किसी खंड से संबंधित समीकरण की सभी जड़ें कैसे खोजें। त्रिकोणमितीय समीकरण

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सफलतापूर्वक हल करना त्रिकोणमितीय समीकरणउपयोग करने में सुविधाजनक कटौती विधिपहले से हल की गई समस्याओं के लिए. आइए जानें कि इस पद्धति का सार क्या है?

किसी भी प्रस्तावित समस्या में, आपको पहले से हल की गई समस्या को देखना होगा, और फिर, क्रमिक समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके, आपको दी गई समस्या को सरल बनाने का प्रयास करना होगा।

इस प्रकार, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, वे आमतौर पर समतुल्य समीकरणों का एक निश्चित सीमित अनुक्रम बनाते हैं, जिनमें से अंतिम लिंक एक स्पष्ट समाधान वाला समीकरण होता है। केवल यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का कौशल विकसित नहीं किया गया है, तो अधिक जटिल समीकरणों को हल करना कठिन और अप्रभावी होगा।

इसके अलावा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, आपको यह कभी नहीं भूलना चाहिए कि समाधान के कई संभावित तरीके हैं।

उदाहरण 1. अंतराल पर समीकरण cos x = -1/2 के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

विधि Iआइए फलन y = cos x और y = -1/2 को आलेखित करें और अंतराल पर उनके उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें (चित्र 1)।

चूँकि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में अंतराल पर दो सामान्य बिंदु होते हैं, इसलिए समीकरण में इस अंतराल पर दो जड़ें होती हैं।

द्वितीय विधि.त्रिकोणमितीय वृत्त (चित्र 2) का उपयोग करके, हम उस अंतराल से संबंधित बिंदुओं की संख्या ज्ञात करते हैं जिसमें cos x = -1/2 है। चित्र से पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं।

तृतीय विधि.त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण cos x = -1/2 को हल करते हैं।

x = ± आर्ककोस (-1/2) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± (π - आर्ककोस 1/2) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± (π - π/3) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल में मूल 2π/3 और -2π/3 + 2π हैं, k एक पूर्णांक है। इस प्रकार, दिए गए अंतराल पर समीकरण के दो मूल हैं।

उत्तर: 2.

भविष्य में, त्रिकोणमितीय समीकरणों को प्रस्तावित तरीकों में से एक का उपयोग करके हल किया जाएगा, जो कई मामलों में अन्य तरीकों के उपयोग को बाहर नहीं करता है।

उदाहरण 2. अंतराल [-2π; पर समीकरण tg (x + π/4) = 1 के समाधानों की संख्या ज्ञात कीजिए; 2π]।

समाधान:

त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

x + π/4 = आर्कटिक 1 + πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = πk, k – पूर्णांक (k € Z);

अंतराल [-2π; 2π] संख्या -2π से संबंधित हैं; -π; 0; π; 2π. अतः, दिए गए अंतराल पर समीकरण के पाँच मूल हैं।

उत्तर: 5.

उदाहरण 3. अंतराल [-π; पर समीकरण cos 2 x + syn x · cos x = 1 के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए। π].

समाधान:

चूँकि 1 = पाप 2 x + cos 2 x (मूल त्रिकोणमितीय पहचान), मूल समीकरण इस प्रकार है:

कॉस 2 एक्स + सिन एक्स · कॉस एक्स = सिन 2 एक्स + कॉस 2 एक्स;

पाप 2 एक्स – पाप एक्स क्योंकि एक्स = 0;

पाप x(sin x – cos x) = 0. उत्पाद शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होना चाहिए, इसलिए:

पाप x = 0 या पाप x - क्योंकि x = 0.

चूँकि चर के मान जिस पर cos x = 0 दूसरे समीकरण की जड़ें नहीं हैं (समान संख्या की ज्या और कोज्या एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकती हैं), हम दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं कॉस एक्स द्वारा:

पाप x = 0 या पाप x/cos x - 1 = 0.

दूसरे समीकरण में हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि tg x = syn x / cos x, तो:

पाप x = 0 या tan x = 1। सूत्रों का उपयोग करने पर हमारे पास है:

x = πk या x = π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

जड़ों की पहली श्रृंखला से अंतराल तक [-π; π] संख्याओं से संबंधित हैं -π; 0; π. दूसरी श्रृंखला से: (π/4 – π) और π/4.

इस प्रकार, मूल समीकरण की पाँच जड़ें अंतराल [-π; π].

उत्तर: 5.

उदाहरण 4. अंतराल [-π; पर समीकरण tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 की जड़ों का योग ज्ञात कीजिए; 1.1π]।

समाधान:

आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 और प्रतिस्थापन करें।

मान लीजिए tg x + сtgx = a. आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(टीजी एक्स + एसटीजी एक्स) 2 = ए 2। आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

टीजी 2 एक्स + 2टीजी एक्स · एसटीजीएक्स + एसटीजी 2 एक्स = ए 2।

चूँकि tg x · сtgx = 1, तो tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, जिसका अर्थ है

टीजी 2 एक्स + एसटीजी 2 एक्स = ए 2 – 2.

अब मूल समीकरण इस प्रकार दिखता है:

ए 2 - 2 + 3ए + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि a = -1 या a = -2।

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें, हमारे पास है:

tg x + сtgx = -1 या tg x + сtgx = -2. आइए परिणामी समीकरणों को हल करें।

tg x + 1/tgx = -1 या tg x + 1/tgx = -2.

दो परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं के गुण से हम यह निर्धारित करते हैं कि पहले समीकरण का कोई मूल नहीं है, और दूसरे समीकरण से हमें यह मिलता है:

टीजी एक्स = -1, यानी x = -π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-π; 1,1π] जड़ों से संबंधित हैं: -π/4; -π/4 + π. उनका योग:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

उत्तर: π/2.

उदाहरण 5. अंतराल [-π; पर समीकरण पाप 3x + पाप x = पाप 2x की जड़ों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए; 0.5π]।

समाधान:

आइए सूत्र पाप α + पाप β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2) का उपयोग करें, फिर

पाप 3x + पाप x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x और समीकरण बन जाता है

2sin 2x क्योंकि x = पाप 2x;

2sin 2x · cos x – पाप 2x = 0. आइए सामान्य गुणनखंड पाप 2x को कोष्ठक से बाहर निकालें

पाप 2x(2cos x – 1) = 0. परिणामी समीकरण को हल करें:

पाप 2x = 0 या 2cos x – 1 = 0;

पाप 2x = 0 या क्योंकि x = 1/2;

2x = πk या x = ±π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

इस प्रकार हमारी जड़ें हैं

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-π; 0.5π] जड़ों से संबंधित हैं -π; -π/2; 0; π/2 (मूलों की पहली श्रृंखला से); π/3 (दूसरी श्रृंखला से); -π/3 (तीसरी श्रृंखला से)। उनका अंकगणितीय माध्य है:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

उत्तर:-π/6.

उदाहरण 6. अंतराल [-1.25π; पर समीकरण पाप x + cos x = 0 की जड़ों की संख्या ज्ञात करें; 2π]।

समाधान:

यह समीकरण प्रथम डिग्री का सजातीय समीकरण है। आइए इसके दोनों भागों को cosx से विभाजित करें (वेरिएबल का मान जिस पर cos x = 0 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं, क्योंकि एक ही संख्या की साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकती हैं)। मूल समीकरण है:

x = -π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-1.25π; 2π] जड़ों से संबंधित हैं -π/4; (-π/4 + π); और (-π/4 + 2π).

इस प्रकार, दिए गए अंतराल में समीकरण की तीन जड़ें हैं।

उत्तर: 3.

सबसे महत्वपूर्ण काम करना सीखें - किसी समस्या को हल करने के लिए एक योजना की स्पष्ट रूप से कल्पना करें, और फिर कोई भी त्रिकोणमितीय समीकरण आपकी समझ में आ जाएगा।

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उदाहरण 1. अंतराल पर समीकरण cos x = -1/2 के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

x = ± आर्ककोस (-1/2) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± (π - आर्ककोस 1/2) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± (π - π/3) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

उत्तर: 2.

उदाहरण 2. अंतराल [-2π; पर समीकरण tg (x + π/4) = 1 के समाधानों की संख्या ज्ञात कीजिए; 2π]।

समाधान:

त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

x + π/4 = आर्कटिक 1 + πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = πk, k – पूर्णांक (k € Z);

उत्तर: 5.

उदाहरण 3. अंतराल [-π; पर समीकरण cos 2 x + syn x · cos x = 1 के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए। π].

समाधान:

चूँकि 1 = पाप 2 x + cos 2 x (मूल त्रिकोणमितीय पहचान), मूल समीकरण इस प्रकार है:

कॉस 2 एक्स + सिन एक्स · कॉस एक्स = सिन 2 एक्स + कॉस 2 एक्स;

पाप 2 एक्स – पाप एक्स क्योंकि एक्स = 0;

पाप x = 0 या पाप x - क्योंकि x = 0.

पाप x = 0 या पाप x/cos x - 1 = 0.

दूसरे समीकरण में हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि tg x = syn x / cos x, तो:

पाप x = 0 या tan x = 1। सूत्रों का उपयोग करने पर हमारे पास है:

x = πk या x = π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

इस प्रकार, मूल समीकरण की पाँच जड़ें अंतराल [-π; π].

उत्तर: 5.

समाधान:

आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 और प्रतिस्थापन करें।

मान लीजिए tg x + сtgx = a. आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(टीजी एक्स + एसटीजी एक्स) 2 = ए 2। आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

टीजी 2 एक्स + 2टीजी एक्स · एसटीजीएक्स + एसटीजी 2 एक्स = ए 2।

चूँकि tg x · сtgx = 1, तो tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, जिसका अर्थ है

टीजी 2 एक्स + एसटीजी 2 एक्स = ए 2 – 2.

अब मूल समीकरण इस प्रकार दिखता है:

ए 2 - 2 + 3ए + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि a = -1 या a = -2।

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें, हमारे पास है:

tg x + сtgx = -1 या tg x + сtgx = -2. आइए परिणामी समीकरणों को हल करें।

tg x + 1/tgx = -1 या tg x + 1/tgx = -2.

टीजी एक्स = -1, यानी x = -π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-π; 1,1π] जड़ों से संबंधित हैं: -π/4; -π/4 + π. उनका योग:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

उत्तर: π/2.

समाधान:

आइए सूत्र पाप α + पाप β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2) का उपयोग करें, फिर

पाप 3x + पाप x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x और समीकरण बन जाता है

2sin 2x क्योंकि x = पाप 2x;

2sin 2x · cos x – पाप 2x = 0. आइए सामान्य गुणनखंड पाप 2x को कोष्ठक से बाहर निकालें

पाप 2x(2cos x – 1) = 0. परिणामी समीकरण को हल करें:

पाप 2x = 0 या 2cos x – 1 = 0;

पाप 2x = 0 या क्योंकि x = 1/2;

2x = πk या x = ±π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

इस प्रकार हमारी जड़ें हैं

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

उत्तर:-π/6.

उदाहरण 6. अंतराल [-1.25π; पर समीकरण पाप x + cos x = 0 की जड़ों की संख्या ज्ञात करें; 2π]।

समाधान:

x = -π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-1.25π; 2π] जड़ों से संबंधित हैं -π/4; (-π/4 + π); और (-π/4 + 2π).

इस प्रकार, दिए गए अंतराल में समीकरण की तीन जड़ें हैं।

उत्तर: 3.

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13. समीकरण 3-4cos 2 x=0 को हल करें। अंतराल से संबंधित इसके मूलों का योग ज्ञात कीजिए।

आइए सूत्र का उपयोग करके कोसाइन की डिग्री कम करें: 1+cos2α=2cos 2 α। हमें एक समतुल्य समीकरण मिलता है:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. हम समानता के दोनों पक्षों को (-2) से विभाजित करते हैं और सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण प्राप्त करते हैं:

14. यदि b 4 =25 और b 6 =16 हो तो ज्यामितीय प्रगति का b 5 ज्ञात कीजिए।

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसके पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

(बी एन) 2 =बी एन-1 ∙बी एन+1 . हमारे पास (बी 5) 2 =बी 4 ∙बी 6 ⇒ (बी 5) 2 =25·16 ⇒ बी 5 =±5·4 ⇒ बी 5 =±20।

15. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: f(x)=tgx-ctgx।

16. फ़ंक्शन y(x)=x 2 -12x+27 का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

खंड पर.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना y=f(x) खंड पर, आपको इस फ़ंक्शन के मानों को खंड के अंत में और उन महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ढूंढना होगा जो इस खंड से संबंधित हैं, और फिर सभी प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

आइए x=3 और x=7 पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें, अर्थात। खंड के अंत में.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); क्रांतिक बिंदु x=6 इस अंतराल से संबंधित है। आइए x=6 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें।

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. अब हम प्राप्त तीन मानों में से चुनते हैं: 0; -8 और -9 सबसे बड़ा और सबसे छोटा: सबसे बड़ा। =0; नाम पर =-9.

17. फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन का सामान्य रूप खोजें:

यह अंतराल इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र है। उत्तर F(x) से शुरू होने चाहिए, न कि f(x) से - आख़िरकार, हम एक प्रतिअवकलन की तलाश में हैं। परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन F(x) फ़ंक्शन f(x) का एक प्रतिअवकलन है यदि समानता रखती है: F'(x)=f(x)। इसलिए जब तक आपको दिया गया फ़ंक्शन नहीं मिल जाता तब तक आप प्रस्तावित उत्तरों के डेरिवेटिव आसानी से ढूंढ सकते हैं। एक कठोर समाधान किसी दिए गए फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की गणना है। हम सूत्र लागू करते हैं:

19. त्रिभुज ABC की माध्यिका BD वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें यदि इसके शीर्ष A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6) हैं।

एक रेखा के समीकरण को संकलित करने के लिए, आपको इस रेखा के 2 बिंदुओं के निर्देशांक जानने की आवश्यकता है, लेकिन हम केवल बिंदु बी के निर्देशांक जानते हैं। चूंकि माध्य बीडी विपरीत पक्ष को आधे में विभाजित करता है, बिंदु डी खंड का मध्य बिंदु है ए.सी. किसी खंड के मध्य के निर्देशांक खंड के सिरों के संगत निर्देशांक के आधे योग होते हैं। आइए बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात करें।