विषय: अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि. अंतरिक्ष में निर्देशांक विधि

समन्वय विधि अंतरिक्ष में स्टीरियोमेट्रिक वस्तुओं के बीच किसी भी कोण या दूरी को खोजने का एक बहुत ही प्रभावी और सार्वभौमिक तरीका है। यदि आपका गणित शिक्षक अत्यधिक योग्य है, तो उसे यह पता होना चाहिए। अन्यथा, मैं "सी" भाग के लिए शिक्षक को बदलने की सलाह दूंगा। गणित C1-C6 में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए मेरी तैयारी में आमतौर पर नीचे वर्णित बुनियादी एल्गोरिदम और सूत्रों का विश्लेषण शामिल होता है।

रेखाओं a और b के बीच का कोण

अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर किसी भी प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण होता है। यह कोण इन रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर है (या इसे 180 डिग्री तक पूरक करता है)।

कोण ज्ञात करने के लिए गणित शिक्षक किस एल्गोरिदम का उपयोग करता है?

1) कोई भी वेक्टर चुनें और सीधी रेखाओं a और b (उनके समानांतर) की दिशाएँ हैं।
2) हम सदिशों के निर्देशांक उनकी शुरुआत और अंत के संगत निर्देशांक का उपयोग करके निर्धारित करते हैं (शुरुआत के निर्देशांक को वेक्टर के अंत के निर्देशांक से घटाया जाना चाहिए)।
3) पाए गए निर्देशांकों को सूत्र में रखें:
. कोण को स्वयं ज्ञात करने के लिए, आपको परिणाम की चाप कोज्या ज्ञात करनी होगी।

विमान के लिए सामान्य

किसी समतल का अभिलंब उस समतल पर लंबवत कोई सदिश होता है।
सामान्य कैसे खोजें?सामान्य के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किसी दिए गए तल में स्थित किन्हीं तीन बिंदुओं M, N और K के निर्देशांक जानना पर्याप्त है। इन निर्देशांकों का उपयोग करके, हम सदिशों के निर्देशांक ढूंढते हैं और शर्तों को पूरा करने की आवश्यकता होती है। सदिशों के अदिश गुणनफल को शून्य के बराबर करके, हम तीन चर वाले समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, जिससे हम सामान्य के निर्देशांक पा सकते हैं।

गणित शिक्षक का नोट : सिस्टम को पूरी तरह से हल करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह कम से कम एक सामान्य का चयन करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप किसी भी अज्ञात निर्देशांक के स्थान पर कोई भी संख्या (उदाहरण के लिए, एक) रख सकते हैं और शेष दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं। यदि इसका कोई समाधान नहीं है, तो इसका मतलब है कि सामान्यों के परिवार में ऐसा कोई नहीं है जिसका मान चयनित चर में से एक हो। फिर एक को दूसरे वेरिएबल (दूसरे निर्देशांक) से बदलें और नई प्रणाली को हल करें। यदि आप फिर से चूक जाते हैं, तो आपके सामान्य में अंतिम समन्वय पर एक होगा, और यह स्वयं कुछ समन्वय विमान के समानांतर हो जाएगा (इस मामले में इसे सिस्टम के बिना ढूंढना आसान है)।

आइए मान लें कि हमें दिशा वेक्टर और सामान्य के निर्देशांक के साथ एक सीधी रेखा और एक विमान दिया गया है
सीधी रेखा और समतल के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

इन तलों के लिए कोई दो सामान्य मान लीजिए। तब तलों के बीच के कोण की कोज्या, अभिलंबों के बीच के कोण की कोज्या के मापांक के बराबर होती है:

अंतरिक्ष में एक विमान का समीकरण

समानता को संतुष्ट करने वाले बिंदु एक सामान्य के साथ एक समतल बनाते हैं। गुणांक समान दिए गए सामान्य वाले दो विमानों के बीच विचलन (समानांतर बदलाव) की मात्रा के लिए जिम्मेदार है। किसी समतल का समीकरण लिखने के लिए, आपको पहले उसका अभिलंब ज्ञात करना होगा (जैसा कि ऊपर बताया गया है), और फिर समीकरण में पाए गए अभिलंब के निर्देशांक के साथ समतल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें और गुणांक ज्ञात करें।

आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु की स्थिति विशिष्ट रूप से निर्धारित की जा सकती है। इस प्रणाली में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली तीन परस्पर लंबवत अक्ष शामिल हैं ओ - निर्देशांक की उत्पत्ति.अक्षों में से एक को कहा जाता है X- अक्ष(एक्सिस ओह), एक और - शाफ़्ट (कहां), तीसरा - अक्ष अनुप्रयोग (आउंस). विमान XOY, एक्सओजेडऔर योजनिर्देशांक तल कहलाते हैं। किसी भी खंड के रूप में लिया जाता है पैमाने की इकाईतीनों अक्षों के लिए . अक्षों पर सकारात्मक दिशाएँ इस प्रकार चुनी जाती हैं कि सकारात्मक किरण का संयोजन करते हुए 90 0 का घूर्णन हो बैलसकारात्मक किरण के साथ ओए, बीम से देखने पर वामावर्त दिशा में गुजरता हुआ प्रतीत होता है आउंस. इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है सही.

किसी बिंदु की स्थिति एमअंतरिक्ष में निम्नलिखित तीन निर्देशांकों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है . के माध्यम सेएमसमतलों के समानांतर समतल बनाएंXOY, एक्सओजेडऔर योज. अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन पर हमें बिंदु मिलते हैं, उदाहरण के लिए, पी, क्यूऔर आरक्रमश। नंबर एक्स (सूच्याकार आकृति का भुज), पर(तालमेल), जेड (आवेदन करें), खंडों को मापनासेशन, OQऔरयाचयनित पैमाने पर बुलाया जाता हैआयताकार निर्देशांकअंक एम।उन्हें सकारात्मक या नकारात्मक लिया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि संबंधित खंड सकारात्मक या नकारात्मक अर्ध-अक्ष पर स्थित हैं या नहीं। संख्याओं का प्रत्येक त्रिक ( एक्स; पर; जेड) अंतरिक्ष में एक और केवल एक बिंदु से मेल खाता है, और इसके विपरीत।

दो बिंदुओं के बीच की दूरीऔर सूत्र द्वारा गणना की जाती है: (1.6)

COORDINATES (एक्स; य; जेड) अंकएम एक दिए गए अनुपात में विभाजित करनारेखा खंड अब, (,) सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

विशेष रूप से, (बिंदु पर) एमएक खंड को विभाजित करता है अबआधे में), हम खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4:अक्ष पर कहांदो बिंदुओं से समान दूरी पर एक बिंदु खोजें और ।

समाधान:डॉट एम, अक्ष पर पड़ा हुआ कहां, के निर्देशांक हैं . समस्या की परिस्थितियों के अनुसार |एएम| = |वीएम|.आइए दूरियाँ ज्ञात करें |एएम|और |वीएम|,सूत्र का उपयोग करना (1.6):

हमें समीकरण मिलता है: .

यहां से हमें पता चलता है कि 4 पर= 16, अर्थात य = 4. वांछित बिंदु वहाँ है एम(0; 4; 0).

उदाहरण 5:रेखा खंड अब 3 बराबर भागों में विभाजित। यदि अंक और हों तो विभाजन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए .

समाधान:

आइए हम खंड के विभाजन बिंदुओं को निरूपित करें अबनिम्नलिखित क्रम में: साथऔर डी।समस्या की परिस्थितियों के अनुसार |एसी| = |सीडी| = |डीबी|.इसलिए बिंदु साथएक खंड को विभाजित करता है अबरिश्ते में । सूत्र (1.7) का उपयोग करके, हम बिंदु C के निर्देशांक पाते हैं:

सूत्र (1.8) का प्रयोग करके हम बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं डी- खंड का मध्यबिंदु पूर्वोत्तर:

अर्थात्, बिंदु D के निर्देशांक हैं: .

उदाहरण 6:बिंदुओं पर , ,, जनता तदनुसार संकेंद्रित होती है एम 1 , एम 2 , एम 3 , एम 4 . इन द्रव्यमानों के निकाय के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान:

जैसा कि भौतिकी पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है, द्रव्यमान के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र एम 1 और एम 2 बिंदुओं पर रखा गया एऔर में,एक खंड को विभाजित करता है अबखंड के सिरों पर केंद्रित द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती भागों में ()। इसके आधार पर, हम पहले दो-द्रव्यमान प्रणाली के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ढूंढते हैं एम 1 और एम 2 बिंदुओं पर रखा गया ए 1 और ए 2 :

, ,.

त्रि-द्रव्यमान प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण केंद्र एम 1 और एम 2 और एम 3 () हम इसी तरह पाते हैं:

, ,.

अंततः हमें त्रि-द्रव्यमान प्रणाली का गुरुत्वाकर्षण केंद्र मिल गयाएम 1 , एम 2 , एम 3 औरएम 4 :

, ,.

नियंत्रण के लिए प्रश्न:

एक समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली और उसके सभी घटकों का वर्णन करें।

समतल पर एक स्वेच्छ बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित किये जाते हैं?

P ज्ञात करने का सूत्र लिखिएदो बिंदुओं के बीच की दूरीपर विमान .

कैसे ढूंढेंकिसी खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक?

खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्र लिखें।

एक सूत्र लिखें जो किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है यदि उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों .

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली का वर्णन करें।

ध्रुवीय त्रिज्या किसे कहते हैं? इसे किस सीमा तक मापा जाता है?

ध्रुवीय कोण किसे कहते हैं? इसके माप की सीमा?

कैसेउस बिंदु के आयताकार निर्देशांक ज्ञात करें जिसके ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात हैं?

कैसेउस बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात करें जिसके लिए आयताकार निर्देशांक ज्ञात हैं?

कैसे ढूंढेंध्रुवीय समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बीच की दूरी?

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली और उसके सभी घटकों का वर्णन करें।

अंतरिक्ष में किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित करें?

अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए एक सूत्र लिखें।

त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के लिए एक खंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र लिखें।

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स्लाइड कैप्शन:

अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली. वेक्टर निर्देशांक.

आयताकार समन्वय प्रणाली

यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं, तो उनमें से प्रत्येक पर एक दिशा चुनी जाती है और खंडों के लिए माप की एक इकाई का चयन किया जाता है, तो वे कहते हैं कि अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट है

चुनी गई दिशाओं वाली सीधी रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है, और उनका उभयनिष्ठ बिंदु निर्देशांक का मूल बिंदु होता है। इसे आमतौर पर O अक्षर से दर्शाया जाता है। निर्देशांक अक्षों को इस प्रकार निर्दिष्ट किया जाता है: Ox, Oy, O z - और इनके नाम हैं: एब्सिस्सा अक्ष, ऑर्डिनेट अक्ष, एप्लिकेट अक्ष।

संपूर्ण समन्वय प्रणाली को ऑक्सी z निरूपित किया जाता है। निर्देशांक अक्षों Ox और Oy, Oy और O z, O z और Ox से क्रमशः गुजरने वाले तलों को निर्देशांक तल कहा जाता है और उन्हें Oxy, Oy z, O z x नामित किया जाता है।

बिंदु O प्रत्येक निर्देशांक अक्ष को दो किरणों में विभाजित करता है। एक किरण जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है उसे सकारात्मक अर्ध-अक्ष कहा जाता है, और दूसरी किरण को नकारात्मक अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु M संख्याओं के त्रिगुण से जुड़ा होता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है।

चित्र में छह बिंदु A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) दर्शाए गए हैं। , एफ (0; 0; -3)।

वेक्टर निर्देशांक

किसी भी वेक्टर को समन्वयित वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात, उस रूप में दर्शाया जाता है जहां विस्तार गुणांक x, y, z को एक अद्वितीय तरीके से निर्धारित किया जाता है।

किसी सदिश के समन्वय सदिशों में विस्तार में गुणांक x, y और z को किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में सदिश के निर्देशांक कहा जाता है।

आइए उन नियमों पर विचार करें जो हमें इन वैक्टरों के निर्देशांक का उपयोग करके उनके योग और अंतर के निर्देशांक, साथ ही किसी दिए गए संख्या द्वारा दिए गए वेक्टर के उत्पाद के निर्देशांक खोजने की अनुमति देते हैं।

10 . दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2, y 2, z 2) को सदिश दिया गया है, तो सदिश a + b के निर्देशांक (x 1 + x 2, y 1 +) हैं y 2 , z 1 + z 2 ).

20 . दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2 y 2; z 2) को सदिश दिया गया है, तो सदिश a - b के निर्देशांक (x 1 - x 2, y 1 - y) हैं 2, z 1 - z 2 ).

तीस । एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक सदिश और इस संख्या के संगत निर्देशांक के गुणनफल के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x; y; x) एक दिया गया वेक्टर है, α एक दी गई संख्या है, तो वेक्टर α a के निर्देशांक (αх; αу; α z) हैं।

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

उपदेशात्मक हैंडआउट "व्याख्यान के रूप में पाठ आयोजित करने के लिए "अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि" विषय पर छात्रों के लिए नोट्स का सेट। ज्यामिति ग्रेड 10-11....

पाठ का उद्देश्य: "सी2 एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करने के लिए अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि का उपयोग करना" विषय पर छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करना: नियोजित शैक्षिक परिणाम: छात्र प्रदर्शित करते हैं: ...

11वीं कक्षा में ज्यामिति पर पाठ परीक्षण

विषय: "अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि।"

लक्ष्य: वेक्टर और वेक्टर-समन्वय विधियों का उपयोग करके समस्याओं को हल करने में इस ज्ञान को लागू करने के लिए छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान, उनके कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करें।

कार्य:

1 .ज्ञान और कौशल प्राप्त करने के लिए नियंत्रण (आत्म-नियंत्रण, पारस्परिक नियंत्रण) की स्थितियाँ बनाएँ।

2. गणितीय सोच, भाषण, ध्यान विकसित करें।

3. छात्रों की गतिविधि, गतिशीलता, संचार कौशल और सामान्य संस्कृति को बढ़ावा देना।

आचरण का स्वरूप: समूहों में काम।

उपकरण और सूचना के स्रोत: स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, ज्ञान तालिका, परीक्षण कार्ड, परीक्षण।

कक्षाओं के दौरान

1.जुटाने का क्षण.

सीएसआर का उपयोग कर पाठ; छात्रों को 3 गतिशील समूहों में वितरित किया जाता है, जिसमें स्वीकार्य, इष्टतम और उन्नत स्तर वाले छात्र होते हैं। प्रत्येक समूह एक समन्वयक का चयन करता है जो पूरे समूह के कार्य का नेतृत्व करता है।

2 . प्रत्याशा के आधार पर छात्रों का आत्मनिर्णय।

काम:योजना के अनुसार लक्ष्य निर्धारण: याद रखें-सीखें-सक्षम बनें।

प्रवेश परीक्षा - रिक्त स्थान भरें (प्रिंटआउट में)

प्रवेश परीक्षा

अंतराल को भरने…

1.अंतरिक्ष में एक बिंदु से होकर तीन जोड़ी लंबवत सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं।

उनमें से प्रत्येक पर खंडों की दिशा और माप की इकाई का चयन किया जाता है,

तो वे कहते हैं कि यह दिया गया है …………. अंतरिक्ष में।

2. चुनी हुई दिशाओं वाली सीधी रेखाओं को ………….. कहा जाता है।

और उनका सामान्य बिंदु…………. .

3. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु M संख्याओं के त्रिगुण से जुड़ा होता है, जिन्हें …………….. कहा जाता है।

4. अंतरिक्ष में किसी बिंदु के निर्देशांक ……………….. कहलाते हैं।

5. एक वेक्टर जिसकी लंबाई एक के बराबर होती है, उसे ………….. कहा जाता है।

6. वेक्टर मैंयककहा जाता है…………।

7. संभावनाएँ एक्सयजेडविघटन में ए= एक्समैं + यजे + जेडककहा जाता है

……………वेक्टर ए .

8. दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक ………….. के बराबर होता है।

9. दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक ……………… के बराबर होता है।

10. एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक ……………….. के बराबर होता है।

11.प्रत्येक सदिश निर्देशांक ……………… के बराबर है।

12. खंड के मध्य का प्रत्येक निर्देशांक ……………… के बराबर है।

13. वेक्टर लंबाई ए { एक्सयजेड) की गणना सूत्र …………………… द्वारा की जाती है

14. बिंदुओं के बीच की दूरी M 1(एक्स 1 ; य 1; जेड 1) और एम 2 (एक्स 2; य 2 ; जेड2) सूत्र द्वारा गणना …………………

15. दो सदिशों का अदिश गुणनफल ………….. कहलाता है।

16. गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है………………..

17. वैक्टर का डॉट उत्पादए{ एक्स 1; य 1; जेड 1} बी { एक्स 2 ; य 2 ; जेड 2) में सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया………………

प्रवेश परीक्षा की सहकर्मी समीक्षा। स्क्रीन पर परीक्षण कार्यों के उत्तर।

मूल्यांकन के मानदंड:

1-2 त्रुटियाँ - "5"

3-4 त्रुटियाँ - "4"

5-6 त्रुटियाँ - "3"

अन्य मामलों में - "2"

3. काम पूरा करना. (कार्ड द्वारा)।

प्रत्येक कार्ड में दो कार्य शामिल हैं: नंबर 1 - प्रमाण के साथ सैद्धांतिक, नंबर 2 में कार्य शामिल हैं।

कार्य में शामिल कार्यों की जटिलता के स्तर को स्पष्ट करें। समूह एक कार्य करता है, लेकिन इसमें 2 भाग होते हैं। समूह समन्वयक पूरे समूह के कार्य का प्रबंधन करता है। एक ही जानकारी पर कई साझेदारों के साथ चर्चा करने से न केवल अपनी सफलताओं के लिए, बल्कि सामूहिक कार्य के परिणामों के लिए भी जिम्मेदारी बढ़ जाती है, जिसका टीम में माइक्रॉक्लाइमेट पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है।

कार्ड नंबर 1

1. किसी खंड के मध्य के निर्देशांक को उसके सिरों के निर्देशांक के माध्यम से व्यक्त करने वाले सूत्र प्राप्त करें।

2.कार्य: 1) दिए गए बिंदु A (-3; 1; 2) और B (1; -1; 2)

खोजो:

ए) खंड एबी के मध्यबिंदु के निर्देशांक

बी) वेक्टर एबी के निर्देशांक और लंबाई

2) एक घन ABCDA1 B1 C1 D1 दिया गया है। निर्देशांक विधि का उपयोग करके कोण ज्ञात कीजिए

सीधी रेखाओं AB1 और A1 D के बीच।

कार्ड#2

किसी सदिश के निर्देशांकों से उसकी लंबाई की गणना करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

समस्या: 1) दिए गए बिंदु M(-4; 7; 0),एन(0; -1; 2). खंड M के मूल से मध्य तक की दूरी ज्ञात कीजिएएन.

→ → → → →

2) वेक्टर दिए गए हैं एऔर बी. खोजो बी(ए+बी),अगर ए (-2; 3; 6), बी = 6आई-8के

कार्ड नंबर 3

दिए गए निर्देशांक वाले बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।

समस्या: 1) दिए गए बिंदु A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4)।

सिद्ध करें कि ∆ABC समद्विबाहु है और पार्श्व भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली त्रिभुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

2) सीधी रेखाओं AB और CD के बीच के कोण की गणना करें, यदि A(1;1;0),

बी(3;-1;2), डी(0;1;0).

कार्ड#4

दिए गए निर्देशांकों के साथ शून्येतर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें।

समस्या: 1) समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं:

ए(-6;-;4;0), बी(6;-6;2), सी(10;0;4)। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2) सीधी रेखाओं AB और CD के बीच का कोण ज्ञात करें, यदि A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;-2;2), D(2;-3;1) .

कार्ड#5

हमें बताएं कि इन रेखाओं के दिशा सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें। →→

कार्य: 1) सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिएएऔर बी, अगर:

→ → → ^ →

ए) | ए| =4; | बी| =√3 (एबी)=30◦

बी) ए {2 ;-3; 1}, बी = 3 मैं +2 क

2) दिए गए बिंदु A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) और D(2;4;4)। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समचतुर्भुज है।

4. कार्डों का उपयोग करके गतिशील समूहों के कार्य की जाँच करना.

हम समूह प्रतिनिधियों के प्रदर्शन को सुनते हैं। समूहों के कार्य का मूल्यांकन शिक्षक द्वारा छात्रों की भागीदारी से किया जाता है।

5. प्रतिबिम्ब. परीक्षण ग्रेड.

बहुविकल्पी के साथ अंतिम परीक्षा (प्रिंटआउट में)।

1) सदिश दिये गये हैं ए {2 ;-4 ;3} बी(-3; ─ ; 1). वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें

→ 2

सी = ए+ बी

ए) (-5; 3 −; 4); बी) (-1; -3.5;4) सी) (5; -4 -; 2) डी) (-1; 3.5; -4)

2) वेक्टर दिए गए हैं ए(4; -3; 5) और बी(-3; 1; 2). वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें

सी=2 ए – 3 बी

ए) (7;-2;3); बी) (11; -7; 8); ग) (17; -9; 4); घ) (-1; -3; 4)।

→ → → → → →

3) सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करेंएमऔर एन, अगर एम = ए + 2 बी- सी

→ → → → →^ → → → → →

एन= 2 ए - बीअगर | ए|=2 , ‌| बी |=3, (एबी‌)=60°, सी ┴ ए , सी ┴ बी.

ए)-1; बी) -27; पहले में; घ) 35.

4) वेक्टर लंबाई ए { एक्सयजेड) 5 के बराबर है। सदिश a if के निर्देशांक ज्ञात कीजिएएक्स=2, जेड=-√5

ए) 16; बी) 4 या -4; 9 पर; घ)3 या -3.

5) यदि A(1;-1;3); बी(3;-1;1) और सी(-1;1;-3)।

ए) 4√3; बी) √3; ग)2√3; घ)√8.

परीक्षण की सहकर्मी समीक्षा. स्क्रीन पर परीक्षण कार्यों के लिए उत्तर कोड: 1(बी); 2(सी);

3(ए); 4(बी); 5(सी).

मूल्यांकन के मानदंड:

सब कुछ सही है - "5"

1 त्रुटि - "4"

2 त्रुटियाँ - "3"

अन्य मामलों में - "2"

विद्यार्थी ज्ञान तालिका

पर काम

पत्ते

अंतिम

परीक्षा

परीक्षण के लिए मूल्यांकन

कार्य

लिखित

अभ्यास

1 समूह

दूसरा समूह

3 समूह

परीक्षा के लिए छात्रों की तैयारी का आकलन करना।

समन्वय विधि का उपयोग करने के लिए, आपको सूत्रों को अच्छी तरह से जानना होगा। उनमें से तीन हैं:

पहली नज़र में, यह खतरनाक लगता है, लेकिन थोड़े से अभ्यास से सब कुछ बढ़िया काम करेगा।

काम। सदिश a = (4; 3; 0) और b = (0; 12; 5) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि सदिशों के निर्देशांक हमें दिए गए हैं, हम उन्हें पहले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

काम। बिंदु M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें, यदि यह ज्ञात हो कि यह नहीं गुजरता है मूल।

समाधान। समतल का सामान्य समीकरण: Ax + By + Cz + D = 0, लेकिन चूंकि वांछित तल निर्देशांक के मूल बिंदु - बिंदु (0; 0; 0) से होकर नहीं गुजरता है - तो हम D = 1 डालते हैं। विमान बिंदु M, N और K से होकर गुजरता है, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलना चाहिए।

आइए x, y और z के स्थान पर बिंदु M = (2; 0; 1) के निर्देशांक रखें। हमारे पास है:
ए 2 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ 2ए + सी + 1 = 0;

इसी प्रकार, अंक N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) के लिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
ए 0 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ बी + सी + 1 = 0;
ए 2 + बी 1 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ 2ए + बी + 1 = 0;

तो हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं। आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं और हल करें:

हमने पाया कि समतल के समीकरण का रूप इस प्रकार है: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.

काम। विमान समीकरण 7x - 2y + 4z + 1 = 0 द्वारा दिया गया है। इस विमान के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक खोजें।

समाधान। तीसरे सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें n = (7; − 2; 4) मिलता है - बस इतना ही!

वेक्टर निर्देशांक की गणना

लेकिन क्या होगा यदि समस्या में कोई सदिश नहीं हैं - केवल सीधी रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं, और आपको इन सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है? यह सरल है: बिंदुओं के निर्देशांक - वेक्टर की शुरुआत और अंत - को जानकर आप स्वयं वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं।

किसी वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, आपको उसके अंत के निर्देशांक से शुरुआत के निर्देशांक को घटाना होगा।

यह प्रमेय समतल और अंतरिक्ष दोनों में समान रूप से अच्छी तरह से काम करता है। अभिव्यक्ति "निर्देशांक घटाएं" का अर्थ है कि किसी अन्य बिंदु के x निर्देशांक को एक बिंदु के x निर्देशांक से घटाया जाता है, फिर y और z निर्देशांक के साथ भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

काम। अंतरिक्ष में तीन बिंदु हैं, जो उनके निर्देशांक द्वारा परिभाषित हैं: ए = (1; 6; 3), बी = (3; − 1; 7) और सी = (− 4; 3; − 2)। सदिश AB, AC और BC के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

वेक्टर AB पर विचार करें: इसकी शुरुआत बिंदु A पर है, और इसका अंत बिंदु B पर है। इसलिए, इसके निर्देशांक खोजने के लिए, हमें बिंदु A के निर्देशांक को बिंदु B के निर्देशांक से घटाना होगा:
एबी = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

इसी प्रकार, वेक्टर AC की शुरुआत एक ही बिंदु A है, लेकिन अंत बिंदु C है। इसलिए, हमारे पास है:
एसी = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

अंत में, वेक्टर BC के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको बिंदु C के निर्देशांक से बिंदु B के निर्देशांक को घटाना होगा:
बीसी = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

उत्तर: एबी = (2; − 7; 4); एसी = (− 5; − 3; − 5); बीसी = (- 7; 4; - 9)

अंतिम बीसी वेक्टर के निर्देशांक की गणना पर ध्यान दें: नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय कई लोग गलतियाँ करते हैं। यह चर y से संबंधित है: बिंदु B का निर्देशांक y = − 1 है, और बिंदु C का समन्वय y = 3 है। हमें बिल्कुल 3 − (− 1) = 4 मिलता है, न कि 3 − 1, जैसा कि कई लोग सोचते हैं। ऐसी मूर्खतापूर्ण गलतियाँ मत करो!

सीधी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों की गणना

यदि आप समस्या C2 को ध्यान से पढ़ेंगे, तो आपको यह जानकर आश्चर्य होगा कि वहां कोई सदिश नहीं हैं। वहाँ केवल सीधी रेखाएँ और तल हैं।

सबसे पहले, आइए सीधी रेखाओं को देखें। यहां सब कुछ सरल है: किसी भी सीधी रेखा पर कम से कम दो अलग-अलग बिंदु होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक अद्वितीय सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं...

क्या किसी को समझ आया कि पिछले पैराग्राफ में क्या लिखा था? मैं इसे स्वयं नहीं समझ पाया, इसलिए मैं इसे और अधिक सरलता से समझाऊंगा: समस्या C2 में, सीधी रेखाएँ हमेशा बिंदुओं की एक जोड़ी द्वारा परिभाषित होती हैं। यदि हम एक समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं और इन बिंदुओं पर शुरुआत और अंत के साथ एक वेक्टर पर विचार करते हैं, तो हमें रेखा के लिए तथाकथित दिशा वेक्टर प्राप्त होता है:

इस वेक्टर की आवश्यकता क्यों है? तथ्य यह है कि दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है। इस प्रकार, हम समझ से परे सीधी रेखाओं से विशिष्ट सदिशों की ओर बढ़ते हैं जिनके निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है। यह कितना आसान है? उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में रेखाएँ AC और BD 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूँकि घन के किनारों की लंबाई शर्त में निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम AB = 1 निर्धारित करते हैं। हम बिंदु A पर मूल बिंदु और सीधी रेखाओं AB, AD और के साथ निर्देशित x, y, z अक्षों के साथ एक समन्वय प्रणाली प्रस्तुत करते हैं। एए 1, क्रमशः। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

आइए अब सीधी रेखा AC के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। हमें दो अंक चाहिए: A = (0; 0; 0) और C = (1; 1; 0)। यहां से हमें सदिश AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) के निर्देशांक मिलते हैं - यह दिशा सदिश है।

आइए अब सीधी रेखा BD 1 को देखें। इसके भी दो बिंदु हैं: बी = (1; 0; 0) और डी 1 = (0; 1; 1)। हमें दिशा सदिश BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1) प्राप्त होता है।

उत्तर: एसी = (1; 1; 0); बीडी 1 = (- 1; 1; 1)

काम। एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाएँ AB 1 और AC 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

आइए एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें: मूल बिंदु A पर है, x अक्ष AB के साथ मेल खाता है, z अक्ष AA 1 के साथ मेल खाता है, y अक्ष x अक्ष के साथ OXY विमान बनाता है, जो ABC विमान के साथ मेल खाता है।

सबसे पहले, आइए सीधी रेखा AB 1 को देखें। यहां सब कुछ सरल है: हमारे पास बिंदु A = (0; 0; 0) और B 1 = (1; 0; 1) हैं। हम दिशा सदिश AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1) प्राप्त करते हैं।

आइए अब AC 1 के लिए दिशा सदिश ज्ञात करें। सब कुछ समान है - अंतर केवल इतना है कि बिंदु C 1 में अपरिमेय निर्देशांक हैं। तो A = (0; 0; 0), तो हमारे पास है:

उत्तर: एबी 1 = (1; 0; 1);

पिछले उदाहरण के बारे में एक छोटी लेकिन बहुत महत्वपूर्ण टिप्पणी। यदि वेक्टर की शुरुआत निर्देशांक की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, तो गणना बहुत सरल हो जाती है: वेक्टर के निर्देशांक अंत के निर्देशांक के बराबर होते हैं। दुर्भाग्य से, यह केवल वैक्टर के लिए सच है। उदाहरण के लिए, विमानों के साथ काम करते समय, उन पर निर्देशांक की उत्पत्ति की उपस्थिति केवल गणना को जटिल बनाती है।

समतलों के लिए सामान्य सदिशों की गणना

सामान्य वेक्टर वे वेक्टर नहीं हैं जो ठीक हैं या अच्छा महसूस करते हैं। परिभाषा के अनुसार, किसी समतल का सामान्य वेक्टर (सामान्य) किसी दिए गए समतल का लंबवत सदिश होता है।

दूसरे शब्दों में, एक सामान्य किसी दिए गए विमान में किसी भी वेक्टर के लिए लंबवत एक वेक्टर है। आपने संभवतः इस परिभाषा को देखा होगा - हालाँकि, सदिशों के बजाय हम सीधी रेखाओं के बारे में बात कर रहे थे। हालाँकि, यह ठीक ऊपर दिखाया गया था कि समस्या C2 में आप किसी भी सुविधाजनक वस्तु के साथ काम कर सकते हैं - चाहे वह एक सीधी रेखा हो या एक वेक्टर।

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि प्रत्येक विमान को अंतरिक्ष में समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां A, B, C और D कुछ गुणांक हैं। समाधान की व्यापकता को खोए बिना, हम मान सकते हैं कि यदि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है तो डी = 1, या यदि ऐसा होता है तो डी = 0। किसी भी स्थिति में, इस तल पर सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (A; B; C) हैं।

तो, विमान को एक वेक्टर द्वारा भी सफलतापूर्वक बदला जा सकता है - वही सामान्य। प्रत्येक तल को अंतरिक्ष में तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है। हमने लेख की शुरुआत में ही चर्चा की थी कि समतल का समीकरण (और इसलिए सामान्य) कैसे खोजा जाए। हालाँकि, यह प्रक्रिया कई लोगों के लिए समस्याएँ पैदा करती है, इसलिए मैं कुछ और उदाहरण दूंगा:

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में एक खंड A 1 BC 1 खींचा गया है। यदि निर्देशांक की उत्पत्ति बिंदु A पर है, और x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 किनारों से मेल खाते हैं, तो इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें।

चूंकि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, इसलिए इसका समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz + 1 = 0, यानी। गुणांक डी = 1। चूंकि यह विमान बिंदु ए 1, बी और सी 1 से होकर गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

ए 0 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ सी + 1 = 0 ⇒ सी = - 1;

इसी प्रकार, बिंदु B = (1; 0; 0) और C 1 = (1; 1; 1) के लिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
ए 1 + बी 0 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ ए + 1 = 0 ⇒ ए = - 1;
ए 1 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ⇒ ए + बी + सी + 1 = 0;

लेकिन हम गुणांक A = − 1 और C = − 1 पहले से ही जानते हैं, इसलिए गुणांक B ज्ञात करना बाकी है:
बी = − 1 − ए − सी = − 1 + 1 + 1 = 1.

हम समतल का समीकरण प्राप्त करते हैं: − A + B − C + 1 = 0. इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (− 1; 1; − 1) के बराबर हैं।

काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में एक खंड AA 1 C 1 C है। इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि निर्देशांक की उत्पत्ति बिंदु A पर है और x, y और z अक्ष मेल खाते हैं किनारे क्रमशः AB, AD और AA 1 हैं।

इस स्थिति में, विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए गुणांक D = 0 है, और विमान का समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz = 0. चूंकि विमान बिंदु A 1 और C से होकर गुजरता है, के निर्देशांक ये बिंदु समतल के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

आइए x, y और z के स्थान पर बिंदु A 1 = (0; 0; 1) के निर्देशांक रखें। हमारे पास है:
ए 0 + बी 0 + सी 1 = 0 ⇒ सी = 0;

इसी प्रकार, बिंदु C = (1; 1; 0) के लिए हमें समीकरण प्राप्त होता है:
ए 1 + बी 1 + सी 0 = 0 ⇒ ए + बी = 0 ⇒ ए = − बी;

आइए हम बी = 1 सेट करें। फिर ए = - बी = - 1, और पूरे विमान के समीकरण का रूप है: - ए + बी = 0. इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक एन = (- 1) के बराबर हैं ; 0).

सामान्यतया, उपरोक्त समस्याओं में आपको समीकरणों की एक प्रणाली बनाने और उसे हल करने की आवश्यकता होती है। आपको तीन समीकरण और तीन चर मिलेंगे, लेकिन दूसरे मामले में उनमें से एक मुफ़्त होगा, यानी। मनमाना मान लें. इसीलिए हमें समाधान की व्यापकता और उत्तर की शुद्धता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना बी = 1 सेट करने का अधिकार है।

समस्या C2 में अक्सर आपको उन बिंदुओं के साथ काम करने की आवश्यकता होती है जो एक खंड को समद्विभाजित करते हैं। यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों तो ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है।

तो, मान लीजिए कि खंड को उसके सिरों द्वारा परिभाषित किया गया है - बिंदु A = (x a; y a; z a) और B = (x b; y b; z b)। फिर खंड के मध्य के निर्देशांक - आइए इसे बिंदु H द्वारा निरूपित करें - सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

काम। यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। बिंदु के है किनारे के मध्य A 1 B 1 . इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूँकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

काम। यूनिट क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 को एक समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि एक्स, वाई और जेड अक्ष क्रमशः एबी, एडी और एए 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु ए के साथ मेल खाता हो। बिंदु L के निर्देशांक जिस पर वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

प्लैनिमेट्री पाठ्यक्रम से हम जानते हैं कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्य है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)