए अब त्रिभुजों की समानता पर लौटते हैं, जिसे हमने प्रमेय में सिद्ध किया है। प्रमेय को पुनः बताइये। ( समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है समानसमकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है)

- आइए सबसे पहले त्रिभुजों और की समानता का उपयोग करें। इससे क्या निष्कर्ष निकलता है? ( परिभाषा के अनुसार, समानता पक्ष समान पक्षों के समानुपाती होते हैं)

- अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करने पर क्या समानता आएगी? ()

- सीडी एक्सप्रेस करें और निष्कर्ष निकालें (;.

निष्कर्ष: समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई उन खंडों के बीच का औसत आनुपातिक है जिसमें कर्ण को इस ऊंचाई से विभाजित किया गया है)

– अब आप स्वयं साबित करें कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर और ऊंचाई के बीच घिरे कर्ण के खंड के बीच का माध्य आनुपातिक है। हम -... उन खंडों से पाएंगे जिनमें कर्ण विभाजित है इस ऊंचाई से )

एक समकोण त्रिभुज का एक पैर इनके बीच का माध्य आनुपातिक होता है...(-...इस पैर और ऊंचाई के बीच घिरा कर्ण और कर्ण का खंड )

- हमने जो कथन सीखे हैं उन्हें हम कहां लागू करते हैं? ( समस्याओं का समाधान करते समय)

नौवीं. होमवर्क सेट करना

डी/जेड:संख्या 571, संख्या 572 (ए, डी), एक नोटबुक में स्वतंत्र कार्य, सिद्धांत।

पाठ 40. एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड। सी. बी. एक। एच। एस. बी.सी. एन. एसी. A. B. समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को 2 समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है। समकोण त्रिभुजों की समानता का परीक्षण करें। दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनमें प्रत्येक का न्यूनकोण समान हो। खंड XY को खंड AB और CD के लिए आनुपातिक माध्य (ज्यामितीय माध्य) कहा जाता है यदि संपत्ति 1। समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कर्ण पर पैरों के प्रक्षेपण के बीच आनुपातिक माध्य है। संपत्ति 2. एक समकोण त्रिभुज का एक पैर कर्ण और कर्ण पर इस पैर के प्रक्षेपण के बीच का औसत आनुपातिक है।

स्लाइड 28प्रेजेंटेशन से "ज्यामिति "समान त्रिभुज".

प्रेजेंटेशन के साथ संग्रह का आकार 232 KB है।

ज्यामिति आठवीं कक्षा

अन्य प्रस्तुतियों का सारांश

"पाइथागोरस प्रमेय पर समस्याओं का समाधान" - त्रिभुज ABC समद्विबाहु है। पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग। ABCD एक चतुर्भुज है. एक वर्ग का क्षेत्रफल. सूरज को खोजो. सबूत। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का आधार। पाइथागोरस प्रमेय पर विचार करें. चतुर्भुज का क्षेत्रफल. समकोण त्रिभुज. पाइथागोरस प्रमेय। कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

""स्क्वायर" 8वीं कक्षा" - ब्लैक स्क्वायर। वर्ग की परिधि के आसपास मौखिक कार्य के लिए कार्य। एक वर्ग का क्षेत्रफल. एक वर्ग के लक्षण. वर्ग हमारे बीच है. वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। वर्ग। चौकोर आधार वाला बैग. मौखिक कार्य. चित्र में कितने वर्ग दिखाए गए हैं? एक वर्ग के गुण. धनी व्यापारी. एक वर्ग के क्षेत्रफल पर मौखिक कार्य के लिए असाइनमेंट। एक वर्ग की परिधि.

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"समान त्रिभुजों की परिभाषा" - बहुभुज। आनुपातिक खंड. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात. दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं। स्थितियाँ। दिए गए दो कोणों और शीर्ष पर समद्विभाजक का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें। मान लीजिए कि हमें स्तंभ की दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह. आइए किसी प्रकार का त्रिभुज बनाएं। एबीसी. त्रिभुज ABC और ABC तीन भुजाओं पर बराबर हैं। किसी वस्तु की ऊँचाई ज्ञात करना।

"पाइथागोरस प्रमेय का समाधान" - खिड़कियों के हिस्से। सबसे सरल प्रमाण. हम्मूराबी. विकर्ण. पूर्ण प्रमाण. घटाव विधि द्वारा प्रमाण. पाइथागोरस. अपघटन विधि द्वारा प्रमाण. प्रमेय का इतिहास. व्यास. जोड़ विधि से प्रमाण करना। एप्सटीन का प्रमाण. कैंटर. त्रिकोण. अनुयायी। पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग. पाइथागोरस प्रमेय। प्रमेय का कथन. पेरिगल का प्रमाण. प्रमेय का अनुप्रयोग.

समकोण त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण

आइए सबसे पहले समकोण त्रिभुजों के लिए समानता मानदंड का परिचय दें।

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुजों के लिए समानता परीक्षण: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनमें से प्रत्येक में एक समान न्यूनकोण होता है (चित्र 1)।

चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज

सबूत।

मान लीजिए कि $\कोण B=\कोण B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, तो $\कोण A=\कोण A_1=(90)^0$. इसलिए, त्रिभुजों की समानता की पहली कसौटी के अनुसार वे समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय

प्रमेय 2

समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है।

सबूत।

आइए हमें समकोण $C$ वाला एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। आइए ऊंचाई $CD$ बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय 2 का चित्रण

आइए हम साबित करें कि त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ त्रिकोण $ABC$ के समान हैं और त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ एक दूसरे के समान हैं।

चूँकि $\कोण ADC=(90)^0$, तो त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ का एक उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समरूप हैं।

चूँकि $\कोण BDC=(90)^0$, तो त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ का एक उभयनिष्ठ कोण $B$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समरूप हैं।

आइए अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ पर विचार करें

\[\कोण A=(90)^0-\कोण ACD\] \[\कोण BCD=(90)^0-\कोण ACD=\कोण A\]

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

औसत आनुपातिक

प्रमेय 3

समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई उन खंडों का औसत आनुपातिक है जिसमें ऊंचाई दिए गए त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।

सबूत।

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक समकोण त्रिभुज का पाद कर्ण और पाद के बीच घिरे कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच का माध्य आनुपातिक है।

सबूत।

प्रमेय के प्रमाण में हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समरूप हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।